Một vài vấn đề về không gian gf đếm được

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1

Mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở yếu 5

1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở yếu
2

. . . . . . . 10

Các phủ đếm được theo điểm trong không gian gf -đếm đư

2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Mối quan hệ giữa các phủ đếm được theo điểm trong không gian gf -đếm được
25
Kết luận
Tài liệu tham khảo

38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1


LỜI NÓI ĐẦU
Cơ sở yếu là một khái niệm quan trọng của tôpô, nó được giới thiệu
bởi Arhangel’ski trong [1]. Gắn liền với khái niệm này ta có các lớp
không gian tôpô hết sức quan trọng như không gian gf -đếm được,
gs-đếm được, g-mêtric hóa,..Các lớp không gian này đã thu hút được
nhiều nhà toán học trong và ngoài nước chú ý. Những hướng nghiên
cứu được đặc biệt quan tâm là mối quan hệ giữa các không gian, mối
quan hệ giữa các phủ với các đặc trưng khác nhau trong các không
gian, tính mêtric hóa và g-mêtric hóa của các không gian,... Các nhà
toán học như Arhangel’ski, F. Siwiec, L.Fored, Y. Tanaka, S. Lin, C.
Liu,...đã đạt được nhiều kết quả đặc sắc trong lĩnh vực này.
Tiếp cận hướng nghiên cứu trên và được sự hướng dẫn của thầy
giáo PGS.TS. Đinh Huy Hoàng mục đích của chúng tôi là nghiên cứu
mối quan giữa các phủ đếm được với các các tính chất nào đó trong
không gian gf -đếm được và nghiên cứu mối quan hệ giữa không với
cơ sở yếu và một số không gian tôpô đặc biệt.
Với mục đích trên, luận văn được chia làm 2 chương
Chương 1. Mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở yếu.
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày lại các khái niệm,
tính chất cơ bản về lưới, về các không gian tôpô đặc biệt cần dùng
trong luận văn. Trong phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh chi tiết
một số mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở đã có trong các tài

2


liệu tham khảo nhưng chưa chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt.

Bên cạnh đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh mối quan hệ giữa không
gian gf -đếm được và không gian đối xứng, điều kiện để không gian
gf -đếm được là không gian đối xứng.
Chương 2. Mối quan hệ giữa các phủ đếm được theo điểm
trong không gian gf -đếm được.
Phần đầu của chương này, chúng tôi dành để nhắc lại các khái niệm
về phủ có tính chất (A), phủ có tính chất (B), họ HCP , họ W HCP và
chứng minh một số tính chất của chúng. Trong phần tiếp theo, chúng
tôi đưa ra và chứng minh một số mối quan hệ giữa các phủ với các
tính chất nào đó trong không gian gf -đếm được và các tính chất của
không gian với cơ sở yếu mà chúng có liên quan tới các phủ đếm được.
Sau đây một số kí hiệu được dùng trong luận văn
Giả sử P là họ các tập con của X. Khi đó ∪P = ∪{P : P ∈ P};
P <ω : tập tất cả các họ con hữu hạn của P.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin
chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa
Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình công tác và học tập tại trường. Đặc biệt, tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích, khoa
Toán, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập
và hoàn thành luận văn. Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên Cao học
13 Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm
vụ trong suốt thời gian học tập.
3


Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của

các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn ngày được hoàn thiện
hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2007
Tác giả

4


CHƯƠNG 1

MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VỚI
CƠ SỞ YẾU

Chương này chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian với
cơ sở yếu và một số không gian tôpô đặc biệt.

1.1

Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Mục này chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ
bản đã được trình bày ở một số tài liệu cần dùng trong Chương 1.
1.1.1 Định nghĩa. Giả sử P là họ các tập con của không gian tôpô
X
(1) P là họ đếm được theo điểm (point-countable) [11] [tương ứng,
hữu hạn theo điểm (point-finite)], nếu mỗi x ∈ X thuộc đếm được
[tương ứng, thuộc hữu hạn] phần tử của P.
(2) P là họ sao-đếm được (star-countable) [11] [tương ứng, sao-hữu
hạn (star-finite)], nếu mỗi P ∈ P giao với đếm được [tương ứng, hữu
hạn] phần tử của P.

