Về môđun compắc tuyến tính biểu diễn được luận văn thạc sỹ toán học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

-------------------------

CAO TÚ CƯỜNG

VỀ MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH
BIỂU DIỄN ĐƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2011


2

MỤC LỤC
MỤC LỤC ……………………………………………………………………………...........1
LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………………………….2
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………………………………….5
1.1 MÔĐUN ARTIN……………………………………………………………………..5
1.2 BIỂU DIỄN THỨ CẤP VÀ MÔĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC……………..6
1.3 GIỚI HẠN THUẬN, GIỚI HẠN NGƯỢC……………………………..........6
1.4 HÀM TỬ DẪN XUẤT TRÁI…………………………………………………….9
1.5 HÀM TỬ DẪN XUẤT PHẢI…………………………………………………10
1.6 MÔĐUN MỞ RỘNG………………………………………………………...10
1.7 TÍCH TEXƠ CỦA HAI MÔĐUN…………………………………………11
1.8 MÔĐUN PHẲNG…………………………………………………………….12

1.9 MÔĐUN ĐỊA PHƯƠNG HÓA……………………………………………12
1.10 I ĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT, GIÁ CỦA MÔĐUN……........13
CHƯƠNG 2. MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH BIỂU DIỄN ĐƯỢC………..15
2 .1 MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH……………………………………...15
2 .2 TÍNH BIỂU DIỄN ĐƯỢC CỦA HOM R ( F ; M ) …………………………19
2. 3 ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA………………………………………………….24
KẾT LUẬN…………………………………………………………………………………31
TÀI LIỆU THAO KHẢO………………………………………………………………..32


3
LỜI NÓI ĐẦU
Năm 1942, S. Leschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compắc tuyến
tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều. Năm 1953, D.
Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compắc tuyến tính.
Từ đó đến nay, lớp môđun compắc tuyến tính đã được nhiều nhà toán học trên
thế giới quan tâm nghiên cứu. Chú ý rằng, lớp môđun compắc tuyến tính rất
rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán. Thậm chí một
lớp môđun con của môđun compắc tuyến tính đó là môđun compắc tuyến tính
nửa rời rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hơn thế nữa nó còn chứa các
môđun Noether trên vành địa phương đầy đủ.
Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho các môđun Artin được nghiên cứu
bởi D. G. Northcott năm 1972, D. Kirby năm 1973. Sau đó I. G. Macdonald [9]
đã trình bày khái niệm này một cách tổng quát cho môđun tùy ý và ông gọi đó là
biểu diễn thứ cấp để khỏi nhầm lẫn với khái niệm phân tích nguyên sơ đã được
định nghĩa cho các môđun Noether. Có thể nói biểu diễn thứ cấp là đối ngẫu với
phân tích nguyên sơ. Mọi môđun Artin đều có biểu diễn thứ cấp và mọi môđun
Noether đều có phân tích nguyên sơ. Một R - môđun N ≠ 0 được gọi là thứ cấp
nếu với mọi x ∈ R , phép nhân bởi x trên N là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong
trường hợp này Rad(Ann R N ) là một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi N

là p-thứ cấp. Một biểu diễn thứ cấp của R -môđun M là một phân tích
M = M 1 + M 2 + ... + M n thành tổng của hữu hạn các môđun con pi- thứ cấp M i . Nếu
M = 0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được.

Một trong những vấn đề thú vị xuất hiện khi nghiên cứu các môđun Artin
là môđun đối địa phương hóa. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và M là
một R - môđun. L. Melkersson và P. Schenzel [12] đã định nghĩa đối địa phương


4
hóa Hom R ( RS ; M ) của môđun M tương ứng với tập nhân đóng S trong R . Khi
M là Artin họ chỉ ra rằng cấu trúc của Hom R ( RS ; M ) có nhiều tính chất hay, chẳng

hạn, Hom R ( RS ; M ) là biểu diễn được và Hom R ( RS ; −) là hàm tử khớp từ phạm trù
các R - môđun Artin đến phạm trù các RS - môđun. Tuy nhiên họ cũng chứng
minh rằng Hom R ( RS ; M ) thường không là RS - môđun Artin ngay cả khi vành R là
địa phương đầy đủ. Như vậy, việc mở rộng nhiên cứu ra phạm trù các môđun
compắc tuyến tính là thực sự cần thiết vì không những nó giữ được rất nhiều tính
chất tốt của môđun Artin mà còn làm cho hàm tử đối địa phương hóa đóng. Năm
2001, N. T. Cường và L. T. Nhàn [5] đã mở rộng các kết quả của L. Melkersson
và P. Schenzel tới lớp tất cả các môđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Lớp
môđun này thực sự chứa tất cả các môđun Artin. Thêm nữa, thay cho hàm tử đối
địa phương hóa, N. T. Cường và L. T. Nhàn [5] xét hàm tử Hom R ( F ; −) với F là
R - môđun phẳng. Họ đã chỉ ra rằng Hom R ( F ; −) là hàm tử đóng trong phạm trù

các R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Đây chính là câu trả lời khẳng
định tới câu hỏi của L. Melkersson [11] cho các môđun compắc tuyến tính không
nhất thiết có chiều Goldie hữu hạn.
Mục đích của Luận văn là trình bày lại một cách chi tiết và rõ ràng kết quả
nói trên của N. T. Cường và L. T. Nhàn trong [5].

Với mục đích đó ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, Luận văn được
chia làm hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày
về lý thuyết biểu diễn thứ cấp, môđun biểu diễn được và một số kiến thức cơ sở
của Đại số giao hoán, Đại số đồng điều nhằm phục vụ cho việc trình bày kết quả
chính của Luận văn ở chương sau.


