Sự phân loại các vị nhóm bởi tính c nội xạ và CC nội xạ luận văn thạc sĩ

1
bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học Vinh


trần thị anh th

sự phân loại các vị nhóm
bởi tính C- nội xạ và CC- nội xạ

luận văn thạc sỹ toán học

VINH - 2011
MC LC
Trang
M u
Chng 1. Kin thc chun b

1

1.1. Phm trự v hm t.

1

1.2. Mụun ni x.

7

Chng 2. S phõn loi ca cỏc v nhúm theo C- ni x.

15

2.1. S phõn loi ca mt v nhúm theo tớnh cht ca cỏc iờan phi C-

15

ni x.


2

2.2. Cấu trúc của vị nhóm S với tính chất: mọi S- tác động đều C- nội xạ

19

Chương 3. Sự phân loại các vị nhóm theo CC- nội xạ.

26

3.1. Hệ phương trình trên các tác động CC- nội xạ.

26

3.2. Sự phân loại các vị nhóm theo CC- nội xạ.

30

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


3
MỞ ĐẦU

Một loại nội xạ mới, gọi là C-nội xạ và CC- nội xạ đã được nghiên cứu.
Chúng ta có thể phân loại các vị nhóm bởi các tính chất của các tác động
C- nội xạ và CC- nội xạ. Dựa trên hai bài báo “Classification of monoids by
injectivities” của Xia Zhang – Ulrich Knauer – Yuqun Chen đăng trên tạp chí
semigroup Forum năm 2007 và năm 2008 , trong luận văn này chúng tôi
trình bày chi tiết sự phân loại của vị nhóm bởi các tính chất của các tác động
C- nội xạ và CC- nội xạ .
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trình bày khái niệm phạm trù và một số phạm trù cụ thể như: Phạm trù
các vật, phạm trù các nhóm, phạm trù các vành và phạm trù các môđun. Trình
bày khái niệm hàm tử hiệp biến và hàm tử phản biến cùng với một số hàm tử,
đặc biệt như hàm tử quên, hàm tử biểu diễn.
Trình bày khái niệm môđun nội xạ và các tính chất của môđun nội xạ.
Chương 2. Sự phân loại của các vị nhóm theo C- nội xạ.
Trình bày các khái niệm nội xạ , F- nội xạ và C- nội xạ. Trình bày một
sự phân loại đồng điều của một vị nhóm của các iđêan phải C- nội xạ.
Trình bày cấu trúc của một vị nhóm mà tất cả các tương đẳng trên nó
đều C- nội xạ bằng cách sử dụng một đặc trưng tương đẳng.
Chương 3. Sự phân loại các vị nhóm theo CC- nội xạ.
Trình bày khái niệm hệ phương trình trên các tác động CC- nội xạ và
điều kiện phi mâu thuẫn của nó.

4
Trình bày sự phân loại các vị nhóm theo tính chất CC- nội xạ và các ví
dụ minh họa.
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Đại học Vinh. Nhân dịp
này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng đến PGS.TS.Lê
Quốc Hán cùng với các thầy cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ
tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Mặc dầu đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đống góp quý báu của các Thầy,các
Cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 12 năm 2011


5
KẾT LUẬN
Trong luận văn này chúng tôi đã thực hiện được các việc sau đây:
1. Hệ thống hóa các khái niệm và tính chất cơ bản của phạm trù và hàm
tử, của môđun nội xạ.
2. Trình bày sự phân loại của một vị nhóm theo tính chất của các iđêan
phải C- nội xạ. (Định lý 2.1.8)
3. Trình bày cấu trúc của một vị nhóm S mà tất cả các tác động trên nó
đều C- nội xạ bằng cách sử dụng một đặc trưng tương đẳng. (Định lý
2.2.4, Hệ quả 2.2.6).
4. Trình bày sự phân loại các vị nhóm theo tính chất của tác động CC- nội
xạ. (Định lý 3.2.2, Hệ quả 3.2.3, Định lý 3.2.6)
5. Trình bày một số lớp tác động xung quanh các tác động nội xạ. (Ví dụ
3.2.4, Ví dụ 3.2.5, Ví dụ 3.2.8).

6
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] A.H Cliphớt và G.B Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch của
Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, NXB ĐH & THCN, Hà Nội.
[2] Lê Quốc Hán (2009), Giáo trình Lý thuyết nửa nhóm và Lý thuyết, Đại
học Vinh.
[3] Ngô Sỹ Tùng, Lý thuyết phạm trù, Trường Đại học Vinh.
Tiếng Anh
[4] J.Ahsan, Z.K.Liu (1987), “On relatively injective and weakly injective
S-acts”, Southeast Asian Bull. Math, 21, 249 – 256.
[5] Y.Q.Chen, K.P.Shum (1999), “Projective and indecomposable S-acts’’,
Sci.Chine Ser. A. 42 , 593 – 599.
[6] M.Kilp, U.Knauer , A.Mikhalev, (2000), “Monoid, Acts and categories,
with Applications to wreath Products and graphs’’, de Gruyte, Berlin.
[7] U.Knauer, (1972), “Projectivily of acts and Morita equivalence of
monoids”, Semi group Forum, 3, 359 – 370.
[8] P.Normak, (1980), “Purity in category of M-sets”, Semigroup Forum, 20,
157 – 170.
[9] X.Zang, U.Knauer, Y.Chen, (2008), “Classification of monoids by
injectivities I, C – injectivity” , Semigroup Forum, 76, 169-176.
[10] X.Zang, U.Knauer, Y.Chen, (2008), “Classification of monoids by
injectivities II, CC – injectivity” , Semigroup Forum, 76, 177-184.


