Về mở rộng tách được và thuần túy không tách được

1

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học Vinh
----------------------------------

TRNH NGC SN

V M RNG TCH C V
THUN TY KHễNG TCH C
Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh 2010
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học Vinh
------------------------------------------


2

TRNH NGC SN

V M RNG TCH C V
THUN TY KHễNG TCH C

Chuyên ngành đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

Luận văn thạc sĩ toán học
Ngời hớng dẫn khoa học
PGS.TS. Nguyễn Thành Quang

Vinh 2010

M U
Cho n u th k 20, i s hc ch yu nghiờn cu vic gii cỏc
phng trỡnh i s. Mt minh chng rừ nht ú l nh lý c bn ca i
s hc khng nh rng, mi a thc h s phc vi bc dng u cú ớt
nht mt nghim phc. V sau, i s hc tr thnh khoa hc nghiờn cu
cu trỳc i s tru tng, m trong ú cu trỳc trng l mt cu trỳc i
s c bn. Trong m rng trng, ngi ta ó chng minh c rng, mi
trng K u cú mt m rng úng i s duy nht v h qu quan trng


3

là Định lý cơ bản của Đại số học: Trường số phức C là trường đóng đại
số.
Một trong những nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng sâu sắc
trong việc xây dựng các trường hoàn chỉnh của lý thuyết mở rộng trường
là mở rộng tách được và thuần tuý không tách được.
Với những lý do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Mở rộng tách
được và thuần tuý không tách được” nhằm tìm hiểu các kết quả, tính
chất cơ bản và ứng dụng của các loại mở rộng trường này.
Các khái niệm cơ sở về mở rộng tách được và thuần tuý không tách
được có thể tóm tắt như sau:
1. Giả sử E là mở rộng hữu hạn của trường K. Ta nói E là mở rộng
tách được trên K nếu và chỉ nếu mọi phần tử của E đều tách được trên K.
Phần tử a thuộc E được gọi là tách được trên K nếu đa thức cực tiểu của a
trên K là đa thức tách được trên K. Đa thức f(x) trên K được gọi là đa thức
tách được trên K nếu f(x) không có nghiệm bội trong K.

2. Giả sử K là trường có đặc số p > 0 và E là mở rộng hữu hạn của
trường K. Ta nói E là mở rộng thuần tuý không tách được trên K nếu và
chỉ nếu mọi phần tử của E đều thuần tuý không tách được trên K.
Phần tử a thuộc E được gọi là thuần tuý không tách được trên K nếu
n

tồn tại số tự nhiên n sao cho a p thuộc K .
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận
văn này gồm hai chương.
Nội dung chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về mở rộng
trường, mở rộng đại số, trường phân rã của đa thức, trường đóng đại số,
mở rộng đóng đại số, bao đóng đại số của trường, mở rộng chuẩn tắc.


4

Nội dung chương 2 giới thiệu về khái niệm, tính chất, kết quả và
ứng dụng của mở rộng tách được và thuần tuý không tách được. Các nội
dung đáng chú ý là:
 Các mở rộng tách được lập thành lớp được đánh dấu các mở
rộng.
 Giả sử E là mở rộng đại số của trường k . Các điều kiện sau đây
là tương đương.
(i)

[ E : k] S = 1

(ii) Mọi phần tử α ∈ E thuần túy không tách được trên k .
(iii) Phương trình bất khả quy đối với mọi phần tử α ∈ E trên k có
n

dạng X p − a = 0 với n ≥ 0 và a ∈ k nào đó.

(iv) Tồn tại một tập các phần tử sinh {α i } i∈I của trường E trên k ,
sao cho mỗi phần tử α i thuần túy không tách được trên k .
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn
Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo
hướng dẫn.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS. Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS. Lê Quốc
Hán, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo khác trong chuyên
ngành Đại số - Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học – Trường Đại học
Vinh đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả mong muốn nhận được sự chỉ bảo của qúy thầy cô giáo và các
bạn học viên.
Vinh, tháng 11 năm 2010


5

Tác giả

CHƯƠNG 1
MỞ RỘNG ĐẠI SỐ
1.1 TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử F là một trường. Nếu F là trường con của
trường E , thì ta nói rằng E là mở rộng của trường F . Mở rộng trường E
của trường F được kí hiệu bởi E : F hay E / F .

6

Ta có thể coi E như một không gian vevtơ trên F , và ta nói rằng E
là mở rộng bậc hữu hạn hay mở rộng bậc vô hạn của F tùy thuộc vào số
chiều của không gian vectơ đó là hữu hạn hay vô hạn.
Ta kí hiệu [ E : F ] là số chiều của không gian vectơ E và cũng được
gọi là bậc của E trên F . Bậc mở rộng [ E : F ] có thể vô hạn.
1.1.2. Định nghĩa. Giả sử E là trường mở rộng của trường F .
a) Phần tử α ∈ E được gọi là phần tử đại số trên F nếu nó là
nghiệm của một đa thức f(x) khác 0 trong F [ x ] .
b) Mở rộng E trên F được gọi là mở rộng đại số trên F nếu
mọi phần tử của E đều đại số trên F .
c) Nếu α là phần tử đại số trên F thì tồn tại đa thức f(x) khác 0
trong F [ x ] nhận α làm nghiệm. Trong những đa thức đó, ta ký hiệu p(x) là
đa thức đơn hệ có bậc nhỏ nhất. Khi đó, p(x) bất khả quy trên F , hơn nữa
p(x) được xác định duy nhất bởi phần tử α và sẽ được gọi là đa thức cực

tiểu của α trên F . Ta còn kí hiệu p ( x ) = irr (α , F , x ) .
1.1.3. Định lý. Mọi mở rộng hữu hạn E của trường F đều là mở rộng đại số
trên F .
2
3
n
Chứng minh. Giả sử α ∈ E , α ≠ 0 . Vì E hữu hạn nên hệ { 1, α , α , α , …, α }

không thể độc lập tuyến tính trên F đối với mọi số nguyên dương n. Hệ
thức tuyến tính giữa các lũy thừa đó chứng tỏ α là phần tử đại số trên F . 
1.1.4. Mệnh đề. Giả sử k là một trường và F ⊂ E là các mở rộng của k .
Thế thì
[ E : k ] = [ E : F ] .[ F : k ] .

