Về lớp môđun min nội xạ và ứng dụng đặc trưng một số lớp vành

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1

4

Các kiến thức chuẩn bị

1.1. Khái niệm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Môđun nội xạ và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . .

7

2

Môđun min nội xạ và một số ứng dụng

12

2.1. Môđun min nội xạ và các tính chất . . . . . . . . . . . . .

12

2.2. Một kết quả về đặc trưng QF-vành . . . . . . . . . . . . .

17

Kết luận

21

Tài liệu tham khảo

22


2

LỜI NÓI ĐẦU

Môđun nội xạ là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan
trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành. Theo thời gian và nhu cầu của
việc nghiên cứu chuyên sâu, khái niệm này đến nay đã được mở rộng
theo nhiều hướng khác nhau như: nội xạ chính, giả nội xạ, cốt yếu giả
nội xạ,... Trong [8] đã giới thiệu một hướng mở rộng khác của khái niệm
nội xạ đó là min nội xạ hay nội xạ tối tiểu (mininjective): Cho R là
vành, một R - môđun phải MR được gọi là min - nội xạ (mininjective)
nếu với mọi iđêan phải đơn K của R, mọi đồng cấu: ϕ : K → MR đều

có thể mở rộng thành đồng cấu ϕ : R → MR . Rõ ràng Min nội xạ là
một khái niệm mở rộng của nội xạ, nội xạ suy ra min nội xạ, tuy nhiên
điều ngược lại không hoàn toàn đúng. Tương tự khái niệm nội xạ, từ
khái niệm min nội xạ chúng ta có các khái niệm kéo theo min CS và
một số kết quả đặc trưng vành. Như chúng ta đã biết, vành là QF khi
và chỉ khi nó là vành Artin hai phía và tự nội xạ hai phía. Khi thay thế
điều kiện tự nội xạ bởi khái niệm min nội xạ kết quả trên có còn đúng
hay không. Mục đích nghiên cứu chính của đề tài này là tìm hiểu về
khái niệm min nội xạ và các ứng dụng của nó trong đặc trưng một số
lớp vành, đặc biệt là lớp vành QF. Từ các lý do đã nêu trên, đề tài của
chúng tôi có tựa đề là: "Về lớp môđun min nội xạ và ứng dụng
đặc trưng một số lớp vành".
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được trình bày trong 2 chương:
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. Chương này chủ yếu dành để
trình bày các kiến thức cơ sở có liên quan đến nội dung của chương 2,
đặc biệt là các kiến thức về môđun nội xạ và một số tính chất liên quan.


3

Chương 2. Môđun min nội xạ và một số ứng dụng. Nội dung của
chương 2 được trình bày trong hai phần:
2.1 Môđun min nội xạ và các tính chất. Phần này chủ yếu trình bày về
khái niệm min nội xạ và các tính chất cơ bản của môđun min nội xạ
đồng thời có sự so sánh giữa khái niệm nội xạ và min nội xạ.
2.2 Một kết quả về đặc trưng QF- vành. Như chúng ta đã biết, lớp vành
QF là một trong những lớp vành dành được sự quan tâm đặc biệt của
các nhà nghiên cứu. Số lượng các bài báo và đầu sách chuyên khảo về
lớp vành này như [4], [5], [8] và [9] phần nào đã nói lên tầm quan trọng

của nó. Vành R là QF khi và chỉ khi nó là vành Artin hai phía và tự
nội xạ hai phía. Trong tiết này chúng tôi cố gắng tìm hiểu việc thay thế
điều kiện tự nội xạ bởi điều kiện min nội xạ và thu được kết quả tương
tự trên lớp vành QF và một số lớp vành khác.
Luận văn được bắt đầu thực hiện từ tháng 2 năm 2010, dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới Thầy, người đã định hướng nghiên cứu, tận tình giúp đỡ,
thường xuyên quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số,
khoa Toán, khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh.
Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu, tham khảo các tài
liệu cũng như tiếp thu các ý kiến đóng góp nhưng luận văn khó tránh
khỏi những hạn chế, thiếu sót. Kính mong các ý kiến đóng góp của quý
thầy cô và các bạn.
Vinh, tháng 10 năm 2010
Tác giả
Đinh Hồng Đức


4

CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn, các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp
và có đơn vị. Các môđun trên vành luôn được hiểu là unita phải (nếu
không nói gì thêm ).
Ở chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và các kết
quả đã biết sẽ được sử dụng trực tiếp trong nội dung các chương sau.

Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu, chúng tôi chủ yếu tham
khảo trong các tài liệu [1], [2], [6] và [8].