(3) P là họ đếm được hữu hạn địa phương (locally countable)[11]
[tương ứng, hữu hạn địa phương (locally finite)], nếu với mọi x ∈ X,
tồn tại lân cận V của x giao với không quá đếm được phần tử của P.
(4) P là họ σ-(P ) [12], nếu P =

∞

n=1

chất (P ) và Pn ⊂ Pn+1 , với mọi n ∈ N.
5

Pn , trong đó Pn là họ có tính


1.1.2 Định nghĩa. [11] Giả sử P là họ các tập con của không gian
tôpô X.
(1) P là lưới (network), nếu với mọi x ∈ X và U là lân cận bất kỳ
của x, tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U .
(2) P là k-lưới (k-network), nếu với mọi tập con K compact và với
mọi U là lân cận của K trong X, tồn tại họ con hữu hạn F ⊂ P sao
cho K ⊂ ∪F ⊂ U .
(3) P là cs*-lưới (cs*-network), nếu với mọi dãy {xn } hội tụ đến
x ∈ X và U là lân cận bất kỳ của x, tồn tại dãy con {xni : i ∈ N} của
{xn } và P ∈ P sao cho {x} ∪ {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U .
(4) P là wcs*-lưới (wcs*-network), nếu với mọi dãy {xn } hội tụ đến
x ∈ X và U là lân cận bất kỳ của x, tồn tại dãy con {xni : i ∈ N} của
{xn } và P ∈ P sao cho {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U .
(5) P là cs-lưới (cs-network), nếu mọi dãy {xn } hội tụ đến x và U
là lân cận bất kỳ của x, tồn tại n ∈ N và P ∈ P sao cho {x} ∪ {xm :

m ≥ n} ⊂ P ⊂ U .
1.1.3 Định nghĩa. Giả sử X là một không gian tôpô, x ∈ P ⊂ X. Ta
nói P là lân cận dãy (sequential neighborhood) [11] của X nếu với mọi
dãy {xn } hội tụ đến x, tồn tại m ∈ N sao cho xn ∈ P , với mọi n ≥ m.
1.1.4 Định nghĩa. [11] Giả sử P =

Px là phủ của không gian X
x∈X

và với mọi x ∈ X, P thoả mãn hai điều kiện sau đây
(i) Px là lưới của x, nghĩa là với U là lân cận của x, tồn tại P ∈ Px
sao cho x ∈ P ⊂ U ;
(ii) Nếu P1 , P2 , ∈ Px , tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ P1 ∩ P2 .
(1) P được gọi là cơ sở yếu (weak base) của X, nếu tập G ⊂ X là
mở khi và chỉ khi với mọi x ∈ G, tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ G. Khi
đó Px được gọi là cơ sở lân cận yếu tại x và mỗi P ∈ Px gọi là lân cận
6


yếu của x.
(2) P được gọi là sn-lưới (sn-network) của X nếu với mọi x ∈ X,
thì mỗi phần tử của P§ là lân cận dãy của x.
1.1.5 Bổ đề. Cho không gian tôpô X có cơ sở yếu là P =

Px
x∈X

và A là một tập con đóng trong X. Khi đó họ P =
x∈A

Px , trong đó

Px = {P ∩ A : P ∈ Px } là cơ sở yếu của không gian con A.
Chứng minh. Trong không gian A ta dễ dàng kiểm tra được họ P thoả
mãn điều kiện (i) và (ii) trong định nghĩa cơ sở yếu. Bây giờ ta chứng
minh nó thoả mãn điều kiện còn lại.
Giả sử B là tập mở trong A. Khi đó B = U ∩ A, trong đó U là tập
mở trong X. Lấy x bất kỳ trong B, ta suy ra x ∈ U . Do U mở trong
X nên tồn tại Px ∈ Px sao cho Px ⊂ U . Từ đó suy ra Px ∩ A ⊂ B.
Hay, có Px = Px ∩ A ∈ Px , mà Px ⊂ B.
Ngược lại giả sử B là tập con của A mà với mọi x ∈ B, tồn tại
Px ∈ Px thoả mãn Px ⊂ B. Ta sẽ chứng minh B là mở trong A.
Với mỗi x ∈ B theo cách xác định của Px sẽ tồn tại PxB ∈ Px sao
cho Px = PxB ∩ A. Do đó cứ mỗi x ∈ B ta xác định một PxB ∈ Px .
Ta đặt U = (
x∈B