7
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ
Ta đã gặp các đối tượng khác nhau: tập hợp, nửa nhóm, vị nhóm,
nhóm… Ta sẽ gặp nhiều đối tượng khác nữa và đối với mỗi loại đối tượng đó,
ta sẽ xác định một loại đặc biệt các ánh xạ giữa chúng (chẳng hạn các đồng
cấu). Một số tính chất hình thức là chung của các đối tượng lên chính nó và
tính chất kết hợp của các ánh xạ thực hiện liên tiếp nhau. Ta đưa và khái niệm
phạm trù để cho một sự mô tả trừu tượng, tổng quát các trường hợp đó.
1.1.1. Định nghĩa. Một phạm trù Α bao gồm trong nó các lớp vật Ob (Α) đối
với 2 vật tùy ý A,B ∈ Ob (Α), tập Mor (A,B) gọi là tập các cấu xạ từ A đến B;
đối với ba vật bất kỳ A,B,C ∈ Ob (Α) một luật hợp thành (tức là ánh xạ):
Mor (B,C) x Mor (A,B) → Mor (A,B)
đồng thời các tiên đề sau phải thỏa mãn:
PT1. Hai tập hợp Mor(A,B) và Mor(A’,B’) không giao nhau, trừ
trường hợp A = A’ và B = B’, trong trường hợp đó chúng bằng nhau.
PT2. Đối với mỗi vật A ∈ Ob(Α) có một cấu xạ id A∈Mor(A,B) mà đối
với mọi vật B∈ Ob(Α), nó có tác dụng bên trái và bên phải lên các phần tử
thuộc tập Mor(B,A) và Mor(A,B) tương ứng một cách đồng nhất.
PT3. Luật hợp thành có tính kết hợp (trong trường hợp nó xác định),
nghĩa là nếu f ∈ Mor(A,B), g ∈Mor(B,C) và h ∈ Mor(C,D) thì:
(h0g)0f = h0(g0f)
đối với các vật A, B, C, D bất kỳ thuộc Α.
1.1.2. Chú ý. Lớp tất cả các cấu xạ của phạm trù Α sẽ được ký hiệu là Ar(Α).
Đôi khi, ta sẽ dùng cách viết “f∈Ar(Α)” để biểu thị f là một cấu xạ nào đó của


8
Α, nghĩa là một phần tử thuộc một tập Mor(A,B) nào đó, trong đó A,B
∈Ob(Α). Ta cũng sẽ gọi chính thức lớp các vật là phạm trù, trong trường hợp
mà ta đã hiểu rõ ràng các cấu xạ của phạm trù đó là đối tượng nào rồi.
f

→ B.
Phần tử f ∈Mor(A,B) cũng được viết dưới dạng f: A → B hoặc A 

Cấu xạ f được gọi là đẳng cấu, nếu tồn tại cấu xạ g: B →A sao cho g 0f = id A
và f 0g = id B . Nếu A = B thì cũng gọi là tự đẳng cấu.
Các cấu xạ từ vật A đến chính nó được gọi là tự đồng cấu. Tập các tự
đồng cấu của vật A được ký hiệu là End(A). Từ các tiên đề trên suy ra End(A)
là một vị nhóm.
Giả sử A ∈Ob(Α). Ký hiệu Aut(A) là tập các tự đẳng cấu của A. Khi đó
Aut(A) cùng với phép hợp thành cấu xạ là một nhóm.
1.1.3. Ví dụ. a. Giả sử S là một phạm trù mà các vật là các tập và các cấu xạ
là các ánh xạ của các tập. Khi đó S được gọi là phạm trù các tập. Ba tiên đề
P1, P2, P3 được thỏa mãn một cách tầm thường.
b. Giả sử Grp là phạm trù các nhóm, nghĩa là phạm trù mà các vật
là các nhóm còn cấu xạ là các đồng cấu nhóm. Ba tiên đề về phạm trù được
thỏa mãn. Tương tự, ta có phạm trù các vị nhóm được ký hiệu là Mon; phạm
trù các nhóm Aben được ký hiệu là Ab.
c. Ngoài ra còn có các phạm trù khác như phạm trù các vành –
được ký hiệu là Ring, phạm trù các R- môđun - được ký hiệu là R–MOD,
phạm trù các mô đun – được ký hiệu là MOD,…
1.1.4. Chú ý. Giả sử Α là một phạm trù. Ta có thể lấy các cấu xạ thuộc Α làm
vật thuộc phạm trù mới Χ. Nếu f: A → B và g: A’→B’ là hai cấu xạ của Α
(do đó là các vật thuộc Χ), thì ta định nghĩa cấu xạ
f → f’ (trong Χ) là cặp cấu xạ (ϕ,Ψ) trong Α sao
cho biểu đồ giao hoán nghĩa là Ψ0f = g0ϕ.

A
ϕ

B

f
g

Ψ


9
Rõ ràng Χ là một phạm trù.

A’

B’

Cũng như trong trường hợp ánh xạ của các tập, nên trang bị cho (ϕΨ)
bằng các chỉ số của f và f’, nhưng trong thực hành ta bỏ việc chỉ số hóa đó đi.
Về đề tài này, có nhiều cách trình bày. Chẳng hạn ta có thể tập trung
chú ý vào các cấu xạ của Α mà vật xuất phát là cố định, hoặc vào các cấu xạ
mà vật cuối là cố định.
Chẳng hạn, giả sử A là một vật nào đó của Α và giả sử ΑA là phạm trù
mà vật là các cấu xạ.
f: X –––––→ A
của Α trong đó A là vật cuối. Cấu xạ trong ΑA từ f: X → A đến g: Y → A là
cấu xạ h: X –––––→ Y của Α sao cho biểu đồ sau là giao hoán
X

h

f

Y

g

A
nghĩa là h0f = g.
1.1.5. Định nghĩa. Giả sử Χ là một phạm trù nào đó. Vật P ∈ Ob(C) được
gọi là vật khởi đầu hay vật đẩy phổ dụng nếu với mỗi vật X tùy ý thuộc C,
Mor(P,X) có đúng một phần tử. Vật P∈ Ob(Χ) được gọi là vật cuối cùng hay
vật kéo phổ dụng nếu với mỗi X ∈ Ob(Χ), tập Mor(P,X) có đúng một phần
tử.
Vật khởi đầu hay vật cuối cùng của một phạm trù được gọi chung là
vật phổ dụng.
Chú ý rằng vì vật phổ dụng có cấu xạ đồng nhất vào chính nó, nên nếu P,
P’ là vật phổ dụng thuộc Χ thì giữa chúng tồn tại một đẳng cấu xác định duy
nhất.
1.1.6. Ví dụ.


