Tiếp cận tích phân ngẫu nhiên từ di động ngẫu nhiên và quá trình wiener

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI THỊ ĐỨC ANH

TIẾP CẬN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TỪ
DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ QUÁ TRÌNH
WIENER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN

VINH-2010


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI THỊ ĐỨC ANH

TIẾP CẬN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TỪ
DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ QUÁ TRÌNH
WIENER

CHUYÊN NGÀNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN
MÃ SỐ: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Trung Hòa

VINH-2010


3
Lời mở đầu
Quá trình wiener là một trong những quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhất, cả
trong lý thuyết và trong các ứng dụng. Trong quá trình phát triển của lý thuyết
xác suất của quá trình wiener là một công cụ cơ bản cho rất nhiều các định lý
giới hạn và cũng là một mô hình tự nhiên của nhiều hiện tợng liên quan đến tính
ngẫu nhiên, giống nh tiếng ồn, dao động ngẫu nhiên hoặc nhiễu loạn.
Quá trình wiener ban đầu đợc giới thiệu nh là một mô hình toán học về
chuyển động Brown, một chuyển động ngoằn ngoèo ngẫu nhiên của các hạt nhỏ
lơ lửng trong chất lỏng, phát hiện bởi các nhà thực vật học ngờ Anh Brown năm
1827. Các nhà khoa học lớp đầu tiên nh Bachelier, Einstein, Smoluchowski,
wiener, và Levy, đã có nhiều đóng góp vào lý thuyết về chuyển động Brown.
Quá trình wiener là một mô hình tự nhiên của chuyển động Brown. Nó mô
tả một cách ngẫu nhiên, nhng liên tục chuyển động của một hạt, chịu ảnh hởng
của một số lợng lớn các phần tử chuyển động hỗn loạn của chất lỏng. Một sự
thay đổi bất kỳ của một hạt trong khoảng thời gian là một tổng của nhiều thành
phần nhỏ gần nh độc lập có phân bố chuẩn với kỳ vọng 0 và phơng sai không tỉ
lệ thuận với độ dài của khoảng thời gian. Sự thay vị trí trong những khoảng thời
gian là độc lập.
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng một dãy thích hợp các du động ngẫu
nhiên đơn giản hội tụ về các quá trình wiener Sau đó, một định nghĩa sơ cấp và
thảo luận về tích phân ngẫu nhiên đợc đa ra, dựa trên [8], trong đó sử dụng cùng
một chuỗi các du động ngẫu nhiên.
Luận văn gồm ba chơng
Chơng 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về quá trình ngẫu nhiên và các

khái niệm có liên quan
Chơng 2. Nghiên cứu một số tính chất của quá trình wiener và du động
ngẫu nhiên
Chơng 3. Nghiên cứu quá trình wiener và tích phân ngẫu nhiên
Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại Học Vinh di s hng dn trc
tip ca Tin s Nguyn Trung Ho. Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti
Thy ó dnh cho tỏc gi trong sut quỏ trỡnh hc tp v nghiờn cu ti trng.
Nhõn dp ny tỏc gi xin chõn thnh cm n PGS. TS Nguyn Vn
Qung, PGS. TS Trn Xuõn Sinh, PGS. TS Phan c Thnh, cựng cỏc thy cụ
giỏo, các bạn học viên k16 chuyên nghành xỏc sut thng kờ v ng dng, Khoa
Toỏn, Khoa sau i hc.
Vinh, thỏng 12 nm 2008
Vinh, thỏng 12 nm 2010

tác giả


4

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU....................................................................................................................................6
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN...............................................8

1.1.Quá trình ngẫu nhiên là gì?................................................................8
1.1.1.Định nghĩa và kí hiệu.............................................................................8
1.1.2.Phân phối hữu hạn chiều......................................................................9
1.1.3.Quỹ đạo và không gian quỹ đạo..........................................................10
1.1.4.Định lý tồn tại Kolmogov.....................................................................11
1.1.5.Bản sao liên tục....................................................................................13

1.2.Di động ngẫu nhiên............................................................................ 14
1.2.1.Khái niệm di động ngẫu nhiên và một số tính chất của nó..........14
1.2.2.Đánh giá biên độ dao động của một điểm (hạt) sau một thời gian
t

18

QUÁ TRÌNH WIENER VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN......................................................20

2.1.Quá trình Wiener và di động ngẫu nhiên........................................20
2.1.1.Thời gian chờ.................................................................................. 20
2.1.2.Từ di động ngẫu nhiên đến quá trình Wiener..............................25
2.1.3.Từ quá trình wiener đến những di động ngẫu nhiên...................41
2.2.Một số tính chất của quá trình Wiener............................................54
2.2.1.Tính không khả vi........................................................................... 54
2.2.2.Tính có biến phân không bị chặn của quá trình Wiener.............55
QUÁ TRÌNH WIENER VÀ TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN.................................................60

3.1.Tổng quan về tích phân ngẫu nhiên.................................................60
3.2.Một công thức Ito rời rạc..................................................................64
3.3.Tích phân ngẫu nhiên và công thức Ito............................................67
KẾT LUẬN..............................................................................................................................72
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................73


