▼ô❝ ❧ô❝
❚r❛♥❣
▼ô❝ ❧ô❝
▼ë ➤➬✉
✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶
✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷
❈❤➢➡♥❣ ✶✳
✶✳✶
➳♥❤ ①➵ ➤ã♥❣ α✲s✉② ré♥❣ ✈➭ ➳♥❤ ①➵ α✲➤ã♥❣ s✉② ré♥❣ ✳ ✹
➳♥❤ ①➵ ➤ã♥❣ α✲s✉② ré♥❣
✶✳✷ ❈➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❈❤➢➡♥❣ ✷✳
✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✹
αTi ; Ti , i = 1, 21 ; αTb
✈➭
αTd ❀
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
➳♥❤ ①➵ gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ✈➭ ➳♥❤ ①➵ α✲♠ë ①✃♣ ①Ø
✳ ✷✵
✷✳✶
➳♥❤ ①➵ gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✷✳✷
➳♥❤ ①➵ α✲♠ë ①✃♣ ①Ø ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
❑Õt ❧✉❐♥
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻
✶
ờ ó
ột ớ ứ ẽ ủ tí ệ
tr tế ỷ ó ợ ứ ụ rộ r tr ề t
ọ ọ ế tụ tì ể ứ ề t ở
ù ớ ứ ụ ủ ú tr t ọ
r ệ ớ t ử ở ử ó tề ở tề ó
ử tề ở ử tề ó
st ớ tệ ệ ủ t
ở ó
tr t ể từ ó ề t ọ q t
ứ ế ệ ự tr t
ứ
ứ
ó
ớ
s rộ P
g ợ s tr r
ứ
ở ỉ ự tr t gở
ự tr r
s s
ở
grrst
s
s
r
ts s s r
g sts ớ sự ớ t tì ủ t P r
t tế ớ ứ tự ệ ề t ề
tr t
gở
ụ í í ủ trì ột số tí t ủ
ó s rộ ó s rộ g ợ
ở
ỉ ố q ệ ữ ó ớ tệ
Ti , Ti i = 1, 21 Tb Td
ớ ụ í tr ợ trì t
ớ t ề
ó s rộ ó s
rộ r ú t ớ tệ ệ t ó
s rộ t
ó s rộ t tềó ợ
í q ó s rộ ó s rộ
❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
αTi , Ti ❀ i = 1, 21 ✱ αTb , αTd
✈➭ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡
❜➯♥ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ ✈í✐ t✐➟✉ ➤Ò
➳♥❤ ①➵ gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ✈➭ ➳♥❤ ①➵ α✲♠ë ①✃♣
①Ø✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➳♥❤ ①➵
❣✐➯✐ ➤➢î❝✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
g ✲❧✐➟♥
t❤➠♥❣✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❝♦♠♣➽❝✱ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
α✲
gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ α✲♠ë
①✃♣ ①Ø✱ ♣❤➯♥ t✐Ò♥✲α✲♠ë✱ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵
❣✐÷❛ ➳♥❤ ①➵
α(g)✲t➳❝❤✱
gα✲❦❤➠♥❣
α✲♠ë ①✃♣ ①Ø✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö
α✲♠ë ①✃♣ ①Ø ✈➭ ➳♥❤ ①➵ gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ➤å t❤Þ
❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ♣❤➯♥ t✐Ò♥✲α✲♠ë✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ t❤✉ ❤Ñ♣ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵
①✃♣ ①Ø tr➟♥ t❐♣
α✲♠ë
α✲♠ë✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥
t❐♥ t×♥❤ ❝ñ❛ t❤➬② ❣✐➳♦ P●❙✳❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt
➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❚❤➬②✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥
❈❤ñ ♥❤✐Ö♠ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❇❛♥ ❈❤ñ ♥❤✐Ö♠ ❑❤♦❛ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ ❝➳❝ t❤➬② ❣✐➳♦✱
❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ❚æ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ✲ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì
tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ①✐♥ ❝➯♠
➡♥ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ö✉ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚ P❤➵♠ ❍å♥❣ ❚❤➳✐✱ tæ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚
P❤➵♠ ❍å♥❣ ❚❤➳✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❝❛♦ ❤ä❝
❦❤ã❛ ✶✼ ❚♦➳♥✲●✐➯✐ tÝ❝❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐
❣✐ó♣ t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤✐Ö♠ ✈ô tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳
▼➷❝ ❞ï ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❝è ❣➽♥❣✱ s♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ s❛✐
sãt✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬②✱
❝➠ ❣✐➳♦ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳
❱✐♥❤✱ t❤➳♥❣ ✶✷ ♥➝♠ ✷✵✶✶
❚➳❝ ❣✐➯
✸
ó
ó
s rộ
ó s rộ
s rộ ó s rộ
ị ĩ sử
tt t ở tr
X
ột t
A X
ợ
A ợ ọ tr ủ A ý ệ
tA
tt t ó ứ
A ợ ọ ó ủ A ý ệ
A.
ị ĩ t
A ợ ọ tề
A
ở ế
(X, ) A X, B X
t(A) P ù ủ t tề ở
ợ ọ t tề ó
A ợ ọ ở tr (X, ) ế A t((t(A))).