10
Giả sử f: S → F là ánh xạ từ tập S vào một nhóm F nào đó, g: S →G là
một ánh xạ khác như thế. Nếu f(S) sinh ra F, thì tồn tại nhiều nhất một đồng
cấu ϕ từ nhóm F vào nhóm G sau sao cho biểu đồ giao hoán.
h
S
F
ϕ

g
G

Bây giờ ta xét phạm trù Χ mà các vật là các ánh xạ từ tập S vào các

nhóm. Nếu f: S → G và f’: S → G’ là các vật thuộc phạm trù ấy, thì ta hiểu
cấu xạ từ f đến f’ là đồng cấu ϕ: G → G’ sao cho ϕf = f’, nghĩa là các biểu đồ
sau đây giao hoán
S

f

G
ϕ

f’
G’

Gọi (F,f) là nhóm tự do trên tập S. Thế thì (F,f) chính là vật khởi đầu
của phạm trù C.
Bây giờ, ta chuyển sang khái niệm hàm tử.
1.1.7. Định nghĩa. Giả sử Α, Β là các phạm trù. Hàm tử hiệp biến F từ A vào
B là một quy tắc đặt mỗi vật A ∈ Ob(Α) ứng với mỗi vật F(A) nào đó thuộc Β
và mỗi cấu xạ f: A → B ứng với một cấu xạ F(f): F(A) → F(B) sao cho các
điều kiện sau đây được thỏa:
HT1. Đối với mọi A ∈ Ob(Α), có F(idA) = idF(A)
HT1. Đối với f: A → B, g: B → C là hai cấu xạ thuộc Α thì:
f(g0f) = F(g)0F(f)
Khái niệm hàm tử phản biến cũng được định nghĩa tương tự, chỉ khác
là đối với một cấu xạ f: A → B thuộc Α thì F(f): F(B) → F(A) trong Β sao
cho nếu f: A → B, g: B → C thì F(g0f) = F(f)0F(g).


11
Đôi khi, để ký hiệu hàm tử, ta viết f * thay cho F(f) trong trường hợp

hàm tử hiệp biến, và f* trường hợp hàm tử phản biến.
Chú ý rằng, mọi hàm tử biến đẳng cấu thành đẳng cấu, vì f 0g = id kéo
theo F(f)0F(g) = id*
1.1.8. Ví dụ.
a. Đối với mỗi nhóm G ứng với tập của nó (cất cấu trúc nhóm khỏi nó)
và mỗi đồng cấu nhóm ứng với chính đồng cấu ấy, chỉ xem về quan điểm lý
thuyết tập, ta được một hàm tử phạm trù các nhóm vào phạm trù các tập. Hàm
tử đó được gọi là hàm tử quên.
b. Xét tương ứng F: S →Grp mỗi tập S ứng với mỗi nhóm tự do F(S)
sinh ra bởi S và ánh xạ f: S → T ứng với đồng cấu nhóm duy nhất F(f): F(S)
→F(T) (sự tồn tại và duy nhất của đồng cấu nhóm F(f) là bởi f(T) là nhóm tự
do). Dễ kiểm tra đây là một hàm tử hiệp biến.
Tương tự ta có hàm tử từ S→ Ab biến mỗi tập hợp thành nhóm Aben
sinh bởi tập đó và biến ánh xạ tập hợp thành đồng cấu nhóm cảm sinh từ ánh
xạ đó.
c. Giả sử Α là một phạm trù nào đó và A là một vật cố định trong Α. Ta
được hàm tử hiệp biến
MA: Α –––––→ S
bằng cách đặt MA(X) = Mor(A,X) với vật X bất kỳ thuộc Α. Nếu ϕ: X → X’
là một cấu xạ thì ta lấy
MA(X) = Mor(A,X) ––––––→Mor(A,X’)
là ánh xạ cho bởi quy tắc g a ϕ0g đối với bất kỳ g ∈ Mor(A,X),
g
ϕ
A 
→ X 
→ X ' . Các tiên đề HT1 và HT2 thử được một cách tầm thường.

Tương tự, đối với mỗi vật B thuộc Α, ta có hàm tử phản biến
MB: Α –––––→ S

12
sao cho MB(Y) = Mor(Y,B). Nếu Ψ: Y’ → Y là cấu xạ thì ta lấy
MB(Ψ): Mor(Y,B) ––––→Mor(Y’B)
là ánh xạ cho bởi quy tắc f a f0Ψ đối với bất kỳ f ∈Mor(Y,B),
Ψ
f
Y ' 
→ Y 
→B

Hai hàm tử trên gọi là các hàm tử biểu diễn.
1.1.9. Chú ý.
Giả sử G và G’ là hai nhóm, khi đó tập các cấu xạ Mor(G,G’) trong
phạm trù các nhóm chẳng qua là tập đồng cấu từ G vào G’; nó sẽ được ký
hiệu là Hom(G,G’). Chú ý rằng Hom(G,G’) nói chung không phải là một
nhóm nếu G’ là nhóm không Aben.

