Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp vectơ

Khoá luận tốt nghiệp
PhầnI : mở đầu
I- lý do chọn đề tài

K

hái niệm quỹ tích trong hình học phẳng hay không gian liên hệ chặt
chẽ với khái niệm tập hợp và các phép toán trên tập hợp. Khái niệm
quỹ tích là khái niệm trừu tợng của toán học, nhiều em học sinh gặp khó
khăn khi giải bài toán này, đặc biệt là phần đảo. Đối với một bài toán quỹ
tích thì có rất nhiều phơng pháp để giải nh: phơng pháp tổng hợp, phơng
pháp toạ độ, phơng pháp biến hìnhv..v. Tuy nhiên có một phơng pháp khá
mới mẻ đối với các em học sinh đó là phơng pháp véctơ. Hiện nay cha có
một tài liệu nào đi sâu nghiên cứu việc sử dụng phơng pháp véctơ để giải
một bài toán quỹ tích.
Mặt khác, việc đa phơng pháp véctơ vào chơng trình học ở bậc phổ thông
hiện nay vừa nhằm hiện đại hoá chơng trình, vừa đáp ứng mục tiêu đào tạo
ở nhà trờng phổ thông Việt Nam, vừa cập nhật với nền toán học trong giai
đoạn phát triển hiện nay. Phần véctơ là một trong những phần quan trọng
nhất của sách giáo khoa hình học lớp 10 hiện nay. Và đây cũng là phần gây
cho học sinh nhiều hứng thú nghiên cứu, tìm tòi. Chủ đề véctơ có ý nghiã vô
cùng quan trọng bởi vì nó là cơ sở để xây dựng một số phơng pháp khác nh:
phong pháp toạ độ, một số phép biến hình nh phép vị tự, phép tịnh tiến và nó
là một trong những công cụ để giải toán hữu hiệu. Hơn nữa phơng pháp
véctơ đợc đa vào chơng trình phổ thông cũng là dịp để học sinh làm quen với
các ngôn ngữ của toán cao cấp và học sinh sẽ đợc trang bị thêm một công cụ
mới để giải toán và suy nghĩ về các vấn đề toán học theo một phơng pháp
mới, khác với phơng pháp quen thuộc từ trớc đến nay.
Với ý nghĩa quan trọng của phơng pháp véctơ thì đã có nhiều công trình
khoa học và rất nhiều sách tham khảo nghên cứu cứu về véctơ nh: ứng dụng
tích vô hớng để giải toán, các bài toán về phơng pháp toạ độ, quy trình giải

các bài toán hình học bằng phơng pháp véctơ v..v. Nhng cha có tài liệu nào
viết sâu về quy trình sử dụng phơng pháp véctơ để giải bài toán quỹ tích. Vì

1


Khoá luận tốt nghiệp
những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứa là:"Quy trình giải bài
toán quỹ tích bằng phuơng pháp véctơ".
II- mục đích nghiên cứu
- Xây dựngvà vận dụng quy trình vào giải các bài toán quỹ tích.
- Nêu các biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình.
- Xây dựng hệ thống các bài toán rèn luyện kỹ năng giải bài toán quỹ tích
bằng véctơ.
- Góp phần nâng cao chất lợng việc dạy học phần véctơ ở chơng trình toán
phổ thông.
iii- giả thuyết nghiên cứu

Nếu biết xây dựng đợc các quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng
pháp véctơ , đồng thời đề xuất đợc hệ thống bài tập thích hợp vận dụng quy
trình thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học véctơ ở trờng phổ thông.
IV-bố cục của luận văn

Phần I:
IIIIIIPhần II:

Mở đầu
Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Giả thuyết nghiên cứu

nội dung

Chơng I: Một số nét đại cơng về lôgic trình bày kiến thức ở sgk

hình học 10
IMục đích, nội dung cuả việc trình bày chơng véctơ ở sgk hình học
lớp 10
IINội dung kiến thức véctơ trình bày trong sgk hình học lớp 10 Ptth
và các yêu cầu dạy học nội dung trên
chơng ii: Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ và
các biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình
IQuy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ
i.1. Quy trình là gì?
i.2. Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ
ii- biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình
2


Khoá luận tốt nghiệp
phần phụ lục:

Thực nghiệm s phạm
IMục đích thực nghiệm
IINội dung thực nghiệm
III- Tổ chức thực nghiệm
IV- Đánh giá kết quả thực nghiệm

phần III: kết luận

3

Khoá luận tốt nghiệp

phần II: nội dung
Chơng I:
Một số nét đại cơng về lôgic trình bày kiến thức
véctơ trong sgk hình học hiện nay
Kiến thức véctơ đợc trình bày ở chơng I và chơng II sách giáo khoa
hình học 10 -sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000.
I. - Mục đích, nội dung của việc trình bày ch ơng véctơ ở sách giáo khoa
lớp 10.
Mục đích:
Chơng véctơ đợc đa vào chơng trình sách giáo khoa lớp 10 phổ thông với
mục đích sau:
1- Phơng pháp véc tơ cho phép tiếp cận những kiến thức toán học phổ thông
một cách gọn gàng, sáng sủa (nh chứng minh định lý Pitago, định lý côsin,
hệ thức lợng trong tam giác v..v). Đồng thời phơng pháp véctơ còn là phơng
pháp giải toán có hiệu quả một cách nhanh chóng, tổng quát đôi khi không
cần đến hình vẽ. Mặt khác, nó còn có tác dụng tích cực phát triển t duy trừu
tợng, năng lực phân tích tổng hợp.
2 - Từ phơng pháp véctơ có thể xây dựng chặt chẽ phơng pháp tiên đề theo
tinh thần toán học hiện đại, từ đó với phơng pháp tiên đề có thể xây dựng lý
thuyết hình học cũng nh công cụ giải toán, cho phép giới thiệu cách đại số
hoá hình học và hình học hoá đại số
3- Việc nghiên cứu véctơ góp phần mở rộng nhân quan toán học cho học
sinh, nh tạo khả năng cho học sinh làm quen với những phép toán trênđói tợng không phải số, nhng lại có tính chất tơng tự. Điều đó sẽ dẫn đến sự hiểu
biết về tính thống nhất của toán học, về các phép toán đại số, các cấu trúc đại
số. Đặc biệt là nhóm và không gian véctơ một trong những khái niệm quan
trọng nhất của toán học hiện đại

