Về môđun các thương suy rộng luận văn thạc sỹ toán học

TRNG I HC VINH
KHOA TON HC

TH HNG PHNG

MễUN CC THNG SUY RNG

luận văn thạc sỹ toán học

Ngh An, 2011
1


TRNG I HC VINH
KHOA TON HC

TH HNG PHNG

V MễUN CC THNG SUY RNG
luận văn thạc sỹ toán học

Chuyên ngành: I S V Lí THUYT S
Mó s: 60.46.05

Ngi hng dn khoa hc
TS. NGUYN TH HNG LOAN

Ngh An, 2011
MC LC
2

MỞ ĐẦU
Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. Trong [6], R.Y.Sharp và H.Zakeri đã
xây dựng một R- môđun gọi là môđun các thương suy rộng. Với mỗi số nguyên
dương k, các tập tam giác trong Rk được định nghĩa bởi Sharp và Zakeri đóng vai
trò như các tập nhân đóng trong lý thuyết quen biết về vành và môđun các thương.
Vì thế lý thuyết môđun các thương suy rộng có thể xem là mở rộng của lý thuyết
địa phương hoá thông thường. Lý thuyết môđun các thương suy rộng có nhiều ứng
dụng trong Đại số giao hoán. Chẳng hạn, cho M là một R- môđun với dim R = n,
môđun đối đồng điều địa phương H mn ( M ) có thể được xem như là một môđun các
thương suy rộng của môđun M ứng với một tập tam giác trong Rn+1 và người ta đã
dùng kết quả này để nghiên cứu Giả thuyết Đơn thức của M. Hochster.
Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày lại
khái niệm môđun các thương suy rộng và tìm hiểu một số ứng dụng của môđun các
thương suy rộng trong việc nghiên cứu một số vấn đề trong Đại số giao hoán.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia
thành ba chương.
Chương I: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày về
vành và môđun các thương để thấy được khái niệm môđun các thương suy rộng là
một sự mở rộng của khái niệm môđun các thương. Ngoài ra, trong chương này,
chúng tôi cũng trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán nhằm phục
vụ cho chứng minh ở các chương sau.
Chương II: Môđun các thương suy rộng. Trong chương này, chúng tôi sẽ
trình bày về cách xây dựng môđun các thương suy rộng và trình bày một số ví dụ
về môđun các thương suy rộng.
Chương III: Một số ứng dụng của lý thuyết môđun các thương suy
rộng. Môđun các thương suy rộng có nhiều ứng dụng trong Đại số giao hoán.
Nhiều nhà toán học trên thế giới đã sử dụng Lý thuyết môđun các thương suy rộng
3

như là công cụ chính để nghiên cứu nhiều vấn đề trong Đại số giao hoán. Vì khuôn
khổ có hạn của Luận văn nên trong chương này, chúng tôi chỉ trình bày những vấn
đề sau:
- Cho M là một R- môđun với dim R = n. Môđun đối đồng điều địa phương
H mn ( M ) có thể được xem như là một môđun các thương suy rộng của môđun M
ứng với một tập tam giác trong Rn+1.
- Mối quan hệ của môđun các thương suy rộng với Giả thuyết Đơn thức của
Hochster.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2011 tại trường Đại học Vinh
dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo và
nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cũng nhân dịp này tác giả
xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán và khoa Sau đại học
đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn. Tác giả xin chân
thành cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp Cao học 17 - Đại số - Lý thuyết số đã
giúp đỡ động viên tác giả trong suốt quá trình học tập.
Luận văn được hoàn thành bằng tất cả sự nỗ lực và cố gắng của bản thân,
song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn hoàn
thiện hơn.
Vinh, tháng 10 năm 2011
Tác giả

4


CHƯƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn, vành luôn được giả thiết là giao hoán và có đơn vị.
1.1. Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại
(i) Iđêan p của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu p ≠ R và ∀x, y ∈ R mà
xy ∈ p thì x ∈ p hoặc y ∈ p.

m của R được gọi là iđêan cực đại nếu m ≠ R và không tồn tại
iđêan J ≠ R sao cho J ⊃ m và J ≠ m.
(ii) Iđêan

1.2. Vành địa phương
1.2.1. Định nghĩa. Vành R được gọi là vành địa phương nếu R chỉ có duy nhất một
iđêan cực đại

m.

1.2.2. Ví dụ. (i). Trường là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là { 0} .
∞

i
(ii). Vành các chuỗi lũy thừa hình thức K § x ¨ = ∑ ai x / ai ∈ K  là vành địa
 i =0

phương với iđêan cực đại duy nhất là iđêan x sinh bởi x.

mlà một iđêan thực sự của R. Khi đó R là vành địa phương
với iđêan cực đại duy nhất là m khi và chỉ khi mọi phần tử x ∈ R\ m đều khả
1.2.3. Định lí. Giả sử
nghịch trong vành R.