1.2. MÔĐUN NỘI XẠ
Khái niệm môđun nội xạ được R. Baer phát hiện vào năm 1940. Từ đó
đến nay lớp môđun này được nghiên cứu mạnh mẽ và trở thành một công cụ
quan trọng trong mọi ngành của đại số học.
1.2.1. Định nghĩa. Một R- môđun E được gọi là nội xạ nếu thỏa mãn tính
chất mở rộng phổ dụng sau đây: Với các R – đồng cấu f: N →M và
g: N → E, trong đó f là đơn ánh, luôn tồn tại ít nhất một R- đồng cấu h:
M → E sao cho g = h0f, tức làm cho biểu đồ sau (với dòng trên khớp) là
giao hoán.
0

N
g
E

Khi đó ta nói h là một mở rộng của g.

M
h


13
Chỉ với định nghĩa trên ta chưa có thể đưa ra những ví dụ đơn giản về
môđun nội xạ, tuy vậy ta có thể thấy được sự tồn tại của môđun nội xạ thông
qua những tính chất cơ bản dưới đây.
1.2.2. Mệnh đề. Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom R(*,E):
MR → MR là hàm tử khớp.
Chứng minh. Giả sử E là một R- môđun nội xạ. Vì Hom R(*,E) là một hàm
tử nghịch biến, khớp trái , nên để chứng minh hàm tử này là khớp ta chỉ
cần chỉ ra rằng, nếu f: N→ M là một R- đơn cấu thì Hom R(f,E):
HomR(M,E) → HomR(N,E) là toàn cấu. Tức là ta phải chứng minh rằng,
nếu φ ∈ HomR(N,E) thì luôn tồn tại ψ ∈ HomR(M,E) sao cho
φ = HomR(f,E)(ψ) = ψ o f . Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa tính nội xạ
của môđun E. Chứng minh chiều ngược lại là đơn giản. „
1.2.3. Mệnh đề. Cho (Ei)i∈I là một họ các R- môđun. Khi đó tích trực tiếp

Πi∈IEi, là nội xạ khi và chỉ khi Ei, ∀i ∈ I là nội xạ.
Chứng minh. Đặt E = Πi∈IEi , với mọi i thuộc I ta ký hiệu p i: E →Ei là toàn
cấu chính tắc và ji: Ei → E là đơn cấu chính tắc xác định bởi tích trực tiếp
E. Giả sử E là nội xạ. Ta sẽ chứng minh rằng E i, ∀i∈ I, là nội xạ. Thật vậy,
cho f: N → M là R- đơn cấu và g: N → Ei là một R – đồng cấu tùy ý. Vì

E là nội xạ và ji o g là R- đồng cấu từ N vào E, nên tồn tại một mở rộng h:
M → E của ji o g để ji o g= h o f. Đặt k = pi o h: M → Ei là một R- đồng
cấu. Dễ thấy rằng pi o ji = 1Ei, do đó ta suy ra:
k o f = pi o h o f = pi o j i o g = g
điều này chứng tỏ Ei mà một R- môđun nội xạ.
Ngược lại, giả sử Ei là nội xạ với mọi i ∈ I. Cho f: N → M là R- đơn
cấu và φ: N →E là một R- đồng cấu tùy ý. Khi đó tồn tại một mở rộng:


14
ϕi : M→Ei cho R- đồng cấu pi o φ : N →Ei. Bây giờ ta xây dựng

một đồng cấu ψ: M → E được xác định bởi
ψ(x) = (ψi(x))i∈I, ∀x ∈M.
Rõ ràng ψ là một R- đồng cấu và với mọi y ∈ N ta có:
ψ o f(y) = (ψi(f(y))i∈I = (pi(φ(y)))i∈I = φ(y).
Vậy E là nội xạ. „
1.2.4. Chú ý. Khi tập chỉ số I là hữu hạn thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp
trùng nhau nên Mệnh đề 1.2.3 vẫn còn đúng cho tổng trực tiếp ⊕i∈IEi trong
trường hợp này. Tuy nhiên, khi tập chỉ số I là vô hạn thì điều kiện E i là nội xạ
với mọi i ∈ I nói chung không suy ra tổng trực tiếp ⊕i∈IEi là nội xạ.
Sau đây ta chứng minh một tiêu chuẩn đơn giản nhưng rất hữu hiệu để
kiểm tra tính nội xạ của một mô đun.
1.2.5. Định lý (Tiêu chuẩn Baer). Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ khi
mỗi R- đồng cấu I →E từ một iđêan I của R (xem như R- môđun) vào E
luôn được mở rộng thành một đồng cấu R →E.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên từ định nghĩa của môđun nội
xạ. Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử f: N →M là một R- đơn cấu và g: N
→E. Khi đó không làm mất tính tổng quát ta có thể giả thiết thêm rằng N là
một môđun con của M. Ký hiệu Ω là tập hợp những cặp (A,φ), trong đó A là

một R-môđun thỏa mãn tính chất N ⊆ A ⊆ M và φ: A → E là một mở rộng
của g. Ta định nghĩa trên Ω một quan hệ thứ tự bộ phận ≤ như sau. Cho (A,φ),
(B,ψ) là hai phần tử của Ω, ta xác định (A,φ) ≤ (B,ψ) nếu A ⊆ B và ψ là một
mở rộng của φ. Vì (N,g) ∈ Ω nên Ω≠∅. Hơn nữa, cho một xích:
(A1,φ1) ≤ (A2,φ2) ≤ … ≤ (An,φn) ≤ ...