P ù ủ t
ở ọ t ó ó t B
ó tr
(X, ) ỉ (t((B))) B
ợ tt t
ở ủ (X, ) ứ tr A ý ệ t (A)
tt t
ó ủ (X, ) ứ B
ọ tt t
ý ệ (B)
ở ủ (X, ) ý ệ ó
(B) t (B) t ứ ý ệ ó ủ
B
tr
A
t ủ t
(X, )
tì t ó
t (A) (B) (B)
ị ĩ ột t
rộ ết
tr
tr ủ
ét ế
t(A)
B
ột t
(X, )
(X, )
A
ủ
ế (A)
(X, )
U
g ó
tr
A ủ (X, ) ợ ọ ở
ợ ọ ó s
A U
U
ở
s rộ ết
g ở
ớ
tr
(X, ) ế ù ủ ó X\A g ó
ỗ t ó ột t
ét
A
ị ĩ
g ó
rộ ết
tr
(X, )
tr
g ó
ủ
(X, )
ế (A)
ợ ọ ó
U A U
U
s
ở
(X, )
A ủ (X, ) ợ ọ ở s rộ ết g ở tr
(X, ) ế ù ủ ó X\A g ó
ét ỗ t
g ó ột t g ó
A
ị ĩ
rộ ết
tr
ủ
(X, )
gó tr (X, ) ế (A) U
ợ ọ
AU
ớ
ó
U
s
ở
(X, )
A ủ (X, ) ợ ọ ở s rộ ết gở tr
(X, ) ế ù X\A gó
ét
ỗ t
g ó ột t gó
ét
A ủ X
F t (A) ớ F A F
ó tr
ỉ
ế
A
ủ
(X, )
t ứ
ủ
(X, )
t ứ
gở
tr
(X, )
A g ó t ứ g ở tr (X, )
A
t
ị ĩ
F
gó
g ở tr (X, ) ỉ
gó
ủ
(X, )
tì
A
t
g
(X, )
ó tr
ở
f
: (X, ) (Y, )
ợ ọ
g ó
ó ở ế ớ ỗ t ó t ứ t ó t
(X, )
t ó
f (F )
g ó
t ứ
ó ở
tr
(Y, )
ị ĩ
f : (X, ) (Y, ) ợ ọ tềó
t ứ tềở ế ớ ỗ t
ó t ứ ó F
ủ
(X, ) t ó f (F ) t ó t ứ ở tr (Y, )
f
: (X, ) (Y, )
ỗ t ở tr
ợ t ứ
t ứ
g ó
ó tr
(X, )
ế
f
f
g
ủ
: (X, ) (Y, )
ợ ọ
ợ ế ớ ỗ t
(Y, )
t ó
f : (X, ) (Y, )
f 1 (F )
ó
F
ó
t ứ
ợ ọ ột é
ồ
g
ợ tềó
ễ t ợ
ỉ ớ ỗ t
f : (X, ) (Y, )
g ở U
ủ
ị ý
g
ợ
(Y, ) t ó f 1 (U ) g ở tr (X, )
f
: (X, ) (Y, )
t ứ tềở ỉ
tụ ế ị ủ
(Y, ) t tr (X, )
ị ĩ
ột s
ợ ọ
tềó
f : (X, ) (Y, )
ó t ứ ở
f
s
: (X, ) (Y, )
f : (X, ) (Y, ) tụ
ị ĩ t
ế ớ ỗ t ó
s
ợ ỉ
F
tử
(X, ) ợ ọ í q
x
/ F tồ t t ở A B
rờ
x A F B
ệ ề ế ở
g ó
tr
(X, )
tì
ó
ứ ì
ó (A)
A ở g ó A A t ó A A
= A r A ó
ị ĩ
f
: (X, ) (Y, ) ợ ọ ó
s rộ ết g ó ế ớ ỗ t ó F
t
g ó ủ (Y, )
ủ
(X, ) t ó f (F )
f
ó F
t
: (X, ) (Y, )
ủ
(X, ) t ó f (F ) t g ó ủ (Y, )
ị ý
ớ ỗ t
ột t
g ở V
S
ủ
F
V
ở
ó
s
ì
f
t ó ủ
Y \f (F ) = S V
f 1 (S) tồ t
f 1 (S)
t ở ứ
f (X\U )
t ó
f 1 (V ) U
s
(X, )
f 1 (Y \f (F )) X\F = U
ứ
f 1 (V ) U
g ó X\U
g ở ứ S
Y \V f (F ) F X\f 1 (V )
S t (Y, ) U
ột t
ợ sử
X\F
(Y, ) ớ ỗ t ở U
(Y, ) s S V
V = Y \f (X\U )
g ó r V
f : (X, ) (Y, ) gó ỉ
ủ
ứ sử
ó t
ợ ọ tềg ó ế ớ ỗ
t
S = Y \f (F )
U =
tết tồ t t
f 1 (V ) U = X\F
ề é t
g
ó t ó
Y \V = f (F )
g ó từ tứ t s r f (F ) g ó ó f
ì
Y \V
g ó
ị ý ế
tềó tì ớ ọ t
F
f : (X, ) (Y, )
g ó
ủ
(X, )
t ó
tụ
f (F )
g
ó
ế
F
f : (X, ) (Y, ) tụ g ó tì ớ ọ t
g ó ủ (X, ) t ó f (F ) g ó
ế
f : (X, ) (Y, )
ó tì ớ ọ t
(Y, )
s
f 1 (O)
ợ tề
A gó ủ (Y, ) t ó f 1 (A) g ó
ứ sử
ủ
F
f (F ) O
ở (F )
t
g ó tr (X, ) O
ó t ó
f 1 (O)
tềó t ó f ( (F ))
O
F f 1 (O)
r
F
g ó
f ( (F )) O
r (f (F ))
g ó tr (Y, )
ì
t ở
O
ó
ì
f
f (F )
✭✐✐✮ ●✐➯ sö
F
❧➭ t❐♣
g ✲➤ã♥❣
tr♦♥❣
X
✈➭
U
❧➭ t❐♣ ♠ë ❝ñ❛
(Y, δ)
s❛♦ ❝❤♦
f (F ) ⊂ U ✳ ❑❤✐ ➤ã F ⊂ f −1 (U )✳ ❱× f −1 (U ) ❧➭ ♠ét t❐♣ ♠ë ❝ñ❛ (X, τ ) ✈➭ F
t❐♣ g ✲➤ã♥❣✱ s✉② r❛ ❝❧(F )
❧➭ t❐♣
➤ã
αg ✲➤ã♥❣✳
❧➭
⊂ f −1 (U )✳ ▲➵✐ ❞♦ f ❧➭ ➳♥❤ ①➵ αg ✲➤ã♥❣ t❛ ❝ã f (❝❧(F ))
❱× t❤Õ t❛ ❝ã ❝❧α (f (❝❧(F )))
⊂ U✳
❚õ ➤ã ❝❧α (f (F ))
⊂ U✳
❉♦
f (F ) ❧➭ t❐♣ αg ✲➤ã♥❣✳
✭✐✐✐✮ ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✵✱ ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✻ t❛ ❝ã f (X, τ
❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ➤ã♥❣✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛✱
α
)−→ (Y, δ α )
f −1 (A) ❧➭ g ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (X, τ α )✱ ❤❛② ♥ã ❧➭
gα✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (X, τ )✳ ❱× ♠ç✐ t❐♣ gα✲➤ã♥❣ ❧➭ t❐♣ αg ✲➤ã♥❣✱ t❛ s✉② r❛ f −1 (A)
❧➭ t❐♣
αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (X, τ ).