4


Khoá luận tốt nghiệp
4-Véctơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó công cụ véctơ tạo
điều kiện thực hiện mối quan hệ bên trong trờng phổ thông.
5 - Hiện nay nhiều phân môn toán ở trờng đại học và cao đẳng đợc xây
dựng trên cơ sở véctơ nh hình học, giải tích, đại số tuyến tính, hình học vi
phân... Vì thế nắm vững kiến thức véctơ ở phổ thông sẽ tạo điều kiện thuận
lợi để học sinh tiếp tục không đột ngột nắm chơng trình toán cao đẳng, đại
học.
Nội dung:
Nội dung chơng véctơ là nội dung mới đối với đối tợng là học sinh lớp
10. Nội dung véctơ là nội dung khó, trừu tợng đối với các em. Chơng véctơ là
chơng quan trọng nhất của chơng trình hình học lớp 10, bởi vì nó không
những làm giảm nhẹ một số vấn đề lý thuyết mà những vấn đề đó trình bày
hoặc chứng minh bằng con đờng tổng hợp khá cồng kềnh mà nó còn cung
cấp phơng pháp giải toán khá hiệu quả, ngoài ra nó còn là cơ sở để xây dựng
các phơng pháp khác vv...
II -Nội dung kiến thức véctơ trình bày trong sách giáo khoa hình học 10
PTTH và các yêu cầu dạy học nội dung trên.
Nội dung:
Véctơ đợc trình bày trong sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000
với nội dung cơ bản sau:
Định nghĩa véctơ: Véctơ là một đoạn thẳng đã định hớng, nghĩa là đã chỉ rõ
diểm mút nào của đoạn thẳng đó là điểm đầu và điểm mút nào là điểm cuối.
Có nhiều cách định nghĩa véctơ nh định nghĩa theo lớp tơng đơng, định
nghĩa theo hệ tiên đề. Tuy nhiên sách giáo khoa đã định nghĩa theo cách
truyền thống tức là định nghĩa dựa trên đoạn thẳng định hớng. Sự lựa chọn

cách định nghĩa đó là phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh.
Định nghĩa phơng, hớng và độ dài của véctơ:
- Hai véctơ gọi là có cùng phơng (hoặc nói gọn là cùng phơng) nếu chúng
lần lợt nằm trên hai đờng thẳng song song với nhau (hoặc trùng nhau)
- Cho hai véctơ cùng phơng AB và CD , khi đó chúng có thể cùng hoặc ngợc hớng.
Sách giáo khoa đã đa các hình ảnh trực quan để làm sáng tỏ điều vừa
5


Khoá luận tốt nghiệp
nêu
- Độ dài của véctơ AB là độ dài của đoạn thẳng A:
| AB |= A=A
Định nghĩa hai véctơ bằng nhau:
- Hai véctơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hớng và cùng độ dài
Các phép toán véctơ :
Sách giáo khoa đã giới thiệu 3 phép toán ở chơng I là phép cộng các véctơ,
phép trừ hai véctơ và phép nhân véctơ với một số và một phép toán ở chơng
II là phép nhân một véctơ với một véctơ (tích vô hớng của hai
véctơ).
Phép cộng xuất phát từ định nghĩa có tính chất kiến thiết về tổng hai véctơ
(chỉ ra cách xác định véctơ tổng), từ đó định nghĩa phép cộng hai véctơ.
- Định nghĩa phép cộng hai véctơ: Cho hai véctơ a và b . Từ một điểm A
nào đó vẽ véctơ AB = a , rồi lại từ điểm vẽ vectơ BC = b . Khi đó véctơ AC
đợc gọi là tổng của hai véctơ a và b và ta viết AC = a + b
Sau đó sách giáo khoa đã giới thiệu quy tắc thực hiện phép toán: quy tắc 3
điểm, quy tắc đờng chéo của hình bình hành.
Phép trừ đợc đa ra dựa trên khái niệm phép cộng các vectơ và khái niệm
véctơ đối của một véctơ.
- Định nghĩa phép trừ hai véctơ: Hiệu của véctơ a và véctơ b là tổng của

véctơ a và véctơ đối của véctơ b . Nói cách khác, hiệu của véctơ a và b
là a +(- b )
Phép nhân véctơ với một số cũng có tính chất kiến thiết:
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: Tích của véctơ a với một số thực k
(hoặc tích của số thực k với véctơ a ) là một véctơ kí hiệu là k a (hoặc a k) đợc xác định nh sau:
Véctơ k a cùng hớng với a nếu k0 và ngợc hớng với a nếu k<0
Độ dài của véctơ k a bằng |k| nhân với độ dài của véctơ a , nghĩa là:
| ka | = | k | . | a | .
Đặc biệt từ các cách xác định véctơ tổng, véctơ hiệu, véctơ ka ta có các công
thức quan trọng nh: công thức về sự phân tích một véctơ thành tổng hoặc
hiệu hai véctơ, công thức hình bình hành:
6


Khoá luận tốt nghiệp
AB = AO + OB
AB = OB - OA ;Với O là điểm bất kì.
AC = AB + AD ;Với ABCD là hình bình hành.