5
Chương 2. Môđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Trong chương
này, chúng tôi trình bày lại một cách chi tiết và rõ ràng kết quả của N. T. Cường
và L. T. Nhàn trong [5].
Luận văn được hoàn thành vào tháng 11 năm 2011 dưới sự hướng dẫn,
chỉ dạy tận tình của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo và
nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Đồng thời cũng xin
được cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học
Vinh, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết Luận văn, tôi cũng đã cố gắng
rất nhiều song chắc chắn vẫn còn những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý,
chỉ bảo chân thành của các thầy, cô và của các bạn để luận văn này được hoàn
thiện hơn.
Vinh, tháng 11 năm 2011
Tác giả


6

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày (không chứng minh) các kiến
thức cơ sở cần thiết dùng cho chứng minh ở chương sau. Trong toàn bộ luận văn
luôn giả thiết vành R là giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 .

1. 1. Môđun Artin
1. 1. 1. Định nghĩa. (i) Một R – môđun M được gọi là môđun Artin nếu mọi
dãy giảm các môđun con của M đều dừng, tức là nếu
M 1 ⊇ M 2 ⊇ ... ⊇ M n ⊇ ...

là một dãy giảm các môđun con của M . Khi đó tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
M n = M n0 với mọi n ≥ n0 .

(ii) Vành R được gọi là vành Artin nếu R là một R – môđun Artin.
1. 1. 2. Định lý. Giả sử M là một R - môđun. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là Artin;
(ii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử tối tiểu theo
quan hệ bao hàm;
(iii) Đối với mỗi tập hợp { Ai | i ∈ I } ≠ ∅ những môđun con của M tồn tại
một tập con hữu hạn I0 của I sao cho
I Ai = I Ai .
I

I0

1. 1. 3. Hệ quả. Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con Artin thì
M Artin.


7

1. 2. Biểu diễn thứ cấp và môđun biểu diễn được
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật
ngữ của I. G. Macdonald [9]. Khái niệm này có thể được xem là khái niệm đối
ngẫu với khái niệm phân tích nguyên sơ.
1. 2. 1. Định nghĩa. 1) Một tập con khác rỗng R - môđun M được gọi là thứ
cấp nếu với mọi r ∈ R , phép nhân bởi r trên M là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong
trường hợp này

AnnR M là iđêan nguyên tố, chẳng hạn p, ta gọi M là p - thứ

cấp.
2) Cho M là R – môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích
M = M 1 + M 2 + ... + M n

thành tổng của hữu hạn các môđun con pi- thứ cấp. Nếu M = 0 hoặc M có một
biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được. Biểu diễn này được gọi là tối
thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử M i
nào thừa.
1. 2. 2. Mệnh đề. Tổng trực tiếp hữu hạn và môđun thương của các môđun p –
thứ cấp khác 0 là p – thứ cấp.
1. 2. 3. Mệnh đề. Linh hóa tử của một môđun p – thứ cấp là một iđêan p –
nguyên sơ.

1. 3. Giới hạn thuận, giới hạn ngược
1. 3. 1. Giới hạn thuận. Một tập hợp V với quan hệ thứ tự bộ phận ≤ được gọi là
tập định hướng nếu với bất kỳ t , s ∈ V , ∃r ∈ V sao cho t ≤ r; s ≤ r. Chẳng hạn tập các
số nguyên dương là tập định hướng.
Một họ { M t ; ftr } gồm các R - môđun M t , t ∈V và các đồng cấu
f tr : M t → M r , ∀t ≤ r

8
được gọi là hệ thuận trên V nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây ftt = id M và
t

f sr . fts = f tr với t ≤ s ≤ r. Khi các đồng cấu f tr đã được xác định, ta có thể ký hiệu

gọn hệ thuận ở trên là { M t } .
'
'
Cho hai hệ thuận các R - môđun { M t , f tr } và { M t , ftr } trên cùng một tập
'
'
định hướng V . Một đồng cấu của các hệ thuận { M t , ftr } → { M t , ftr } là một họ các
'
'
R - đồng cấu { ϕt : M t → M t } thỏa mãn f ts .ϕt = ϕ s . fts với t ≤ s . Giới hạn thuận của hệ

Mt
thuận { M t , fts } được định nghĩa như sau: Trên môđun tổng trực tiếp T = t⊕
∈V

đồng nhất môđun M t với ảnh đồng cấu chính tắc của nó trong T , ta có thể xem
M t như là một môđun con của T . Gọi C là môđun con của T sinh bởi tập tất cả

các phần tử dạng xt − ftr ( xt ), t ≤ r , xt ∈ M t . Môđun thương T / C được gọi là giới hạn
uuur M t .
thuận của hệ thuận { M t , ftr } và ký hiệu bởi lim
t

1. 3. 2. Giới hạn ngược. Cho V là một tập định hướng. Một họ { M t , f tr } gồm các
R - môđun M t , t ∈ V và các đồng cấu
f rt : M r → M t , ∀t ≤ r ; t , r ∈ V

được gọi là hệ ngược trên V nếu thỏa mãn các điều kiện sau. ftt = id M và
t

f st . f rs = f rt với t ≤ s ≤ r.
'
'
Cho hai hệ ngược các R -môđun { M t , f rt } và { M t , f rt } (trên cùng một tập

định hướng V ). Một đồng cấu của các hệ ngược
ϕ : { M t ; f rt } → { M t' ; f rt' }
'
là một họ gồm các đồng cấu { ϕt : M t → M t } thỏa mãn f rt' .ϕ r = ϕt . f rt với mọi t ≤ r .

