T1 2 không gian võ thị thuý vân nghệ an đại học vinh , 2006 28 tr ; 20 x 27 cm + thu qua USB vie 515 VV

11

Trờng đại học Vinh

Khoa Toán

T 1 - không gian
2

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Ngành cử nhân s phạm toáN

Giáo viên hớng dẫn: PGS.TS. Trần Văn Ân
Ngời thực hiện: Võ Thị Thuý Vân
Sinh viên lớp 43A2 - Khoa Toán

Vinh - 2006


12

Mục lục

Trang
3

Lời nói đầu

Chơng 1. T 1 - không gian
2

5

Đ1. Các kiến thức chuẩn bị

5

Đ2. Các đặc trng của T 1 - không gian
2

8

Đ3. Không gian con và tính bảo toàn qua các ánh xạ

11

Đ4. Tích các T 1 - không gian
2

14

Chơng 2. Tính chất T 1 và các vấn đề liên quan
2

18

Đ1. Một số tính chất tôpô T 1
2

18

Đ2. Các tôpô T 1 cực tiểu
2

20

Kết luận

27

Tài liệu tham khảo

28

Lời mở đầu
Levine [5] định nghĩa một tập con của một không gian tôpô là đóng suy rộng
(g- đóng), nếu bao đóng của nó đợc chứa trong mỗi lân cận của nó và ông đã chỉ
ra rằng các tập g- đóng có một số tính chất quan trọng và quen thuộc của các tập
đóng. Chúng tôi quan tâm tới các T 12 - không gian, là không gian mà trong đó các
tập g- đóng và tập đóng là trùng nhau.
Mục đích của khoá luận là trang bị các tính chất độc lập của các khái niệm về
tập g- đóng, nghiên cứu đặc trng của T 12 - không gian và quan hệ của chúng liên
quan tới các không gian con và tính bảo toàn qua các ánh xạ, tích các T 12 - không
gian, các tính chất và chứng minh các định lý cấu trúc với các tôpô T 12 cực tiểu
trên một tập đợc đa ra. Với mục đích trên, khoá luận đợc trình bày theo hai chơng
Chơng 1. T 12 - không gian


13
Đ1. Các kiến thức chuẩn bị
Mục này dành cho giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng

trong khoá luận.
Đ2. Các đặc trng của T 12 - không gian.
Mục này làm rõ về T 12 - không gian trên các vấn đề
1) Nếu X là T 12 - không gian thì các tập con của X nh thế nào và ngợc lại.
2) Mối quan hệ giữa T 12 - không gian với các không gian khác nh thế nào.
Đ3. Không gian con và tính bảo toàn qua các ánh xạ.
Mục này làm rõ về T 12 - không gian trên các vấn đề
1) Mối quan hệ giữa T 12 - không gian và không gian con của nó.
2) Tính bảo toàn của T 12 - không gian qua các ánh xạ.
Đ4. Tích các T 12 - không gian.
Mục đích của phần này là đa ra điều kiện cần và đủ của không gian tích là T 12
- không gian khi tích là hữu hạn và khi tích là vô hạn.
Chơng 2. Tính chất T 12 và các vấn đề liên quan
Đ1. Một số tính chất tôpô T 12 .
Phần này chủ yếu trình bày về các tính chất của tôpô T 12 .
Đ2. Các tôpô T 12 cực tiểu.
Mục đích phần này xác định cấu trúc của tôpô T 12 cực tiểu trong trờng hợp
không gian đó là hữu hạn và không gian đó là vô hạn cho dù cách xác định là
khác nhau.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo
PGS.TS. Trần Văn Ân, ngời đã trực tiếp tận tình hớng dẫn tôi hoàn thành khoá
luận này. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong khoa Toán trờng Đại
học Vinh đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là các
thầy, cô giáo trong tổ Giải tích.


14
Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận này chắc chắn
không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc các thầy, cô và các bạn góp ý,
bổ sung. Tôi xin chân thành cảm ơn.

Vinh, tháng 4 năm 2006
Tác giả

Chơng 1

T - không gian
1

2

Đ1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Định nghĩa. Cho X là tập tuỳ ý. Họ các tập con của X gọi là một tôpô
trên X nếu
i) ; X ;
ii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc là thuộc ;
iii) Giao của một họ hữu hạn các phần tử thuộc là thuộc.
Cặp (X,) đợc gọi là không gian tôpô. Mỗi phần tử thuộc gọi là tập mở trong
X.


15
1.2. Định nghĩa. Điểm x đợc gọi là điểm tụ của tập A của không gian tôpô (X,

) nếu mọi lân cận của x đều chứa điểm khác x của tập A. Tập các điểm tụ của A
đợc gọi là tập dẫn xuất của A.
1.3. Định nghĩa. Cho (X, X) ; (Y,Y) là các không gian tôpô.
ánh xạ f : X Y đợc gọi là liên tục tại x0 X, nếu với mọi lân cận V của f(x0)
thì tồn tại lân cận U của x0 sao cho f(U) V.
ánh xạ f : X Y đợc gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi x X.
1.4. Định lý ([3]). Giả sử X, Y là các không gian tôpô và f: X Y. Khi đó các

điều kiện sau là tơng đơng
i) f liên tục;
ii) Với mọi tập F đóng trong Y ta có f -1(F) đóng trong X;
iii) Với mọi tập B mở trong Y ta có f -1(B) mở trong X;
iv) Với mọi tập A X ta có f( A ) f ( A) .
1.5. Định lý ([3]). Cho f : X Y; g : Y Z là các ánh xạ liên tục. Khi đó
gf : X Y là ánh xạ liên tục.
1.6. Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian tôpô, f : X Y là ánh xạ f đợc gọi
là đồng phôi nếu f song ánh và f, f -1 là các ánh xạ liên tục.
Hai không gian tôpô X, Y đợc gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại một phép
đồng phôi giữa chúng.
1.7. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian tôpô, f : X Y là ánh xạ từ
không gian tôpô X vào không gian tôpô Y.
ánh xạ f đợc gọi là ánh xạ mở nếu f(U) mở trong Y với mọi tập U mở trong X.
ánh xạ f đợc gọi là ánh xạ đóng nếu f(F) đóng trong Y với mọi tập F đóng
trong X.
1.8. Định lý ([6]). Nếu f : X Y là phép đồng phôi thì f là ánh xạ đóng.
1.9. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là T1- không gian nếu với hai
điểm bất kỳ x, y X mà x y tồn tại các lân cận tơng ứng Ux, Uy của x và y sao
cho y Ux và x Uy .
1.10. Định lý ([6]). Không gian tôpô X là T1- không gian khi và chỉ khi tập một
điểm là đóng.


