Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Về các môđun fg - nội xạ và fg – xạ ảnh" pot

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009
VỀ CÁC MÔĐUN fg -NỘI XẠ VÀ fg -XẠ ẢNH
Trần Nguyễn Đình Nam,
Trường ĐHSP, Đại Học Huế.
Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi xét các lớp môđun fg-nội xạ và fg-xạ
ảnh. Đây là các lớp môđun mở rộng của lớp môđun nội xạ và xạ ảnh tương ứng. Lớp
vành nửa đơn được đặc trưng qua các lớp môđun fg-nội xạ và fg-xạ ảnh. Một số
tính chất của vành Noether, vành QF , V -vành, vành suy biến, hoàn toàn không suy
biến cũng được khảo sát qua các lớp môđun fg-nội xạ và fg-xạ ảnh.
1. MỞ ĐẦU
Trong suốt bài báo này, vành R luôn được giả thiết là một vành kết hợp có đơn
vị 1 = 0. Các môđun trên một vành luôn được hiểu là môđun phải đơn nguyên
(unitary). Một phần tử a ∈ R được gọi là chính quy von Neumann (hay ngắn gọn
là chính quy) nếu tồn tại b ∈ R sao cho a = aba. Vành R gọi là chính quy nếu mọi
phần tử của nó là chính quy. Cho M là một R-môđun, một phần tử m ∈ M gọi là
phần tử suy biến (singular element) nếu iđêan phải r(m) là cốt yếu trong R
R
. Tập
tất cả các phần tử suy biến của M tạo thành môđun con của M và gọi là môđun
con suy biến của M, ký hiệu là Z(M). Môđun M gọi là môđun suy biến (singular
module) nếu Z(M) = M, trong trường hợp Z(M) = 0 thì M được gọi là môđun
hoàn toàn không suy biến (nonsingular). Vành R gọi là suy biến phải (t.ư. hoàn toàn
không suy biến phải) nếu Z(R
R
) = R (t.ư Z(R
R
) = 0). Môđun M
R
gọi là nửa đơn
nếu M
R

là tổng tất cả các môđun con đơn của nó. Vành R gọi là nửa đơn nếu R
R
là môđun nửa đơn.
Như chúng ta đã biết, các lớp môđun nội xạ và xạ ảnh là rất quan trọng để đặc
trưng nhiều lớp vành khác nhau. Chính vì thế việc mở rộng nội xạ đã và đang được
nhiều nhà toán học nghiên cứu, một trong các hướng đó là mở rộng nội xạ thông
qua tiêu chuẩn Baer. Một trong các lớp mở rộng quan trọng theo hướng này là lớp
các môđun p-nội xạ. Môđun M
R
được gọi là p-nội xạ nếu mọi đồng cấu R-môđun
từ bất kỳ iđêan phải chính nào vào M cũng mở rộng được thành một đồng cấu từ
R vào M. Điều này tương đương với l
M
r
R
(a) = Ma với mọi a ∈ R, ở đây l và r
tương ứng là các linh hóa tử trái và phải của a. Trong [6], R.Y.C.Ming đã đưa ra
khái niệm môđun C-nội xạ và C-xạ ảnh. Ông đã chứng minh rằng đó là lớp mở
rộng thực sự của lớp các môđun nội xạ và xạ ảnh, đồng thời lớp môđun p-nội xạ là
mở rộng thực sự của lớp môđun C-nội xạ. Chúng tôi tiếp tục sử dụng ý tưởng của
R.Y.C.Ming để đưa ra lớp môđun fg-nội xạ và fg-xạ ảnh, đồng thời khảo sát một
số tính chất của nó.
Chúng ta dùng các ký hiệu N ≤ M, N ≤
e
M, , Mod-R và J tương ứng để chỉ N
là môđun con của M, N là môđun con cốt yếu của M, phạm trù các R-môđun phải
71
và căn Jacobson của R. Các khái niệm và kết quả không nhắc đến trong bài báo có
thể tham khảo trong Anderson, Fuller [1], Faith [2], Lam [3], Nicholson, Yousif [7]
và Wisbauer [9].