Giới hạn của hệ ngược { M t , f rt } được định nghĩa như sau: Trên R - môđun tích
trực tiếp

∏M
t

t

ta lấy môđun con D gồm tất cả các phần tử ( xt ) thỏa mãn


9
f rt ( xr ) = xt , ∀t , r ∈ V ; t ≤ r .

suuu M t .
Khi đó D được gọi là giới hạn ngược của { M t , f rt } và ký hiệu bởi lim
t

1. 3. 3. Một số tính chất của giới hạn thuận và giới hạn ngược
a, Giới hạn thuận là hàm tử khớp trên phạm trù các R - môđun. Nghĩa là nếu
0 → { M t } → { Nt } → { Pt } → 0

là dãy khớp ngắn các hệ thuận R - môđun thì
0 → lim
uuur M t → lim
uuur N t → lim
uuur Pt → 0
t

t

t

là dãy khớp.
b, Giới hạn ngược là hàm tử khớp trái trên phạm trù các R - môđun. Nói chung
nó không là hàm tử khớp, nghĩa là nếu
0 → { M t } → { N t } → { Pt }

là dãy khớp các hệ ngược các R - môđun thì
0 → lim
suuu M t → lim
suuu N t → lim
suuu Pt
t

t

t

là dãy khớp.
c, Một hệ ngược { M t , f rt } các R - môđun được gọi là thỏa mãn tiêu chuẩn Mittag
– Leffler (ML) nếu với mỗi t , dãy giảm các R - môđun con { f rt ( M r ) | r ≥ t} của
M t là dừng. Nói cách khác, với mỗi t, tồn tại t0 ≥ t sao cho: nếu r , r ' ≥ t0 thì
f rt ( M r ) = f r 't ( M r ' ) .

Cho dãy khớp ngắn các hệ ngược của các R - môđun
0 → { M t } → { N t } → { Pt } → 0 .

(i) Nếu { Nt } thỏa mãn tiêu chuẩn (ML) thì { Pt } cũng thỏa mãn tiêu chuẩn (ML).
(ii) Nếu { M t } thỏa mãn tiêu chuẩn (ML) thì ta có dãy khớp sau
0 → lim
uuur M t → lim
uuur N t → lim
uuur Pt → 0 .
t
t
t

d, Cho { M t } là một hệ thuận các R - môđun. Khi đó


10
Hom R (lim
uuur M t ; N ) ≅ lim

suuu Hom R ( M t ; N )
t

t

với mọi R - môđun N .

1. 4. Hàm tử dẫn xuất trái
1. 4. 1. Định nghĩa. Cho F : R − mod → R − mod là một hàm tử hiệp biến, cộng
tính, khớp phải trên phạm trù các R − mod . Cho M là một R - môđun, khi đó tồn
tại lời giải xạ ảnh
ε
P• 
→M

ta có phức
F ( P• ) :... → F ( Pi +1 ) → F ( Pi )... → F ( P1 ) → F ( P0 ) .
∞
Hàm tử dẫn xuất trái L• F của F là họ các hàm tử L• F = { Li F } i =0 được xác định

bởi Li F = H i ( F ( P• )) , trong đó H i ( F ( P• )) là môđun đồng điều thứ i của phức F ( P• ) .
1. 4. 2. Tính chất. (1). Li F ( M ) không phụ thuộc việc chọn lời giải xạ ảnh của M
.
(2). Nếu M là một R - môđun xạ ảnh thì Li F ( M ) = 0, ∀i ≠ 0.
(3). L0 F = F .
(4). Giải sử 0 → M ' → M → M '' → 0 là một dãy khớp ngắn các R - môđun. Khi đó
ta có dãy khớp dài:
... → Li +1 ( F ( M '' )) → Li ( F ( M ' )) → Li ( F ( M )) → Li ( F ( M '' )) → …
... → L1 ( F ( M '' )) → L0 ( F ( M ' )) → L0 ( F ( M )) → L0 ( F ( M '' )) → 0 .

1. 5. Hàm tử dẫn xuất phải. Cho

F : R − mod → R − mod là một hàm tử hiệp

biến, cộng tính, khớp trái. Cho M là một R - môđun với lời giải nội xạ
α
M 
→ I•

ta có phức
F ( I • ) : 0 → F ( I 0 ) → F ( I 1 ) → ...


11
nói chung không khớp. Khi đó hàm tử dẫn xuất phải, R • F của F là họ các hàm
tử R• F = { R i F } i =0 được xác định bởi
∞

R i F ( M ) = H i ( F ( I • )) .

1. 6. Môđun mở rộng
1. 6. 1. Lời giải nội xạ. Cho M là một R - môđun. Ký hiệu hàm tử
F = Hom R ( M , −) : R − mod → R − mod .

Ta có F là hàm tử cộng tính, khớp trái. Khi đó hàm tử dẫn xuất phải của F là
R• F = { Ri F }

∞
i =0

được gọi là hàm tử mở rộng của M . Ký hiệu
R i F ( N ) = Ext iR ( M , N )

gọi là môđun mở rộng thứ i của M và N .
1. 6. 2. Một số tính chất cơ bản của môđun mở rộng
(i) Ext 0R ( M , N ) ≅ Hom R ( M , N ) .
(ii) Ext iR ( M , I ) = 0, ∀i ≠ 0 khi I là nội xạ.
(iii) Từ dãy khớp ngắn các R - môđun:
0 → N ' → N → N '' → 0

ta có dãy khớp dài các R - môđun
0 → Hom R ( M , N ' ) → Hom R ( M , N ) → Hom R ( M , N '' )
δ

→ Ext1R ( M , N ' ) → Ext1R ( M , N ) → Ext1R ( M , N '' ) → ....

Nếu hàm tử F ' = Hom R (−, M ) thì F ' là hàm tử hiệp biến và tương tự như trên
ta cũng có các môđun mở rộng Ext iR ( M , N ) thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Ext 0R ( N , M ) ≅ Hom R ( N , M ) ;
(ii) Ext iR ( P, M ) = 0, ∀i ≥ 1, khi P là xạ ảnh;
(iii) Từ dãy khớp ngắn các R -môđun:
0 → N ' → N → N '' → 0


12
ta có dãy khớp dài các R - môđun
0 → Hom R ( N '' , M ) → Hom R ( N , M ) → Hom R ( N ' , M )
→ Ext1R ( N ' , M ) → ....