✶✳✶✳✶✻✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✻❪✮ ●✐➯ sö
f : (X, τ )−→ (Y, δ) ✈➭ h : (Y, δ)−→ (Z, η)
❧➭ ❤❛✐ ➳♥❤ ①➵ ❝❤♦ tr➢í❝✳
✭✐✮ ◆Õ✉
h ◦ f : (X, τ )−→ (X, η)
t♦➭♥ ➳♥❤ ❧✐➟♥ tô❝✱ t❤×
✭✐✐✮ ◆Õ✉
✭✐✐✐✮ ◆Õ✉
f : (X, τ )−→ (Y, δ)
❧➭
❧➭
αg ✲➤ã♥❣
✈➭
h : (Y, δ)−→ (Z, η)
❧✐➟♥ tô❝
h ◦ f : (X, τ )−→ (Z, η) ❧➭ αg ✲➤ã♥❣✳
h ◦ f : (X, τ )−→ (Z, η) ❧➭ αg ✲➤ã♥❣✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ●✐➯ sö
f −1 (F )
➤ã♥❣ tr♦♥❣
✈➭
f : (X, τ )−→ (Y, δ) ❧➭ αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ h : (Y, δ)−→(Z, η) ❧✐➟♥ tô❝
✈➭ t✐Ò♥✲α✲➤ã♥❣✱ t❤×
t❛ ❝ã
αg ✲➤ã♥❣
h ❧➭ αg ✲➤ã♥❣✳
f : (X, τ )−→ (Y, δ)
✈➭ t✐Ò♥✲α✲➤ã♥❣✱ t❤×
❧➭
❧➭ ➤ã♥❣ tr♦♥❣
F
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ❝ñ❛
(X, τ )✳
❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt✱
(Y, δ)✳
❑❤✐ ➤ã ✈×
(h ◦ f )(f −1 (F ))
f
❧✐➟♥ tô❝
❧➭ t❐♣
αg ✲
(X, η)✳ ❙✉② r❛ h(F ) ❧➭ t❐♣ αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Z, η)✳ ❱❐② h ❧➭ ➳♥❤ ①➵
αg ✲➤ã♥❣✳
✭✐✐✮ ●✐➯ sö
❧➭ t❐♣
F
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ❝ñ❛
αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Z, η)✳ ❱× f
(Y, δ)✳ ❇➞② ❣✐ê ❣✐➯ sö U
❧✐➟♥ tô❝ t❛ ❝ã
t❐♣
(X, τ )✳ ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ (h ◦ f )(F )
❧➭
αg ✲➤ã♥❣✱ ♥➟♥ f (F ) ❧➭ t❐♣ αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣
❧➭ t❐♣ ♠ë tr♦♥❣
(Z, η) s❛♦ ❝❤♦ (h ◦ f )(F ) ⊂ U ✳ ❱× h
h−1 (U ) ❧➭ t❐♣ ♠ë tr♦♥❣ (Y, δ) ✈➭ f (F ) ⊂ h−1 (U )✳
❉♦
f (F ) ❧➭
αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Y, δ)✱ t❛ s✉② r❛ ❝❧α (f (F )) ⊂ h−1 (U )✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦
h(❝❧α (f (F ))) ⊂ U ✳ ▲➵✐ ✈× h ❧➭ t✐Ò♥✲α✲➤ã♥❣ t❛ ❝ã h(❝❧α (f (F ))) ❧➭ t❐♣ αg ✲➤ã♥❣
✽
tr♦♥❣
(Z, η)✳ ❙✉② r❛ ❝❧α h(❝❧α (f (F ))) ⊂ U ✳ ❚õ ➤ã t❛ ❝ã ❝❧α h(f (F )) ⊂ U ✳ ❱❐②
(h ◦ f )(F ) ❧➭ t❐♣ αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Z, η)✳
✭✐✐✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù✳
✶✳✶✳✶✼✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭❬✻❪✮ ✭✐✮ ◆Õ✉
t❐♣ ➤ã♥❣ ❝ñ❛
❧➭
(X, τ )✱
f : (X, τ )−→ (Y, δ)
t❤× ➳♥❤ ①➵ t❤✉ ❤Ñ♣ ❝ñ❛ ♥ã
❧➭
αg ✲➤ã♥❣
✈➭
H
❧➭
f |H : (H, τ |H)−→ (Y, δ)
αg ✲➤ã♥❣✳
f : (X, τ )−→ (Y, δ) ❧✐➟♥ tô❝✱
✭✐✐✮ ◆Õ✉
➤ã♥❣ ❝ñ❛
(X, τ )✱
t✐Ò♥✲α✲➤ã♥❣ ✈➭
t❤× ➳♥❤ ①➵ t❤✉ ❤Ñ♣ ❝ñ❛ ♥ã
H
❧➭ t❐♣ ♠ë✱
αg ✲
f |H : (H, τ |H)−→ (Y, δ)
❧➭
αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝✳
✭✐✐✐✮ ◆Õ✉
f : (X, τ )−→(Y, δ) ❧✐➟♥ tô❝✱ αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ H
❧➭ t❐♣
g ✲➤ã♥❣ ❝ñ❛
(X, τ )✱ t❤× ➳♥❤ ①➵ t❤✉ ❤Ñ♣ ❝ñ❛ ♥ã f |H : (H, τ |H)−→ (Y, δ) ❧➭ αg ✲➤ã♥❣ ✈➭
❧✐➟♥ tô❝✳
✭✐✈✮ ●✐➯ sö
❧➭
B ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ♠ë✱ αg ✲➤ã♥❣ ❝ñ❛ (Y, δ)✳ ◆Õ✉ f : (X, τ )−→ (Y, δ)
α✲➤ã♥❣✱ t❤× ➳♥❤ ①➵ t❤✉ ❤Ñ♣ ❝ñ❛ ♥ã f |H : (H, τ |H)−→ (Y, δ) ❧➭ α✲➤ã♥❣
✈í✐
H = f −1 (B)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ●✐➯ sö
(X, τ )✱
①➵
t❛ ❝ã
F
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ❝ñ❛
(H, τ |H)✳ ❱× H
(f |H)(F ) = f (F ) ❧➭ αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Y, τ )✳
❧➭ ➤ã♥❣ tr♦♥❣
❉♦ ➤ã✱
f |H
❧➭ ➳♥❤
αg ✲➤ã♥❣✳
✭✐✐✮ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛
f |H ❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳ ●✐➯ sö F
❧➭ ➤ã♥❣ tr♦♥❣
(H, τ |H)✳
❑❤✐ ➤ã F ❧➭ αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (X, τ )✳ ❙ö ❞ô♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✺✭✐✮ t❛ ❝ã (f |H)(F )
f (F ) ❧➭ αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Y, δ)✳ ❉♦ ➤ã f |H
✭✐✐✐✮ ●✐➯ sö
◆❤➢♥❣
H
F
❧➭ t❐♣
❧➭ ➤ã♥❣ tr♦♥❣
g ✲➤ã♥❣
❝ñ❛
◆❤ê ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✺✭✐✐✮ t❛ ❝ã
✈❐②✱
f |H
❧➭ ➳♥❤ ①➵
✭✐✈✮ ●✐➯ sö
➤ã♥❣ tr♦♥❣
F
(H, τ |H)✳ ❑❤✐ ➤ã F
(X, τ )✳
❱× t❤Õ t❛ ❝ã
❧➭
F
αg ✲➤ã♥❣✳ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ f |H
❉♦ ➤ã
αg ✲➤ã♥❣✳
g ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (H, τ |H)✳
❧➭
g ✲➤ã♥❣
tr♦♥❣
(X, τ )✳
(f |H)(F ) = f (F ) ❧➭ αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Y, δ)✳
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ tr♦♥❣
(X, τ )✳
❧➭ ➳♥❤ ①➵
(H, τ |H)✳
❉♦
❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳
❑❤✐ ➤ã
F = K∩H
f (K) ❧➭ α✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Y, δ)✳
✾
=
◆❤➢♥❣
B
✈í✐
K
❧➭
❧➭ ♠ë ✈➭
αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Y, δ)✱ sö ❞ô♥❣ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✶✷ tõ ➤✐Ò✉ ♥➭② t❛ s✉② r❛ f (K)∩B