5


6

MỞ ĐẦU
Quá trình Wiener là một trong những quá trình ngẫu nhiên quan trọng
nhất, cả trong lý thuyết và trong các ứng dụng. Trong quá trình phát triển của lý
thuyết xác suất quá trình Wiener là một công cụ cơ bản cho rất nhiều các định lý
giới hạn và cũng là một mô hình tự nhiên của nhiều hiện tượng liên quan đến
tính ngẫu nhiên, giống như tiếng ồn, dao động ngẫu nhiên hoặc nhiễu loạn.
Quá trình Wiener ban đầu được giới thiệu như là một mô hình toán học về
chuyển động Brown, một chuyển động ngoằn ngoèo ngẫu nhiên của các hạt nhỏ
lơ lửng trong chất lỏng, phát hiện bởi các nhà thực vật học người Anh Brown
năm 1827. Các nhà khoa học lớp đầu tiên như Bachelier, Einstein,
Smoluchowski, Wiener, và Levy, đã có nhiều đóng góp vào lý thuyết về chuyển
động Brown.
Quá trình Wiener là một mô hình tự nhiên của chuyển động Brown. Nó
mô tả một cách ngẫu nhiên, nhưng liên tục chuyển động của một hạt, chịu ảnh
hưởng của một số lượng lớn các phần tử chuyển động hỗn loạn của chất lỏng.
Một sự thay đổi bất kỳ của một hạt trong một khoảng thời gian là một tổng của
nhiều thành phần nhỏ gần như độc lập có phân bố chuẩn với kỳ vọng 0 và
phương sai không tỷ lệ thuận với độ dài của khoảng thời gian. Sự thay đổi vị trí
trong những khoảng thời gian là độc lập.
Chúng tôi sử dụng một dãy thích hợp các di động ngẫu nhiên đơn giản hội
tụ về các quá trình Wiener. Sau đó, đưa ra một định nghĩa sơ cấp và việc thảo
luận về tích phân ngẫu nhiên được đưa ra, dựa trên [8], trong đó sử dụng cùng
một chuỗi các di động ngẫu nhiên.
Luận văn được chia thành 3 chương.
Chương 1 trình bày các khái niệm về quá trình ngẫu nhiên và di động
ngẫu nhiên.
Chương 2 trình bày về các di động ngẫu nhiên và quá trình Wiener

7

Chương 3 trình bày về tích phân ngẫu nhiên và công thức I tô trong mối
liên hệ với di động ngẫu nhiên và quá trình Wiener.
Vì thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh được các
sai sót. Tác giả xin được sự góp ý của các Thầy, các bạn và xin được lượng thứ.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn trực
tiếp của Tiến sỹ Nguyễn Trung Hoà. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
Thầy, người đã dành cho tác giả sự chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu tại trường.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng,
PGS.TS Trần Xuân Sinh, PGS.TS Phan Đức Thành, cùng các thầy cô giáo, các
bạn học viên khóa 16 chuyên nghành Xác suất Thống kê toán.
Tác giả cũng xin trân trọng cám on các Thầy, Cô giáo trong Khoa Toán,
Khoa Sau đại học và các đồng nghiệp tại Phòng giáo dục huyện Yên Thành đã
nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập.
Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả


8

CHƯƠNG 1
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN

1.1. Quá trình ngẫu nhiên là gì?
1.1.1. Định nghĩa và kí hiệu
Một quá trình ngẫu nhiên là một tập X(t) (t∈T) của các biến ngẫu nhiên
được xác định trên một không gian mẫu Ω. Thông thường T là một tập hợp con
của đường thẳng thực và t được gọi là "thời gian". Một khái niệm quan trọng là

hàm-mẫu (quỹ đạo), có nghĩa là, một con thể hiện ngẫu nhiên của một quá trình
ngẫu nhiên. Một quỹ đạo của một quá trình ngẫu nhiên X(t) có thể được ký hiệu
là X(t;ω), trong đó ω ∈ Ω là cố định, nhưng thời gian "t" biến thiên.
Như vậy, đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các
biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T nào đó. Ta sử dụng định nghĩa sau:
Định nghĩa 1. Giả sử T là tập vô hạn nào đó. Nếu với mỗi t ∈ T , Xt là
biến ngẫu nhiên thì ta kí hiệu Χ = { X t , t ∈ T } , và gọi X là hàm ngẫu nhiên (Với
tham biến t ∈ T ).
+

Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X = { X t , t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên
với tham số rời rạc.

+

Nếu T = ¥ thì ta gọi X = { X n , n ∈ ¥ } là dãy các biến ngẫu nhiên (một
phía).

+
+

Nếu T = ¢ thì ta gọi X = { X n , n ∈ ¢} là dãy các biến ngẫu nhiên hai phía.
Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực, tức là, T thuộc một trong các
tập sau:
(−∞, ∞), [a, ∞), (−∞, b], [a, b), [a, b], (a, b], (a, b),


9
thì ta gọi X = { X t , t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục. trong
trường hợp như thế, tham số t đóng vai trò thời gian.

+

d
Nếu T là tập con của ¡ , thì ta gọi X = { X t , t ∈ T } là trường ngẫu nhiên.

