Ánh xạ đạo hàm trên đại số lie

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

nguyễn thị huệ

ánh xạ đạo hàm trên đại số
lie

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2010


Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

nguyễn thị huệ

ánh xạ đạo hàm trên đại số
lie
Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô
mã số: 60.46.10

Luận văn thạc sĩ toán học
Ngời hớng dẫn khoa học:

PGS. TS. Nguyễn hữu quang

Vinh - 2010

MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU.................................................................................................
Chương 1. Đại số Lie......................................................................................
I.

Đại số Lie.......................................................................................

II.

Đại số Lie tích, đại số Lie thương và đại số Lie nửa đơn..............

III. Đồng cấu Lie................................................................................
Chương 2. Phép đạo hàm trên đại số Lie....................................................
I.

Phép đạo hàm trên đại số Lie.......................................................

II.

Ánh xạ ad trên đại số Lie nửa đơn...............................................

KẾT LUẬN....................................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................


4

LỜI MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, trong sự phát triển của Toán luôn xảy ra hai quá

trình song song, đó là sự phân chia thành nhiều ngành để có sự nghiên cứu
ngày càng sâu sắc, mặt khác có sự kết hợp các ngành Toán học khác nhau để
có những thành tựu lớn.
Có thể nói: Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie là sự kết hợp giữa các chuyên
ngành Hình học – Tôpô, Giải tích và Đại số. Do đó đại số Lie là một bộ phận
quan trọng của toán học hiện đại và nó trở thành một công cụ hữu hiệu đối
với các nghiên cứu trên đa tạp.
Vào cuối thế kỷ 19 đã xuất hiện sự kết hợp lý thuyết nhóm và hình học
Riemann trong các công trình chủ yếu của Phêlix Klein (1849 – 1925) và
Xôphux Lie (1842 – 1899). Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie cũng được ứng
dụng nhiều trong các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và
các ngành khác nhau của toán học.
Phép đạo hàm trên đại số Lie là một trong những vấn đề quan trọng của đại
số Lie. Trên cơ sở một số kết quả của các nhà toán học lớn như Serre,
Helgason…, và một số tài liệu nghiên cứu theo hướng trên, dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang chúng tôi nghiên cứu đề tài:
“ Ánh xạ đạo hàm trên đại số Lie”.
Bài toán chúng tôi đặt ra là nghiên cứu về phép đạo hàm trên đại số Lie. Nội
dung chủ yếu của luận văn là tập hợp một cách hệ thống, trình bày và chứng
minh chi tiết về đại số Lie, về phép đạo hàm trên đại số Lie.
Luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Đại số Lie.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và một số tính
chất về đại số Lie, đại số Lie tích, đại số Lie thương, đại số Lie nửa đơn và


5
đồng cấu Lie. Nội dung của chương này phục vụ cho việc trình bày ánh xạ
đạo hàm trên đại số Lie ở chương sau.
Chương 2. Phép đạo hàm trên đại số Lie.

Đây là chương thể hiện kết quả chính của luận văn gồm các vấn đề: Trình bày
chi tiết các khái niệm, tính chất, ví dụ về phép đạo hàm trên đại số Lie; phát
biểu, chứng minh mệnh đề về phép đạo hàm trên đại số Lie nửa đơn, đồng
thời đưa ra một số ví dụ, hệ quả về phép đạo hàm trên đó.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2010 tại trường Đại học Vinh
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã đặt bài toán và hướng dẫn tác
giả.
Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Phạm Ngọc Bội, TS. Nguyễn Duy
Bình, PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu, PGS. TS. Phan Thành An và các thầy cô giáo
trong Khoa Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh đã giảng dạy, quản lí
và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới cán bộ giáo viên trường THPT
Yên Thành 2, tập thể K16 Hình học - Tôpô, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã
giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập.
Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả


6

CHƯƠNG I
ĐẠI SỐ LIE
Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, ví dụ và một
số tính chất của đại số, đại số Lie, đại số Lie con; về đại số Lie tích, đại số
Lie thương, đại số Lie nửa đơn và đồng cấu Lie cùng một số tính chất có
liên quan.
I. Đại số Lie
1.1.1 Định nghĩa. (Xem [1]). Giả sử G là một không gian véc tơ trên trường
K. G được gọi là một đại số trên K nếu ta trang bị thêm vào G một ánh xạ

song tuyến tính
ϕ : G× G → G

(x, y)  ϕ (x, y)
Ta thường kí hiệu ϕ (x, y) = x.y ( ϕ được gọi là phép nhân trong).
1.1.2 Ví dụ. 1) Ta ký hiệu M n ( ¡ ) là tập hợp các ma trận vuông cấp n trên ¡
, với phép cộng là cộng các ma trận, phép nhân vô hướng là nhân ma trận với
một số, phép nhân trong là nhân hai ma trận. Khi đó M n ( ¡ ) là một đại số
trên ¡ .
2) Giả sử M là một không gian véc tơ trên ¡ . Ta ký hiệu End M là tập tất cả
các ánh xạ tuyến tính của M. Ta đưa vào End M các phép toán:
(f + g)(x) = f(x) + g(x); ∀ f, g ∈ End M ; ∀ x∈ M.
( λ f)(x) = λ f(x);

∀ f, g ∈ End M ; ∀ x ∈ M ; ∀λ ∈ ¡ .