1.1

Khái niệm cơ sở

Chúng ta giới thiệu một số khái niệm liên quan.
1.1.1 Định nghĩa. Môđun con A của R- môđun M được gọi là môđun
con cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (t.ư., A ⊂◦ M ) nếu và chỉ nếu với mọi
môđun con U ⊂ M , A ∩ U = 0 ⇒ U = 0 (t.ư A + U = M ⇒ U = M ).
Từ định nghĩa của môđun con cốt yếu và môđun con bé ta có một
số tính chất sau:
1.1.2 Nhận xét.
1. A ⊂◦ M ⇔ ∀U ⊆ M ta có A + U ⊆ M .
2. A ⊂∗ M ⇔ ∀0 = U ⊂ M ta có A ∩ U = 0.
3. A ⊂◦ M = 0 ⇒ A = M .
4. A ⊂∗ M = 0 ⇒ A = 0.


5

5. 0 ⊂◦ M và M ⊂∗ M với mọi R môđun M .
1.1.3 Định nghĩa. Cho R- môđun M khác không. Một dãy hữu hạn
n + 1 các môđun con của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0 được gọi là
dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) nếu Mi−1 /Mi
là đơn.
Liên quan đến dãy hợp thành và là cơ sở của việc hình thành khái
niệm về độ dài của một môđun, chúng ta có định lý Jordan- H¨older:
1.1.4 Định lý. Nếu môđun M có sự phân tích thành các dãy hợp thành

có độ dài hữu han thì mọi cặp dãy hợp thành đó đều có độ dài bằng
nhau.
1.1.5 Định nghĩa. Một môđun M có sự phân tích thành dãy hợp thành
được gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của dãy hợp thành được
gọi là độ dài của M . Ký hiệu l(M ) hoặc length(M ).
1.1.6 Định nghĩa. Cho vành R và A ⊂ R là tập con khác rỗng. Linh
hóa tử (annihilator) phải (trái) của tập A trong R là tập hợp r(A) :=
{b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tư., l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A}).
Một cách tự nhiên chúng ta có linh hóa tử của phần tử a là trường hợp
đặc biệt khi tập A = {a} và linh hóa tử của tập A là tập hợp thỏa mãn
tính chất linh hóa tử cả hai phía trái và phải.
Đối với linh hóa tử ta có một số tính chất cơ bản sau:
1.1.7 Bổ đề. Cho A là một tập con khác rỗng của vành R. Khi đó ta
có:
1. Linh hóa tử trái l(A) là iđêan trái của R. Tương tự đối với linh hóa
tử phải r(A).
2. Nếu A là tập con của Z(R) (tâm của vành R) thì l(A) = r(A) là
một iđêan của vành R.


6

3. Nếu A là một iđêan trái (phải) của vành R thì l(A) (t.ư., r(A)) là
một iđêan của vành R.
1.1.8 Định nghĩa.
• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện ACC (Ascending Chain
Condition) nếu với mọi dãy tăng các môđun con M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆
Mn ⊆ ...., tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2, ....
• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện DCC(Descending Chain
Codition) nếu với mọi dãy giảm các môđun con M1 ⊇ M2 ⊇ ... ⊇

Mn ⊇ ...., tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2, ....
1.1.9 Định nghĩa.
• Môđun M được gọi là môđun Artin (Noether) nếu M thoả mãn điều
kiện DCC (ACC).
• Vành R được gọi là vành Artin phải (trái) nếu RR (R R) là môđun
Artin. Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự cho vành Noether
phải(trái).
1.1.10 Định nghĩa.

• Trên vành R, một R- môđun phải M được

gọi là môđun đơn (simple) nếu M = 0 và không có môđun con
nào khác ngoại trừ 0 và chính nó. Môđun M được gọi là môđun
nửa đơn (semisimple) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tương
đương sau:
1. Mọi môđun con của M là một tổng của các môđun con đơn.
2. M là tổng của các môđun con đơn.
3. M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn.
4. Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M .
• Tổng tất cả các môđun con đơn của R- môđun phải M được gọi là
đế phải của môđun MR . Ký hiệu Soc(MR ) hoặc Sr (M ).


