Một số định lý điểm bất động trong đại số BANNACH

1

MỤC LỤC

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
Chương 1. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đơn trị
trong đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Một số khái niệm, kết quả cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2 Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đơn trị trong
đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đa trị
trong đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị trong
đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37


2

MỞ ĐẦU

Giải tích hàm nói chung và lý thuyết điểm bất động nói riêng đóng vai trò
quan trọng trong giải tích và nhiều lĩnh vực khác của toán học. Nguyên lý về
sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của
Banach là một trong những kết quả kinh điển trong lĩnh vực này. Người ta
đã mở rộng kết quả này theo nhiều hướng khác nhau, bằng cách xét sự tồn
tại điểm bất động cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian. Bên cạnh
việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đơn trị người ta
còn nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đa trị.... Ngoài việc

nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ trong không gian mêtric
người ta còn nghiên cứu trong không gian Banach và đại số Banach. Những
người đạt được nhiều kết quả trong hướng nghiên cứu này là B.C.Dhage,
S.Djebali, K.Hammache,... Mục đích của chúng tôi là dựa vào các tài liệu
tham khảo để nghiên cứu và tìm hiểu sự tồn tại điểm bất động của các ánh
xạ đơn trị và đa trị trong đại số Banach. Với mục đích đó, luận văn được
chia làm hai chương.
Chương 1. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đơn trị
trong đại số Banach
Chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về không
gian Banach, đại số Banach, ánh xạ Lipschitz, ánh xạ co,...cần dùng trong
luận văn. Sau đó chúng tôi trình bày các định lý về sự tồn tại điểm bất động
của ánh xạ α- tụ, α- Lipschitz thỏa mãn điều kiện Furi-Pera. Cuối cùng
chúng tôi trình bày một số hệ quả của các định lý đã trình bày trước đó.
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đa trị
trong đại số Banach


3

Chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản
của ánh xạ đa trị như: tính compact, tính liên tục, tính bị chặn, tính hoàn
toàn bị chặn,....Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lý điểm bất động
của các ánh xạ đa trị trong đại số Banach tương tự như đối với ánh xạ đơn
trị đã trình bày ở chương 1, chúng được thể hiện ở các Định lý 2.2.5, Định
lý 2.2.6, Định lý 2.2.12.
Các kết quả trình bày trong luận văn chủ yếu là đã có trong các tài liệu
tham khảo, chúng tôi hệ thống và trình bày theo mục đích của mình. Ngoài
việc chứng minh chi tiết một số kết quả mà trong các tài liệu tham khảo
chúng chỉ được chứng minh vắn tắt hoặc không chứng minh đó là các Định

lý 1.2.1, Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.4, chúng tôi còn đưa ra và chứng minh
một số kết quả như Nhận xét 2.1.4, Nhận xét 2.2.9.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
Thầy. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các quý thầy, cô giáo trong
tổ Giải tích, khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học, Ban lãnh đạo trường
Đại học Vinh đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong
suốt khóa học vừa qua. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới lãnh
đạo trường Đại học Công Nghiệp Quảng Ninh, lãnh đạo khoa Khoa học Cơ
Bản và tổ Toán trường Đại học Công Nghiệp Quảng Ninh đã giúp đỡ tác
giả trong thời gian đi học cũng như trong thời gian hoàn thành luận văn.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và
thời gian nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả
rất mong nhận được những góp ý chỉ bảo của thầy giáo, cô giáo, bạn bè và
các đồng nghiệp để từ đó có thể bổ sung, sửa chữa và hoàn thành luận văn
tốt nhất.

Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Hương


4

CHƯƠNG 1

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN
TRỊ TRONG ĐẠI SỐ BANACH

Chương này trình bày một số Định lý về sự tồn tại điểm bất động của

một số ánh xạ đơn trị trong đại số Banach
1.1

Một số khái niệm, kết quả cơ bản

Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian
Banach, đại số Banach, ánh xạ Lipschitz, ánh xạ co,...mà chúng cần dùng
trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. i) Cho X là một tập. Một mêtric trên X là một hàm
d:X×X→R thoả mãn các tính chất

1) d(x, y) 0 với mọi x, y∈X ; d(x, y)= 0 khi và chỉ khi x = y ,
2) d(x, y)=d(y, x) với mọi x, y ∈ X ,
3) d(x, z) d(x, y)+d (y, z),với mọi x, y, z ∈ X .
ii) Tập X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric
và ký hiệu là (X, d).
1.1.2 Định nghĩa. Một không gian tôpô X được gọi là khả mêtric nếu
tôpô của nó có thể xác định được bởi mêtric trên X.
1.1.3 Định nghĩa. Cho không gian mêtric (X, d). Dãy {xn }⊂X được gọi
là dãy Cauchy , nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈N ∗ sao cho d(xn , xm )< ,
với mọi m, n

n0 .


5

1.1.4 Định nghĩa. Không gian mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ, nếu với
mỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm thuộc X .
1.1.5 Định nghĩa. Cho X là một không gian tuyến tính thực hoặc phức.

Một chuẩn trên X là một hàm x → x từ X vào R thỏa mãn các điều kiện
sau:
(a) x

0 ; x = 0 ⇔ x = 0, với mọi x ∈ X ,

(b) λx = |λ| x , với mọi x ∈ X , mọi λ ∈ K với (K = C, R),
(c) x + y

x + y , với mọi x, y ∈ X .

x được gọi là chuẩn của phần tử x.