16
1.11. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là T0- không gian nếu đối với
mỗi cặp x, y X mà x y ít nhất một trong chúng có lân cận không chứa điểm
kia.
1.12. Định nghĩa. Cho tập con A trong không gian tôpô X
i) Họ {As}s S các tập con của X đợc gọi là một phủ của A nếu A

As.

sS

ii) Họ {Bs}s S đợc gọi là một phủ con của {As}s S nếu {Bs}s S là một phủ của
A, S S và Bs = As với mọi s S.
iii) Phủ {As}sS đợc gọi là một phủ mở của A nếu As mở với mọi s S.
1.13. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian compact nếu mọi
phủ mở của X đều chứa một phủ con hữu hạn.
1.14. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là liên thông nếu không tồn tại
các tập mở khác rỗng U, V trong X sao cho X = U V và U V = .
1.15. Nhận xét. Không gian tôpô X là không liên thông nếu tồn tại các tập mở
khác rỗng U, V trong X sao cho U V = và U V = X.
1.16. Tích Đề các của một họ không gian tôpô. Giả sử {(Xs, s)}s S là một họ
không gian tôpô, tập hợp tất cả các ánh xạ x : S

Xs sao cho với mỗi s S,

sS

x(s) Xs đợc gọi là tích Đềcác của họ tập hợp {Xs}s S và đợc ký hiệu
Ta ký hiệu phần tử x của tập hợp X =

Xs.

sS

Xs là x = (xs)sS, trong đó xs = x(s) Xs

sS

với mỗi s S.
Phần tử xs của Xs gọi là tọa độ thứ s của phần tử x.
ánh xạ s :

Xs Xs xác định bởi s(x) = xs gọi là phép chiếu trên không

sS

gian Xs.
1.17. Định lý ([6]). Tôpô tích trên tập tích X =
có dạng V =

Xs có cơ sở gồm các tập V

sS

Ps1 (Gs ) , trong đó Gs Xs là tập mở trong Xs, s I S.

sS


17

1.18. Định lý ([6]). Các tập hợp dạng

Ws, trong đó Ws là một tập hợp mở

sS

trong không gian Xs và Xs Ws chỉ với một số hữu hạn phần tử của S tạo thành
một cơ sở của tích Đềcác

Xs.

sS

1.19. Định lý ([3]). Phép chiếu của không gian tích lên không gian tọa độ tùy
ý của nó là mở, liên tục.
1.20. Định lý ([3]). ánh xạ f : Y s
S Xs của một không gian tôpô Y vào
không gian tích s
S Xs liên tục khi và chỉ khi mỗi một trong các ánh xạ P sf: Y Xs
liên tục, với mọi s S.
1.21. Định lý ([6]). Nếu As Xs với mỗi s S thì trong không gian tích Đềcác

Xs ta có

sS

As

sS

=



sS

As .

1.22. Bổ đề Zorn ([3]). Nếu mọi tập con sắp tuyến tính của X khác rỗng đều
có cận dới thì trong X có phần tử cực tiểu.
1.23. Định nghĩa. Giả sử (X, ) là không gian tôpô và Y là tập con của nó. Đặt

U = {U Y: U = V Y, V }.
Khi đó U là một tôpô trên Y và U đợc gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô.

Đ2. Các đặc trng của T 1 2 - không gian
2.1. Định nghĩa ([5]). Tập con A của không gian tôpô (X,) đợc gọi là g-đóng
nếu A U với mỗi U là tập mở trong (X, ) và A U.
2.2. Định nghĩa ([1]). Một không gian tôpô (X, ) đợc gọi là T 12 - không gian
nếu mỗi tập con g- đóng của X là đóng.
2.3. Định nghĩa ([1]). Một không gian tôpô (X, ) đợc gọi là TD- không gian
nếu tập dẫn xuất của mỗi điểm là đóng.


18
2.4. Định nghĩa ([3]). Một không gian tôpô (X, ) đợc gọi là không gian cửa
(door space) nếu mỗi tập con của không gian tôpô (X, ) hoặc đóng hoặc mở.
2.5. Định lý. Không gian tôpô (X, ) là T 12 - không gian khi và chỉ khi với mỗi
x X, hoặc {x} mở hoặc {x} đóng.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là T 12 - không gian. Lấy bất kỳ x X.
Giả sử rằng tập {x} không là tập đóng trong không gian X nên suy ra X \{x} không
là tập mở, do đó chỉ có một tập mở duy nhất chứa X \{x} là X. Vì hiển nhiên
X \ { x} X, nên theo Định nghĩa 2.1 ta suy ra X \{x} là g- đóng.
Mặt khác, do X là T 12 - không gian nên theo Định nghĩa 2.2, X \{x} là tập đóng.
Do đó {x} là tập mở.

