Một số ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị

1

MỤC LỤC

Mở đầu

2

1 Các kiến thức cơ sở của lý thuyết đồng điều kì dị

4

1.1 Đơn hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Phức hợp đơn hình kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Đồng điều kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4 Đồng điều kì dị thu gọn và các trường hợp đặc biệt . . . . .

11

2 Một số ứng dụng của lý thuyết đồng điều kì dị

19

2.1 Đối đồng điều kì dị của một không gian tôpô . . . . . . . . .

19

2.2 Một số ứng dụng của lý thuyết đồng điều kì dị . . . . . . . .

21

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40


2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đồng điều được bắt đầu phát triển vào những năm đầu của
thế kỷ 20. H.Poincaré đã đưa ra các khái niệm về dây chuyền, các chu trình
đồng điều của một số không gian con của không gian R. Các khái niệm đó
đặt nền móng cho sự phát triển của lý thuyết đồng điều. Sau đó các khái
niệm này được mở rộng cho các không gian tôpô bất kỳ. Về nghiên cứu các
nhóm đồng điều, có thể tìm thấy trong các cơng trình của các nhà tốn học
S.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, A.Kolmogorov . . . Các
cơng trình của P.S.Alexandrov, Cech, Alexander đã giải quyết được vấn đề

trọng tâm của lý thuyết đồng điều, cụ thể là tính bất biến của các nhóm
đồng điều kỳ dị của các đa diện. S.Eilenberg và Steenrod là những người đầu
tiên đã xây dựng hệ tiên đề cho một lý thuyết đồng điều trên phạm trù các
cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết này trong mối quan hệ chặt chẽ
với đại số đồng điều và lý thuyết phạm trù.
Bên cạnh lý thuyết đồng điều kỳ dị, các nhà tốn học cịn nghiên cứu và
phát minh ra nhiều lý thuyết đồng điều khác. Ví dụ như : lý thuyết đồng
điều của phức hợp đơn hình, lý thuyết đồng điều của CW- phức hợp, lý
thuyết đồng điều phổ, lý thuyết đồng điều và đối đồng điều Cech. Lý thuyết
đối đồng điều Alexander, lý thuyết đối đồng điều bó, K- lý thuyết . . . . Hiện
nay tơpơ đại số nói chung và lý thuyết đồng điều nói riêng đã trở thành
những cơng cụ vơ cùng hiệu quả trong việc nghiên cứu và phát triển của
nhiều ngành tốn học hiện đại như Hình học vi phân, Hình học đại số, Tơpơ
vi phân, Giải tích phức, Giải tích hàm, Lý thuyết phạm trù, Đại số đồng


3

điều . . . và cả những ngành của vật lý lý thuyết.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Chúng tôi trình bày các khái niệm cơ sở của lý thuyết đồng
điều kì dị. Để chứng minh cho ích lợi của các phức chúng tôi mô tả ngắn
gọn về đồng điều kì dị của các khơng gian tơpơ. Để có được các nhóm đồng
điều kì dị, chúng ta cần xây dựng các phức kì dị cho mỗi khơng gian tơpơ
từ lớp tất cả các đơn hình kì dị của nó.
Chương 2: Chúng tơi trình bày một số ứng dụng của lý thuyết đồng
điều kì dị.
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo của
Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ
lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn.

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS
Lê Quốc Hán và các Thầy Cô trong bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa
Đào Tạo Sau Đại học đã dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua.
Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu và tập thể giáo viên Trường
THPT Tân Kỳ 3 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ
học tập.
Luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được sự
chỉ bảo của các Thầy Cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp.
Vinh, tháng 10 năm 2010
Tác giả


4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU
KÌ DỊ

1.1

Đơn hình chuẩn

1.1.1 Định nghĩa. Đơn hình chuẩn q chiều (hay q - đơn hình chuẩn) ∆q
là một tập con của không gian Rq+1 gồm các điểm (x0 , x1 , . . . , xq ) thoả mãn
các điều kiện:
i) xi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , q
q

ii)

xi = 1
i=0

Từ định nghĩa trên suy ra đơn hình chuẩn q chiều ∆q là tập con đóng bị
chặn của khơng gian Euclid Rq+1 . Vậy nó là một tập con compact. Dễ thấy
đơn hình chuẩn Rq+1 là một tập lồi.
Hiển nhiên ∆0 là một điểm, ∆1 là một đoạn thẳng, ∆2 là một tam giác
đều, ∆3 là một tứ diện đều. Các điểm ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (số 1 nằm
ở vị trí thứ j) nằm trong ∆q ; chúng được gọi là các đỉnh của đơn hình ∆q .
1.1.2 Định nghĩa. Ánh xạ f : ∆q → Rq+1 được gọi là một ánh xạ
tuyến tính nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính (theo nghĩa thông thường)
F : Rq+1 → Rn sao cho F trùng với f trên ∆q , tức là F |∆q = f .