7

1.2

Môđun nội xạ và một số tính chất

1.2.1 Định nghĩa. R-môđun N được gọi là M -nội xạ nếu với mọi

môđun con X của M , mọi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở rộng
được thành một đồng cấu ψ : M → N . Môđun N được gọi là tựa nội
xạ nếu N là N - nội xạ. Môđun N được gọi là môđun nội xạ nếu N là
A-nội xạ với mọi A trong Mod-R.
Như vậy chúng ta có, môđun N là nội xạ nếu và chỉ nếu N là RR
-nội xạ. Môđun N là nội xạ khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các
điều kiện tương đương sau:
1. Với mọi môđun A và với mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu
f : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu từ
A → N;
2. (Tiêu chuẩn Baer) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I của R tới N
đều có thể mở rộng được thành đồng cấu từ R tới N ;
3. Với mọi R-môđun M , mọi đơn cấu f : N → M đều chẻ ra. Nghĩa
là, Im f là hạng tử trực tiếp của M ;
4. R-môđun N không có mở rộng cốt yếu thực sự.
1.2.2 Định nghĩa. Hai R-môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau
nếu M là N -nội xạ và ngược lại.
1.2.3 Định nghĩa. Nếu N là một môđun con cốt yếu của môđun nội
xạ E thì E được gọi là bao nội xạ hay R-bao nội xạ của môđun N . Kí
hiệu E(N ).
Chúng ta có một số tính chất của môđun nội xạ.
1.2.4 Mệnh đề. Tích trực tiếp và các hạng tử trực tiếp của môđun nội
xạ là môđun nội xạ.


8

1.2.5 Định lý. Cho Q là một R- môđun phải. Các điều kiện sau tương
đương.
(i) Q là môđun nội xạ;

(ii) Mỗi đơn cấu ϕ : Q → B chẻ ra (nghĩa là Im(ϕ) là một hạng tử
trực tiếp của B);
(iii) Với mỗi đơn cấu α : A → B, ánh xạ Hom(α, 1Q ) : HomR (B, Q) →
HomR (A, Q) là toàn cấu.
1.2.6 Định nghĩa. Môđun P được gọi là M -xạ ảnh nếu với mọi toàn
cấu g : M → N và đồng cấu f : P → N đều tồn tại một đồng cấu
h : P → M sao cho f = gh. Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P là
M -xạ ảnh với mọi môđun M thuộc Mod-R.
Nhóm aben Q được gọi là chia được (divisible) nếu Q = nQ với mọi
n là một số nguyên khác không. Một số kết quả sau là mối liên hệ giữa
lớp nhóm này với môđun nội xạ.
1.2.7 Bổ đề. Nhóm aben Q là chia được nếu và chỉ nếu Q là Z- môđun
nội xạ.
1.2.8 Bổ đề. Nếu Q là nhóm aben chia được thì R- môđun trái HomZ (RR , Q)
là nội xạ.
1.2.9 Mệnh đề. Mọi R- môđun phải (trái) đều có thể nhúng được trong
một R- môđun nội xạ phải (trái).
Từ Định lý 1.2.5 ta có một đặc trưng của lớp vành nửa đơn.
1.2.10 Hệ quả. Vành R là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi R- môđun là
nội xạ.
Một khái niệm khá quan trọng của môđun nội xạ đó là bao nội xạ
(xem Định nghĩa 1.2.3). Ví dụ từ Q là chia được, Q là nhóm cộng các
số hữu tỷ như một Z- môđun do đó Q là Z- nội xạ. Mặt khác đồng cấu


9

bao hàm i : Z → Q là đồng cấu cốt yếu do đó (Q, i) là bao nội xạ của
Z. Định lý sau là một trong những kết qủa khẳng định sự tồn tại bao
nội xạ của các môđun.

1.2.11 Định lý. Mọi R- môđun phải MR (trái R M ) đều có bao nội xạ
E(MR ) (E(R M )) và sự tồn tại đó là duy nhất theo nghĩa sai khác nhau
một đẳng cấu.
Giữa các tính chất khác của bao nội xạ ta có bổ đề sau.
1.2.12 Mệnh đề. Trong phạm trù các R- môđun phải (trái) trên vành
R ta có:
1. M là nội xạ nếu và chỉ nếu M = E(M ).
2. Nếu M ⊂∗ N thì E(M ) = E(N ).
3. Nếu ⊕A E(Mα ) là nội xạ, với A là tập hữu hạn các chỉ số, thì
E(⊕A Mα ) = ⊕A E(Mα ).
Như chúng ta đã có trong Mệnh đề 1.2.4, hạng tử trực tiếp của một
môđun nội xạ là môđun nội xạ. Vấn đề đặt ra là, liệu tổng trực tiếp của
các môđun nội xạ có là môđun nội xạ hay không. Điều này chỉ đúng
trong một số trường hợp cụ thể. Chẳng hạn chúng ta có câu trả lời trong
mệnh đề sau.
1.2.13 Mệnh đề. Trên vành R, các điều kiện sau là tương đương:
1. Mọi tổng trực tiếp của các R- môđun nội xạ phải (trái) là môđun
nội xạ phải (trái).
2. Nếu (Mα )α∈A là một họ các R- môđun phải (trái) thì E(⊕A Mα ) =
⊕A E(Mα ).
3. R là vành Noether phải (trái).