PxB ) ∪ (X \ A). Khi đó U là tập mở trong X. Thật

vậy, lấy y bất kỳ thuộc U thì y ∈ PxB với một x nào đó thuộc B, hoặc
y ∈ X \ A. Từ đó suy ra, y ∈ Px với x nào đó thuộc B, hoặc y ∈ X \ A.
Nếu y ∈ Px thì y ∈ B. Do đó tồn tại Py ∈ Py sao cho Py ⊂ B. Từ
đó suy ra, tồn tại PyB ∈ Py sao cho PyB ⊂ U .
Nếu y ∈ X \A thì do X \A mở, nên tồn tại Py ∈ Py sao cho Py ⊂ U .
Mà P =

Px là cơ sở yếu nên ta suy ra U là tập mở trong X. Mặt
x∈X

khác ta dễ thấy, U ∩ A = B. Do đó B là tập mở trong A.

7


1.1.6 Định nghĩa. Cho không gian tôpô X và P là phủ gồm các tập
con của X
(1) Ta nói không gian tôpô X được xác định bởi phủ P (X is determined by P) [3], hoặc P xác định X (P determined X), nếu U ⊂ X
là mở (tương ứng, đóng) trong X khi và chỉ khi U ∩ P là mở (tương
ứng, đóng) trong P với mọi P ∈ P.
(2) Không gian tôpô X là không gian Fréchet [3], nếu với mọi A ⊂ X
và với mọi x ∈ A, tồn tại dãy trong A hội tụ đến x.
(3) Không gian tôpô X là không gian dãy (sequential) [3], nếu với
mọi A ⊂ X, A đóng trong X khi và chỉ khi không có dãy nào trong
A hội tụ đến điểm nằm ngoài A, một cách tương đương, X được xác
định bởi phủ gồm các tập con compact mêtric.
(4) Không gian tôpô X là k-không gian (k-space) [3], nếu X được
xác định bởi phủ gồm các tập con compact của X.
(5) Không gian tôpô X là σ-không gian (σ-space) [10], nếu X có
lưới σ-hữu hạn địa phương.
(6) Không gian tôpô X là cs-σ-không gian [10], nếu X có cs-lưới
σ-hữu hạn địa phương.
(7) Không gian tôpô X được gọi là snf -đếm được [11] nếu X có
một sn-lưới P = ∪{Px : x ∈ X}, trong đó mỗi Px là tập đếm được.
(8) Không gian tôpô X được gọi là gf -đếm được (gf -countable)
[tương ứng, snf -đếm được (snf -countable)] [11] nếu X có cơ sở yếu
[tương ứng, sn-lưới] P =
x ∈ X.

Px thoả mãn Px là đếm được với mọi
x∈X

(9) Không gian tôpô X được gọi là gs-đếm được (gs-countable) [11]
nếu X có cơ sở yếu P =

Px , trong đó P là đếm được.
x∈X

(10) Không gian tôpô X được gọi là g-mêtric hóa được (g-metrizable)
[11] nếu X có cơ sở yếu σ-hữu hạn địa phương.
8


(11) Cho X là một không gian tôpô. Tập con M của X được gọi là
một cái quạt [11] tại x của X, nếu M có thể biểu diễn dưới dạng:
M = {x} ∪ {∪{xn,m : m ∈ N} : n ∈ N},
trong đó {xn,m : m ∈ N} là vô hạn đếm được dãy rời nhau của X mà
mỗi dãy đều hội tụ về x.
Tập con C của quạt M tại x được gọi là một đường chéo của M
nếu C có giao với vô hạn dãy của quạt M và đồng thời C là một dãy
hội tụ về một điểm trong quạt M .
Không gian tôpô X được gọi là một α4 -không gian nếu với mỗi điểm
x trong X, mọi cái quạt tại x đều có đường chéo hội tụ về x.
(12) Không gian chính qui X được gọi là không gian đối xứng [11]
nếu tồn tại hàm số d : X × X → R thoả mãn:
(i) d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X;
(iii) U ⊂ X, U mở khi và chỉ khi với mọi x ∈ U tồn tại n ∈ N sao
1
cho Sn (x) ⊂ U , trong đó Sn (x) = {y ∈ X : d(x, y) < }.
n