1.3. Vành và mô đun các thương

1.3.1. Tập nhân đóng. Cho R là một vành và S ⊆ R. S được gọi là tập nhân đóng
của vành R nếu 1∈ S và ∀a, b ∈ S thì ab ∈ S.
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó S = R\ p là một tập nhân
đóng của vành R. Thật vậy, 1 ∈ R\ p. Vì nếu 1 ∉ R\ p hay 1 ∈ p thì a.1 = a ∈ p, ∀
a ∈ R. Khi đó p = R. Điều này là mâu thuẫn. Vậy 1 ∈ R\ p. Mặt khác, ∀ a, b ∈ R\

p tức là a, b ∉ p ta có ab ∉ p do p là iđêan nguyên tố. Do đó ab ∈ R\ p. Suy ra
R\ p là tập nhân đóng của vành R.
5


Nếu R là một miền nguyên thì R* = R\ { 0} là một tập nhân đóng của vành R.
1.3.2. Xây dựng vành các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích
Đề các R x S ta xét quan hệ hai ngôi ∼:

( r, s ) :

( r , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t ( rs − sr ) = 0 .
,

,

,

,

Dễ thấy ∼ là một quan hệ tương đương trên R x S. Với (r,s) ∈ R x S, ký hiệu r/s là
lớp tương đương chứa (r,s) và S-1R là tập thương của R x S theo quan hệ tương
đương ∼:
S-1R = {r/s | r∈ R, s∈ S}.

Trên S-1R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân như sau:

a b at + bs a b ab
+ =
;
=
.
s t
st
s t st
Dễ thấy quy tắc cộng và nhân ở trên không phụ thuộc vào cách chọn phần tử
đại diện của các phần tử trong S-1R, vì thế nó là phép toán trên S-1R. Cùng với
hai phép toán này, S-1R là một vành giao hoán, phần tử không là 0/1, phần tử
đơn vị là 1/1. Vành S-1R được gọi là vành các thương của R theo tập nhân
đóng S. Mỗi iđêan của vành S-1R có dạng
S-1I = {a/s | a∈ I, s∈ S},
trong đó I là iđêan của R. Ta có S-1I = S-1R ⇔ I ∩ S ≠ ∅ . Do đó S-1I là iđêan thực
sự của S-1R khi và chỉ khi I ∩ S = ∅ . Mỗi iđêan nguyên tố của vành S-1R có dạng
S-1 p, trong đó p là iđêan nguyên tố của R không giao với S.
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó S = R \ p là một tập nhân
đóng của vành R. Vành S-1R trong trường hợp này là vành địa phương, ký hiệu là

Rp , với iđêan cực đại duy nhất pR p = S −1p = { a / s a ∈ p, s ∈ R \ p} nên được gọi là
vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p.
1.3.3. Xây dựng môđun các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Khi đó
ta có vành các thương S-1R. Trên tích Đề các M x S, xét quan hệ hai ngôi ∼:
6


( m, s ) :

( m , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t ( ms − sm ) = 0 .
,

,

,

,

Khi đó ∼ là quan hệ tương đương trên M x S. Do đó M x S được chia thành các lớp
tương đương, ký hiệu tập thương của M x S theo quan hệ tương đương ∼ là S-1M và
ký hiệu lớp tương đương chứa (m,s) là m / s . Như vậy
S-1 M = { m / s | m∈ M, s∈ S}.
Trên S-1M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng:

m / s + m '/ s ' = ( s ' m + sm ' ) / ss ', ∀m / s; m '/ s ' ∈ S −1 M
và

r / t.m / s = rm / ts, ∀r / t ∈ S −1 R, m / s ∈ S −1 M .
Quy tắc cộng và nhân ở trên không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại
diện. Khi đó S −1 M có cấu trúc là một S −1 R -môđun và gọi là môđun các thương
của M theo tập nhân đóng S. S −1 M cũng có thể xem là một R-môđun với phép
nhân vô hướng như sau: r. x / s = rx / s , với mọi r ∈ R, x / s ∈ S −1 M .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và S = R \ p. Khi đó môđun S −1 M
được gọi là môđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố p, ký hiệu là Mp .
Như vậy Mp có thể xem như là Rp -môđun hoặc là R-môđun.
1.3.4. Định lí. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Khi đó với mọi dãy khớp ngắn
các R – môđun
0 

→ M ' 
→ M 
→ M '' 
→0
thì dãy
0 
→ S 1M ' 
→ S 1M 
→ S −1M '' 
→0
là dãy khớp các S-1R – môđun.

1.4. Phổ, giá, độ cao và chiều Krull của môđun

7


1.4.1. Phổ của vành. Ký hiệu Spec R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R.
Khi đó Spec R được gọi là phổ của vành R.
Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu V (I ) = { p∈ SpecR p ⊇ I } .
1.4.2. Độ cao của iđêan. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R :
p0 ⊃ p1 ⊃ ... ⊃ pn được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n .

Cho p∈ Spec R , cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với

p0 = p được gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht ( p) , nghĩa là:
ht ( p) = sup {độ dài các xích nguyên tố với p0 = p}.
Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa:
ht ( I ) = inf { ht ( p) p∈ Spec R, p ⊇ I } .

1.4.3. Chiều Krull của môđun. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên
tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R .
Cho M là một R − môđun. Khi đó linh hóa tử của môđun M:

AnnR M = { a ∈ R aM = 0} = { a ∈ R ax = 0, x ∈ M }
là một iđêan của M. Chiều của vành thương dim ( R / Ann R M ) được gọi là chiều
Krull của môđun M, ký hiệu là dimRM (hoặc dim M).