10

Khái niệm nội xạ có nhiều hướng mở rộng khác nhau, chẳng hạn như:
mở rộng thông qua các điều kiện C1 , C2 , C3 ... chúng ta có các khái niệm
CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục.
Cho MR là R- môđun phải. Ta xét các điều kiện sau:
• (C1 ) : Mọi môđun con của MR là cốt yếu trong một hạng tử trực

tiếp của MR . Hay nói cách khác, mọi môđun con đóng trong MR
là hạng tử trực tiếp của MR .
• (C2 ) : Nếu A và B là các môđun con của MR đẳng cấu với nhau và
A là hạng tử trực tiếp của MR thì B cũng là hạng tử trực tiếp của
MR .
• (C3 ) : Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của MR và A ∩ B = 0
thì A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của MR .
• (1 − C1 ) : Nếu U là một môđun con đóng, đều của MR thì U là một
hạng tử trực tiếp của MR .
Điều kiện (1 − C1 ) là mở rộng của điều kiện C1 và từ điều kiện C2
suy ra điều kiện C3 .
1.2.14 Định nghĩa. Môđun MR được gọi là CS-môđun (extending
module) nếu MR thỏa mãn điều kiện (C1 ). Môđun MR được gọi là liên
tục (continuous) nếu MR thỏa mãn các điều kiện (C1 ) và (C2 ). Môđun
MR được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu MR thỏa mãn các
điều kiện (C1 ) và (C3 ). Môđun MR được gọi là (1 − C1 )- môđun (uniform
extending) nếu MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1 ).
Từ các định nghĩa trên chúng ta có dãy kéo theo sau đây:
Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) .
Sử dụng các khái niệm trên cho vành R khi xét R như một R-môđun
trên chính nó chúng ta có các khái niệm tương ứng.


11

1.2.15 Định nghĩa. Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục)
vành phải nếu RR là một CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải trên
chính nó.
Tương tự chúng ta có các khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái
và vành tựa liên tục trái.

12

CHƯƠNG 2
MÔĐUN MIN NỘI XẠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Các kết quả ở chương này chúng tôi chủ yếu tham khảo trong tài
liệu [8] và được trình bày lại một cách cụ thể hơn theo sự hiểu biết của
mình.

2.1

Môđun min nội xạ và các tính chất

2.1.1 Định nghĩa. Cho vành R. Môđun MR được gọi là min nội xạ
(mininjective) hay nội xạ tối tiểu nếu với mọi iđêan phải đơn K của R,
mỗi đồng cấu f : K → MR đều tồn tại một đồng cấu f : R → M sao
cho f = f ◦ i , trong đó i là phép nhúng K vào R. Hay nói cách khác
f = m∗ là một phép nhân bởi phần tử m ∈ M . Vành R được gọi là
vành min nội xạ phải nếu RR là môđun min nội xạ.
2.1.2 Nhận xét. (i) Vành R là min nội xạ phải nếu và chỉ nếu với mọi
iđêan phải đơn K của R, mọi R- đồng cấu f : K → RR đều có thể mở
rộng thành đồng cấu f : RR → RR .
(ii) Mọi vành tự nội xạ phải là min nội xạ phải.
(iii) Vành thỏa mãn điều kiện mọi iđêan phải đơn là hạng tử trực tiếp
là vành min nội xạ phải. Do đó, mọi vành có đế phải bằng không là min
nội xạ phải.
2.1.3 Ví dụ.

1. Vành nửa nguyên tố (giao của tất cả các iđêan nguyên

tố của vành R bằng 0) là vành min nội xạ hai phía vì mọi iđêan
phải hoặc trái của vành nửa nguyên tố đều là hạng tử trực tiếp của
chính nó.


13

2. Vành các số nguyên Z là vành giao hoán, noether, min nội xạ nhưng
không là vành tự nội xạ.
3. Mọi vành đa thức R[x] là vành min nội xạ hai phía.
Chúng ta có một số tính chất của lớp vành min nội xạ qua bổ đề sau:
2.1.4 Bổ đề. Cho vành R. Các điều kiện sau tương đương:
1. Vành R là min nội xạ phải.
2. Nếu kR là iđêan đơn, k ∈ R, thì lr(k) = Rk.
3. Nếu kR là iđêan đơn và r(k) ⊆ r(a), k, a ∈ R, thì Ra ⊆ Rk.
4. Nếu kR là iđêan đơn và f : kR → R là một đồng cấu tuyến tính,
k ∈ R, thì f (k) ∈ Rk.
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).
(1) ⇒ (2) : Ta luôn có Rk ⊆ lr(k) (1). Để chứng minh chiều ngược lại
ta giả sử a ∈ lr(k) thì r(k) ⊆ r(a). Đặt f : kR → R xác định như sau:
f (kr) = ar. Do R là vành min nội xạ phải và kR là một iđêan đơn nên
theo định nghĩa ta có f = c∗ , trong đó c∗ là phép nhân trái bởi phần tử
c nào đó thuộc R. Khi đó a = f (k) = ck ∈ Rk, suy ra lr(k) ⊆ Rk (2).
Từ (1) và (2) ta có lr(k) = Rk.
(2) ⇒ (3): Nếu r(k) ⊆ r(a) thì a ∈ lr(k). Theo kết quả chứng minh trên
lr(k) = Rk nên a ∈ Rk. Vậy Ra ⊆ Rk.
(3) ⇒ (4): Nếu f (k) = a thì r(k) ⊆ r(a). Theo (3) suy ra Ra ⊆ Rk, hay
a = f (k) ∈ Rk.