Dễ thấy với q + 1 điểm tuỳ ý P 0 , P 1 , . . . , P q ∈ Rn luôn tồn tại duy nhất
một ánh xạ tuyến tính f : ∆q → Rn sao cho f (el ) = P l , cụ thể ánh xạ f


5

được xác định qua công thức :
q

xi P i = 1

f (x) =
i=0

với x = (x0 , x1 , . . . , xq ) ∈ ∆q .
Từ đó suy ra: Ảnh của f (tức f (∆q )) gồm tất cả các điểm P ∈ Rn có

dạng

q

xi P i = 1

P =
i=0
q

với 0 ≤ xi ≤ 1,

xi = 1.
i=0

Như vậy ánh xạ tuyến tính f : ∆q → Rn hồn tồn được xác định bởi các
giá trị của nó tại các đỉnh∆q , và các giá trị đó có thể được chọn tuỳ ý.
Đặc biệt ta xét các ánh xạ tuyến tính: ej = εjq : ∆q−1 → ∆q , j = 0, 1, . . . , q
mà εj (ei ) = ei với i < j, εj ei = ei+1 với i ≥ j .
Từ định nghĩa trên ta thấy: Ảnh của ánh xạ εjq (tức là εjq (∆q−1 )) gồm các
điểm x = (x0 , x1 , . . . , xq ) ∈ ∆q sao cho xj = 0; nó được gọi là mặt thứ j
của đơn hình ∆q . Hợp tất cả các mặt của đơn hình ∆q được gọi là bờ của
˙ q hay ∂∆q . Nó gồm các điểm của đơn hình ∆q có
đơn hình ∆q , kí hiệu là ∆
ít nhất một toạ độ bằng 0:
˙ q = ∂∆q = (x0 , x1 , . . . , xq ) ∈ ∆q |x0 .x1 . . . .xq = 0
∆

1.1.3 Định lý. Nếu k < j thì εjq+1 εkq = εkq+1 εj−1
q .

Chứng minh. Thật vậy, hai vế của đẳng thức đều là ánh xạ tuyến tính xác
định cùng các cơng thức:
ei → ei với i < k
ei → ei+1 với k ≤ i < j − 1
ei → ei+2 với i ≥ j − 1.


6

1.2

Phức hợp đơn hình kì dị

Bây giờ ta sẽ xây dựng một hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô đến
phạm trù các phức hợp dây chuyền. Hàm tử đó sẽ được gọi là phức hợp đơn
hình kì dị.
1.2.1 Định nghĩa. Giả sử X là một không gian tôpô. Đơn hình kì dị q
chiều (hay q - đơn hình kì dị), q ≥ 0, của khơng gian tơpơ X là một ánh xạ
liên tục từ đơn hình chuẩn ∆q vào khơng gian X .
Ta kí hiệu Sq X là nhóm Abel tự do được sinh bởi tâp hợp tất cả các đơn
hình kì dị q chiều của khơng gian tơpơ X . Các phần tử của nhóm đó được gọi
là các dây chuyền kì dị q chiều của khơng gian X . Do đó, mỗi dây chuyền
kì dị q chiều c ∈ Sq X được biễu diễn một cách duy nhất dưới dạng một tổ
hợp tuyến tính hữu hạn của những đơn hình kì dị q chiều σ của không gian
tôpô X với hệ số nguyên cσ , tức là
cδ .σ

c=
δ

(ở đây cσ ∈ Z, cσ bằng không hầu khắp nơi trừ một số hữu hạn)
Với q < 0, đặt Sq X = O.
Bây giờ ta định nghĩa đồng cấu bờ (hay toán tử bờ) ∂q : Sq X → Sq−1 X
bằng cơng thức sau:
Nếu q ≥ 0 thì

q

(−1)j (σ.εjq )

∂q =
j=0

Nếu q < 0 thì ∂q = 0.
1.2.2 Mệnh đề. Dãy
∂q+1

∂q

SX : . . . → Sq+1 X −→ Sq X −→ Sq−1 X −→ . . .

là một phức hợp dây chuyền.


7

Chứng minh. Đối với bất kì một đơn hình kì dị σ ta có:
(−1)j σεj

∂∂σ = ∂

j

(−1)j+k σεj εk

=
j,k

(−1)j+k σεj εk +

=
j≤k

(−1)j+k σ.εj .εk
j>k

(−1)j+k σ.εj .εk +

=
j≤k

(−1)j+k σ.εk .εj−1
j>k

(đẳng thức sau cùng rút ra từ định lý 1.1.3)
Đặt m = j − 1, l = k . Khi đó k < j suy ra m ≥ l và ta có:
(−1)m+l+1 εl .εm

(−1)j+k σ.εk .εj−1 =
l≤m

k
(−1)j+k+1 σ.εj εk

=
j≤k

Do đó:
(−1)j+k+1 σ.εj .εk = 0

(−1)j+k σ.εj .εk +

∂∂σ =
j≤k

j≤k

.
Vậy đồng cấu ∂∂ tầm thường trên cơ sở σ , từ đó ta có ∂∂ = 0.
Phức hợp dây chuyền SX nói trên được gọi là phức hợp đơn hình kì dị
của khơng gian tơpơ X.
• Nếu f : X → Y là một ánh xạ liên tục và σ : ∆q → X là một đơn hình

kì dị của khơng gian tơpơ X thì hợp thành f.σ : Sq X → Sq Y là một đơn
hình kì dị của một khơng tơpơ Y . Từ đó ta có thể định nghĩa một đồng cấu:
Sq f : Sq X → Sq Y
σ → f.σ


8

1.2.3 Mệnh đề. Dãy các đồng cấu Sq f : Sq X → Sq Y, q ∈ Z là một ánh
xạ dây chuyền.
Chứng minh. Ta có:
(−1)j (f σ).εj =

∂Sf (σ) = ∂(f.σ) =
j

(−1)j f (σεj )
j

(−1)j σεj ) = (Sf )∂(σ)

= Sf (
j

Vậy ∂.Sf = Sf.∂
Ánh xạ dây chuyền nói trên được kí hiệu: Sf : SX → SY . Nếu khơng sợ
nhầm lẫn, để đơn giản ta có thể thay kí hiệu Sf bằng f .
1.2.4 Mệnh đề. Nếu f : X → Y, g : Y → Z là các ánh xạ liên tục giữa
hai không gian tôpô thì
S(go f ) = (Sg)o (Sf ), S(IdX ) = IdS X