1.1.6 Định nghĩa. i) Cặp (X, · ), trong đó X là một không gian tuyến
tính và · là một chuẩn trên X, được gọi là một không gian tuyến tính
định chuẩn.
ii) Nếu (X, · ) là một không gian định chuẩn thì công thức
d (x, y) = x − y với mọi x, y∈X xác định một mêtric trên X và nó được

gọi là mêtric sinh bởi chuẩn.
1.1.7 Định nghĩa. Không gian tuyến tính định chuẩn (X, · ) đầy đủ đối
với mêtric sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach.
1.1.8 Định nghĩa. Giả sử (X, ρX ), (Y, ρY ) là hai không gian mêtric, ánh
xạ f : X → Y gọi là liên tục tại x0 nếu với mọi số dương ε, tồn tại σ > 0
sao cho với mọi x ∈ X nếu ρX (x, x0 ) < σ thì
ρY (f (x), f (x0 )) < ε.

Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .
1.1.9 Mệnh đề. Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x ∈ X khi và chỉ khi

6

với mọi dãy {xn }n 1 ⊂ X nếu lim xn = x ∈ X thì
n→∞

lim f (xn ) = f (x) ∈ Y.

n→∞

1.1.10 Định nghĩa. Song ánh f : X → Y từ không gian mêtric X lên
không gian mêtric Y gọi là phép đồng phôi nếu f và f −1 đều là ánh xạ liên
tục với f −1 : Y → X .
1.1.11 Định nghĩa. Hai không gian mêtric X và Y gọi là đồng phôi với
nhau nếu tồn tại một phép đồng phôi f : X → Y .
1.1.12 Định nghĩa. Tập con M của không gian mêtric X gọi là bị chặn
nếu nó là tập con của một hình cầu nào đó, nghĩa là nếu có một điểm a ∈ X
và một số C > 0 sao cho ρ(x, a)

C , với mọi x ∈ M .

1.1.13 Định nghĩa. Tập con M của không gian mêtric X gọi là hoàn toàn
bị chặn nếu với mọi ε > 0 cho trước, tập M có thể phủ được bằng một số
hữu hạn hình cầu bán kính ε, nghĩa là tồn tại một số hữu hạn hình cầu
B(x1 , ε),· · · ,B(xn , ε) sao cho
n

M ⊂

B(xi , ε).

i=1

1.1.14 Định nghĩa. Tập con M trong không gian mêtric X được gọi là
compact nếu mọi dãy {xn }n 1 ⊂ M đều chứa một dãy con {xnk } hội tụ tới
một điểm thuộc M.
1.1.15 Định lý (Hausdorff ). Một tập compact thì đóng và hoàn toàn
bị chặn. Ngược lại, một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong không gian
mêtric đủ thì compact.
1.1.16 Định nghĩa. Tập con A của một không gian véctơ X được gọi là
lồi nếu với mọi x, y ∈ A và mọi λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ) x ∈ A.


7

1.1.17 Định nghĩa. Cho X là một không gian mêtric.Ánh xạ
T : X → X được gọi là Lipschitz nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho
Tx − Ty ≤ α x − y

với x, y ∈ X.

Nếu α < 1, thì T được gọi là ánh xạ co trên X với hằng số co α, và
nếu α = 1, thì T được gọi là ánh xạ không giãn trên X.
1.1.18 Định nghĩa. Cho X là không gian Banach và ánh xạ
f : X → X.

Khi đó, ánh xạ f được gọi là
(a) compact nếu f (X) là tập compact,
(b) hoàn toàn bị chặn nếu f (A) là tập compact tương đối với A là tập con
bị chặn củaX,
(c) liên tục đầy đủ nếu nó liên tục và hoàn toàn bị chặn.

1.1.19 Định nghĩa. Một không gian vectơ X trên trường số C được trang
bị thêm một phép nhân trong thỏa mãn các điều kiện
(1) x (yz) = (xy) z với mọi x, y ∈ X ,
(2) (x + y) z = xz + yz, x (y + z) = xy + xz với mọi x, y, z ∈ X ,
(3) α (xy) = (αx) y = x (αy) với mọi x, y ∈ X và α ∈ C
được gọi là một đại số phức, hay ngắn gọn là đại số.
- Một đại số X thỏa mãn thêm các điều kiện
(4) X là không gian Banach với chuẩn · nào đó,
(5) xy ≤ x

y

với mọi x, y ∈ X ,

được gọi là một đại số Banach.
- Nếu tồn tại phần tử e ∈ X sao cho e = 1và ex = xe = x với mọi
x ∈ X thì X được gọi là đại số có đơn vị và e được gọi là phần tử đơn vị
của X.


8

1.1.20 Nhận xét. i) Phần tử đơn vị của một đại số Banach là duy nhất.
ii) Phép nhân ( trong ) là liên tục,liên tục trái, liên tục phải.

1.1.21 Định nghĩa. Giả sử X là một không gian mêtric và f là một ánh
xạ từ X vào chính nó. Một điểm x ∈ X được gọi là một điểm bất động của
f nếu x=f (x).

1.1.22 Định lý (Schauder). Một ánh xạ liên tục f : S → S từ một tập

lồi, compact S trong một không gian định chuẩn X vào chính nó bao giờ
cũng có một điểm bất động x = f (x) với x ∈ S .
1.1.23 Định nghĩa. Tập con X0 của không gian X được gọi là cái co rút
của X nếu tồn tại một ánh xạ liên tục r : X → X0 sao cho r(x) = x, với mọi
x ∈ X0 ; ánh xạ r được gọi là phép co rút từ X lên X0 .