(f.g)(x) = f(x).g(x); ∀ f, g ∈ End M; ∀ x∈ M.
Khi đó End M là một đại số trên ¡ .
Chú ý:


7
1. Nếu phép nhân trong có tính chất giao hoán thì G được gọi là đại số giao
hoán.
2. Nếu phép nhân trong có tính chất kết hợp thì G được gọi là đại số kết
hợp.
3. Nếu a.b = 0 ; ∀ a, b ∈ G, ta nói G là đại số tầm thường.
1.1.3 Định nghĩa. ( Xem [2] ). Đại số G với phép nhân trong ϕ (x, y) = [x, y]
được gọi là đại số Lie nếu ϕ thõa mãn các điều kiện sau:
i) Với mọi x thuộc G thì [x, x] = 0.

ii) Với mọi x, y, z thuộc G, ta có [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0;
(đẳng thức này gọi là đẳng thức Jacobi).
1.1.4 Ví dụ. 1) Xét G = M n ( ¡ ) ( Tập hợp các ma trận vuông cấp n, phần tử
thực). Khi đó G = M n ( ¡ ) là đại số Lie với ba phép toán sau:
Cộng ma trận thông thường.
Nhân ma trận với một số thông thường .
Phép nhân trong (A, B)  [A, B] = AB – BA.
Chứng minh. Ta có G = M n ( ¡ ) là một không gian véc tơ trên ¡ với hai
phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một số thông thường. Dễ dàng
chứng minh được phép nhân trong có tính chất song tuyến tính nên G là một
đại số. Ở đây ta chỉ kiểm tra các điều kiện của đại số Lie.
Với mọi A thuộc M n ( ¡ ), ta dễ dàng nhận thấy: [A, A] = A.A - A.A = 0.
Mặt khác, với mọi A, B, C thuộc M n ( ¡ ), ta có:
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]]
= [A, BC – CB] + [B, CA – AC] + [C, AB – BA]
= A(BC – CB) – (BC – CB)A + B(CA – AC) – (CA – AC)B + C(AB – BA)
– (AB – BA)C
= ABC – ACB – BCA + CBA + BCA – BAC – CAB + ACB + CAB – CBA
− ABC + BAC


8
= 0.
Đẳng thức Jacobi thõa mãn. Vậy G = M n ( ¡ ) là một đại số Lie với tích Lie
[A, B] = AB – BA.
2) Ta xét G = ¡ 3 , với [x, y] = x ∧ y ( ∧ là tích có hướng của hai véc tơ trong

¡ 3 ). Khi đó G là đại số Lie trên ¡ .
3) Ta xét G = B ( ¡ n ) là tập tất cả các trường véc tơ khả vi trong ¡ n . Ta
đưa vào G một tích Lie là [X, Y] = D X Y − D Y X; ∀ X, Y ∈ B ( ¡ n ). Khi đó

G là một đại số Lie.
Chứng minh. Ta biết rằng: B ( ¡ n ) cùng với hai phép toán:
(+) Phép cộng các trường véc tơ
r

r

Với X : p a X p ; Y : p a Yp , với mọi p thuộc ¡
X+Y:p 



X p + Y p , ∀p ∈ ¡

n

n

thì:

.

(+) Phép nhân trường véc tơ với một hàm số khả vi trên ¡
Với X : p a

r
Xp;

ϕ : ¡

n

n

→ ¡ ; ∀p ∈ ¡ n .

p

λ

r

thì: ϕ X : p a λ X p ; ∀p ∈ ¡ n , là không gian véc tơ trên trường ¡ .
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được tích Lie [X, Y] = D X Y − D Y X có tính
chất song tuyến tính nên B ( ¡ n ) trở thành một đại số.
Ở đây ta chỉ kiểm tra các điều kiện của đại số Lie.
Với mọi X thuộc B ( ¡ n ), dễ thấy [X, X] = D X X - D X X = 0.
Với mọi X, Y, Z thuộc B ( ¡ n ), mọi f thuộc F( ¡

n

), xét

[X, [Y, Z]] [f] = X[[Y, Z][f]] – [Y, Z][X[f]]
= X[Y[Z[f]]] – X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]]
Hoàn toàn tương tự ta có:
[Y, [Z, X]][f] = Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]]
[Z, [X, Y]][f] = Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]]

9
Cộng vế theo vế ta có ngay đẳng thức Jacobi. Vậy G = B ( ¡ n ) là một đại số
Lie.
Nhận xét
1.Trong định nghĩa 1.1.3 ta có thể thay điều kiện i) bởi điều kiện:
[x, y] = − [y, x] ; với ∀ x, y ∈ G.
2. Cho G là đại số Lie trên trường K. Khi đó với mọi x, y, z thuộc G ta luôn
có: [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]].
Thật vậy, theo hệ thức Jacobi, với mọi x, y, z thuộc G, ta có:
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
⇔ [x, [y, z]] = − [y, [z, x]] − [z, [x, y]]
⇔ [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]].

1.1.5 Mệnh đề. (Xem [4] ). Giả sử G là một đại số kết hợp trên trường K. Ta
đặt [a, b] = a.b − b.a ; ∀ a, b ∈ G. Khi đó G là đại số Lie.
Chứng minh. Ở đây ta chỉ kiểm tra tính chất phản xứng và đẳng thức Jacobi.
Ta có [a, a] = a.a − a.a = 0.
Và

[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]]

= [a, bc – cb] + [b, ca – ac] + [c, ab – ba]
= abc – acb – bca + cba +bca – bac – cab +acb +cab – cba – abc + bac
= 0.
Vậy nếu G là một đại số kết hợp trên trường K, với [a, b] = ab – ba;
∀ a, b ∈ G thì G là đại số Lie.