15
∞
các phần tử trong Ω. Xét cặp (A,φ) trong đó A = Un =1 Ai và φ là ánh xạ A → E

được xác định bởi: với mỗi x ∈ A tồn tại một số tự nhiên n để x ∈An, khi đó
ta đặt φ(x) = φn(x). Rõ ràng A là một R- môđun con của M chứa A n, ∀n và φ
là R- đồng cấu mở rộng của φn, ∀n. Vậy theo bổ đề Kuratowski-Zorn luôn tồn
tại một phần tử cực đại (B,ψ) ∈Ω. Khi đó định lý sẽ được chứng minh nếu ta
chỉ ra rằng B = M. Thật vậy, giả sử ngược lại B ≠M, tức tồn tại x ∈M\B. Xét
tập hợp con của R.
I = { a ∈ R \ ax ∈ B}

Dễ kiểm tra thấy I là một iđêan . Tiếp theo ta xây dựng một ánh xạ h: I →E xác
định bởi h(a) = ψ(a,x), ∀a ∈ I. Rõ ràng h là một R- đồng cấu. Khi đó theo giả
thiết tồn tại một R- đồng cấu π: R →E sao cho h = π o j, trong đó j là phép
nhúng tự nhiên iđêan I vào R. Bây giờ ta có thể định nghĩa được một tương ứng:
φ: B + Rx → E,
xác định bởi:
φ(y+ax) = ψ(y) + π(a) , ∀y ∈ B, ∀a ∈ R
Nếu y + ax = 0, suy ra ax ∈ B, tức a ∈ I. Khi đó:
ψ(y) + π(a) = -ψ(ax) + π(j(a)) = -h(a) + h(a) = 0
Điều này chứng tỏ φ là một ánh xạ và suy ra φ cũng là một R- đồng cấu thỏa
mãn tính chất φ(x) = ψ(x) = h(x), ∀x ∈ N, vì N ⊆ B. Vậy cặp (B+Rx,φ) ∈ Ω.

Mặt khác, rõ ràng B ⊂ B+Rx nên (B,ψ) < (B+Rx,φ). Điều này mâu thuẫn với
tính cực đại của (B,ψ) trong Ω và định lý được chứng minh. „
Trước khi phát biểu một đặc trưng khác của môđun nội xạ ta cần khái
niệm sau. Một R-môđun M được gọi là xyclic, nếu tồn tại một iđêan I của R
sao cho ta có đẳng cấu R- môđun M ≅ R/I.


16
1.2.6. Định lý. Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mọi dãy khớp ngắn
0 → E → M → M’ → 0 các R- môđun với M’ là môđun xyclic đều chẻ ra.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh một điều kiện mạnh hơn điều kiện cần
của Định lý 1.2.6 như sau:

Nếu E là nội xạ thì mọi dãy khớp ngắn

f
g
0 
→ E 
→ M 
→ M ' 
→ 0 đều chẻ ra. Thật vậy, do E nội xạ, tồn tại mở

→ E của ánh xạ đồng nhất 1E , tức h o f = 1E và dãy khớp trên là
rộng h: M 

chẻ ra.
Ngược lại, giả sử I là iđêan của R và α: I → E là một R- đồng cấu. Ký
hiệu j: I → R là phép nhúng tự nhiên I vào R và p: R → R/I là phép chiếu tự
nhiên. Xét R-môđun R = (E ⊕ R)/W, trong đó W =

{ ( α ( a ) , −a ) | a ∈ I} . Khi đó

ta có thể dễ dàng kiểm tra được các tương ứng β: b a (0,b) + W, ∀b ∈ R;
j*: x a ( x, 0 ) + W , ∀x ∈E và p*: (x,b) + W a p ( b ) , ∀x ∈E, ∀b ∈R là những Rđồng cấu, hơn nữa chúng làm cho biểu đồ sau là giao hoán với các dòng là
những dãy khớp ngắn.
j
p
0 
→ I 
→ R 
→ R / I 
→0

α

β

*

*

j
p
0 
→ E 
→ P 
→ R / I 
→0

Vì R/I là R- môđun xyclic nên theo giả thiết dòng dưới của sơ đồ là chẻ ra,
tức theo tồn tại một R- đồng cấu s: P →E sao cho s o j* =1E. Bây giờ, nếu ta
xác định γ: R →E, bởi γ(b) = s o β(b), ∀b ∈ R thì α = γ o j. Điều này chứng
tỏ γ là một mở rộng của j và khi đó điều kiện đủ của định lý được chứng minh
nhờ tiêu chuẩn Baer. „
Môđun nội xạ có quan hệ đặc biệt chặt chẽ với một lớp môđun gọi là
môđun chia được mà ta sẽ đưa ra trong định nghĩa sau đây.
1.2.7. Định nghĩa. (i) Một R- môđun M được gọi là môđun chia được, nếu
với mọi phần tử (không là ước của không) a ∈ R ta luôn có:


17
aM = { ax, ∀x ∈ M} = M

(ii) Một nhóm Abel G được gọi là nhóm chia được nếu G là Z- môđun
chia được.
1.2.8. Ví dụ.
1. Từ định nghĩa ta thấy rằng môđun không luôn là chia được. Cũng như
vậy mọi không gian vectơ (môđun trên một trường) luôn là chia được.
2. Cho R là một miền nguyên và Q(R) là trường các phân thức của nó.
Khi đó, nếu xem Q(R) như là R- môđun thì nó là chia được. Từ đây suy ra do
trường Q các số hữu tỉ là trường thương của vành số nguyên Z, nên Q xem
như là nhóm Abel với phép cộng là nhóm chia được.
1.2.9. Mệnh đề. Mọi môđun nội xạ là chia được.
Chứng minh. Giả sử E là một R- môđun nội xạ. Cho x ∈ E tùy ý và a∈R
là một phần tử không là ước của không. Xét tương ứng f: Ra → E xác định
bởi f(ra) = rx, ∀r ∈ R. Vì a không là ước của không, nếu r 1a = r2a thì r1 = r2 ,
do đó f(r1a) = f(r2a). Vậy f xác định một ánh xạ, hơn nữa là một R- đồng cấu.
Theo tiêu chuẩn Bear, tồn tại một mở rộng g: R → E của f. Khi đó ta có:
x = f(a) = g(a) = ag(1) ∈ aE.