1.1.24 Định lý ([12]). Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không
gian Banach X và A, B : M → X là hai ánh xạ thỏa mãn
(a) A là ánh xạ compact và liên tục,
(b) B là ánh xạ co,
(c) Ax + By ∈ M với mọi x, y ∈ M .
Khi đó A + B có ít nhất một điểm bất động trong M.
1.1.25 Định lý ([2]). Cho S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại số
Banach X và A, B : X→X là hai ánh xạ thỏa mãn
(a) A là ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz α,
(b)

I −1
A

tồn tại trên B(S), trong dó I là ánh xạ đồng nhất và

được xác định bởi

I
A

(x) =

x

Ax ,

(c) B là ánh xạ liên tục đầy đủ,
(d) AxBy ∈ S với mọi x, y ∈ S .

I
A

:X→X


9

Khi đó, phương trình x=AxBx có nghiệm nếu αM<1, trong đó
M := B (S) = sup { Bx : x ∈ S}.

1.1.26 Định nghĩa. Cho E là không gian Banach, ánh xạ f : E → E và
φf : R+ → R+ là hàm không giảm sao cho φf (0) = 0, trong đó R+ là tập

các số thực không âm. Khi đó,
(a) Ánh xạ f được gọi là D−Lipschitz với D- hàm φf nếu
f (x) − f (y)

Φf ( x − y )

với mọi (x, y) ∈ E 2 ,
(b) Nếu φf (r) < r, với mọi r > 0, thì ánh xạ f được gọi là co phi tuyến,
(c) Nếu φf (r) = kr với 0 < k <1, thì ánh xạ f được gọi là ánh xạ co,
(d) Ánh xạ f được gọi là không giãn nếu φf (r) = r, nghĩa là
f (x) − f (y) ≤ x − y

với mọi (x, y) ∈ E 2 .

1.1.27 Bổ đề ([12]). Mọi ánh xạ D-Lipschitz A là bị chặn, nghĩa là ánh
xạ A biến tập bị chặn thành tạp bị chặn.
Chứng minh. Giả sử S là tập con bị chặn của không gian Banach E và
d = diamS trong đó diamS là đường kính của S. Lấy s0 ∈ S . Vì φf là hàm

không giảm và A là D- Lipschitz nên với s ∈ S ta có

As

= As − As0 + As0
As − As0

+

As0

φA ( s − s0 ) + A s0
φA (d) +

As0

.

Vậy A(S) là tập bị chặn hay A là ánh xạ bị chặn.
Sau đây chúng ta trình bày một số kết quả quan trọng về sự tồn tại điểm
bất động của một số ánh xạ đặc biệt mà chúng cần dùng về sau

10

1.1.28 Định lý ([3]). Cho S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại số
Banach E và A, B : S → S là hai toán tử sao cho
(a) A là D-Lipschitz với D- hàm φA ,
(b) B là ánh xạ liên tục đầy đủ,
(c) Từ x = AxBy suy ra x ∈ S , với mọi y ∈ S .
Khi đó, phương trình x = AxBx có nghiệm nếu MφA (r) < r với mọi
r > 0, trong đó M := B(S) .

1.1.29 Định lý ([4]). Cho E là không gian Banach và f : E → E là ánh
xạ co phi tuyến. Khi đó, ánh xạ f có duy nhất điểm bất động trong E .
1.1.30 Định nghĩa. Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương. Khi
đó X được gọi là không gian Fréchet nếu X khả mêtric và đầy đủ.
1.1.31 Định lý ([7]). Cho E là không gian Fréchet, Q là tập con đóng,
lồi của E, 0 ∈ Q và T : Q → E là ánh xạ liên tục, compact. Giả sử thêm
rằng
(FP)

Nếu {xj , λj }j≥1 là một dãy trong ∂Q × [0, 1] hội tụ tới
(x, λ) với x = λT (x) và 0 ≤ λ < 1 thì λj T (xj ) ∈ Q với j đủ lớn.

Khi đó, T có điểm bất động trong Q.
Điều kiện (FP) được gọi là điều kiện Furi-Pera.
1.1.32 Định nghĩa. Cho E là không gian Banach và B ⊂ P(E) là họ các
tập con bị chặn của E. Với tập con A ∈ B, xác định α(A) = infD trong đó,
n

D=

ε>0:A⊂

Ai , diam Ai ≤ ε, ∀i = 1, ..., n .
i=1

Khi đó α được gọi là độ đo Kuratowski của các tập không compact.
1.1.33 Mệnh đề ([12]). Với A, B ∈ B, ta có
(a) 0

α(A)

diam(A),


11

(b) Nếu A ⊆ B thì α(A)

α(B), (α không giảm),

(c) α (A ∪ B) = max {α (A) , α (B)}
(d) α(A + B)

α(A) + α(B) (α dưới cộng tính),

(e) α(ConvA) = α A = α(A),
(f) Nếu α(A) = 0 thì A tập compact tương đối.
1.1.34 Định nghĩa. Cho E1 , E2 là hai không gian Banach và
f : E1 → E2 là một ánh liên tục biến các tập con bị chặn của E1 thành các

tập con bị chặn của E2 . Khi đó,
(a) Ánh xạ f được gọi là α − Lipschitz nếu tồn tại k > 0 sao cho
α (f (A)) ≤ kα (A) ,

với A ⊂ E1 là tập con bị chặn bất kỳ của E1 .
(b) f được gọi là co ngặt nếu f là α − Lipschitz với k < 1,
(c) f được gọi là α - tụ nếu α(f (A)) < α(A), trong đó A là tập con bị chặn
bất kỳ của E1 và α (A) = 0.
1.1.35 Nhận xét. Từ Định nghĩa 1.1.34 ta suy ra rằng, nếu k = 0 thì f là
ánh xạ hoàn toàn bị chặn và α-tụ.
Chứng minh. Thật vậy, nếu k = 0 thì ta có α(f (A)) = 0 với A là tập con
bị chặn bất kỳ của E1 . Theo Mệnh đề 1.1.33 thì f (A) là tập compact tương
đối. Vậy f là hoàn toàn bị chặn.
Mặt khác, do α(f (A)) = 0 < α(A) nên α (A) = 0. Vậy f là α - tụ.
1.1.36 Định lý ([12]). Cho E là không gian Banach, Q là tập con đóng,
lồi và bị chặn của E, 0 ∈ Q. Giả sử F : Q → E là α- tụ, thỏa mãn điều
kiện Furi- Pera. Khi đó, F có điểm bất động x ∈ Q.
1.1.37 Định lý ([12]). Cho E là không gian Banach, Q là tập con đóng,
lồi và bị chặn của E, 0 ∈ Q. Giả sử (I − F )(S) là tập đóng trong đó