Với điểm O bất kì ta có:
2 OI = OA + OB , trong đó I là trung điểm của đoạn
thẳng AB.
Tích vô hớng của hai véctơ:
- Định nghĩa tích vô hớng của hai véctơ: Tích vô hớng của hai véctơ a và
b là một số, kí hiệu là a . b đợc xác định bởi công thức:
a . b = | a | .| b | .cos( a , b ).
Từ đó, hai véctơ a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi a . b =0
Tính chất của các phép toán véctơ:
Phép cộng:
- Với mọi véctơ a ta có:

a +0 =0 +a = a
- Với hai véc tơ a và b bất kỳ, tacó:
a + b = b + a
- Với ba véctơ a , b , c bất kỳ, ta có:
( a + b )+ c = a +( b + c )
Phép trừ: Xây dựng trên phép cộng nên có đầy đủ các tính chất của phép
cộng
Phép nhân véctơ với một số:
Với mọi véctơ a , b và mọi số thực k, l ta có:
+)
k(l a ) = (kl) a
+)
(k+l) a = ka+la
+)
k( a + b ) = k a + k b
+)
1. a = a , 0. a =0, k. 0 = 0
Tích vô hớng của hai véctơ:
Với mọi véctơ a , b , c và mọi số thực k ta có:
+) a . b = b . a (Tính chất giao hoán)
+) a .( b + c ) = a . b + a . c (Tính chất phân phối).
+) (k. a ). b = k.( a . b ) (Tính chất kết hợp)
7


Khoá luận tốt nghiệp
Mục đích yêu cầu:
- Học sinh nắm vững các định nghĩa
- Học sinh nắm đợc các phép toán và tính chất của các phép toán
- Học sinh biết vận dụng các kiến thức véctơ vào giải toán

3 -Thực tiễn vận dụng kiến thức trong việc giải các bài toán quỹ tích
Thực sự ta phải thừa nhận rằng trong sách giáo khoa phổ thông việc vận
dụng véctơ để giải các bài toán quỹ tích còn rất nhiều hạn chế.
Sách giáo khoa chỉ giới thiệu bài toán tìm quỹ tích ở dạng tìm tập hợp điểm
thoả mãn đẳng thức về tích vô hớng hoặc độ dài:
Bài 1: Cho 2 điểm A,B cố định và một số dơng k không đổi. Tìm quỹ tích
những điểm M sao cho: MA . MB =k
(Bài 6 trang 44 sách giáo khoa lớp10- chỉnh lý hợp nhất năm 2000 )
ài 2: Cho tam giác AC. Tìm quỹ tích điểm M sao cho:
MA2+M2+MC2= k2. trong đó k lá một số cho trớc
(Bài 3c trang 64 SGK hình học 10- Chỉnh lý hợp nhất 2000)
Ngoài ra còn có một dạng toán cơ bản mà việc sử dụng phơng pháp
véctơ để giải rất hữu hiệu sách giáo khoa đã không giới thiệu đó là: Tìm quỹ
tích những điểm thoã mãn một đẳng thức véctơ hoặc một đẳng thức về
môdul.
Ví dụ: Cho A và là 2 điểm cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn :
-| MA + MB |= | MA - MB |MA +2 MB = 0
Tuy nhiên đã có những tài liệu tham khảo khắc phục đợc ít nhiều khó khăn
trên nh:
-Các sách : Toán nâng cao cho học sinh hình học 10 của tác giả Phan Huy
Khải, toán chọn lọc hình học lớp 10 của tác giả Trịnh Bằng Giang, toán nâng
cao hình học 10 của nhóm tác giả Nguyễn Minh Hà- Nguyễn Xuân Bìnhvv...
- Một số bài của báo toán học tuổi trẻ, các tạp chí giáo dục vv...

8


Khoá luận tốt nghiệp
Chơng II
Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ và

các biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình.
I -Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơnh pháp véctơ .

I.1-Quy trình là gì ?
Theo các tác giả thì quy trình là một tổ hợp các bớc có thứ tự để thực hiện
một công việc nào đó .
Theo từ điển Tiếng Việt _ NXB KHXH _ 1992 thì : Quy trình là trình tự
phải tuân theo để tiến hành một công việc nào đó.
Ví dụ 1: Quy trình để giải một phơng trình bậc hai một ẩn : a x2+ b x+c= 0
Bớc 1: Tìm biệt số delta ().
Bớc 2: So sánh biệt số delta () với 0
Bớc 3: Kết luận nghiệm của phơng trình.
Ví dụ 2: Quy trình để dựng đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng
chéo nhau a và b là:
Bớc 1: Dựng mặt phẳng qua b ( hoặc a ) và song song với a
( hoặc b) là (P) .
Bớc 2: Dựng hình chiếu
vuông góc a của
a (hoặc b của b)
lên mặt phẳng (P).
Bớc 3:Tìm giao điểm của
a với b (hoặc b với a)
là N
Bớc 4: Qua N dựng đờng
thẳng vuông góc với
(P) là d.
Bớc5: Kết luận d là đờng vuông
góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau a và b .
9

Khoá luận tốt nghiệp
Đối với một công việc nói chung và đối với việc giải các lớp bài toán nói
riêng đều có quy trình thực hiện .Đối với lớp bài toán quỹ tích giải bằng phơng pháp véctơ cũng vậy nó cũng có một quy trình cơ bản để thực hiện.
I.2- Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ.
2.1 Quy trình giải bài toán.
Để giải một bài toán, chúng ta phải lập đợc một lợc đồ xác định và mạch
lạc những thao tác .(Lôgic,toán học hay thực tiễn) bắt đầu từ giả thiết và kết
thúc bằng kết luận,dẫn dắt từ các sự kiện đến ẩn,từ cac sự kiện mà ta có trong
tay đến các đối tợng mà ta muốn đạt tới.
Quy trình giải là quy trình sơ đồ các thao tác,hệ thống các kết luận, kết
thúc bằng việc tìm ra ẩn trong bài toán.
(Trích sáng tạo toán học của G.Polia-Tập II)
2.2 -Bài toán quỹ tích giải bằng phơng pháp véctơ đợc tiến hành theo quy
trình cơ bản sau:
Bớc 1: Phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp
sang ngôn ngữ véctơ
Bớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ nhằm đa bài toán về dạng quỹ
tích cơ bản
Bớc 3: Dịch các kết luận véctơ sang tính chất hình học tổng hợp và kết
luận
2.3- Cách thức thực hiện các bớc:
Để có thể giải đợc các bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ bớc đầu
tiên đó là phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp
sang ngôn ngữ véctơ. Một dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng
hợp có thể phát triển bằng chuyển đổi tơng đơng với nhiều hệ thức véctơ
khác nhau. Chẳng hạn: A=CD đó là một đẳng thức hình học đợc diễn đạt
bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp khi chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ sẽ là |
2
2