Điều kiện đủ. Giả sử A là tập g- đóng bất kỳ trong không gian (X, ). Ta cần
chứng minh rằng A đóng.
Thật vậy, với x A . Nếu {x} mở thì {x} là lân cận của x nên {x} A . Do
đó x A. Nếu {x} đóng thì { x} = {x} và do đó

{ x} A = {x} A.
Vì nếu { x} A = thì {x} A = , lúc đó A X \{x} mà X \{x} mở trong X
nên X \{x} là lân cận của A, hơn nữa A là g- đóng vì vậy A X \ {x}. Mặt khác
x A nên x X \{x}. Điều này mâu thuẫn.
Vậy { x} A = {x} A . Suy ra {x} A , vì thế x A. Do đó A A.
Hiển nhiên A A . Vậy A đóng, theo Định nghĩa 2.2 thì X là T 12 - không gian.
2.6. Hệ quả. X là T 12 - không gian khi và chỉ khi mỗi tập con của X là giao của
tất cả các tập mở và tất cả các tập đóng chứa nó.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là T 12 - không gian và B là tập con tùy ý
của X. Khi đó từ giả thiết X là T 12 - không gian nên với mỗi x X \B thì {x} là tập
mở hoặc là tập đóng, nên suy ra X \{x} là tập đóng hoặc là tập mở.
Rõ ràng B X \ {x}, với mỗi x X \ B và B = {X \{x}: x B}.
Vậy B là giao của tất cả các tập đóng và tất cả các tập mở chứa nó.


19
Điều kiện đủ: Với mỗi x X, ta có X \ {x} X. Từ giả thiết điều kiện đủ thì
X \{x} hoặc tập đóng hoặc tập mở, vì thế {x} hoặc tập mở hoặc tập đóng, theo
Định nghĩa 2.2 thì X là T 12 - không gian.
2.7. Hệ quả. i) Mọi T1- không gian đều là T 12 - không gian.
ii) Mọi không gian cửa (door space) đều là T12 - không gian.
Chứng minh. i) Giả sử X là T1- không gian. Khi đó với mỗi x X thì {x} là tập
đóng, theo Định lý 2.5, suy ra X là T 12 - không gian.
ii) Giả sử X là không gian cửa. Khi đó với mỗi x X ta có {x} X. Do đó theo
Định nghĩa 2.4 thì {x} hoặc là tập mở hoặc là tập đóng.

Vậy theo Định lý 2.5 suy ra X là T 12 - không gian.
2.8. Ví dụ. Chiều ngợc lại của Hệ quả 2.7 là không đúng.
Chẳng hạn: Lấy X = {a,b,c,d} và = {, {a}, {b}, {a,b}, {a,b,c}, {a, b, d}, X}.
Khi đó (X, ) là T 12 - không gian vì tập một điểm hoặc là tập đóng hoặc là tập
mở.
Thật vậy, {a}, {b}, {c} = X \{a,b,d}-đóng, {d} = X \{a,b,c}- đóng.
Nhng (X,) không là T1- không gian vì {b, c, d} nên {a} - đóng và (X,)
cũng không là không gian cửa vì {a, c} và do {b, d} nên {a, c} - đóng.
2.9. Định lý. Nếu X là T 12 - không gian thì X là TD- không gian (và do đó là
T0- không gian).
Chứng minh. Với bất kỳ x X, do X là T 12 - không gian, nên {x} là tập mở
hoặc là tập đóng. Nếu {x} mở thì tập dẫn xuất của {x} là {x} = { x} \{x} là tập
đóng. Nếu {x} đóng thì { x} = {x}, khi đó tập dẫn xuất của {x} là
{x} = { x} \{x} = {x}\{x} =
là tập đóng. Theo Định nghĩa 2.3 thì X là TD - không gian.
Ta cũng chứng minh đợc X là T0- không gian. Thật vậy, với x, y X, x y ta có
x X \{y}. Vì X là T 12 - không gian nên với mỗi y X thì {y} hoặc mở hoặc đóng
trong X.


20
Nếu {y} mở thì khi đó {y} là lân cận của y nhng x {y}.
Nếu {y} đóng thì X \{y} mở trong X và x X \{y}. Do đó X \{y} là lân cận của
x và y X \{y}.
Vậy đối với mỗi cặp điểm x, y X mà x y ít nhất một trong chúng có lân cận
không chứa điểm kia. Vì thế X là T0- không gian.
2.10. Ví dụ. TD- không gian cha hẳn là T 12 - không gian.
Chẳng hạn: X = {a, b, c} và = {, {a}, {a, b}, X }. Khi đó (X,) không là T 12
- không gian vì {b} không đóng, không mở trong X. Nhng (X,) là TD- không gian.
Thật vậy, ta chứng minh đợc tập dẫn xuất của mỗi điểm là đóng.

Trớc hết ta tìm tập dẫn xuất của tập {a}, ta có b là điểm tụ của {a} vì {a, b}, X
là các lân cận của b và {a, b} {a} ; {a} X .
Tơng tự c là điểm tụ của {a} vì X là lân cận của c mà X {a} . Vậy tập dẫn
xuất của {a} là {a} = {b, c} mà {b, c} là tập đóng trong X nên tập dẫn xuất của
{a} là tập đóng.
Chứng minh hoàn toàn tơng tự, ta chứng minh đợc tập dẫn xuất của {b} là
{b} = {c} và tập dẫn xuất của {c} là {c} = là những tập đóng trong X.
Nh vậy, tập dẫn xuất của mỗi điểm thuộc X là đóng, do đó X là TD- không gian.
Đ3. Không gian con và tính bảo toàn qua các ánh xạ
3.1. Định lý. Nếu X là T 12 - không gian, Y là một tập con của X. Khi đó Y là
T 1 - không gian.
2
Chứng minh. Với mỗi y Y X ta có {y} hoặc đóng hoặc mở trên X. Mặt khác
{y} = {y} Y. Theo tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X thì {y} hoặc đóng hoặc mở
trên Y. Nhờ Định lý 2.5 ta suy ra Y là T 12 - không gian.
3.2. Ví dụ. Trớc khi xét điều kiện để ảnh của một T 12 - không gian là
không gian ta xét ví dụ sau
Lấy X = {1, 2, 3, ...} là tập các số tự nhiên cùng với tôpô

= {, {1}} {U: 1 U và X \ U hữu hạn}

T1 2


21
và Y = {a, b, c} với tôpô V = {, {a}, Y}.
Ta xác định ánh xạ f : X Y cho bởi
f(1) = a
f(2n) = b với n = 1, 2, ...
f(2n +1) = c với n = 1, 2, ...