12

F : Q → E là α- Lipschitz với k= 1 và thỏa mãn điều kiện Furi- Pera.

Khi đó, F có diểm bất động x ∈ Q.

1.2

Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đơn
trị trong đại số Banach

Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh
xạ dạng F = AB + C thỏa mãn điều kiện Furi- Pera trong đại số Banach,
trong đó A, C là các toán D- Lipschitz, B là toán tử liên tục đầy đủ.
1.2.1 Định lý ([12]). Giả sử S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại
số Banach X với 0 ∈ S và A, C : X → X , B : S → X là các toán tử
sao cho
(a) A và C là D- Lipschitz với D- hàm φA , φC tương ứng,
(b) B là toán tử liên tục đầy đủ,
(c) Toán tử F : S → X được xác định bởi
F (x) = AxBx + Cx

thoản mãn điều kiện Furi- Pera.
Khi đó, phương trình x = AxBx + Cx có nghiệm x ∈ S nếu
M φA (r) + φC (r) < r với mọi r > 0, (H0 )

trong đó M = B(S) .
Chứng minh. Từ giả thiết (a), (b) cùng với điều kiện (H0 ) suy ra F được
xác định như trên là α - tụ. Thật vậy, giả sử D ⊂ S là tập con bị chặn và
σ > 0. Khi đó, tồn tại phủ (D)ni=1 sao cho D ⊂
diam (Di )

n

Di và
i=1

α (D) + σ, với mọi i = 1, 2, ..., n.

Với mọi i ∈ {1, 2, · · ·, n}, đặt xi1 = x1 , xi2 = x2 ∈ Di , trong đó x1 , x2 là hai
n

điểm bất kỳ trong Di và Ei = F (Di ). Do D ⊂

Di nên
i=1

n

F (D) ⊂ F

n

Di
i=1

⊂

n

F (Di ) =
i=1

Ei .
i=1


13

Mặt khác, ta có
F (x1 ) − F (x2 ) = A x1 B x1 +C x1 −A x2 B x2 −C x2
= A x1 B x1 −A x1 B x2 +A x1 B x2 −A x2 B x2 +C x1 −C x2
≤ A x1 B x1 −A x1 B x2 + A x1 B x2 −A x2 B x2 + C x1 −C x2
≤ A x1

B x1 −B x2 + B x2

A x1 −A x2 + C x1 −C x2

≤ A x1 diam (B (Di )) + M A x1 −A x2 + C x1 −C x2
≤ A x1 α (B (Di )) + M φA x1 − x2 + φC x1 − x2 .

Vì B là toán tử liên tục đầy đủ nên B(Di ) là tập compact tương đối. Từ
đó ta có α(B(Di )) = 0. Do đó
F (x1 ) − F (x2 ) ≤ M φA ( x1 − x2 ) + φC ( x1 − x2 ) .

Hơn nữa, do φA , φC là các hàm không giảm nên ta có
diamEi

M φA ( x1 − x2 ) + φC ( x1 − x2 )
M φA (diamDi ) + φC (diamDi )
M φA (α(D) + σ) + φC (α(D) + σ) .

Do đó, ta có
α (F (D)) ≤ M φA (α (D) + δ) + φC (α (D) + δ) .

Do σ > 0 tùy ý nên ta có
α (F (D)) ≤ M φA (α (D)) + φC (α (D)) .

Theo điều kiện (H0 ) ta có
α (F (D)) ≤ M φA (α (D)) + φC (α (D)) < α (D) với mọi α (D) > 0.

Vậy F được xác định như trên là α- tụ và F thỏa mãn điều kiện Furi- Pera
nên từ Định lý 1.1.36, F có điểm bất động tại x ∈ S , tức x là nghiệm của
phương trình x = AxBx + Cx.


14

1.2.2 Chú ý. Trong trường hợp tổng quát, ta có thể xét n toán tử DLipschitz Ai , i = 1, 2, · · ·, n với D-hàm φi và các toán tử liên tục đầy đủ
Bi , i = 1, 2, · · ·, n được xác định trên tập con đóng, lồi và bị chặn S của đại
n

số Banach X, 0 ∈ S và thỏa mãn

Mi φi (r) < r, trong đó với mỗi i ta có
i=1

n

Mi = Bi (S) . Nếu toán tử F (x) =

i=1

n

Pera, thì phương trình

(Ai Bi )(x) thỏa mãn điều kiện Furi-

(Ai Bi )(x) = x có nghiệm x ∈ S .
i=1

1.2.3 Định lý ([12]). Giả sử S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại
số Banach X, 0 ∈ S và A, C : X→X , B : S→X là các toán tử sao cho
(a) A, C là D- Lipschitz với D- hàm φA , φC tương ứng,
(b) B là toán tử liên tục đầy đủ,
(c) Toán tử F : S→X được xác định bởi F (x) = AxBx + Cx thỏa mãn
điều kiện Furi- Pera.
Khi đó, phương trình x = AxBx + Cx có nghiệm x ∈ S nếu (I − F ) (S)
là tập đóng và bất đẳng thức M φA (r) + φC (r) < r đúng với mọi r > 0.
Chứng minh. Theo chứng minh trong Định lý 1.2.1 ta có F là α- tụ, do đó
F cũng là α- Lipschitz với k=1. Hơn nữa, (I − F )(S) là tập đóng và F thỏa
mãn điều kiện Furi- Pera nên theo Định lý 1.1.37 thì F có điểm bất động
x ∈ S tức là tồn tại x ∈ X sao cho x = AxBx + Cx.