1. 7. Tích tenxơ của hai môđun

Cho M và N là các R - môđun. Tích tenxơ của M và N là cặp ( T ,θ ) ở đó
T là một R - môđun và θ : M × N → T là một ánh xạ song tuyến tính có tính chất:

với mỗi R - môđun T ' và một ánh xạ song tuyến tính f : M × N → T ' , tồn tại duy
nhất một đồng cấu R -môđun f% : T → T ' sao cho f%θ = f , tức là biểu đồ
θ
M × N 
→T
f%

f

T'

giao hoán.
Tích tenxơ M và N được kí hiệu là M ⊗R N , hoặc M ⊗ N .
Chú ý rằng, nếu ϕ : M → M ' và ϕ ' : N → N ' là những đồng cấu R -môđun
khi đó tương ứng :
ϕ ⊗ϕ' : M ⊗ N → M ' ⊗ N ' ,

xác định bởi (ϕ ⊗ ϕ ' )( x ⊗ y ) = ϕ ( x) ⊗ ϕ ' ( y ) , với mọi x ∈ M và y ∈ N là một đồng cấu
và gọi là tích tenxơ của các đồng cấu ϕ và ϕ ' .

1. 8. Môđun phẳng
1. 8. 1. Định nghĩa. Một R – môđun M được gọi là phẳng nếu với mỗi đơn cấu
R – môđun f : N ' → N , đồng cấu cảm sinh
id M ⊗ f : M ⊗ N ' → M ⊗ N

cũng là đơn cấu.

13
1. 8. 2. Mệnh đề. Một R – môđun M là phẳng nếu và chỉ nếu với mọi dãy khớp
ngắn các R – môđun
f
g
0
0 
→ N ' 
→ N 
→ N '' 
→0,

dãy cảm sinh
0 
→M

⊗

id M ⊗ f
N ' 
→M

⊗

id M ⊗ g
N 
→M

⊗

N '' 
→0

cũng là dãy khớp ngắn.
1. 8. 3. Mệnh đề. Mọi môđun tự do đều là môđun phẳng.

1. 9. Môđun địa phương hóa
1. 9. 1. Vành các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R . Trên tích Đề các
R × S ta xét quan hệ hai ngôi: ( r , s ) :

( r , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t ( rs − sr ) = 0 . Khi đó ∼
'

'

'

'

là quan hệ tương đương trên R × S . Với (r , s) ∈ R × S , ký hiệu r / s là lớp tương
đương chứa (r , s) và S −1R là tập thương của R × S theo quan hệ tương đương ∼:
S −1 R = { r / s | r ∈ R, s ∈ S } .

Trên S −1R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó S −1R trở
thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S .
−1
Mỗi iđêan của vành R có dạng S I = { a / s | a ∈ I , s ∈ S } , trong đó I là iđêan của R

. Ta có S −1I = S −1 R ⇔ I ∩ S ≠ ∅ . Do đó S −1I là iđêan thực sự của S −1R khi và chỉ

khi I ∩ S = ∅ .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R . Khi đó S = R \ p là một tập nhân
đóng của vành R . Vành S −1R trong trường hợp này là vành địa phương, ký hiệu
−1
là Rp , với iđêan cực đại duy nhất pRp = S p = { a / s a∈p, s∈R \ p} nên được gọi là

vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p .
1. 9. 2. Môđun các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R . Khi đó ta có
vành các thương S −1R . Trên tích Đề các M × S ta xét quan hệ hai ngôi:


14

( m, s ) :

( m , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t ( ms − sm ) = 0 . Khi đó ∼ là quan hệ tương đương
'

'

'

'

trên M × S . Do đó M × S được chia thành các lớp tương đương, ta ký hiệu tập
thương của M × S theo quan hệ tương đương ∼ là S −1M và ký hiệu lớp tương
−1
đương chứa (m, s) là m / s . Như vậy S M = { m / s | m ∈ M , s ∈ S } .

Trên S −1M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng:

m / s + m / s ' = ( s 'm + sm ' ) / ss ' , ∀m / s; m ' / s ∈ S −1M

và r / t.m / s = rm / ts, ∀r / t ∈ S −1R, m / s ∈ S −1M . Khi đó S −1M có cấu trúc là một S −1 R môđun và gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S . S −1M cũng có
thể xem là một R -môđun với phép nhân vô hướng như sau: r. x / s = rx / s , với
mọi r ∈ R, x / s ∈ S −1 M .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và S = R \ p . Khi đó môđun
S −1M được gọi là môđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố p , ký hiệu

là Mp . Như vậy Mp có thể xem như là Rp -môđun hoặc là R -môđun.

1. 10. Iđêan nguyên tố liên kết, giá của môđun
1. 10. 1. Định nghĩa. (i) Cho M là một R - môđun. Một iđêan nguyên tố p của R
được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M , x ≠ 0 sao cho
p = AnnR ( x).

(ii) Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là Ass R M
(hoặc AssM ).
1. 10. 2. Mệnh đề. 1) p là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn tại
một môđun con N của M sao cho N ≅ R / p .
2) Gọi

∑ = { Ann( x) | x ∈ M , x ≠ 0} . Khi đó nếu

p là phần tử cực đại của

thì p ∈ AssM .
3) Cho S là một tập nhân đóng của R . Khi đó

∑

15
Ass R (S −1M )=Ass R M I{ P ∈ SpecR | P I S = ∅} .

1. 10. 3. Hệ quả. Nếu N là một môđun con của R -môđun M thì AssN ⊂ AssM
1. 10. 4. Định nghĩa. Cho M là R -môđun. Khi đó tập hợp
Supp R M = { p ∈ SpecR | M p ≠ 0}

được gọi là giá của R - môđun M .