❧➭
α✲➤ã♥❣
tr♦♥❣
(Y, δ)✳
❱× t❤Õ ♥❤ê ➤➻♥❣ t❤ø❝
f (K) ∩ B ✱ t❛ s✉② r❛ f |H
✈➭ ♥Õ✉
(X, τ )
α✲➤ã♥❣✳
❧➭ ➳♥❤ ①➵
f : (X, τ )−→ (Y, δ)
✶✳✶✳✶✽✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✻❪✮ ◆Õ✉
αg ✲➤ã♥❣
(f |H)(F ) = f (H ∩ K) =
❧➭ t♦➭♥ ➳♥❤ ❧✐➟♥ tô❝✱
(Y, δ)
❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✱ t❤×
❧➭ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✳
A, B
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö
❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ➤ã♥❣ rê✐ ♥❤❛✉ ❝ñ❛
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✱ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ t❐♣ ♠ë rê✐ ♥❤❛✉
s❛♦ ❝❤♦
f −1 (A) ⊂ U
f −1 (B) ⊂ V ✳
✈➭
A ⊂ G, B ⊂ H
U
(Y, δ)✳ ❱× (X, τ )
✈➭
f −1 (G) ⊂ U
➤ã ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã
f −1 (G) ∩ f −1 (H) = φ ✈➭ ❞♦ ➤ã G ∩ H = φ✳
❝ã ✐♥tα (H)
tõ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝
(X, τ )
f −1 (H) ⊂ V. ❑❤✐
s❛♦ ❝❤♦
A ❧➭ ➤ã♥❣✱
❝ñ❛
◆❤ê ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✹✱ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ t❐♣
αg ✲♠ë G ✈➭ H
✈➭
V
✈➭
✈➭
❱×
A ⊂ G t❛ s✉② r❛ ✐♥tα (G) ⊃ A✳
G ❧➭ αg ✲♠ë
❚➢➡♥❣ tù t❛
⊃ B ✳ ❉♦ ➤ã ✐♥tα (G) ∩ ✐♥tα (H) = φ ✈➭ ✈× ✈❐② ✐♥t✭❝❧✭✐♥t(✐♥tα (G))) ∩
✐♥t✭❝❧✭✐♥t(✐♥tα (H)))
= φ✳
✐♥t✭❝❧✭✐♥t(✐♥tα (G)))✱ t❛ ❝ã
❱×
A ⊂
✐♥tα (G)
⊂
✐♥t✭❝❧✭✐♥t(✐♥tα (G))) ✈➭
B ⊂
(Y, δ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✳
✶✳✶✳✶✾✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✻❪✮ ●✐➯ sö
✈➭ t✐Ò♥✲αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ ❣✐➯ sö
f : (X, τ )−→ (Y, δ)
(X, τ )
❧➭ s♦♥❣ ➳♥❤ ❧✐➟♥ tô❝
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✳ ❑❤✐ ➤ã
(Y, δ)
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö
A, B
❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ rê✐ ♥❤❛✉ ❝ñ❛
(X, τ ) ❧➭ ❝❤✉➮♥ t➽❝✱ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ t❐♣ ♠ë rê✐ ♥❤❛✉ G ✈➭ H
G ⊃ f −1 (A) ✈➭ H ⊃ f −1 (B)✳
t❛ ❝ã
f (G)
✐♥tα (f (G))
✈➭
f (H)
❧➭ ❝➳❝ t❐♣
τ ⊂ τα
αg ✲♠ë
⊃ A ✈➭ ✐♥tα (f (H)) ⊃ B
✐♥tα (f (G))
❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ t❐♣
❝ñ❛
❱×
✈➭
f
❝ñ❛
(Y, δ)✳
❱×
(X, τ ) s❛♦ ❝❤♦
❧➭ t✐Ò♥✲αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ s♦♥❣ ➳♥❤✱
❧➬♥ ❧➢ît ❝❤ø❛
A
✈➭
B✳
❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã
✈➭
∩ ✐♥tα (f (H)) ⊂ f (G) ∩ f (H) = φ.
α✲♠ë
rê✐ ♥❤❛✉
(Y, δ) ❧➬♥ ❧➢ît ❝❤ø❛ A ✈➭ B ✳ ❱×
C =
✐♥tα (f (G)) ✈➭
✐♥t✭❝❧✭✐♥t(c)))
✶✵
D =
✐♥tα (f (H))
∩ ✐♥t✭❝❧✭✐♥t(D))) = φ, A ⊂
✐♥t✭❝❧✭✐♥t(C))) ✈➭
B ⊂ ✐♥t✭❝❧✭✐♥t(D))), t❛ ❝ã (Y, δ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✳
✶✳✶✳✷✵✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✻❪✮ ❚r♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠
(X, τ )
❝➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò s❛✉
❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣
✭❛✮
(X, τ ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ α✲❝❤Ý♥❤ q✉②❀
✭❜✮ ❱í✐ ♠ä✐ ♣❤➬♥ tö
α✲♠ë U
t❐♣
s❛♦ ❝❤♦
S
❧➭ ➤ã♥❣ ✈➭
s❛♦ ❝❤♦
❝❧α (X\S)
✭❜✮
⇒ ✭❜✮✳
x∈
/ X\V ✳
U
x tå♥ t➵✐ ♠ét
x∈X
✈➭
V
❧➭ t❐♣ ♠ë ❝❤ø❛
U ∩ S = φ✳
❱×
❑❤✐ ➤ã
α✲♠ë U
✈➭
x ∈ U ⊂ X\S ⊂ V
✈➭
◆❤ê ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✭❛✮ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ t❐♣
✈➭
x✳
= X\S ✱ t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➭ x ∈ U ⊂ ❝❧α (X\U ) ⊂ V ✳
⇒ ✭❛✮✳
✈➭
●✐➯ sö
x ∈ U, X\V ⊂ S
●✐➯ sö
F
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭ ♣❤➬♥ tö
➤Þ♥❤ ✭❜✮ tå♥ t➵✐ ♠ét t❐♣
➤ã✱
♠ë ❝❤ø❛
x ∈ U ⊂ ❝❧α (U ) ⊂ V ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭❛✮
X\V
x ❝ñ❛ (X, τ ) ✈➭ ♠ä✐ t❐♣ V
X\❝❧α (U )
α✲♠ë U
❧➭ ❝➳❝ t❐♣
s❛♦ ❝❤♦
α✲♠ë
x∈
/ F✳
x ∈ U ⊂
s❛♦ ❝❤♦
❑❤✐ ➤ã✱ ♥❤ê ❦❤➻♥❣
❝❧α (U )
⊂ X\F ✳
x ∈ U ✱ F ⊂ X\❝❧α (U )
❉♦
✈➭
U ∩ (X\❝❧α (U )) = φ✳ ❱❐② (X, τ ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ α✲❝❤Ý♥❤ q✉②✳
✶✳✶✳✷✶✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✻❪✮ ●✐➯ sö
f : (X, τ )−→ (Y, δ)
❧➭ t♦➭♥ ➳♥❤ ❧✐➟♥ tô❝✱
α✲♠ë ✈➭ αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ ❣✐➯ sö (X, τ ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ❑❤✐ ➤ã (Y, δ)
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
α✲❝❤Ý♥❤ q✉②✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö
❧➭ ♣❤➬♥ tö ❝ñ❛
✈➭
f
t❤Õ✱
y∈Y
✈➭
❧➭ t❐♣ ♠ë ❝❤ø❛
(X, τ ) s❛♦ ❝❤♦ y = f (x)✳
❧✐➟♥ tô❝✱ tå♥ t➵✐ ♠ét t❐♣ ♠ë
y ∈ f (U ) ⊂ f (❝❧(U )) ⊂ V.