{

}

1.4.4. Giá của môđun. Tập con Supp M = p∈ SpecR M p ≠ 0 của Spec R được
gọi là giá của môđun M.
Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

Supp M = V (Ann R M ) = { p∈ SpecR p ⊇ Ann R M} .
1.5. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
1.5.1. Định nghĩa. Cho M là một R – môđun. Ta gọi iđêan nguyên tố p của R là
một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đương sau
được thỏa mãn:
(i) Tồn tại phần tử x ∈ M sao cho AnnR(x) = p trong đó:
8


AnnR x = { a ∈ R ax = 0} ;
(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/ p.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssRM hoặc AssM
nếu không để ý đến vành R.
1.5.2. Mệnh đề. AssRM ⊆ SuppRM và mọi phần tử tối tiểu của Supp RM đều thuộc

AssRM.
1.5.3. Mệnh đề. Nếu M là R – môđun Noether thì AssRM là tập hợp hữu hạn.
1.6. Độ dài của môđun
1.6.1. Định nghĩa. Một dãy hợp thành của một R – môđun M là một dãy giảm gồm
một số hữu hạn các môđun con
M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ..... ⊃ M n = { 0}
sao cho Mi-1 / Mi là một môđun đơn với mọi i = 1, 2, ..., n. Khi đó n được gọi là độ
dài của dãy hợp thành. Môđun M có một dãy hợp thành được gọi là một môđun có
dãy hợp thành.
1.6.2. Định lí. Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành có độ dài n, thì tất cả các
dãy hợp thành của M cũng có độ dài n. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực
sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp
thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành.
Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun
M và kí hiệu là lR ( M ) . Nếu R-môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ
dài lR ( M ) = ∞ và được gọi là môđun có độ dài vô hạn.
1.6.3. Đặc trưng của môđun có độ dài hữu hạn. (i). Một R – môđun M có độ dài
hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là môđun Noether vừa là môđun Artin.
(ii) Cho dãy khớp ngắn các R – môđun
0 
→ N 
→ M 
→ P 
→0 .
Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và P có độ dài hữu hạn và ta luôn có
lR ( M ) = lR ( N ) + lR ( P ) .
(iii) Nếu N là R – môđun con của R – môđun M thì
9

lR ( M ) = lR ( N ) + lR ( M / N ) .
(iv) Nếu R là vành Noether và M là một R – môđun có độ dài hữu hạn
thì AssR(M) = SuppR(M).
1.7. Hệ tham số
Cho M là môđun hữu hạn sinh với dim M = d trên vành giao hoán, địa
phương, Noether (R,

m). Một hệ gồm d phần tử x = ( x1 , x2 ,....., xd ) của

m sao

cho lR (M/(x1,x2,........,xd)M) < +∞ được gọi là một hệ tham số của M.
Nếu x = ( x1 , x2 ,....., xd ) là một hệ tham số của M thì các phần tử

( x1 , x2 ,....., xi )

gọi là một phần hệ tham số với mọi i = 1, 2, ...., d. Iđêan

q = (x1, ...., xd)R được gọi là iđêan tham số của M.
Ta có một số tính chất sau của hệ tham số.
i) dim (M/(x1,x2,........,xi)M) = d – i với mọi i = 1,...,d
ii) xi + 1 ∉ p với mọi p ∈ AssR(M/(x1,x2,........,xd)M) thỏa mãn dim (R/ p) = d – i với
mọi

i = 1,...,d – 1.

iii) Nếu x = ( x1 , x2 ,....., xd ) là một hệ tham số của M và n = ( n1 , n2 ,....., nd ) là bộ

(

)

n
n
n
gồm d số nguyên dương thì x(n) = x1 1 , x2 2 ,....., xd d cũng là hệ tham số của M.

iv) Mọi hoán vị của hệ tham số của môđun M cũng là một hệ tham số của M.
1.8. Môđun đối đồng điều địa phương

Giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương. Một dãy các
R – môđun và các đồng cấu R – môđun
f
f
L 
→ M i −1 
→ M i 
→ M i +1 
→L
i −1

i

được gọi là một đối phức nếu Im f i −1 ⊆ Ker f i với mọi i. Nếu dãy này là một
đối phức thì môđun Ker f i / Im f i −1 được gọi là môđun đối đồng điều thứ i của
đối phức này. Dãy trên được gọi là khớp tại mắt thứ i nếu Im f i −1 = Ker f i . Ta
gọi dãy này là khớp nếu nó khớp tại mọi mắt. Một dãy khớp có dạng
f
g
0 

→ M ' 
→ M 
→ M " 
→0

10


được gọi là một dãy khớp ngắn. Chú ý rằng dãy này là khớp khi và chỉ khi f
là đơn cấu, g là toàn cấu và Im f = Ker g.
1.8.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan của R. Với mỗi R – môđun N ta định nghĩa
Γ I ( N ) = U( 0 :N I n ) . Nếu f : N 
→ N ' là đồng cấu các R – môđun thì ta có
n≥0
→Γ I ( N ') cho bởi f * ( x) = f ( x). Khi đó nếu
đồng cấu f * : Γ I ( N ) 
f
g
0 
→ M ' 
→ M 
→ M " 
→0

là một dãy khớp ngắn các R – môđun thì dãy cảm sinh
f
g
0 
→Γ I ( M ') 
→Γ I ( M ) 