Nói chung, dưới đây ta thường nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên có dạng
X = { X n , n ∈ ¥ } ; X = { X t , t ∈ [0, ∞)} , X = { X t , t ∈ [0, 1]} .
1.1.2. Phân phối hữu hạn chiều
Giả sử X = { X t , t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên, và I = (t1,…,tn) là tập con
hữu hạn của T. Hàm phân phối đồng thời của X t ,..., X t :
1

{

n

F1 ( x1 ,..., xn ) = F ( x1 ,..., xn ; t1 ,..., tn ) = P X t ≤ x1 ,..., X t ≤ xn
1

n

}

được gọi là phân phối hữu hạn chiều của X ứng với I, và tập {F1} được gọi là họ
các phân phối hữu hạn chiều của X. Đấy là một trong những khái niệm then chốt
của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên. Nhiều tính chất quan trọng của quá trình
được xác định bởi các tính chất của họ các phân phối hữu hạn chiều của nó.
Rõ ràng họ các phân phối hữu hạn chiều thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Điều kiện đối xứng, tức là, F ( x1,..., xn ; t1 ,..., tn ) không thay đổi khi hoán
vị các cặp ( xk , tk ) .

(ii) Điều kiện nhất quán theo nghĩa
lim F ( x1 ,..., xn ; t1,..., tn ) = F ( x1,..., xn−1; t1,..., t n−1 ).

xn →∞

Hai quá trình trên cùng tập tham số (nhưng có thể xác định trên các không
gian xác suất khác nhau) được gọi là tương đương ngẫu nhiên yếu, nếu chúng có
cùng họ các phân phối hữu hạn chiều. Hai quá trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T }
và Y = { Yt , t ∈ T } trên cùng không gian xác suất ( Ω , Α, P) được gọi là:
+

Tương đương ngẫu nhiên hay Y là bản sao của X, nếu với mỗi t ∈ T ta có


10
P { ω ∈Ω | X t (ω ) = Yt (ω )} = 1.
+

Bằng nhau, nếu

P { ω ∈ Ω | X t (ω ) = Yt (ω ), ∀t ∈ T } = 1.
Hiển nhiên hai quá trình bằng nhau thì tương đương ngẫu nhiên; hai quá trình
tương đương ngẫu nhiên thì tương đương ngẫu nhiên yếu.
Ví dụ. Tập
phụ thuộc t ∈ T , và

At = { ω ∈Ω | X t (ω ) = Yt (ω )}
At .
{ ω ∈ Ω | X t (ω ) = Yt (ω ), ∀t ∈ T } = t∩
∈T

Vì thế, nếu T đếm được thì hai quá trình tương đương khi và chỉ khi
chúng bằng nhau. tuy nhiên, Nếu T không đếm được thì điều khẳng định vừa rồi
không đúng. Chẳng hạn, với Ω = [0, 1], Α là σ - trường Borel của [0, 1], P là
độ đo Lebesgue thông thường, T = [0, 1], và
X t ( ω ) = 0, ∀ω ∈ [ 0,1] , ∀t ∈ [ 0,1]
0 voi t ∈ ω
Yt ( ω ) = 
1 voi t = ω

Dễ dàng thấy rằng hai quá trình này tương đương, nhưng không bằng nhau.
1.1.3. Quỹ đạo và không gian quỹ đạo
Cho quá trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } trên không gian xác suất ( Ω
,Α,P). Khi cố định ω ∈ Ω, thì X( ω ) = X.( ω ) : T → ¡ là hàm số của t ∈ T . Ta
gọi X.( ω ) là quỹ đạo (thể hiện hay hàm chọn) của quá trình ngẫu nhiên X
= { X t , t ∈ T } ứng với ω . Các tính chất của quỹ đạo cho phép ta phân loại quá
trình ngẫu nhiên. Chẳng hạn, khi T là khoảng nào đó, ta nói:
+

X = { X t , t ∈ T } là quá trình liên tục, nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm


11

liên tục, tức là:
P{ ω ∈ Ω | X.(ω ) là hàm liên tục của t ∈ T } = 1.
+

X = { X t , t ∈ T } là quá trình bước nhảy, nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là
hàm bậc thang.

+

X = { X t , t ∈ T } là quá trình không có gián đoạn loại hai, nếu hầu hết các
quỹ đạo của nó là hàm không có gián đoạn loại hai.
Ta kí hiệu ¡ T là không gian của tất cả các hàm thực xác định trên T. Mỗi

phần tử của ¡

T

được kí hiệu là x• . Ta gọi ¡

T

là không gian quỹ đạo. Như vậy,

ta có thể xem quá trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } trên không gian xác suất

(

Ω , Α, P) là ánh xạ từ Ω vào không gian quỹ đạo:
X : Ω → ¡ T , X( ω ) = X g( ω ).
Nói chung, miền giá trị của ánh xạ này là một không gian con E của ¡ T . Chẳng
hạn, Nếu X là quá trình liên tục, thì với xác suất 1, miền giá trị của X là không
gian E = C(T) gồm các hàm liên tục trên T; nếu X là quá trình không có gián
đoạn loại hai, thì với xác suất 1, miền giá trị của X là không gian E = D(T) gồm
các hàm không có gián đoạn loại hai trên T. Trong trường hợp như thế, ta có thể
xem quá trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } trên không gian xác suất ( Ω , Α, P) là
ánh xạ từ Ω vào không gian E:

X : Ω → E , X( ω ) = X g( ω ).
+

Ví dụ ở cuối mục 1.1.2 chứng tỏ rằng tồn tại hai quá trình X, Y tương
đương ngẫu nhiên, nhưng X có tất cả các quỹ đạo liên tục, còn tất cả các
quỹ đạo của Y gián đoạn.