AB | =| CD | hoặc AB = CD . Cho A CD là vị trí tơng đối của hai đờng
thẳng A và CD đợc viết bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp khi

10


Khoá luận tốt nghiệp
phiên dịch sang ngôn ngữ véc tơ là AB . CD =0. Hoặc cho 0 là trung điểm
của A là cho dới dạng ngôn ngữ của hình học tổng hợp nhng khi chuyển
đổi sang ngôn ngữ véctơ là AO = OB hoặc OA + OB = 0 hoặc là | OA | =| OB |
v..v. Tuy nhiên sự phiên dịch từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ
véctơ không phải lúc nào cũng dễ dàng. Bởi vậy ta cần xây dựng, tích luỹ
thành lập từ điển véctơ cho mình một cách phong phú thì mới giúp chúng
ta có sự phiên dịch ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ một
cách dễ dàng.
Một số yếu tố hình học cơ bản đợc chuyển đổi nh:
Khi cho yếu tố độ dài diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp thì
chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ sẽ tơng đơng với yếu tố môdul của véctơ,
hoặc khi cho hai đờng thẳng vuông góc là ngôn ngữ hình học tổng hợp khi
phiên dịch sang ngôn ngữ véctơ là tích vô hớng của hai véctơ chỉ phơng của
hai đờng thẳng đó bằng không, cho hai đờng thẳng song song là ngôn ngữ
hình học tổng hợp khi chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ ta đợc hai véctơ chỉ
phơng của hai đờng thẳng đó cộng tuyến với nhau vv...
Ví dụ 1: Cho tứ diện ACD có góc tam diện vuông
đỉnh B. Biết AB=1, BC=BD, CD=2 2 . Gọi M, N lần lợt là
trung điểm của cạnh BC và CD. Tính độ dài đờng vuông góc chung
của AM và BN là EF.
Đây là một bài toán hoàn cho bởi ngôn ngữ hình học tổng hợp nhng để giải
nó bằng phơng pháp véctơ thì ta phải phiên dịch các dữ kiện đã biết và dữ
kiện cần tìm của bài toán sang ngôn ngữ của bài toán sang ngôn ngữ véctơ.

AB=1, BC=BD, CD=2 2 . Vì BCD
vuông cân tại B nên BC=BD=2 là các yếu
tố độ dài cho dới dạng ngôn ngữ hình
học tổng hợp khi dịch sang ngôn
véctơ là: | AB |=1, | BC |=| BD | =2và | CD |=2 2 .
M là trung điểm của BC khi chuyển sang
ngôn ngữ véctơ là BM =1/2 BC , N là
trung điểm của CD thì chuyển
sang ngôn ngữvéctơ ta đợc CN =1/2 CD hoặc
11


Khoá luận tốt nghiệp
CN = ND hoặc là BN =1/2( BC + BD )

Và A,M,E thẳng hàng hoặc E thuộc đờng thẳng AM
Chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ là xR để AE =x. AM .
F thuộc đờng thẳng BN hay B, N, F thẳng hàng. Suy ra khi chuyển
đổi sang ngôn ngữ véctơ ta đợc yR để BF = yBN .
Giả thiết bài toán còn cho EF AM, EF BN và tứ diện ABCD có góc tam
diện vuông tại đỉnh B là các dữ kiện cho bởi ngôn ngữ hình học tổng hợp ta
phiên dịch các dữ kiện đó sang ngôn ngữ véctơ là:
EF . AM =0, EF . BN =0, BA . BC =0
BA . BD =0 và BC . BD =0
Kết luận của bài toán cũng cho dới dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp đó là
tính độ dài đờng vuông góc chung EF ta chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ
Là: Tính| EF | hoặc tính EF 2.
Ví dụ 2: Cho ABC. Tìm tập hợp điểm M của không gian, thoả mãn đẳng
thức:
MA2+MB2=MC2.

Bài toán đợc cho bởi ngôn ngữ hình học tổng hợp để giải bằng phơng pháp
véctơ thì ta phải phiên dịch từ ngôn ngữ tổng hợp sang các dữ kiện của bài
toán ngôn ngữ véctơ. Ta tiến hành nh sau:
Bài toán đã cho: MA2+MB2=MC2 là đẳng thức hình học viết dới
dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp ta chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ
là MA 2+ MB 2= MC 2.
Ví dụ 3: Cho tam giác vuông ABC(C=90). Tìm tập hợp điểm M sao cho:
2MC2= MA2 +MB2
Tơng tự với ví dụ 2 thì ví dụ 3 cũng là một bài toán cho bằng ngôn ngữ hình
học tổng hợp. Muốn giải nó bằng phơng pháp véctơ thì ta phải dịch dữ kiện
của bài toán sang ngôn ngữ véctơ . Cụ thể: 2MC 2=MA2+MB2 chuyển sang
ngôn ngữ véctơ sẽ là 2 MC 2= MA 2+ MB 2 và bài toán còn cho tam giác ABC
vuông tại C nên dữ kiện này đợc dịch sang ngôn ngữ véctơ là CA . CB =0.
Qua các ví dụ trên chúng ta một phần nào biết cách chuyển đổi ngôn
ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ. Tuy nhiên một dữ kiện hình học
tổng hợp có thể chuyển đổi tơng đơng với nhiều hệ thức véctơ khác nhau. Do
12