CHƯƠNG 2. MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH
BIỂU DIỄN ĐƯỢC
Năm 1942, S. Leschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compắc tuyến
tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều. Năm 1953, D.
Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compắc tuyến tính.
Từ đó đến nay, lớp môđun compắc tuyến tính đã được nhiều nhà toán học trên


16
thế giới quan tâm nghiên cứu. Chú ý rằng, lớp môđun compắc tuyến tính rất
rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán. Thậm chí một
lớp môđun con của môđun compắc tuyến tính đó là môđun compắc tuyến tính
nửa rời rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hơn thế nữa nó còn chứa các
môđun Noether trên vành địa phương đầy đủ.
Mục đích của chương này là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của
N. T. Cường và L. T. Nhàn trong [5] về môđun compắc tuyến tính biểu diễn
được. Các kết quả trong bài báo này là một mở rộng của các kết quả trong bài
báo [12] của L. Melkersson and P. Schenzel.

2. 1. Môđun compắc tuyến tính

Sau đây, chúng tôi trình bày khái niệm môđun compắc tuyến tính theo
thuật ngữ I. G. Macdonald [8].
Một R − môđun M được gọi là môđun tôpô nếu M là một không gian tôpô
và các phép toán trên môđun M là liên tục. R − môđun tôpô M được gọi là
Hausdorff nếu giao của tất cả các lân cận của 0 bằng 0 .
2. 1. 1. Định nghĩa. Cho R là vành tôpô giao hoán và M là R -môđun tôpô. Ta
hiểu một cơ sở lân cận của M là một cơ sở lân cận của phần tử 0 ∈ M .
(i) M được gọi là môđun tôpô tuyến tính nếu M có một cơ sở lân cận M
gồm các môđun con mở thỏa mãn điều kiện: Cho trước x ∈ M và N ∈ M, tồn tại
lân cận U của phần tử 0 của R sao cho Ux ⊆ N .
(ii) R -môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là compắc tuyến tính
nếu M có tính chất sau đây: Nếu F là một họ các lớp kề của các môđun con đóng
trong M có tính chất giao hữu hạn (tức là giao của mỗi họ con gồm hữu hạn
phần tử của F đều khác rỗng) thì giao của tất cả các lớp kề trong F là khác rỗng.


17
Sau đây chúng tôi trình bày một số tính chất của các môđun compắc tuyến
tính thường sử dụng trong chương này.
Bổ đề sau được chứng minh trong [8].
2. 1. 2. Bổ đề. (i) Cho M là một R - môđun compắc tuyến tính và N là một
môđun con của M . Khi đó N là đóng nếu và chỉ nếu N là compắc tuyến tính.
(ii) Nếu M , N là các R -môđun tôpô tuyến tính Hausdorff, trong đó M là
compắc tuyến tính và f : M → N là đồng cấu liên tục thì f ( M ) là compắc tuyến
tính và do đó f là ánh xạ đóng.
(iii) Nếu M là R -môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N là môđun con
đóng của M thì M là compắc tuyến tính nếu và chỉ nếu N và M / N là compắc
tuyến tính.
(iv) Tích trực tiếp của các môđun compắc tuyến tính là compắc tuyến tính.
(v) Giới hạn ngược của một hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với

các đồng cấu liên tục là compắc tuyến tính.
(vi) Nếu M là môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N1 ,..., N r là các môđun
con compắc tuyến tính của M thì N1 + ... + N r là compắc tuyến tính.
2. 1. 3. Bổ đề. Cho { M t } là hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng
cấu liên tục. Khi đó với mọi i > 0 ta có
(i )
lim
suuu ( M t ) = 0 ,

t

(i )
suuu (−) là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử giới hạn ngược.
trong đó lim
t

Giả sử P là một R -môđun tự do với cơ sở { xi } i∈I và M là một R -môđun
tôpô tuyến tính. Chúng ta có thể trang bị cho Hom R ( P; M ) một tôpô tuyến tính
như là tôpô tích của M I thông qua đẳng cấu Hom R ( P, M ) ≅ M I . Mặt khác ta có
nếu f : P → P '

là đồng cấu giữa hai R -môđun tự do thì đồng cấu cảm sinh

f* : Hom R ( P ' , M ) → Hom R ( P, M ) là liên tục.


18
Cho F là R -môđun phẳng. Khi đó tồn tại hệ thuận {Ft} các R -môđun tự
uuur Ft . Theo lập luận ở trên, { Hom R ( Ft , M )} có dạng là
do hữu hạn sinh sao cho F ≅ lim

t

một hệ ngược các R -môđun tôpô tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Vì thế
lim
suuu Hom R ( Ft ; M ) là R - môđun tôpô tuyến tính. Do đó chúng ta có thể định nghĩa
t

một tôpô tuyến tính trên Hom R ( F ; M ) cảm sinh từ tôpô của giới hạn ngược
lim
suuu Hom R ( Ft ; M ) thông qua các đẳng cấu
t

Hom R ( F ; M ) ≅ Hom R (lim
uuur Ft ; M ) ≅ lim
suuu Hom R ( Ft ; M ) .
t

t

Trong trường hợp này chúng ta nói rằng môđun tôpô Hom R ( F ; M ) được định
nghĩa bởi hệ thuận { Ft } .
Nhìn chung, tồn tại hệ ngược các môđun tôpô tuyến tính với các đồng cấu
liên tục mà giới hạn ngược của chúng là các môđun đẳng cấu (đại số) với nhau,
nhưng các tôpô định nghĩa bởi tôpô của giới hạn ngược tương ứng thì lại không
tương đương. Chẳng hạn, gọi ( R, m ) là vành địa phương đầy đủ. Ta xem R là
vành với tôpô rời rạc. Xét ( R / m t ) và { Rt } với Rt = R là các hệ ngược của các R
- môđun với tôpô rời rạc. Khi đó giới hạn của hệ ngược thứ nhất là R với tôpô
m-adic, trong khi đó giới hạn của hệ ngược thứ hai là R với tôpô rời rạc. Tuy
nhiên chúng ta sẽ thấy dưới đây rằng tôpô của Hom R ( F ; M ) được định nghĩa như
uuur Ft .