→Γ I ( M ") 
→0
*

*

cũng khớp. Vì hàm tử Γ I ( − ) có tính chất đã nêu ở trên nên ta nói Γ I ( − ) là
hàm tử hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các R – môđun đến phạm trù các R –
môđun. Hàm tử Γ I ( − ) được gọi là hàm tử I - xoắn .
Một R – môđun E được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu
f : N → M và mỗi đồng cấu g: N → E, tồn tại một đồng cấu h: M → E sao
cho g = hf. Cho E là một R – môđun và M là môđun con của E. Ta nói E là
một mở rộng cốt yếu của M nếu M ∩ L ≠ 0 với mọi môđun con L ≠ 0 của E.
Ta nói E là bao nội xạ của M nếu E là một mở rộng cốt yếu của M và E là
một môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi R – môđun M đều có bao nội xạ và bao
nội xạ của M là xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu. Vì thế ta kí hiệu
bao nội xạ của M là ER(M) hay E(M).
1.8.2. Định nghĩa. Một lời giải nội xạ của một R – môđun N là một dãy khớp
0 
→ N 
→ E0 
→ E1 
→ E2 
→L
trong đó mỗi Ei là môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi môđun đều nhúng được vào
một môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có lời giải nội xạ.

11

1.8.3. Định nghĩa. Cho N là R – môđun và I là iđêan của R. Môđun dẫn xuất
phải thứ n của hàm tử I – xoắn Γ I ( − ) ứng với N được gọi là môđun đối đồng
n
điều thứ n của N với giá I, kí hiệu là H I ( N ) . Cụ thể, nếu
u
u
0 
→ N 
→ E0 
→ E1 
→ E2 
→L
0

là giải nội xạ của N, tác động hàm tử

ΓI ( −)

1

ta có đối phức

u0
u1
0 
→ Γ( E0 ) 
→ Γ( E1 ) 
→ Γ( E2 ) 
→L
n

*
*
Khi đó H I ( N ) = Ker un / Im un −1 , tức là môđun đối đồng điều thứ n của N với

giá I chính là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức trên. Chú ý rằng
*
*
môđun Ker un / Im un−1 không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ của N.

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa
phương.
1.8.4. Mệnh đề. Cho N là một R – môđun. Các phát biểu sau đây là đúng.
0
(i) H I ( N ) ≅ Γ I ( N )
i
(ii) Nếu N là nội xạ thì H I ( N ) = 0 với mọi i ≥ 1.
i
(iii) Nếu N = Γ I ( N ) thì H I ( N ) = 0 với mọi i ≥ 1.
i
i
i
(iv) H I ( M ) là môđun I – xoắn với mọi I, tức là H I ( M ) = Γ I ( H I ( M ) )

.
j
i
Đặc biệt, H I ( H I ( M ) ) = 0 với mọi j > 0.

1.8.5. Mệnh đề. Cho 0 
→ N ' 

→ N 
→ N " 
→ 0 là dãy khớp ngắn
các R – môđun. Khi đó tồn tại với mỗi số tự nhiên n một đồng cấu

δ n : H In ( N ")


→

H In+1 ( N ') sao cho ta có dãy khớp dài

δ
0 
→Γ I ( N ') 
→Γ I ( N ) 
→Γ I ( N '') 
→ H I1 ( N ')
0

δ

→ H I1 ( N ) 
→ H I1 ( N '') 
→ H I2 ( N ') 
→L
1

Các đồng cấu δ n trong mệnh đề trên được gọi là các đồng cấu nối.
12

1.8.6. Mệnh đề. Đặt M = M / Γ I ( M ) . Khi đó với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có

( )

H In ( M ) ≅ H In M .
Độ sâu của môđun M trong một iđêan I được đặc trưng thông qua tính
triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau.
1.8.7. Mệnh đề. Cho I là iđêan của R ta có
depth ( I , M ) = inf { i H Ii ( M ) ≠ 0} .

Kết quả sau đây nói rằng chiều của một môđun hữu hạn sinh M là một
bất biến quan trọng của M có liên quan trực tiếp tới tính triệt tiêu của môđun
đối đồng điều địa phương.
i
1.8.8. Mệnh đề. dim M = sup { i H m ( M ) ≠ 0} .

Kí hiệu ara (I) là số tự nhiên t bé nhất sao cho có t phần tử của R sinh
ra

I . Ta có kết quả sau.

i
1.8.9. Mệnh đề. H I ( M ) = 0 với mọi i > ara( I ) .

13


CHƯƠNG II

MÔĐUN CÁC THƯƠNG SUY RỘNG
2.1. Tập con tam giác
2.1.1. Định nghĩa. Cho n là một số nguyên dương. Kí hiệu Dn(R) là tập tất cả các
ma trận tam giác dưới cấp n với hệ tử trong R. Một tập con tam giác của Rn là một
tập con khác rỗng U của Rn sao cho hai điều sau được thỏa mãn:

(

)