Khoá luận tốt nghiệp
đó tuỳ vào mỗi bài toán cụ thể mà ta có sự chuyển đổi thích hợp sao cho với
sự chuyển đổi này bài toán sẽ đợc giải quyết dễ dàng và chính xác nhất.
Ví dụ: Cho một nửa đờng tròn đờng kính AB=2R. Gọi C là một điểm
chuyển động trên nửa đờng tròn. Trên tia đối của tia CA lấy một điểm D sao
cho CD= CA. Tìm quỹ tích điểm D.
- Để giải bài toán này trớc hết ta chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng
hợp về ngôn ngữ véctơ. Đó là AB=2R sẽ tơng đơng với | AB | =2R hoặc AB 2=
4R2, C là một điểm chuyển động trên nửa đờng tròn đờng kính AB chuyển
đổi sang ngôn ngữ véctơ sẽ là:
2

2
2
CA . CB =0 hoặc BC + AC = AB .
Bài toán còn cho CD=CA hay C là trung điểm của AD đợc chuyển đổi sang
ngôn ngữ véctơ là:
DC = CA hay DC =

1
1
DA hoặc là BC = ( BD + BA ).
2
2

Tuy nhiên theo yêu cầu của bài toán là tìm quĩ tích của điểm D nên ta tìm
mối liên hệ giữa điểm D với một điểm cố định nào đó, ở đây là A và B. Nhìn
vào sự chuyển đổi trên ta nên lựa chọn sự chuyển đổi phù hợp đó là giả thiết
của bài toán cho C là trung điểm của đoạn AD ta sẽ dịch sang ngôn ngữ
1

véctơ bởi hệ thức BC = ( BD + BA ).
2
Từ đó ta giải bài toán nh sau:
1

Từ BC = ( BD + BA )
2
BD =2 BC - BA = BC + AC
BD 2= BC 2+ AC 2+2 BC . AC
Vì theo giả thiết của bài toán cho CA . CB =0 BC . AC =0 và
2

2
2
BC + AC = AB
BD 2 = AB 2=4R2.
Do đó ta có mối liên hệ giữa điểm biến thiên D với điểm cố định B bằng một
hệ thức BD 2=4R2.
Kết luận: Quỹ tích điểm D là nửa đờng tròn tâm B bán kính bằng 2R (Vì
C chạy trên nửa đờng tròn).

13


Khoá luận tốt nghiệp
Sau khi phiên dịch bài toán quỹ tích từ ngôn ngữ hình học tổng hợp
sang ngôn ngữ véctơ một cách phù hợp thì bớc tiiếp theo là ta phải giải bài
toán trên ngôn ngữ véctơ để đa bài toán quỹ tích về các dạng quỹ tích cơ
bản . Từ yêu cầu đó ta phải nắm vững các phép toán véctơ và các tính chất
của phép toán véctơ, ngoài ra ta cần nắm vững đợc các dạng của quỹ tích cơ
bản quen thuộc nh : Quỹ tích là đờng thẳng,quỹ tích là đờng tròn. Khi đó từ
cácc hệ thức véctơ đã đợc chuyển đổi chúng ta phải bằng kỹ năng toán học
của mình biến đổi các hệ thức véctơ đã đợc phiên dịch về hệ thức véctơ cơ
bản của các dạng quỹ tích cơ bản.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm M thoả mãn đẳng thức:
MA2+MB2=2MC2
Bớc 1:Phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng
hợp sang ngôn ngữ véctơ là MA 2+ MB 2=2 MC 2
Bớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ đã đợc phiên dịch đó qua các
phép biến đổi véctơ. Nếu nhìn bài toán đã cho với 4 điểm M,A,B,C thì ta sẽ
không giải bài toán bằng phơng pháp véctơ đợc mà phải xét bài toán với
những điểm đặc biệt nào đó có thể liên quan đến tam giác ABC. Chẳng hạn

nh trọng tâm G, tâm đờng tròn ngoại tiếp O, trực tâm, tâm đờng tròn nội
tiếp.vv... Từ đó ta có thể giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ nh sau:
Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Khi đó: OA = OB = OC =R. Trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
Mặt khác: MA 2=( OM - OA )2
2
2
MB =( OM - OB )
2
2
MC =( OM - OC )
2
2
2
Từ :
MA + MB =2 MC
( OM - OA )2+( OM - OB )2=2( OM - OC )2
2 OM ( OA + OB + OC -3 OC )=0
OM ( OA + OB + OC -3 OC )=0 (1)
Mà ta có tổng OA + OB + OC nên ta phải nghĩ ngay đến một điểm đặc biệt
của tam giác ABC đó là trọng tâm G. Vì OA + OB + OC =3 OG .
Do đó :
14


Khoá luận tốt nghiệp
(1) OM (3 OG -3 OC )=0
3 OM . CG =0
OM . CG =0

OMCG.

Vậy quỹ tích điểm M là đờng thẳng vuông góc với trung tuyến của tam giác
ABC vẽ từ đỉnh C và đi qua tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cuối cùng là sau khi giải đợc bài toán trên ngôn ngữ véctơ để đa bài toán về
dạng quỹ tích cơ bản,ta phải chuyển cá kết luận véctơ sang tính chất hình
học tổng hợp tơng ứng.
Ví dụ: AM . BC =0 trong đó M là điểm biến thiên A,B,C là các điểm cố
định thì quỹ tích điểm M là đờng thẳng đi qua A và vuông góc với đờng
thẳng BC.
Hoặc OM 2=k2 trong đó O là một điểm cố định, k là hằng số. Khi đó quỹ tích
điểm M là đờng tròn tâm O, bán kính k .
Hoặc MA =k MB trong đó A và B là hai điểm cố định, k là một số thực thì
quỹ tích điểm M là đờng thẳng AB.
2.3.1 Một số ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB cố định.Gọi C là 1 điểm
chuyển động trên đờng tròn (O) .Tìm quỹ tích tâm I của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác OAC.
Giải:
Bớc1: Phiên dịch các dữ kiện của bài toán
từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang
ngôn ngữ véctơ . Từ O tâm của đờng
tròn đờng kính AB và C là một điểm
chuyển động trên đờng tròn ta chuyển
đổi sang ngôn ngữ véctơ sẽ đợc: OA = BO
hay BO =