1.1.6 Mệnh đề. (Xem [6]). Đại số đối của một đại số Lie là một đại số Lie.
Chứng minh. Giả sử G là đại số Lie với phép nhân (x, y)  [x, y]. Gọi G  là
đại số đối của đại số Lie G. Ta cần chứng minh G  là đại số Lie với phép

nhân (x, y)  [y, x].
Với mọi x thuộc G  , dễ thấy [x, x] = 0.
Với mọi x, y, z thuộc G  , ta có:


10
 x, [ y, z ]  +  y, [ z, x ]  +  z, [ x, y ] 

= [ y, z ] , x  + [ z , x ] , y  + [ x, y ] , z 
= −  x,  y, z   −  y, [ z , x ]  −  z, [ x, y ]  .
Do đó, ta có ngay hệ thức Jacobi trong G  . Điều này chứng tỏ G  là đại số
Lie.
1.1.7 Định nghĩa. (Xem [2]). Giả sử M và N là hai tập con của đại số Lie G
trên trường K. Ta ký hiệu:

[M,

N] = <

[ m, n]

; m∈ M, n∈ N >

i) Một không gian véc tơ con N ⊂ G được gọi là đại số Lie con của G nếu
và chỉ nếu [ N , N ] ⊂ N .
ii) Một không gian véc tơ con N của G được gọi là Idean của G nếu và chỉ
nếu [ G, N ] ⊂ N .
iii) Một Idean N cực đại của G thõa mãn [ G, N ] = 0 được gọi là tâm của
G.
1.1.8 Ví dụ. 1) Ta xét G =

{

( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ ¡

Trên G ta trang bị phép tính tích Lie như sau:
Với mọi x, y thuộc G thì

[ x, y ]

= ( x1 y2 − x2 y1 ; 0; x4 y5 − x5 y4 ; x5 y3 − x3 y5 ; x3 y4 − x4 y3 ) .

Xét N = { ( x1 , x2 , 0, 0, 0)

x1 , x2 ∈ ¡ } .

Khi đó N là đại số Lie con của G.
Thật vậy, dễ thấy N là không gian véc tơ con của G.
Với mọi x, y ∈ N, giả sử x = ( x1 , x2 , 0, 0, 0) ; x1 , x2 ∈ ¡
y = ( y1 , y 2 , 0, 0, 0) ; y1 , y2 ∈ ¡ .

}.


11
Lúc đó [ x, y ] = ( x1 y2 − x2 y1 ; 0; 0; 0; 0) ∈ N.
Vậy N là đại số Lie con của G.
  a b 

2) Ta xét G =  

  c d 


a, b, c, d ∈ ¡  , với tích Lie xác định trong G là:


[A, B] = AB – BA; ∀ A, B ∈ G
  a


a, b, c ∈ ¡  . Khi đó N là một Idean của G.


b

Xét N =  

  c − a 

Dễ thấy, N là không gian véc tơ con của G.
a b 
x y 
Mặt khác, với mọi g ∈ G; mọi n ∈ N, giả sử g = 
;n= 
 ; a,

 z − x

c d 

b, c, d, x, y, z ∈ ¡ .
Lúc đó

[ g , n]

ay − 2bx − yd 
 bz − yc
∈ N.
= gn – ng = 2cx + dz − az
cy − bz 


Vậy N là Idean của G.
3
3) Xét G = ¡ 3 , với [x, y] = x ∧ y; ∀ x, y ∈ ¡ . Ta ký hiệu tâm của G là T G .

Khi đó ta có:
TG =

{

x ∈ ¡

3

| [ x, y ] = 0; ∀y ∈ ¡

3

}

=

{

x ∈ ¡

3

| x ∧ y = 0; ∀y ∈ ¡

3

}

= { 0}.
Vậy tâm của G trong trường hợp này luôn bằng không.
1.1.9 Nhận xét. (Xem [4] ). Cho G là đại số Lie trên trường K. Khi đó ta có:
1. Mỗi Idean của G là một đại số Lie con của G và đặc biệt tâm của G là một
đại số Lie con giao hoán.
2. Nếu A, B, C là các không gian véc tơ con của G thì
i)  A + B, C  ⊂ [ A, C ] + [ B, C ]


12
ii) [ A, B ] = [ B, A]
iii) G, [ A, B ]  ⊂ [ G, A] , B  +  A, [ G, B ]  .
1.1.10 Mệnh đề. (Xem [6]). Nếu A, B là hai Idean của G thì [A, B] cũng là

một Idean của G.
Chứng minh. Do A, B là hai Idean của G nên [A, B] là không gian véc tơ con
của G. Từ bao hàm thức [G, [A, B]] ⊂ [[G, A], B] + [A, [G, B]] (Nhận xét
1.1.9) và do A, B là hai Idean của G nên [G, A] ⊂ A; [G, B] ⊂ B. Suy ra
[G, [A, B]] ⊂ [A, B] và [A, [G, B]] ⊂ [A, B]. Vậy [G, [A, B]] ⊂ [A, B]. Hay
[A, B] cũng là một Idean của G.
II. Đại số Lie tích, đại số Lie thương và đại số Lie nửa đơn
1.2.1 Đại số Lie tích. (Xem [2])
Giả sử G và G ' là hai đại số Lie trên trường K.
'
Ta ký hiệu G = G × G =