1.2.4 Định lý ([12]). Giả sử S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại
số Banach X, 0 ∈ S và A : X→X , B : S→X là các toán tử sao cho
(a) A là D- Lipschitz với D- hàm φA ,
(b) B là toán tử liên tục đầy đủ,
(c) Toán tử N : S→X được xác định bởi N x = y trong đó y là nghiệm
duy nhất của phương trình y = AyBx, thỏa mãn điều kiện Furi- Pera.


15

Khi đó, phương trình x = AxBx có nghiệm x ∈ S với điều kiện
Ánh xạ Φ : [0, +∞) → [0, +∞)

r → Φ (r) = r − M ΦA (r) tăng tới vô cực, với M = B (S) .

(H)

Để chứng minh Định lý ta cần các kết quả sau dây.

1.2.5 Bổ đề ([12]). Với các giả thiết của Định lý 1.2.4, toán tử N : X→X
nói trong điều kiện (c) là xác định và bị chặn (trên các tập con bị chặn
của X).
Chứng minh. Với x ∈ S , giả sử Ax : X→X là ánh xạ được xác định bởi
Ax (y) = AyBx

Khi đó, với y1 , y2 ∈ X ta có
Ax y1 −Ax y2 = A y1 Bx − A y2 Bx
Bx

A y1 −A y2 ≤ M φA ( y1 − y2 ) ,

trong đó M φA (r) < r, với mọi r > 0. Từ Định lý 1.1.34 , Ax có chỉ một
điểm bất động y ∈ X và vì vậy N được xác định.
Mặt khác, giả sử D ⊂ X là tập con bị chặn, x ∈ D và y = N x trong đó
y là nghiệm duy nhất của phương trình y = AyBx. Như vậy
y = AyBx

Ay

Bx ≤ M Ay .

Giả sử y0 ∈ X . Khi đó, với giả thiết (H) ta có
y ≤ M Ay = M Ay − A y0 +Ay

≤ M ( Ay − A y0 + A y0 )
≤ M φ A ( y − y0 ) + M A y0 .

Do đó
y − y0 ≤ y + y 0 ≤ M φ A ( y − y0 ) + M A y0 + y0 .


16

Tiếp theo, ta có
Φ ( y − y0 ) = y − y0 − M φ A ( y − y0 ) ≤ M A y0 + y0 .

Từ đó, ta có
y − y0 ≤ Φ−1 (M A y0 + y0 ) .

Vì thế, ta có
y = y − y0 + y0 ≤ y − y0 + y0 ≤ Φ−1 (M A y0 + y0 ) + y0 .

Vậy N bị chặn trên tập con bị chặn D bất kỳcủa X.
1.2.6 Chú ý. Để chứng minh Bổ đề 1.2.5, chúng ta chỉ cần
lim Φ (s) = +∞

s→+∞

mà không dùng tính tăng của Φ.
1.2.7 Bổ đề ([12]). Với các thiết của Định lý 1.2.4, toán tử N nói trong
điều kiện (c) là toán tử compact.
Chứng minh. (a) N là toán tử liên tục.Thật vậy, giả sử tồn tại dãy (xn ) ⊂ S
sao cho xn → x khi n → ∞. Vì S là tập đóng nên x ∈ S . Hơn nữa
N xn − N x

= AN xn Bxn − AN xBx
= AN xn Bxn − AN xBxn + AN xBxn − AN xBx
AN xn Bxn − AN xBxn

+

AN xBxn − AN xBx

AN xn − AN x

+

AN x

Bxn

M φ( xn − x )+

AN x

Bxn − Bx

Bxn − Bx

.

Từ đó ta có
lim sup N xn −N x

n→∞

Mφ

lim sup xn −x

n→∞

+ AN x lim sup B xn −Bx .
n→∞

Từ giả thiết (b) của Định lý 1.2.4 ta có B là toán tử liên tục đầy đủ nên B
liên tục. Do đó limn→∞ sup Bxn − Bx = 0. Do vậy , ta có
lim sup N xn −N x = 0

n→∞


17

Mặt khác, vì
lim inf N xn −N x

0,

n→∞

nên
lim N xn −N x = 0.

n→∞

Vậy N là toán tử liên tục.
(b) N là toán tử compact. Thật vậy, từ Bổ đề 1.1.27 và Bổ đề 1.2.7, tồn
tại hằng số dương k1 sao cho AN x

k1 , với mọi x ∈ S . Giả sử cho

ε>0. Vì S là tập bị chặn, B liên tục đầy đủ nên B (S) là tập compact.
n

Khi đó, tồn tại E = {x1 , x2 , · · ·, xn }⊂S sao cho B(s)⊂

Bσ (wi ), trong đó

i=1

wi = B(xi ), i = 1, 2, ..., n và σ := k2 ε với k2 được chọn sau và Bσ (wi ) là

hình cầu mở tâm wi , bán kính σ trong X.
Do đó, với x ∈ S tồn tại xi ∈ E sao cho 0

Bx − B xi

k2 ε. Khi đó ta

có
N xi − N x

= AN xi Bxi − AN xBx

= N xi Bxi − AN xBxi + AN xBxi − AN xBx
AN xi Bxi − AN xBxi

+

AN xBxi − AN xBx

AN xi − AN x

+

AN x

Bxi

Bxi − Bx

M φA ( N xi − N x ) + k1 k2 ε.