Vậy E là chia được. „
Nói chung mệnh đề ngược của Mệnh đề 1.2.9 là không đúng trong
trường hợp tổng quát, tuy nhiên nó vẫn còn đúng đối với một vài vành cụ thể.
1.2.10. Định lý. Giả sử R là một miền iđêan chính. Khi đó một R- môđun E là
nội xạ khi và chỉ khi E là chia được.
Chứng minh. Điều kiện cần của định lý là hiển nhiên nhờ mệnh đề
1.2.9. Ngược lại, giả sử E là chia được. Theo tiêu chuẩn Baer ta chỉ cần chứng
minh rằng mọi R- đồng cấu f: I →E, trong đó I ≠ 0 là một iđêan của R, luôn
có một mở rộng g: R → E. Thật vậy, vì R là miền iđêan chính nên tồn tại một


18
phần tử không là ước của không a ∈ R để I = Ra. Đặt x = f(a) ∈ E. Do E là
môđun chia được, tồn tại y ∈ E sao cho x = ay. Bây giờ ta xây dựng một ánh
xạ g: R → E xác định bởi g(b) = by, ∀b ∈ R. Rõ ràng g là R- đồng cấu. Hơn
nữa ta được:

g(ba) = bay = bx =bf(a) = f(ba), ∀b∈ R

Vậy g là một nửa mở rộng của f. „
Vì vành các số nguyên Z là miền iđêan chính nên Định lý 1.2.10 cho ta
hệ quả trực tiếp sau.
1.2.11. Hệ quả. Một nhóm Abel là nội xạ khi và chỉ khi nó là chia được.
Để chứng tỏ tầm quan trọng của khái niệm nội xạ ta phải biết trước hết
rằng lớp các môđun nội xạ là đủ nhiều trong phạm trù các R- môđun.
1.2.12. Định lý. Mỗi R- môđun luôn đẳng cấu với môđun con của một Rmôđun nội xạ.
Trước khi chứng minh định lý trên ta sẽ đưa ra hai bổ đề là các trường
hợp đặc biệt của định lý đó.
1.2.13. Bổ đề. Mỗi nhóm Abel luôn đẳng cấu với nhóm con của một nhóm
Abel nội xạ.

Chứng minh. Giả sử G là một nhóm Abel, ta đặt:
F = ⊕g∈GZg , F’ = ⊕g∈GQg
trong đó Zg là nhóm cộng các số nguyên Z và Q g là nhóm cộng các số hữu tỉ
Q với mọi g ∈ G.
Nói cách khác F là nhóm Abel tự do trên tập G và có thể xem F như là một
nhóm con của F’.
Khi đó tồn tại một toàn cấu nhóm f: F → G, tức G ≅ F/K, trong đó K=Ker f.
Từ đây suy ra G đẳng cấu với một nhóm con của nhóm F’/K. Do nhóm cộng
các số hữu tỉ Q là chia được nên F’/K là chia được. Vậy theo Hệ quả 1.2.11
nhóm Abel G đẳng cấu với một nhóm con của nhóm Abel nội xạ F’/K. „


19
Cho G là một nhóm Abel. Khi đó Hom Z(R,G) là một nhóm Abel. Hơn
nữa để dễ kiểm tra thấy rằng nhóm này có cấu trúc R- môđun nhờ phép nhân với
vô hướng như sau: ∀a ∈ R, ∀f ∈ HomZ(R,G) xác định af ∈ HomZ(R,G) bởi:
(af)(b) = f(ab), ∀b ∈ R.
1.2.14. Bổ đề. Cho G là một nhóm Abel nội xạ. Khi đó Hom Z(R,G) là Rmôđun nội xạ.
Chứng minh. Dựa vào mệnh đề 1.2.1 chỉ cần chứng minh hàm tử
nghịch biến HomR(*,HomZ(R,G)) là khớp. Khi đó như trong chứng minh của
Mệnh đề 1.2.1 chỉ cần chỉ ra nếu f: N → M là một R- đơn cấu thì:
f*: HomR(M, HomZ(R,G)) → HomR(N,HomZ(R,G))
là một R- toàn cấu.
Vì R⊕RN ≅ N, R⊕RM ≅ M nên có các đẳng cấu:
HomZ(N,G) ≅ HomZ(R⊕RN,G) ≅ HomZ(N,HomZ(R,G)),
HomZ(M,G) ≅ HomZ(R⊕RM,G) ≅ HomZ(M,HomZ(R,G))
Khi đó hàm tử của HomR(*, HomZ(R,G)) cho phép ta suy ra biểu đồ sau là
giao hoán.
Hom Z ( M, G )

≅

)
Z(

→
Hom

f ,G

Hom Z ( N, G )

≅

f*
Hom R ( M, Hom Z ( R, G ) ) 
→ Hom R ( N, Hom Z ( R, G ) )

Theo giả thiết G là nhóm Abel nội xạ Hom Z(f,G) là một R- toàn cấu.
Vậy dựa vào tính giao hoán của biểu đồ với các ánh xạ đứng là những đẳng
cấu ta suy ra f* cũng là một R – toàn cấu và bổ đề được chứng minh. „
Chứng minh Định lý 1.2.12. Cho M là một R- môđun . Xem M như là một
nhóm Abel. Khi đó theo Bổ đề 1.2.13 tồn tại một đơn cấu nhóm j: M → G,
trong đó G là một nhóm Abel nội xạ. Vì hàm tử Hom(R,*) khớp trái, suy ra
ánh xạ j*=HomZ(R,j): HomZ(R,M) → HomZ(R,G) là một Z- đơn cấu với


20
HomZ(R,G) là R- nội xạ. Mặt khác hai môđun trên có cấu trúc R- môđun và
kiểm tra được rằng khi đó f* cũng R- đơn cấu. Bây giờ xét ánh xạ φ: M→