{

( a, a ' ) | a ∈ G , a ' ∈ G ' }

Ta đưa vào G các phép toán như sau:
(a, a ' ) + (b, b ' ) = (a + b, a ' + b ' ) ; ∀ a, b ∈ G; ∀ a ' , b ' ∈ G '
α (a, a ' ) = ( α a, α a ' ) ;

∀ a ∈ G; ∀ a ' ∈ G '

[( a, a’ ), (b, b’)] = ( [a, b], [a’, b’] ).
Khi đó G là một đại số Lie trên trường K và G được gọi là tích của G
và G ' .
Chứng minh. Ta thấy G là một đại số trên trường K với ba phép toán xác
định ở trên. Ở đây ta chỉ chứng minh G là một đại số Lie.
Với mọi x = (a, a ' ) thuộc G ' ,
dễ thấy [x, x] = [ (a, a '), (a, a ') ] =( [ a, a ] , [ a ', a '] ) = 0.
Với ∀ x = (a, a ' ); ∀ y = (b, b ' ); ∀ z = (c, c ' ) ∈ G, ta có

13
 x, [ y, z ]  = (a, a '), [ (b, b '), (c, c ') ] 

=  ( a, a '), ( [ b, c ] , [ b ', c '] ) 
= (  a, [ b, c ]  ,  a ', [ b ', c ']  )
Tương tự:
 y , [ z , x ]  = ( b, [ c, a ]  , b ', [ c ', a ']  )
 z , [ x, y ]  = ( c, [ a, b ]  , c ', [ a ', b ']  ).

Cộng vế theo vế ta có ngay  x, [ y, z ]  +  y, [ z, x ]  +  z , [ x, y ]  = 0 .
Vậy G là một đại số Lie.
1.2.2 Đại số Lie thương. (Xem [1])
Cho G là một đại số Lie trên trường K. H là Idean của G.
Ta ký hiệu G H =

{

x + H|x ∈ G

} . Ta đưa vào

G

H các phép toán

như sau:
(x + H) + (y + H) = (x + y) + H
α (x + H) = α x + H

[x

+ H , y + H ] = [ x, y ] + H .

Khi đó G H trở thành đại số Lie trên trường K và được gọi là đại số Lie
thương của G theo Idean H.
Chứng minh. Giả sử G là đại số Lie trên trường K với phép nhân [ x, y ] , G H
là đại số thương của G theo Idean H với phép nhân

[ x + H,

y + H ] = [ x, y ] + H , ta chứng minh G H là đại số Lie.

Với mọi x + H ∈ G H ta có: [ x + H , x + H ] =
Với mọi x + H , y + H , z + H ∈ G H , ta có:

[ x, x ]

+ H=H.


14
 x + H , [ y + H , z + H ]  =  x + H , [ y, z ] + H  =  x, [ y, z ]  + H
 y + H , [ z + H , x + H ]  =  y + H , [ z , x ] + H  =  y, [ z , x ]  + H
 z + H , [ x + H , y + H ]  =  z + H , [ x, y ] + H  =  z , [ x, y ]  + H .

Từ đó bằng cách cộng vế theo vế ta có ngay đẳng thức Jacobi trên G H .
Vậy G H là đại số Lie.
1.2.3 Đại số Lie nửa đơn

Định nghĩa. (Xem [7] ). Đại số Lie G gọi là nửa đơn nếu G không có Idean
giao hoán khác không.
Ví dụ. 1) Ta xét G = ¡ 3 , với [ x, y ] = x ∧ y . Khi đó G là đại số Lie nửa đơn.
Theo ví dụ 2 ở mục 1.1.4 ta biết rằng ¡

3

với [ x, y ] = x ∧ y là đại số Lie. Ở

đây chúng tôi chỉ ra tính nửa đơn của ¡ 3 . Giả sử I là Idean giao hoán khác
r
r

r r
r r
không của ¡ 3 , ta có ∀a ∈ I , b ∈ I thì [a , b ] = a ∧ b = 0 . Từ tính chất

 

của tích có hướng ta suy ra a , b phụ thuộc tuyến tính hay b = ka ( ∀k ∈ ¡ ).
r r
 

3
Do I là Idean của R 3 nên [ a , x ] = a ∧ x ∈ I; ∀x ∈ ¡ . Bây giờ ta chọn x
r
r r

  


 
sao cho x ≠ 0 và x ∉ I : m = [ a , x ] = a ∧ x ⊥ a . Hay m ∉ I . Điều này suy ra

mâu thuẫn. Vậy G không có Idean giao hoán khác không, do đó G nửa đơn.
  a

b



2) Cho G =  
 | a, b, c ∈ ¡  . Khi đó G là đại số Lie nửa đơn.
  c − a 

Chứng minh. Ta biết rằng M n ( ¡ ) là đại số Lie với tích Lie [A, B] = AB - BA
( ∀ A, B ∈ M n ( ¡ ) ). Để chứng minh G là đại số Lie ta chỉ cần chứng minh G
khép kín với 3 phép toán sau:


15
 kA ∈ G

Với ∀ A, B ∈ G; ∀ k ∈ ¡ thì  A + B ∈ G .
 A, B ∈ G
]
[

a b 
x y 
Thật vậy, giả sử A = 

;B= 
 là hai phần tử bất kỳ thuộc G;

z
−
x
c
−
a





Với mọi k ∈ ¡ ta có:
 ka

kb 

kA = 
 ∈ G
 kc −ka 
a + x

b+ y 

A+B= 
 ∈ G
 c + z −(a + x ) 

[ A, B ]

 bz − yc 2ay − 2bx 
= AB − BA = 
∈ G.
cy − bz 
 2cx − 2az

Vậy G là đại số Lie.
Mặt khác, giả sử G có Idean I giao hoán khác không. Khi đó với ∀ A, B∈ I, A
≠ 0 ta có

[ A, B ] = 0

⇔ AB − BA = 0 ⇔ B = kA ( k ∈ R ) . Vì I là Idean

của G nên [ G , I ] ⊂ I . Điều này có nghĩa là với mọi X ∈ G, ta có [ X , A] ⊂ I .
0 0 

0 0

Lấy X = 
 ∈ G . Khi đó A =  c 0  ∈ G; c ≠ 0; c ∈ ¡ . Bây giờ ta
1 0 


1 −1

chọn X = 
 ∈ G . Lúc này

0 −1

[ X , A]

 −c 0 
= XA − AX = 
 ∉ I ( Do c ≠ 0 ).
 −c c 

Vậy G là đại số Lie nửa đơn.
III. Đồng cấu Lie


16
1.3.1 Định nghĩa. (Xem [2] ). Giả sử G và G ′ là hai đại số Lie trên trường
K. Ánh xạ ϕ : G → G ′ được gọi là đồng cấu Lie nếu và chỉ nếu ϕ là ánh xạ
tuyến tính và ϕ [ x, y ] = [ ϕ ( x), ϕ ( y ) ] ; ∀ x, y ∈ G.
1.3.2 Ví dụ
1) Cho G là đại số Lie trên trường K. Khi đó ánh xạ đồng nhất trên G là một
đồng cấu Lie.
2) Ta xét G =

{

(0, 0, x3 , x4 , x5 )

x3 , x4 , x5 ∈ ¡ } .

Trên G ta trang bị phép tính tích Lie như sau:
Với mọi x, y thuộc G thì

[ x, y ]

= (0; 0; x4 y5 − x5 y4 ; x5 y3 − x3 y5 ; x3 y4 − x4 y3 ) .
ϕ : G → ¡

Khi đó ánh xạ

3

là một đồng cấu Lie.

(0, 0, x3 , x4 , x5 ) a ( x3 , x4 , x5 )

Thật vậy, dễ thấy G với tích Lie xác định ở trên là một đại số Lie.
Mặt khác, ánh xạ

ϕ : G → ¡
(0, 0, x3 , x4 , x5 ) a

3

là ánh xạ tuyến tính

( x3 , x4 , x5 )

bởi vì: với ∀x = ( 0, 0, x3 , x4 , x5 ) ∈ G ; ∀y = (0, 0, y3 , y4 , y5 ) ∈ G ;
∀α , β ∈ K , ta có: ϕ (αx + βy ) = (αx 3 + βy 3 ; αx 4 + βy 4 ; αx 5 + βy 5 )

= αϕ ( x) + βϕ ( y )

Lại có [ x, y ] = ( 0; 0 ; x4 y5 − x5 y 4 ; x5 y3 − x3 y5 ; x3 y 4 − x4 y3 ) nên
ϕ [ x, y ] = ( x4 y5 − x5 y4 ; x5 y3 − x3 y5 ; x3 y4 − x4 y3 )

Mặt khác ϕ ( x) = ( x3 , x4 , x5 ) ;
ϕ ( y ) = ( y3 , y4 , y5 ) ;

Suy ra

[ ϕ ( x),

ϕ ( y ) ] = ϕ ( x) ∧ ϕ ( y)

= ( x 4 y 5 − x5 y 4 ; x5 y 3 − x3 y 5 ; x3 y 4 − x 4 y 3 )


17
Do đó ϕ [ x, y ] = [ ϕ ( x ), ϕ ( y ) ] .
Từ các điều kiện trên ta có ngay ϕ là đồng cấu Lie.
1.3.3 Mệnh đề. (Xem [4] ). Giả sử G và G ′ là hai đại số Lie trên trường K.
ϕ : G → G ′ là đồng cấu Lie. Khi đó:

i) Im ϕ là một đại số Lie con của G ' .
ii) Ker ϕ là một Idean của G.
Chứng minh. i) Để chứng minh Im ϕ là một đại số con của G ' , ta cần chứng
minh Im ϕ là không gian véc tơ con của G ' và [Im ϕ , Im ϕ ] ⊂ Im ϕ
Giả sử a’, b’ ∈ Im ϕ . Khi đó tồn tại a, b ∈ G sao cho a ' = ϕ (a) ; b’ = ϕ (b) .
Với ∀α , β ∈ K . Xét αa ' + βb ' = αϕ (a) + βϕ (b)
= ϕ (αa + βb)
Do đó αa ' + β b ' ∈ Im ϕ hay Im ϕ là không gian véc tơ con của G ' .
'