1
2
2

2
BA , AC . CB =0 hoặc CA + CB = AB
2

và I là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAC
nên phiên dịch sang ngôn ngữ véctơ là:
| IA | =| IO | =| IC |

15


Khoá luận tốt nghiệp
Bớc 2:

Giải bài toán trên ngôn ngữ véctơ
1

Vì BO = BA mà A, B cố định nên
2
O là một điểm cố định .
Mặt khác : | IA | =| IO |
Bớc 3: Từ | IA | =| IO | và A và O là hai điểm cố định ta kết luận tập hợp hay
quỹ tích điểm I là đờng trung trực d của đoạn thẳng OA
Ví dụ 2: Cho đờng tròn tâm(O,R) và một dây cung BC cố định., A là điểm
di động trên cung lớn BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC
Giải:
Bớc 1: Phiên dịch các dữ kiện của bài toán
từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ.
Bài toán đã cho A, B, C là 3 điểm thuộcđờng
tròn tâm O bán kính R nên ta chuyển sang

ngôn ngữ véctơ là:
| OA | =| OB | =| OC |= R
2
2
2
2
hay
OA = OB = OC = R
G là trọng tâm của tam giác ABC ta chuyển sang ngôn ngữ véctơ là
GA + GB + GC = 0
Bớc 2:
Bằng kĩ năng toán học và sử dụng các hệ thức véctơ đã đợc
chuyển đổi ta sẽ giải bài toán quỹ tích này bằng phơng pháp véctơ. Cụ thể:
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó :
MG =

1
MA
3

Từ G kẻ GK// AO (KOM)
Vì GK//AO nên ta đợc
MG
MA

=

MK
MO

=

KG
OA

=

1
3

Vì B, C là hai điểm cố định nên trung
điểm của đoạn thẳng BC cũng là điểm cố định
M là điểm cố định.
1

Mặt khác: MK = MO và M, O là hai điểm
3
cố định nên K là điểm cố định.

16


Khoá luận tốt nghiệp
Ta lại có:
1
OA
3
1
1
R

KG 2= OA 2= R2=( )2
9
9
3
KG =

Bớc 3: Kết luận tập hợp điểm G là đờng tròn tâm K bán kính

R
.
3

Ví dụ 3: Gọi A là một điểm cố định nằm trong đờng tròn (O, R) và M là
một điểm chuyển động trên đờng tròn đó. Tìm quỹ tích trung điểm I của
đoạn AM.
Giải:
Bớc 1:
Chuyển dữ kiện của bài toán từ ngôn
ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ
véctơ :
M là một điểm nằm trên đờng tròn ta
chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơlà: | MO | =R
hay MO 2= R2
I là trung điểm của AM nên chuyển đổi sang
ngôn ngữ véctơ ta đợc IA + IM = 0
Bớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ .
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AO
KA =

1

OA .
2

Vì A và O là hai điểm cố định nên K cũng là một điểm cố định.
Từ đó :
1
1
OA - MA .
2
2
1
1
KI = ( OA - MA )= MO
2
2
1
1
R
KI 2= MO 2= R2=( )2.
4
4
2
KI = KA + AI =

R

Bớc 3: KI 2 =( )2 và K là một điểm cố định ta kết luận quỹ tích điểm I là đ2
ờng tròn tâm K bán kính

R

.
2

17


Khoá luận tốt nghiệp

II. Biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình.

Một bài toán quỹ tích ở trong chơng trình phổ thông muốn giải đợc đều
phải đa về các dạng quỹ tích cơ bản. Để có thể giải đợc bài toán quỹ tích
bằng phơng pháp véctơ ta phải nắm đợc các quỹ tích cơ bản ở các dạng
véctơ. Do đó biện pháp đầu tiên là:
II.1.Biện pháp 1:
Chuyển các bài toán quỹ tích cơ bản ở ngôn ngữ hình học tổng hợp
sang ngôn ngữ véctơ.
1.1. Quỹ tích là đờng thẳng.
1.1.1.Tập hợp điểm M là đờng thẳng AB.
Khi đó theo ngôn ngữ hình học tổng hợp là: Với mọi điểm M ba điểm
A, B , M tổng hợp thẳng hàng phiên dịch sang ng
Khi đó theo ngôn ngữ hình học tổng hợp là: Với mọi điểm M ba điểm A, B ,
M tổng hợp thẳng hàng phiên dịch sang ngôn ngữ véctơ sẽ là:
AM =k AB hoặc OM =x OA +y OB ;Với O và x+y=1.
1.1.2. Tập hợp điểm M là đoạn thẳng AB.
Khi đó AM =k AB với 0k1 hoặc O ta có OM =x OA +y OB ;x+y=1
và 0 x,y
1.1.3 Tập hợp điểm M là tia OA.
Khi đó OM =t OA với t 0.
1.1.4. Quỹ tích những điểm M cách đều hai điểm cố

định A và B là đờng trung trực của đoạn thẳng AB.
Với ngôn ngữ hình học tổng hợp tổng hợp
quỹ tích này đợc diễn đạt nh sau:
A và B là hai điểm cố định
và MA=MB. Khi đó.
Quỹ tích M là đờng trung trực của đoạn thẳng AB.
Quỹ tích này đợc chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ là
A và B là hai điểm cố định và MA = OM MA 2= MB 2.
Khi đó quỹ tích của điểm M là đờng trung trực của đoạn thẳng AB

18


Khoá luận tốt nghiệp
Ví dụ 1: Cho một góc vuông

xOy và một điểm A cố định nằm

trong góc đó. Một góc vuông có đỉnh là A và quay quanh A cắt Ox tại B và
cắt
Oy
tại
C. Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng BC
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC khi đó độ dài
MA = MB = MC (*)
Mặt khác: tam giác BOC vuông tại O và M là
trung điểm của BC nên MB = MC = MO (**)
Từ (*) và (**) ta có: MA = MO mà A và O là
Hai điểm cố định nên quỹ tích điểm M là một phần