Khi đó f liên tục, mở, toàn ánh. Thật vậy
i) f liên tục, vì nghịch ảnh của tập mở trong Y là tập mở trong X. Cụ thể là
với V thì f -1() = ,
với {a} V thì f -1({a}) = {1} ,
với Y V thì f -1(Y) = X .
ii) f mở, vì ảnh của các tập mở trong X là tập mở trong Y.
Thật vậy, với thì f() = V ; với {1} thì f({1}) = {a} V, lấy
U thì U chứa 1, U chứa các số chẵn và số lẻ nên f(U) = Y V.
iii) f toàn ánh, vì với a Y thì tồn tại 1 X sao cho f(1) = a, với
b Y thì tồn tại 2n X : f(2n) = b, n = 1, 2, ...; với c Y thì tồn tại 2n +1 X
sao cho f(2n +1) = b, n = 1, 2, ...
Mặt khác, (X, ) là T 12 - không gian vì tập một điểm của X hoặc là tập đóng
hoặc là tập mở. Thật vậy, ta có {1}. Với mỗi n = 1, 2, ... thì tập một điểm
{2n} - đóng vì xét tập X \{2n} ta có 1 X \{2n} và X \(X \{2n}) = {2n} hữu
hạn nên X \{2n} mở, tơng tự thì tập một điểm {2n +1}-đóng. Trong khi (Y,V )
không là T 12 - không gian vì {b} không đóng, không mở.
3.3. Định lý. Nếu X và T 12 - không gian và f : X Y là ánh xạ liên tục, đóng
và lên, thì Y là T 12 - không gian.


22
Chứng minh. Giả sử B là tập g - đóng bất kỳ trong Y. Theo Định nghĩa 2.2 ta
cần chứng minh B đóng trong Y, trớc hết ta chứng minh rằng f -1(B) đóng trong X.
Thật vậy, với x f 1 ( B ) , do X là T 12 - không gian nên {x} mở hoặc {x} đóng.
Nếu {x} mở thì {x} là lân cận của x và từ x f 1 ( B ) nên suy ra {x}f -1(B)

hay x f -1(B).
Nếu {x} đóng thì vì f là ánh xạ đóng nên ta có f({x}) đóng trong Y. Ta sẽ
chứng minh f(x) B. Thật vậy, vì f liên tục nên ta có
f( f 1 ( B ) ) f ( f 1 ( B)) = B ,

mà x f 1 ( B ) nên f(x) f( f 1 ( B ) ) B hay f(x) B . Khi đó f(x) B, vì nếu
f(x) B thì Y \{f(x)} B. Lại do {f(x)} đóng trong Y nên Y \{f(x)} mở trong Y.
Mặt khác, B là g- đóng trong Y nên suy ra B Y \ {f(x)} hay f(x) B . Điều này
mâu thuẫn với lập luận trên. Vậy f(x) B tức là x f -1(B).
Cả hai trờng hợp trên đều suy ra x f -1(B), do đó f 1 ( B ) f -1(B).
Hiển nhiên f -1(B) f 1 ( B ) nên f 1 ( B ) = f -1(B). Vậy f -1(B) đóng trong X. Vì
f là ánh xạ đóng, từ đẳng thức B = f(f -1(B)) ta suy ra B đóng. Theo Định nghĩa 2.2
suy ra Y là T 12 - không gian.
3.4. Định lý. Giả sử (X, ) là T 12 - không gian và f : X Y là mở, toàn ánh
(không nhất thiết liên tục) sao cho với mỗi y Y thì f -1({y}) là tập hữu hạn, khi
đó (Y, U) là T 12 - không gian.
Chứng minh. Lấy bất kỳ y Y. Theo giả thiết, ta có f -1({y}) = {x1, x2, ..., xn}.
Nếu với i nào đó mà i {1, 2, ..., n} ta có {xi} , thì vì f là ánh xạ mở nên
{y} = {f(xi)} U . Ngợc lại, nếu X \{xi} với mọi i = 1, 2, ..., n thì từ đẳng thức
{y} = f({x1} {x2} ... {xn}) và do f toàn ánh nên
X \{y} = f(X \{x1} {x2} ...{xn}) = f(X \{x1} ... X \{xn}).


23
Mặt khác, do X \{xi} với mọi i = 1, ..., n nên X \{x1} ... X \{xn} . Do
f mở nên X \{y} U suy ra {y} là U- đóng, theo Định lý 2.5 ta có kết luận (Y, U)
là T 12 - không gian.
3.5. Hệ quả. ảnh đồng phôi của T 12 - không gian là T 12 - không gian.
Chứng minh. Giả sử X là T 12 - không gian và f : X Y là đồng phôi. Khi đó f là
song ánh và f, f

-1

liên tục. Vì f là đồng phôi nên f là ánh xạ liên tục, đóng, lên.

Theo Định lý 3.3 thì Y là T 12 - không gian.
Vậy ảnh đồng phôi của T 12 - không gian là T 12 - không gian.

Đ4. Tích các T 12 - không gian
4.1. Định lý. Đặt X =

X . Khi đó nếu X là T



Chứng minh. Giả sử X =

X . Lấy x0 =



1

2

thì X là T 12 với mọi .

(x )


0

thuộc .
Đặt X 0 =
A trong đó A = X 0 nếu = 0

{ }

A = x0 nếu 0
ta có X 0 X, theo Định lý 3.1 thì X 0 là T 12 - không gian.

và 0 là điểm tùy ý


24
Xét ánh xạ f : X 0 X 0 xác định bởi, với mỗi u X 0 ta có f(u) = (x) ,
trong đó x = u nếu = 0 và x = x0 nếu 0.
Ta sẽ chứng minh f đồng phôi. Thật vậy
i) f là đơn ánh, vì với u1, u2 X 0 mà u1 u2 thì f(u1) f(u2).


ii) f là toàn ánh, vì với x = (x) X 0 . Khi đó sẽ tồn tại u X 0 sao cho
f(u) = x.
Vậy f là song ánh.
iii) f liên tục, vì với mỗi và u X 0 ta có
P f(u) = id(u) nếu = 0,
P f(u) = x0 nếu với 0.
Vì thế P f hoặc là ánh xạ đồng nhất hoặc là ánh xạ hằng. Mà ánh xạ đồng
nhất hoặc ánh xạ hằng đều là ánh xạ liên tục. Do vậy P f là ánh xạ liên tục, theo
Định lý 1.20 thì f liên tục.
iv) f