'
Mặt khác, với mọi a , b ∈ Im ϕ . Ta có [ a ', b '] = [ ϕ (a), ϕ (b) ]

= ϕ[ a, b ] ∈ Im ϕ .
Vậy nên [Im ϕ , Im ϕ ] ⊂ Im ϕ . Từ đó suy ra Im ϕ là một đại số Lie con của G ' .
ii) Để chứng minh Ker ϕ là một Idean của G ta chứng minh Ker ϕ là không
gian véc tơ con của G và [ G, Kerϕ ] ⊂ Kerϕ .
Thật vậy, với ∀x, y ∈ Ker ϕ ; ∀α , β ∈ K thì:

ϕ (α x + β y ) = αϕ ( x) + βϕ ( y ) = 0.
Suy ra αx + βy ∈ Ker ϕ .
Lấy g bất kỳ thuộc G, x bất kỳ thuộc Ker ϕ . Xét ϕ [ g , x ] = [ ϕ ( g ), ϕ ( x) ]
= [ ϕ ( g ), 0]
= 0.
Do đó [ g , x ] ∈ Kerϕ hay [ G, Kerϕ ] ⊂ Kerϕ . Vậy Ker ϕ là một Idean của G.


18
1.3.4 Định nghĩa. (Xem [4]).
i) ϕ được gọi là đẳng cấu Lie nếu và chỉ nếu ϕ là một đồng cấu Lie và ϕ là
một song ánh.
ii) Hai đại số Lie G và G ′ được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một
đẳng cấu Lie ϕ : G → G ′ . Trong trường hợp này ta viết G ≅ G ′ .
iii) Đồng cấu Lie ϕ : G → G ′ được gọi là phép đối hợp nếu ϕ 2 = id (Nghĩa
là (ϕ  ϕ )(a) = a; ∀a ∈ G ).
Ta có thể dễ dàng chứng minh được hai đồng cấu Lie trong mục 1.3.2 là các
đẳng cấu Lie.
1.3.5 Mệnh đề. (Xem [1] ). Quan hệ đẳng cấu giữa các đại số Lie là một
quan hệ tương đương.
'

''
Chứng minh. Giả sử G, G , G là các đại số Lie trên trường K.

Ánh xạ ϕ : G → G là một đẳng cấu Lie nên ta luôn có G ≅ G. Quan hệ đẳng
a  ϕ (a)

cấu có tính phản xạ.
Giả sử G ≅ G ' , khi đó tồn tại đẳng cấu Lie ϕ : G → G ′ . Xét ϕ −1 : G ' → G . Dễ
thấy ϕ là song ánh nên ϕ

−1

là song ánh. ϕ là ánh xạ tuyến tính nên ϕ

−1

là

ánh xạ tuyến tính. Mặt khác, với mọi a, b thuộc G ' , ta có :
ϕ (ϕ −1 [a, b]) = [a, b] và ϕ [ ϕ −1 (a), ϕ

−1

(b)] = [( ϕϕ −1 )(a), ( ϕϕ −1 )(b)]
=

[a, b]

=

ϕ ( ϕ −1 [a, b]).

Do ϕ −1 là song ánh nên ϕ −1 [a, b] = [ ϕ −1 (a), ϕ −1 (b)]. Vậy G ' ≅ G . Quan hệ có
tính chất đối xứng.


19
Giả sử G ≅ G ' , G ' ≅ G '' , khi đó tồn tại các đẳng cấu Lie ϕ : G → G ′ ,

φ : G ' → G '' . Ta cần chứng minh φ  ϕ : G → G '' cũng là đẳng cấu Lie.
Do ϕ , φ là song ánh nên φ  ϕ cũng là song ánh. Mặt khác, với mọi a, b
thuộc G, ta có (φ oϕ ) [ a, b] = φ (ϕ [ a, b ] )
= φ ( [ ϕ (a), ϕ (b) ]
= [ (φ oϕ )(a), (φ oϕ )(b) ] . Hay φ  ϕ là đồng cấu
Lie. Từ đó suy ra φ  ϕ : G → G '' cũng là đẳng cấu Lie. Do đó G ≅ G '' . Quan
hệ có tính chất bắc cầu.
Vậy quan hệ đẳng cấu giữa các đại số Lie là một quan hệ tương đương.
1.3.6 Mệnh đề. (Xem [4] ). Ta ký hiệu L = { ϕ | ϕ là các tự đẳng cấu của đại
số Lie G }. Khi đó L lập thành một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông
thường.
Chứng minh. Ta ký hiệu M = { φ | φ là các tự đẳng cấu của G, G là không
gian véc tơ}. Lúc này M là một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường.
Để chứng minh L là một nhóm, ta sẽ chứng minh L là nhóm con của M. Cụ
thể ta cần chứng minh nếu ϕ , φ ∈ L thì ϕ  φ ∈ L và ϕ −1 ∈ L .
Thật vậy, nếu ϕ , φ ∈ L thì ϕ , φ ∈ M . Do đó φ oϕ ∈ M .
Với ∀a, b ∈ G thì (ϕ oφ ) [ a, b ] = ϕ (φ [ a, b] )

= ϕ [ φ (a), φ (b)]
= [ (ϕ oφ )(a), (ϕ oφ )(b)] . Suy ra ϕ  φ ∈ L .
Nếu ϕ ∈ L thì ϕ −1 ∈ M .