1.1.4. Định lý tồn tại Kolmogov
Bây giờ ta quan tâm đến bài toán ngược lại: Cho trước họ các phân phối
hữu hạn chiều (PI ) (trên ¡ I ) thoả mãn điều kiện đối xứng và nhất quán. Tìm


12
không gian xác suất ( Ω , Α, P) và quá trình X = { X t , t ∈ T } xác định trên ( Ω , Α,
P) sao cho họ các phân phối hữu hạn chiều của nó chính là (PI ), tức là,

{

}

P ω ∈ Ω | ( X t ,..., X t ) ∈ B = PI (B), ∀B ∈ΒI
1

n

Định lý. Tồn tại không gian xác suất ( Ω , Α, P) và quá trình X = { X t , t ∈ T } xác
định trên ( Ω , Α, P) nhận PI làm họ các phân phối hữu hạn chiều của nó.
Ta không chứng minh chi tiết định lý này, nhưng chỉ ra các ý chính cách xây
dựng tường minh.
+

Lấy không gian quỹ đạo làm không gian mẫu: Ω = ¡ T , ω = x• .

+

Lấy σ - trường trụ làm σ - trường cơ sở:  = σ (C ) .

+

Độ đo xác suất cơ sở P được xác định như sau: với mỗi tập trụ CI ( B )
P{CI(B)} = PI (B).
Theo điều kiện đối xứng và nhất quán, ta chứng minh được các định nghĩa

như thế không phụ thuộc vào biểu diễn các tập trụ, tức là, nếu tập C có hai cách
biểu diễn:
C = CI ( B) = CI ' ( B ')
thì
P(CI(B)) = P(CI' (B')).
Sau đó chứng minh P có tính chất cộng tính đếm được trên trường các tập trụ C.
nhờ định lý mở rộng độ đo, ta nhận được độ đo xác suất P trên σ (C ) .
+) Lấy các hàm toạ độ làm quá trình ngẫu nhiên, tức là,
Xt : ¡

T

→¡ ,

X t ( x• ) = xt .

Quá trình vừa xây dựng ở trên được gọi là quá trình chính tắc.

Theo định lý này thì đối với mỗi quá trình ngẫu nhiên, tồn tại quá trình
chính tắc tương đương ngẫu nhiên yếu với nó.
Chú ý. Định lý tồn tại Kolmogorov rất tổng quát: ngoài điều kiện tự


13

nhiên: đối xứng và nhất quán, không đòi hỏi bất cứ một điều kiện nào khác. Tuy
nhiên, ta cần lưu ý những điểm sau đây:
Thứ nhất là, không gian quỹ đạo ¡

T

quá lớn.

Thứ hai là, σ - trường trụ σ (C ) không chứa nhiều tập hợp quan trọng
như: tập C(T) gồm các hàm liên tục trên T; tập các hàm bị chặn.
Điều này là do: các tập trong σ (C ) chỉ ràng buộc một số đếm được các
toạ độ, trong khi đó tính liên tục, chẳng hạn, ràng buộc tất cả các toạ độ (trong
lân cận nào đó có lực lượng không đếm được). Thật vậy, ta trở lại ví dụ đã xét ở
cuối 1.1.2: Ω = [ 0,1] , Α là σ - trường Borel của [0, 1], P là độ đo Lebesgue
thông thường, T = [ 0,1] , và
X t (ω ) = 0, ∀ω ∈ [ 0,1] , ∀t ∈ [ 0,1] ,
 0 víi t ≠ ω
Yt (ω )t = 
1 víi t = ω.
Hai quá trình này tương đương ngẫu nhiên, nên có cùng phân phối trên không
gian quỹ đạo: PX = PY. Nếu C(T) ∈ σ (C ) thì
1 = P(X ∈ C (T )) = PX ( C (T ) ) = PY ( C (T ) ) = P(Y ∈ C (T )) = 0.
Vô lý!

Một trong những vấn đề quan trọng của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là:
tìm những điều kiện đặt lên họ các phân phối hữu hạn chiều để bảo đảm quá
trình đã cho có bản sao liên tục, hoặc không có gián đoạn loại hai, v.v…
1.1.5. Bản sao liên tục.
Định lý. Cho X = { X t , t ∈ [ 0,1] } là quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác
suất đủ ( Ω , Α, P). Giả sử với tất cả t , t + h ∈ [ 0,1]
P { X t + h − X t ≥ g (h)} ≤ q (h),
trong đó g và q là các hàm chẵn của h, không tăng khi h ↓ 0 sao cho


14

∞

∑ g (2

−n

∞

∑2

) < ∞,

n =1

n

q(2− n ) < ∞.

n =1

khi đó X có bản sao liên tục.
Chú ý. Có thể chứng minh rằng:
Mỗi quá trình chỉ có duy nhất một bản sao liên tục. Chính xác hơn, nếu
hai quá trình ngẫu nhiên liên tục xác định trên cùng một không gian xác suất và
tương đương ngẫu nhiên thì bằng nhau.
Hệ quả 1. Cho X = { X t , t ∈ [ 0,1] } là quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác
suất đủ ( Ω , Α, P). Giả sử với tất cả t , t + h ∈ [ 0,1]
E X t +h − X t

p

≤

Kh
ln h

1+ r

,

trong đó p < r và K là các hằng số dương. Khi đó X có bản sao liên tục.
Chứng minh: Suy trực tiếp từ bất đẳng thức Markov:
p

E X t +h − X t
P { X t +h − X t ≥ a} ≤
,
ap

và lấy
g(h) = ln h

−b

, 1 < b < r / p.