(13) Không gian chính qui X được gọi là nửa-mêtric [11] nếu thay
điều kiện (iii) của Định nghĩa (12) bằng điều kiện
(iii’) Với mọi A ⊂ X, x ∈ A khi và chỉ khi d(x, A) = 0, trong đó
d(x, A) = inf d(x, a)
a∈A

1.1.7 Nhận xét. (1) Cơ sở ⇒ cơ sở yếu ⇒ sn-lưới ⇒ cs-lưới. Vì thế,
không gian đếm được thứ nhất ⇒ gf -đếm được ⇒ snf -đếm được.
(2) Không gian đếm được thứ hai ⇒ gs-đếm được ⇒ gf -đếm được.

9


1.2

Mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở yếu

Trong mục này các không gian nói tới được giả thiết là T2 nếu không
có giải thích gì thêm.
Sơ đồ 1 sẽ nêu lên mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở yếu
và một số không gian tôpô đặc biệt.

Các mối quan hệ thể hiện trong Sơ đồ 1, một số đã được nêu ra và
chứng minh chi tiết trong các tài liệu tham khảo. Do đó ở đây chúng
tôi chỉ chứng minh các quan hệ còn lại.

Sơ đồ 1
1.2.1 Mệnh đề. ([10]) Giả sử X là không gian mêtric khả li. Khi đó
X là chính qui và là gs-đếm được.
Chứng minh. Vì X là khả li nên tồn tại tập đếm được A ⊂ X sao cho

10


1
A = X. Lại vì X là không gian mêtric nên với mỗi x ∈ X, họ {B(x, ) :
n
1
n ∈ N} các hình cầu tâm x, bán kính là một cơ sở lân cận đếm được
n
1
tại x. Ta sẽ chứng minh rằng họ P =
Px = {B(x, ) : x ∈ A, n ∈
n
x∈X
N} là cơ sở yếu đếm được, trong đó Px = {P ∈ P : x ∈ P }.
Thật vậy, ta sẽ chứng minh P lần lượt thỏa mãn các điều kiện trong
Định nghĩa cở sở yếu

1
(i) Giả sử U là lân cận của x. Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho B(x, ) ⊂
n
1
1
U . Do A = X, nên B(x, ) ∩ A = ∅. Giả sử y ∈ B(y, ) ∩ A. Khi
2n
2n
1
1
đó ta dễ dàng kiểm tra được x ∈ B(y, ) ⊂ B(x, ) ⊂ U . Vậy ta đã
2n

n
1
1
chỉ ra được tồn tại B(y, ) ∈ Px thỏa mãn B(y, ) ⊂ U .
2n
2n
1
1
(ii) Giả sử B(y, ) ∈ Px và B(z, ) ∈ Px . Khi đó ta có x ∈
n
m
1
1
1
1
B(y, ) ∩ B(z, ). Do đó tồn tại k ∈ N sao cho B(x, ) ⊂ B(y, ) ∩
n
m
k
n
1
1
1
B(z, ). Do A = X, nên B(x, ) ∩ A = ∅. Giả sử w ∈ B(x, ) ∩ A.
m
2k
2k
1
1
1

Khi đó ta dễ dàng kiểm tra được x ∈ B(w, ) ⊂ B(x, ) ⊂ B(y, ) ∩
2k
k
n
1
1
1
B(z, ). Vậy ta đã chỉ ra được tồn tại B(w, ) ∈ Px mà B(w, ) ⊂
m
2k
2k
1
1
B(y, ) ∩ B(z, ).
n
m
Bây giờ ta sẽ chứng minh P thỏa mãn điều kiện còn lại trong Định
nghĩa cơ sở yếu.
Giả sử G mở trong X. Khi đó, do A = X nên U ∩ A = ∅, giả sử
1
y ∈ U ∩ A. Vì U mở nên tồn tại no ∈ N sao cho B(y, ) ⊂ U . Ngược
no
lại, giả sử U là tập mà với mọi x ∈ U , tồn tại Px ∈ Px mà P ⊂ U . Khi
đó ta có U =

Px . Vì các Px ∈ Px là mở với mọi x ∈ X nên ta suy
x∈U

ra U là tập mở.