Nghĩa là S : T op → ∂AG là một hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô
đến phạm trù các phức hợp dây chuyền của các nhóm Abel.
• Các vấn đề được trình bày ở trên, một cách tự nhiên, được mở rộng

sang các cặp không gian tôpô (X, A).
Nếu i : A → X là nhúng thì ánh xạ nhúng SA → SX là một đơn cấu,

và vì thế SA có thể xem là một phức hợp con của phức hợp SX . Phức hợp
thương S(X, A) = SX/SA được gọi là phức hợp đơn hình kì dị (tương đối)
của cặp (X, A). Nếu j : SX → S(X, A) là phép chiếu chính tắc thì ta có
dãy khớp ngắn của các phức hợp dây chuyền :
i

j

O → SA −→ XS −→ S(X, A) −→ O

(1.1)


9

Dãy này chẻ ra ở mọi chiều:
Sq X = Sq A

Sq (X, A)

Thật vậy, cơ sở σ : ∆q → X của nhóm Sq X gồm hai phần: các đơn hình kì
dị nằm trong A và các đơn hình kì dị không nằm trong A. Phần thứ nhất
tạo thành cơ sở của nhóm Sq A, cịn phần thứ hai tạo thành cơ sở của nhóm
Sq (X, A). Ta chú ý rằng S(X, ∅) = SX .

Ánh xạ f : (A, X) → (Y, B) là ánh xạ liên tục f : X → Y sao cho
f (A) ⊂ B . Ánh xạ này cảm sinh biểu đồ giao hoán sau:
i

j

O −−→ SA −−→ SX −−→ S(X, A) −−→ O






S(f | )
Sf
Sf

A

i

(1.2)

j

O −−→ SB −−→ SY −−→ S(Y, B) −−→ O

Trên biểu đồ này, các dòng khớp, còn ánh xạ Sf nhận được từ Sf bằng cách
chuyển qua thương.
Các tính chất hàm tử trong mệnh đề 1.2.4 cũng được chuyển sang phạm
trù các cặp khơng gian tơpơ Topp. Từ tính chất trên, dễ dàng suy ra L là
một hàm tử từ phạm trù các cặp không gian tôpô vào phạm trù các phức
hợp dây chuyền.
1.3

Đồng điều kì dị

1.3.1 Định nghĩa. Nhóm đồng điều kì dị của khơng gian tơpơ X, tương
ứng của cặp khơng gian tơpơ (X, A) là nhóm đồng điều của phức hợp đơn
hình kì dị SX , tương ứng của phức hợp đơn hình kì dị S(X, A).
Ta kí hiệu:HX = HSX, H(X, A) = HS(X, A). Các nhóm H(X, A), HX
cũng được gọi lần lượt là nhóm đồng điều tương đối của khơng gian X mod
A, nhóm đồng điều tuyệt đối của không gian X.
Dây chuyền z ∈ SX được gọi là một chu trình mod A, nếu ∂z ∈ SA


10

được gọi là bờ mod A nếu z = ∂x + y với x ∈ SX, y ∈ SA. Dễ thấy nhóm
đồng điều kì dị tương đối Hq (X, A) đẳng cấu với nhóm thương của nhóm
các chu trình q chiều mod A theo nhóm các bờ q chiều mod A. Đối với bất
kì ánh xạ f : (X, A) → (Y, B), ánh xạ Sf : S(X, A) → (Y, B) cảm sinh
đồng cấu
Hf = f∗ : H(X, A) → H(Y, B)

Như vậy đồng điều kì dị cho ta một hàm tử phạm trù các cặp không gian
tôpô Topp vào phạm trù các nhóm phân bậc. Hàm tử này là hợp thành của
hai hàm tử:
S

H

T op −→ ∂AG −→ GAG

Đồng cấu nối ∂∗ : Hq+1 (X, A) → Hq A của dãy khớp đồng điều kết hợp với

dãy khớp.
j

i

O → SA −→ XS −→ S(X, A) −→ O

(1.3)

được gọi là đồng cấu nối của cặp (X,A).
Dãy khớp đồng điều được sinh ra từ dãy khớp (1.3).
∂

j∗

i

∂

i

∗
∗
∗
∗
. . . −→
Hq+1 A −→
Hq+1 X −→ Hq+1 (X, A) −→
Hq A −→

j∗

i

∗
−→
Hq X −→ Hq (X, A) → . . .

(1.4)

được gọi là dãy khớp đồng điều của cặp (X, A).
Đối với bất kì ánh xạ f : (X, A) → (Y, B), ta có biểu đồ giao hốn:
∂

∗
. . . −−→ Hq+1 A −−→ Hq+1 X −−→ Hq+1 (X, A) −−→
Hq A −−→ Hq X −−→ . . .










(f | )
f
f

(f | )
f
A ∗

∗

∗

A ∗

∂

∗

∗
. . . −−→ Hq+1 B −−→ Hq+1 Y −−→ Hq+1 (Y, B) −−→
Hq B −−→ Hq Y −−→ . . .

trong đó, các dịng đều khớp.
• Bây giờ xét bộ ba (X, A, B), B ⊂ A ⊂ X .