❧➭ t❐♣
V
U
❱×
f
❝ñ❛
(Y, δ)✳ ●✐➯ sö x
(X, τ ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤Ý♥❤ q✉②
s❛♦ ❝❤♦
▲➵✐ ✈×
Y
x∈U ⊂
❧➭ ➳♥❤ ①➵
❝❧(U )
αg ✲➤ã♥❣✱
⊂ f −1 (V )✳
t❛ ❝ã
❱×
f (❝❧(U ))
αg ✲➤ã♥❣ ➤➢î❝ ❝❤ø❛ tr♦♥❣ t❐♣ ♠ë V ✳ ❱× ✈❐② t❛ ❝ã ❝❧α (f (❝❧(U ))) ⊂ V ✳
❉♦ ➤ã✱
y ∈ f (U ) ⊂
❝❧α (f (U ))
y ∈ f (U ) ⊂ ❝❧α (f (U )) ⊂ V
✈➭
⊂
❝❧α (f (❝❧(U )))
⊂ V✳
➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦
f (U ) ❧➭ α✲♠ë✳ ❱× t❤Õ ♥❤ê ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✷✵ t❛ ❝ã
(Y, δ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ α✲❝❤Ý♥❤ q✉②✳
✶✳✶✳✷✷✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✻❪✮ ●✐➯ sö
f : (X, τ )−→ (Y, δ) ❧➭ s♦♥❣ ➳♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭
✶✶
tềó sử
t
yY
(X, ) s y = f (x)
ở U
s
f (U )) V
ó
(Y, )
í q
ứ sử
tử ủ
(X, ) í q
V
t ở ứ
y sử x ột
ờ tết ị ý tồ t
x U (U ) f 1 (V ) ó y f (U ) f (U )
f ( (U )) t g ó ợ ứ tr t ở V
(f ( (U )))
V
ề é t
y f (U )
(f (U ))
V
ì
f (U ) ở ờ ị ý t ó (Y, ) í q
ét ỗ tề
g ó
g ó
ề
ợ ú
ị ĩ
s rộ ết
t
f
: (X, ) (Y, )
gó ế ớ ỗ t ó F
ọ
t ó
f (F )
ó gó
g ó g ó
ứ sử
f : (X, ) (Y, ) ó từ
(X, ) (Y, ) F
t ó t ỳ ủ
ó f (F ) t ó ủ Y
(X, )
gó g ó
ọ
t
ủ
ó
gó ủ (Y, )
ệ ề ọ
ợ ọ
gó
t s r
X ì f
ì ỗ t
f (F ) t gó ủ Y
ì
ó
f
gó
từ ề ỗ t
gó t g ó
từ ề ỗ t
g ó t g ó
ề ợ ủ ệ ề tr ú ợ tể ệ q
í ụ s
í ụ ột
gó t tết ó
X = Y = {a, b, c}, = {0, {a}, {a, b}, X} = {0, {a}, {b, c}, X}
ét
f : (X, ) (Y, ) ợ ị s f (a) = b, f (b) = c
f (c) = a
ó
f ({b, c}) = {c, a} ó
ó f
í ụ ột
f
gó
g ó t tết g ó
X = Y = {a, b, c}, = = {0, {a}, {a, b}, X}
ét
f :
(X, ) (Y, ) ợ ị s f (a) = a, f (b) = c f (c) = b
ó
f ({c}) = {b} g ó tr (Y, )
g ó f
f
g ó
í ụ ũ t
ó t tết ó
g ó t tết tềg ó
í ụ ột
g ó
t tết
gó
X = Y = {a, b, c}, = = {0, {a}, {a, b}, X}
ét
f :
(X, ) (Y, ) ợ ị s f (a) = b, f (b) = a f (c) = c
ó
f ({b, c}) = {a, c} gó tr (Y, ) f
gó f
g ó
ị ý ớ
s ủ ó
f : (X, ) (Y, )
f : (X, ) (Y, ) ệ ề s t
f : (X, ) (Y, ) gó
s ủ ó f : (X, ) (Y, ) gó
ớ ỗ t
S
ủ
(Y, ) ớ ỗ t ở U
f : (X, ) (Y, ) tồ t ột t gở V
s
ứ
SV
f 1 (S) ớ
f 1 (V )
U
ứ
ị ĩ
sử
F
t ó ủ
(X, )
ó ờ
gó t ó f (F ) gó tr (Y, ) f (F )
gó tr (Y, ) ỉ f (F ) g ó tr (Y, )
ó
sử ụ ị ĩ t ó ề ứ
ứ t tự ị ý
ị ý sử
s
hf
f : (X, ) (Y, ) h : (Y, ) (X, )
gó ó
ế
f
ế
h ợ tềó tì f
t tụ tì
h gó
gó
ứ ề ể ị ĩ ị ý
ử ụ ị ý tết s h
tụ s
t s r ế
F
t ó ủ
: (Y, ) (Z, )
h f : (X, ) (Z, ) g ó
(X, ) tì h1 ((h f )(F )) g ó tr
(Y, ) ì tế f (F ) gó tr (Y, ) ó f : (X, )(Y, )
gó
Ti , Ti , i = 1, 21 , Tb Td
ị ĩ t
t
(X, ) ợ ọ T 21
ế ọ
g ó ó
t
(X, )
ợ ọ
(X, )
ợ ọ
(X, )
T 12
ế ọ t
gó
ế ọ t
g ó
ó
t
1
2
T
ó
t
t ứ
T1
t ứ
T2 )
ế
(X, )
T1
T2
ị ý
(X, ) ột T 21 ỉ ớ ọ
x X, {x} ở ó tr (X, )
(X, ) T 12 ỉ ớ ỗ x X, {x} ở
ó tr (X, ) (X, ) T 12
ỉ
(X, )
T 21
ứ sử
{x}
ế
X
T 12
t ó tì
X
ớ ể t ỳ
t ở t ứ
x X
X\{x}
X\{x} t g ó ì tế {x} t ở
ợ sử
ế
A
t
ủ
X
ể t ỳ
x A
{x} ở tì ì x A {x} A = t s r x A ế {x} t
ó tì t ó
ú ó t ó
{x A = {x} A = ì ế {x} A = tì {x} A =
A X\{x} X\{x} ở A g ó A X\{x}
ề t ớ
g ó
x A ì {x A = t s r x A A = A
A ó
ứ t tự
ị ý ế
A
t
g ó
tì (A)\A ứ
t ó rỗ
x X