-1

liên tục vì ta thấy f

-1

chính là ánh xạ chiếu từ không gian tích xuống

không gian tọa độ bất kỳ mà hạn chế trên X 0 X. Hơn nữa, ánh xạ chiếu từ
không gian tích X đến không gian tọa độ bất kỳ là liên tục nên f -1 liên tục.
Từ (i, ii, iii, iv) ta suy ra f đồng phôi. áp dụng Định lý 3.5 suy ra X 0 là
T 1 -không gian với 0 bất kỳ hay X là T 1 - không gian với mọi .
2
2
4.2. Nhận xét. Không giống nh trờng hợp các tiên đề tách T0, T1, T2 chiều ngợc lại của Định lý 4.1 là sai. Để đa ra điều kiện cần và điều kiện đủ của không
gian tích là T 12 , ta chia ra hai trờng hợp, khi tích là hữu hạn và khi tích là vô hạn
(khi có một số vô hạn các không gian tọa độ mà không phải là tập 1 điểm).
4.3. Bổ đề. Đặt X =

X , trong đó vô hạn. Khi đó X là T



1

2

nếu và chỉ nếu

X là T1.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử x X. Khi đó do X là T 12 - không gian nên
{x} hoặc là tập mở hoặc là tập đóng. Nhng {x} không mở trong không gian tích,

vì nếu {x} là tập mở thì vì phép chiếu P là ánh xạ mở, với mọi nên


25
{x} = P(x) là tập mở trong X, với mọi . Mặt khác, tập {x} là mở, x {x},
n

nên tồn tại tập W có dạng W =

cho x W =

n

P (G )
i =1

i

i

P (G ) với G
i =1

i

i

{x}. Khi đó x

i

mở trong X i , i = 1, 2, ..., n sao

n

P ( x )

này mâu thuẫn vì do là tập vô hạn nên

i

i =1

i

{x} =

P (x)



P (x). Điều



là tập con thực sự của

n

P ( x ) . Vậy {x} đóng và do đó X là T1- không gian.

i =1

i

i

Điều kiện đủ. Theo Hệ quả 2.7 ta có X là T1 thì suy ra X là T 12 .
4.4. Định lý. Đặt X =
X , vô hạn. Khi đó X là T 12 - không gian khi và chỉ

khi X là T1- không gian với mọi .
Chứng minh. Theo Bổ đề 4.3, X là T 12 - không gian khi và chỉ khi X là
T1- không gian. Ta cần chứng minh X là T1- không gian khi và chỉ khi X là
T1- không gian với mọi .
Điều kiện cần. Giả sử X =
X (với vô hạn) là T1- không gian. Ta cần

chứng minh X là T1- không gian với mọi .

( )

0
Thật vậy, giả sử 0 là chỉ số bất kỳ. Lấy x0 = x



X.

Đặt X 0 =
A , trong đó A = X 0 nếu = 0,

A = { x0 } nếu 0.
Khi đó ánh xạ f : X 0 X 0 xác định bởi, với mỗi u X 0 ta có f(u) = (x)
trong đó x = u nếu = 0 và x = x0 nếu 0, là đồng phôi (chứng minh ở
Định lý 4.1).
Mặt khác, X 0 X mà X là T1 nên X 0 cũng là T1 (theo tôpô cảm sinh bởi
tôpô trên X). Vì qua phép đồng phôi, ảnh của T1- không gian là T1 không gian nên
suy ra X là T1- không gian với mọi .


26
Điều kiện đủ. Ta cần chứng minh nếu với mỗi không gian X đều là T1- không
gian thì X =
X cũng là T1- không gian. Khi đó theo Hệ quả 2.7, suy ra X là T 12

- không gian. Thật vậy, giả sử x = (x) là một điểm bất kỳ của không gian X,
theo Định lý 1.2 ta có

{ x}

=

{ x }



=

{ x } .

(1)

Vì mỗi không gian X đều là T1- không gian với mọi nên { x } = {x}.

{ x } = {x} = {x}. Suy ra {x} đóng.
Do đó từ (1) ta có { x} =


Vậy X là T1- không gian.
Một tình thế khác tồn tại trong trờng hợp tích hữu hạn, khi đó ta có thể giảm
điều kiện T1 trên một trong các không gian tọa độ bằng cách hạn chế trên không
gian tọa độ khác.
n

4.5. Định lý. Giả sử (X,) = (Xi,i) là tích của các không gian tôpô (Xi, i),
i =1

i = 1, 2, ..., n. Khi đó (X,) là T 12 - không gian nếu và chỉ nếu một trong các điều
kiện sau đợc thoả mãn
(a) (Xi, i) là T1- không gian với mọi i = 1, ..., n.
(b) Với k nào đó (Xk,k) là T 12 - không gian nhng không là T1- không gian trong
khi (Xi,i) là không gian rời rạc với mọi i {1, 2, ..., n} mà i k.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X,) là T 12 - không gian và (a) không thoả
mãn. Khi đó với k nào đó, (Xk,k) không là T1- không gian. Mặt khác, do (X,) là
T 1 - không gian nên theo Định lý 4.1, (Xi,i) là T1 - không gian. Cố định i k, ta
2
2
cần chứng minh (Xi,i) là rời rạc. Giả sử (Xi,i) không rời rạc. Khi đó tồn tại xi Xi

sao cho {xi} i. Hơn nữa, do (Xk,k) không là T1- không gian nên tồn tại xk Xk
sao cho {xk} không là k - đóng. Ta xác định x X cho bởi
x(k) = xk
x(i) = xi


27
x(j) Xj tùy ý với j k, j i.
Do (X, ) là T 12 - không gian, nên {x} hoặc là mở hoặc là đóng.
Nếu {x} thì do Pi mở nên Pi({x}) = {xi} i mà {xi} i. Điều này mâu
thuẫn.
Nếu {x} là - đóng, thì ta có với mỗi j k, i j lấy aj Xj sao cho {aj} mở và

Pj1 ({a j } )
n

đặt x(j) = aj. Khi đó cũng do Pj liên tục nên A =

j =1
j k, j i

mở.