2. MÔĐUN fg-NỘI XẠ VÀ fg-XẠ ẢNH
Định nghĩa 2.1. (1) Môđun M
R
được gọi là fg-nội xạ nếu với mọi R-môđun N
và P là môđun con hữu hạn sinh của N, mọi R-đồng cấu từ P vào M đều mở rộng
được thành một đồng cấu từ N vào M.
(2) Môđun M
R
được gọi là môđun fg-xạ ảnh nếu với mọi môđun hữu hạn sinh
N
R
, với mỗi toàn cấu g : N −→ P và đồng cấu f : M −→ P , tồn tại đồng cấu
h : M −→ N sao cho f = gh.
Mệnh đề 2.2. Cho (M
α
)
α∈B
là một họ các R-môđun phải. Khi đó

B
M
α
là fg-nội
xạ khi và chỉ khi M
α
là fg-nội xạ, với mỗi α ∈ B.
Chứng minh. Giả sử rằng

B
M

α
là fg-nội xạ. Với mỗi α ∈ B, với mọi R-mô đun
N và P là một môđun con hữu hạn sinh của N, cho g : P −→ N là đơn cấu bao
hàm và f : P −→ M
α
là đồng cấu bất kỳ, xét phép nhúng i : M
α
−→

B
M
α
. Do

B
M
α
là fg-nội xạ nên tồn tại h : N −→

B
M
α
sao cho hg = if. Đặt h
α
= π
α
h,
khi đó với mọi p ∈ P ta có h
α
g(p) = π

α
hg(p) = π
α
if(p) = f(p) nên h
α
g = f. Vậy
M
α
là fg-nội xạ.
Ngược lại, giả sử rằng mỗi M
α
là fg-nội xạ. Với N là R-môđun bất kỳ, lấy
P = a
1
R + + a
k
R là mô đun con hữu hạn sinh của N và đơn cấu g : P −→ N.
Với mọi đồng cấu h : P −→

B
M
α
, khi đó với mỗi i ∈ {1, , k}, ta có h(a
i
) =
(m
i
α
)
α∈B

∈

B
M
α
. Nếu gọi B

là tập con của B sao cho tồn tại i ∈ {1, , k} để
m
i
α
= 0 thì B

là tập hữu hạ n. Xét phép chiếu p
B

:

B

M
α
−→ M
α
. Với mỗi
α ∈ B

thì M
α
là fg-nội xạ nên tồn tại f

α
: N −→ M
α
sao cho f
α
g = p
α
p
B

h. Đặt:
f

: N −→

B

M
α
xác định bởi f

(n) = (f
α
(n))
α∈B

, ∀n ∈ N thì f

là đồng cấu. Đặt
f = ι

B

f

với ι
B

:

B

M
α
−→

B
M
α
là phép nhúng. Với mỗi i
0
∈ {1, , k} thì
f

g(a
i
0
) = (f
α
g(a
i

0
))
α∈B

= (p
α
p
B

h(a
i
0
))
α∈B

= p
B

h(a
i
0
). Vì h(a
i
0
) = (m
i
0
α
)
α∈B

và
các α sao cho m
i
0
α
= 0 đều nằm trong B

nên fg(a
i
0
) = ι
B

f

g(a
i
0
) = ι
B

p
B

h(a
i
0
) =
h(a
i

0
). Suy ra fg = h nên

B
M
α
là fg-nội xạ. 
Định lý 2.3. Cho R là vành tùy ý. Nếu mọi R-môđun fg-nội xạ đều nội xạ thì R
là vành Noether phải.
Chứng minh. Giả sử M =

I
M
i
là tổng trực tiếp của một họ bất kỳ các môđun
nội xạ M
i
. Do mỗi M
i
là nội xạ nên là fg-nội xạ. Theo mệnh đề 2.2 thì M là fg-nội
xạ. Theo giả thiết thì M là nội xạ. R là vành có tổng trực tiếp của một họ bất kỳ
các môđun nội xạ là nội xạ nên R là vành Noether phải. 
Từ định lý trên ta có thể thấy lớp môđun fg-nội xạ là lớp mở rộng thực sự của
lớp môđun nội xạ.
Chúng ta biết rằng môđun M
R
gọi là f-nội xạ (t.ư. nội xạ tối tiểu) nếu mọi
R-đồng cấu từ bất kỳ iđêan phải hữu hạn sinh (t.ư. iđêan phải đơn) nào vào M
72
cũng mở rộng được thành một đồng cấu từ R vào M. Vành R gọi là f-nội xạ phải

(t.ư. nội xạ tối tiểu phải) nếu R
R
là f-nội xạ (t.ư. nội xạ tối tiểu). Vành R gọi là
tựa Frobenius nếu R là Artin phải (hoặc trái) và tự nội xạ phải (hoặc trái) . Lớp
môđun f-nội xạ là mở rộng thực sự của nội xạ. Ví dụ của Camillo [7] được dùng để
phục vụ cho mục đích này.
Ví dụ 2.4. Đặt R = Z
2
[x
1
, x
2
, ] với các x
i
giao hoán với nhau và các điều kiện:
x
3
i
= 0 với mọi i, x
i
x
j
= 0 với mọi i = j và m = x
2
i
= x
2
j
với mọi i và j. Khi đó ta
có các tính chất sau:

(1) R là vành giao hoán, địa phương, có đặc số bằng 2 với Z
2
-cơ sở {1, m, x
1
, x
2
, },
J = Rad(R) = span
Z
2
{m, x
1
, x
2
, }, R/J
∼
=
Z
2
và J
3
= 0;
(2) Z
2
m ⊆ A với mọi iđêan A = 0 của R, Soc(R) = J
2
= Z
2
m là đơn, cốt yếu trong
R và R là vành nội xạ tối tiểu, không Noether.

Bây giờ nếu xét mô đun R
R
thì R
R
là f-nội xạ. Thật vậy, gọi η : K −→ R là đồng
cấu R-môđun, ở đây K là iđêan hữu hạn sinh của R, K =

k
j=1
b
j
R. Các phần tử
{b
j
, η(b
j
)} được chứa trong vành con S = span
Z
2
{1, m, x
1
, , x
l
} của R với l ∈ N
nào đó. Rõ ràng S là vành Artin và nội xạ tối tiểu, suy ra S là vành tựa Frobenius.
Từ đó S là tự nội xạ nên K
0
=

k

j=1
b
j
S mở rộng được. Xét hạn chế của η lên K
0
,
η : K
0
−→ S mở rộng được thành η : S −→ S, tức là tồn tại c = η(1) ∈ S sao cho
η(a) = ca với mọi a ∈ K
0
. Xét η : R −→ R xác định bởi η(b) = cb, b ∈ R thì η là
mở rộng của η. Vậy R là f-nội xạ.
Ta sẽ chỉ ra rằng R
R
không nội xạ. Thật vậy, xét iđêan J = span
Z
2
{m, x
1
, x
2
, }
và ánh xạ γ : J −→ R xác định bởi a −→ a
2
. Do char(R) = 2 nên γ(a + b) =
(a + b)
2
= a
2

+ b
2
= γ(a) + γ(b) từ đó γ là đồng cấu nhóm ab en. Vì R/J
∼
=
Z
2
nên với mọi r ∈ R thì (r + J)
2
= r + J hay r
2
− r ∈ J. Nhưng do J
3
= 0 nên
a
2
(r
2
− r) = 0 suy ra a
2
r
2
= a
2
r. Do đó γ(ar) = a
2
r
2
= a
2

r = γ(a)r nên γ là đồng
cấu R -môđun và γ(J) = Z
2
m. Nếu R
R
là nội xạ thì γ = c· với c ∈ R, tức là với
mọi a ∈ J ta có γ(a) = ca = a
2
, suy ra (c − a)a = 0 với mọi a ∈ J. Nếu c /∈ J thì
c − a /∈ J suy ra c − a ∈ Z
2
. Khi đó với mọi a ∈ J, a = (c − a)
−1
(c − a)a = 0 nên
J = 0 vô lý, vậy nên c ∈ J. Giả sử c = λm +

n
i=1
λ
i
x
i
với λ, λ
i
∈ Z
2
, khi đó do
mx
n+1
= 0 = x

i
x
j
với mọi i = j nên m = x
2
n+1
= γ(x
n+1
) = cx
n+1
= 0. Điều này
mâu thuẫn, vậy R
R
là không nội xạ.
Trong [6] R.Y.C.Ming đã định nghĩa mô đun M
R
gọi là C-nội xạ nếu với mọi
môđun N
R
, và C là một môđun c on xyclic bất kỳ của nó, mọi R-đồng cấu từ C vào
N đều có thể mở rộng thành đồng cấu từ N vào M. Ông đã chứng minh lớp môđun
p-nội xạ là mở rộng thực sự của lớp môđun C-nội xạ. Vành R gọi là n-nội xạ phải
nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải n sinh và o R đều mở rộng được thành một
tự đồng cấu của R. Theo [7, example 5.22] ta thấy rằng tồn tại vành R là p-nội xạ
phải, nhưng không 2-nội xạ phải. Từ đây ta thấy lớp môđun C-nội xạ là mở rộng
thực sự của fg-nội xạ. Cũng như R.Y.C.Ming đã làm, chúng ta sẽ chứng minh lớp
môđun f-nội xạ là mở rộng thực sự của lớp môđun fg-nội xạ.
73
Mệnh đề 2.5. Cho M là fg-nội xạ. Khi đó mọi môđun con hữu hạn sinh của M
đều có bao nội xạ trong M. Đặc biệt, mọi môđun hữu hạn sinh và fg-nội xạ thì nội

xạ.
Chứng minh. Giả sử P là môđun con hữu hạn sinh của M, E là bao nội xạ
của P. Nếu g : P −→ M và j : P −→ E là các đồng cấu bao hàm thì do M
là fg-nội xạ nên tồn tạ i h : E −→ M sao cho hj = g. Với mọi u ∈ Kerh ∩ P ,
u = g(u) = hj(u) = h(u) = 0, từ đó Kerh ∩ P = 0. Do P ≤
e
E nên kerh= 0, vậy h
là đơn cấu. Suy ra H(E)
∼
=
E là nội xạ và là bao nội xạ của P . Đặc biệt nếu P = M
thì P là nội xạ. 
Vành R gọi là V -vành phải nếu mọi R-môđun phải đơn đều nội xạ. Từ mệnh đề
2.5 ta có các hệ quả sau.
Hệ quả 2.6. R là V -vành phải khi và chỉ khi mọi R -môđun phải đơn là fg-nội xạ.
Hệ quả 2.7.(Đặc trưng vành nửa đơn) Các điều kiện sau là tương đương:
(1) R là vành nửa đơn.
(2) Mọi R-môđun là fg-nội xạ.
(3) Mọi R-môđun xyclic là fg-nội xạ.
Mệnh đề 2.8. R là vành chính quy khi và chỉ khi mọi R-môđun phải đều là f-nội
xạ.
Chứng minh. Nếu R là vành chính quy thì mọi iđêan phải hữu hạn sinh I của R
đều là hạng tử trực tiếp. Do đó với mọi R-môđun M, mọi R-đồng cấu từ I vào M
đều mở rộng được thành đồng cấu từ R vào M hay M là f-nội xạ.
Ngược lạ i, giả sử rằng mọi R-môđun M đều là f-nội xạ. Với mọi iđêan phải hữu
hạn sinh I của R, theo giả thiết I là f-nội xạ nên ánh xạ đồng nhất id : I −→ I
được mở rộng thành t : R −→ I. Với ánh xạ bao hàm h : I −→ R thì với mọi a ∈ I
ta có th(a) = t(a) = a, suy ra th = 1
I
nên h là đơn cấu chẻ ra, từ đó I là hạng tử

trực tiếp của R
R
. Vậy R là vành chính quy. 
Mệnh đề 2.9. Nếu R là vành chính quy sao cho mọi R-môđun f-nội xạ đều fg-nội
xạ thì R là V -vành.
Chứng minh. Với M là R-môđun xyclic, theo mệnh đề 2.8 thì M
R
là f-nội xạ nên
M
R
là fg-nội xạ, lại theo mệnh đề 2.5 thì M
R
là nội xạ. 
Theo [7, example 3.74A] chúng ta thấy rằng có những vành chính quy nhưng
không là V -vành phải. Mệnh đề trên cho thấy lớp c ác môđun f-nội xạ là lớp mở
rộng thực sự của lớp các môđun fg-nội xạ.
3. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN fg-NỘI XẠ VÀ fg-XẠ ẢNH
Mệnh đề 3.1. Nếu R là vành sao cho mọi môđun hữu hạn sinh đều xạ ảnh thì mọi
môđun thương của môđun fg-nội xạ là fg-nội xạ.
Chứng minh. Cho A là R-môđun fg-nội xạ và có toàn cấu g : A −→ B. Với mọi
74
R-môđun M và N là môđun con hữu hạn sinh của nó, gọi i : N −→ M là đơn cấu
bao hàm. Với mọi đồng cấu h : N −→ B, do N là xạ ảnh nên tồn tại k : N −→ A
sao cho h = gk. Lại do A là fg-nội xạ nên tồn tại l : M −→ A sao cho li = k. Đặt
u = g l thì u : M −→ B và thỏa mãn ui = gli = gk = h, do đó B là fg-nội xạ. 
Trong [6] R.Y.C.Ming đã đưa ra một số kết quả về môđun C-nội xạ và C-xạ ảnh.
Đối với lớp môđun fg-nội xạ và fg-xạ ảnh ta cũng có một số kết quả tương tự.
Định lý 3.2. Các khẳng định sau là tương đương:
(1) R là vành các iđêan phải chính .
(2) Mọi iđêan phải hữu hạn sinh của R là chính và mọi R-môđun f-nội xạ là nội

xạ.
(3) Mọi iđêan phải hữu hạn sinh của R là chính và mọi R-môđun fg-nội xạ là nội
xạ.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3) là rõ ràng. G iả sử có (3), do mọi R-môđun fg-nội
xạ là nội xạ nên R là vành Noether phải, từ đó mọi iđêan phải đều hữu hạn sinh
nên là iđêan chính phải, suy ra R là vành các iđêan phải chính . 
Mệnh đề 3.3.Với R là vành tùy ý, các khẳng định sau là tương đương:
(1) R là vành các iđêan phải chính và R là tựa Frobenius.
(2) R là vành các iđêan trái chính và R là tựa Frobenius.
(3) Mọi iđêan một phía hữu hạn sinh của R là linh hóa tử của một phần tử của R
và mọi R-môđun f-nội xạ là nội xạ.
(4) Mọi iđêan một phía hữu hạn sinh của R là linh hóa tử của một phần tử của R
và mọi R-môđun fg-nội xạ là nội xạ.
Chứng minh. (1)⇔ (2) do [2, prop osition 25.4.6B]. Do (1)⇔ (2) nên ta chỉ cần
chứng minh cho iđêan phải. Giả sử có (1), khi đó mọi R-môđun f-nội xạ là nội xạ.
Gọi T là iđêan phải của R thì T = aR với a ∈ R. Do R là vành tựa Frobenius
nên T = rl(T ) = rl(aR) = rl(a) = r(Rb) = r(b) với b ∈ R. (3) suy ra (4) là rõ
ràng. Bây giờ giả sử có (4), ta chứng minh R là vành các iđêan phải chính . Giả
sử F là iđêan phải hữu hạn sinh của R, theo g iả thiết thì F = r(b) = r(Rb) với
b ∈ R, nhưng Rb là iđêan trái hữu hạn sinh của R nên Rb = l(c) = l(cR) với
c ∈ R. Vì cR lại là iđêan phải hữu hạn sinh của R nên cR là linh hóa tử, do đó:
cR = rl(cR) = r(Rb) = r(b) = F , suy ra F là chính. Như vậy, mọi iđêa n phải hữu
hạn sinh của R là chính và mọi R-môđun fg-nội xạ là nội xạ nên theo định lý 3.2 ta
có R là vành các iđêan phải chính . Do đó để chứng minh R là tự nội xạ, ta chứng
minh R là p -nộ i xạ. Với mọi a ∈ R, do Ra là linh hóa tử nên Ra = lr(Ra) = lr(a).
R
R
là vành Noether là rõ ràng theo định lý 2.3, từ đó R là vành tựa Frobenius. 
Mệnh đề 3.4.Cho R là vành hoàn toàn không suy biến và thoả mãn: bất kỳ tổng
trực tiếp nào của các bao nội xạ của các môđun hữu hạn sinh suy biến đều nội xạ.

