Một số định lí về sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị và đa trị luận văn thạc sỹ t

1

MỤC LỤC

Mở đầu

2

1 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị

4

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị . . . .

9

2 Sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chung của
các ánh xạ đơn trị và đa trị

26

2.1 Sự tồn tại điểm trùng nhau của một ánh xạ đơn trị và một ánh
xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị và các

ánh xạ đa trị trong không gian o-mêtric

. . . . . . . . . . . .

31

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41


2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động và điểm bất động chung có nhiều ứng dụng trong
Giải tích, lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi và trong nhiều ngành khoa học
kỹ thuật khác. Đây là một trong những chủ đề được các chuyên gia Giải tích
quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả. Kết quả quan trọng đầu tiên
phải kể đến là nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co
Banach (1922) trong không gian mêtric đầy đủ. Dựa vào kết quả này người ta
đã mở rộng nó cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian khác nhau. Một
trong những hướng mở rộng đó là nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động, điểm
trùng nhau của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị, điểm bất động chung của
các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị
Mục đích của chúng tôi là dựa vào tài liệu tham khảo để nghiên cứu lí thuyết

điểm bất động, điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các ánh xạ đơn
trị và ánh xạ đa trị trong các không gian mêtric, không gian mêtric nón. Từ
đó xem xét đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động chung của
các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị trong không gian o-mêtirc.
Với mục đích đó luận văn được trình bày thành hai chương.
Chương 1. Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn
trị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất
động chung của hai, ba, ánh xạ đơn trị trong không gian mêtric, mêtric nón.


3

Chương 2. Sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chung
của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm
trùng nhau của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị, đưa ra một số kết quả về
sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị trong
không gian o-mêtric.
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình
đến thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ
nhiệm khoa Toán, Ban lãnh đạo Trường Đại Học Vinh.
Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích trong Khoa
Toán Trường Đại Học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong
suốt thời gian học tập.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã giúp đỡ và động
viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời

gian nên Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý Thầy
Cô và các bạn góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


4

CHƯƠNG 1

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
ĐƠN TRỊ

Chương này trình bày một số kết quả về điểm bất động chung của các ánh
xạ đơn trị
1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này dành cho việc giới thiệu các khái niệm và các kết quả cơ bản đã có
cần dùng trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. Cho tập X và hàm d : X × X → R. Hàm d được gọi là
một mêtric trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1) d (x , y)

0 với mọi x , y ∈ X và d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;

2) d (x , y) = d (y, x ) với mọi x , y ∈ X ;
3) d (x , z ) ≤ d (x , y) + d (y, z ) với mọi x , y, z ∈ X .
Tập hợp X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và

kí hiệu là (X,d) hay đơn giản hơn là X.
1.1.2 Một số kí hiệu. Cho (X,d) là không gian mêtric.
Ta kí hiệu
- K(X) là tập hợp tất cả các tập compact khác rỗng của X;
- CL(X) là tập hợp tất cả các tập đóng khác rỗng của X;
- CB(X) là tập hợp tất cả các tập đóng bị chặn khác rỗng của X;


5

- I là ánh xạ đồng nhất trên X;
-

(h) = {h(x ) : x ∈ X }, trong đó ánh xạ h : X → X ;

- H là mêtric Hausdorff trên CL(X) được xác định bởi
H (A, B ) = max{d (a, B ), d (A, b)}

với A, B ∈ CL(X ), trong đó
d(a, B) = inf{d(a, b) : b ∈ B},
d(A, B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B},
δ(A, B) = sup{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B};

- Ω : (R+ )5 → R+ là hàm đơn điệu tăng theo từng biến, với t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ∈
R+ = {r ∈ R : r

0}

+ + + +
Ω(t+

1 , t2 , t3 , t4 , t5 ) = inf{Ω(s1 , s2 , s3 , s4 , s5 ) : sj ∈ (tj , +∞)

∀j = 1, 2, 3, 4, 5},
+ + +
Ω(t1 , t+
2 , t3 , t4 , t5 ) = inf{Ω(t1 , s2 , s3 , s4 , s5 ) : sj ∈ (tj , +∞)

∀j = 2, 3, 4, 5};

- σj : R+ → R+ (j = 1, 2), trong đó σ1 (t) = Ω(0+ , 0+ , t+ , t+ , t+ ),
σ2 (t) = Ω(t, 0+ , 0+ , t+ , 0+ );

- ζ : R+ → R+ được xác định ζ(t) = max{σ1 (t), σ2 (t)};
- α, D : X × X → R+ là hàm được xác định bởi
α(x, y) = Ω(d(Sx, f x), d(Sy, f y), d(Sx, Sy), d(f x, Sy), d(Sx, f y)),
D(x, y) = Ω(d(Sx, F x), d(Sy, F y), d(Sx, Sy), d(Sy, F x), d(Sx, F y))

với mọi x, y ∈ X , trong đó các ánh xạ f, S : X → X và ánh xạ F : X →
CL(X).

Trong các phần sau nếu không giải thích gì thêm thì ta hiểu (X,d) là không
gian mêtric và các hàm được hiểu như trong phần kí hiệu trên .


6

1.1.3 Định nghĩa. ([5]) Cho X là không gian mêtric, f và S là các ánh xạ
từ X vào X. Ta nói cặp (f,S) thỏa mãn điều kiện A nếu có một dãy {xn }∞
n=0
thuộc X sao cho Sxn+1 = f xn := yn với mọi n = 0, 1, 2, . . .