α
α
α
(i) Nếu (u1, u2, ......., un) ∈ U thì u1 1 , u2 2 ,....., un n ∈U với mọi bộ số nguyên

dương α1 ,.....,α n ;
(ii) Nếu (u1, u2, ......., un) ∈ U và (v1, v2, ......., vn) ∈ U thì tồn tại
(w1, w2, ......., wn) ∈ U và H, K ∈ Dn(R) sao cho
H[u1, u2, ...., un]T = [w1, w2, ...., wn]T = K[v1, v2, ...., vn]T
(ở đây kí hiệu [ ]T để chỉ ma trận chuyển vị).
2.1.2. Ví dụ. (i). Khi k = 1 thì tập con tam giác U chính là tập nhân đóng của vành
R.
(ii). Cho R là vành giao hoán, địa phương, Noether và M là một R – môđun
hữu hạn sinh, dimM = d (d ≥ 1). Khi đó tập hợp
U = {(x1, ...., xd)  (x1, ...., xd) là hệ tham số của M}
là một tập con tam giác của Rd.
Tập hợp
U(M)d + 1 = {(y1, ....., yd, 1) ∈ Rd + 1 / ∃j, 0 ≤ j ≤ d, sao cho (y1, ...., yj) là một phần hệ
tham số của M và yj + 1 = .... = yd = 1}

là tập con tam giác trong Rd + 1.
2.2. Xây dựng mô đun các thương suy rộng
Khi cho trước một tập con tam giác U, trong bài báo [7] Sharp và Zakeri đã
xây dựng một R – môđun U-nM và họ gọi đó là môđun các thương suy rộng của M
ứng với tập con tam giác U như sau.
14


2.2.1. Quan hệ tương đương trên M x U. Trên tích Đề - các M x U ta xét quan hệ
hai ngôi : : với b, c ∈ M và u = (u1, ...., un); v = (v1, ...., vn) ∈ U:
(b, (u1, ...., un)) : (c, (v1, ...., vn)) khi và chỉ khi tồn tại (w1,...., wn) ∈ U và H, K ∈
Dn(R) sao cho:
 n−1

H
b
−
K
c
∈
H[u1, ...., un] = [w1,.....,wn] = K[v1,.....,vn] và
 ∑ Rwi ÷M .
 i =1

T

T

T

Khi đó quan hệ : là một quan hệ tương đương trên M x U. Thật vậy quan hệ :
thỏa mãn các điều kiện sau.
Tính phản xạ: với b ∈ M và u = (u1, ...., un) ∈ U ta có w = (w1, ...., wn)∈ U sao cho
Hu = w = Hu,
 n−1

với H ∈ Dn(R). Mặt khác: H b − H b = 0 ∈  ∑ Rwi ÷M . Suy ra
 i =1

(b, (u1, ...., un)) : (b, (u1, ...., un)).
Tính đối xứng: giả sử (b, (u1, ...., un)) : (c, (v1, ...., vn)) tức là tồn tại (w1,...., wn) ∈ U
và H, K ∈ Dn(R) sao cho:
H[u1, ...., un]T = [w1,.....,wn]T = K[v1,.....,vn]T
và
 n−1

H b − K c ∈  ∑ Rwi ÷M .
 i =1

Suy ra
 Kv = w = Hu

 n−1
 .

K
c
−
H
b

∈
Rw
∑
i

÷M

 i =1


Do đó (c, (v1, ...., vn)) : (b, (u1, ...., un)) .
Tính bắc cầu: giả sử a, b, c ∈ M và s = (s1, ...., sn), t = (t1, ...., tn), u = (u1, ...., un)
∈ U sao cho
(a, (s1, ...., sn)) : (b, (t1, ...., tn))
và
(b, (t1, ...., tn)) : (c, (u1, ...., un).
15


Khi đó tồn tại (s’1,...., s’n), (t’1,...., t’n) ∈ U và H, K, P, Q ∈ Dn(R) sao cho:
 n −1

H
a
−
K
b
∈
Hs = s’ = Kt,
 ∑ Rs 'i ÷M

 i =1

và
 n−1

Pt = t’ = Qu, P b − Q c ∈  ∑ Rt 'i ÷M .
 i =1

Do U là tập con tam giác của Rn, tồn tại (v1,...., vn) ∈ U và X, Y ∈ Dn(R) sao cho:
Xs’ = v = Yt’.
Khi đó theo [7, 2.2]
 n−1

 n−1

XH a − XK b ∈  ∑ Rvi ÷M và YP b − YQ c ∈  ∑ Rvi ÷M .
 i =1

 i =1

Lấy D là ma trận đường chéo (v1,...., vn), ta có:
 n−1

 n−1

DXH a − DXK b ∈  ∑ Rvi2 ÷M và DYP b − DYQ c ∈  ∑ Rvi2 ÷M .
 i =1

 i =1


Vì XKt = Xs’ = v = Yt’ = YPt và theo [7, 2.3] ta có

(

 n−1 2 
DXH − DYP ) b ∈  ∑ Rvi ÷M .
 i =1


Khi đó,
 n−1 2 
DXH a − DYQ c ∈  ∑ Rvi ÷M .
 i =1


(*)

2
2
Vì U là tập con tam giác của Rn nên ( v1 ,...., vn ) ∈U và Dn(R) khép kín đối với phép

nhân nên DXH, DYQ ∈ Dn(R). Do đó từ
T

DXH = DXs ' = Dv = v12 ,...., vn2  = DYt ' = DYQu
và (*) suy ra
(a, (s1, ...., sn)) : (c, (u1, ...., un).
Vậy : là một quan hệ tương đương trên MxU.