Khi đó với mọi M là môđun fg-nội xạ thì Z(M) là nội xạ.
Chứng minh. Rõ ràng R -môđun 0 là nội xạ, nên ta có thể giả sử Z(M) = 0. Lấy
0 = u
1
, , u
n
∈ Z(M) khi đó u
1
R+ +u
n
R có bao nội xạ V chứa trong M theo mệnh
đề 2.5. Do R là vành hoàn toàn không suy biến nên theo [4, theorem 4] thì từ tính nội
75
xạ của V suy ra Z(V ) nội xạ. Do u
1
, , u
n
∈ Z(M) nên u
1
R+ +u
n
R ≤ Z(M) nghĩa
là với mọi x thuộc vào u
1
R + + u
n
R ta có r(x) ≤
e
R
R

nên từ u
1
R + + u
n
R ≤ V
suy ra u
1
R + + u
n
R ≤ Z(V ), do Z(V ) nội xạ nên V ≤ Z(V ), nhưng hiển nhiên
Z(V ) ≤ V . Vậy V = Z(V ) ≤ Z(M).
Gọi S là tập tất cả các bao nội xạ của các môđun hữu hạn sinh suy biến được
chứa trong Z(M). Khi đó S = ∅ vì theo chứng minh trên, nếu ta lấy môđun
u
1
R + + u
n
R thì nó có bao nội xạ V ≤ Z(M) và vì u
1
R + + u
n
R ≤ Z(M) nên
u
1
R + + u
n
R = Z(u
1
R + + u
n

R). Lấy E là tập tất cả các họ độc lập {E
j
} gồm
các phần tử của S. Khi đó E là tập sắp thứ tự tuyến tính. Theo bổ đề Zorn, E có
phần tử cực đại {E
i
}
i∈I
0
. Đặt N =

i∈I
0
E
i
≤ Z(M) thì N là nội xạ theo giả thiết.
Do đó Z(M) = N

Q. Nếu q ∈ Q và q = 0 thì qR có bao nội xạ W ≤ Z(M).
Nếu W ∩ N = 0 thì có phần tử khác không x thuộc cả W và N. Vì qR ≤
e
W nên
N ≥ xR ∩ qR = 0 từ đó N ∩ Q = 0 mâu thuẫn. Do đó W ∩ N = 0. Như thế có
một phần tử của E thực sự chứa {E
i
}
i∈I
0
mâu thuẫn tính cực đại. Suy ra Q = 0 nên
Z(M) = N là nội xạ. 

Định lý 3.5. Trên vành R tùy ý, mọi môđun hữu hạn sinh và fg-xạ ảnh đều xạ
ảnh.
Chứng minh. Giả sử rằng M
R
là fg-xạ ảnh và hữu hạn sinh, M = m
1
R+ +m
k
R.
Với N là R -môđun, lấy f : P −→ N là toàn cấu và g : M −→ N là đồng cấu bất
kỳ. Đặt n
i
= g(m
i
), i = 1, k và S = n
1
R + + n
k
R thì do g là đồng cấu nên tương
ứng g

: M −→ S xác định bởi

i
m
i
r
i
−→


i
n
i
r
i
là đồng cấu và jg

= g với
j : S −→ N là đồng cấu bao hàm. Do f là toàn cấu nên tồn tại p
i
, i = 1, k sao cho
f(p
i
) = n
i
. Đặt Q = p
1
R + + p
k
R, xét f

là thu hẹp của f lên Q thì f

: Q −→ S
và jf

= fi với i : Q −→ P là phép nhúng. Do f

là toàn cấu và M là fg-xạ ảnh
nên tồn tại đồng cấu h


: M −→ Q sao cho f

h

= g

. Đặt h = ih

thì h : M −→ P
và fh = fih

= jf

h

= jg

= g. Vậy M là xạ ảnh. 
Hệ quả 3.6. Các điều kiện sau tương đương:
(1) R là vành nửa đơn.
(2) Mọi R-môđun là fg-xạ ảnh.
(3) Mọi R-môđun suy biến là fg-xạ ảnh.
(4) Mọi R-môđun đơn là fg-xạ ảnh.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3) là rõ ràng. Giả sử có (3) và M là môđun đơn khi đó
M hoặc là suy biến hoặc là hoàn toàn không suy biến. Nếu M là suy biến thì theo
giả thiết nó là fg-xạ ảnh. Nếu M là hoàn toàn không suy biến, M = aR với a = 0,
xét đồng cấu h : R
R
−→ aR xác định bởi h(r) = ar, khi đó M

∼
=
R/r(a). Do M là
hoàn toàn không suy biến nên tồn tại iđêan phải I = 0 của R sao cho r(a) ∩ I = 0,
do tính cực đại của r(a) suy ra R = r(a) ⊕ I. Như thế M
∼
=
R/r(a)
∼
=
I là hạng
tử trực tiếp của môđun tự do R
R
nên là xạ ảnh. Suy ra M là fg-xạ ảnh. Giả sử có
(4), với mỗi iđêan phải cực đại m của R thì R/m là môđun đơn, từ đó R/m là xạ
ảnh vì R/m hữu hạn sinh. Do đó m =kerp là hạng tử trực tiếp thực sự của R, với
p : R −→ R/m là phép chiếu, suy ra m không cố t yếu trong R
R
. Với mọi R-môđun
phải M và với mọi 0 = a ∈ M xét iđêan phải r(a) thì nó được chứa trong iđêan
76
phải cực đại m nào đó, do đó r(a) không cốt yếu trong R
R
, suy ra M là hoàn toàn
không suy biến. Vậy R là vành nửa đơn. 
Tài liệu tham khảo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] F. W.Anderson, K. R.Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag,
New York, 1992.
[2] C. Faith, Algebra II: Ring Theory, Springer-Verlag, 1980.

[3] T.Y.Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics,
Vol.189, Springer-Verlag, Berlin, 1998.
[4] R.Y.C.Ming, A note on singular ideals , Tôhoku Math. J.21 (1969), 337-342.
[5] R.Y.C.Ming, A remark on decomposable modules , Publ. Inst. Math. (Beograd),
25(39) (1979), 101-104.
[6] R.Y.C.Ming, C-injectivity and C-projectivity, Hiroshima Math.J. 37(20 07 ),
385-395.
[7] W. K. Nicholson, M. F. Yousif, Quasi-Frobenius Rings, Cambridge University
Press, 2003.
[8] S. S. Page, Y. Q. Zhou, Generalizations of Principally Injective Ring, J. Algebra
206(1998),706-721.
[9] R.Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Sci
Pub, 1991.
ON fg-INJECTIVE AND fg-PROJECTIVE MODULES
Tran Nguyen Dinh Nam,
College of Pedagogy, Hue University.
SUMMARY
In this paper we consider the classes of fg-injective and fg-projective modules.
That are the extensions of the classes of injective and projective modules respec-
tively. Some characterizations of a semisimple ring via fg-injective and f g-projective
modules are obtained. We also obtain some properties of Noetherian, QF, singular,
nonsingular rings via fg-injective and fg-projective modules.
.
77