Do vậy, từ giả thiết (H) ta có
Φ ( N xi −N x ) = N xi −N x − M φA ( N xi −N x )

Từ đó, ta suy ra N xi − N x

Φ−1 (k1 k2 ε). Chọn 0 < k2
n

ta có N xi − N x

ε. Điều này chứng tỏ rằng N (S)⊂

k1 k2 ε.
Φ(ε)
.
k1 ε

Khi đó,

B(N xi ). Vậy N là

i=1

toán tử compact.
Chứng minh Định lý 1.2.4. Theo Bổ đề 1.2.5, toán tử N bị chặn nên
nó cũng là toán tử co. Hơn nữa, theo Bổ đề 1.2.7 thì toán tử N hoàn toàn
liên tục. Do đó, toán tử N là α- tụ.


18

Mặt khác, N thỏa mãn điều kiệ Furi- Pera. Do vậy, theo Định lý 1.1.36,
N có điểm bất động x ∈ S nghĩa là x = AxBx.
1.2.8 Hệ quả ([12]). Giả sử các giả thiết (a)-(c) trong Định lý 1.1.28
được thỏa mãn, 0 ∈ S , trong đó S hoặc là hình cầu, hoặc là đồng phôi
với tập con đóng, lồi và bị chặn của X và AB(S)⊂S .
Khi đó, kết luận của định lý này vẫn còn đúng với điều kiện (H) được
thỏa mãn.
Chứng minh. Trường hợp 1. NếuS = BM (0) thì chúng ta kiểm tra rằng điều
kiện (c) trong Định lý 1.1.28 có kéo theo điều kiện (c) trong Định lý 1.2.4
không.

Giả sử (xj , λj )j≥1 là một dãy trong ∂S×[0, 1] hội tụ tới (x, λ) với x = λN x
và 0 ≤ λ < 1. Khi đó λj N (xj ) ∈ S với j đủ lớn. Thật vậy, với j∈N ∗ , ta có
λj N (xj ) ≤ N (xj ) = yj trong đó yj = A yj B xj . Vì xj ∈ ∂S ⊂ S
và điều kiện (c) của Định lý 1.1.28 thỏa mãn nên yj ∈S . Do đó yj ≤ M .
Vậy λj N (xj ) ≤ N (xj ) = yj

M hay λj N (xj ) ∈ S .

Trường hợp 2. AB(S)⊂S với AB : S→S . Khi đó theo cách mở rộng của
định lý Dugundji’s, cho r : X→S là cái co rút, giả sử B là hình cầu chứa S.
r

AB

Khi đó, ta xét sơ đồ sau B → S → S . Theo chứng minh ở trường 1, ánh xạ
AB ◦r có điểm bất động x ∈ B nghĩa là (AB ◦ r) (x) = x ⇔ Ar (x) Br (x) =
x, với x ∈ B . Vì ABr (x) ∈ S nên x ∈ S và như vậy r(x) = x = AB(x).

Trường hợp 3. Nếu S đồng phôi với S , trong đó S là tập con đóng, lồi và
bị chặn của X
h−1

AB

h

Ta xét sơ đồ sau S → S → S → S , trong đó h là một phép đồng phôi. Từ
chứng minh ở trường hợp 2, tồn tại y ∈ S sao cho h ◦ AB ◦ h−1 (y) = y . Khi
đó, ta có ABx = x, với x=h−1 (y)∈S .

19

1.2.9 Hệ quả ([4]). Cho X là đại số Banach và A, B, C : X→X là các
toán tử thỏa mãn (H0 ) cùng với
(a) A và C là D- Lipschitz với D- hàm φA , φC tương ứng,
(b) B là toán tử liên tục đầy đủ,
Khi đó,
(a) hoặc F=AB+C có điểm bất động trong X,
(b) hoặc {x ∈ X, λF (x) = x, 0 < λ < 1} không bị chặn.
Chứng minh. Giả sử xảy ra (b) nhưng {x ∈ X, λF (x) = x, 0 < λ < 1} không
bị chặn. Khi đó, tồn tại số thực dương R sao cho
∀λ ∈ (0, 1) , (λF (x) = x ⇒ x ≤ R) .

(1.1)

Mặt khác, F thỏa mãn điều kiện Furi-Pera. Thật vậy, xét dãy
(xj , λj )j≥1 ∈ ∂S × [0, 1], với (xj , λj ) hội tụ tới (x, λ), x = λF (x) và
0 < λ < 1, trong đó S = B R+1 (0). Từ tính liên tục của F, ta có
λj F (xj ) ≤ λF (x) + 1

(1.2)

với j đủ lớn.
Do x = λF (x) nên từ (1.1) và (1.2) ta có λj F (xj ) ≤ R + 1.
Vậy λj F (xj ) ∈ S hay F thỏa mãn điều kiện Furi- Pera.
Nếu xảy ra (a) thì chứng minh được suy ra từ Định lý 1.2.1.
1.2.10 Hệ quả ([11]). Cho S là tập con đóng , lồi và bị chặn của đại số
Banach X, 0∈S và F1 : X→X ,F2 : S→X là các toán tử sao cho
(a) F1 co phi tuyến.