1.1.4 Định nghĩa. ([5]) Ta nói rằng Ω thỏa mãn điều kiện A nếu Ω(t, s, t, 0, t+
s) < s với mọi s, t ∈ R+ , t < s.

1.1.5 Định nghĩa. ([5]) Ta nói Ω thỏa mãn điều kiện B nếu:
(i) Tồn tại một hàm đơn điệu tăng ϕ : R+ → R+ , ϕ(t) < t ∀t ∈ (0, ∞),
(ii) Với mỗi t ∈ R+ tồn tại một tập chỉ số It = φ và các số thực không âm
βi , γi (i ∈ It ) sao cho sup{γi : i ∈ It } < 1, Ω(t, t, 2t, t, t + s) ≤ sup{(1 + βi )t +
γi s : i ∈ It } với mọi s ∈ [t, 2t], Ω(t, t, t, 0, λt t) ≤ ϕ(t), trong đó
λt = sup

1 + βi
: i ∈ It .
1 − γi

1.1.6 Định nghĩa. ([5]) Một cặp ánh xạ (f1 , f2 ) trên không gian mêtric
(X,d) được gọi là tương thích nếu dãy {d(f1 f2 xn , f2 f1 xn )} → 0 với {xn } là
dãy bất kì trên X sao cho các dãy {f1 xn }, {f2 xn } hội tụ trên X và có cùng giới
hạn.
1.1.7 Định nghĩa. ([5]) Một cặp ánh xạ (f1 , f2 ) từ X vào X được gọi là
tương thích yếu nếu f1 f2 x = f2 f1 x với x ∈ X sao cho f1 x = f2 x.
* Chú ý. Nếu (f, S) tương thích thì tương thích yếu.
1.1.8 Định nghĩa. ([5]). Một cặp ánh xạ (f1 , f2 ) trên không gian mêtric
(X, d) được gọi là liên tục phụ thuộc tại u ∈ X nếu dãy {f1 f2 xn } hội tụ tới
f1 u và {f2 f1 xn } hội tụ tới f2 u với {xn } là dãy trong X sao cho {f1 xn } và
{f2 xn } cùng hội tụ tới u, với u ∈ X.

1.1.9 Định nghĩa. Một tập P của một không gian Banach E được gọi là
một nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

7

1) P là một tập đóng khác rỗng và P = {0};
2) 0 < a, b ∈ R và x, y ∈ P ⇒ ax + by ∈ P ;
3) P ∩ (-P) = {0}.
Cho một nón P ⊆ E . Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trên E
với nón P bởi x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P .
Ta viết
x < y nếu x ≤ y và x = y ;
x

y nếu y − x ∈ intP, trong đó intP là phần trong của P .

Nón P được gọi là chuẩn tắc nếu có một số k ≥ 1 sao cho
∀x, y ∈ E, 0 ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ k

y

.

(1)

Số k nhỏ nhất thõa mãn điều kiện (1) được gọi là hằng số chuẩn tắc của
P.

1.1.10 Định nghĩa. Cho E là một không gian Banach, P là một nón trên
E với intP = φ và ≤ là thứ tự bộ phận trên E được xác định bởi P . Giả sử
X là một tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → E thỏa mãn.

1) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y;

2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X ,
thì d được gọi là một mêtric nón trên X và (X, d) được gọi là không gian
mêtric nón.
Giả sử {xn } là một dãy trong không gian mêtric nón X, x ∈ X .
- Nếu với mỗi 0

c tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n > n0 , d(xn , x)

c,

thì dãy {xn } được gọi là hội tụ (hoặc dãy {xn } hội tụ) tới x và x được gọi là
giới hạn của dãy {xn }.Ta viết


8

lim xn = x hoặc xn → ∞ khi n → ∞.

n→∞

- Nếu với mỗi 0

c tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n, m > n0 , d(xn , xm )

c,

thì dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy trong X .
- Nếu mỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không gian
mêtric nón đầy đủ.

*Chú ý. Ta có thể định nghĩa khác về sự hội tụ của một dãy và dãy Cauchy
trong không gian mêtric nón như sau.
- Nếu P là một nón chuẩn tắc, thì xn ∈ X hội tụ tới x ∈ X nếu và chỉ
nếu d(xn , x) → 0 khi n → ∞. Ngoài ra xn ∈ X là dãy Cauchy nếu và chỉ
nếu d(xn , xm ) → 0 khi n, m → ∞.
1.1.11 Định nghĩa. Giả sử X, Y là hai tập khác rỗng. Kí hiệu 2Y là họ tất
cả các tập con của Y . Ta gọi mỗi ánh xạ từ X vào Y là một ánh xạ đơn trị
hay hàm đơn trị và gọi mỗi ánh xạ từ X vào 2Y là một ánh xạ đa trị hay
hàm đa trị.
1.1.12 Định nghĩa. Giả sử f, g : X → X và G, T : X → U với U ⊂ 2X . Ta
viết f x thay cho f (x) và Sx thay cho S(x), x ∈ X .
Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f x = x.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của T nếu x ∈ T x.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động chung của f và T nếu x = f x ∈ T x.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động chung của f và g nếu x = f x = gx.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm trùng nhau của f và g nếu f x = gx.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm trùng nhau của f và T nếu f x ∈ T x.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động chung của T và G nếu x ∈ T x∩Gx.
1.1.13 Định nghĩa. Giả sử f : X → X và T : X → 2X . Ta nói f và T giao
hoán yếu nếu f T x ⊂ T f x với mọi x ∈ X .