Bằng cách chứng minh tương tự ta có kết quả sau:
Hệ quả 2 (của Kolmogorov). Nếu với tất cả t , t + h ∈ [ 0,1]
p

E X t +h − X t ≤ K h

1+ε

trong đó p, ε và K là các hằng số dương, thì X có bản sao liên tục.

1.2. Di động ngẫu nhiên
1.2.1. Khái niệm di động ngẫu nhiên và một số tính chất của nó
Mô hình đơn giản nhất (và thô thiển nhất) về chuyển động Brown là một


15

di động ngẫu nhiên đối xứng 1 chiều, sau đây gọi ngắn gọn là di động ngẫu
nhiên.
Một chất điểm bắt đầu từ gốc và bước một đơn vị hoặc bên trái hoặc bên
phải với xác suất bằng 1/2, trong mỗi đơn vị thời gian. Một cách toán học, chúng
ta có một dãy X1, X2,. . . các biến ngẫu nhiên độc lập và đồng nhất về phân phối
với

P { X n = 1} = P { X n = −1} =

1
( n = 1, 2,...) ,
2

và vị trí của các chất điểm ở thời điểm n (nghĩa là, các bước đi ngẫu nhiên) được
cho bởi tổng riêng:

Các ký hiệu X(n) và S(n) sẽ được sử dụng thay cho Xn và Sn nơi nó có vẻ là thuận
lợi.
Để hình dung đồ thị của một hàm-mẫu (quỹ đạo) của một di động ngẫu
nhiên người ta có thể sử dụng một đường gấp khúc kết nối các đỉnh (n, Sn), n=1,
2,... (Hình 1). Bằng cách này các quỹ đạo được mở rộng từ tập các số nguyên
không âm tới hàm số liên tục trên khoảng [0,∞):

Dễ dàng tính các kỳ vọng và phương sai của Sn:


16

Hình 1: Đồ thị của một quỹ đạo S (t).
Sự phân bố của Sn là một biến đổi tuyến tính của phân phối nhị thức đối
xứng [2, mục III, 2]. Mỗi đường gấp khúc chiều dài n có xác suất 1/2n. Số lượng
các đường đi đến điểm (n,r) từ gốc là bằng số lựa chọn (n + r) / 2 bước để ra bên
phải của bước n. Do đó,

Các hệ số nhị thức ở đây được coi là 0 khi r + n không chia hết cho 2. Tương
đương, Sn = 2Bn - n, ở đây Bn là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức đối

xứng (p = 1/2), P{Bn=k}=Cnk2-n.
Một tính toán sơ cấp chỉ ra rằng đối với n lớn, phân phối nhị thức có thể
được xấp xỉ bởi phân phối chuẩn, xem [2, Mục VII, 2]. Cái được chỉ ra ở đây là
2/3
với các số chẵn n = 2ν và r = 2k, nếu n → ∞ và r < K n = o(n ) , ta có

(

)

trong đó h = 1 / n và φ ( x ) = 1 / 2π e − x

2

/2

( − ∞ < x < ∞)

là hàm mật độ chuẩn

tắc thông thường. Lưu ý rằng đối với số lẻ n = 2ν + 1 và r = 2k + 1 thì (4) có thể
được chứng minh tương tự như đối với các số chẵn.


17

Ở đây và sau này ta sẽ chấp nhận các ký hiệu thông thường an ∼ bn thay
cho lim
n→∞

a
an
= 1 (an và bn là bằng nhau tiệm cận), và an= o(bn) thay cho lim n = 0 .
n→ ∞ b
bn
n

Phương trình (4) dễ dàng ngụ ý một trường hợp đặc biệt của định lý giới hạn
trung tâm và các định lý độ lệch lớn, [2, Mục VII, 3 và 6]):
Định lý 1. (a) Với x thực, cố định bất kỳ và n→∞ ta có

(

Trong đó Φ ( x ) = 1 / 2π

)∫

x

−∞

e −u

2

/2

( − ∞ < x < ∞)

du ,

là hàm phân phối chuẩn

tắc.
(b). Nếu n→∞ và xn→∞ sao cho xn=o(n1/6), thì

{

}

Ρ S n / n ≥ xn ~ 1 − Φ ( x ) ,

{

}

Ρ Sn / n ≤ − xn ~ Φ ( − xn ) = 1 − Φ ( xn ).

Ý nghĩa quan trọng nhất của định lý là khi xn đi đến vô cùng (chậm hơn so
với n1/6), thì hai vế của (6) dần tới 0 nhanh bằng nhau, trên thực tế là rất nhanh.
Chẳng hạn, để ước lượng 1 - Φ(x) với x lớn, người ta có thể sử dụng bất đẳng
thức sau đây, xem [2, Mục VII, 1],

Vì vậy, với một ε > 0, cụ thể ε = 1/2, tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho

với n ≥ n0, ngay khi xn→∞ và xn = o(n1/6) khi n → ∞. Điều quan trọng là mặc dầu
Sn có thể nhận mọi giá trị nguyên từ -n đến n với xác suất dương, biến cố

{S

n

}

> x n n là không thể có khi n → ∞.