(b) F2 là toán tử liên tục đầy đủ.
(c) F = F1 + F2 : S→X thỏa mãn điều kiện Furi- Pera (FP).
Khi đó, F có điểm bất động x ∈ S .
Chứng minh. Từ Định lý 1.2.1 ta chọn A ≡ 1, B ≡ F2 , C ≡ F1 và khi đó
φA ≡ 0. Nên theo Định lý 1.2.1, F có điểm bất động x ∈ S .


20

1.2.11 Hệ quả. Cho S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại số Banach
X và A, C : X → X, B : S → X là các toán tử sao cho
(a) A, C là các toán tử Lipschitz với hằng số Lipschitz kA , kC tương ứng,
(b) B là toán tử liên tục đầy đủ,
(c) Toán tử F : S→X được xác định bởi F (x) = AxBx + Cx, x ∈ X thỏa
mãn điều kiện Furi- Pera (FP).
Khi đó, phương trình x = AxBx + Cx có nghiệm x ∈ S nếu
kA B (S) + kC < 1.

Trong phần sau đây, ta chứng minh rằng điều kiện (c) trong định lý 1.1.28
có thể thay thế được.
1.2.12 Định lý ([12]). Cho S là tập con đóng, bị chặn và lồi của đại số
Banach E sao cho intS = ∅ và A, B : S → E là hai toán tử sao cho
(a) A là D- Lipschitz với D- hàm φA ,
(b) B là toán tử liên tục đầy đủ,
(c, ) Nếu x = AxBy thì x ∈ S với mọi y ∈ ∂S .

Khi đó, phương trình x=AxBx có nghiệm nếu M φA (r) r với mọi r>0.
Chứng minh. Cho r : X→S là cái co rút. Hơn nữa sử dụng hàm Minkowski,
r (x) = x, nếu x ∈ S
r có thể chọn sao cho

r (x) ∈ ∂S, nếu x ∈
/S
Khi đó N r : X → X có điểm bất động. Thật vậy, theo Bổ đề 1.2.7, N là
toán tử liên tục đầy đủ và r liên tục nên ánh xạ hợp rN : S → S là ánh
xạ liên tục đầy đủ. Do đó, theo Định lý 1.1.22 thì toán tử rN có điểm bất
động, nghĩa là tồn tại x0 ∈S sao cho rN x0 = x0 . Giả sử y0 = N x0 . Khi đó,
ta có r y0 = rN x0 = x0 suy ra N r y0 = N x0 = y0 . Do đó Nr có điểm bất
động. Từ đó ta có y0 = A y0 Br y0 . Do r y0 ∈ ∂S nên theo Giả thiết (c, ) ta
có y0 ∈S . Khi đó, theo Định lý 1.1.28 phương trình x=AxBx có nghiệm nếu
M φA (r) < r, với mọi r > 0. Vậy điều kiện (c) trong Định lý 1.1.28 có thể

thay đổi được.


21

1.2.13 Chú ý. Có thể chọn tập con S không bị chặn và toán tử B compact.
Đặt FN r := {x ∈ X, x = N rx} ⊂ S với S là tập con đóng, lồi và bị chặn
của đại số Banach E sao cho intS= ∅. Khi đó,
(a) FN r là tập đóng. Thật vậy, giả sử (xn )n∈N ⊂ FN r sao cho xn → x khi
n → ∞. Khi đó x ∈ FN r . Thật vậy, do xn ∈ FN r nên xn = N r xn .
Mặt khác N và r là các toán tử liên tục nên ta có lim N r (xn ) = N r (x).
n→+∞

Do đó theo tính duy nhất của giới hạn ta có x = N r (x) hay x ∈ FN r . Vậy
FN r là tập đóng.

(b) FN r là tập compact. Thật vậy, ta có FN r = r (FN r ) ⊂ S suy ra
N (r (FN r )) ⊂ N (S). Mặt khác, N là toán tử compact (theo Bổ đề 1.2.7 )

nên ta có α (N (r (FN r ))) ≤ α (N (S)) = 0, trong đó α là độ đo Kuratowski.
Hơn nữa, ta có FN r ⊂ N r (FN r ) kéo theo α (FN r ) ⊂ α (N r (FN r )) ≤ 0.
Vậy α (FN r ) = 0 hay FN r là tập compact.


22

CHƯƠNG 2

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ
TRONG ĐẠI SỐ BANACH

Chương này nhằm mở rộng một số kết quả của các ánh đơn trị ở chương
1 cho ánh xạ đa trị.
2.1

Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Cho X là không gian Banach và P(X)là lớp tất cả các tập con của X .
Đặt
Pf (X)={A⊂X | A=∅ và A có tính chất f }.

Như vậy Pbd (X), Pcl (X), Pcv (X), Pcp (X), Pcl,bd (X), Pcp,cv (X) biểu thị lớp
các tập con bị chặn; đóng; lồi; compact; đóng và bị chặn; compact và lồi của
X theo thứ tự tương ứng. Tương tự Pcl,cv,bd (X), Pcp,cv (X) kí hiệu lớp các

tập con đóng, lồi và bị chặn, compact và lồi của X tương ứng. Với A, B
thuộc Pf (X), ta ký hiệu
A = sup { a |a ∈ A} .

Giả sử A, B ∈ Pcl (X) và a ∈ A. Ta ký hiệu
D (a, B) = inf { a − b |b ∈ B } ,

và
ρ (A, B) = sup {D (a, B) |a ∈ A} .

Hàm H : Pcl (X)×Pcl,bd (X) → R+ được xác định bởi
H (A, B) = max {ρ (A, B) , ρ (B, A)}


23

là một mêtrric và được gọi là mêtrric Hausdorff trên X .
Từ định nghĩa của H ta suy ra
H (0, C) = C = sup { c |c ∈ C } , C ∈ Pcl (X) .