9

1.2

Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị

Trong mục này ta vẫn dùng các kí hiệu như trong mục 1.1.2.
1.2.1 Bổ đề. ([5]) Giả sử cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, dãy

{d(yn , yn+1 )}∞
n=0 hội tụ tới 0, σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và d(f x, f y) ≤
α(x, y) với mọi x, y ∈ X . Khi đó {yn } là dãy Cauchy.

1.2.2 Bổ đề. ([5]) Nếu Cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, Ω thỏa mãn điều
kiện A và B và d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , thì dãy {d(yn , yn+1 )}∞
n=0
hội tụ tới 0.
1.2.3 Bổ đề. ([5]) Giả sử cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, dãy {yn } nói
trong Định nghĩa 1.1.3 hội tụ tới z ∈ X và d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi
x, y ∈ X . Khi đó các khẳng định sau là đúng.

(i) Nếu σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và f p = Sp với p ∈ X thì f p = z .
Hơn nữa f và S không thể có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau
nào khác z nếu σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞).
(ii) Nếu σ2 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và z ∈ (S), thì tồn tại w ∈ X sao
cho f w = Sw = z .
(iii) Nếu ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), z ∈ (S) và (f, S) tương thích yếu
thì f z = Sz = z .
(iv) Nếu σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), S liên tục tại z và (f, S) tương
thích thì Sz = z .
(v) Nếu σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), f liên tục tại z và (f, S) tương
thích thì f z = z .
(vi) Nếu σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), (f, S) tương thích và liên tục phụ
thuộc tại z thì f z = Sz = z .


10

Chứng minh. Vì (f, S) thỏa mãn có điều kiên A nên tồn tại {xn } ⊂ X sao

cho Sxn+1 = f xn = yn .
(i) Giả sử rằng σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và f p = Sp với p ∈ X . Khi đó,
ta có
α(p, xn+1 ) = Ω(d(Sp, f p), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(Sp, Sxn+1 ),
d(f p, Sxn+1 ), d(Sp, f xn+1 ))
= Ω(d(f p, f p), d(yn , yn+1 ), d(f p, yn ), d(f p, yn ), d(f p, yn+1 ))
= Ω(0, d(yn , yn+1 ), d(f p, yn ), d(f p, yn ), d(f p, yn+1 ))

với mọi n ∈ N.
Do đó
lim α(p, xn+1 ) ≤ Ω(0, 0+ , d(f p, z)+ , d(f p, z)+ , d(f p, z)+ ).

n→∞

Từ đó ta có
lim α(p, xn+1 ) ≤ σ1 (d(f p, z)).

n→∞

Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , suy ra
d(f p, yn+1 ) ≤ α(p, xn+1 ) với mọi n ∈ N.

(2)

Lấy giới hạn trên hai vế của (2) khi n → ∞ ta được d(f p, z) ≤ σ1 (d(f p, z)) ≤
d(f p, z). Do đó d(f p, z) = 0 hay f p = z = Sp. Từ đó suy ra S và f không thể

có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau nào khác z.
(ii) Giả sử σ2 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và z ∈ (S). Khi đó, tồn tại w ∈ X
sao cho z = Sw ∈ X . Ta có

α(w, xn+1 ) = Ω(d(Sw, f w), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(Sw, Sxn+1 ),
d(f w, Sxn+1 ), d(Sw, f xn+1 ))
= Ω(d(z, f w), d(yn , yn+1 ), d(z, yn ), d(f w, yn ), d(z, yn+1 ))

với mọi n ∈ N.
Do yn → z khi n → ∞, nên


11

lim α(w, xn+1 ) ≤ Ω(d(z, f w), 0+ , 0+ , d(f w, z)+ , 0+ ) = σ2 (d(f w, z)).

n→∞

Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , suy ra
d(f w, yn+1 ) ≤ α(w, xn+1 ) với mọi n ∈ N.

(3)

Lấy giới hạn trên hai vế của (3) khi n → ∞ ta được d(f w, z) ≤ σ2 (d(f w, z)) <
d(f w, z). Suy ra d(f w, z) = 0 hay f w = z . Vậy f w = Sw = z .

(iii) Giả sử ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), z ∈ (S) và (f, S) tương thích yếu.
Khi đó, vì ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) nên σ2 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞). Do đó,
từ (ii) suy ra tồn tại w ∈ X sao cho f w = Sw = z ∈ X .
Mặt khác cặp (f, S) tương thích yếu nên ta có f Sw = Sf w hay f z = Sz .
Ta có
α(z, xn+1 ) = Ω(d(Sz, f z), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(Sz, Sxn+1 ),
d(f z, Sxn+1 ), d(Sz, f xn+1 ))
= Ω(0, d(yn , yn+1 ), d(Sz, yn ), d(f z, yn ), d(Sz, yn+1 ))

với mọi n ∈ N.
Do đó
lim α(z, xn+1 ) ≤ Ω(0, 0+ , d(Sz, z)+ , d(f z, z)+ , d(Sz, z)+ )

n→∞

= Ω(0, 0+ , d(f z, z)+ , d(f z, z)+ , d(f z, z)+ ).

Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , suy ra
d(f z, yn+1 ) ≤ α(z, xn+1 ) với mọi n ∈ N.

(4)

Lấy giới hạn trên hai vế của (4) khi n → ∞, ta được d(f z, z) ≤ lim α(z, xn+1 )
n→∞

≤ σ1 (d(f z, z)), hay d(f z, z) ≤ σ1 (d(f z, z)). Do ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) nên
σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞). Do đó ta có d(f z, z) ≤ σ1 (d(f z, z)) < d(f z, z).