đờng trung trực của đoạn thẳng OA.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A và B cố định. Tìm quỹ tích tâm O của những đờng
tròn mà từ A và B ta có thể vẽ đợc hai tiếp tuyến AM và BN bằng nhau
(M và N là các tiếp điểm).
Hớng dẫn giải:
Trớc hết ta phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học
tổn hợp sang ngôn ngữ véctơ. Vì AM và BN là các tiếp tuyến của đờng tròn
và M, N là các tiếp điểm nên AM OM và BN ON. Ta chuyển sang ngôn
ngữ véctơ sẽ đợc kết quả tơng đơng là MO = NO và MA . MO =0 và ON . NB
=0.
Tiếp theo bằng các hệ thức véctơ vừa đợc
phiên dịch ta tìm mối liên hệ giữa điểm biến thiên
là tâm O và các điểm cố định là A và B.
Ta có:
OA = OM + MA
OA 2= OM 2+ MA 2+2 OM . MA .
Vì OM . MA =0 nên OA 2= OM 2+ MA 2.
Tơng tự: OB = ON + NB
OB 2= ON 2+ NB 2+2 ON . NB
Vì ON . NB =0 nên OB 2= ON 2+ NB 2.
Mặt khác:
19


Khoá luận tốt nghiệp
OM = ON

OM 2= ON 2
NB =

MA

NB = MA 2
OM 2+ MA 2= ON 2+ NB 2 OA 2= OB 2 OA=OB.
2

Bây giờ ta phải chuyển kết quả thu đợc sang tính chất hình học tơng ứng. Đó
là quỹ tích tâm O là đờng trung trực của đoạn thẳng AB.
1.1.5. Quỹ tích những điểm M cách đều hai cạnh Ox và Oy của góc xOy là
đờng phân giác Oz của góc xOy .
Quỹ tích này đợc cho đới dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp là:
Kẻ MH vuông góc với Oy và MK vuông góc với Ox, H và K là hai điểm
lần lợt thuộc Oy và Ox. Khi đó tập hợp điểm M thoã mãn MH=MK là đờng
phân giác Oz của góc xOy .
Quỹ tích đó đợc chuyển sang ngôn ngữ véctơ là:
MH . OH =0 và MK . OK =0 và MH = MK
(KOx, HOy).
Quỹ tích của điểm M là đờng
phân giác Oz của góc xOy .
Ví dụ: Cho hai đờng thẳng a và b cắt nhau tại A.
Tìm quỹ tích tâm O của các đờng tròn tiếp xúc
với hai đờng thẳng đó.
Giải:
Gọi M và N lần lợt là các tiếp điểm của
đờng thẳng a và đờng thẳng b với đờng tròn (O).
Khi đó ta có:
OM = ON và OM . AM =0 và ON . NA =0
do đó theo quỹ tích cơ bản của đờng phân giác
ta kết luận quỹ tích tâm O là các đơng phân giác
của góc tạo bởi hai đờng thẳng a và b.

20


Khoá luận tốt nghiệp
1.1.6. Quỹ tích những điểm M cách đều hai đờng thẳng song song d1 và d2 là
đờng thẳng xy song song với d1 và d2 đồng thời cách đều hai đờng thẳng d1
và d2.
Quỹ tích này diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp là: Gọi H vầ K lần lợt là chân đờng vuông góc của M tới d1 và d2 và điểm M thoã mãn:
MH d1, MK d2 và MH = MK.
Quỹ tích của điểm M là đờng thẳng xy
song song với d1 và d2 đồng thời cách đều d1 và d2.
Nhng khi dịch sang ngôn ngữ véctơ ta đợc:
Gọi P và Q lần lợt là các điểm thuộc d1 và d2
khác hai điểm H và K. Điểm M thoã mãn điều kiện
MH . HP = 0 và MK . KQ = 0 và MH = MK
Quĩ tích của điểm M là đờng thẳng xy song song với d1 và d2 đong thời

cách đều d1 và d2.
Ví dụ1: Cho hai đờng thẳng d1 và d2 song song với nhau. Gọi A và B là hai
điểm di động trên d1 và d2. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Giải:
Dựng IH vuông góc với đờng thẳng d1 và
IK vuông góc với đờng thẳng d2. Trong đó:
H và K lần lợt thuộc đờng thẳng d1 và d2.
Khi đó IH . HA =0 và IK . BK =0.
Ta lại có IHA= IKB IH=IK hay IH = IK . Do đó quỹ tích trung
điểm I là đờng thẳng d song song với d1 và d2 đồng thời cách đều hai đờng
thẳng d1 và d2.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, đỉnh A của tam giác di

chuyển trên đờng thẳng d cố định song song với BC. Tìm quỹ tích trọng tâm
G của tam giác ABC
Giải:
Gọi M là trung điểm
Của đoạn thẳng BC
G AM và AG =

2
AM hay
3

AG =2 GM .

21


Khoá luận tốt nghiệp
Gọi N là trung điểm của AG thì:
AN = NG = GM .
Từ điểm A dựng AH vuông góc
với BC , H BC thì AH =h không đổi.
Lần lợt qua G và N ta dựng các đờng thẳng d2 và d1 cùng song song với BC
lần lợt cắt AH tại K và I. Khi đó:
AI = IK và IK = KH
AI = IK = KH =


AI =

1

AH .
3
1

= KH = h.
3
Nói cách khác: Bốn đờng thẳng d,d1,d2và BC là những đờng thẳng song song
IK

và cách đều nhau một khoảng

1
h không đổi.
3

Do vậy, quỹ tích điểm G là đờng thẳng d2 song song với BC và cách BC một
khoảng không đổi

1
h ( h là khoảng cách của đờng thẳng d và đờng thẳng
3

BC).
1.1.7.Quỹ tích những điểm M cách đờng thẳng xy một khoảng không đổi d là
hai đờng thẳng là hai đờng thẳng d1 và d2 song song với xy và cách đều xy
một khoảng d không đổi.
Ngôn ngữ hình học tổng hợp của dạng quỹ tích này là:
MH xy và MH=d
Nếu điểm M thoã
mãn điều kiện đó

thì quỹ tích của điểm M
là hai đờng thẳng d1 và d2
song song với nhau và song song
với đờng thẳng xy đồng thời cách
đều xy một khoảng không đổi d.
ta chuyển dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp của dạng quỹ tích trên sang
ngôn ngữ véctơ là:
Gọi N là điểm bất kỳ thuộc đờng thẳng xy, khi đó điểm M thoã mãn:

22


Khoá luận tốt nghiệp

MH .