(4) ⇒ (1): Đặt f : kR → RR . Theo tính chất (4), f (k) ∈ Rk nên ta có
thể viết f (k) = ck ∈ Rk với c nào đó trong R. Vậy f = c∗ và theo định
nghĩa vành min nội xạ ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét một đặc trưng khác của lớp môđun
nửa đơn (xem 1.1.10).


14

2.1.5 Định nghĩa. Một môđun nửa đơn được gọi là không chính phương
(square- free) nếu nó chứa nhiều nhất một môđun đơn nào đó.
Với kí hiệu Sr là đế phải của vành R, chúng ta có kết quả sau.
2.1.6 Bổ đề. Trên vành R, các điều kiện sau là tương đương:
1. Đế phải Sr của vành R là không chính phương.
2. Nếu kR là iđêan đơn và γ : kR → R là một đồng cấu tuyến tính,
k ∈ R, thì γ(k) ∈ kR.
3. Nếu kR là iđêan đơn, k ∈ R, thì lr(k) ⊆ kR.
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh theo lược đồ sau:
(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1).
• (1) ⇒ (2): Giả sử γ : kR → R là một đồng cấu tuyến tính, khi đó
γ(k)R = γ(kR). Theo (1), đế phải Sr của vành R là không chính
phương nên ta có γ(kR) ⊆ kR.
• (2) ⇒ (3): Giả sử a ∈ lr(k), lấy linh hóa tử phải hai vế ta có
r(k) ⊆ r(a). Từ tính chất (2), γ(kr) = ar và γ là đồng cấu tuyến
tính nên γ(kr) = γ(k).r. Suy ra a = γ(k) ∈ kR.
• (3) ⇒ (1): Đặt đế phải Sr = M . Do kR là một iđêan đơn (giả thiết
(3)) nên hiển nhiên chúng ta có kR ⊆ Sr = M

(1)

. Xét đẳng cấu

giữa các iđêan phải đơn γ : kR → M . Theo cách chứng minh ở
trên, ta có thể viết γ(k) = m, với m là phần tử nào đó trong M .
Khi đó r(k) ⊆ r(m), suy ra m ∈ lr(k) ⊆ kR, theo tính chất (3).
Do vậy ta có M = Sr ⊆ kR

(2)

. Từ

(1)

và

(2)

ta thấy Sr = M = kR

là một iđêan đơn và do vậy Sr không chính phương.


15

Tương tự khái niệm vành chính quy mạnh (strongly regular), vành R
được gọi là vành C2 phải mạnh (strongly right C2 ) nếu Mn (R) là vành
C2 phải với mọi n ≥ 1. Nếu vành R là C2 phải mạnh thì R là vành C2
phải (xem Theorem 7.14, [8]). Tuy nhiên, điều ngược lại không hoàn
toàn chính xác (xem Theorem 7.15, [8]).
Đối với lớp vành min nội xạ mối liên hệ này như thế nào. Câu trả lời

sẽ được đưa ra trong Định lý 2.1.10. Để đưa ra chứng minh của định lý,
trước hết ta cần làm sáng tỏ một số bổ đề sau.
2.1.7 Bổ đề. Nếu R là vành min nội xạ phải và với mọi e ∈ R thỏa
mãn e2 = e, thì ReR = R.
Chứng minh. Đặt S = eRe và ký hiệu rS (k), rS (a) lần lượt là linh hóa
tử phải của k và a trong S. Khi đó, rS (k) ⊆ rS (a), k, a ∈ S và kS là một
iđêan phải đơn của S. Trước hết ta khẳng định rằng kR là một iđêan
phải đơn trong R. Nếu kr = 0, r ∈ R thì krReR = 0 và khi đó tồn tại
t ∈ R sao cho 0 = krte = (ke)rte ∈ kS. Suy ra k ∈ krteS ⊆ krR, trong
đó kR là iđêan đơn. Sử dụng Bổ đề 2.1.4 ta có rR (k) ⊆ rR (a) và do đó
a ∈ Rk, a = ea ∈ eRk = Sk. Điều chúng ta cần chứng minh.
Nếu kx = 0, x ∈ R, ta biểu diễn 1 = Σni=1 ai ebi , trong đó ai , bi ∈ R.
Khi đó k(exai e) = 0 với mỗi i, và do đó a(exai e) = 0. Mặt khác, do
a = ae nên ax = Σni=1 axai ebi = 0. Ta kết thúc chứng minh bổ đề.
2.1.8 Định nghĩa. Một iđêan phải T của vành R được gọi là mở rộng
được (extensive) nếu mọi R - đồng cấu γ : T → RR đều có thể mở rộng
được thành đồng cấu từ RR → RR .
Như vậy, vành R là min nội xạ phải nếu và chỉ nếu mọi iđêan phải
đơn K của R đều là các iđêan có thể mở rộng được.
2.1.9 Bổ đề. Cho K là một iđêan phải đơn của vành R. Nếu dK = 0
là một iđêan có thể mở rộng được, với d nào đó trong R, thì K cũng là
iđêan có thể mở rộng được.