−1
Với ∀a, b ∈ G , ta lại có ϕ (ϕ [ a, b ] ) = [ a, b ] và

ϕ [ ϕ −1 (a), ϕ

−1

(b)] = [ ϕ ( ϕ −1 (a), ϕ ( ϕ −1 (b)]
= [a, b]


20
−1
Do đó ϕ (ϕ [ a, b ] ) = ϕ [ ϕ −1 (a), ϕ −1 (b)].

−1
Lại do ϕ là song ánh nên ϕ [ a, b ] = [ ϕ −1 (a), ϕ −1 (b)].

Từ đó ta có ϕ −1 là đồng cấu Lie. Do đó ϕ −1 là đẳng cấu Lie. Vậy L lập thành
một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường.

CHƯƠNG II
PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ LIE


21
Trong chương này, chúng tôi trình bày các tính chất về phép đạo hàm
trên đại số Lie và phép đạo hàm trên đại số Lie các trường véc tơ bất biến trái
của nhóm Lie . Cũng trong chương chúng tôi trình bày các định lý về ánh xạ
ad trên đại số Lie nửa đơn.

I. Phép đạo hàm trên đại số Lie
2.1.1 Định nghĩa. (Xem [6]). Giả sử G là đại số Lie trên trường K.
D : G → G

1. Ánh xạ

a  D(a)
được gọi là ánh xạ đạo hàm trên G nếu và chỉ nếu D thõa mãn:
i)

D là ánh xạ tuyến tính.

ii)

D [ a, b ] = [ D(a ), b ] + [ a, D (b) ] ; ∀ a, b ∈ G .

2. Với x ∈ G, ánh xạ ad được xác định như sau:
ad x : G → G
y a ad x ( y ) = [ x, y ]

2.1.2 Ví dụ. Ta biết rằng: Không gian véc tơ Euclid ¡

[ x, y ] = x ∧ y

3

cùng với tích Lie

là đại số Lie (ví dụ 2, mục 1.1.4 Chương I). Với mỗi x ∈ ¡ 3 ,

xét ánh xạ:
ad x : ¡

3

→ ¡

y a

3

ad x ( y ) = x ∧ y .

Khi đó ad x là một ánh xạ đạo hàm trên không gian véc tơ Euclid ¡ 3 .
Thật vậy, dễ thấy ad x là một ánh xạ tuyến tính.
Mặt khác, với mọi y, z thuộc ¡ 3 , ta có:


22
ad x [ y , z ] =  x, [ y, z ] 

= x ∧ [ y, z ]
= x ∧ (y ∧ z)
= (z ∧ x) ∧ y + (x ∧ y) ∧ z
= [ z, x ] , y  + [ x, y ] , z 
= [ x, y ] , z  +  y , [ x, z ] 
= [ ad x ( y ), z ] +  y, [ ad x ( z )]  .
Vậy

ad x : ¡

3

→ ¡

3

y a

ad x ( y ) = x ∧ y

là một ánh xạ đạo hàm trên

không gian véc tơ Euclid ¡ 3 .
2.1.3 Mệnh đề. (Xem [4]). Ta ký hiệu D1, D2 là các ánh xạ đạo hàm trên G.
Khi đó ta có:
i)

αD1 + β D2 với mọi α , β thuộc K là một ánh xạ đạo hàm.

ii)

D1  D2 − D2  D1 cũng là một ánh xạ đạo hàm.

Chứng minh. i)

Đặt

f = αD1 + βD2 . Ta cần chứng minh f là ánh xạ đạo

hàm.
Dễ thấy f là ánh xạ tuyến tính.
Mặt khác, với mọi x, y thuộc G, ta có:
f [ x, y ] = (α D1 + β D2 ) [ x, y ]

= α D1 [ x, y ] + β D2 [ x, y ]
= α [ D1 ( x), y ] + α [ x, D1 ( y) ] + β [ D2 ( x), y ] + β [ x, D2 ( y ) ]
= [ α D1 ( x), y ] + [ β D2 ( x ), y ] + [ x, α D1 ( y )] + [ x, β D2 ( y ) ]
= [ (α D1 + β D2 )( x ), y ] + [ x, (α D1 + β D2 )( y ) ]


23
= [ f ( x), y ] + [ x, f ( y ) ] .
Vậy f = α D1 + β D2 là ánh xạ đạo hàm.
ii) Với ∀x, y ∈ G; ∀α , β ∈ K , ta có :
( D1 oD2 − D2 oD1 )(α x + β y ) = D1 ( D2 (α x + β y )) − D2 ( D1 (α x + β y ))
= D1 (αD2 ( x) + β D2 ( y )) − D2 (αD1 ( x) + β D1 ( y ))

= α ( D1  D2 − D2  D1 )( x) + β ( D1  D2 − D2  D1 )( y )
Mặt khác, ( D1 oD2 − D2 oD1 ) [ x, y ] = D1 ( D2 [ x, y ] ) − D2 ( D1 [ x, y ] )
= D1 ( [ D2 ( x), y ] + [ x, D2 ( y ) ] ) − D2 ( [ D1 ( x), y ] + [ x, D1 ( y ) ] )
= [ D1 oD2 ( x), y ] + [ D2 ( x), D1 ( y ) ] + [ D1 ( x), D1 oD2 ( y ) ] + [ x, D1 oD2 ( y )]
− [ D2 oD1 ( x ), y ] − [ D1 ( x ), D2 ( y ) ] − [ D2 ( x), D1 ( y ) ] −  x, D2 oD1 ( y ) 