2.1.1 Định nghĩa. Phép tương ứng T : X → Pf (X) được gọi là toán tử
đa trị hoặc ánh xạ đa trị trên X .
Điểm u ∈ X được gọi là điểm bất động của T nếu u ∈ T u.
2.1.2 Định nghĩa. Toán tử đa trị T : X → Pf (X) được gọi là
(a) nửa liên tục dưới (kí hiệu gọn là l.s.c) nếu G là tập con mở của X , thì
T

−1(w)

(G) = {x ∈ X |T x ∩ G = ∅}

là tập con mở của X .
(b) nửa liên tục trên( kí hiệu gọn là u.s.c) nếu
T

−1

(G) = {x ∈ X |T x ⊂ G}

là một tập mở trong X với mọi tập mở G ⊂ X .
(c) liên tục nếu nó vừa nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
2.1.3 Định nghĩa. Ánh xạ đa trị T : X → Pcp (X) được gọi là
(a) hoàn toàn compact nếu T (X) là tập con compact của X .
(b) compact nếu T (S) là tập con compact của X với S là tập con bị chặn
của X .
(c) hoàn toàn bị chặn nếu với tập con S bị chặn của X , T (S) =

T x là
x∈S

tập hoàn toàn bị chặn của X .
(d) liên tục đầy đủ nếu nó là nửa liên tục trên và compact trên X .
2.1.4 Nhận xét. Mọi ánh xạ đa trị compact là hoàn toàn bị chặn.
Chứng minh. Giả sử T : X → Pcp (X) là toán tử đa trị compact. Khi đó,
với S là tập con bị chặn của X ta có T (S) là tập con compact của X. Do


24

T (S) là tập compact nên T (S) và T (S) là các tập hoàn toàn bị chặn. Thật

vậy, với mỗi x ∈ T (S) và với mỗi ε > 0 ta có {B (x, ε)}x∈T (S) là một phủ
mở của T (S). Vì nếu y ∈T (S) thì B(y, ε) ∩ T (S) = ∅. Do đó tồn tại x, ∈
B(y, ε) ∩ T (S). Do x, ∈ B(y, ε) nên y ∈ B(x, , ε). Từ đó, ta có

y∈

B(x, ε). Vậy {B(x, ε)}x∈T (S) là phủ mở của T (S). Mặt khác, do
x∈T (S)

T (S) là tập compact nên tồn tại x1 , x2 , · · ·, xn ∈ T (S) sao cho
n

B (xi , ε).

T (S) ⊂ T (S) =
i=1

Do đó, T (S) và T (S) là các tập hoàn toàn bị chặn.
Vậy T là ánh xạ đa trị hoàn toàn bị chặn.

2.1.5 Định nghĩa. Cho T : X → Pcl (X) là toán tử đa trị . Khi đó T được
gọi là Lipschitz nếu tồn tại hằng số k > 0 sao cho với mỗi x, y ∈ X ta có
H (T x, T y) ≤ k x − y .

Hằng số k được gọi là hằng số Lipschitz của T . Nếu k < 1, thì T được gọi
là ánh xạ đa trị co trên X .
2.1.6 Định lý ([8]). Giả sử (X ,d) là không gian mêtrric đầy đủ và
T : X → Pcl (X) là ánh xạ đa trị co. Khi đó T có điểm bất động

2.2

Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa
trị trong đại số Banach

Trong mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của
một số ánh xạ đa trị mà chúng tương tự như đối với ánh xạ đơn trị trong
đại số Banach đã xét ở chương 1.
Trước khi đẫn đến các kết quả chính về điểm bất động, chúng ta trình bày
một số bổ đề mà chúng được dùng về sau.


25

2.2.1 Bổ đề ([13]). Giả sử (X ,d) là không gian mêtrric đầy đủ và
T1 , T2 : X → Pcl,bd (X) là hai ánh xạ đa trị co với cùng hằng số co k .

Khi đó
ρ (Fix (T1 ) , Fix (T2 )) ≤

1
sup ρ (T1 (x) , T2 (x)) .
1 − k x∈X

2.2.2 Bổ đề ([5]). Nếu A , B ∈ Pbd,cl (X), thì H (AC ,BC )

H (0,C)H (A,B).

Chứng minh. Giả sử x ∈ AC và y ∈ BC . Khi đó tồn tại a ∈ A, b ∈ B và
c1 , c2 ∈ C sao cho x=ac1 , y=bc2 .Do đó ta có
D (x, BC) = inf { x − y |y ∈ BC }
= inf { x − b c2 |b ∈ B, c2 ∈ C }
= inf { a c1 −b c2 |a ∈ A, b ∈ B; c1 , c2 ∈ C }

inf { a c1 −b c1 + b c1 −b c2 |a ∈ A, b ∈ B; c1 , c2 ∈ C }

inf { a − b
= inf { a − b

c1 − c2 |a ∈ A, b ∈ B; c1 , c2 ∈ C }

c1 + b

c1 |b ∈ B, c1 ∈ C } = D (a, B) c1 .

Mặt khác, ta có
ρ (AC, BC) = sup {D (x, BC) | x ∈ AC}
= sup {D (a, B)

c1

| a ∈ A, c1 ∈ C}

sup {D (a, B)

C

| a ∈ A}

= ρ (A, B)

C

= ρ (A, B) H (0, C) .

Tương tự ta có

ρ (BC, AC) = ρ (B, A) H (0, C) .

Vậy
H (AC, BC) = max {ρ (AC, BC) , ρ (BC, AC)}
max {ρ (A, B) H (0, C) , ρ (B, A) H (0, C)}
= H (0, C) max {ρ (A, B) , ρ (B, A)}
= H (0, C) H (A, B) .