11

Nhúng I và phép chiếu j cho ta dãy khớp ngắn của các phức hợp dây
chuyền:
j

i

O → S(A, B) −→ S(X, B) −→ S(X, B) −→ O

(1.5)

Dãy khớp đồng điều kết hợp với dãy khớp (1.5):
j∗

i

∂

∗
∗
Hq+1 (X, B) −→ Hq+1 (X, A) −→
. . . → Hq+1 (A, B) −→

j∗

i

∂

∗
∗
Hq (X, B) → . . .
−→
Hq (A, B) −→

(1.6)

được gọi là dãy khớp đồng điều của bộ ba (X, A, B).
Khi B = ∅ thì dãy khớp (1.6) trở lại dãy khớp (1.4).
1.4

Đồng điều kì dị thu gọn và các trường hợp đặc biệt

• Giả sử P là khơng gian tơpơ chỉ có một điểm. Khi đó với mỗi q ≥ 0,

tồn tại một đơn hình kì dị duy nhất Tq : ∆q → P . Hiển nhiênTq εj = Tq−1
với mọi q ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q .
Điều này có nghĩa ∂T2 r = T2r−1 và ∂T2r−1 = 0 với bất kì r > 0.Vì vậy
phức hợp SP được thể hiện như sau :
Id

0

Id

0

. . . −→ Z −→ Z −→ Z −→ Z → O

Và do đó
H0 P = Z, H0 P = O

(1.7)

với q = 0
• Giả sử X là một khơng gian tơpơ. Khi đó ánh xạ hằng γ : X → P (P là

khơng gian chỉ có một điểm) cảm sinh đồng cấu γ∗ = γ∗X : HX → HP .
Nếu f : X → Y là một ánh xạ liên tục từ khơng gian tơpơ X vào khơng
gian tơpơ Y thì rõ ràng γ∗Y f∗ = γ∗X và đặc biệt f∗ chuyển Ker(γ∗X ) vào
Ker(γ∗Y ).


12

1.4.1 Định nghĩa. Nhóm đồng điều kì dị thu gọn của không gian tôpô
X là hạt nhân của đồng cấu γ∗ : HX → HP , kí hiệu là HX . Như vậy:
HX = {Hq X = Ker(γ∗ : Hq X → Hq P )}q∈Z

Nếu q = 0 thì theo (1.7), ta có Hq X = Hq X .
Nếu X = ∅ thì bất kì ánh xạ ιP → X đều là ngược phải của γ : X → P .
Do đó γ∗ .ι∗ = Id, nên dãy khớp
γ∗

O → Ker(γ∗ )0 → H0 X −→ H0 P → O

chẻ ra. Từ đó suy ra
H0 X ∼
= Im(ι∗ )0

Ker(γ∗ )0 = Z

H0 X

Vậy
H0 X = Z

(1.8)

H0 X
ι

∗
Hơn nữa, từ dãy khớp đồng điều H0 P −→
H0 X → H0 (X, P ) → O của cặp

(X, A), suy ra

(1.9)

H0 X = H0 (X, P )

• Đối với bất kì cặp khơng gian tơpơ (X, A), ta có các ánh xạ: γ : (X, A) →
(P, P ), ι : (P, P ) → (X, A)sao cho γ.ι = Id.Từ đó γ∗ .ι∗ = Id. Vì vây đồng

cấu ι∗ ánh xạ (hầu như tầm thường) dãy khớp đồng điều của cặp (P, P ) lên
hạng tử trực tiếp của dãy khớp đồng điều của cặp (X, A) mà hạng tử trực
tiếp cịn lại là Kerγ∗ . Bởi vì Kerγ∗ là nhóm đồng điều thu gọn, nên ta có
kết quả sau đây:
1.4.2 Mệnh đề. Đối với mỗi cặp không gian tôpô (X, A), A = ∅, A ⊂ B
tồn tại dãy khớp:
∂

i

j∗

∂

i

γ∗

∗
∗
∗
∗
. . . −→
Hq+1 A −→
Hq+1 X −→ Hq+1 (X, A) −→
Hq A −→
Hq X −→ . . .


13

Dãy khớp trên được gọi là dãy khớp đồng điều thu gọn của cặp khơng
gian tơpơ (X, A).
• Giả sử X là một không gian tôpô.Ta xét ánh xạ dây chuyền
η = η X : SX → (Z, O)

biến mỗi đơn hình 0 chiều vào 1 ∈ Z
Ánh xạ này liên quan mật thiết với ánh xạ γ : X → P nói trên, cụ thể
η = η X γ X . Dễ thấy η X : SP → (Z, O) là một tương đương đồng luân và
Kerη∗ = Kerγ∗ = HX
• Từ khơng gian một điểm ta sẽ nghiên cứu nhóm đồng điều của các tập

lồi của khơng gian Rn . Mệnh đề sau đây sẽ chứng tỏ nhóm đồng điều thu
gọn của chúng là tầm thường.
1.4.3 Mệnh đề. Nếu X là một tập lồi khác rỗng của không gian Rn thì
ánh xạ η : SX → (Z, O) là một tương đương đồng luân, đặc biệt ta có
HX = O.

Chứng minh. Giả sử P là một điểm của X . Ta định nghĩa ánh xạ dây chuyền:
P : (Z, O) → SX
M → mP

Hiển nhiên ta có: η.P = id. Ta cần chứng minh: η.P
dựng một đồng luân s: SX → SX sao cho η.P

id. Thật vậy, ta xây

id. Với mỗi q ∈ Z, ta định

nghĩa một đồng cấu (cũng khí hiệu là P )
P = Pq : Sq X → Sq+1 X
σq → P.σq

ở đây P.σq : ∆q+1 → X là đơn hình kì dị q + 1 chiều được xác định bởi công
thức:


14

(P.σq )(x0 , x1 , ..., xq+1 ) =
=

P
nếu x0 = 1
xq+1
x1
x0 P + (1 − x0 )σ1 (
, ...,
) nếu x0 = 1
1 − x0
1 − x0

(1.10)

Bây giờ ta tìm các măt nón của đơn hình P.σ . Ta có:
(P.σq )εi (x0 , x1 , ...xq ) = (P.σq )(x0 , x1 , ..., xi−1 , ..., xq )