11


1.2.2 Mệnh đề. ([10]) Mọi không gian chính qui, gs-đếm được là
không gian g-mêtric hóa được.
Chứng minh. Giả sử X là không gian gs-đếm được. Khi đó X có cơ
sở yếu đếm được, B = {B1 , B2 , ...}. Với mỗi n ∈ N ta đặt Bn = {Bn }
. Khi đó ta có B =

∞

n=1

Bn . Rõ ràng Bn là hữu hạn địa phương (vì Bn

chỉ gồm một phần tử). Do đó X là g-mêtric hóa được.
1.2.3 Bổ đề. Mọi không gian g-mêtric hóa được đều là không gian
gf -đếm được.
Chứng minh. Vì X là không gian g-mêtric hóa được nên X có cơ sở
yếu σ-hữu hạn địa phương C = ∪{Cx : x ∈ X} = ∪{Bn : n ∈ N}, trong
đó mỗi Bn là hữu hạn địa phương. Khi đó, với mỗi n ∈ N, với mọi
x ∈ X chỉ có hữu hạn phần tử của Bn chứa x. Vì thế Bn ∩ Cx = {C :
C ∈ Bn và C ∈ Cx } là họ hữu hạn, với mọi x ∈ X, n ∈ N. Cho nên
Cx = ∪{Cx ∩ Bn : n ∈ N} là họ đếm được, với mọi x ∈ X. Vậy X là
không gian gf -đếm được.
1.2.4 Bổ đề. ([9]) Nếu X là không gian chính qui và là σ-không gian
thì X có một lưới σ-rời rạc.
1.2.5 Bổ đề. ([1], Định lý 2.8) Một không gian gf -đếm được với một
lưới σ-rời rạc là không gian đối xứng.
1.2.6 Mệnh đề. ([10]) Mọi không gian g-mêtric hóa được là không

gian đối xứng.
Chứng minh. Từ định nghĩa của không gian g-mêtric hóa được và σkhông gian ta dễ dàng suy ra được một không gian g-mêtric hóa được
là σ-không gian. Từ đó kết hợp với Bổ đề 1.2.3, Bổ đề 1.2.4 và Bổ đề
1.2.5 ta suy ra X là không gian đối xứng.
12


1.2.7 Mệnh đề. Không gian snf -đếm được là α4 -không gian.
Chứng minh. Giả sử X là một không gian snf -đếm được thì X có một
sn-lưới P = ∪{Px : x ∈ X}, trong đó mỗi Px là tập đếm được. Không
mất tính tổng quát ta có thể giả sử Px = {Pn (x) : n ∈ N}, trong đó
Pn+1 (x) ⊂ Pn (x).
Giả sử M là một cái quạt tại điểm x bất kỳ trong X. Khi đó M có
thể biểu diễn dưới dạng M = {x} ∪ {∪{xnm : m ∈ N} : n ∈ N}, trong
đó {xnm : m ∈ N}n∈N là đếm được dãy rời nhau của X và xnm → x
khi m → ∞; n = 1, 2, ....
Từ giả thiết P là một sn-lưới của X suy ra mỗi Pn (x) ∈ Px là một
lân cận dãy của x. Do đó mỗi k ∈ N và mỗi Pn (x) ∈ Px ắt tồn tại
mnk sao cho xkm ∈ Pn (x) với mọi m ≥ mnk . Vì thế với mỗi k ∈ N và
mỗi n ∈ N thì {xkm : m ∈ N} ∩ Pn (x) = ∅. Ta xây dựng đường chéo
C = {yn : n ∈ N} như sau:
Với mỗi n ∈ N chọn yn ∈ Pn (x) ∩ {xnm : m ∈ N}. Khi đó, với mỗi
n ∈ N thì C ