Phương pháp lí thuyết nhóm trong vật lí lượng tử

Trờng Đại học Vinh
khoa vật lý

------- ------

nghiên cứu thiết kế mạch khuếch đại công
suất
dùng tranzito lỡng cực

khoá luận tốt nghiệp đại học
ngành cử nhân khoa học vật lý

Vinh, tháng 05/2006
-------------

Lời cảm ơn
Đầu tiên em chân thành cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý đã
tạo điều kiện và cho em đợc làm quen với việc nghiên cứu khoa học. Cám
ơn các Thầy Cô giáo trong Khoa đã bồi dỡng kiến thức cho em trong thời
gian học tập ở Khoa Vật lý.
1


Để hoàn thành Luận văn này em xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy
giáo hớng dẫn TS. Võ Thanh Cơng đã giúp em có đợc ý tởng của luận văn
và đã giúp em hoàn thành luận văn này. Cũng qua đây em xin chân thành
cảm ơn Thầy giáo phản biện TS. Đinh Phan Khôi về những ý kiến đóng
góp bổ ích cho luận văn. Em xin chân thành cám ơn các Thầy Cô giáo tổ
Vật lý Đại cơng về những ý kiến góp ý cho luận văn. Xin chân thành cám
ơn các bạn sinh viên trong Khoa vật lý đã động viên cổ vũ em hoàn thành
luận văn này

Tuy nhiên đã cố gắng nhng là lần đầu tiên làm đề tài chắc chắn
Luận văn không tránh khỏi những sai sót, em rất mong đợc sự góp ý những
ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn.
Chân thành cảm ơn!

2


Phần Mở đầu
Vật lý học ra đời từ yêu cầu đợc tìm hiểu và cải biến thế giới của con
ngời. Quá trình phát triển của vật lí học trải qua nhiều giai đoạn thăng trầm.
Vật lí học lợng tử ra đời là một bớc ngoặt làm thay đổi nhận thức, quan niệm
cũ về vật chất giúp các nhà nghiên cứu hiểu rõ bản chất của các hiện tợng lí
thú mà vật lí cổ điển không lí giải đợc nh tính bền của nguyên tử, quy luật bức
xạ của vật đen... Từ đó dẫn đến việc xây dựng một khái niệm mới về l ợng tử
đó là bớc đầu của việc hình thành cơ học lợng tử.
Bộ môn cơ học lợng tử là cơ sở của lí thuyết vật lý học vi mô, là một
học thuyết khó và nó là giai đoạn chuyển tiếp sang điện động lực học lợng tử,
lí thuyết các hạt cơ bản và các trờng lợng tử. Để hiểu cơ học lợng tử cần phải
trang bị một số kiến thức toán học tơng đối rộng, nh các kiến thức về hàm đặc
biệt, đại số, lí thuyết nhóm và chủ yếu là biểu diễn nhóm.
Khi nghiên cứu các đại lợng vật lý, chúng ta gặp phải một tính chất rất đặc
biệt - Tính chất đối xứng. Cụ thể hơn đó là:
- Tính chất đối xứng của không gian và thời gian trong các hệ quy chiếu
quán tính dẫn đến những định luật bảo toàn quen thuộc nh định luật bảo toàn
năng lợng, xung lợng, mômen xung lợng...
- Tính chất đối xứng của các cấu trúc vật chất nh tinh thể, phân tử, các hạt
cơ bản, dẫn đến những phơng pháp phân loại các mức năng lợng, siêu đố xứng
về khối lợng... hay một số đại lợng khác.
Tính chất đối xứng của các đại lợng tự nhiên có thể " tính toán" bằng một

bộ môn toán học trừu tợng gọi là lý thuyết nhóm. Nói chung lý thuyết nhóm
đã cung cấp cho vật lý học một phơng pháp gọn, chính xác, bổ sung cho các
phơng pháp khác. Trong một số bài toán đặc biệt, có thể nói rằng một số mặt
của vấn đề chỉ có thể giải quyết bằng công cụ lý thuyêt nhóm.
Do đó, với sự phát triển hiện nay của vật lý học, phơng pháp lý thuyết
nhóm dần dần trở thành một phơng pháp khá thông dụng, nói chung không thể
thiếu đợc.
Chính vì lý do đó mà tôi chọn đề tài này nhằm mục đích góp một phần
nhỏ giới thiệu cho bạn đọc những điểm cơ sở nhất của lý thuyết nhóm và lý
thuyết biểu diễn nhóm, cần thiết cho các lĩnh vực ứng dụng quan trọng nhất
trong vật lý học lợng tử.
Với mục đích và lí do nh đã nêu trên, luận văn ngoài phần mở đầu và
kết luận đợc chia làm 3 chơng:
3


Chơng I: Lý thuyết nhóm
ở chơng này giới thiệu đại cơng về nhóm và nêu một số nhóm đặc trng: Nhóm hình học, nhóm ma trận, nhóm đối xứng các phân tử, nhóm đối
xứng SN, tính đồng cấu và đẳng cấu giữa các nhóm.
Chơng II : Lý thuyết biểu diễn nhóm.
Trong chơng này nêu các khái niệm cơ bản về biểu diễn nhóm và cách
giải quyết các bài toán của lý thuyết nhóm với 2 bổ đề của Schur.
Chơng III: Một số bài toán vật lý với phơng pháp nhóm.
Tổng quát phơng pháp giải một bài toán bằng lý thuyết nhóm, quy tắc xác
định hàm sóng Spin và nêu nguyên lý sắp xếp các mức năng lợng của tập hợp
các electron. Bài toán khảo sát sự bức xạ của sóng điên từ cũng đợc đề cập tới
trong chơng III.
Bản luận văn này đã tổng quan đợc một số vấn đề cơ bản của lý thuyết
nhóm, lý thuyết biểu diễn nhóm và phơng pháp giải bài toán bằng lý thuyết
này. Hy vọng nó là tài liệu tham khảo có ích cho sinh viên khoa vật lý. Đó

cũng là bớc đầu để cho tác giả luận văn thực tập nghiên cứu và trình bày một
vấn đề khoa học. Nếu có điều kiện thì đề tài sẽ đợc phát triển thêm.
Do sự hạn chế của thời gian và trình độ, bản luận văn này không thể
tránh khỏi những sai sót. Tác giả luận văn rất mong đợc sự góp ý của các thầy
cô giáo, các anh chị và các bạn sinh viên để luận văn này đợc hoàn thiện hơn.

Chơng I
Lý thuyết nhóm
1.1. Đại cơng về nhóm
Định nghĩa 1: Cho một tập hợp G, trong đó có xác định một luật hợp
thành nào đó gọi là phép nhân, cho phép lập từ mỗi cặp phần tử x, y thuộc G
một đại lợng xác định nào đó gọi là tích, kí hiệu là xy.
Nếu phép nhân thỏa mãn 4 tính chất sau:
1. Tính kín: với mọi phần tử bất kỳ x, y thuộc G: x, y G kết quả xy
cũng thuộc G: xy G.
2. Tính kết hợp: x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z G.
4


3. Tính có đơn vị: Tồn tại một phần tử e G gọi là đơn vị , có tính chất
: ex = xe = x

với mọi x G.

4. Tính có nghịch đảo: Với mọi phần tử x G, có tồn tại một phần tử
xác định x-1 G, có tính chất:
xx-1= x-1x =e với mọi x G.
Tập hợp G nh vậy gọi là một nhóm.
Định nghĩa 2: Cho một nhóm G nào đó. H là một tập mà mọi phần tử
của nó cũng là phần tử của G. Nếu H lập thành một nhóm đối với phép nhân

của nhóm G thì H đợc gọi là nhóm con của G.
Từ định nghĩa ta nhận thấy, phần tử đơn vị và bản thân nhóm G là
những nhóm con của G. Hai nhóm con này gọi là nhóm con tầm thờng.
Những nhóm con không tầm thờng gọi là nhóm con thực sự.
Định nghĩa 3: Cho G là một nhóm. x và y là hai phần tử bất kỳ của G:
x, y G. Nếu xy = yx thì nhóm G gọi là nhóm giao hoán hay còn gọi là nhóm
Abel.
Định nghĩa 4: Cho G là một nhóm, số phần tử của nhóm gọi là cấp của
nhóm. Cấp của nhóm là một số hữu hạn nhóm G gọi là một nhóm hữu hạn.
Một số ví dụ về nhóm
1.1.1 Tập các số nguyên N lập thành một nhóm với phép nhân nhóm là

phép cộng, phần tử đơn vị là số 0. Nhóm N là một nhóm Abel vô hạn.
1.1.2 Nhóm Zn . Tập tất cả các nghiệm của căn bậc n cũng lập thành
nhóm với phép nhân số phức thông thờng. Phần tử đơn vị là số 1. Nhóm Zn
=Z(1)n là nhóm tuần hoàn điển hình, cấp n.
Nhóm Z(m)n gồm n nhóm tuần hoàn, các nhóm Z(1)n và Z(n-1)n là đồng
nhất.
Ví dụ: Căn bậc 4 của 1 có các giá trị:
e= z0 = 1; z1 = i; z2 = - 1; z3 = - i
lập thành nhóm tuần hoàn, có phần tử đơn vị là 1.
1. 2.

Các nhóm hình học

1. 2 .1 Tập các phép chuyển động tịnh tiến cũng lập thành một nhóm.
Phép nhân nhóm là phép dịch chuyển liên tiếp. Phần tử đơn vị là phép không
dịch chuyển.
1. 2. 2 Nhóm tuần hoàn Cn:
5

Ký hiệu Cn là tập gồm các phần tử Cni với n và i là các số nguyên dơng
và i n. Nếu phép nhân giữa hai phần tử của Cn là: Cni Cnj = Cni+j Tập Cn cũng
lập thành một nhóm. Cấp của nhóm bằng n. Ví dụ với n = 4 ta có:
C4 ={ C40 = e, C41, C42, C43} (C44 = C40)
Về mặt hình học nhóm Cn là nhóm gồm tất cả các phép quay hình tháp
đều đáy có n cạnh trùng với chính nó.
Tập hợp Cn = { e, cn, c2n, . cn-1n} Với cn là phép quay trong mặt phẳng với
góc

2
làm thành một nhóm.
n

- Phép nhân là phép thực hiện liên tiếp các phép quay trong mặt phẳng.

- Phần tử nghịch đảo ( Ckn)-1 = Cn-kn.
Nhóm này là một nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n.
Tập hợp C4 ={ e, C4, C24,C34}
(C44 = e) làm thành một nhóm giao
hoán. Hai phần tử C4 và C34 là nghịch đảo của nhau do C4 C34 = C44 = e. Phần
tử C24 là nghịch đảo của chính nó.
1. 2. 3 Nhóm Ci: ( Nhóm nghịch đảo không gian)
Ta có tập hợp Ci = {e, I }. Với I là phép nghịch đảo không gian:
Ir = -r.
Rõ ràng tập hợp trên làm thành một nhóm. Phép nhân nhóm là phép
thực hiện liên tiếp các phép biến đổi của nhóm. Cụ thể là phép biến đổi đơn vị
e và phép nghịch đảo không gian I. Nhóm này là nhóm hữu hạn, tuần hoàn,
cấp 2.

Ta có, nếu thực hiện liên tiếp hai phép nghịch đảo không gian I thì lại
trở về giá trị cũ:
I2r = r hay I 2 = e. (e là phép biến đổi để nguyên mọi điểm của không
gian) và I-1 = I.
Nhóm Ci gọi là nhóm nghịch đảo không gian.
1. 2. 4 Nhóm Cs: ( Nhóm phản chiếu)
Tập hợp Cs = {e, }. Với là phép phản chiếu qua một mặt phẳng nào
đó.
Nhóm Cs cũng là một nhóm hữu hạn, tuần hoàn, cấp 2.
Phép nhân ở đây cũng hiểu theo nghĩa thực hiện liên tiếp các phép chiếu
qua gơng. Phép biến đổi đơn vị là phép tự phản chiếu 2 = e.
1.3 Nhóm ma trận GL(n)

6


Tập hợp tất cả các ma trận cấp n không kì dị xác định trên C với phép
nhân nhóm là phép nhân ma trận thông thờng có các tính chất sau:
- Phần tử đơn vị là ma trận đơn vị cấp n.
- Phép nhân ma trận là kín: Tích 2 ma trận cấp n cũng là ma trận cấp n.
- Phép nhân có tính chất kết hợp: (AB)C = A(BC) ( mọi A, B, C)
- Trừ các ma trận có định thức bằng 0 (ma trận kì dị), tất cả các ma trận
cấp n đều có nghịch đảo, tính theo phơng pháp thông thờng cũng là một ma
trận cấp n.
Nh vậy, tập hợp tất cả các ma trận cấp n xác định trên C và có định thức
khác 0 làm thành một nhóm liên tục. Nhóm GL(n) là nhóm không giao hoán.
Các nhóm con của nhóm GL(n) là các nhóm SL(n), O(n), U(n) ...
SL(n) là tập các ma trận cấp n không kỳ dị có định thức bằng 1.
O(n) là tập các ma trận trực giao với nhau.
U(n) là tập các ma trận unita cấp n ( U = U+)

1.3.1 Nhóm quay trong không gian ba chiều O(3).
Tập các phép quay trong không gian Euclide 3 chiều cũng lập thành nhóm.
Đây là một nhóm rất thông dụng trong nhiều lĩnh vực vật lý nh: vật lý nguyên
tử , vật lý hạt nhân ... và là nhóm biểu diễn đại lợng môment động lợng. Ta
bắt đầu thực hiện nghiên cứu các phép quay trong mặt phẳng xOy quanh gốc
toạ độ, tạo thành nhóm SO(2). Đó cũng chính là nhóm quay không gian 3
chiều quanh trục OZ cố định. Mỗi thực hiện liên tiếp hai phép quay với góc
1 và 2 là phép nhân nhóm nói trên:
I O(1 ) O(2) = O(1+ 2)
Phần tử đơn vị là phép không quay =0. Phần tử nghịch đảo là phép quay trở
lại =- . Tất cả các phép quay này giao hoán với nhau nên SO(2) là một
nhóm giao hoán. Mọi yếu tố của nhóm này đều hoàn toàn xác định đợc bởi
giá trị thông số thay đổi liên tục từ 0 đến 2. Do đó SO(2) là nhóm liên tục




một thông số. Trong phép quay O() là các vectơ cơ sở i và j chuyển thành








các vectơ đơn vị mới i và j liên hệ với i và j bởi hệ thức:


i = i cos +

j = - i sin +


j sin

j cos

Hai công thức này có thể viết dới dạng ma trận nh sau:
7






cos

( i , j ) = ( i , j )
sin
Vậy ma trận của phép biến đổi là:

cos

sin

cos

sin

O() = sin cos


Dễ thử lại rằng ma trận O() là ma trận trực giao
O()OT() = OT()O() = I
có định thức bằng 1: det O() =1
và thoả mãn điều kiện:
O(1)O(2) = O(1+ 2)

Trong phép quay O() vectơ r với các thành phần x và y


r=x i +yj
chuyển thành vectơ với thành phần x' và y'


r = x i + y j



Mặt khác, vì r , i và j thu đợc từ r , i , j sau cùng là một phép



quay cho nên hệ thức giữa r , i và j có dạng giống nh hệ thức giữa r , i


và j cụ thể là

r = x i + y j








Thay vào đây các biểu thức diễn tả i , j theo i , j , ta suy ra
x = x cos + ysin
y = -x sin + ycos
Công thức này còn viết dới dạng ma trận nh sau:

Các phép quay mặt phẳng xOy xung quanh gốc toạ độ O đồng thời cũng
là các phép quay của không gian ba chiều quanh trục Oz. Ký hiệu các vectơ




đơn vị cơ sở không gian Euclide ba chiều là i , j , k , ký hiệu phép quay góc
quanh trục Oz là C(). Phép quay này chuyển các vectơ đơn vị cơ sở nói
trên thành các vectơ đơn vị cơ sở mới sau đây:


i = i cos

j = i sin +

j sin + 0 k


j cos + 0 k
8




k = k

Do đó ma trận của phép quay C() có dạng
cos

Cz = sin
0


sin
cos
0

0

0
1

Tơng tự nh vậy, ma trận của các phép quay góc quanh các trục Ox và
Oy, ký hiệu là
Cx() và Cz() có dạng
0
1

Cx() = 0 cos
0 sin

cos

Cx() = 0
sin


0

sin
cos

0 sin

1
0
0 cos

1.3.2 NHóm SO(3) Xét nhóm quay trong không gian ba chiều SO(3).
Mọi phép quay không gian ba chiều quanh gốc toạ độ O đều có thể thực hiện
dới dạng tổ hợp của ba phép quay liên tiếp sau đây: phép quay góc quanh
trục Oz chuyển các trục toạ độ Ox và Oy thành Ox' và Oy', phép quay góc

quanh trục mới Ox' chuyển các trục mới Oy' và Oz thành Oy'' và Oz'', phép
quay quanh trục mới Oz''. Ba góc , gọi là ba góc Euler. Ký hiệu phép
quay với ba góc Euler , là O( , ). Ma trận phép quay này là tích
của ba ma trận tơng ứng với phép quay quanh các trục Oz, Ox' và Oz'', cụ thể
là:
O(, , ) = Cz() Cx() Cz()
Thay vào đây các biểu thức của Cz(), Cx() và Cz(), ta thu đợc

Các góc và thay đổi từ 0 đến 2, còn góc thay đổi từ 0 đến .
Nhóm SO(3) là nhóm liên tục ba thông số.
9


1.4 Nhóm đối xứng các phân tử:

Các cấu tạo vật chất nh nguyên tử, phân tử, tinh thể nói chung có cấu
hình sắp xếp đều đặn trong không gian và mang những tính chất đối xứng nào
đó.
Chẳng hạn, phân tử OsF8 có 9 hạt nhân, một hạt nhân Os nằm ở tâm
của hình lập phơng, còn 8 hạt nhân F đều nằm ở các đỉnh của hình đó. Nh thế
cấu hình không gian này sẽ không thay đổi khi ta thực hiện những phép quay
hay phép phản chiếu, phép nghịch đảo không gian làm cho hình lập phơng
trùng với chính nó.
Những phép biến đổi này là những phần tử của nhóm O(3) và làm thành
một nhóm gọi là nhóm đối xứng của phân tử Os F8.
Định nghĩa:
Tập hợp tất cả các phần tử của nhóm trực giao 3 chiều O(3) làm cấu
hình hạt nhân trùng với chính nó làm thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng
của phân tử.
Ta hãy nghiên cứu một số ví dụ về

nhóm đối xứng:
1. 4.1 Nhóm Cn: Là nhóm gồm tất cả các
phép quay làm hình tháp đều đáy có n cạnh
trùng với chính nó.
Ví dụ: Phân tử C2 H3Cl3 có cấu hình không
gian sau:
Ta thấy các phân tử H2, Cl2 tơng ứng thuộc
cấu hình không gian hai đờng tròn. Với vị trí
mỗi phân tử trên mỗi đờng tròn của nó cách
đều nhau 1200, nhận đờng thẳng qua hai hạt
nhân C làm trục đối xứng. Nghĩa là khi quay phân tử C2H3Cl3 quanh trục đối
xứng với góc 1200 thì ta nhận đợc phân tử trùng với phân tử ban đầu.
Nh vậy, nhóm này thuộc loại Cn nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n=3 và là
nhóm đối xứng C3.
Trục quay của nhóm kí hiệu là Cn, gọi là trục đối xứng và đợc vẽ thẳng
đứng C3 = g(

2
) = g(120 0)
3

1.4. 2 Nhóm Cnv:
Là nhóm gồm tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm hình tháp đều đáy
có n cạnh trùng với chính nó.
10


Phần tử đối xứng : Một trục Cn và n mặt thẳng đứng cách đều nhau
Ví dụ: Phân tử nớc H2O có nhóm đối xứng gồm các phần tử của nhóm
C2 và 2 mặt phẳng phản chiếu thẳng đứng đi qua trục C2 (là trục qua O và tâm

điểm hai H) và vuông góc với nhau. Nghĩa là một nhóm có 1 trục đối xứng
hạng 2 và 2 mặt đối xứng thẳng đứng .
Nhóm này gọi là nhóm C2v.
Các phần tử của nhóm C2v :
H

C2v ={e, C2, 1, 2}
Nhóm đối xứng của phân tử C2H2Cl2 là cũng là
nhóm C2v
H

H

O

H
C

C

Cl

Cl

Tơng tự, phân tử CH3Cl có nhóm đối xứng gồm một trục hạng 3 và 3
mặt đối xứng thẳng đứng cách đều nhau, mỗi mặt đều đi qua C, Cl và một
nguyên tử H. Nhóm này gọi là nhóm C3v.
1.4. 3 Nhóm Cnh:

Là tích trực tiếp các nhóm: Cnh = Cn Cs

Kí hiệu h là chỉ phép phản chiếu qua mặt phẳng ngang vuông góc với trục Cn
của nhóm Cn. Bản thân mặt phẳng ngang này cũng kí hiệu là h.
Khi n=2p (là số chẵn) có thể chứng minh rằng:
C2p,h = C2p Ci
Ví dụ:
Phân tử C2H2Cl2 có nhóm đối xứng là nhóm C2h, trong đó h là mặt phẳng của
phân tử. Do
C2h = C2 Ci ; Ci ={e, I}
và do C2 I = h

nên ta có: C2h = {e, C2, I, C2I = h)

1.4. 4 Nhóm Dn : Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình lăng trụ đều n
cạnh trùng với chính nó.
Phần tử đối xứng là : Một trục Cn và n trục C2 vuông góc với Cn và cách
đều nhau.
1.4.5 Nhóm Dnh: Là nhóm gồm tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm hình
lăng trụ đều đáy n cạnh trùng với chính nó.
11


Ta có : Dnh = Dn Cs
Phần tử đối xứng: Một trục Cn và n trục C2 vuông góc với Cn và cách đều
nhau. Ngoài ra nhóm này còn có một mặt đối xứng.
Từ các phần tử đối xứng này kéo theo có n mặt đối xứng h tơng ứng đi qua
các trục C2.
Khi n =2p dễ thấy nhóm có chứa phân tử I, ta đợc:
D2p.h = D2p Ci
Ví dụ: Phân tử C2H6 có các trục đối xứng của nhóm D3 và ba mặt phẳng thẳng

đứng t cách đều xen kẽ nhau. Nhóm đối xứng này gọi là D3h
1.4.6 Nhóm T: Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình tứ diện đều
trùng với chính nó.
Phần tử đối xứng: 4 trục C3 đi qua một đỉnh và tâm điểm của mặt đối diện.
3 trục C2 đi qua trung điểm các cạnh đối diện. Nhóm có 12 phần tử.
1.4.7 Nhóm Td: Tập hợp tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm tứ diện đều
trùng với chính nó làm thành một nhóm gọi là nhóm Td . Nhóm có 24 phần tử.
Phần tử đối xứng gồm 4 trục C3 đi qua 1 đỉnh và tâm điểm của mặt đối diện. 3
trục C2 đi qua trung điểm các cạnh đối diện.
6 mặt phản chiếu đi qua 1 cạnh và trung điểm của cạnh đối diện( 6 phép
phản chiếu qua 6 mặt phẳng tơng đơng).
Nhóm Td là nhóm đối xứng của các phân tử tứ diện.
Ví dụ: Phân tử CH4 thuộc nhóm đối xứng này.
1.4.8 Nhóm Th: Là tích trực tiếp 2 nhóm T và nhóm Ci: Th =T Ci
1.4.9 Nhóm O: Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình lập phơng trùng
với chính nó. Phần tử đối xứng gồm có 3 trục C4 đi qua các mặt đối diện, 4
trục c3 đi qua các đỉnh đối diện, 6 trục C2 đi qua các cạnh đối diện.
Nhóm có 24 phần tử.
1.4.10 Nhóm Oh: Là nhóm gồm tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm hình
lập phơng trùng với chính nó. Có thể chứng tỏ đợc: Oh = O Ci. Nhóm Oh
có 48 phần tử.
1.5 Nhóm đối xứng SN

Một nhóm có vai trò rất quan trọng trong bài toán hệ nhiều hạt đồng
nhất là nhóm đối xứng SN .

12


1.5.1 Định nghĩa: Cho một tập hợp N vật: 1, 2,, N. Dễ thấy rằng tập hợp

tất cả các hoán vị N vật đó, với phép nhân đợc hiểu là thực hiện các hoán vị
liên tiếp nhau, làm thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng. Kí hiệu là SN .
Các phần tử của nhóm có thể kí hiệu nh sau:
1

p1

N

p N

2 ...
p2 ...

nghĩa là : Vật 1 biến thành p1
Vật 2 biến thành p2
Vật N biến thành pN
Đơn vị e là phép hoán vị để nguyên mọi vật:
1 2 ... N


1 2 ... N

Phần tử nghịch đảo:
p1

1

p2 ...
2 ...

pN

N

Nhóm SN là nhóm hữu hạn, không giao hoán, cấp của nhóm là N!
1 2 3
1 2 3
; p1 =

1 2 3
2 3 1

Ví dụ nhóm S3 gồm sáu phần tử e =

1 2 3
1 2 3
1 2 3
; p3=
; p4=
;
3 1 2
1 3 2
2 1 3

p2=

1 2 3

3 2 1

p5 =

Phép nhân nhóm là phép hoán vị liên tiếp, ta có:
1 2 3
; p2p3 =
1 2 3

p1p2 =

1 2 3


3 2 1

Ta có thể viết nhóm bằng nhiều cách:
a b c

= ( a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
b c a

1.5.2 Chuyển vị: Trong các hoán vị của nhóm đối xứng S N , trong đó chỉ có
hai vật đổi chỗ cho nhau gọi là một chuyển vị. Chẳng hạn nh: các phép hoán
vị
1 2 3
;
2 1 3

1 2 3

1 3 2

(12) =
là các chuyển vị.

(23) =

1 2 3
=(12)(13)
3
1
2



(132) =

13


Mọi phép hoán vị đều có thể viết dới dạng tích của nhiều chuyển vị, ta
thấy rằng:
( P1, P2 , P3 , , PN ) = ( P1 , PN)(P1 ,PN-1)(P1 , P3)(P1 ,P2)
Với sự phân tích này, do các chuyển vị khác nhau có chung một phần tử
(là P1), nên cần phải viết đúng thứ tự các chuyển vị trong biểu thức phân tích
trên.
- Tính chất:
Tất cả các hoán vị đều có thể phân tích thành tích nhiều chuyển vị.
Một hoán vị gồm một số chẵn chuyển vị gọi là hoán vị chẵn.
Một hoán vị gồm một số lẻ chuyển vị gọi là hoán vị lẻ.

1.5.3 Sơ đồ Young: Ta phân tích số nguyên N thành tổng có dạng:
N = n1+ n2+.+nN
ni là số nguyên dơng với n1 n2 nN
Sau đó lấy N ô xếp thành bảng nh sau:

Với: n1 ô ở hàng thứ nhất
n2 ô ở hàng thứ 2
n3 ô ở hàng thứ 3 ...
Các sơ đồ ta thu đợc tơng ứng với những biểu thức phân tích khác nhau
nh thế gọi là sơ đồ Young của nhóm SN.
{n1, n2, , nN} gọi là đặc biểu của Sơ đồ Young
Ví dụ: Với N=3 ta có các sơ đồ Young sau:

n1 = 3
n2 = n3= 0
{3,0,0} = {3};
1.5.4. Bảng Young

n1= 2
n2 = 1
n3 = 0
{2,1,0} = {2,1};
14

n1 = 1
n2 = 1
n3 = 1
{1,1,1} = {13}

Khi điền các số 1, 2, 3, , n vào các ô của sơ đồ Young ta đợc những
bảng gọi là bảng Young của nhóm SN .
Một sơ đồ Young có thể cho nhiều bảng Young khác nhau.
Ví dụ nh: với sơ đồ Young {2,1} ta có bảng Young sau:
1
3

2

1
2

3

Một bảng Young trong đó các số tăng dần khi chuyển từ trái sang phải
và từ trên xuống dới gọi là chuẩn. Các bảng Young trình bày trên gọi là bảng
Young chuẩn.
1.5.5 Toán tử Young (đối xứng hóa tử Young)
Giả sử cho một bảng Young nào đó. Các hoán vị trong mỗi hàng của
bảng Young gọi là hoán vị ngang, kí hiệu là p. Các hoán vị trong mỗi cột gọi
là hoán vị dọc, kí hiệu là q. Lập tổng tất cả các hoán vị ngang theo mỗi hàng
rồi lấy tích các tổng ấy, kết quả thu đợc kí hiệu là P:
P = tích các p
Mặt khác có thể lập tích Q các tổng hoán vị trong mỗi hàng của bảng
Young, gọi là hoán vị dọc và ký hiệu là q mỗi hoán vị nhân với

q= 1 nếu hoán vị là chẵn, q= -1 nếu hoán vị là lẻ
Ta có

Q = tích các

q

q

Lợng Y = Q.P gọi là toán tử Young.
Chẳng hạn với bảng Young đang xét:

1
2

3
4

Ta có : p1 = e + (1,3) ; p2 = e + (2,4) P = [e+(1,3)][e + (2,4)]
q1 = e - (1,2) ; q2 = e - (3,4) Q = [e - (1,2)][e - (3,4)]
suy ra Y = Q.P = [e - (1, 2)][e - (3,4)][e +(1,3)][e + (2,4)]
1.5.6 Sơ đồ Young liên hợp
Hai sơ đồ Young gọi là liên hợp với nhau nếu các hàng của sơ đồ này
bằng các cột của sơ đồ kia
15


Đối với bảng Young liên hợp cũng nh vậy. Một số sơ đồ Young trùng
với liên hợp của nó gọi là tự liên hợp. Ví dụ nh:
1, Hai sơ đồ {3, 1} và {2,12} liên hợp với nhau.
2, Hai bảng Young sau liên hợp với nhau:

1.6. lớp

1
2
3

4

1
4

2

3

1.6.1 Phép nhân lớp đối với các biểu diễn nhóm điểm
Cho một nhóm bất kỳ G. Ta lấy một phần tử xác định g G và xét tập
hợp tất cả các phần tử có dạng:
g' = xgx-1 ; g =(x-1)-1g'x
với x là một phần tử thuộc G: x G. Tập hợp này gọi là lớp chứa g, kí hiệu là
[g]. Phần tử g gọi là đại diện của lớp. Mọi phần tử của lớp đều có thể đại diện
cho lớp. Phần tử g' gọi là liên hợp của g bởi x, g liên hợp của g' bởi x-1. Nh
vậy, lớp gồm những phần tử liên hợp với nhau.
Phần tử đơn vị luôn làm thành một lớp.
Với các nhóm giao hoán, do xgx-1 = g(xx-1) = ge = g. Nh vậy mỗi phần
tử của nhóm làm thành một lớp: Số lớp của nhóm giao hoán bằng cấp của
nhóm. Vậy nhóm Cn có n lớp.
1.6.2 Phép phân lớp đối với các nhóm điểm:
Đối với các nhóm điểm, ngời ta chứng minh đợc các quy tắc phân lớp
sau:

- Những phép phản chiếu là thuộc cùng một lớp nếu các mặt phẳng phản
chiếu có thể trùng với nhau bởi những phần tử thuộc nhóm. Gọi là mặt phản
chiếu tơng đơng.
- Những phép quay là thuộc cùng một lớp (nếu có) cùng một góc quay và nếu
các trục quay có thể trùng với nhau bởi những phần tử thuộc nhóm. Gọi là trục
quay tơng đơng.
- Những phần tử nghịch đảo của nhau có thể thuộc cùng một lớp nếu xảy ra
một trong hai trờng hợp sau:
a, Có tồn tại một trục C2 vuông góc với trục Cn .
b, Có tồn tại mặt phẳng đi qua trục Cn.
Thỏa mãn trờng hợp a, có nhóm Dn , Dnd , Dnh
Thỏa mãn trờng hợp b, có nhóm Cnv , Dnd ,Td
16


Các trục quay có tính chất trên gọi là trục hai phía. Còn các trục không
có tính chất đó gọi là trục một phía.
Ví dụ: nhóm C3v có trục C3 là trục hai phía, các lớp của nhóm là:
e ; {C3, C32} ; {v, v, , v,, }
Vì ba mặt phẳng là tơng đơng với nhau( trùng với nhau bởi những phép
quay C3 và C32 của nhóm). Kí hiệu là : C3v = {e, 2C3, 3..}. Các chỉ số 2, 3
chỉ số phần tử của các lớp thứ hai và thứ ba.
1.7. Tính đồng cấu và đẳng cấu giữa các nhóm

Ta biết rằng, các phần tử của các nhóm khác nhau có thể có những bản chất
vật lý khác nhau nh những ma trận những phép quay, những hoán vị hay
những con sốTuy nhiên, nhiều nhóm với phần tử có bản chất khác nhau có
thể có cấu trúc nh nhau, chẳng hạn là có bảng nhóm giống nhau. Nghĩa là
những phần tử ở những vị trí giống nhau trong các bảng nhóm là tơng ứng với
nhau.

1.7.1 Định nghĩa:
Cho hai nhóm G và G' . Mọi ánh xạ f từ G vào G': g g= f(g) giữa các phần
tử của nhóm g G và g G. Thỏa mãn điều kiện
f(g1g2) = g1'g2' = f(g1)f(g2)
với g1, g2 thuộc G; g1' , g2' thuộc G'.
Thì nhóm G' gọi là đồng cấu với nhóm G. Hay còn gọi là phép đồng cấu
từ G vào G'.
Nếu ánh xạ f là một đối một, thì hai nhóm G và G' gọi là đẳng cấu với
nhau. Nghĩa là phép đồng cấu trở thành phép đẳng cấu. Kí hiệu là G ~ G' .
Từ định nghĩa ta có đẳng thức : f(e) = e', e là đơn vị của nhóm G, e' là
đơn vị của nhóm G'. Các nhóm hữu hạn đẳng cấu với nhau có cấp nh nhau và
có bảng nhóm nh nhau.
Về phơng diện đại số, các nhóm đẳng cấu với nhau đợc xem là nh nhau.
Các định lý đại số cho các nhóm đẳng cấu với nhau là nh nhau.
1. 7. 2 Một số ví dụ
1.7.2.1 Các nhóm Ci , C2 , Cs và S2 là đẳng cấu với nhau vì chúng có bảng
nhóm giống nhau.
e
I
e
C2
e
e
(1, 2)

I
e
C2
e
e

(1,
e

2)
Ci
C2
C
S2
17


1.6.2.2 Nhóm C3 và Z3 đẳng cấu với nhau.

C3 :

e
C3
C32

C3 C32
C32 e
e
C3

e
Z3 :


2

2
e

Chơng II
Lý thuyết biểu diễn nhóm

2
e


2.1 Một số định nghĩa
Định nghĩa 1: Trong vật lý lý thuyết nhóm đợc thâm nhập vào các bài toán
cụ thể qua lý thuyết biểu diễn của nhóm.
Cho G là một nhóm và một nhóm ma trận D nào đó. Nếu với mọi phần tử của
G: g G sẽ có một ma trận D(g) thuộc D sao cho [1]:
D(gh) =D(g)D(h) , g, h G và D(g), D(h) D

(2.1.1)

Nói riêng:
D(e) = I (I ma trận đơn vị của nhóm D)
Thì tập D gọi là biểu diễn của nhóm G. Hay Nếu nhóm G đồng cấu với
một nhóm ma trận D thì D gọi là biểu diễn của G.
Các ma trận thờng thực hiện các phép biểu diễn trong những không gian
tuyến tính nào đó. Chiều không gian tuyến tính đó gọi là chiều không gian
biểu diễn hay chiều không gian biểu diễn bằng cấp của ma trận.
Định nghĩa 2: Nếu D = {1}, tức là
D(g) =1 với mọi phần tử của G: g G
thì biểu diễn thu đợc gọi là biểu diễn đơn vị. Mọi nhóm đều có biểu diễn đơn

vị.
Định nghĩa 3: Biểu diễn toán tử.
Cho M= {q} là một không gian tuyến tính và L là tập các hàm (q) sao
cho khi (q) L thì (gq) cũng thuộc L: (gq) L. Phép biến đổi gọi là
phép biến đổi bất biến của không gian L.
Ký hiệu Tg là một toán tử với định nghĩa:
Tg (gq) = (gq)
sẽ là một toán tử tác động trong không gian L. Theo (2.1.2) ta có:
Tg1 [Tg2(g1(g2q))] = Tg2(g2q) = (q)
Nhng ta lại có:
18

(2.1.2)


Tg1g2(g1g2q) = (q)
So sánh hai đẳng thức cuối cùng ta có:
Tg1g2 = Tg1Tg2
Theo định nghĩa, các toán tử T lập thành một biểu diễn của nhóm trong không
gian (q). Biểu diễn này gọi là biểu diễn toán tử và có vai trò đặc biệt cho các
bài toán vật lý sau này.
Ví dụ về biểu diễn của nhóm D3
Ta hãy xây dựng một biểu diễn của nhóm D3. Nhóm D3 có bảng nhóm
e
a
b
c
d
f
D3

a
e
d
f
b
c
b
f
e
d
c
a
c
d
f
e
a
b
d
c
a
b
f
e
f
b
c
a
e
d

Nhóm này có các biểu diễn sau:
a, Biểu diễn đơn vị: D1 ={1}.
b, Biểu điễn cấp 1: D2 ={1, -1}
a, b, c D(a) = D(b) = D(c) = -1
f, d D(f) = D(d) = 1
c, Biểu diễn ma trận:
1

1 0
; D(b) = 2
D(a) =

0
1
3



2
1

D(d) = 2
3

2
2.2

3
2 ; D(f) =
1

2





3
2 ;
1

2

1

2

3

2

1

D(c) = 2
3

2

3
2 ; D(e) =

1

2

3
2
1

2

1 0


0 1

Đặc biểu

Nếu ta biến đổi cơ sở trong không gian biểu diễn : = S, theo lý
thuyết đại số các ma trận biểu diễn sẽ biến đổi theo qui luật:
D(g) D(g) = SD(g)S-1

(2.2.1)

Nh vậy, ta có:
D(gh) = SD(gh)S-1 = SD(g)D(h)S-1 = SD(g)S-1SD(h) S-1 = D(g)D(h)
Tập các ma trận D cũng lập thành một biểu diễn khác của G. Biểu diễn D và
biểu diễn D đợc xây dựng nh trên gọi là các biểu diễn tơng đơng. Khi nào hai
19

biểu diễn tơng đơng với nhau. Ta có với phép biến đổi tơng đơng: SpD(g) =
Sp D(g) = inv. Bất biến này gọi là đặc biểu của biểu diễn.
Đại lợng đợc xác định: (g) = SpD(g) đợc gọi là đặc biểu của biểu
diễn. Vận dụng các kết quả này vào các phần tử liên hợp với nhau cùng một
lớp của nhóm chúng có cùng một đặc biểu.

(g) = SpD(g) = SpD(xgx-1) =Sp(D(xx-1)D(g)) = SpD(g) = (g)
Lấy nhóm D3 làm ví dụ. Nhóm này có 3 lớp
[e], [a, b, c], [d, f]
Trong biểu diễn D1 các đặc biểu lần lợt là: {1, 1, 1}
Trong biểu diễn D2 các đặc biểu lần lợt là: {1, -1, 1}
Trong biểu diễn D3 các đặc biểu lần lợt là: {2, 0, -1}
2.3

Các bổ đề Schur

Với một nhóm cho sẵn, có thể có nhiều biểu diễn khác nhau. Ta cần tìm
xem biểu diễn đó có thể quy về các thành tổng các thành phần đơn giản hay
không. Ký hiệu D ={D(g)}, g G là một ma trận biểu diễn của nhóm G. Bằng
cách chọn hệ cơ sở thích hợp ta có thể đa ma trận D(g) về dạng gần chéo:
D1 ( g )
0
0
0


2
D (g)
0
0

0
D(g) =
0
D 3 ( g ) 0
0
0
0
0



(2.3.1)

trong đó Di(g) là các ma trận khối đồng thời cũng thực hiện biểu diễn của một
nhóm. Nếu D(g) là tối giản không thể đa về dạng (2.3.1) (chỉ chứa một biểu
diễn) D(g) gọi là biểu diễn bất khả quy. Ngợc lại trong D(g) còn chứa một số
biểu diễn D(g) gọi là biểu diễn khả quy. Thông thờng, ngời ta viết biểu diễn
D(g) trong (2.3.1) dới dạng:
D(g) = D1(g) D2(g) D3(g) + ...=

à aà Dà

trong đó các số aà ( nguyên, không âm) cho ta biết bao nhiêu lần biểu diễn Dà
chứa trong biểu diễn D(g).
Vấn đề chính của lý thuyết nhóm gồm các bài toán:
Tìm các biểu diễn bất khả quy của một nhóm.
Tiêu chuẩn biểu diễn bất khả quy.
Chiều không gian biểu diễn.
20

Phân tích một biểu diễn khả quy thành tổng trực tiếp các biểu diễn bất
khả quy.
Các vấn đề đó chỉ có thể giải quyết với hai bổ đề của Schur.
Các bổ đề của Schur
Bổ đề 1 Cho một nhóm G và một biểu diễn bất khả quy Dà của nhóm.
Mọi toán tử A giao hoán với Dà :
A Dà(g) = Dà(g)A cho mọi g G
sẽ là bội của toán tử ma trận đơn vị. A = I.
Bổ đề 2

Cho một nhóm G và hai biểu diễn bất khả quy không tơng đơng

với nhau Dà và D (à ) Mọi toán tử A có tính chất
A Dà(g) = D(g) A
sẽ phải bằng không: A = 0.
2.4

Các hệ thức trực giao

Hệ thức trực giao loại một : Giả sử Dà và D một biểu diễn bất khả quy nào
đó của nhóm G chúng phải thoả mãn hệ thức:


g

G

Dàkl (g-1) Dmj(g) = n lmkjà
à

(2.4.1)

trong đó G là cấp của nhóm.
Nếu lấy vết (Sp) của (2.4.1) ta có dạng khác của hệ thức trực giao loại
một:

à* (g-1) (g) = nG à
à
g

(2.4.2)

Từ hệ thức trực giao loại một ta có các định lý sau:
Định lí 1 Đặc biểu các biểu diễn bất khả quy của nhóm thoả mãn các hệ thức
s

pà* p gp=G à

(2.4.3)

p =1

trong đó s là số lớp của nhóm, gp là số phần tử của lớp p
Hệ thức trực giao loại hai
Đặc biểu các biểu diễn bất khả quy của nhóm thoả mãn hệ thức
s'

pà* qà gp = G à

à
=1

21

(2.4.4)


trong đó s là số biểu diễn bất khả quy của nhóm.
Từ (2.4.4) ta có kết quả sau:
Số biểu diễn bất khả quy bằng số lớp của nhóm. s = s.
Các hệ thức trên cho phép ta tìm cấu trúc của một nhóm hữu hạn. Từ
phơng trình (2.4.1) lấy vết hai vế sử dụng hệ thức trực giao ta có kết quả:
1
àp* àp
G p

aà =

Từ đó ta có tiêu chuẩn bất khả quy:
Đặc biểu của biểu diễn bất khả quy Dà thoả mãn điều kiện sau:
1

G p
2.5

àp* àp = 1

(2.4.5)

Bài toán hạ cảm

Về mặt lý luận, cũng nh vận dụng, một vấn đề quan trọng là bài toán hạ
cảm với nội dung sau:
Cho một nhóm G và một nhóm con G của nó, chẳng hạn G là nhóm
O(3) và G là một nhóm điểm. Ta ký hiệu D là một biểu diễn bất khả quy của
nhóm G. Nếu trong các ma trận D = {D(g)} ta chỉ hạn chế những phần tử g
G, thì các ma trận thu đợc dĩ nhiên là một biểu diễn nào đó của nhóm con G.
Biểu diễn đó gọi là biểu diễn hạn chế trên nhóm con. Biểu diễn hạn chế nói
chung là khả quy. Tìm cấu trúc của biểu diễn hạn chế theo các biểu diễn bất
khả quy của nhóm con G gọi là bài toán hạ cảm và ký hiệu:
G G: D = aàDà
Trong đó: Dà là các biểu diễn bất khả quy của nhóm con.
Ví dụ:
Cho G = T và G = C3 và chọn lấy biểu diễn bất khả quy của D của nhóm

T.
Bảng đặc biểu của T và C3
T
e
3C2
A
1
1
C
1
1
1
1
D

3
-1
C3
A
C

e
1
1

4C3
1

2
0
C3
1


4C32
1
2

0
C32
1
2

22

1

2



Theo bảng đặc biểu, các phần tử C3 và C32 của nhóm C3 nằm ở cột thứ 3
và thứ 4 của bảng nhóm T . Do đó, ta có bảng đặc biểu hạn chế của biểu diễn
D nh sau:
T C3 :
e
C3
C32
3
0
0
Hai biểu diễn một chiều a liên hợp phức với nhau của nhóm này đợc
gộp lại thành biểu diễn có chiều gấp đôi, biểu diễn này có đặc biểu là 2, -1,
-1
Ta có kết quả:
T C 3 : D1 = a
Nh vậy, biểu diễn bất khả quy ba chiều F của nhóm T trở thành biểu
diễn bất khả quy của nhóm C3 và phân thành tổng trực tiếp của các biểu diễn
một chiều a và .

Chơng III
Một số bài toán vật lý với phơng pháp nhóm
23

3.1. Phơng pháp sơ đồ Young và các trạng thái spin theo liên
kết L- S

3.1.1 Liên kết L - S.
Do spin S bảo toàn nên các trạng thái là các hàm riêng của toán tử S2 và
S3. Số trạng thái đó có tất cả là (2S +1) tơng ứng cùng với một giá trị S.
Để xác định các trạng thái này với phơng pháp lý thuyết nhóm, ta có hai phơng pháp giải:
Phơng pháp dùng các toán tử Young của nhóm đối xứng SN .
Phơng pháp dùng các hệ số Clebsh-Gordan.
Trong giới hạn phần này chúng ta chỉ trình bày phơng pháp thứ nhất vì nó đơn
giản và trực quan hơn. Dựa vào mối quan hệ giữa phép biểu diễn các nhóm đối
xứng SN và nhóm SO(3), ngời ta thấy rằng bài toán xác định các trạng thái S3
có thể giải quyết bằng các toán tử Young:
Y= QP
Để cụ thể hơn, ta lấy nhóm S3, tức là N=3 và chọn toán tử Young tơng ứng
với bản Young sau:
Ta có: Y=Q P
1 2
3
Với Q= {e - (1,3)};
P= {e+(1,2)}
=> Y=QP ={ e - (1,3)}{e+(1,2)}= e+(1,2) - (1,3) - (1,3)(1,2)
Bây giờ ta chọn một hàm (1,2,3) tuỳ ý nào đó và toán tử Young tác dụng
lên hàm này đợc định nghĩa nh sau:
a, Tác dụng của từng hoán vị:
1
p1

p =

2 3
S3
p2 p3

lên hàm (1,2,3) định nghĩa là: P (1,2,3) = (p1,p2,p3)
Chẳng hạn là: (1,2,3) (1,2,3) = (2,3,1).
b, Tác dụng của tổng nhiều hoán vị

p

( P ) (1,2,3) =

lên hàm (1,2,3) định nghĩa là:

P (1,2,3)

Chẳng hạn với toán tử trên ta đợc:
Y (1,2,3) = e (1,2,3) + (1,2) (1,2,3) - (1,3) (1,2,3) - (1,3)(1,2)
(1,2,3) = (1,2,3) + (2,1,3) - (3,2,1) - (2,3,1)
Nếu ta chọn là hàm Spin của hệ:

= (1,2,...,N)
24


Cho toán tử Young tơng ứng với bảng Young nào đó tác dụng lên hàm
theo định nghĩa trên ta sẽ đợc một hàm khác nói chung có chuẩn khác đơn vị.
Ta chuẩn hóa hàm này bằng cách nhân với một hệ số nào đó. Sau đó, ta quy ớc
kí hiệu ngay kết quả đã đợc chuẩn hóa đó bằng bảngYoung.

Vậy thì theo các kết quả của lý thuyết nhóm, các trạng thái Spin của hệ hạt
có Spin bằng 1/2 sẽ là các bảng Young chuẩn có các tính chất:
Các sơ đồ Young tơng ứng chứa N ô
Các sơ đồ Young tơng ứng có không quá hai hàng.
Giá trị của Spin S là: S = (m1- m2)/2
trong đó: m1 là số ô của hàng thứ nhất
m2 là số ô của hàng thứ hai.
Các trạng thái S3 là tơng ứng với những tổ hợp khác nhau giữa các Sa3:
S3 =Ms =

S

a3

Sa3 : v thành phần thứ 3 của véc tơ Spin Sa.
3. 1. 2 Ví dụ:
Cho hệ gồm hai hạt: N=2. Theo quy tắc trên, các hàm Spin của hệ có không
quá hai hàng và chỉ có hai ô. Vì thế chỉ có hai khả năng:

1

1

2

2

(1)
Với các msa= Sa3. Ta có các tổ hợp:
1

2

(2)

= (1) (2);

(3)

1
ms1= ms2 = - : = (1)(2);

(4)

ms1= ms2 = :
2
1
ms1= -ms2 = :
2

=(1)(2);

(5)

Với khả năng (1) và các tổ hợp (3), (4) và (5) ta có:
s=

1

2

25