16

Cho b ∈ M và u = (u1, ...., un) ∈ U. Kí hiệu

b
là lớp tương đương
(u1 ,...., un )

chứa (b, (u1, ...., un)) và U-nM là tập thương của M x U theo quan hệ tương đương
: , nghĩa là:


b
U −n M = 
: b ∈ M , (u1 ,...., un ) ∈U  .
 (u1 ,...., un )

2.2.2. Phép toán trên U-nM.

Với

a
b
,
∈U − n M và r ∈ R. Ta
( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un )

định nghĩa hai phép toán:
H b+ K a
a

b
+
=
• Phép cộng:
,
( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un ) (v1,...., vn )
với (v1, ....,vn) ∈ U và H, K ∈ Dn(R) thỏa mãn: Hs = v = Ku;
• Phép nhân với vô hướng: r.

a
ra
=
.
( s1 ,...., sn ) ( s1 ,...., sn )

Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện.
2.2.3. Mệnh đề. Với hai phép toán trên, U-nM trở thành một R – môđun.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng U-nM lập thành một nhóm giao hoán
với phép cộng. Thật vậy, với mọi

a
b
,
,
( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un )

c
∈U − n M , ta
( t1,...., tn )

có các tính chất sau đây của phép cộng.
Tính chất kết hợp:

a
b
+

 ( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un )


c
+
÷
÷ ( t ,...., t )
1
n


=

H a+ K b
c
+
( v1 ,...., vn ) ( t1 ,...., tn )

(với ( v1 ,...., vn ) ∈U và H , K ∈ Dn ( R ) : Hs = v = Ku)
=

X ( H a + K b) + Y c

( v '1,...., v 'n )

(với ( v '1 ,...., v 'n ) ∈U và X , Y ∈ Dn ( R) : Xv = v’ = Yt).
17


Mặt khác
X ( H a + K b) + Y c

( v '1,...., v 'n )

=
=

XH a + XK b + Y c
( v '1,...., v 'n )
XH a + ( XK b + Y c ) I n

( v '1,...., v 'n )

=

XK b + Y c
a
+
( s1 ,...., sn ) ( v '1 ,...., v 'n )

=



a
b
c
+ 
+
( s1 ,...., sn )  ( u1 ,...., un ) ( t1,...., tn )

(vì XHs = Xv = v’ = Inv’)

÷
÷


(vì XKu = Xv = v’= Yt).
Phần tử không là

0
∈U − n M vì
( u1 ,...., un )

I a + 0 In
a
0
0
a
a
+
=
+
= n

=
.
( u1,...., un ) ( u1,...., un ) ( u1,...., un ) ( u1,...., un ) ( u1,...., un ) ( u1,...., un )

Với mọi

a
−a
∈U − n M thì tồn tại phần tử đối là
∈U − n M .Thật vậy
( s1 ,...., sn )
( s1 ,...., sn )
I a + I n (−a )
a
−a
0
+
= n
=
.
( s1 ,...., sn ) ( s1 ,...., sn )
( s1,...., sn )
( s1,...., sn )

Giả sử

H a+ K b
a
b
+

=
(với ( v1 ,...., vn ) ∈U và H , K ∈ Dn ( R ) :
( s1 ,...., sn ) ( u1,...., un ) ( v1,...., vn )

Hs = v = Ku). Ta có
 H a+ K b K b+ H a
=

( v1,...., vn ) .
 ( v1 ,...., vn )
 Ku = v = Ht

Suy ra
H a+ K b
b
a
=
+
.
( v1 ,...., vn ) ( u1 ,...., un ) ( s1,...., sn )
18


Vậy
a
b
b
a
+
=

+
( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un ) ( u1,...., un ) ( s1 ,...., sn ) .
Do đó U-nM với phép cộng là một nhóm giao hoán.
• Xét ánh xạ: R × U − n M 
→U n M .

a
 r ,
 ( s1 ,....., sn )
Với mọi r1 , r2 ∈ R;


÷
÷a


ra
( s1,....., sn )

a
b
,
∈U − n M :
( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un )



H a+ K b
a
b

r1 
+
 = r1
( v1 ,...., vn )
 ( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un ) 
(với ( v1 ,...., vn ) ∈U và H , K ∈ Dn ( R ) : Hs = v = Ku)
=

=

( r1 + r2 )

r1 ( H a + K b )

( v1 ,...., vn )

=

H r1a + K rb
1
( v1,...., vn )

r1a
rb
a
b
1
+
= r1
+ r1

( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un ) ( s1,...., sn ) ( u1 ,...., un ) .

a
( r + r ) a = r1a + r2a
= 1 2
( s1,...., sn ) ( s1,...., sn ) ( s1,...., sn )
=

I n r1a + I n r2 a
r1a
r2 a
=
+
( s1 ,...., sn )
( s1 ,...., sn ) ( s1,...., sn )
(vì Ins = s = Ins và I n = 1 ).

( r1.r2 )
1.


a
( r .r ) a = r1 (r2a)
(r2 a )
a
= 1 2
= r1
= r1  r2
( s1 ,...., sn ) ( s1 ,...., sn ) ( s1,...., sn )
( s1 ,...., sn )  ( s1 ,...., sn )

a
1.a
ra
=
=
( s1 ,...., sn ) ( s1,...., sn ) ( s1,...., sn ) .
Vậy U-nM là một R – môđun.
19


÷
÷.



2.2.4. Định nghĩa. Môđun U-nM được gọi là môđun các thương suy rộng của M
theo tập con tam giác U.
2.2.5. Bổ đề. Cho U là một tập con tam giác của R n, giả sử m ∈ M và (u1,.....,un) ∈
U sao cho

un m
m
= 0 trong U-nM. Khi đó
=0
( u1 ,...., un )
( u1 ,...., un ) .

Chứng minh. Tồn tại ( w1 ,...., wn ) ∈U và H =  hij  ∈ Dn ( R ) sao cho Hu = w và
 n−1


H un m ∈  ∑ Rwi ÷M . Khi đó
 i =1

n −1


 n−1

hij  wn − ∑ hniui ÷m ∈  ∑ Rwi ÷M .
∏
i =1
i =1


 i =1

n −1

 n−1

h
......
h
w
m
∈
Do đó theo [7, 2.2] 11
n −1n −1 n
 ∑ Rwi ÷M . Khi đó, theo [7, 3.3(ii)]

 i =1

h11......hn−1n−1wn m
=0
( w1,...., wn−1, wn2 )
trong U-nM. Suy ra
h11......hn−1n−1wn m
= 0 ⇒ H M = 0.
( w1,...., wn−1, wn )
Kết hợp với Hu = w ta có

m
=0
( u1 ,...., un ) .

2.3. Một số ví dụ
2.3.1. Ví dụ. Khi n = 1 thì U ≡ S với S là một tập nhân đóng của vành R. Khi đó
các phép toán trên U-1M trùng với các phép toán trên S-1M. Thật vậy:
• Phép cộng: với

r r'
r r ' s ' r + sr ' H r + K r '
, ∈ S −1M ta có: + =
=
s s'
s s'
ss '
u

với H = s ' ; K = s ; u = ss ' và H s = ss ' = K s ' .

• Phép nhân với vô hướng: với

a
a ra
∈ S −1M và r ∈ R ta có: r = .
s
s s
20


Vậy với n = 1 thì U-1M ≡ S-1M.
2.3.2. Ví dụ. Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether; M là một
R – môđun, dim M = d. Tập hợp
U(M)d+1 = {(x1, ...., xd,1) ∈ Rd+1 : ∃ j, 0 ≤ j ≤ d, (x1, ...., xj) là một phần hệ tham số
của M và xj+1 = .....=xd = 1}
là tập con tam giác của Rd+1. Khi đó môđun

U (M )

− d −1
d +1

là môđun các thương suy

rộng theo tập con tam giác U.
n
2.3.3. Ví dụ. Giả sử f1, ..., fn là n phần tử cố định của R, đặt f = ( f1 ,....., f n ) ∈ R ,

M là một R – môđun. Cho
Uf =

{( f

α1
1

)

}

,....., f nα n : α i ∈ ¥ , ∀i = 1,...., n .

−n
Khi đó U f là tập con tam giác của Rn và môđun U f M được kí hiệu là Mf là

môđun các thương suy rộng theo tập con tam giác Uf.

21


CHƯƠNG III

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
LÝ THUYẾT MÔĐUN CÁC THƯƠNG SUY RỘNG
Lý thuyết môđun các thương suy rộng có nhiều ứng dụng trong Đại số giao
hoán. Do khuôn khổ có hạn của luận văn, trong chương này chúng tôi chỉ trình bày
ứng dụng của Lý thuyết môđun các thương suy rộng trong việc nghiên cứu môđun
đối đồng điều địa phương và Giả thuyết Đơn thức. Các kết quả trình bày trong
chương này là nội dung chính của Sharp và Zakeri [8].
3.1. Môđun các thương suy rộng và môđun đối đồng điều địa phương

Cho (R,

m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với dim

R = n; M là

một R-môđun. Trong mục này, chúng ta sẽ thấy môđun Hnm(M) có thể biểu diễn
qua môđun các thương suy rộng.
3.1.1. Bổ đề. Giả sử R là vành Noether, I là một iđêan của R, U là tập con tam
j
−k
giác của Rk sao cho uk ∈ I với mọi (u1,....,uk) ∈ U. Khi đó H I ( U M ) = 0 với mọi

j ≥ 0.
Chứng minh. Cho f = ( f1 ,..., f k ) ∈U , như trong [7, 3.4], lấy
Uf =

{( f

α1
1

}

)

,...., f1α k : α i ∈ ¥ , ∀i = 1, 2..., k .

−k
Khi đó Uf là tập con tam giác của Rk, và U f M được kí hiệu bởi Mf. Một hệ quả dễ

thấy của Mệnh đề 2.2.5 là phép nhân bởi fn là một tự đẳng cấu của Mf. Vì f k ∈ I
j
nên H I ( M f ) = 0 với mọi j ≥ 0 .

Theo [7, 3.5]
U − k M ≅ lim
uuuuur M f ,
f ∈U

22


j
−k
và do đó từ [8, 7, 3.2] ta có H I ( U M ) = 0 với mọi j ≥ 0 .

Ta đã biết với mỗi i tập hợp
Ui = {(s1, ..., si) ∈ Ri | ∃j, 0 ≤ j ≤ i, sao cho (s1, ..., sj) là một phần hệ tham số
của R và sj + 1 = ... = si = 1}
là một tập con tam giác trong Ri.
Lấy ( Vi ) i∈¥ là họ các tập hợp sao cho:
(i) Vi ⊆ U i và Vi là tập con tam giác của Ri với mọi i ∈ ¥ ;
(ii) Nếu (u1, ..., ui) ∈ Vi với 1 < i ∈ ¥ thì (u1, ..., ui-1) ∈ Vi – 1;
(iii) Nếu (u1, ..., ui) ∈ Vi với i ∈ ¥ thì (u1, ..., ui ,1) ∈ Vi + 1;
(iv) Tồn tại một hệ tham số y1, ..., yn của R sao cho (y1, ..., yn) ∈ Vn;
(v) (1) ∈ V1.
0
→V1−1M và ei : Vi − i M 
→Vi+−1i −1M với

3.1.2. Bổ đề. Tồn tại đồng cấu e : M 

mỗi

i > 0 sao cho
e 0 ( m) =

m
(1)

( m ∈ M ),



m
m
ei 
÷=
 (u1 ,..., ui )  (u1 ,..., ui ,1)

( m ∈ M , (u1 ,..., ui ) ∈Vi , i > 0).