ở trên không phụ thuộc vào cách chọn hệ thuận {Ft} với F ≅ lim
t

2. 1. 4. Định lý. Cho F là một R - môđun phẳng, M là một R - môđun compắc
tuyến tính. Giả sử {Ft }t∈K là một hệ thuận các R -môđun tự do hữu hạn sinh sao
uuur Ft . Khi đó ta có
cho F ≅ lim
t∈K

(i) R -môđun tôpô tuyến tính Hom R ( F ; M ) định nghĩa bởi hệ thuận {Ft }t∈K là
compắc tuyến tính và tôpô của nó độc lập với cách chọn hệ thuận này.


19
(ii) Ext iR ( F ; M ) = 0 , với mọi i > 0 .
Chứng minh. (i). Rõ ràng Hom R ( F ; M ) là compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2,
(iv), (v). Gọi {Fs' }s∈K ' là hệ thuận thứ hai các R - môđun tự do hữu hạn sinh sao
'
uuur Fs . Gọi L = Hom R ( F ; M ) là R - môđun tôpô định nghĩa bởi hệ thuận
cho F ≅ lim
s∈K
'

thứ nhất và L' = Hom R ( F ; M ) được định nghĩa bởi hệ thuận thứ nhất. Chúng ta cần
Ft và T ' = ⊕ Fs' . Khi đó T và T ' là
chứng minh L đồng phôi với L' . Đặt T = t⊕
∈K
s∈K '

các R - môđun tự do. Chú ý rằng F là ảnh đồng cấu của T và nó cũng là ảnh

đồng cấu của T ' . Vì thế tồn tại biểu đồ giao hoán
g
f
T1 
→ T 
→ F 
→0

h

k
'

'

g
f
T1' 
→ T ' 
→ F 
→0

trong đó các dòng là khớp với f , f ' là các toàn cấu ở trên, T1 và T1' là các R môđun tự do và h, k là các đồng cấu nâng của ánh xạ đồng nhất của F . Từ đây
chúng ta nhận được biểu đồ giao hoán
'

'

f∗
g∗

0 
→ L' 
→ Hom R (T ' ; M ) 
→ Hom R (T1' ; M )

k∗

h∗

f∗
g∗
0 
→ L 
→ Hom R (T ; M ) 
→ Hom R (T1; M )

với các dòng khớp là các đồng cấu cảm sinh h∗ , k∗ , g∗' , g∗ là liên tục. Vì thế ánh xạ
đồng nhất L → L' phải liên tục. Hoàn toàn tương tự chúng ta có thể chỉ ra rằng
ánh xạ đồng nhất L' → L là liên tục. Vậy L đồng phôi với L' .
(ii). Ta có dãy phổ
( p)

q
i
E2 p ,q ≅ lim
uurFt ; M ) .
suu Ext R ( Ft ; M ) ⇒ Ext R (lim
t∈K

t∈K

Vì Ft là môđun tự do nên E2 p ,q = 0 với mọi q > 0. Do đó dãy phổ này sinh ra đẳng
cấu


20
(i )

i
lim
suu Hom R ( Ft ; M ) ≅ Ext R ( F ; M )

t∈K

□

i
Vì thế Ext R ( F ; M ) = 0 với mọi i > 0 theo Bổ đề 2.1.3.

Nhắc lại rằng đối với mỗi tập đóng nhân S của R , hàm tử Hom R ( RS ; −) là
khớp trên phạm trù các môđun Artin [12, Mệnh đề 2.4]. Hệ quả tức khắc dưới
đây của Định lý 2.1.4 mà rất hay được sử dụng trong chương này là mở rộng của
kết quả trên.
2. 1. 5. Hệ quả. Cho 0 → M ' → M → M '' → 0 là dãy khớp các R - môđun compắc
tuyến tính. Khi đó, với mỗi R - môđun phẳng F , dãy sau là khớp
0 → Hom R ( F ; M ' ) → Hom R ( F ; M ) → Hom R ( F ; M '' ) → 0 .

2. 2. Tính biểu diễn được của Hom R ( F ; M )
Cho M là R - môđun. Như đã trình bày trong Chương 1, một biểu diễn
thứ cấp của M là một phân tích M = M 1 + M 2 + ... + M n thành tổng của hữu hạn

các môđun con pi- thứ cấp M i . Nếu M = 0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì
ta nói M là biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các
iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử M i nào là thừa. Dễ
thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể quy về tối thiểu. Tập hợp

{ p1 , p2 ,..., pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của
{ p1 , p2 ,..., pn } được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

M . Vì thế

M và ký hiệu bởi

Att R ( M ) . Các hạng tử M i , i = 1,..., n , được gọi là các thành phần thứ cấp của M .

Nếu pi là tối thiểu trong Att R ( M ) thì M i được gọi là thành phần thứ cấp cô lập.
2. 2. 1. Bổ đề. Cho F là R -môđun phẳng và M là R -môđun compắc tuyến tính.
Nếu M là p – thứ cấp thì Hom R ( F ; M ) hoặc bằng 0 hoặc là p – thứ cấp.