HN =0 và

MH

= d. Thì quỹ tích những điểm M thoã mãn điều

kiện đó là hai đờng thẳng d1và d2 cùng song song với xy và cách đều xy một
khoảng không đổi d.
Ví dụ:
Tìm quỹ tích tâm của các đờng
tròn có bán kính R không đổi và
tiếp xúc đờng thẳng cho trớc.
Giải:
Gọi O là tâm của đờng tròn có

bán kính không đổi và với đờng thẳng tiếp xúc
với đờng thẳng xy cho trớc. Gọi P là tiếp điểm
của đờng thẳng xy với đờng tròn và Q là một
điểm bất kỳ thuộc đờng thẳng xy. Khi đó ta có
OP . PQ =0 và
OP =R.
Vậy quỹ tích tâm O của đờng tròn là hai đờng thẳng d và d1 song song với xy
và cách xy một khoảng không đổi R.
1.1.8.Quỹ tích những điểm M cách đều
hai đờng thẳng giao nhau d1 và d2 là hai
đờng thẳng 1 và 2 vuông góc với nhau
và là phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng d1 và d2.
Quỹ tích cơ bản này cho dới dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp là:
Quỹ tích điểm M thoã mãn d1 d2 =O
MH d1, MK d2 và MH=MK
Là hai đờng thẳng 1 và 2 với 1 và 2 là
hai đờng phân giác vuông góc với nhau của
các góc lập bởi d1 và d2.
Bài toán quỹ tích cơ bản cho dới dạng
ngôn ngữ hình học tổng hợp đợc phiên
dịch sang dạng ngôn ngữ véctơ là:
Tìm quỹ tích những điểm M thoã mãn điều kiện
23


Khoá luận tốt nghiệp
d1 d2 =O, MH . OH =0, MK . OK =0
MK = MH . Khi đó quỹ tích điểm M thoã mãn điều kiện trên là hai đờng
thẳng 1 và 2 , trong đó 1 và 2 là hai đờng phân giác vuông góc với nhau
của các góc tạo bởi d1 và d2.

2.Quỹ tích những điểm M là tam giác ABC .
với O, ta có OM =x OA +y OB +z OC ;x+y+z=1; 0 x,y,z .
3.Quỹ tích là đờng tròn .
Một loại quỹ tích cơ bản nữa vô cùng quan trọng cho quá trình giải các bài
toán quỹ tích nói chung và các bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ nói
riêng. Nhng để sử dụng quỹ tích cơ bản này vào quy trình giải các bài toán
quỹ tích bắng phơng pháp véctơ thì ta phải chuyển đổi ngôn ngữ hình học
tổng hợp của loại quỹ tích cơ bản này sang ngôn ngữ véctơ.
Ngôn ngữ hình học tổng hợp của dạng quỹ tích cơ bản này là: Quỹ tích của
một điểm chuyển động cách một điểm cố định cho trớc một khoảng cách cho
trớc là đờng tròn có tâm là điểm cố định cho trớc và bán kính là khoảng cách
cho trớc .
(Trích sách Quỹ tích Hứa Thuần Phỏng 1994 )
Ta chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học
tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ của quỹ
tích này nh sau:
Nếu gọi điểm cố định cho trớc là điểm
O.
Điểm chuyển động là M và khoảng cách
cho trớc là R.
Thì dạng véctơ của quỹ tích cơ bản này
nh sau:
Nếu điểm M thoã mãn OM = R thì
tập hợp điểm M
đờng tròn tâm O bán kính R. Ngôn
ngữ hình học tổng
hợp của quỹ tích cơ bản đờng tròn này
còn có thể
24

Khoá luận tốt nghiệp
hiện dới dạng khác là: Quỹ tích đỉnh của một góc vuông chuyển động có
hai cạnh góc vuông luôn luôn đi qua haiđiểm cố định cho trớc là một đờng
tròn có đờng kính bằng khoảng cách giữa hai điểm cố định ấy
(Trích sách Quỹ tích Hứa Thuần Phỏng 1994)
Ta gọi hai điểm cố định cho trớclà A và B, và điểm chuyển động là M
thì ta chuyển đổi dạng quỹ tích đó sangngôn ngữ véctơ là:
Nếu MA . MB =0 thì quỹ tích của điểm M là đờng tròn đờng kính AB
Ví du 1: Một đoạn thẳng AP có đầu A là một điểm cố định nằm trong đờng
tròn tâm O bán kính R cho trớc.
Tìm quỹ tích trung điểm của AP khi P chuyển động trên đờng tròn tâm O.
Giải:
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Khi đó
Ta cần tìm quỹ tích của điểm M.
Ta giải bài toán này theo phơng pháp véctơ. Cụ thể :
Bớc 1: Chuiyển đổi các giả thiết kết luận bài toán
sang ngôn ngữ véctơ.
- Nối O với P thì ta có : | OP | = R
Gọi N là trung điểm của đoạn OA khi đó
N là điểm cố định vì A và O là hai điểm cố định cho trớc
Bớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ.
1

1

Ta có: MN = MA + AN = PA + AO
2
2
= -

1
1
AP + AO
2
2

1
1
( AO - AP ) = PO
2
2
1
1
| MN | = | PO | = R.
2
2

=

Bớc 3: Dịch kết luận véctơ sang
tính chất hình học tơng ứng
1

Ta có | MN | = R mà N là điểm cố định nên theo quỹ tích của
2
điểm M là đờng tròn tâm N bán kính

1
R cho trớc.

2

25