ớ ỗ
t
{x}
ó ù ủ ó
X\{x}
g ó tr (X, )
ớ ỗ
x X t {x} ó ù ủ ó X\{x}
gó tr (X, )
ứ sử A t g ó F t ó rỗ
s
F
é t
(A)\A ó tồ t ể
{x} F
ế ợ
x
(A)\A ề
(A)
{x} A = ì
{x} A = tì t ó A X\{x} A ag ó ề
é t (A)
tế t ó
(A)\A
xF
X\{x} X\{x} ề t ớ x (A) ì
{x} A = ề t ớ {x} F (A)\A
ó tồ t t ó
ớ ể t ỳ
F
rỗ tỏ
F (A)\A
x X ế {x} t ó tì X
t tỏ (X\{x})
t ở
X ì tế X\{x} t g ó
ớ ể t ỳ
ở t ứ
x X ế {x} t ó tì X
t
X\{x} t ó (X\{x}) X ì tế X\{x} t
gó
ị ĩ t (X, ) ợ ọ Tb t ứ
Td ế ọ t g ó ó t ứ g ó
ệ ề ế
t
(X, )
Tb
tì ớ ỗ
x X
{x} ó ở tr (X, )
(X, ) Td
ế
tì ớ ỗ
x X t {x} ó
g ở tr (X, )
x X, {x}
ứ sử r ớ
ị ý ét t ó
ó
X\{x}
t
ờ
g ó
ì
(X, ) Tb s r X\{x} ó ì {x} ở
sử r ớ
x X, {x} ó
ó
X\{x} t g ó
r
X\{x} g ó ì {x} g ở
ờ tết
ị ý ỗ
ỗ
Ti
ỗ
Ti
Ti
ớ
ứ sử
ó t ỳ ủ
Tb
(X, ) Tb
ớ
ừ ị ý t
Td
s
T 21
i = 1, 12
i = 1, 2 T 21
(X, )
Tb
A
t
g
(X, ) ì (X, ) Tb t ó A t ó
ì ỗ t ó t
g ó
A
t
g ó
ó
(X, )
Td
sử
(X, ) Tb A t g ó t ỳ ủ (X, )
ì ỗ t
g ó ột t g ó từ tết (X, ) Tb
t s r
sử
A t ó ì (X, ) T 21
(X, ) T1 t ứ T 21 sử x X
ó
{x} ó t ứ ở ó
ì ọ t ó
ó t s r {x} ó t ứ ó
ở tr (X, ) ề ó ĩ (X, ) T1 t ứ T 12
ó
(X, ) T1 t ứ T 12
sử
t ó
(X, ) T1
(X, ) T 12
ó
ì
(X, ) T1 ờ ị ý
(X, ) T 12 ì ỗ T2
T1 trờ ợ i = 2 ể
ét í ụ s t ề ợ ủ ị
ý ú
Td
í ụ ột
t tết
Tb
X = {a, b, c}, = {0, {a}, X} ó {a, b} g ó
ó
ột t
(X, ) Tb ó Td ì ỗ t g ó
g ó tr (X, )
í ụ ột
X
số tự ớ t
số tự ó
T1
t tết
sử
Td
sử
A = { 21n : n {0} N} ớ N t
A g ó
ó
g ó
ó
(X, ) Td Tb (X, ) T1
T 12
í ụ ột
ủ í ụ t ó
(X, )
ét
(X, )
ử ụ ị ý t ó
(X, )
T 12
Td
Tb
í ụ ột
T 12
X = {a, b, c}, = {0, {a}, {a, b}, X}
ị ý t ó
t tết
ó
(X, )
T 21
T 21
ử ụ
(X, ) T 21
í ụ í ụ t t r ột
t tết
T1
T 21
ét í ụ í ụ s ỉ r r
Tb
T1 ộ ớ í ụ ũ
t t r ó
Td T1 ộ ớ
í ụ ột
Tb
X = {a, b, c} = {0, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}, X}
(X, ) T1
T1
t tết
ó
{b}
ì
ó
T1 ì ỗ t
g ó tr (X, ) ột t ó ó ó Tb
ét í ụ í ụ ớ ứ tỏ r
ó
T 12
í ụ ột
Tb ộ ớ
Td
X = {a, b, c} = {0, {a}, {b, c}, X}.
ó
ị ý
f
ợ ế ỉ ế
: (X, ) (Y, )
T 21
ợ t ỳ
f : (X, ) (Y, ) tụ
ứ ề ệ sử
f
(X, )
Td
ó
ì
T 21
t tết
M
f : (Y, ) (Y, )
tr
Y
ó
M
t tr Y
ợ t s r f 1 (M ) t tr X
f 1 (M ) ó f : (X, ) (Y, ) tụ
ề ệ ủ sử
tr
Y
ó
f 1 (M )
f : (X, ) (Y, ) tụ M
M
t
ì
t t ỳ
f : (X, ) (Y, ) tụ t ó f 1 (M )
tr
X
r
f : (X, ) (Y, )
ợ
ị ý ế
tụ tì f
f : (X, ) (Y, )
ợ
tề ở
ị ý ế
ó
ế
f
ột
(X, )
f : (X, ) (Y, )
ột é ồ
ồ
Tb
t ứ
Td
f : (X, ) (Y, )
ột
(Y, ) Tb t ứ Td
é ồ tì
ứ ì
f : (X, )(Y, ) ột é ồ t ó f
f 1
f 1 tụ ỗ t ở t tề ở ờ ị ý
ở s tụ ì ỗ t ở t
t s r
f
f 1
ợ
é
f 1
s
ột
f : (X, )(Y, ) ột ồ sử F
ột
g ó ủ (Y, )
ó từ t ó
s tềó ó
tềó ì
ồ
sử
t
f 1
f
f
ờ ị ý t s r
f
ì
ở t s r f
Tb
(X, )
t ứ
Td
ố ù ì
t ó
F
ứ
Td
f
t ó
f 1 : (Y, ) (X, ) tụ
f 1 (F ) g ó tr (X, ) ì (X, )
f 1 (F )
ó t ứ
g ó
tr
ột ó t ứ ó tụ
ó t ứ
g ó tr (Y, )
(Y, ) Tb
t
g ợ
ở ỉ
g ợ
ị ĩ t
ột t s rộ tr
iI
t ó
G=
ợ
X
iI
X
ọ
ế tỏ
ù ớ ột t s rộ
tử ủ
g
t ủ
g
ế
X
ợ ọ
Gi g
ớ ọ
Gi g ó g ế X g
t s rộ ý ệ
t
X =
g
g
tr ó ợ ọ
(X, g)
ợ ọ t
g ở
P ù ủ t
g ở
g ó
sử
A X t ý ệ Cg (A) ủ tt t g ó ứ
A ý ệ ig (A) ợ ủ tt t g ở ợ ứ tr A ó
ig (A) = X Cg (X A) Cg (A) = X Cg (X A).