21
Chứng minh. Giả sử Hom R ( F ; M ) ≠ 0 . Lấy x ∈ p . Thế thì x n M = 0 với một số
nguyên dương n nào đó. Do đó x n Hom R ( F ; M ) = 0 . Lấy x ∉ p . Khi đó xM = M . Vì
M là Hausdorff nên 0 là môđun con đóng của M . Do phép nhân bởi x trên M

là liên tục nên (0 : xR) M là môđun con đóng của M . Vì thế nó là compắc tuyến
tính theo Bổ đề 2.1.2, (i). Do đó ta có dãy khớp các R -môđun compắc tuyến tính
x → M 
0 
→(0 : xR) M 
→ M 

→0 .
Do đó, theo Hệ quả 2.1.5, ta có dãy khớp
x
0 
→ Hom R ( F ; ( 0 : xR ) M ) 
→ Hom R ( F ; M ) 
→ Hom R ( F ; M ) 
→0 .

Vậy phép nhân bởi x trên Hom R ( F ; M ) là toàn cấu.

□

2. 2. 2. Bổ đề. Cho M là R -môđun compắc tuyến tính và N là môđun con của
M . Nếu N là p – thứ cấp thì bao đóng N của N cũng là p – thứ cấp.

Chứng minh. Lấy x ∈ p tùy ý. Khi đó x n N = 0 với một số nguyên dương n nào
đó. Vì thế ta có (0 : x n R) M ⊇ N . Vì (0 : x n R) M là môđun con đóng của M và chứa
N nên (0 : x n R) M ⊇ N . Do đó

x n N ⊆ x n (0 : x n R ) M = 0
Lấy x ∉ p . Khi đó xN = N . Vì N là môđun con đóng của M nên theo Bổ đề
2.1.2, (ii) ta có xN cũng là môđun con đóng của M . Lại vì xN ⊇ xN = N nên
xN ⊇ N . Do đó ta có xN = N .

□

2. 2. 3. Hệ quả. Cho M là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Khi đó
M có một biểu diễn thứ cấp tối thiểu sao cho mọi thành phần thứ cấp của nó

đều là compắc tuyến tính.
Chứng minh: Gọi M = M 1 + M 2 + ... + M n là biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M ,
trong đó M i là pi-thứ cấp với i = 1,...., n . Khi đó Att R M = { p1 ,..., pn } . Ký hiệu M i là


22
bao đóng của M i với i = 1,...., n . Theo Bổ đề 2.1.2, (i) các môđun con M i là
compắc tuyến tính. Lại theo Bổ đề 2.2.2, với mọi i = 1,...., n , các môđun con M i
cũng là pi-thứ cấp vì
M 1 + ... + M n ⊇ M 1 + ... + M n = M

nên M = M 1 + ... + M n là biểu diễn thứ cấp mà mọi thành phần thứ cấp Mi với
i = 1,...., n đều là compắc tuyến tính. Như vậy ta chỉ còn phải chứng minh biểu

diễn này là tối tiểu. Giả sử rằng nó không tối tiểu. Vì các pi là đôi một phân biệt
M j với i nào đó.
nên phải có một thành phần thứ cấp M i là thừa, tức là M i ⊆ ∑
j ≠i
M j . Theo Bổ đề 2.2.2, p ∉ Att M . Mâu thuẫn.
Vì thế M = ∑
i
R
j ≠i

□

2. 2. 4. Hệ quả. Cho M là một R -môđun compắc tuyến tính biểu diễn được và p
là một phần tử của Att R M . Khi đó tồn tại ảnh đồng cấu B của M sao cho B là
compắc tuyến tính p – thứ cấp.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.2.3, ta có thể chọn được một biểu diễn thứ cấp tối

thiểu M = M 1 + M 2 + ... + M n của M sao cho mọi thành phần thứ cấp M i đều là
M j . Khi đó B là
compắc tuyến tính. Giả sử M i là p – thứ cấp. Chọn B = M / ∑
j ≠i

compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2. Thêm nữa, dễ dàng kiểm tra được B là p –
thứ cấp

□

Với mỗi R – môđun biểu diễn được M , ta biết rằng các thành phần thứ
cấp cô lập của M không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M (xem
[9]). Vì thế theo Hệ quả 2.2.3. Chúng ta có ngay kết quả sau đây.
2. 2. 5. Hệ quả. Cho M là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Khi đó
mọi thành phần thứ cấp cô lập của M đều là compắc tuyến tính.


23
2. 2. 6. Định lý. Cho F là R - môđun phẳng và M là R - môđun compắc tuyến
tính biểu diễn được. Khi đó Hom R ( F ; M ) là R - môđun compắc tuyến tính biểu
diễn được.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.2.3, chúng ta có thể chọn được một biểu diễn thứ
cấp tối thiểu M = M 1 + M 2 + ... + M n của M sao cho mọi thành phần thứ cấp M i với
i = 1,..., n, đều là compắc tuyến tính. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n . Khi
n =1,

định lý được chứng minh theo Bổ đề 2.2.1, Với

n >1,

đặt

N1 = M 1 ; N 2 = M 2 + ... + M n . Khi đó N 2 là compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2, (vi).

Vì thế, theo Bổ đề 2.1.2, môđun N1 I N 2 , N1 ⊕ N 2 là compắc tuyến tính. Sử dụng
tính chất khớp của hàm tử Hom R ( F ; −) trong Hệ quả 2.1.5 vào dãy khớp các R môđun compắc tuyến tính

0 → N1 I N 2 → N1 ⊕ N 2 → N1 + N 2 → 0
ta có
Hom R ( F ; N1 + N 2 ) ≅ Hom R ( F ; N1 ⊕ N 2 ) / Hom( F ; N1 I N 2 )
≅ (Hom R ( F ; N1 ) ⊕ Hom R ( F ; N 2 ) / Hom R ( F ; N1 ) I Hom R ( F ; N 2 )
≅ Hom R ( F ; N1 ) + Hom R ( F ; N 2 ).

Vì thế

Hom R ( F ; N1 + N 2 ) = Hom R ( F ; N1 ) + Hom R ( F ; N 2 ) ,
trong đó Hom R ( F ; N1 ) và Hom R ( F ; N 2 ) được xét như các môđun con của
Hom R ( F ; M ) . Sử dụng giả thiết quy nạp cho môđun N 2 ta có điều cần chứng

minh.

□

2. 2. 7. Chú ý. Tính biểu diễn được của lớp các môđun có chiều Goldie hữu hạn
đã được nghiên cứu bởi L. Melkersson [11] (một môđun được gọi là có chiều
Goldie hữu hạn nếu nó không chứa tổng trực tiếp của vô hạn các môđun con).
Trong lớp các môđun này, ông đã đặc trưng tính biểu diễn được bằng đối đồng


24

điều địa phương. Tuy nhiên, với mỗi R - môđun phẳng F và mỗi R - môđun biểu
diễn được có chiều Goldie hữu hạn M , ông vẫn chưa thể nói gì về tính biểu diễn
được của môđun Hom R ( F ; M ) chỉ vì Hom R ( F ; M ) không nhất thiết có chiều
Goldie hữu hạn. Vì thế Melkersson đã đưa ra câu hỏi: Cho F là một R - môđun
phẳng và M là một môđun biểu diễn được có chiều Goldie hữu hạn. Hom R ( F ; M )
có là môđun biểu diễn được hay không?
Định lý 2.2.6 là câu trả lời khẳng định đối với câu hỏi trên cho mọi môđun
compắc tuyến tính biểu diễn được M không nhất thiết có chiều Goldie hữu hạn.
Chú ý rằng tồn tại các môđun (thậm chí trên vành địa phương đầy đủ) là compắc
tuyến tính biểu diễn được nhưng không có chiều Goldie hữu hạn. Thật vậy theo
S. Lefschetz [7], tồn tại các không gian véc tơ compắc tuyến tính có chiều vô
hạn. Vì thế các không gian này không có chiều Goldie hữu hạn. Rõ ràng rằng
mọi không gian véc tơ đều là 0 – thứ cấp nên nó biểu diễn được. Tuy nhiên N. T.
Cường and L. T. Nhàn [5] đã chỉ ra ở ví dụ sau một lớp rất rộng các môđun
compắc tuyến tính biểu diễn được nhưng không có chiều Goldie hữu hạn.
2. 2. 8. Ví dụ. Gọi ( R, m ) là vành địa phương với dim R > 2 . Chọn p¹≠ m là iđêan
nguyên tố của R có độ cao lớn hơn 1 . Gọi M là R -môđun compắc tuyến tính
biểu diễn được sao cho M chứa một môđun con đẳng cấu với bao nội xạ E của
R / m . Khi đó Hom R ( Rp ; M ) là compắc tuyến tính biểu diễn được nhưng không có

chiều Goldie hữu hạn.
Chứng minh. Theo Định lý 2.2.6, Hom R ( Rp ; M ) là compắc tuyến tính biểu diễn
được. Mặt khác, theo [12, Bổ đề 4.1] ta có
AssRp (Hom R ( Rp ; M )) ⊇ AssRp (Hom R ( Rp ; E )) = Spec( Rp ) .

Vì p có độ cao lớn hơn 1 nên dim R ( Rp ) > 1 . Ta đã biết rằng một vành địa phương
p

có hữu hạn các iđêan nguyên tố khi và chỉ khi nó có chiều Krull không vượt quá
1 . Do đó Rp là vành có vô hạn các iđêan nguyên tố. Vì thế AssRp (Hom R ( Rp ; M )) là

25
tập vô hạn. Từ đây ta có thể dễ dàng suy ra được Hom R ( Rp ; M ) là Rp - môđun
không có chiều Goldie hữu hạn và vì thế nó cũng là R – môđun không có chiều
Goldie hữu hạn. Đặc biệt, nó không là môđun Artin.

□

2. 3. Đối địa phương hóa
Khái niệm đối địa phương hóa được L. Melkersson và P. Schenzel đưa ra
năm 1995 trong [12].
2. 3. 1. Định nghĩa. Đối địa phương hóa của R – môđun M tương ứng với tập
đóng nhân S của R là RS - môđun Hom R ( R; M ) .
Chú ý rằng khi A là Artin, Hom( RS ; A) hầu như không là RS - môđun Artin,
trong khi đó với M là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được, Hom( RS ; M )
luôn luôn là R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Do đó việc nghiên
cứu hàm tử đối địa phương hóa trên các môđun compắc tuyến tính biểu diễn
được là thực sự có ý nghĩa.
2. 3. 2. Bổ đề. Cho S tập đóng nhân của R và M là R – môđun compắc tuyến
tính. Giả sử
ϕ : Hom R ( RS ; M ) → M

là đồng cấu định nghĩa bởi ϕ ( f ) = f (1) , với mọi f ∈ Hom R ( RS ; M ) . Khi đó ta có
Imϕ = I sM .
s∈S
'
sM ; I = U (0 : s) R . Khi đó M ' là compắc tuyến tính theo
Chứng minh. Đặt M = sI
s∈S

∈S

Bổ đề 2.1.2, (i), (ii). Đặt R ' = R / I . Dễ thấy M ' có cấu trúc tự nhiên là R ' - môđun.
Gọi S ' là ảnh của S trong R ' . Ta đã biết
'
t
Hom( RS ; M ' ) ≅ lim{M
suuu s ;g s } ,

Trong đó M s' = M ' với mọi s ∈ S ' và g st : M t' → M s' phép nhân bởi a ∈ R ' nếu t = as .