Với i = 1: (P.∂q )εi (x0 , x1 , ...xq ) = σq (x0 , x1 , ..., xq )
Với q = 0, i = 0 thì x0 = 1, (P.∂q )εi (x0 , x1 , ...xq ) = P
Còn nếu q > 0, i > 0 thì vế phải của đẳng thức trên bằng
xq
xi−1
xi
x1
, ...,
, 0,
, ...,
)
x0 P + (1 − x0 )σq (
1 − x0
1 − x0
1 − x0

1 − x0
xq
x1
= x0 P + (1 − x0 )(σq εi−1 )(
, ...,
)
1 − x0
1 − x0
= [P.(σq εi−1 )](x0 , x1 , ..., xq )
Vậy ta có:
(P.σq )ε0 = σq , (P.σq )εi+1 = P.(σq εi )

,với q > 0
(P.σq )εi = (P .η)(σ0 )

(1.11)

Sử dụng (1.11) với q > 0 ta lại có:
q+1

(−1)i (P.σq )εi

(∂q+1 .Pq )σq =
i=0

q+1
0

(−1)j (P.σq )εj

= (P.σq )ε +
i=0
q

(−1)i (P.σq )εi+1

= σq −
i=0
q

(−1)i P.(σq εi )

= σq −
i=0

= σq − (Pq−1 .∂q )(σq )
⇒ ∂q+1 .Pq = Id − Pq−1 ∂q

(1.12)


15

(∂1 .P0 )∂0 = (P0 .σ0 )ε0 − (P0 .σ0 )ε1 = σ0 − (P .η)(σ0 )
⇒ ∂0 .P0 = Id − (P .η)0

Từ(1.12) và (1.13) suy ra P = {Pq } : SX → SX là đồng luân Id

(1.13)
P .η .

Vậy chọn s = −P
1.4.4 Hệ quả. Đối với mỗi tập rỗng Y ⊂ Rn , đồng cấu ∂∗ : Hq (Rn , Y ) →
Hq−1 Y là một đẳng cấu.

Chứng minh. Hệ quả trên được rút ra từ dãy khớp đồng điều thu gọn của
cặp không gian (Rn , Y )và HRn = O( theo mệnh đề 1.4.3)
1.4.5 Mệnh đề. Giả sử X là một không gian cung liên thơng cung khác
rỗng. Khi đó đồng cấu ηSP → (Z, O) cảm sinh đẳng cấu
η∗ : H0 X ∼
= H0 (Z, O) = Z

Chứng minh. Lấy điểm P ∈ X và xét ánh xạ dây chuyền P : (Z, O) →
SX(P (m) = mP ). Hiển nhiên ta có η P = Id.

Vậy
η∗ P∗ = Id

(a)

Vì X là khơng gian liên thơng cung, nên với mỗi đơn hình kì dị 0 chiều
∂0 : ∆0 → X , có thể dựng một đơn hình kì dị 1 chiều (tức một con đường)
πσ0 : ∆1 → X sao cho (πσ0 )ε0 = σ0 , (πσ0 )ε1 = P

Từ đó suy ra ∂(πσ0 ) = (id − P η)σ0 và ta có một đồng cấu
π : S0 X → S1 X
σq → πσ0

thoả mãn điều kiện ∂π = Id − P η .

16

Chuyển qua nhóm đồng điều ta có:
0 = [∂πz] = [z] − [P ηz] = [z] − P η∗ [z], z ∈ Z0 X
⇒ (P∗ )0 (η∗ )0 = Id.H0 X

(b)

Từ (a) và (b) suy ra: H0 X ∼
= H0 (Z, O) = Z
1.4.6 Mệnh đề. Giả sử X là một không gian tôpô với các thành phần
liên thông cung Xλ , λ ∈ A; giả sử A ⊂ X là một không gian con của X
và Aλ = A ∩ Xλ . Khi đó các nhúng iλ : (Xλ , Aλ ) → (X, A) cảm sinh đẳng
cấu:
S(Xλ , Aλ ) ∼
= S(X, A)

{iλ } :
λ∈A

Và do đó ta cũng có đẳng cấu:
H(Xλ , Aλ ) ∼
= H(X, A)

{Hiλ } :
λ∈A

Đặc biệt, H0 X là nhóm Abel tự do có hạng bằng số các thành phần liên
thơng cung của khơng gian X .

Chứng minh. Ta kí hiệu qua S (tương ứng Sλ ) là tập hợp các đơn hình kì
dị của khơng gian X (tương ứng Xλ ). Bởi vì ảnh của mỗi đơn hình ∆q đều
liên thơng cung (do ∆q liên thơng cung), nên nó nằm hồn tồn trong một
Xλ nào đó, suy ra S =

Sλ . Mỗi dây chuyền kì dị của khơng gian X có
λ

biễu diễn duy nhất dưới dạng:
c=

cσ .σ =
δ∈S

cλ (cσ ∈ Z)

cσ .σ =
λ δ∈Sλ

λ

ở đây
cσ .σ ∈ SXλ

cλ =
δ∈Sλ


17

Đều này có nghĩa
SX =

SXλ
λ

tương tự ta cũng có
SA =

SXλ
λ

Vậy:
S(X, A) = SX/SA ∼
=

SXλ /SAλ
λ

.
1.4.7 Hệ quả. Nếu không gian X rời rạc thì Hq X = O với q = 0 và
H0 X =

Zx
x∈X

trong đó Zx = Z.
1.4.8 Định nghĩa. Giả sử A là một không gian của không gian tôpô X
và giả sử i : A → X là ánh xạ nhúng. Không gian A gọi là cái co rút của X
nếu tồn tại ánh xạ liên tục r : X → A sao cho ri = Id. Khi đó r gọi là ánh

xạ co.
Ví dụ
1) Mỗi điểm P của không gian X đều là cái co rút của X .
2) Giả sử B là một không gian tơpơ tuỳ ý và Q ∈ B . Khi đó, rõ ràng A
đồng phơi với A × Q ⊂ A × B (A là không gian tôpô) và ánh xạ:
r :A×B →A×Q
(a, b) → (a, Q)

là một ánh xạ co.
Như thế ta có thể coi mỗi nhân tử là cái co rút của tích trực tiếp của các
khơng gian.