18

1.2.2. Đánh giá biên độ dao động của một điểm (hạt) sau một thời gian t
Nếu n không dần tới ∞, hoặc nếu điều kiện xn = o(n1/6) không thỏa mãn?
Khi đó một công cụ đơn giản nhưng hiệu quả, bất đẳng thức Chebyshev có thể
có ích. Một dạng chuẩn tắc của bất đẳng thức Chebyshev là
Ρ{ X − Ε( X ) ≥ t } ≤

Var ( X )
,
t2

với mọi t > 0, và Var(X) là hữu hạn. Một dạng khác có thể được đưa ra tương tự
là
Ρ{ X ≥ t } ≤

Ε( X
t

)

,

với t > 0 tùy ý nếu E(X) là hữu hạn. Nếu mô men cấp k của X, E(Xk) là hữu hạn
(k > 0), thì người ta có thể áp dụng (7) vào |X|k để nhận được

( ) , với t > 0 tùy ý.
Ρ{ X ≥ t } = Ρ{ X ≥ t } ≤
t
k

Ε X

k

k

k

Thậm chí nó có thể nhận cận trên dần tới 0 với tốc độ của hàm mũ khi t → ∞
nếu E(euX), mô men của hàm sinh của X, là hữu hạn với u0 > 0 nào đó. Và do (7),

{

}

(

)

Ρ{ X ≥ t } = Ρ{ u 0 X ≥ u 0 t} = Ρ e u0 X ≥ e u0t ≤ e −u0t Ε e u0 X ,

(8)

với t > 0 tùy ý.
Hoàn toàn tương tự, nếu Ε( e −u X ) là hữu hạn với u0 > 0 nào đó, thì
0

với t > 0 bất kỳ. Kết hợp (8) và (9), ta nhận được

với t > 0 bất kỳ nếu môment hàm sinh là hữu hạn tại cả hai điểm u0 và –u0.
Bây giờ, dễ dàng tìm mômen hàm sinh của một bước (của) di động ngẫu
nhiên

Vì vậy, sử dụng tính độc lập của các bước, người ta thu được môment hàm sinh


19

của di động ngẫu nhiên Sn là

Vì coshu là một hàm chẵn và cosh1 < 2, bất đẳng thức (10) nói rằng


20

CHƯƠNG 2.
QUÁ TRÌNH WIENER VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN

2.1. Quá trình Wiener và di động ngẫu nhiên
2.1.1. Thời gian chờ
Trong phần tiếp theo, chúng ta cần chỉ ra phân phối (của) thời gian ngẫu
nhiên τ khi một di động ngẫu nhiên đầu tiên va chạm hoặc đến điểm x = 2 hoặc 2:

Để tìm phân bố xác suất của τ, ta tưởng tượng bước ngẫu nhiên như là
một chuỗi các cặp bước. Những cặp (độc lập) ấy có thể được phân lớp hoặc như
là một "trở lại-giật lùi": (1,-1) hoặc (-1,1), hoặc như là một "thay đổi biên độ 2":
(1, 1) hoặc (-1,-1). Cả hai trường hợp có cùng xác suất 1/2.
Rõ ràng, biến cố τ nhận giá trị lẻ có xác suất 0. Biến cố {τ=2j} xuất hiện
đúng lúc j-1 trở lại được theo sau một thay đổi biên độ 2. Vì tính độc lập của các
cặp bước, Ρ{τ = 2 j} = 1 / 2 j . Điều đó cho thấy τ=2Y, trong đó Y có phân bố hình
học với tham số p=1/2.

Vì vậy,

Một hệ quả quan trọng là với xác suất 1, một bước đi ngẫu nhiên sớm hay
muộn sẽ chạm tới 2 hoặc -2:

Khá rõ ràng rằng:


21

Điều này suy ra từ tính đối xứng của di động ngẫu nhiên. Nếu chúng ta phản ánh
S(t) với trục thời gian, quá trình kết quả S*(t) cũng là một di động ngẫu nhiên.

τ* tương ứng của nó là bằng τ, và biến cố { S * (τ ) = 2} cũng giống như biến cố

{ S (τ ) = −2} . Vì S*(t) chỉ là cùng một loại bước ngẫu nhiên như S(t), chúng ta có
Ρ{ S * (τ ) = 2} = Ρ{ S (τ ) = 2} .

Một cách khác để chỉ ra (16) là sử dụng (điều) thời gian chờ đợi τ đã đếm
được nhiều giá trị có thể, và với giá trị cụ thể bất kỳ ta có tính đối xứng:

trong đó A2j-2 ký hiệu biến cố mối cặp j-1 đầu tiên là một “trở lại”, có nghĩa là
A2j-2={X2=-X1,…,X2j-2=-X2j-3}, A0=∅.
Chúng ta để ý rằng (16) minh họa một hệ quả của cái gọi là định lý lấy
mẫu: Ε( S (τ ) ) = 2Ρ{ S (τ ) = 2} + ( − 2) Ρ{ S (τ ) = −2} = 0, nó cũng bằng kỳ vọng của S(t).
Ta cũng cần xác suất (của) biến cố một di động ngẫu nhiên xuất phát từ
điểm x = 1 đến x = 2 trước khi đến x = - 2. Xác suất này là xác suất có điều kiện
Ρ{ S (τ ) = 2 X 1 = 1} = 1 / 2 . Nếu X1=1 thì X2=1 với xác suất ½ và như vậy

τ=2 và

Ρ{ S (τ ) = 2} là Ρ{ S (τ ) = 2,τ = 2 X 1 = 1} = 1 / 2 .