16

Chứng minh. Định nghĩa đẳng cấu σ : K → dK xác định như sau:
σ(x) = dx. Đặt γ : K → RR chúng ta có γ ◦ σ −1 : dK → R. Theo giả
thiết, dK là iđêan phải có thể mở rộng được nên γ ◦ σ −1 = c∗ , với c ∈ R.
Điều này suy ra γ = (cd), hay nói cách khác K là iđêan có thể mở rộng

được.
Định lý sau là một trong những kết quả chính của tài liệu tham khảo
[8] và chúng tôi chứng minh chi tiết định lý này.
2.1.10 Định lý. Vành R là min nội xạ phải nếu và chỉ nếu vành các
ma trận Mn (R) là vành min nội xạ phải với mọi n ≥ 1.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh điều kiện đủ. Giả sử S = Mn (R)
là vành min nội xạ phải, do Se11 S = S, với eij là các ma trận đơn vị.
Sử dụng Bổ đề 2.1.7 ta có R ∼
= e11 Se11 và do đó R là vành min nội xạ
phải.
Ngược lại, giả sử R là vành min nội xạ phải. Ta nhận thấy rằng, nếu
chọn 2k ≥ n thì từ T = M2k (R) là vành min nội xạ phải và Mn (R) ∼
=
In 0
eT e, trong đó e =
0 0 . Sử dụng Bổ đề 2.1.7 ta có T eT = T .
Mặt khác, do tính chất khép kín của phép nhân nên e11 ∈ T eT và
eii = ei1 e11 e1i ∈ T eT với mỗi i. Như vậy chúng ta chỉ cần cho trường
hợp n = 2. Đặt kS là một iđêan phải đơn của S = M2 (R), chúng ta
phải chứng minh lr(k) = Sk.
Nếu hàng thứ i của k khác không thì e1i k = 0, do đó theo Bổ đề 2.1.9
chúng ta có thể giả sử rằng k ∈ e11 S. Trong trường hợp này nếu cột thứ
j của k khác không thì kej1 = 0, và do đó kS = ke1j S. Do vậy, chúng
k 0
ta có thể giả sử rằng k ∈ e11 Se11 và ta có thể biểu diễn k = 0 0 ,
k ∈ R. Vậy kR là iđêan phải đơn, theo Bổ đề 2.1.4, Rk = lr(k). Nhưng
lr(k) 0
Rk 0
r(k) r(k)
rS (k) =

,
nên
lr
(k)
=
=
S
Rk 0 = Sk.
R
R
lr(k) 0
Ta có điều phải chứng minh.


17

2.2

Một kết quả về đặc trưng QF-vành

Trước hết chúng ta có định nghĩa về lớp QF- vành.
2.2.1 Định nghĩa. Vành R được gọi là tựa Frobenius (quasi-Frobenius),
kí hiệu là QF- vành, nếu nó thỏa mãn một trong các tính chất tương
đương sau:
1. R là vành Artin hai phía và tự nội xạ hai phía.
2. R là vành Noether hai phía và tự nội xạ hai phía.
3. Vành R thỏa mãn điều kiện ACC cho các linh hóa tử và tự nội xạ
hai phía.
4. R là vành Noether hai phía, rl(T ) = T với mọi iđêan phải T và
lr(L) = L với mọi iđêan trái L.