18

1.4.9 Định nghĩa. Không gian con A của không gian tôpô X được gọi là
cái co rút lân cận (trong X ) nếu nó là cái co rút của một lân cận trong
không gian X .
Nhận xét: Mỗi cái co rút của không gian X đều là cái co rút lân cận trong
X , nhưng điều ngược lại không đúng; chẳng hạn, nếu X là đoạn thẳng đơn

vị I = [0, 1], A là tập hợp hai đầu mút của I , tức A = {0, 1}, thì rõ ràng A là
1
1
cái co rút của lân cận U = [0, ] ∪ [ , 1], nhưng A không là cái co rút của X .
2
2
Thật vậy, nếu A là cái co rút của X thì tồn tại ánh xạ liên tục r : X → A,
nhưng X liên thông, suy ra mâu thuẫn.
Bây giờ giả sử A là cái co rút của X và r : X → A là một ánh xạ co. Khi

đó, ánh xạ r : SX → SA làm dãy khớp ngắn
i

∗
O → SA −→
(H, A) → O

chẻ ra; do đó
(r, j) : SX ∼
= SA

S(X, A)

và
(r∗ , j∗ ) : HX ∼
= HA

H(X, A)

Điều đó cho ta kết quả sau :
1.4.10 Mệnh đề. Nếu A là một cái co rút của không gian tôpô X thì
dãy khớp đồng điều của cặp (X, A) được phân chia thành các dãy khớp
ngắn:
∂ =0

i

j∗

∗

∗
O −→
Hq A −→
Hq X −→ Hq (X, A) → O

và các dãy khớp đó đều chẻ ra bởi ánh xạ r∗ .


19

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ

2.1

Đối đồng điều kì dị của một khơng gian tơpơ

Như ta đã biết, nếu G là một nhóm Abel thì tồn tại hàm tử phản biến
khớp bên trái AG G = Hom(∗, G) : AG → AG được xác định bởi các tương
ứng:
a) A → AG G (A) = Hom(A, G)
b) Nếu α : A → A thì
AG G (α) = Hom(α, G) : Hom(A , G) → Hom(A, G)

là một đồng cấu sao cho (Hom(α, G))(β) = β0 α với mọi β ∈ Hom(A , G).
Ta có thể định nghĩa một hàm tử phản biến từ phạm trù các phức hợp dây
chuyền của các nhóm Abel ∂AG vào phạm trù các phức hợp đối dây chuyền
của nhóm Abel. Giả sử G là một nhóm Abel cố định nào đó, ta kí hiệu hàm
tử nói trên là Hom(., G) : ∂AG → δAG và được xác định như sau:

Nếu (C) ∈ ∂AG thì (C ∗ ) = Hom((C), G) với (C ∗ )n = Hom(Cn , G)(kí
hiệu C n = (C ∗ )n còn δ n : C n → C n+1 là đồng cấu Hom(∂n+1 , G), tức là
δ n (α) = α0 ∂n+1 . Dễ thấy (C ∗ ) là một phức hợp đối dây chuyền và Hom(., G)

là một hàm tử phản biến.
Bây giờ giả sử F là một trong các hàm tử S ,

: T op → ∂AG . Nếu G

là một nhóm Abel nào đó, lấy hợp thành của hàm tử F (S hay

) với hàm

∗,
phản biến Hom(., G) : ∂AG → δAG ta được hàm phản biến FG∗ (SG

∗)
G

:


20

T op → δAG , đặt tương ứng mỗi không gian tôpô X với một phức hợp
∗ X (hoặc
đối dây chuyền SG

∗ X)
G

và đặt tương ứng mỗi ánh xạ liên tục

∗ Y → S ∗ X (hoặc
f : X → Y với ánh xạ đối dây chuyền Hom(Sf, G) : SG
G
∗ Y → ∗ X ).
G
G
rằng: S n X = Hom(Sn X, G)

Hom( f, G) :

Ta chú ý

(tương ứng

nX

= Hom(

n X, G))

và (Hom(Sf, G))n = f n : S n Y → S n X (tương ứng (Hom( , G))n = fcn :
nY

→

nX )

được xác định qua công thức f n (α) = αSf = αfn (tương

ứng fcn (α) = α f = αfcn ).
∗ (tương ứng
Lấy hợp thành hàm phản biến SG

∗)
G

với hàm tử hiệp biến

đồng điều H ta được mệnh đề sau:
2.1.1 Mệnh đề. Tồn tại một hàm tử phản biến từ phạm trù Top vào
phạm trù GAG , đặt tương ứng mỗi không gian tôpô X với nhóm Abel
∗ X) (hoặc H ∗ (
phân bậc H(SG

∗ X)).
G

∗ X) và gọi là nhóm đối đồng điều
Ta kí hiệu H n (X; G) là nhóm H n (SG

kì dị chiều n với hệ số trong nhóm G, của khơng gian tơpơ X .
Kí hiệu Hcn (X; G) là nhóm H n (