Mặt khác, nếu X1 = 1, thì τ > 2 khi và chỉ khi X2 = -1, với xác suất ½. Như thế, ở
bước thứ hai di động trở về điểm xuất phát và bắt đầu "từ đầu". Từ (16), di động
ngẫu nhiên đến 2 trước -2 với xác suất ½: Ρ{ S (τ ) = 2,τ > 2 X 1 = 1} = 1 / 4 . Từ đó
Ρ{ S (τ ) = 2 X 1 = 1} = Ρ{ S (τ ) = 2,τ = 2 X 1 = 1} + Ρ{ S (τ ) = 2,τ > 2 X 1 = 1} = (1 / 2) + (1 / 4) = 3 / 4

Điều đó kéo theo

(17 )


22
Ρ{ S (τ ) = −2 X 1 = 1} = 1 − ( 3 / 4 ) = 1 / 4

(18)

(16), (17) và (18) là các trường hợp đặc biệt của xác suất hỏng hóc. Chẳng hạn,
có thể chỉ ra rằng xác suất một di động ngẫu nhiên gặp a > 0 trước khi
gặp –b < 0 là b/(a+b).

Mở rộng định nghĩa (13) của τ, với k=1,2,… ta định nghĩa một cách truy hồi
τ k +1 = min{ n : n > 0, S ( Tk + n ) − S ( Tk ) = 2},

trong đó
Tk = T ( k ) = τ 1 + τ 2 +  + τ k

(19)

Thì mỗi τk có cùng phân phối với τ = τ1. Với
Ρ{τ k +1 = 2 j Tk = 2m}
= Ρ{ min { n : n > 0, S ( 2m + n ) − S ( 2m ) = 2} = 2 j Tk = 2m}
= Ρ{ min { n : n > 0, S ( n ) = 2} = 2 j} = Ρ{τ1 = 2 j} =1 / 2 j ,

trong đó k ≥ 1, j ≥ 1, m ≥ 1 tùy ý. Đẳng thức thứ hai ở trên suy ra từ hai điều. Thứ
nhất, mỗi số gia S ( 2m + n ) − S ( 2m ) là độc lập với {Tk = 2m} , bởi vì số gia chỉ phụ
thuộc vào các biến ngẫu nhiên Xi (2m+1≤ i ≤ 2m+n), trong khi biến cố {Tk = 2m}
được xác định một cách duy nhất bởi các biến ngẫu nhiên Xi (1 ≤ i ≤ 2m), quá
khứ tương ứng. Thứ hai, mỗi số gia S ( 2m + n ) − S ( 2m ) có cùng phân phối với S ( n )
, vì cả hai trong chúng là tổng của n biến độc lập Xi. Vì vậy, τk+1 là độc lập với Tk
j
(và cũng độc lập với bất kỳ τi, i ≤ k), vậy, Ρ{τ k +1 = 2 j} = 1 / 2 ( j ≥ 1) .

Ta cũng cần phân phối của thời gian ngẫu nhiên Tk để có được k thay đổi
biên độ 2 theo di động ngẫu nhiên. Nói cách khác, S(t) đạt được các giá trị
nguyên chẵn (sai khác một giá trị trước đó) một cách duy nhất tại các khoảng
thời gian T1, T2,…. Để tìm phân phối xác suất của Tk, tưởng tượng di động ngẫu
nhiên như là một dãy các cặp độc lập các bước, “quay đi quay lại” và “thay đổi
với biên độ 2”, cả hai kiểu này có xác suất ½. Số các biến cố {Tk = 2j} (j ≥ k) có
thể xảy ra bằng số các cách chọn k-1 cặp trong số j-1, trong đó một thay đổi biên

23

độ 2 xuất hiện, trước sự xuất hiện của cặp cuối cùng cũng có biên độ 2, do đó
 j − 1 1
 j
Ρ{ Tk = 2 j } = 
 k − 1 2

( j ≥ k ≥ 1).

( 20)

có nghĩa là Tk=2Nk, ở đây Nk có một phân phối nhị thức âm với p=1/2. Xem [2].
Toàn bộ những điều này cũng suy từ N=Tk/2 là tổng của k biến ngẫu nhiên độc
lập, có phân phối hình học với tham số p=1/2, xem (14) và (19): Nk=Y1+Y2+…
+Yk (Yj=τj/2). Thế thì Tk nhận giá trị hữu hạn với xác suất 1 và kỳ vọng và
phương sai của Tk là dễ dàng suy từ (15) và (19):
Ε( Tk ) = kΕ(τ ) = 4k ,

Var ( Tk ) = kVar (τ ) = 8k .

( 21)

Điều đáng nói đến là Tk là một thời gian dừng cho mỗi k ≥1. Theo định nghĩa,
điều đó có nghĩa là biến cố bất kỳ dạng {Tk ≤ j} phụ thuộc hoàn toàn vào "quá
khứ" tương ứng S(t) (t ≤ j). Nói cách khác, S1,. . . , Sj là xác định dù cho {Tk ≤ j}
có xảy ra hay không.
May mắn thay, các định lý giới hạn trung tâm và độ lệch lớn (xem Định lý 1) có
thể được chứng minh cho phân phối nhị thức âm theo kiểu như đối với phân

phối nhị thức.
Định lý 2. (a) Với số thực x tùy ý, cố định và k→∞, ta có:
 T − 4k