HomZ(R,M) xác định bởi (φ(x))(a) = ax, ∀x ∈ M, ∀a ∈ R. Rõ ràng φ là một
R- đồng cấu. Hơn nữa, nếu φ(x) = 0 với x ∈ M nào đó thì x = (φ(x))(1) = 0,
tức φ là đơn cấu. Vậy: f* o φ: M → HomZ(R,G) là phép nhúng R- môđun M
vào một R- môđun nội xạ. Định lý được chứng minh. „
1.2.15. Chú ý. Cho M là một R- môđun tùy ý, theo Định lý 1.2.12 tồn tại đơn
cấu j: M → E, với E là một R- môđun nội xạ. Khi đó có thể chứng minh được
rằng tồn tại một mở rộng E’ của M (tức E’ là R- môđun và M ⊆E’) và một Rđẳng cấu f: E’ → E sao cho f(x) = j(x), ∀x ∈ M. Hiển nhiên E’ cũng là
môđun nội xạ. Vậy Định lý 1.2.12 có thể phát biểu lại dưới dạng hay được sử
dụng như sau.
Phát biểu lại Định lý 1.2.12. Mỗi R- môđun luôn có ít nhất một mở rộng
nội xạ.

CHƯƠNG 2
SỰ PHÂN LOẠI CỦA CÁC VỊ NHÓM THEO C-NỘI XẠ
2.1. Sù ph©n lo¹i cña mét vÞ nhãm theo tÝnh chÊt
cña c¸c i®ªan ph¶i C- néi x¹

Trước hết, xin nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan
đến tác động trên một vị nhóm.
Ðịnh nghĩa tác động: Một S-tác động (phải) hay S-hệ thống là một tập
hợp A cùng với một hàm λ: A × S → A, được gọi là tác động của A trên S,
sao cho đối với x ∈A và s, t ∈ S (bằng cách ký hiệu λ(x,s) bởi xs) thì (xs)t =
x(st). Nếu S là một vị nhóm với đơn vị là e thì cần thỏa mãn điều kiện xe = e.
Trong chương này, ta sẽ ký hiệu S là một vị nhóm, A S hay đơn giản A
là một S - tác động đơn nguyên phải (nghĩa là ae = a với mọi a ∈ A ,trong đó e
là đơn vị của S).


21
2.1.1.Định nghĩa. (i)Giả sử A là một S-tác động.Khi đó A được gọi là nội xạ

nếu với một S – tác động tùy ý N, một tác động con tùy ý M của N, và mọi
đồng cấu f ∈ Hom (M,A),tồn tại một đồng cấu g∈ Hom (N,A), mà nó là mở
rộng của f, nghĩa là g |M = f .
M

⊆

f

∃g

N
(*)

A
(ii) Trong biểu đồ (*), nếu M hữu hạn sinh thì A được gọi là F – nội xạ, nếu
N là S và M là một iđêan phải (tương ứng: iđêan chính, hữu hạn sinh) của S
thì A được gọi là W - nội xạ (tương ứng PW – nội xạ hay FW - nội xạ).
Ta có mối liên hệ giữa các loại nội xạ trên như sau:
F – nội xạ
Nội xạ

W – nội xạ

FW – nội xạ → PW – nội xạ

Chú ý rằng sự kéo theo ở đây là ngặt (Mũi tên ngược lại là không đúng).
2.1.2.Định nghĩa. Một S- tác động A được gọi là C- nội xạ nếu M là xyclic
trong biểu đồ (*).
2.1.3.Chú ý. Từ các định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2 trực tiếp suy ra:

(i) Nếu A là S – tác động F- nội xạ thì A là S- tác động C- nội xạ.
(ii) Nếu A là một tác động C-nội xạ thì A là S-tác động PW- nội xạ. nghĩa là
ta có sơ đồ:
F - nội xạ → C - nội xạ → PW - nội xạ.
Trong phần tiếp theo , chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của các
tác động C- nội xạ, và chứng tỏ rằng tính C- nội xạ là thực sự nằm giữa tính
F- nội xạ và PW- nội xạ. Muốn vậy , cần đến một số bổ đề đã dược chứng
minh trong [4].


22
2.1.4. Bổ đề . (i) Giả thiết rằng một S- tác động A chứa zero. Thế thì A là nội
xạ nếu và chỉ nếu nó là nội xạ tương đối với tất cả bao gồm các S- tác động
xyclic.
(ii)S- tác động là PW- nội xạ nếu và chỉ nếu S là vị nhóm chính quy.
(iii)Nếu một iđêan phải hữu hạn sinh K ⊆ S là FW- nội xạ thì K được
sinh bởi một lũy đẳng.
(iv)Mọi iđêan phải chính của S nội xạ nếu và chỉ nếu S là vị nhóm tự
nội xạ chính quy.
Từ đó nhận được các kết quả sau.
2.1.5. Mệnh đề.
(i) Mỗi S- tác động C- nội xạ chứa một zero.
(ii)Mỗi S- tác động C- nội xạ là nội xạ.
Vì mỗi S- nội xạ phân tích được một cách duy nhất thành một đối tích,
mà chúng là hợp rời của các tác động con không phân tích được của nó nên ta
nhận được kết quả sau.
2.1.6. Hệ quả. Một S- tác động A là C- nội xạ nếu và chỉ nếu A chứa một
zero, và đối với tác động con xyclic tùy ý K của một S- tác động không phân
tích được bất kỳ T,một đồng cấu bất kỳ f ∈ Hom(K,A), tồn tại một đồng cấu
h∈hom(T,A) mở rộng f.