ị ĩ (X, gX ) t s rộ A
ó
X
A ợ ọ
g ửở s ế A Cg (ig (A))
g tềở r ế A ig (Cg (A))
grở ế A = ig (Cg (A))
gở ế A ig (Cg (ig (A)))
g ở ế A Cg (ig (Cg (A)))
ù ủ t
g ửở g tềở gở g ở
t
g ửó t ứ g tềó gó g ó
sẽ ý ệ
(g)
t ứ
(g), (g), (g)
g ửở t ứ g tề ở g ở g ở
ọ tt t
ể t ó
g
(g) (g) (g) (g) (g) (g)
ị ĩ
rộ ó
ột t
(X, gX ) (X , gX ) t s
f : XX
g ở tr X
ớ ỗ
ứ
xX
V
ớ ọ t
ị ĩ
s rộ ó
ợ ọ
(X, gX )
f : XX
ỗ t
V
(gX , gX )
tụ ế
g ở tr X
(X , gX )
f 1 (V )
t
(gX , gX ) tụ ế ế
ợ ọ
g ở ứ f (x) tồ t ột t U
g ở
x s f (U ) Cg (V )
ị ĩ sử
(X, gX ) (X , gX ) t
s rộ ó
f : XX
x X ế ớ ỗ t V
ợ ọ
(gX , gX ) tụ t
g ở ứ f (x) tồ t ột t U
g ở ứ
x s f (U ) ig (Cg (V ))
ị ĩ sử
s rộ ó
tr
f : XX
ợ ọ
(, gX ) tụ ế f 1 (V ) gở tr X
X
(, gX )
tụ ế
V
g ở
g ở tr X
(, gX
f 1 (V )
X
ớ ọ t
V
f 1 (V ) g tềở tr X
ớ ọ t
V
g ửở
tr
(, gX )
X
ớ ọ t
g ở tr X
tr
(X, gX ) (X , gX ) t
tụ ế
) tụ ế f 1 (V ) g ở tr X ớ ọ t V
g ở
ị ĩ sử
s rộ ó
(X, gX ) (X , gX ) t
f : XX
f 1 (V ) gở tr X
ớ ọ t
ị ĩ sử
ợ ọ
V
g
gở ủ X
ợ ế
(X, gX ) (X , gX ) t
s rộ ó
x X ế ỗ t V
X
ủ
ứ
f : XX
gở ủ X
ợ ọ
ứ
g
ợ t
f (x) tồ t ột t U gở
x s f (U ) V
(X, gX ) t s rộ A X
ủ tt t
gó
ứ
A
ý ệ
C (A)
i (A) ợ ủ tt t
gở tr A
ị ý sử
s rộ
f : XX
(X, gX ) (X , gX ) t
ó ệ ề s t
f
f 1 (F ) gó tr X
f (C (A)) C (f (A)) ớ ọ t A ủ X
C (f 1 (V )) f 1 (C (V )) ớ ọ t V
f 1 (i (V )) i (f 1 (V )) ớ ọ t V
f
g ợ
t
F
gó ủ X
ủ
ủ
X
X
ề ể
sử A t gó ủ X
ừ t ó
f 1 (C (f (A)))
gó
C (A) C (f 1 (A)) C (f 1 (C (f (A)))) = f 1 (C (f (A))).
f (C (A)) C (f (A))
sử V
t t ỳ ủ
X
ừ t ó
f (C (f 1 (V ))) C (f f 1 (V )) C (V ).
C (f 1 (V )) f 1 f (C (f 1 (V ))) f 1 (C (V )).
g ợ t ọ x X
ứ
ớ ọ t
sử (V ) t t ỳ ủ X
ừ t ó
f 1 (C (X V )) C (f 1 (X V )) = C (X f 1 (V )).
X C (X A) = i (A)
ì
f 1 (i (V )) = f 1 (X C (X V )) =
X f 1 (C (X V )) X C (X f 1 (V )) = i (f 1 (V )).
sử
V
gở t ỳ ủ X
t
f 1 (V ) = f 1 (i (V )) i (f 1 (V )) f 1 (V ).
t ó
i (f 1 (V )).
f 1 (V )
t
gở
ủ
X
V = i (V )
ó
ó
f
r
ừ
f 1 (V ) =
g
ợ
sử f
X
ỳ ủ
s
f 1 (V ) ó U
ó
f
f (x) V
t
V
gở t
x f 1 (V ) = i (f 1 (V ))
ó
gở ủ X
t
t
U =
f (U ) = f (f 1 (V )) V
g ợ ớ ỗ x X
sử V
t
ừ tết tồ t t
ó
g ợ x X
U
gở ủ X
s
x U f 1 f (U ) f 1 (V )
f 1 (V ) i (f 1 (V ))
x f 1 (V ) ó f (x) V
gở ủ X
ó
xU
f (U ) V
x U = i (U ) i (f 1 (V )).
f 1 (V ) = i (f 1 (V ))
r
f
g
ợ
ị ý sử
s rộ
X
f : XX
ó
f
ớ ọ t
g
U
ủ
f
11
từ
ợ ỉ
X
i (f (U )) f (i (U ))
X
ứ sử
ì
(X, gX ) (X , gX ) t
1 1
V
t t ỳ ủ
t ó
X
ờ ị ý
f 1 (i (f (V ))) i (f 1 f (V )) = i (V ).
f f 1 (i (f (V ))) f (i (V )) ó i (f (V )) f (i (V ))
ợ sử
V
t
gở ủ X
ó
V = i (V ) ừ tết
t ó
f (i (f 1 (V ))) i (f f 1 (V )) = i (V ) = V.