Khái niệm QF- vành đã được Nakayama đưa ra từ năm 1939 và nó là
một lớp vành con rất quan trọng của lớp vành Artin. Lớp vành này đã
thu hút được khá nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu lý thuyết
vành và các kết quả đạt được khá phong phú. Chúng ta có thể dễ dàng
tìm thấy các kết qủa về lớp vành này trong các tài liệu tham khảo [3],
[4], [5], [9], ....
Có nhiều hướng tiếp cận nghiên cứu khác nhau đối với lớp QF- vành.
Chẳng hạn như: thay thế điều kiện Artin (hoặc tự nội xạ) hai phía bởi
điều kiện một phía trái hoặc phải; thay thế điều kiện Artin (hoặc tự
nội xạ) bởi các điều kiện yếu hơn; ..., và nhiều giả thuyết nổi tiếng liên
quan đến lớp vành này đã được đề xuất như giả thuyết Faith: "Vành
nửa nguyên sơ và nội xạ một phía là QF". Trong phạm vi nghiên cứu
của đề tài, chúng tôi quan tâm đến hướng tiếp cận lớp vành này bằng
cách thay thế điều kiện nội xạ bởi điều kiện min nội xạ và kết quả thu
được chính là Định lý 2.2.4.
Kí hiệu M ∗ = Hom(MR , R). Khi đó M ∗ là một R- môđun trái với
phép nhân (rλ)(m) = r.λ(m), với mọi r ∈ R; λ ∈ M ∗ ; m ∈ M .


18

2.2.2 Bổ đề. Nếu M = mR là một R- môđun phải và T = r(m) thì
M∗ ∼
= l(T ) = lr(m) như là các R- môđun trái.
Chứng minh. Thật vậy, nếu b ∈ l(T ) ta xét ánh xạ λb : M → R được
định nghĩa như sau: λb (mr) = br. Khi đó rõ ràng b → λb là một đơn
cấu từ l(T ) → M ∗ giữa các R- môđun trái. Hơn nữa, nó là toàn cấu vì
nếu λ ∈ M ∗ thì λ = λb , với b = λ(m) ∈ l(T ).
Vậy ta có M ∗ ∼
= l(T ) = lr(m).

Từ kết quả của Bổ đề 2.2.2 chúng ta có một số tính chất khác của
lớp vành min nội xạ.
2.2.3 Định lý. Các điều kiện sau là tương đương trên vành R:
1. R là vành min nội xạ phải.
2. M ∗ là đơn hoặc bằng không với mọi R-môđun phải đơn MR .
3. l(T ) là đơn hoặc bằng không với mọi iđêan phải tối đại T của R.
4. K ∗ là đơn với mọi iđêan phải đơn K của R.
Chứng minh. Quy trình của chúng ta là chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒
(4) ⇒ (1).
• (1) ⇒ (2): Xét môđun đơn MR . Nếu M ∗ = 0 thì hiển nhiên ta có
điều phải chứng minh. Ngược lại, với 0 = f ∈ M ∗ , ta phải chứng
minh M ∗ = Rf . Trước hết ta thấy f : M → f (M ) là một đẳng
cấu. Lấy γ ∈ M ∗ , khi đó ta có f (M ) →f

−1

M →γ R. Theo giả

thiết, R là vành min nội xạ nên γ ◦ f −1 = a, với a nào đó trong
R. Điều này chứng tỏ rằng γ = af hay M ∗ = Rf . Ta có điều phải
chứng minh.
• (2) ⇒ (3): Lấy T là một iđêan phải tối đại, khi đó R/T = (1 + T )R
là đơn và r(1 + T ) = T . Sử dụng Bổ đề 2.2.2 ta có l(T ) ∼
= (R/T )∗ ,
áp dụng điều kiện (2) ta có l(T ) ∼
= (R/T )∗ là đơn hoặc bằng không.


19

• (3) ⇒ (4): Giả sử K = kR là một iđêan phải đơn và T = r(k), khi
đó T là một iđêan phải tối đại. Theo Bổ đề 2.2.2, K ∗ ∼
= l(T ). Sử
dụng điều kiện (3), K ∗ ∼
= l(T ) là đơn hoặc bằng không. Mặt khác,
do K ∗ có chứa đồng cấu bao hàm nên K ∗ = 0. Vậy K ∗ là đơn và
ta có điều kiện (4).
• (4) ⇒ (1): Xét f : K → R, trong đó K = kR là một iđêan phải
đơn. Đặt i : K → R là đồng cấu bao hàm. Theo giả thiết của điều
kiện (4), K ∗ = Ri, do đó f = ci với c nào đó trong R. Điều này
chứng tỏ rằng f = c, và do đó ta có R là vành min nội xạ.