∗ X)
G

và gọi đối đồng điều kì dị lập

phương n chiều với hệ số trong nhóm G, của khơng gian tơpơ X .
• Bây giờ, giả sử (X, A) ∈ T opp. Như ta đã biết, tương ứng (X, A) →
SX/SA = S(X, A) cảm sinh một hàm tử hiệp biến từ phạm trù Topp

vào phạm trù ∂AG . Lấy hợp thành hàm tử đó với hàm tử Hom(., G) :
∂AG → σAG ta được một hàm tử phản biến H ∗ (., G) : T opp → GAG ,

đặt tương ứng mỗi cặp không gian tôpô (X, A) với nhóm Abel phân bậc
H ∗ [Hom(S(X, A); G)]. Nhóm phân bậc này kí hiệu H ∗ (X, A; G) và gọi là

nhóm đối đồng điều tồn thể của cặp không gian tôpô (X, A) với hệ số
trong G. Thành phần bậc n của nhóm được kí hiệu là H n (X, A; G) và gọi
là nhóm đối đồng điều chiều n của cặp (X, A) với hệ số trong nhóm G.


21

Đổi vai trò giữa các phức hợp dây chuyền (SX, SA) và ( X, A), một
cách tương tự, ta cũng định nghĩa được các nhóm đối đồng điều kì dị lập
phương, với hệ số trong nhóm Abel G, của cặp khơng gian tơpơ (X, A).
• Bây giờ, giả sử (X, A) → T opp. Khi đó ta có dãy khớp ngắn chẻ ra
O → SA → SX → S(X, A) → O

Do đó ta có dãy khớp:
O → Hom(S(X, A), G) → Hom(SX, G) → Hom(SA, G) → O

Dãy này cho ta dãy khớp các nhóm đối đồng điều
n

n

n

n
δ(X,A)

. . . → H (X, A; G) → H (X; G) → H (A; G) −→ H n+1 (X, A; G) → . . .

Người ta chứng minh được đối đồng điều kì dị và đối đồng điều kì dị lập
phương với hệ số trong nhóm Abel G có đầy đủ các tính chất cơ bản tương
tự các tiên đề đồng luân, tiên đề khớp, tiên đề cắt rồi, tiên đề chiều của lý
thuyết đồng điều. Người ta cũng chứng minh được rằng hai lý thuyết đối
điều kì dị và đối điều kì dị lâp phương với hệ số trong nhóm G là tương
đương trên phạm trù Tôpô.
Chú ý : Trong các định nghĩa các nhóm đối đồng điều kì dị được trình
bày ở trên, nếu G = Z ta được các nhóm đối đồng điều kì dị với hệ số
ngun, nếu G là một K –môđun ta được các môđun đồng điều kì dị.
2.2

Một số ứng dụng của lý thuyết đồng điều kì dị

2.2.1 Bổ đề. Nếu K là một tập con lồi compact trong không gian Rn và
˙ đồng phơi.
K chứa hình cầu Bn , thì cặp (Bn , B˙ n = S n−1 ), (K, K)
Chứng minh. Nếu x ∈ K và 0 ≤ t < 1 thì tx nằm trong một nón mở có
đỉnh x và đáy B˙ n . Nón này nằm trong K (vì K là tập lồi), suy ra tx thuộc


22

˙ của K. Do đó, mỗi tia xuất phát từ điểm O chỉ chứa đúng
phần trong K
˙ của K. Vậy ánh xạ
một điểm của bờ K
f : K → S n−1
y → y/ y

khả nghịch và do đó nó là một đồng phơi (vì K compact). Mở rộng f lên K
ta có đồng phơi:
f : K → Bn
y → y/ y

với y ∈ K, 0 ≤ t < 1.
Nhận xét: Bổ đề trên vẫn cịn đúng cho mọi hình cầu n chiều khơng nhất
thiết có tâm tại O hoặc có bán kính bằng 1 (vì rõ ràng mọi hình cầu n chiều
đều đồng phôi với nhau).
2.2.2 Hệ quả. a) I n = [0, 1] × [0, 1] × ... × [0, 1] ≈ Bn
˙ n ) ở đây ≈ kí hiệu đồng phôi.
b) (Bn , S n − 1) ≈ (∆n , ∆
Chứng minh. a) Rõ ràng I n đồng phơi với [−1, 1] × [−1, 1] × . . . × [−1, 1].
Mặt khác, theo bổ đề ở trên thì [−1, 1] × [−1, 1] × . . . × [−1, 1] đồng phơi
với B n , ta có điều phải chứng minh.
b) Giả sử nhúng ι : ∆n → Rn được xác định bởi ι(ei ) = ei với i < n,
ι(ei ) = −

n−1
i=0

ei . Rõ ràng ι(∆n ) ≈ ∆n và ι(∆n ) là tập lồi chứa một hình cầu

n

1
ei ). Do đó có đồng phơi ∆n ≈ Bn . Đồng
nào đó có tâm tại 0 = (
n+1
i=0
˙
phơi này chuyển bờ ∆n của đơn hình ∆n lên B˙ n = S n−1

2.2.3 Bổ đề. Cho ∆n là đơn hình chuẩn n chiều. Giả sử


23

Λn = x = (x0 , x1 , ..., xn ) ∈ ∆n /xj = 0 với j > 0 nào đó. Khi đó tồn tại

các đẳng cấu:
0

ε∗
i∗
∂∗
˙ n −e0 , Λn −e0 ) ←
˙ n−1 )
˙ n , Λn ) ←
˙ n) −
−
H
(

∆
− Hk−1 (∆n−1 , ∆
→
H
(
∆
Hk (∆n , ∆
k−1
k−1
∼
∼
∼
=

=

=

ở đây e0 = (1, 0, . . . , 0), i là nhúng, còn e0 được định nghĩa ở 1.1.1 chương
1.
Chứng minh. Với đồng luân y → (1 − t)x + te0 , ta thấy các cặp không gian
(∆n , Λn ) và (e0 , e0 ) tương đương đồng luân. Do đó H(∆n , Λn ) = O và từ
˙ n , Λ) suy ra:
dãy khớp đồng điều của b (∆n , ∆
∼