❉♦ ➤ã s✉② r❛
f −1 f (iα (f −1 (V ))) ⊇ f −1 (V )✳ ❱× f
❧➭ ➳♥❤ ①➵
1 − 1 ♥➟♥ t❛ ❝ã
iα (f −1 (V )) = f −1 f (iα (f −1 (V ))) ⊇ f −1 (V ).
❇ë✐ ✈❐②
❧➭
f −1 (V ) = iα (f −1 (V ))✳ ❱× t❤Õ✱ f −1 (V ) ❧➭ t❐♣ gα✲♠ë ❝ñ❛ x✳ ❙✉② r❛ f
gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✳
✷✳✶✳✶✶✳ ❇æ ➤Ò ✭❬✶❪✮✳ ●✐➯ sö
gX
❧➭ ♠ét t➠♣➠ s✉② ré♥❣ tr➟♥ t❐♣
X = ∅ ✈➭
A ⊆ X ✳ ❑❤✐ ➤ã
iα (A) = A ∩ ig (Cg (ig (A)))Cα (A) = A ∪ Cg (ig (Cg (A))).
✷✳✶✳✶✷✳ ❇æ ➤Ò✳ ●✐➯ sö
(X, gX )
❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠ s✉② ré♥❣✳ ❑❤✐
➤ã
✭✶✮
Cα (A) ⊆ Cg (A) ✈í✐ ♠ä✐ t❐♣ ❝♦♥ A ❝ñ❛ X ✳
✭✷✮
Cg (A) = Cα (A) ✈í✐ ♠ä✐ t❐♣ ❝♦♥ A ❧➭ gα✲♠ë ❝ñ❛ X ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✮ ●✐➯ sö
A ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ X ✳
❑❤✐ ➤ã✱ ✈× ig (A)
⊆
iα (A) ♥➟♥ X − ig (A) ⊇ X − iα (A)✳ ❱❐② Cα (A) ⊆ Cg (A)✳
✭✷✮ ●✐➯ sö A ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ gα✲♠ë ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ X ✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã A
❉♦ ➤ã
Cg (A) ⊆ Cg (ig (Cg (ig (A)))) = Cg (ig (A)) ⊆ Cg (ig (Cg (A))).
Cg (A) ⊆ A ∪ Cg (ig (Cg (A)))✳
✈×
⊆ ig (Cg (ig (A)))✳
❚õ ❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✺✱ t❛ ❝ã
❱❐②✱
Cg (A) ⊆ Cα (A)✳
▲➵✐
Cα (A) ⊆ Cg (A)✱ ♥➟♥ t❛ ❝ã Cg (A) = Cα (A).
✷✳✶✳✶✸✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✶❪✮ ●✐➯ sö
s✉② ré♥❣ ✈➭
f : X−→X
(X, gX )✱ (X , gX )
❧➭ ➳♥❤ ①➵
❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠
gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✳ ❑❤✐ ➤ã
Cg (f −1 (V )) ⊆ f −1 (Cg (V ))
✈í✐ ♠ä✐ t❐♣ ❝♦♥
V
❝ñ❛
X
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö
✳
V
❧➭ t❐♣ ❝♦♥
❣✐➯✐ ➤➢î❝✱ ♥❤ê ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✶✷ t❛ ❝ã
g ✲♠ë ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ X
✳ ❱×
f
Cα (f −1 (V )) = Cg (f −1 (V ))✳
✷✹
❧➭
gα✲❦❤➠♥❣
❚õ ➜Þ♥❤ ❧ý
✷✳✶✳✾✱ t❛ ❝ã
Cα (f −1 (V )) ⊆ f −1 (Cα (V ))✳ ▲➵✐ ♥❤ê ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✶✷ t❛ s✉② r❛
f −1 (Cα (V )) ⊆ f −1 (Cg (V )).
❑❤✐ ➤ã✱
Cα (f −1 (V )) ⊆ f −1 (Cg (V ))✳ ❱× ✈❐② Cg (f −1 (V )) ⊆ f −1 (Cg (V )).
✷✳✶✳✶✹✳ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳✭❬✽❪✮ ●✐➯ sö
t➠♣➠ s✉② ré♥❣✳ ◆Õ✉
f : X−→X
(X, gX )
❧➭
✈➭
gα✲❦❤➠♥❣
(X , gX )
❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❣✐➯✐ ➤➢î❝ t❤×
f
(gX , gX )
❧➭
❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉✳
✷✳✶✳✶✺✳ ◆❤❐♥ ①Ðt✳ ❚õ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✼ ✈➭ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✶✹ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã
♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ♥❤➢ s❛✉✿
(α, gX )✲❧✐➟♥ tô❝
(gX , gX )✲❧✐➟♥ tô❝
(δ, gX )✲❧✐➟♥ tô❝
gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝
(gX , gX )✲❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉
(gX , gX )✲❤➬✉ ❧✐➟♥ tô❝
◆❤❐♥ ①Ðt✿ ❈❤✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❦Ð♦ t❤❡♦ tr➟♥ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣
➤➢î❝ t❤Ó ❤✐Ö♥ q✉❛ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô s❛✉✳
✷✳✶✳✶✻✳ ❱Ý ❞ô✳ ✭❬✶❪✮ ●✐➯ sö
❝➳❝ t➠♣➠ s✉② ré♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣
①➵
X = X = {a, b, c, d}✳
❚r➟♥
X
✈➭
X
gX = gX = {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}}✳
t❛ ①Ðt
❳Ðt ➳♥❤
f : (X, gX )−→(X , gX ) ❝❤♦ ❜ë✐ f (a) = f (b) = b, f (c) = c, f (d) = d✳
❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✱ f ❧➭ (gX , gX
❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉✱
)✲❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ❝ò♥❣ ❧➭ (gX , gX )✲❤➬✉ ❧✐➟♥ tô❝✱ (gX , gX )✲
(gα, gX )✲❧✐➟♥ tô❝✱ (δ, gX )✲❧✐➟♥ tô❝✱ (ρ, gX )✲❧✐➟♥ tô❝✱ (β, gX )✲❧✐➟♥
tô❝✳ ◆❤➢♥❣ ✈×
gα✲♠ë✳ ❱❐② f
{a, c}
❧➭ t❐♣
gα✲♠ë✱
❦❤➠♥❣ ❧➭ ➳♥❤ ①➵
✷✳✶✳✶✼✳ ❱Ý ❞ô✳✭❬✶❪✮ ❈❤♦
t❛ ❝ã
f −1 ({a, c}) = {c}
❦❤➠♥❣ ❧➭ t❐♣
gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✳
X = X = {a, b, c, d} ✈➭
gX = {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}}, gX = {∅, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
❳Ðt ➳♥❤ ①➵
f : (X, gX )−→(X , gX ) ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ s❛✉✿ f (a) = c, f (b) =
f (d) = d ✈➭ f (c) = a✳ ❑❤✐ ➤ã f
❧➭
gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✳ ◆❤➢♥❣ ✈× {a, b, c} ❧➭
✷✺