Hơn thế nữa,
−1

0

1

i

e
e
e
e
0 
→ M 
→ V1−1M 
→ V2−2 M 
→ ... 
→ Vi −i M 
→ Vi +−1i−1M 
→ ...

là một phức các R-môđun và các R-đồng cấu.
Từ đây chúng ta sẽ kí hiệu phức trong bổ đề trên bởi C(V,M) với V là họ
(Vi)i≥1. Chú ý rằng Vi-iM = 0 với mọi i> d+1.
3.1.3. Bổ đề. Giả sử i là một số nguyên sao cho 0 ≤ i ≤ n . Khi đó
dim ( ker ei / imei −1 ) < n − i .

23


Chứng minh. Khi i = 0 dễ thấy có điều cần chứng minh. Vì vậy ta giả sử rằng i > 0.
Chúng ta cần chứng minh rằng nếu p∈ Ass(ker ei/im ei -1) thì dim R/ p < n – i. Như
vậy p có tính chất là tồn tại
Do

m
∈ ker ei sao cho

(u1 ,..., ui )



m
i −1
 im e :
÷ = p.
(
u
,...,
u
)
1
i 


m
= 0, tồn tại H = [ hrs ] ∈ Di +1 ( R ) và ( t1 ,..., ti +1 ) ∈Vi +1 sao cho
(u1 ,..., ui ,1)
H = [ u1 ,..., ui ,1] = [ t1,..., ti , ti +1 ]
T

 i

và H m ∈  ∑ Rt j ÷M .
 j =1


 i


h
...
h
t
m
∈
Do đó, theo [7, 2.2], chúng ta có 11 ii i +1
 ∑ Rt j ÷M . Theo [7, 3.3(ii)] ta có
 j =1

ti +1m
h ... h t m
= 11 ii i +1 ∈ im ei −1 .
( u1 ,..., ui ) ( t1 ,..., ti )
Ngoài ra, với mọi j = 1,...,i, chúng ta có
t jm

( u1 ,..., ui )

=

h11... hiit j m

( t1 ,..., ti )

∈ im ei −1 .

Do đó Rt1 + ... + Rti +1 ⊆ p. Vì vậy t1,..., ti, ti + 1 là một hệ tham số của R.
3.1.4. Hệ quả. (i) Với mọi i = 0,...,n

H mj ( ker ei / imei −1 ) = 0

với mỗi j ≥ n − i .

(ii) Với mọi i = 1,...,n
H mj ( Vi − i M ) = 0
Nhắc lại rằng (R,

với mỗi j ≥ 0 .

m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với dim R =

n; M là một R-môđun. Định lý sau đây cho thấy môđun đối đồng điều địa phương
H mn ( M ) có thể được xem như một môđun các thương suy rộng của M ứng với một
tập con tam giác của Rn+1.
3.1.5. Định lí. Vn−+n1−1M ≅ H mn ( M ) . Đặc biệt U n−+n1−1M ≅ H mn ( M ) .
Đồng cấu tự nhiên
24


θ n+1 : Vn−+n1−1M 
→U n−+n1−1M
mà


m
m
θ n+1 
=
÷

÷
 ( v1 ,...., vn+1 )  ( v1 ,....., vn +1 )
với mọi m ∈ M và (v1,.....,vn+1) ∈ Vn+1 là một đẳng cấu.
Chứng minh. Kí hiệu U là họ ( U i ) i≥1 và C(U, M) là
−1

0

1

i

d
d
d
d
0 →
M 
→U1−1M 
→U 2−2 M 
→ ... 
→U i−i M 
→U i−+i1−1M 
→ ....
i
−i
→U i− i M mà
Với mỗi i ≥ 1 có một đồng cấu θ : Vi M 




m
m
θ i 
=
÷
÷
 ( v1 ,...., vi )  ( v1 ,....., vi )
0
→ M là ánh xạ đồng nhất
với mọi m ∈ M và (v1,.....,vi) ∈ Vi. Nếu ta lấy θ : M 

khi đó
→ C(U, M)
Θ = (θ 0 )i≥0 : C(V, M) 
là một phức cấu xạ.
Trong những phần sau chúng ta sẽ viết tắt C(V, M) bởi C(V) và C(U, M)
bởi C(U). Nó sẽ thuận tiện cho phép V0−0 M và U 0−0 M để biểu thị M.
Với mỗi i = 0,..., n, đặt Ki = Vi −i M / ker ei , Li = U i− i M / ker d i ,

θ i ' : co ker ei −1 
→ co ker d i −1 ,
→ Hi(C(U))
θ i* : Hi(C(V)) 
và

θ i + : K i 
→ Li
là đồng cấu cảm sinh bởi Θ . Do đó ta có biểu đồ giao hoán

θ 
→ K i −1 
→Vi −i M 
→ co ker ei −1 
→0

θ i −1+

θi

θ i'

0 
→ Li −1 
→U i−i M 
→ co ker d i −1 
→0
25

(1)