=
˙ n) −
˙ n)
∂∗ : Hk (∆, ∆

→ Hk−1 (∆, ∆

là đẳng cấu. Theo định lý cắt rời ta có i∗ cũng là một đẳng cấu.
Dễ thấy mặt với chiều không ε0 (∆n−1 ) của đơn hình ∆n−1 là cái co rút
˙ n − e0 bởi biến dạng
biến dạng của ∆
˙ n − e0 → ∆
˙ n − e0
θ∗ : ∆
x = (x0 , x1 , . . . , xn ) → x(t)
1 − (1 − t)x0
xj , j > 0.
(1 − x0 )
˙ n−1 )
Rõ ràng, biến dạng này biến Λn − e0 vào ε(∆
˙ n−1 ) → (∆
˙ n − e0 , Λn − e0 ) là một tương đương đồng
Vậy ε0 : (∆n−1 , ∆

ở đây: x(t)0 = (1 − t)x0 , x(t)j =

luân.
2.2.4 Mệnh đề. Ta có
O, nếu k = n
a) Hk S n−1 =
Z, nếu k = n
O, nếu k = n
b) Hk (Bn , S n−1 ) =
Z, nếu k = n
O, nếu k = n

c) Hk (Rn , Rn − P ) =
Z, nếu k = n
ở đây P là khơng gian chỉ có một điểm của Rn .


24

Chứng minh. a) Từ bổ đề 2.2.3 ta có:
˙ 0) ∼
˙ n−1 ) ∼
˙ n) ∼
Hk (Bn , S n−1 ) ∼
= Hk−n ∆0
= Hk−n (∆0 , ∆
= Hk−1 (∆n−1 , ∆
= Hk (∆n , ∆

Vì ∆0 là khơng gian chỉ có một điểm, nên:
Hk−n ∆0 =

O, nếu k = n
Z, nếu k = n

Vậy ta có khẳng b).
b) Bởi vì Bn+1 co rút được Hk Bn+1 = O với mọi k ∈ Z; do đó từ dãy
khớp đồng điều thu gọn của cặp (Bn+1 , S n ) suy ra
∂

∗
Hk+1 (B, S n ) ∼

= Hk S n

Vậy từ khẳng định b) ta có khẳng định a).
c) Để chứng minh c), khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử P ≡ O
(qua một phép tịnh tiến). Khi đó nhúng (Bn , S n ) → (Rn , Rn − P ) cảm sinh
các đẳng cấu của các nhóm đồng điều
HBn ∼
= HRn , HS n ∼
= H(Rn − P )

(do Bn là co rút biến dạng của Rn , S n là co rút biến dạng của Rn − P )
Vậy từ các dãy khớp đồng điều của các cặp (Bn , S n−1 ), (Rn , Rn − P ) và
năm bổ đề đồng cấu, suy ra
H(Rn , Rn − P ) ∼
= H(Bn , S n−1 )

2.2.5 Hệ quả. Hai mặt cầu (hoặc hai không gian Euclid) có chiều khác
nhau thì khơng đồng phơi.
Chứng minh. Nếu hai mặt cầu S n , S m (n = m) đồng phơi thì các nhóm đồng
điều H n S n ∼
= Hk S m . Từ mệnh đề 2.2.4a), suy ra mâu thuẫn.


25

Nếu Rn và Rm (n = m) đồng phơi thì có đồng phơi f : Rn → Rm , suy ra
có đồng phơi f : (Rn , Rn − P ) → (Rn , Rm − f (O)). Từ mệnh đề 2.2.4c), suy
ra mâu thuẫn.
2.2.6 Hệ quả. Mặt cầu S n−1 khơng phải là cái co rút của hình cầu Bn .
Chứng minh. Giả sử f : Bn → S n−1 là ánh xạ co, tức là ri = IdS n−1 (ở đây

i : S n−1 → Bn là nhúng). Khi đó
i

r

∗
∗
HS n−1
HBn −→
r∗ i∗ = IdHS n−1 : HS n−1 −→

Vậy r∗ i∗ là một đẳng cấu khác tầm thường (vì Hk S n−1 = O). Nhưng điều
đó là khơng thể vì Hk Bn = O.

2.2.7 Hệ quả. Giả sử f : Bn → Rn là một ánh xạ liên tục. Khi đó hoặc
f (y) = 0 với một điểm y nào đó của Bn , hoặc f (z) = λz với một điểm z

nào đó của S n−1 và một số λ > 0 nào đó.
Chứng minh. Giả sử ϕ : Bn → Rn là ánh xạ được xác định như sau:


(2 x − 1)x − (2 − x )f (x/ x ) nếu x ≥ 1
2
ϕ(x) =
1

−f (4) x x
nếu x ≤
2
Rõ ràng ϕ là một ánh xạ liên tục và ϕ(x) = x với x ∈ S n−1 . Khi đó tồn tại

x ∈ B˙ n sao cho ϕ(x) = 0, vì nếu với mọi x ∈ B˙ n mà ϕ(x) = 0 xét ánh xạ
r : Bn → sn−1
ϕ(x)
x→
ϕ(x)

suy ra S n−1 là cái co rút của Bn (mâu thuẫn với hệ quả 2.2.6)