Ρ k
≤ x  → Φ ( x ).
 8k


(b) Nếu k→∞ và xk→∞ sao cho xk∼o(k1/6) thì
 T − 4k

Ρ k
≥ xk  ~ 1 − Φ( xk ) ,
 8k

 T − 4k

Ρ k
≤ − xk  ~ Φ( − xk ) = 1 − Φ( xk ).
 8k


Chứng minh: Xấp xỉ chuẩn tắc (4) cũng áp dụng được cho các phân phối nhị
thức âm: nếu r = 2j và k → ∞, thì
j −1
 1
 j − 1 1 1 
 j =
Ρ{Tk = r} = 

(
j − 1) + ( 2k − j − 1)  j −1
2
2
 k − 1 2

2



24

  2k − j − 1  2 
 
 
1
1
 
2
 
~
exp −
( j − 1) / 2 
2 π ( j − 1) / 2




 ( r − 4k + 2 ) 2 
1

,
=
exp −

4
r
−
8
π ( r − 2)



( 22)

Khi giả thiết |2k-j-1|=o((j-1)2/3), hay một cách tương đương,

(

)

( 23)

r − 4k = o k 2 / 3 .

Một tính toán quen thuộc cho thấy (22) là tiệm cận bằng
~

 ( r − 4k ) 2 
1
,

exp −

16
k
4kπ



khi k → ∞ và (23) được thỏa mãn. Do đó ta nhận được một công thức tương tự
(4): nếu k → ∞ và r là số chẵn bất kỳ sao cho | r - 4k | < Kk=o(k2/3),
Ρ{Tk = r} ~ 2hφ ( ( r − 4k ) h ) , h = 1 / 8k ,

( 24)

Trong đó φ là ký hiệu của hàm mật độ phân phối chuẩn hóa.
Theo cùng cách phát biểu của định lý 1 đã đạt được từ (4) trong [2] người
ta có thể thu được định lý này từ (24). Ở đây chúng ta chỉ nêu lại bước cơ bản
của lập luận
T − 4k


Ρ  x1 ≤ k
≤ x2  ~
2hφ ( ( r − 4k ) h )
∑
8k

 { r : x1 ≤ ( r − 4 k ) h ≤ x 2 , r la chan}
→ ∫ φ ( t ) dt = Φ( x2 ) − Φ( x1 ) ,
x2

x1

với x1, x2 bất kỳ, khi k → ∞ và do đó h → 0. Ý nghĩa đơn giản của việc này là
tổng Riemann hội tụ về tích phân tương ứng.
Trong cùng một xu thế như bất đẳng thức đạo hàm bậc cao (6) đã đạt
được với Sn, định lý 2. (b) và (5) chứa đựng một độ lệch lớn dạng bất đẳng thức
cho Tk:
2
 T − 4k

Ρ k
≥ xk  ≤ e − x k / 2 ,
 8k


( 25)


25

với k ≥ k0, giả thiết xk → ∞ và xk=o(k1/6) khi k → ∞.
Như trong trường hợp của Sn , với Tk ta cũng cần một thay thế cho bất
đẳng thức độ lệch lớn nếu giả thiết k → ∞ hoặc xk=o(k1/6) không được thỏa mãn.
Các hàm sinh mô men của τn là đơn giản:

( )

∞

Ε euτ n = ∑ eu 2 j
j =1

1
e2u / 2
1
=
= − 2u
.
j
2u
2
1 − e / 2 2e − 1

(

( 26)

)

Hàm này là hữu hạn nếu u < log 2 . Ở đây và ở sau log chỉ logarit cơ số e.
Bây giờ hàm sinh mô men của Tk suy ra từ tính độc lập của các τn là

( )

k
 k
 u τ 
Ε e uTk = Ε e ∑n =1 n  = Ε ∏ e uτ n



 n =1

(u < log

−k

 = 2e −2u − 1


(

)

)

2, k ≥ 0 .

( 27 )

Ta cũng cần hàm sinh mô men của biến ngẫu nhiên ( Tk − 4k ) / 8 được quy tâm và
“chuẩn hóa” với kỳ vọng của nó là 0 và phương sai là k:

(

Ε e u ( Tk −4 k ) /

8

)=e

− 4 ku / 8

(

Ε e Tk u /

8

) = (2e

u/ 2

− eu

2

)

−k

,

( 28)

Với u < 2 log 2 và k ≥ 0. Vì (28) bé hơn 2k với u = ±1/2, bất đẳng thức mũ
Chebyshev (10) trở thành

{

}

Ρ Tk − 4k / 8 ≥ t ≤ 2.2 k e −t / 2

( t > 0, k ≥ 0).

( 29)

2.1.2. Từ di động ngẫu nhiên đến quá trình Wiener
Việc giải thích quá trình Wiener dựa trên giải thích của P.Révész [6,6.2]
đó là một trường hợp đơn giản trong giải thích của F.B Knight [4,1.3]. Ưu điểm
của phương pháp này so với một vài phương pháp đã biết là rất tự nhiên và sơ
cấp.
Ta sẽ xác định một dãy các xấp xỉ của quá trình Wiener, mà mỗi một
trong chúng là một di động ngẫu nhiên “xoắn” và “co” ("Twisted and shrunk")
của một thể hiện trước đó. Điều đó nói lên rằng dãy này hội tụ tới một quá trình
có các tính chất đặc trưng cho quá trình Wiener.
Giả sử ta đang quan sát một chất điểm dưới chuyển động Brown. Trong