Suy ra d(f z, z) = 0 hay f z = z = Sz . Vậy z là điểm bất động chung của f và
S.

(iv). Giả sử σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), S liên tục tại z và (f, S) tương


12

thích. Vì {yn } hội tụ tới z và S liên tục tại z nên {Syn } hội tụ tới Sz . Do đó
dãy {SSxn } và {Sf xn } cùng hội tụ tới Sz . Vì (f, S) tương thích và dãy {f xn }

và {Sxn } cùng hội tụ tới z, suy ra dãy {d(Sf xn , f Sxn )} hội tụ tới 0. Do dãy
{Sf xn } hội tụ tới Sz nên dãy {f Sxn } hội tụ tới Sz .

Ta có
α(Sxn , xn+1 ) = Ω(d(SSxn , f Sxn ), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(SSxn , Sxn+1 ),
d(f Sxn , Sxn+1 ), d(SSxn , f xn+1 ))
= Ω(d(SSxn , f Sxn ), d(yn , yn+1 ), d(SSxn , yn ),
d(f Sxn , yn ), d(SSxn , yn+1 )) với mọi n ∈ N.

Do đó
lim α(Sxn , xn+1 ) ≤ Ω(0+ , 0+ , d(Sz, z)+ , d(Sz, z)+ , d(Sz, z)+ )

n→∞

= σ1 (d(Sz, z)).

Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , suy ra
d(f Sxn , yn+1 ) ≤ α(Sxn , xn+1 ) với mọi n ∈ N.

(5)

Lấy giới hạn trên hai vế của (5) khi n → ∞ ta được d(Sz, z) ≤ σ1 (d(Sz, z)) <
d(Sz, z). Suy ra d(Sz, z) = 0 hay Sz = z .

(v) Giả sử σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), f liên tục tại z là (f, S) tương
thích. Khi đó, vì dãy {yn } hội tụ tới z và f liên tục tại z , suy ra dãy {f yn }
hội tụ tới f z . Do đó các dãy {f f xn } và {f Sxn } cùng hội tụ tới f z . Vì cặp
(f, S) tương thích và các dãy {f xn } và {Sxn } cùng có giới hạn là z nên dãy
{d(Sf xn , f Sxn )} hội tụ tới 0. Do dãy {f Sxn } hội tụ tới f z nên dãy {Sf xn }

cũng hội tụ tới f z . Ta có
α(f xn , xn+1 ) = Ω(d(Sf xn , f f xn ), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(Sf xn , Sxn+1 ),
d(f f xn , Sxn+1 ), d(Sf xn , f xn+1 ))
= Ω(d(Sf xn , f f xn ), d(yn , yn+1 ), d(Sf xn , yn ),


13

d(f f xn , yn ), d(Sf xn , yn+1 )) với mọi n ∈ N.

Do đó
lim α(f xn , xn+1 ) ≤ Ω(0+ , 0+ , d(f z, z)+ , d(f z, z)+ , d(f z, z)+ )

n→∞

= σ1 (d(f z, z)).

Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , suy ra
d(f f xn , yn+1 ) ≤ α(f xn , xn+1 ) với mọi n ∈ N

(6)

Lấy giới hạn hai trên vế của (6) khi n → ∞ ta được d(f z, z) ≤ σ1 (d(f z, z)) <
d(f z, z).Do đó d(f z, z) = 0 hay f z = z .

(vi). Giả sử σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), (f, S) tương thích và liên tục
phụ thuộc tại z . Vì dãy {yn } hội tụ tới z nên các dãy {f xn } và {Sxn } cùng
hội tụ về z . Do đó từ giả thiết (f, S) liên tục phụ thuộc tại z suy ra {Sf xn }
hội tụ tới Sz , {f Sxn } hội tụ tới f z . Mặt khác cặp (f, S) tương thích suy ra
{d(Sf xn , f Sxn )} hội tụ tới 0. Do đó f z = Sz .

Ta có
α(z, xn+1 ) = Ω(d(Sz, f z), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(Sz, Sxn+1 ),
d(f z, Sxn+1 ), d(Sz, f xn+1 ))
= Ω(d(Sz, f z), d(yn , yn+1 ), d(Sz, yn ), d(f z, yn ),
d(Sz, yn+1 ) với mọi n ∈ N.

Do đó
lim α(z, xn+1 ) ≤ Ω(0, 0+ , d(f z, z)+ , d(f z, z)+ , d(f z, z)+ ).

n→∞

Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , suy ra
d(f z, yn+1 ) ≤ α(z, xn+1 ) với mọi n ∈ N.

(7)

Lấy giới hạn hai trên vế của (7) khi n → +∞ ta được d(f z, z) ≤ σ1 (d(f z, z)) <
d(f z, z). Suy ra d(f z, z) = 0 hay f z = z . Vậy f z = z = Sz tức z là điểm bất

động chung của f và S .


14

1.2.4 Định lý. ([5]) Giả sử cặp (f, S) thỏa mãn diều kiện A, Ω thỏa mãn
điều kiện A và B , σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và d(f x, f y) ≤ α(x, y) với
mọi x, y ∈ X . Khi đó,
(1) {yn } nói trong Định nghĩa 1.1.3 là dãy Cauchy.
(2) Nếu dãy {yn } hội tụ tới z ∈ X thì các khẳng định sau đây là đúng.

(i) f và S không thể có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau khác
z.

(ii) Nếu S liên tục tại z và (f, S) tương thích thì Sz = z .
(iii) Nếu f liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = z .
(iv) Nếu (f, S) tương thích và liên tục phụ thuộc tại z thì f z = Sz = z .
(v) Nếu σ2 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và z ∈ (S) thì tồn tại w ∈ X sao
cho f w = Sw = z .
(vi) Nếu σ2 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), z ∈ (S) và (f, S) tương thích yếu
thì f z = Sz = z .
Chứng minh. (1) Theo giả thiết cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, Ω thỏa mãn
điều kiện A và B và d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X . Do đó, theo Bổ đề
1.1.2 dãy {d(yn , yn+1 )}∞
n=0 hội tụ tới 0.
Mặt khác do σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) nên theo Bổ đề 1.2.1, ta suy ra
{yn } là dãy Cauchy.

(2) Giả sử {yn } hội tụ tới z ∈ X khi đó theo Bổ đề 1.2.3 ta có điều phải
chứng minh.
1.2.5 Hệ quả. ([5]) Giả sử (f, S) thỏa mãn điều kiện A và có một hàm
1
đơn điệu giảm δ : R+ → (0, ] sao cho
3
d(f x, f y) ≤ sup{ad(Sx, Sy) + b max{d(Sx, f x), d(Sy, f y)}+


15

c[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)] : a ≥ 0, b ≥ δ(θ(x, y)),
c ≥ δ(θ(x, y)), a + b + 2c ≤ 1}

với mọi x, y ∈ X , trong đó
1
θ(x, y) = max{d(Sx, Sy), d(Sx, f x), d(Sy, f y), [d(f x, Sy) + d(Sx, f y)]}.
2
Khi đó,

(1) {yn } nói trong Định nghĩa 1.1.3 là dãy Cauchy.
(2) Nếu dãy yn hội tụ tới z ∈ X thì các khẳng định sau đây đúng.
(i) f và S không thể có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau khác
z.

(ii) Nếu z ∈ (S) thì tồn tại w ∈ X sao cho f w = Sw = z .
(iii) Nếu z ∈ (S) và (f, S) tương thích yếu thì f z = Sz = z .
(iv) Nếu S liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = Sz = z .
(v) Nếu f liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = z .
(vi) Nếu (f, S) tương thích và liên tục phụ thuộc tại z thì f z = Sz = z .
Chứng minh. Ta xác định các ánh xạ
Λ : (R+ )5 → R+ bởi công thức
1
Λ(t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ) = max{t1 , t2 , t3 , (t4 + t5 )};
2
+
+
3
I : R → (R ) bởi công thức
I(t) = {(a, b, c) ∈ (R+ )3 : a ≥ 0, b ≥ δ(t), c ≥ δ(t) và a + b + 2c ≤ 1};
Ω : (R+ )5 → R+ bởi công thức
Ω(t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ) = sup{at3 + b max{t1 , t2 } + c(t4 + t5 ) :
(a, b, c) ∈ I(Λ(t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ))}

với mọi t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ∈ R+ .
Từ cách xác định trên suy ra
α(x, y) = Ω(d(Sx, f x), d(Sy, f y), d(Sx, Sy), d(f x, Sy), d(Sx, f y))


16

= sup{ad(Sx, Sy) + b max{d(Sx, f x), d(Sy, f y)}+
c[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)] : (a, b, c) ∈ I(max{d(Sx, f x),
d(Sy, f y), d(Sx, Sy), 21 [d(f x, Sy) + d(Sx, f y)]})}
= sup{ad(Sx, Sy) + b max{d(Sx, f x), d(Sy, f y)}+
c[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)] : a ≥ 0, b ≥ δ(θ(x, y)),
c ≥ δ(θ(x, y)), a + b + 2c ≤ 1}.

Do đó, từ giả thiết suy ra
d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X .

Vì δ đơn điệu giảm trên R+ nên Ω đơn điệu tăng theo từng biến. Có thể
thử được rằng σ1 (t) ≤ [1 − δ(t+ )]t, σ2 (t) ≤ [1 − δ(t)]t với mọi t ∈ (0, ∞) vì
vậy ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞). Điều đó chứng tỏ rằng Ω(t, s, t, 0, t + s) ≤
t + [1 + δ(s)](s − t) < s nếu 0 ≤ t < s < +∞. Do đó Ω thỏa mãn điều kiện A.

Ta có thể thấy rằng
Ω(t, t, 2t, t, t + s) ≤ sup{(1 + a)t + cs : (a, b, c) ∈ I(2t)} với mọi
t ∈ R+ , s ∈ [t, 2t],

1+a
≤ 2 − b ≤ 2 − δ(2t)
1−c

với mọi (a, b, c) ∈ I(2t) và Ω(t, t, t, 0, λt t) ≤ [1 − (2 − λt )δ(t)]t ≤ [1 −
δ(2t)δ(t)]t < t với mọi t ∈ (0, +∞), trong đó
λt = sup{

1+a
: (a, b, c) ∈ I(2t)} ≤ 2 − δ(2t).
1−c

Rõ ràng
1
1
sup{c : (a, b, c) ∈ I(2t)} ≤ [1 − δ(2t)] ≤ .
2
2

Ta định nghĩa hàm ϕ : R+ → R+ bởi công thức ϕ(t) = [1 − δ(2t)δ(t)]t với
mọi t ∈ R+ . Vì δ là hàm đơn điệu tăng trên R+ nên ϕ là hàm đơn điệu tăng
trên R+ . Rõ ràng ϕ(t+ ) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và do đó Ω thỏa mãn điều kiện
B với It = I(2t), βi = a, γi = c, trong đó i = (a, b, c) ∈ I(2t). Từ đó áp dụng


17

Định lí 1.2.4 ta có điều phải chứng minh.
1.2.6 Hệ quả. ([5]) Giả sử (f, S) thỏa mãn điều kiện A và N0 là số nguyên
dương, a1 , . . . , aN0 , b1 , . . . , bN0 , c1 , . . . , cN0 > 0 sao cho ai + bi + 2ci ≤ 1 với
mọi i = 1, 2, . . . , N0 và
d(f x, f y) ≤ max{ai d(Sx, Sy) + bi max{d(Sx, f x), d(Sy, f y)}
+ci [d(f x, Sy) + d(Sx, f y)] : i ∈ {1, 2, . . . , N0 }}

với mọi x, y ∈ X . Khi đó {yn } nói trong Định nghĩa 1.1.3 là dãy Cauchy.
Nếu {yn } hội tụ tới z ∈ X thì các khẳng định từ (i) đến (vi) của Hệ quả
1.2.5 cũng đúng trong trường hợp này.
Chứng minh. Xác định hàm
1
δ : R+ → (0, min{ , δ1 , δ2 }],
3

trong đó δ1 = min{bk : k = 1, 2, . . . , N0 } và δ2 = min{ck : k = 1, 2, . . . , N0 }.
Ta thấy các điều kiện của Hệ quả 1.2.5 được thỏa mãn. Từ đó ta có điều
cần chứng minh.
1.2.7 Hệ quả. ([5]). Giả sử ϕ : R+ → R+ là ánh xạ đơn điệu tăng sao
cho ϕ(t+ ) < t với mọi t ∈ (0, ∞) cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A và
d(f x, f y) ≤ ϕ(max{d(Sx, Sy), d(Sx, f x), d(Sy, f y),
1
[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)]})
2

với mọi x, y ∈ X . Khi đó {yn } nói trong Định nghĩa 1.1.3 là dãy Cauchy.
Nếu {yn } hội tụ tới phần tử z ∈ X thì các khẳng định từ (i) đến (vi) của
Hệ quả 1.2.5 cũng đúng trong trường hợp này.
Chứng minh. Ta xác định Ω : (R+ )5 → R+ bởi công thức
1
Ω(t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ) = ϕ(max{t1 , t2 , t3 , (t4 + t5 )})
2


18

với mọi t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ∈ R+ . Khi đó, Ω là hàm đơn điệu tăng từng biến,
ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), Ω thỏa mãn điều kiện A và d(f x, f y) ≤ α(x, y)

với mọi x, y ∈ X . Rõ ràng rằng Ω(t, t, 2t, t, t + s) = ϕ(2t) ≤ 2t nếu t ∈ R+ và
t ≤ s ≤ 2t; Ω(t, t, t, 0, 2t) = ϕ(t) với mọi t ∈ R+ . Do đó Ω thỏa mãn điều kiện
B với It là tập một phần tử, βi = 1, γi = 0(i ∈ It ) và λt = 2 với mọi t ∈ R+ .

Áp dụng Định lí 1.2.4 ta có điều phải chứng minh.
1.2.8 Bổ đề. ([2]) Giả sử X là một tập khác rỗng và các ánh xạ S, T, f :
X → X có duy nhất một điểm trùng nhau u ∈ X . Nếu (S, f ) và (T, f )

tương thích yếu, thì S, T và f có duy nhất một điểm bất động chung .
Chứng minh. Vì u là điểm trùng nhau của S, T và f nên f u = Su = T u =
v ∈ X . Từ giả thiết các cặp (S, f ) và (T, f ) tương thích yếu, ta có Sv = Sf u =
f Su = f v và T v = T f u = f T u = f v . Từ đó suy ra Sv = T v = f v . Vì thế,
v là một điểm trùng nhau của S, T và f . Vì u tồn tại duy nhất do đó v = u.

Vậy v là điểm bất động chung duy nhất của S, T và f .
1.2.9 Định lý. ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là
một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ T, f : X → X
thỏa mãn
d(T x, T y) ≤ α[d(f x, T y) + d(f y, T x)] + γd(f x, f y)

với mọi x, y ∈ X , trong đó α, γ ∈ [0, 1) với 2α + γ < 1, T (X) ⊆ f (X) và
f (X) là một không gian con đầy đủ của X . Khi đó T và f có duy nhất

một điểm trùng nhau . Hơn nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có
duy nhất một điểm bất động chung .
1.2.10 Hệ quả. ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là
một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k , các ánh xạ T, f : X → X thỏa

19

mãn
d(T x, T y) ≤ αd(f x, T y) + βd(f y, T x) + γd(f x, f y)

(8)

với mọi x, y ∈ X , α, β, γ ∈ [0, 1) với α + β + γ < 1, T (X) ⊆ f (X) và f (X)
là một không gian con đầy đủ của X . Khi đó T và f có duy nhất một điểm
trùng nhau . Hơn nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có duy nhất
một điểm bất động chung .
Chứng minh. Trong (8) thay đổi vai trò của x, y rồi cộng hai vế của bất đẳng
thức lại ta được
d(T x, T y) ≤

α+β
[d(f x, T y) + d(f y, T x)] + γd(f x, f y).
2

Bây giờ sử dụng Định lí 1.2.9 ta thu được kết quả cần chứng minh.
1.2.11 Hệ quả. ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là
một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ T, f : X → X
thỏa mãn
d(T x, T y) ≤ γd(f x, f y)

với mọi x, y ∈ X , trong đó 0 ≤ γ < 1, T (X) ⊆ f (X) và f (X) là không gian
con đầy đủ của X . Khi đó T và f có duy nhất một điểm trùng nhau. Hơn
nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có duy nhất một điểm bất động

chung .
Chứng minh. Hệ quả này là trường hợp đặc biệt của Định lí 1.2.9 với α =
0.

1.2.12 Hệ quả. ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là
một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ T, f : X → X
thỏa mãn
d(T x, T y) ≤ α[d(f x, T y) + d(f y, T x)]


20

1
với mọi x, y ∈ X , trong đó 0 ≤ α < , T (X) ⊆ f (X) và f (X) là một không
2
gian con đầy đủ của X . Khi đó T và f có duy nhất một điểm trùng nhau

. Hơn nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có duy nhất một điểm
bất động chung .
Chứng minh. Hệ quả này là trường hợp đặc biệt của Định lí 1.2.9 với γ =
0.

1.2.13 Định lý. ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là
một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ S, T, f : X → X
thỏa mãn
d(Sx, T y) ≤ αd(f x, T y) + βd(f y, Sx) + γd(f x, f y)

với mọi x, y ∈ X , với α, β, γ là các số thực không âm α + β + γ < 1. Nếu
S(X) ∪ T (X) ⊆ f (X) và f (X) là một không gian con đầy đủ của X thì
S, T và f có duy nhất một điểm trùng nhau . Hơn nữa, nếu (S, f ) và (T, f )

tương thích yếu thì S, T và f có duy nhất một điểm bất động chung .
Chứng minh. Giả sử x0 là một điểm tùy ý trong X . Vì S(X) ⊂ f (X) nên
chọn được x1 ∈ X sao cho f x1 = Sx0 .
Tương tự, chọn x2 ∈ X sao cho f x2 = T x1 . Tiếp tục quá trình này ta chọn
được dãy {xn } ⊂ X , sao cho
f x2k+1 = Sx2k , f x2k+2 = T x2k+1

(k ≥ 0).

Khi đó
d(f x2k+1 , f x2k+2 ) = d(Sx2k , T x2k+1 )
≤ αd(f x2k , T x2k+1 ) + βd(f x2k+1 , Sx2k ) + γd(f x2k , f x2k+1 )
= αd(f x2k , f x2k+2 ) + γd(f x2k , f x2k+1 )


21

≤ [α + γ]d(f x2 k, f x2k+1 ) + αd(f x2k+1 , f x2k+2 ).

Điều này suy ra
[1 − α]d(f x2k+1 , f x2k+2 ) ≤ [α + γ]d(f x2 k, f x2k+1 ).

Do đó
d(f x2k+1 , f x2k+2 ) ≤

[α + γ]
d(f x2 k, f x2k+1 ).
1−α

Tương tự, ta có
d(f x2k+2 , f x2k+3 ) = d(Sx2k+2 , T x2k+1 )
≤ αd(f x2k+2 , T x2k+1 ) + βd(f x2k+1 , Sx2k+2 )+
γd(f x2k+2 , f x2k+1 )
≤ αd(f x2k+2 , f x2k+2 ) + βd(f x2k+1 , f x2k+3 )+
γd(f x2k+2 , f x2k+1 )
≤ [β + γ]d(f x2k+1 , f x2k+2 ) + βd(f x2k+2 , f x2k+3 ).

Do đó
d(f x2k+2 , f x2k+3 ) ≤

β+γ
d(f x2k+1 , f x2k+2 ).
1−β

Bằng phương pháp quy nạp, ta thu được
α+γ
d(f x2k+1 , f x2k+2 ) ≤
d(f x2k , f x2k+1 )
1−α
≤

α+γ
1−α

β+γ
d(f x2k−1 , f x2k )
1−β

≤

α+γ
1−α

β+γ
1−β

α+γ
≤ ... ≤
1−α

α+γ
d(f x2k−2 , f x2k−1 )
1−α

β+γ
1−β

k

α+γ
1−α

d(f x0 , f x1 )

và
d(f x2k+2 , f x2k+3 ) ≤

β+γ
d(f x2k+1 , f x2k+2 )

1−β

β+γ
≤ ... ≤
1−β

α+γ
1−α

k+1

d(f x0 , f x1 ),


22

với mỗi k ≥ 0. Đặt λ =

α+γ
β+γ
,µ=
1−α
1−β

thì λµ < 1. Bây giờ với p < q ,

ta có
d(f x2p+1 , f x2q+1 ) ≤ d(f x2p+1 , f x2p+2 ) + d(f x2p+2 , f x2p+3 )+
d(f x2p+3 , d(f x2p+4 )) + . . . + d(f x2q , f x2q+1 )
q−1

≤ λ

(λµ)i d(f x0 , f x1 )

(λµ) +
i=p

≤

q
i

i=p+1

λ(λµ)p [1 − (λµ)q−p ] (λµ)p+1 [1 − (λµ)q−p ]
+
d(f x0 , f x1 )
1 − λµ
1 − λµ

λ(λµ)p (λµ)p+1
d(f x0 , f x1 )
+
≤
1 − λµ
1 − λµ
λ(λµ)p
≤ (1 + µ)
d(f x0 , f x1 ),

1 − λµ
(λµ)p
d(f x2p , f x2q+1 ) ≤ (1 + λ)
d(f x0 , f x1 ),
1 − λµ
d(f x2p , f x2q ≤ (1 + λ)

(λµ)p
d(f x0 , f x1 )
1 − λµ

và
λ(λµ)p
d(f x2p+1 , f x2q ) ≤ (1 + µ)
d(f x0 , f x1 ).
1 − λµ

Do đó, với 0 < n < m tồn tại p < n < m sao cho p → ∞ khi n → ∞ và
d(f xn , f xm ) ≤ max (1 + µ)

λ(λµ)p
(λµ)p
, (1 + λ)
)
1 − λµ
1 − λµ

d(f x0 , f x1 ).

Vì P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k, ta có

d(f xn , f xm ) ≤ k max (1+µ)

λ(λµ)p
(λµ)p
, (1+λ)
1 − λµ
1 − λµ

d(f x0 , f x1 ) .


23

Vì thế, nếu m, n → ∞ thì
λ(λµ)p
(λµ)p
max (1 + µ)
, (1 + λ)
1 − λµ
1 − λµ

→ 0,

và vì vậy d(f xn , f xm ) → 0. Do đó, {f xn } là dãy Cauchy. Vì f (X) là không
gian đầy đủ nên tồn tại u, v ∈ X sao cho f xn → v = f u.Vì
d(f u, Su) ≤ d(f u, f x2n ) + d(f x2n , Su)
≤ d(v, f x2n ) + d(T x2n−1 , Su)
≤ d(v, f x2n ) + αd(f u, T x2n−1 ) + β[d(f x2n−1 , f u) + d(f u, Su)]+
γd(f u, f x2n−1 ),

nên
1
[d(v, f x2n ) + αd(v, f x2n ) + βd(f x2n−1 , v) + γd(v, f x2n−1 )]
1−β
1
≤
[(1 + α)d(v, f x2n ) + βd(f x2n−1 , v) + γd(v, f x2n−1 )].
1−β

d(f u, Su) ≤

Do đó
d(f u, Su) ≤

k
(1 + α)d(v, f x2n ) + (β + γ)d(v, f x2n−1 ) .
1−β

Nếu n → ∞, thì ta có d(f u, Su) = 0. Do đó, f u = Su. Tương tự như
trên, sử dụng bất đẳng thức
d(f u, T u) ≤ d(f u, f x2n+1 ) + d(f x2n+1 , T u).

Ta có thể chỉ ra rằng f u = T u, suy ra u là điểm trùng nhau của S, T và f ,
nghĩa là v = f u = Su = T u.
Bây giờ, ta chỉ ra rằng f, S và T tồn tại duy nhất một điểm trùng nhau.
Giả sử tồn tại điểm khác u∗ trong X sao cho v ∗ = f u∗ = Su∗ = T u∗ .
Khi đó
d(v, v ∗ ) = d(Su, T u∗ )

24

≤ αd(f u, T u∗ ) + βd(f u, Su) + γd(f u, f u∗ )
≤ (α + β + γ)d(v, v ∗ )

Suy ra d(v, v ∗ ) = 0, do đó v = v ∗ .
Nếu (S, f ) và (T, f ) tương thích yếu, thì Sv = Sf u = f Su = f v và T v =
T f u = f T u = f v . Điều này suy ra rằng Sv = T v = f v = w. Do đó w là giá

trị chung của S, T và f và v = w. Vì vậy v là điểm bất động chung duy nhất
của S, T và f .
1.2.14 Ví dụ. Giả sử X = {1, 2, 3}, E = R2 và P = {(x, y) ∈ E; x, y ≥ 0}.
Hàm d : X × X → E xác định theo công thức

(0, 0) nếu x = y




 ( 5 , 5) nếu x = y và x, y ∈ X\{2}
7
d(x, y) =
(1,
7) nếu x = y và x, y ∈ X\{3}




 ( 4 , 4) nếu x = y và x, y ∈ X\{1}.
7

Ánh xạ T, f : X → X xác định theo công thức
T (x) =

1 nếu x = 2
3 nếu x = 2.

và f x = x với mọi x ∈ X . Khi đó,
5
d(T (3), T (2)) = ( , 5).
7

Với 2α + γ < 1, ta có
α[d(f (3), T (2)) + d(f (2), T (3))] + γd(f (3), f (2))
= α[d(3, T (2)) + d(2, T (3))] + γd(3, 2)
4
= γ( , 4) + α[d(3, 3) + d(2, 1)]
7
4
7α + 4γ
= α[0 + (1, 7) + γ( , )] = (
, 7α + 4γ)
7
7
4(2α + γ)
8α + 4γ
<(
, 8α + 4γ) = (
, 4(2α + γ))
7
7

25

5
4
< ( , 4) < ( , 5) = d(T (3), T (2))
7
7

Vì vậy các ánh xạ T và f không thõa mãn điều kiện của Định lí 1.2.9. Do
đó, Định lí 1.2.9 và các Hệ quả 1.2.10, 1.2.11, 1.2.12 đều không áp dụng được
ở đây.
Bây giờ, ta xác định các ánh xạ S : X → X bởi S(x) = 1 với mọi x ∈ X .
Khi đó,
d(Sx, T y) =

(0, 0) nếu y = 2
5
( , 5) nếu y = 2
7

và
5
αd(f x, T y) + βd(f y, Sx) + γd(f x, f y) = ( , 5).
7
5
nếu y = 2, α = γ = 0 và β = . Do đó các điều kiện của Định lí 1.2.13 được
7
5

thõa mãn với α = γ = 0, β = và ta có 1 là điểm bất động chung của ba ánh
7
xạ S, T và f .