Nếu { xi } i∈I là cơ sở của trường F trên k và { y j }
trên F , thì

{ xi y j } (i, j )∈I ×J là cơ sở của trường E

j∈J

là cơ sở của trường E

trên k.


7

Chứng minh. Giả sử z ∈ E . Theo giả thiết, tồn tại các phần tử α j ∈ F , hầu
α j yj .
hết bằng không, sao cho z = ∑
j∈J

Với mỗi cặp (i; j ) tồn tại các phần tử b ji ∈ k , bằng không hầu
b ji xi và do đó z = ∑ ∑ b ji xi y j . Điều đó có nghĩa là
hết, sao cho α j = ∑
j i
i∈I

{ xi y j } (i , j ) là hệ sinh của E

trên k.

Ta cần chứng tỏ rằng hệ đó độc lập tuyến tính. Giả sử {cij} là họ

các phần tử thuộc k, hầu hết bằng không, sao cho ∑j ∑i c ji xi y j = 0 . Lúc đó
với mỗi j thì ∑ cij xi = 0 ( vì các phần tử yj độc lập tuyến tính trên F ). Cuối
cùng cij = 0 với mọi i, vì { xi } là cơ sở của trường F trên k.



1.1.5. Hệ quả. Mở rộng E ⊃ F ⊃ k là hữu hạn khi và chi khi E hữu hạn
trên F và F hữu hạn trên k.
Giả sử k là một trường, E là mở rộng của k và α ∈ E . Ta kí hiệu
k( α ) là trường con bé nhất trong E chứa k và α .
1.1.6. Mệnh đề. Giả sử α là phần tử đại số trên k. Thế thì k (α ) = k [α ] và
k(α) hữu hạn trên k. Bậc [ k (α ) : k ] bằng bậc của đa thức cực tiểu của α
trên k.
Chứng minh. Giả sử p ( x ) = irr (α , F , x ) là đa thức cực tiểu của α . Giả sử
f ( x ) ∈ k[x] sao cho f (α ) ≠ 0 .

Thế thì f(x) không chia hết cho p(x), do đó tồn tại các đa thức
g ( x ) , h ( x ) ∈ k [ x ] sao cho
g ( x ) p ( x) + h( x) f ( x ) = 1

Từ đó ta được h(a ) f ( a ) = 1 , nghĩa là f ( a ) khả nghịch trong k[α]. Do đó
k[α] là một trường và vì vậy phải bằng k(α).


8

Giả sử d = degp(x). Các lũy thừa: 1,α ,α 2 ,…α d −1 độc lập tuyến
2
d −1
tính trên k. Thật vậy, giả sử a0 + a1α + a2α + …+ ad −1α = 0 , trong đó ai

thuộc k ngoài ra không phải mọi ai đều bằng không.
2
d −1
Đặt g ( x) = a0 + a1 x + a2 x + …+ ad −1 x .

Thế thì g ≠ 0 và g(α) = 0, thành thử g(x) chia hết p(x) mâu thuẫn.
Cuối cùng, giả sử f (α ) ∈ k [ α ] , trong đó f ( x ) ∈ k[x]. Tồn tại
các đa thức q( x), r ( x) ∈ k[ x] sao cho degr < d và f ( x) = q ( x) p( x) + r ( x) .
Thế thì f ( α ) = r ( α ) và ta thấy 1, α , α 2 , … α d −1 sinh ra k[α]
như một không gian vectơ trên k.



1.1.7. Định nghĩa. Giả sử E , F là các mở rộng của trường k. Nếu E và F
được chứa trong một trường L nào đó, thì ta kí hiệu EF là trường con bé
nhất của L chứa E và F , và gọi nó là hợp tử của E và F trong L.
1.1.8. Mệnh đề. Mọi mở rộng hữu hạn E của trường k là hữu hạn sinh.
Chứng minh. Giả sử { α1 , α 2 ,…, α n } là cơ sở của trường E coi như không
gian vectơ trên k. Lúc đó hiển nhiên E = k ( α1 , α 2 ,…, α n ) .
Nếu E = k ( α1 , α 2 ,…, α n ) là một trường hữu hạn sinh và F là
một mở rộng của trường k sao cho cả E và F đều được chứa trong
trường L, thì EF = F ( α1 , α 2 ,…, α n ) và trường EF là hữu hạn sinh trên
F.
Giả sử α là phần tử đại số trên trường k và F là mở rộng của k.
Giả sử cả hai trường k(α) và F đều được chứa trong trường L nào đó. Thế
thì α là phần tử đại số trên F . Giả sử đã cho tháp các trường
k ⊂ k (α 1 ) ⊂ k (α 1 , α 2 ) ⊂ ... ⊂ k (α 1 , α 2 ,..., α n ) ,

9

trong đó mỗi trường sinh bởi một phần tử trên trường đứng trước nó. Giả
sử mỗi phần tử ai , là đại số trên k, i = 1,…,n, ta được ai +1 là phần tử đại số
trên k (a1 ,..., ai ) . Thành thử mỗi tầng của tháp là mở rộng đại số.