Chúng ta biết rằng, tích của một họ các S- tác động nội xạ { Qi | i ∈ I} là
một nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi Qi, i∈I nội xạ . Nhưng điều đó không đúng
trong trường hợp đối tích.Kết quả sau đây về tính C- nội xạ có thể chứng
minh trực tiếp.
2.1.7.Mệnh đề. Giả sử { A i | i ∈ I} là một họ tác động. Thế thì:
Ai là C- nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi A (i∈I) là C-nội xạ.
(1) A = ∏
i
i∈I


23
(2) Mỗi Ai (i∈I) là C- nội xạ nếu và chỉ nếu A = i∈I Ai là C-nội xạ và mỗi
Ai(i∈I) có zero.
Định lý sau đây trình bày một sự phân loại đồng điều của một vị nhóm
bởi các tính chất của các iđêan phải C- nội xạ.
2.1.8.Định lý. Đối với một vị nhóm S, các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) Mọi iđêan phải của S là C- nội xạ
(2) Mọi iđêan phải hữu hạn sinh của S là C- nội xạ
(3) Mọi iđêan phải chính của S là C- nội xạ
(4) Mọi iđêan phải chính của S là nội xạ
(5) Mọi iđêan phải chính của S là F- nội xạ
(6) S là một vị nhóm tự nội xạ chính quy.
Chứng minh.
(1) ⇒ (2) ⇒ (3) là hiển nhiên
(3) ⇒ (1). Giả sử I là một iđêan phải bất kỳ của S, bS là một tác động
con xyclic của S- tác động B và f∈Hom(bS,I). Thế thì f(bS) = f(b)S ⊆ I là
một iđêan phải chính của S. Do (3), f(bS) là nội xạ, và do đó tồn tại một đồng
cấu g ∈ Hom ( B,f ( bS ) ) sao cho g |bS = f . Rõ ràng, g có thể được xét như một
đồng cấu từ B vào I.

(3) ⇒ (4). Theo Mệnh đề 2.1.5(ii), một S- tác động C- nội xạ xyclic là
nội xạ. Do đó, một iđêan phải chính của S mà nó là C- nội xạ sẽ nội xạ.
(4) ⇒ (5) ⇒ (3) là hiển nhiên.
(4) ⇔ (6). Theo bổ đề 2.1.4(iv). „
Tiếp theo, chúng ta xây dựng một số ví dụ chứng tỏ rằng tính C- nội xạ
không kéo theo tính F- nội xạ và tính PW- nội xạ không kéo theo tính C- nội
xạ.


24
2.1.9.Ví dụ. Giả sử T = { e,f } là một nửa nhóm zero phải, R = T1 và S = R0.
Thế thì R là một vị nhóm chính quy. Theo Bổ đề 2.1.4, R R là PW- nội xạ. Rõ
ràng, RR không có zero. Do đó theo Mệnh đề 2.1.5, RR không nội xạ.
Nếu sử dụng bổ đề 2.1.4, có thể kiểm tra được rằng S S nội xạ tương đối
với tất cả bao hàm của B trong S- tác động xyclic aS, trong đó B = aK,
K = { s ∈ S | as ∈ B} là một iđêan phải của S. Như vậy, S là tự nội xạ. Vì iđêan
phải K ' = { o,e,f } ⊆ S không được sinh bởi một lũy đẳng, nên theo bổ đề
2.1.4, K’ không phải là FW- nội xạ. Do đó, K’ không phải là F- nội xạ. Hơn
nữa, theo định lý 2.1.9, K’ là C- nội xạ.
2.1.10.Chú ý. Chú ý rằng Ví dụ 2.1.9 cũng chỉ ra rằng tính C- nội xạ không
kéo theo tính FW- nội xạ và W- nội xạ.


25
2.2.CÊu tróc cña vÞ nhãm S víi tÝnh chÊt:
mäi S-t¸c ®éng ®Òu C- néi x¹

Sau đây chúng tôi trình bày cấu trúc của một vị nhóm S mà tất cả các
tác động trên nó đều C- nội xạ bằng cách sử dụng một đặc trưng của tương
đẳng.

2.2.1. Ký hiệu. Giả sử K là một iđêan phải của vị nhóm S, s là một phần tử
của S và µ là một tương đẳng phải trên S. Tập

{

}

Kµ = [ k ] µ ∈ S /µ | k ∈ K
và

{

K ( s, µ ) = a ∈ S | [ sa ] µ ∈ K µ

}

trong đó [ k ] µ là µ - lớp tương đương chứa k ∈ S .Thế thì K µ là một tác
động con của S- tác động xyclic S/µ.
Chú ý rằng S/ µ tác động trên S bởi s. [ k ] µ = [ sk ] µ
Giả sử µ, λ là các tương đẳng phải trên S và q ∈ S. Định nghĩa một
quan hệ R(K,µ,λ,q) = R trên S bởi (s,t) ∈ R nếu và chỉ nếu K(s,µ) = K(t,µ) và
(qsa,qta)∈ µ , với mọi a∈ K (s,µ).
2.2.2.Bổ đề. Giả sử µ, λ là các tương đẳng phải trên vị nhóm S và K là một
iđêan phải của S .Thế thì với mỗi q ∈S, R(K,µ,λ,q) là một tương đẳng phải
trên S.
Chứng minh. Kiểm tra trực tiếp được R= R(K,µ,λ,q) là một quan hệ
tương đương trên S. Ta chứng minh R ổn định phải.
Giả sử sRtt. Thế thì đối với mọi x ∈ S và y∈K(sx,µ) có [ sxy ] µ ∈ K µ
nghĩa là xy∈ K(s,µ) = K(t,µ). Điều này kéo theo [txy]µ ∈ K µ và y ∈ K ( tx, µ ) .
Suy ra K ( sx, µ ) ⊆ K ( tx, µ ) . Do tính chất đối xứng ta có K ( tx, µ ) ⊆ K ( sx, µ )

và do đó K ( sx, µ ) = K ( tx, µ ) .