Do {x} là - đóng nên A\{x} mở trong X mà Pk mở vì vậy Pk(A\{x}) mở
trong Xk. Mặt khác, ta lại có Xk\ Pk(A\{x}) = {xk} nên {xk} là - đóng. Điều này
mâu thuẫn. Vậy (Xi, i) rời rạc.
Điều kiện đủ. Nếu (a) thoả mãn tức (Xi,i) là T1 với mọi i thì suy ra (X,) là T1
và do đó theo Hệ quả 2.7 thì (X, ) là T 12 - không gian.
Nếu (b) thoả mãn, khi đó với k nào đó sao cho (Xk,k) là T 12 - không gian nhng
không là T1- không gian, trong khi (Xi,i) là rời rạc với mọi i {1,2,...,n} mà i k.

Lấy x X, giả sử x = ( x( j ) ) j =1 . Nếu {x(k)} k thì {x} = { ( x( j ) ) j =1 } . Nếu
n

n

n
{x(k)} là k đóng thì {x} = { ( x( j ) ) j =1 } là - đóng. Vậy (X,) là T 12 - không gian.

Chơng 2
Tính chất T 1 2 và các vấn đề liên quan
Đ1. Một số tính chất tôpô T 1 2
1.1. Định lý. Nếu (X, ) là T 12 - không gian và U. Khi đó (X, U) là
T 1 - không gian.
2
Chứng minh. Với x X, do (X, ) là T 12 - không gian nên theo Định lý 2.5 thì
{x} U hoặc X/{x} U hay {x} là U - đóng. Vậy (X, U) là T 12 - không
gian.


28
1.2. Ví dụ. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng tính chất T 12 không di truyền cho các
tôpô thô hơn, thậm chí đó là tôpô thô. Giả sử X = {a, b} với = {, {a}, X} và

U = {, {b}, X}, khi đó (X, ) là T - không gian và (X, U) cũng là T - không
1

1

2

2

gian nhng (X, U) với U = {, X} thì không là T 12 - không gian.
1.3. Định lý. Nếu (X, ) là T 12 - không gian với mọi và { : } là
họ sắp thứ tự toàn phần với quan hệ bao hàm thì khi đó (X,

) là T - không



1

2

gian.



Khi đó tồn tại sao cho

{x} .

(1)

Chứng minh. Lấy x X và giả sử {x}

.


Mặt khác, do (X, ) là T 12 - không gian nên X \{x} , ta cần chứng minh

rằng X \{x} với mọi . Thật vậy, do họ {: } sắp thứ tự toàn phần
với quan hệ bao hàm nên hai phần tử bất kỳ của họ bao giờ cũng so sánh đợc, vì
thế với bất kỳ .
Nếu thì do X \{x} nên X \{x} .
Nếu thì ta giả sử X \{x} , do (X, ) là T 12 - không gian nên
{x} . Do đó {x} . Điều này mâu thuẫn với (1). Do vậy X \{x} với
mọi . Suy ra X \{x}



.


Vậy theo Định lý 2.5 suy ra (X,



)


là

T 1 - không gian.
2
1.4. Hệ quả. Với là tôpô bất kỳ trên X, có một tôpô U trên X sao cho
(a) U.
(b) (X, U ) là T 12 - không gian.
(c) Nếu (X, V ) là T 12 - không gian với V U thì V = U.
Chứng minh. Đặt a = {: } là họ tất cả các tôpô T 12 trên X mà mịn hơn

. Khi đó a , vì tôpô rời rạc là T 12 và mịn hơn , do đó nó thuộc a .


29
Giả sử {: } a , là tập con sắp thứ tự toàn phần với quan hệ bao hàm
T 1 và suy ra a . Nh
thì theo Định lý 1.3 chơng 2, ta có =
2
là
vậy mọi tập con sắp thứ tự toàn phần của a đều có cận dới. Vì thế theo Bổ đề
Zooc, a chứa phần tử cực tiểu U và phần tử cực tiểu U thoả mãn
(a) U.
(b) (X, U ) là T 12 - không gian.
(c) Nếu (X, V ) là T 12 - không gian với V U thì V = U.

Đ2. Các tôpô T12 cực tiểu
Giả sử là tôpô không rời rạc, trong Hệ quả 1.4 ta thấy rằng trong tập X bất kỳ
có một tôpô cực tiểu theo tính chất T 12 . Ta sẽ xác định cấu trúc của các tôpô nh
thế trong trờng hợp X là vô hạn và X là hữu hạn cho dù cách xác định là khác
nhau.
2.1. Bổ đề. Giả sử X chứa nhiều hơn một điểm và là tôpô rời rạc trên X. Khi
đó không là tôpô T 12 cực tiểu trên X.
Chứng minh. Lấy phần tử x X. Ta xét họ

U = {U : U = hoặc x U }.


30
Khi đó dễ dàng chứng minh rằng U là tôpô trên X. Hơn nữa (X,U) là

T1

2

- không gian. Thật vậy, với bất kỳ y X. Nếu y = x thì {y} = {x} nên {y} U mở.
Nếu y x thì x X \{y} hay X \{y} U - mở. Theo định lý 2.5 chơng 1 suy ra (X,

U) là T - không gian. Mặt khác, là tôpô rời rạc trên X, là tôpô lớn nhất trên X
1

2

nên U . Do đó không là tôpô T 12 cực tiểu trên X.
2.2. Bổ đề. Giả sử X là tập hữu hạn và U là tôpô trên X sao cho (X,U) là T 12 không gian. Giả sử có một phần tử cX sao cho {c} đóng và {xX:{x}U }{c},
khi đó U là tôpô rời rạc.
Chứng minh. Với mỗi x X.
Nếu x = c, hiển nhiên {x} đóng (do {c} đóng).
Nếu x c thì từ giả thiết ta suy ra {x} U, do (X, U) là T 12 - không gian nên
suy ra X \{x} U hay {x} là U - đóng. Vậy X là T1- không gian. Mặt khác, vì X là
tập hữu hạn, giả sử X = {x1, x2, ..., xn}, nên với mỗi i = 1, 2, ..., n ta có
{xi} = X \ {x1, x2, ..., xi -1, xi +1, ..., xn}.
Mà X là T1- không gian, nên {xk} đóng với k = 1, 2, ..., n. Do đó
{x1, x2, ...,xi -1, xi +1, ..., xn} = {x1} {x2} ... {xi -1} {xi +1} ... {xn}
là đóng. Vậy {xi} mở với mọi i =1, 2, ..., n. Vì thế trong không gian (X, U) tập
gồm một điểm vừa đóng vừa mở. Suy ra U là tôpô rời rạc.
2.3. Bổ đề. Giả sử X và A X. Ta xác định họ

U = {U: U A hoặc A U và X \U hữu hạn}.
Khi đó U là tôpô T 12 trên X.
Chứng minh. Để chứng minh U là tôpô T 12 trên X ta chia ra 2 trờng hợp

Trờng hợp 1: A = . Khi đó U = {U: U = hoặc X \U hữu hạn}. Dễ dàng kiểm
tra rằng U là một tôpô trên X. Hơn nữa, với mọi x X do {x} hữu hạn, nên X \{x}
U. Do đó {x} U - đóng. Vậy (X, U ) là T 12 - không gian.


31
Trờng hợp 2: A . Khi đó U = {U: U A hoặc A U và X \ U hữu hạn}.
Dễ dàng kiểm tra rằng U là một tôpô trên X. Lấy bất kỳ x X. Nếu x A thì
{x} A suy ra {x} U. Nếu x A thì A X \{x} mà X \ (X \{x}) = {x} là hữu
hạn, nên X \{x} U hay {x} là U - đóng. Theo Định nghĩa 2.5 chơng 1 suy ra (X,

U ) là T - không gian.
1

2

Vậy trong cả hai trờng hợp trên ta đều suy ra U là tôpô T 12 trên X.
2.4. Bổ đề. Giả sử (X, ) là T 12 - không gian cực tiểu, trong đó X chứa nhiều
hơn một điểm. Ta xác định
A = {x X : {x} và X \{x} },
B = {x X :{x} và X \{x} },
C = {x X :{x} và X \{x} }.
Khi đó
(a) X = A B C;
(b) B ;
(c) C = .
Chứng minh. (a) Hiển nhiên
ABCX.

(1)

Lấy bất kỳ x X, do (X, ) là T 12 - không gian nên {x} là tập mở hoặc là tập
đóng. Nếu {x} là tập đóng thì x B C. Còn nếu {x} là tập mở thì x A C.
Vậy
X A B C.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra X = A B C.
(b) Giả sử ngợc lại B = suy ra X = A C. Với bất kỳ x X thì {x} . Suy
ra tập một điểm trong X là mở. Vậy là tôpô rời rạc. Điều này mâu thuẫn với tính
cực tiểu của . Do đó B .
(c) Giả sử c C và đặt A = (A C)\{c}. Ký hiệu

U = {U: U A hoặc A U và X \U hữu hạn}.


32
Khi đó theo Bổ đề 2.3, (X,U) là T 12 -không gian. Ta sẽ chứng minh rằng U .
Thật vậy, lấy bất kỳ UU. Nếu U A thì U = {{x}:x A U}. Nếu U A
thì A U và X \ U hữu hạn, giả sử X \U = {x1, ..., xn}. Suy ra với mỗi i = 1, 2, ...,
thì xi . Do x = A B C nên {xi} là - đóng hay X \{xi} với i = 1, 2,

n

..., n. Vì thế ta có U =

n

X \{xi} . Chứng minh trên chứng tỏ rằng U . Do

i =1

tính chất cực tiểu ta suy ra U = . Từ {c} = U, suy ra {c} A hoặc A {c}
và X \{c} hữu hạn. Trong trờng hợp thứ nhất ta có {c} A = (A C)\{c}. Điều
này dẫn đến mâu thuẫn. Trong trờng hợp A {c} và X \{c} hữu hạn, ta suy ra A
= và X hữu hạn. Do đó A C {c} và X hữu hạn. Từ A C {c} suy ra {x:
{x} U } = {x: {x} } = A C {c}. Mà {c} đóng nên theo Bổ đề 2.2, chơng 2 thì U = là tôpô rời rạc. Điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.1 chơng 2. Vậy C
= .
2.5. Định lý. Giả sử X là tập vô hạn. Khi đó là tôpô T 12 - cực tiểu trên X nếu
và chỉ nếu có một tập con thực sự A của X sao cho

= {O: O A hoặc A O và X \ O hữu hạn}.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử là tôpô T 12 cực tiểu trên X và
A = {x X : {x} và X \{x} },
B = {x X : {x} và X \{x} }.
Khi đó nhờ Bổ đề 2.1 chơng 2 ta suy ra A là tập con thực sự của X. Hơn nữa X
= A B. Ta xác định

U = {O: O A hoặc A O và X \O hữu hạn}.
Theo Bổ đề 2.3 chơng 2 thì (X,U) là T 12 - không gian. Ta cần chứng minh



= U. Thật vậy, với bất kỳ O U, nếu O A thì từ cách xác định A ta suy ra

O

. Nếu A O và X \ O hữu hạn thì X \ O = {x1,...,xn} với xi B, i = 1, 2, ..., n. Vì

33

xi B thì X \{xi} với mọi i = 1, 2,..., n. Mà O =

n

X \{xi} . Do đó U . Từ
i =1

giả thiết là tôpô T 12 cực tiểu ta suy ra

= U = {O: O A hoặc A O và X \O hữu hạn}.
Điều kiện đủ. Giả sử = {O: O A hoặc A O và X \O hữu hạn} với A là tập
con thực sự nào đó của X. Theo Bổ đề 2.3 chơng 2 ta suy ra (X, ) là T 12 - không
gian. Ta cần chỉ ra tính cực tiểu của .
Giả sử (X,U) là T 12 - không gian với U . Ký hiệu A = {x: {x} U }. Ta sẽ
chứng minh A = A. Thật vậy, nếu x A thì {x} U suy ra {x} A hoặc
A {x} và X \{x} hữu hạn. Nếu {x} A thì x A. Trong trờng hợp còn lại

A

{x} và X \ {x} hữu hạn. Do X \{x} hữu hạn cho nên X hữu hạn. Điều này mâu
thuẫn với giả thiết X vô hạn. Vậy
A A.

(1)

Ngợc lại, giả sử x A nhng x A. Khi đó {x} U. Vì (X, U) là

T1 2

không gian, suy ra X \{x} U . Khi đó X \{x} A hoặc A X \{x} và
X \{x} là hữu hạn. Nếu X \{x} A thì {x} (X \{x}) A hay X A). Điều này
mâu thuẫn với giả thiết A là tập con thực sự của X.
Còn nếu AX \{x} thì {x} A X \{x}. Điều này mâu thuẫn. Suy ra x A hay
A A.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra A = A.
Bây giờ ta chứng minh rằng U. Với bất kỳ O , ta có O A hoặc A O
và X \ O hữu hạn. Nếu O A = A thì O U. Còn nếu A O và X \O = {x1,..., xn}
suy ra xi A = A với mọi i = 1,...,n. Vì vậy X \{xi} U. Suy ra O =


n

X \{xi} U.
i =1

Điều này chứng tỏ U. Kết hợp với giả thiết U suy ra = U. Điều đó
chứng tỏ là tôpô T 12 - cực tiểu.


34
2.6. Nhận xét. Kết quả trên chỉ ra rằng các tôpô T 12 - cực tiểu là đợc hợp thành
bởi các tập mở rất nhỏ nào đó (các tập con của A) và các tập rất lớn nào đó
(những tập chứa A mà có phần bù hữu hạn). Một kết quả tơng tự cho trờng hợp X
hữu hạn chỉ đòi hỏi một sự thay đổi nhỏ.
2.7. Định lý. Giả sử X là một tập hữu hạn chứa hơn một điểm. Khi đó là tôpô

T 1 cực tiểu trên X khi và chỉ khi có một tập con con thực sự khác rỗng A của X
2
sao cho

= {O: O A hoặc A O}.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử là tôpô T 12 cực tiểu trên X. Ký hiệu
A = {x X : {x} và X \{x} },
B = {x X : {x} và X \{x} }.
Khi đó nhờ Bổ đề 2.1 chơng 2, A là tập con thực sự của X và X = A B. Hơn
nữa A , vì nếu A = , thì suy ra với mọi x X thì {x} là - đóng. Mặt khác, vì X
hữu hạn và X mở nên tập một điểm của X là mở. Vì (X, ) là T 12 - không gian nên
tập một điểm trên (X, ) là vừa đóng vừa mở suy ra là tôpô rời rạc. Điều này mâu
thuẫn với tính cực tiểu. Vậy A .
Ký hiệu U = {O : O A hoặc A O}, theo Bổ đề 2.3 chơng 2 suy ra (X, U) là
T 1 - không gian. Ta sẽ chứng minh U . Thật vậy
2
Với bất kỳ O U. Nếu O A thì O . Nếu A O, thì do X hữu hạn nên X
\O hữu hạn và giả sử X \O = {x1, ..., xn} với xi B với mọi i = 1, 2, ..., n. Với mọi
i = 1, 2, ..., n thì xi B suy ra X \{xi} . Mà O =

n

X \{xi} . Vì vậy U .
i =1

Do tính T 12 cực tiểu của suy ra = U.
Vậy = {O : O A hoặc A O}.
Điều kiện đủ. Giả sử A là tập con thực sự khác rỗng của X. Ký hiệu

= {O: O A hoặc A O}.

35
Theo Bổ đề 2.3 chơng 2 thì (X, ) là T 12 - không gian. Ta cần chỉ ra tính cực tiểu
của . Giả sử (X,U) là T 12 -không gian với U . Ký hiệu A = {x X : {x} U}.
Ta cần chứng minh A = A. Thật vậy, với bất kỳ x A suy ra {x} U . Vì
vậy {x} A hoặc A{x}. Trong trờng hợp {x} A thì dẫn đến xA. Nếu A {x}
thì vì A , nên x A. Nh vậy, cả hai trờng hợp đều suy ra đợc x A nên vì thế
A A.

(1)

Với x A mà x A thì suy ra {x} U. Vì (X, U) là T 12 - không gian ta suy ra
X \{x} U nên X \{x} A hoặc A X \{x}. Nếu X \{x} A thì suy ra
{x} X \{x} A. Do đó X A. Điều này mâu thuẫn với giả thiết A là tập con
thực sự của X. Nếu A X \{x} thì suy ra x A X \{x}. Vậy x A suy ra
A A.

(2)

Từ (1) và (2) ta có A = A.
Bây giờ ta chứng minh rằng = U. Thật vậy, với bất kỳ O suy ra O A
hoặc A O. Trong trờng hợp O A thì dẫn đến O A vì thế O U. Ngợc lại,
nếu A O, do X hữu hạn nên X \ O cũng hữu hạn. Giả sử X \ O = {x1, ..., xn} với xi
A với mọi i = 1,..., n. Với mỗi i = 1, 2,..., n vì xi A dẫn đến X \{xi} U. Mà
O=

n

X \{xi} U. Suy ra U. Kết hợp với điều kiện U thì ta có U = .

i =1

Vậy là tôpô T 12 cực tiểu.
2.8. Hệ quả. Nếu là tôpô T 12 cực tiểu trên X. Khi đó (X, ) là compact và
liên thông.
Chứng minh. Giả sử là tôpô T 12 cực tiểu trên X. Khi đó theo Định lý 2.5 và
2.6 không mất tính tổng quát, tồn tại một tập con thực sự A của X sao cho

= {O : O A hoặc A O và X \ O hữu hạn}.