1.1.9. Mệnh đề. Giả sử E = k (a1 ,..., an ) là mở rộng hữu hạn sinh của
trường k, trong đó ai là phần tử đại số trên trường k với mỗi i = 1, 2,…, n.
Thế thì E là mở rộng đại số hữu hạn của trường k.
1.1.10. Định nghĩa. Giả sử L là một lớp nào đó các mở rộng F ⊂ E . Ta sẽ
gọi lớp L là được đánh dấu, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Giả sử k ⊂ F ⊂ E là tháp các trường. Mở rộng k ⊂ E thuộc L
khi và chỉ khi k ⊂ F và F ⊂ E thuộc L.
ii) Nếu k ⊂ E thuộc L , còn F là mở rộng tùy ý của trường k và
nếu cả E và F được chứa trong trường L nào đó, thì F ⊂ EF thuộc L.
iii) Nếu k ⊂ F và k ⊂ E thuộc L, trong đó E , F là các trường con
của một trường nào đó, thì k ⊂ EF thuộc L.
1.1.11. Định nghĩa.
a) Một trường K được gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức
0 ≠ f ( x ) ∈ K [ x ] , với degf ≥ 1 đều có ít nhất một nghiệm trong K .

b) Mở rộng trường E trên K được gọi là mở rộng đóng đại số
trên K nếu E là trường đóng đại số.
1.1.12. Mệnh đề. Các phát biểu sau đây là tương đương:
i) K là trường đóng đại số.
ii) Mọi đa thức 0 ≠ f ∈ K [ x ] ,với

degf ≥ 1

đều có ước bậc nhất x – u

trong K [ x ] .
iii) Mọi đa thức 0 ≠ f ∈ K [ x ] , với degf ≥ 1 đều phân tích được
thành tích của các nhân tử tuyến tính f ( x) = c( x − u1 )( x − u 2 )...( x − u n ) , trong
đó c ∈ K *, và ui ∈ K , i= 1…n.
iv) Các đa thức bất khả quy của K [ x ] chỉ gồm các đa thức bậc
nhất.


10

v) Không tồn tại một mở rộng đại số nào của K khác K (nói
cách khác không có mở rộng đại số thực sự nào cả).
vi) Mỗi đa thức thuộc vành

K [ x]

bỏ đi một giá trị, sẽ là hàm

hằng.
1.1.13. Định lý. Tập A tất cả các số đại số tạo thành một trường con của
trường các số phức, và là một mở rộng của trường các số hữu tỉ Q .
Chứng minh. Đặt A = {u ∈ £ u đại số trên Q }.
Ta có Q ⊂ A , vì mọi u ∈ Q đều là nghiệm của đa thức
x − u ∈ Q[x ] . Với u , v ∈ A , các mở rộng đơn Q(u ), Q(v) của trường Q đều là

các mở rộng hữu hạn trên Q , cho nên mở rộng lặp Q(u, u ) = Q(u )(v)
1

cũng có bậc hữu hạn trên Q . Do đó các phần tử u − v, uv và (với v ≠ 0
v

) của trường Q(u, v)(u, v) đều đại số trên Q nghĩa là đều thuộc A.
Vậy A là trường con của trường số phức £ và A chứa Q .



1.1.14. Định lý. Trường A các số đại số là một trường đóng đại số.
Chứng minh. Xét đa thức bất kỳ khác không
f ( x ) = u0 + u1 x + ... + un x n ∈ A[ x] ,

bậc n ≥ 1, có các hệ số ui là những số đại số. Ta xét mở rộng lặp
F = Q(u0 , u1 ,..., un )
Khi đó F là mở rộng hữu hạn của trường Q .
Vì các hệ số của đa thức f (x) thuộc F , cho nên mỗi nghiệm tùy
ý u của f (x) đều đại số trên F . Do đó mở rộng F (u) của F cũng là mở
rộng bậc hữu hạn của Q . Vì vậy, phần tử u ∈ F (u ) là phần tử đại số trên Q
, hay u là một số đại số, tức u ∈ A. Vậy, trường A là một trường đóng đại
số.
1.1.15. Định lý. Với mọi số nguyên tố p, tồn tại trường đóng đại số đặc số
p.


11

Chứng minh. Với trường Zp các số nguyên modp, số các đa thức khác
không, bậc n của vành Zp[x] là (p - 1)pn. Vì thế, ta có thể phân Zp[x] thành
lớp: lớp các đa thức bậc nhất f1 ( x) ∈ Zp[x], lớp các đa thức bậc hai f 2 ( x) ∈
Zp[x],…Từ dãy vô hạn các lớp đa thức này của vành đa thức Zp[x], ta định

nghĩa một dãy các trường ( F n), (n∈ N), bằng quy nạp như sau:
•

F0 = Zp

•

Với n ≥ 1, F n là trường nghiệm của đa thức f n ∈ Fn−1[ x] .

Như thế ta thu được một dây chuyền tăng các trường
F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ …

Ta đặt

F =

∞



n =0

Fn .

Hợp F được trang bị phép cộng và phép nhân: với bất kỳ a, b ∈
F tồn tại một trường Fn của dây chuyền, sao cho a, b ∈ Fn , nên ta có thể

định nghĩa tổng a + b và tích ab như tổng và tích của a, b trong Fn . Rõ
ràng F với phép nhân và phép cộng như vậy là một trường. Hơn nữa, vì
trường F chứa trường F0 = Zp như là một trường con, cho nên F cũng có

đặc số p.
Để chứng minh F là trường đóng đại số, ta giả sử
g ( x ) = a0 + a1x + … + ar x r

là một đa thức bất kỳ có bậc r ≥ 1 của vành đa thức F [x ] , khi đó tất cả các
hệ số ai của đa thức g(x) sẽ thuộc vào trường nghiệm Fn nào đó của một
đa thức có hệ tử thuộc trường Zp. Do đó các hệ tử ai của g(x) đều là phần
tử đại số trên Zp. Vì vậy, mở rộng lặp Zp(a0, a1,…,ar) là một mở rộng hữu
hạn hay là mở rộng đại số của Zp. Trong trường nghiệm N của đa thức
g(x) trên trường Zp(a0, a1,…,ar), đa thức g(x) phân rã được thành các nhân
tử tuyến tính:
g ( x) = c( x − u1 )( x − u2 )...( x − ur ) .


12

Vì mỗi phần tử ui đều đại số trên Zp, nên ui có đa thức bất khả
quy cực tiểu qi ( x) ∈ ZP[x]. Đa thức q = q1q2 ...qr ∈ Zp[x] nhận các ui (1 ≤ i ≤
r) làm nghiệm. Do đó q là một bộ khác không của g.
Đa thức q∈ Zp[x] phân rã được thành tích của các nhân tử tuyến tính trong
một trường nghiệm Fm của nó trên trường Fm −1 nào đó, trong dây chuyền
các mở rộng trường của F0 = Zp đã nói ở trên. Do đó ước g của q phân rã
được trong vành
Fm [x ] ⊂ F [ x]

.