= [ D1 oD2 ( x), y ] − [ D2 oD1 ( x), y ] + [ x, D1 oD2 ( y ) ] − [ x, D2 oD1 ( y )]
= [ ( D1 oD2 − D2 oD1 )( x), y ] +  x, ( D1 oD2 − D2 oD1 ( y )  .
Vậy D1  D2 − D2  D1 cũng là ánh xạ đạo hàm.
2.1.4 Mệnh đề. (Xem [7]). Ta ký hiệu DerG = { D

D là ánh xạ đạo hàm

trên G }. Trên DerG ta đưa vào ba phép toán sau:

( D1 + D2 )( a) = D1 ( a) + D2 (a) ; ∀a ∈ G

(α D1 )( a) = α D1 ( a) ;

[ D1 ,

∀α ∈ K , ∀a ∈ G

D2 ] = D1 oD2 − D2 oD1 ; ∀D1 , D2 ∈ DerG .

Khi đó DerG là một đại số Lie trên trường K.
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.1.3 rõ ràng ta thấy ngay ba phép toán trên xác
định trong DerG. Để chứng minh DerG là một đại số Lie trên trường K ta cần
chứng minh:
• DerG với hai phép toán đầu là một không gian véc tơ trên trường K.


24
• Chứng minh DerG là một đại số, nghĩa là ta chứng minh phép toán tích
Lie [ D1 , D2 ] = D1 oD2 − D2 oD1 có tính chất song tuyến tính.
• Chứng minh DerG là đại số Lie , nghĩa là ta chứng minh phép toán tích
Lie có tính chất phản xứng và tính Jacobi.
Thật vậy:
• Dễ thấy DerG với hai phép toán đầu là một không gian véc tơ trên
trường K.
• Với mọi D1 , D2 , D1′ thuộc DerG, ta có
 D + D ′ , D  = ( D + D ′ ) oD − D o( D + D ′ )

1
2
1
1
2
2
1
1
 1

′
′
= ( D1  D2 − D2  D1 ) + ( D1  D2 − D2  D1 )

= [ D1 , D2 ] +  D1′ , D2 



và với mọi λ thuộc K, mọi D1 , D2 thuộc DerG thì

[ λ D1 ,

D2 ] = (λ D1 ) oD2 − D2 o(λ D1 ) = λ ( D1 oD2 − D2 oD1 ) = λ [ D1 , D2 ] .

Hoàn toàn tương tự, với mọi β thuộc K, mọi D1 , D2 , D2′ thuộc DerG ta dễ
dàng chứng minh được:
D , D + D ′  = [ D , D ] + D , D ′  .
2
2
1

2
2
 1

 1


[ D1 ,

β D2 ] = β [ D1 , D2 ] .

Từ đó ta thấy ngay phép toán tích Lie có tính chất song tuyến tính
• Với mọi D1 , D2 , D3 thuộc DerG, ta nhận thấy:
+)

[ D1 ,

D1 ] = D1 oD1 − D1 oD1 = 0.

+)

 D1 , [ D2 , D3 ]  +  D2 , [ D3 , D1 ]  +  D3 , [ D1 , D2 ]  =

= [ D1 , D2 oD3 − D3 oD2 ] + [ D2 , D3 oD1 − D1 oD3 ] + [ D3 , D1 oD2 − D2 oD1 ]


25
= D1 o( D2 oD3 − D3 oD2 ) − ( D2 oD3 − D3 oD2 ) oD1 + D2  ( D3  D1 − D1  D3 )
− ( D3  D1 − D1  D3 )  D2 + D3  ( D1  D2 − D2  D1 ) − ( D1  D2 − D2  D1 )  D3

= D1 oD2 oD3 − D1 oD3 oD2 − D2 oD3 oD1 + D3 oD2 oD1 + D2 oD3 oD1 − D2 oD1 oD3
− D3  D1  D2 + D1 oD3 oD2 + D 3 oD1 oD2 − D3 oD2 oD1 − D1 oD2 oD3 + D2 oD1 oD3

= 0.
Vậy DerG với tích Lie [ D1 , D2 ] = D1 oD2 − D2 oD1 là một đại số Lie trên
trường K.
2.1.5 Định lý. (Xem [4]). Giả sử G là một đại số Lie trên trường K. Với mỗi
x thuộc G, ta có:
i) ad x là một ánh xạ đạo hàm. ( Ánh xạ này được gọi là vi phân trong của G
sinh bởi phần tử x).
ii) Ánh xạ

f : G → Der G
x a

là một đồng cấu Lie.

f ( x) = ad x

Chứng minh. i) Với mọi y, z thuộc G, mọi α , β thuộc K, ta có:
ad x (α y + β z ) = [ x, α y + β z ]

= α [ x, y ] + β [ x , z ]
= αad x ( y ) + βad x ( z )
Do đó ad x là một ánh xạ tuyến tính.
Mặt khác, ta lại có:
ad x [ y, z ] = [ x, [ y, z ]]

= [[ x, y ], z ] + [ y, [ x, z ]]
= [ ad x ( y ), z ] + [ y , ad x ( z ) ] .

Vì vậy

ad x là một ánh xạ đạo hàm.

ii) Ánh xạ

f : G → Der G

là một đồng cấu Lie.