Kết quả chính của phần này chính là một đặc trưng của lớp QF -vành
trong định lý sau.
2.2.4 Định lý. Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương:
1. R là QF - vành;
2. R là vành min nội xạ hai phía và Artin hai phía.
Chứng minh. Theo định nghĩa của QF- vành ta có R là vành Artin hai
phía và tự nội xạ hai phía do đó chiều (1) ⇒ (2) là hiển nhiên. Ta chỉ
cần chứng minh cho chiều ngược lại.
Chúng ta sẽ chứng minh R là QF - vành thông qua điều kiện (4) của
Định nghĩa 2.2.1. Cụ thể, chúng ta sẽ chỉ ra rằng rl(T ) = T với mọi
iđêan phải T của R.
Để chứng minh định lý trước hết ta làm sáng tỏ phát biểu sau:
"Nếu K ⊆ T là các iđêan phải và T /K đơn thì l(K)/l(T ) bằng không
hoặc đơn".
Thật vậy, với a ∈ l(K), xét đồng cấu λa : T /K → RR xác định như
sau: λa (t + K) = at. Đặt (T /K)∗ = HomR (T /K, R). Khi đó đồng cấu
f : l(K) → (T /K)∗ : a → λa có Ker(f ) = l(T ). Mặt khác theo giả thiết

20

R là vành min nội xạ, sử dụng Định lý 2.2.3 ta có Ker(f ) = l(T ) là đơn
hoặc bằng không. Suy ra l(K)/l(T ) bằng không hoặc đơn.
Bây giờ chúng ta xét T là một iđêan phải của R. Theo giả thiết R
là vành Artin nên tồn tại dãy 0 = T0 ⊂ T1 ⊂ ... ⊂ Tn = R các iđêan của
R chứa T . Ta sẽ chứng minh rl(Ti ) = Ti với mỗi i. Lấy linh hóa tử trái
hai vế ta có dãy:
R = l(T0 ) ⊇ l(T1 ) ⊇ ... ⊇ l(Tn ) = 0 (∗)
Theo chứng minh trên, l(K)/l(T ) bằng không hoặc đơn. Kết hợp (∗)
ta thấy length(R R) ≤ n = length(RR ). Chứng minh tương tự ta có
length(R R) ≥ n = length(RR ) và do đó length(R R) = length(RR ). Mặt
khác, từ kết quả của định lý Jordan - H¨older (xem 1.1.4) và nhận xét
trên, (∗) chính là dãy hợp thành của R R trong đó các bao hàm thức
giảm ngặt.
Tiếp tục lấy linh hóa tử phải hai vế của (∗) ta thu được dãy hợp
thành: 0 = rl(T0 ) ⊂ rl(T1 ) ⊂ ... ⊂ rl(Tn ) = R. Từ T1 ⊆ rl(T1 ), đặt
T1 = rl(T1 ), trong đó rl(T1 ) = T1 ⊂ T2 ⊆ rl(T2 ). Tiếp tục quá trình này
ta thu được Ti = rl(Ti ) với mỗi i, hay nói cách khác ta có T = rl(T )
với mọi iđêan phải T của R.
Do tính chất đối xứng ta có lr(L) = L với mọi iđêan trái L của R.
Mặt khác, theo giả thiết (2) của định lý, R là vành Artin hai phía nên
hiển nhiên nó là vành Noether hai phía. Sử dụng điều kiện (4) của Định
nghĩa 2.2.1 ta có điều phải chứng minh.


21

KẾT LUẬN

Trên cơ sở các tài liệu tham khảo, đặc biệt là cuốn sách chuyên khảo
[8]. Luận văn đã tập trung tìm hiểu và làm rõ hơn một số vấn đề sau:
1. Tìm hiểu một số tính chất của lớp vành min nội xạ và được giới
thiệu trong phần 2.1. Đặc biệt, Định lý 2.1.10 đã nêu lên được tính
chất min nội xạ giữa vành R và lớp vành các ma trận Mn (R).
2. Từ các tính chất của lớp vành min nội xạ, luận văn chứng minh
chi tiết Định lý 2.2.4 là một kết quả về lớp QF- vành khi chúng ta
thay thế điều kiện tựa nội xạ bởi một điều kiện yếu hơn (điều kiện
min nội xạ).


22

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A Tiếng Việt
[1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận ( 2001), Cơ sở lý thuyết
môđun và vành, NXB Giáo dục.
B Tiếng Anh
[2] F.W. Anderson and K.R Furler (1974), Rings and Categories of
Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin.
[3] C. Faith (1976), Algebra II, Ring Theory, Springer Verlag.
[4] C. Faith and Dinh Van Huynh (2002), When self-injective ring
are QF: A report on a problem, J. Algebra Appl. 1, 75-105.
[5] Dinh Van Huynh and Ngo Si Tung (1996), A note on quasiFrobenius rings, Proc. Amer. Math. Soc, 124, No.2, 371-375.
[6] T. Y. Lam (1991), A First Course on Noncommutative Rings,
Springer Verlag.
[7] S.H. Mohamed and B.J. Muller (1990), Continuous and Discrete
Modules, London Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol. 147, Cambridge University Press.

[8] W.K. Nicholson and M.F. Yousif (2003), Quasi- Frobenius Rings,
Cambridge Univ Press, Vol. 158.
[9] B. L. Osofsky (1996), A generalization of quasi - Frobenius rings,
J. Algebra, 4, 373-387.