Vì vậy, mọi đa thức có bậc dương trên trường F đều phân rã
được thành nhân tử tuyến tính trên F . Nói cách khác, F là một trường
đóng đại số có đặc số p, và là một mở rộng đại số của trường Zp.



Nhận xét.
i) Trường Zp (p – nguyên tố) có mở rộng đóng đại số là
∞
F = U Fn .
n=0

ii) Trường ¤ có mở rộng đóng đại số là trường A các số đại số.
iii) Trường ¡ có mở rộng đóng đại số là trường C các số phức.

1.2. BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ
1.2.1. Khái niệm phép nhúng chìm.


13

Giả sử E là mở rộng của trường F và σ : F → L là một đơn cấu từ
trường F vào trường L. Ta nói σ là phép nhúng chìm từ F vào L.
Lúc đó σ cảm sinh một đẳng cấu của trường F với ảnh σ F của nó, mà đôi
khi ta cũng kí hiệu là F σ . Phép nhúng chìm τ của trường E vào L được gọi
là phép nhúng chìm trên σ , nếu thu hẹp của τ trên F thì bằng σ . Ta cũng
nói rằng τ là mở rộng cuả σ . Nếu σ là phép nhúng chìm đồng nhất thì ta
nói τ là phép nhúng chìm của trường E trên F.
1.2.2. Nhận xét. Cho E/F là một mở rộng trường, f ( x) ∈ F [ x ] và α là
nghiệm của f trong E. Nếu τ là mở rộng của σ thì τ α là nghiệm của f σ .
(Kí hiệu f σ thay cho σ ( f ) )
n
Thật vậy, giả sử f ( x) = a0 + a1 x + …+ an x , trong đó ai ∈ F , vì α là

nghiệm của f trong E nên
0 = f (α ) = a0 + a1α + ... + anα n .

Ta có:
0 = τ ( f (α )) = τ (a0 + a 1α +…+ a nα n )
= τ (a0 ) + L + τ (anα n )
= σ (a0 ) + σ ( a1 )τ (α ) + ... + σ ( an )τ (α n )
= σ (a0 ) + σ ( a1 )(τα ) + ... + σ (an )(τα ) n
Điều này chứng tỏ τ (α ) là nghiệm của f σ .
1.2.3. Bổ đề. Giả sử E là một mở rộng đại số của trường k và giả sử
σ : E → E là phép nhúng chìm của E vào chính nó trên k. Thế thì σ là

phép tự đẳng cấu.
Chứng minh. Vì đồng cấu σ là một đơn ánh, nên ta chỉ cần chứng tỏ rằng
nó cũng là một toàn ánh.
Giả sử α là một phần tử tùy ý thuộc E, p(x) là đa thức bất khả
quy của nó trên k và E’ là trường con của trường k sinh bởi tất cả các
nghiệm của đa thức p(x) nằm trong E. Thế thì E’ là hữu hạn sinh và do đó


14

là mở rộng hữu hạn trên k. Ngoài ra, σ phải chuyển mọi nghiệm của đa
thức p(x) thành nghiệm của chính đa thức đó, cho nên ánh xạ E vào chính
nó. Ta có thể coi σ như k - đồng cấu của các không gian vectơ, vì σ cảm
sinh ánh xạ đồng nhất trên k. Vì σ là đơn ánh, nên ảnh σ (E’) là không
gian con của E’, có cùng số chiều như [E’: k]. Thành thử σ ( E ') = E ' . Vì
α ∈ E’, nên từ đó suy ra α nằm trong ảnh của ánh xạ σ . 

1.2.4. Bổ đề . Giả sử E1, E2 là các mở rộng của trường k, được chứa trong

một trường E lớn hơn nào đó, và giả sử σ là phép nhúng chìm E vào
trường L. Thế thì
σ ( E1E2 ) = σ ( E1 )σ ( E2 ) .

Chứng minh. Áp dụng σ vào các thương của các phần tử dạng đã nêu,
chẳng hạn
σ σ
σ σ
a1b1 + ... + anbn
a1 b1 + ... + an bn
σ( , ,
, ) = ,σ ,σ
,σ ,σ
a1 b1 + ... + an bn
a1b1 + ... + an, bn

ta thấy ảnh là một phần tử thuộc σ ( E1)σ ( E2 ) . Từ đó rõ ràng rằng ảnh
σ ( E1E2 ) là σ ( E1 )σ ( E2 ) .

Giả sử k là một trường, f(x) là một đa thức có degf ≥ 1 thuộc k[x].
Ta xét bài toán tìm một mở rộng E của trường k, trong đó f(x) có nghiệm.
Nếu p(x) là đa thức bất khả quy trong k[x] chia hết f(x), thì mọi nghiệm
của p(x) cũng là nghiệm của f(x), cho nên ta có thể chỉ xét các đa thức bất
khả quy.
Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy. Đồng cấu chính tắc
σ : k [ x ] → k [ x ] / p ( x)

cảm sinh trên k một đồng cấu mà hạt nhân là 0, vì mọi phần tử khác không
thuộc k, vốn là khả nghịch trong k, phải sinh ra idêan đơn vị, còn 1 không
nằm trong hạt nhân.

Giả sử ξ là ảnh của x qua đồng cấu σ , tức là ξ = σ (x) là lớp đồng
dư của x modp(x). Lúc đó


15

σ

σ

σ

σ

p (ξ ) = p ( x ) = ( p ( x )) = 0 .

Thành thử, phần tử ξ là nghiệm của đa thức pσ và vì vậy nên nó
là phần tử đại số trên σ k . Như vậy, ta tìm được một mở rộng của trường

σ k , cụ thể là σ k (ξ ) , trong đó pσ có nghiệm. 
1.2.5. Mệnh đề. Giả sử k là một trường và f là một đa thức thuộc k[x],
bậc ≥ 1 . Tồn tại mở rộng E của trường k, trong đó f có nghiệm.
Chứng minh. Có thể giả thiết rằng f = p bất khả quy. Ta chứng tỏ rằng tồn
tại trường F và phép nhúng chìm
σ :k → F
σ
Sao cho p có nghiệm ξ trong F. Giả sử S là tập có cùng lực lượng với

tập F − σ k (phần bù của σ k trong F) và không giao với k. Đặt E = k ∪ S .
Ta có thể mở rộng σ : k → F tới song ánh từ E lên F. Bây giờ ta xác định

trên E một cấu trúc trường. Nếu x, y ∈ E thì ta định nghĩa:
x. y = σ −1 (σ ( x )σ ( y ))
x + y = σ −1 (σ ( x ) + σ ( y )).

Khi thu hẹp trên k, các phép toán đó trùng với các phép toán cộng
và nhân đã cho của trường k và rõ ràng k là một trường con của trường E.
Ta đặt α = σ −1 (ξ ) . Thế thì hiển nhiên là p( α ) = 0. 
1.2.6. Hệ quả. Giả sử k là một trường và f1, f2,…,fn là các đa thức thuộc
k[x] bậc ≥ 1 . Thế thì tồn tại mở rộng E của trường k, trong đó mỗi fi có
nghiệm,với i = 1,…,n.
Chứng minh. Giả sử E1 là mở rộng, trong đó f1 có nghiệm. Ta có thể coi f2
như đa thức trên E1. Giả sử E2 là mở rộng của E1, trong đó f2 có nghiệm.
Tiếp tục bằng quy nạp, ta có hệ quả. 
1.2.7. Định lý. Với mọi trường k tồn tại trường đóng đại số L nhận k làm
trường con.


16

Chứng minh. Trước hết ta xây dựng mở rộng E1 của trường k, trong đó
mọi đa thức thuộc k[x] bậc ≥ 1 có nghiệm. Có thể làm như sau (theo
Actin). Mỗi đa thức f thuộc k[x] bậc ≥ 1 ta đặt tương ứng với một ký hiệu
xf. Giả sử S là tập hợp tất cả các ký hiệu xf này (thành thử có một tương
ứng một – một giữa S và tập hợp các đa thức thuộc k[x] bậc ≥ 1 ). Lập vành
đa thức k[S]. Ta khẳng định rằng idêan sinh bởi tất cả các đa thức f (xf)
trong k[S] không phải là idêan đơn vị. Thật vậy, nếu không thì tồn tại một
tổ hợp hữu hạn các phần tử thuộc idêan đó bằng 1:
g1 f1 ( x f ) + ... + g n f n ( x f ) = 1
1

n

trong đó gi thuộc k[S]. Để cho đơn giản ta viết xi thay cho x fi . Các đa thức
gi thực tế chỉ gồm một số hữu hạn biến, chẳng hạn x1,…,xN (trong đó N ≥ n ).
n

Lúc đó hệ thức trên trở thành: ∑ gi ( x1 ,..., xN ) fi ( xi ) = 1 .
i=1
Giả sử F là một mở rộng hữu hạn, trong đó mỗi đa thức

f1 ,..., f n

có nghiệm, chẳng hạn α i là nghiệm của f i trong F với i = 1,…,n. Đặt

α i = 0 với i > n. Nếu thay thế α i vào chỗ xi trong hệ thức trên, ta được 0
= 1 là điều mâu thuẫn.
Giả sử m là idêan tối đại chứa idêan sinh bởi tất cả các đa thức f
(xi) trong k[S]. Thế thì k[S]/m là một trường, và ta có ánh xạ chính tắc
σ : k[S] → k[S]/m.

Với mọi đa thức f ∈ k [ x ] bậc ≥ 1 , đa thức

fσ

có nghiệm trong

trường k[S]/m là mở rộng của trường σ k. Dùng lập luận của lý thuyết tập
hợp như trong mệnh đề 1.2.5, ta kết luận rằng tồn tại mở rộng E1 của
trường k, trong đó mỗi đa thức f ∈ k [ x ] bậc ≥ 1 có nghiệm.
Bằng quy nạp ta có thể xây dựng một chuỗi các trường

17

E1 ⊂ E2 ⊂ … ⊂ En ⊂ …

sao cho mỗi đa thức thuộc En[x] bậc ≥ 1 có nghiệm trong En+1. Giả sử E là
hợp của tất cả các trường En, n = 1,2,… Thế thì dĩ nhiên E là một trường,
vì với x, y ∈ E tùy ý ta tìm được chỉ số n sao cho x, y ∈ En và ta có thể lấy
tích xy và tổng x + y trong En. Rõ ràng các phép toán đó không phụ thuộc
vào việc chọn chỉ số n để x, y ∈ En và chúng xác định cấu trúc trường trên
E. Mọi đa thức thuộc E[x] có hệ số trong một trường con En nào đó, thành

thử, có nghiệm trong En+1 và như vậy là có nghiệm trong E.
1.2.8. Hệ quả. Với mọi trường k tồn tại mở rộng k là mở rộng đại số
trên k và là trường đóng đại số.
Chứng minh. Giả sử E là mở rộng đóng đại số của trường k , và giả sử k
là hợp của tất cả các mở rộng con của E là mở rộng đại số trên k . Thế thì
k là mở rộng đại số trên k . Giả sử α ∈ E là phần tử đại số trên k . Thế thì

α là phần tử đại số trên k . Nếu f (x) là đa thức bậc ≥ 1 thuộc k [ x ] thì
f (x ) có nghiệm α trong E, và là phần tử đại số trên k . Do đó α ∈ k và k

là đóng đại số. 
1.2.9. Mệnh đề. Số các mở rộng có thể của σ trên k (α ) không vượt quá
số nghiệm của đa thức p và bằng số các nghiệm khác nhau của p, với p là
đa thức cực tiểu của α .
1.2.10. Định lý. Giả sử k là một trường, E là mở rộng đại số của nó và
σ : k → L là phép nhúng chìm k vào trường đóng đại số L. Thế thì tồn tại

mở rộng của σ tới phép nhúng chìm E vào L. Nếu E là đóng đại số và L
là mở rộng đại số trên σ k, thì mọi mở rộng tùy ý như vậy của σ sẽ là
phép đẳng cấu từ E lên L.
Chứng minh. Giả sử S là tập tất cả các cặp ( F ,τ ), trong đó F là trường con
của E chứa k và τ là mở rộng của σ tới phép nhúng chìm F vào L. Ta viết


18

( F ,τ ) ≤ ( F ' ,τ ' ) đối với các cặp ( F ,τ ) và ( F ' ,τ ' ) , nếu F ⊂ F ' và τ ' F = τ .
Chú ý rằng tập S không rỗng (nó chứa (k , σ ) ) và được sắp thứ tự quy nạp:
nếu{( Fi ,τ i ) } là một tập con được sắp thứ tự tuyến tính, thì ta đặt F = ∪ Fi và
xác định τ trên F bằng cách đặt nó bằng τ i trên mỗi Fi . Thế thì ( F ,τ ) là
cận trên của tập con sắp thứ tự tuyến tính đó. Áp dụng bổ đề Zoóc, ta thấy
( K , λ ) là phần tử tối đại trong S. Lúc đó λ là các mở rộng của σ , và ta

khẳng định rằng K = E. Trong trường hợp trái lại, tồn tại α ∈ E , α ∉ K ,
theo trên phép nhúng λ có một mở rộng trên K (α ) trái với tính tối đại của
( K , λ ) . Như vậy tồn tại một mở rộng của σ trên E. Ta lại kí hiệu mở rộng

đó là σ .
Nếu E là đóng đại số và L là mở rộng đại số trên σ k , thì σ E là
đóng đại số và L là mở rộng đại số trên σ ( E ) , do đó L = σ E . 
1.2.11. Hệ quả. Giả sử k là một trường và E, E’ là các mở rộng đại số
trên k, giả sử E, E’ là đóng đại số. Thế thì tồn tại phép đẳng cấu τ : E → E '
từ trường E vào E’ cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên k.

1.3. TRƯỜNG PHÂN RÃ VÀ CÁC MỞ RỘNG CHUẨN TẮC
1.3.1. Định nghĩa. Giả sử k là một trường, f là một đa thức thuộc k[x].
Trường phân rã (trường phân tích) K của đa thức f là một mở rộng K của

trường k, trong đó f phân tích được thành các nhân tử tuyến tính, tức là


19

f(x) = c(x - α 1)(x - α 2)…(x - α n), trong đó α i ∈ K , i = 1,…,n
và K = k( α 1,…, α n) sinh bởi tất cả các nghiệm của đa thức f.
Ví dụ.1) Xây dựng trường phân rã của đa thức f(x) = x2 + x+ 1 trên Z2.
Rõ ràng f bất khả quy trên Z2. Gọi Z2( α ) là mở rộng đơn sao cho α là
nghiệm của f. Khi đó Z2( α ) có 4 phần tử là 0, 1, α và α + 1. Ta có α 2 +
α + 1 = 0. Rõ rang (1 + α )2 +(1 + α ) + 1 = 0, nên f có 2 nghiệm trong

Z2( α ), do đó f phân rã trong Z2( α ). Suy ra Z2( α ) là trường phân rã của f
trên Z2.
2) Nhiều đa thức khác nhau có thể có cùng một trường phân rã.
Cho f(x) = (x2 - 3)(x3+ 1) thuộc Q[x]. Tập nghiệm f trong C là

{− 1,±

}

3 , ε , ε 2 , với ε =

1 + 3i
. Do đó một trường phân rã của f trên Q là Q(
2

3 , i ). Ta thấy Q( 3 , i ) cũng là trường phân rã của g(x) = (x 2- 2x -2)(x2+

1) trên Q.

1.3.2. Định lý. Giả sử K là một trường phân rã của đa thức f ( X ) ∈ k[X].
Nếu E là một trường phân rã khác của f , thì tồn tại đẳng cấu σ : E → K
cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên k. Nếu k ⊂ K ⊂ k , trong đó k là bao đóng
đại số của k, thì mỗi phép nhúng chìm tùy ý từ trường E vào k , cảm sinh
ánh xạ đồng nhất trên k, phải là phép đẳng cấu từ E lên K.
Chứng minh. Giả sử K là bao đóng đại số của trường K. Thế thì K là
mở rộng của trường k, và do đó là bao đóng đại số của nó. Theo định lý
1.2.10 tồn tại phép nhúng chìm

σ :E →K
cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên k. Ta có sự phân tích thành nhân tử
f ( X ) = c( X − β 1 )( X − β 2 )...( X − β n ) ,

trong đó β i ∈ E , i = 1,..., n . Hệ tử cao nhất c nằm trong k. ta được


20

f ( X ) = f σ ( X ) = c( X − σβ1 )( X − σβ 2 )...( X − σβ n )
Nhưng trong K [ X ] sự phân tích thành nhân tử là duy nhất. Vì trong K[X]
đa thức f có sự phân tích
f ( X ) = c( X − α 1 )( X − α 2 )...( X − α n )

nên bộ (σβ1 , σβ 2 ,..., σβ n ) chỉ khác bộ (α 1 , α 2 ,..., α n ) một phép hoán vị, từ đó
ta suy ra σβ i ∈ K với i = 1,..., n , và do đó σE ⊂ K . Nhưng
K = k (α1 ,α n ,...,α n ) = k (σβ1 ,σβ 2 ,...,σβ n ) , nghĩa là K = σ E , vì
E = k ( β1 , β 2 ,..., β n ) .
1.3.3. Định nghĩa. Giả sử I là một tập các chỉ số nào đó và

{ fi } i∈I là một

họ các đa thức thuộc k[X] bậc ≥ 1 . Trường phân rã đối với họ đó là một
mở rộng K của trường k sao cho mọi fi phân tích được trong K[X] thành
các nhân tử tuyến tính.
Nhận xét: 1) Nếu K là trường phân rã đối với họ

{ fi }

i∈I

thì K sinh bởi tất

cả các nghiệm của mọi đa thức fi , i ∈ I .
2) Nếu I hữu hạn và f1, …, fn là các đa thức thì trường phân rã của
chúng chính là trường phân rã của một đa thức f(X) = f1(X)…fn(X) là tích của
các đa thức đó.
1.3.4. Hệ quả. Giả sử K là trường phân rã đối với họ

{ fi } i∈I

và E là một

trường phân rã khác nào đó. Mọi phép nhúng chìm E vào K, cảm sinh ánh
xạ đồng nhất trên k sẽ xác định phép đẳng cấu từ E lên K.
Chứng minh. Ta giữ nguyên các kí hiệu ở trên. Chú ý rằng E chứa duy
nhất một trường phân rã Ei của f i và K chứa duy nhất một trường phân rã
Ki của đa thức f i . Mọi phép nhúng chìm σ trường E lên K phải ánh xạ Ei


21

lên Ki. Vì K là hợp tử của các trường Ki nên ánh xạ σ phải chuyển E lên
K, và do đó nó cảm sinh một phép đẳng cấu từ E lên K.



1.3.5. Định lý. Giả sử K là mở rộng đại số của trường k, được chứa trong
bao đóng đại số k của k. Thế thì các điều kiện sau là tương đương:
CT1: Mọi phép nhúng chìm σ của trường K vào k trên k là tự đẳng cấu
của trường K.
CT2: K là một trường phân rã của một họ nào đó các đa thức thuộc k[X].
CT3: Mọi đa thức bất khả quy thuộc k[X], có nghiệm trong K, sẽ phân
tích được trong K thành các nhân tử tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử CT1 thỏa mãn. Giả sử α là phần tử thuộc K, pα ( X )
là đa thức bất khả quy của nó trên K và β là nghiệm của đa thức pα trong
k . Thế thì tồn tại phép đẳng cấu của trường k (α ) lên trường k ( β ) trên k,

chuyển α thành β . Ta mở rộng đẳng cấu đó tới phép nhúng chìm K lên k .
Theo giả thiết, mở rộng đó là tự đẳng cấu σ của trường K, và do đó
σα = β nằm trong K.

Như vậy mọi nghiệm của pα nằm trong K và pα phân tích được
thành các nhân tử tuyến tính trong K[X]. Thành thử K là trường phân rã
của họ { pα } α∈K , trong đó α chạy qua tất cả các phần tử của trường K, và
như vậy điều kiện CT2 được thỏa mãn.
Giả sử CT2 được thỏa mãn và giả sử

{ fi } i∈I

là họ các đa thức mà đối với

nó K là trường phân rã. Nếu α là nghiệm của fi nào đó trong K, thì ta biết
rằng σα cũng là nghiệm của đa thức đó đối với mọi phép nhúng chìm σ
của trường K vào k trên k . Vì K sinh bởi tất cả các nghiệm của tất cả các
đa thức fi nên σ ánh xạ K vào chính nó. Bây gìờ ta áp dụng bổ đề 1.2.3,
ta thấy σ là đẳng cấu.


22

Khi chứng minh CT1 kéo theo CT2 ở trên, đồng thời ta cũng chứng minh
được CT3 thỏa mãn.
Đảo lại, giả sử CT3 được thỏa mãn và σ là phép nhúng chìm K
vào k trên k . Giả sử α ∈ K và p(X) là đa thức bất khả quy của của phần tử
α trên k . Vì σ là phép nhúng chìm K vào k trên k , nên σ ánh xạ

nghiệm α vào nghiệm β của đa thức p(X), và theo giả thiết β ∈ K thành
thử σα ∈ K và σ ánh xạ K vào chính nó. Từ bổ đề 1.2.3, ta suy ra σ là
đẳng cấu.



1.3.6. Định nghĩa. Mở rộng K của trường k, thỏa mãn các điều kiện CT1,
CT2, CT3 được gọi là mở rộng chuẩn tắc.
1.3.7. Định lý. Một mở rộng bậc hữu hạn E của trường K là mở rộng
chuẩn tắc trên K khi và chỉ khi E là trường phân rã của một đa thức nào
đó trên K.
Chứng minh. Giả sử E là một mở rộng có bậc hữu hạn và chuẩn tắc trên
K. Khi đó, vì E là mở rộng bậc hữu hạn của K nên E = K (u1 ,..., un ) với ui
thuộc E là các phần tử đại số trên K. Gọi gi(x) là đa thức cực tiểu bất khả

quy của ui. Vì E chuẩn tắc trên K nên gi(x) phân rã được trên E. Do đó E là
trường phân rã của đa thức
g ( x) = g1 ( x) g 2 ( x)...g n ( x)
Ngược lại, giả sử E là trường phân rã của đa thức g(x) nào đó trên
K với các nghiệm v1, …,vk và p(x) là một đa thức bất khả quy trên K có
một nghiệm u thuộc E. Ta chứng minh p(x) phân rã được trong E[x]. Giả
sử ngược lại, p(x) không phân rã được trong E[x], khi đó p(x) có ít nhất
một nghiệm v nào đó thuộc E. Ta xét các mở rộng đơn K (u) và K (v), tồn
tại một và chỉ một K – đẳng cấu trường T từ K(u) lên K(v) sao cho


23

T(u) = v. Ghép các nghiệm v1,…,vk của g(x) vào K(u) và K(v) ta thu được
các mở rộng K (u )(v1 ,..., vn ) = K (v1 ,..., vn ) = E , và K (v)(v1 ,..., vn ) = E (v) .
Do đó có thể xem E là trường phân rã của p(x) trên K(u) và E(v) là
trường phân rã của g(x) trên K(v). Sử dụng tính duy nhất của trường phân
rã, ta kết luận rằng đẳng cấu K (u ) ≅ K (v) có thể mở rộng đến đẳng cấu
E ≅ E (v) , trong đó các nghiệm v1,…,vk tự chuyển thành chúng nhưng có
thể theo một thứ tự khác, chẳng hạn vi1,…,vik. Vậy chúng ta có một K –
đẳng cấu:
T : K (u )(v1 ,..., vn ) ≅ K (v )(v1 ,..., vn ) sao cho T (v j ) = vij , ( j = 1...k ) .
Vì u thuộc K (u )(v1 ,..., vk ) = K (v1 ,..., vk ) nên u là một biểu thức hữu
tỉ của v1,…,vk với các hệ tử thuộc K : u = φ (v1 ,..., vk ) . Vì T (u ) = v nên
v = φ (vi1 ,..., vik ) , do đó thuộc E. Ta gặp phải một mâu thuẫn.



1.3.8. Định lý. Khi nâng các trường thì các mở rộng chuẩn tắc vẫn giữ
nguyên là chuẩn tắc. Nếu K ⊃ E ⊃ k và K là mở rộng chuẩn tắc trên k ,

thì K là mở rộng chuẩn tắc trên E . Nếu K1 , K 2 là các mở rộng chuẩn tắc
trên k và được chứa trong một trường L nào đó, thì K1 K 2 là mở rộng
chuẩn tắc trên k , và K1 ∩ K 2 cũng vậy.
Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề đầu, ta giả thiết K là mở rộng
chuẩn tắc trên k , và F là một mở rộng tùy ý của trường k . Giả sử K , F
được chứa trong một trường chung L nào đó. Giả sử σ là phép nhúng
chìm của K F trên F (vào L ). Thế thì σ là phép đồng nhất trên F và do đó
trên k , và theo giả thiết, cái thu hẹp của nó trên K ánh xạ K vào chính
nó. Ta được: ( KF )σ = K σ F σ = KF , tức là K F là mở rộng chuẩn tắc trên
F.


24

Giả sử K ⊃ E ⊃ k và K là mở rộng chuẩn tắc trên k . Giả sử σ là
phép nhúng chìm của K trên E . Thế thì σ cũng là phép nhúng chìm của
K trên k , và mệnh đề của ta là đúng theo định nghĩa.

Cuối cùng, Nếu K1 , K 2 là các mở rộng chuẩn tắc trên k , thì với mọi
phép nhúng chìm σ của trường K1 K 2 trên k , ta có σ ( K 1 K 2 ) = σ ( K 1 )σ ( K 2 )
và mệnh đề của chúng ta lại suy ra từ các giả thiết đã cho. Mệnh đề liên
quan đến phép giao cũng đúng, vì
σ ( K1 ∩ K 2 ) = σ ( K1 ) ∩ σ ( K 2 ) . 

Chú ý. 1) Nếu F chuẩn tắc trên K và nếu E là trường trung gian giữa K và
F (K ⊂ E ⊂ F) thì E không nhất thiết chuẩn tắc trên K.

Ví dụ. Giả sử K = Q và F là trường phân rã của đa thức f(x) = x3 – 2 trên
−1+ i 3
Q, F = Q( α 1 , α 2 , α 3 ) với α1 = 3 2 , α 2 = ε 3 2 , α 3 = ε 2 3 2 , với ε =

. Nếu
2

ta chọn E = Q( α 1 ) thì E không chuẩn tắc trên Q vì các nghiệm α 2 , α 3 của
f(x) không thuộc E.
2) Nếu F chuẩn tắc trên E và nếu E chuẩn tắc trên K ( K ⊆ E ⊂ F )
thì F không nhất thiết chuẩn tắc trên K.
Ví dụ. Giả sử K = Q và E = Q( 2 ), F = Q(

2 ). Ta có E chuẩn tắc trên

K = Q vì E là trường phân rã của đa thức f(x) = x2 - 2 ∈ Q[x]; F là trường
chuẩn tắc trên E vì F là trường phân rã của đa thức g(x) = x2 -

2∈

E[x]. Tuy nhiên F không chuẩn tắc trên K vì F chỉ gồm các số thực, trong
khi đó đa thức x 4 − 2 ∈ K[x] nhận
thuần ảo ± − 2 không thuộc F.

2 ∈ F làm nghiệm còn các nghiệm


25

CHƯƠNG 2
MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC VÀ
THUẦN TÚY KHÔNG TÁCH ĐƯỢC
2.1. MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC
Giả sử E là một mở rộng đại số của trường F và σ : F → L là phép nhúng

chìm F vào trường đóng đại số L. Ta nghiên cứu kĩ hơn về các mở rộng
của σ trên E. Một mở rộng tùy ý như vậy của σ sẽ ánh xạ E lên trường
con của L là mở rộng đại số trên σ F . Như vậy ta có thể giả thiết L là mở
rộng đại số trên σ F , và do đó, trùng với bao đóng đại số của trường σ F .
Kí hiệu: Sσ là tập các mở rộng của σ tới phép nhúng chìm E vào L.
Giả sử L’ là một trường đóng đại số khác, và giả sử τ : F → L' là một phép
nhúng chìm. Giống như ở trên, ta giả thiết L’ là bao đóng đại số của
trường σ F .
Kí hiệu Sτ là tập các phép nhúng chìm của E vào L’ là mở rộng của τ .
Nhận xét: Sσ và Sτ có cùng lực lượng, và lực lượng đó chỉ phụ thuộc
vào mở rộng E/F, ta kí hiệu nó bởi [ E : F ] S và gọi là bậc tách được của E
trên F. Nó đáng chú ý khi E/F hữu hạn.
2.1.1. Định lý. Với mọi tháp E ⊃ F ⊃ k , ta luôn có [ E : k ] S = [ E : F ] S .[ F : k ] S
. Ngoài ra, nếu E hữu hạn trên k, thì [ E : k ] S hữu hạn và [ E : k ] S ≤ [ E : k ] .
Như vậy, bậc tách được của E trên k không vượt quá bậc của mở rộng E
trên k.
Chứng minh. Giả sử σ : k → L là phép nhúng chìm trường k vào trường
đóng đại số L, {σ i } i∈I là họ các mở rộng khác nhau của σ trên F, và với
mỗi i giả sử {τ ij} là họ các mở rộng khác nhau của σ i trên E. Theo điều
đã chứng minh ở trên, mỗi σ i có đúng [ E : F ] S các mở rộng tới phép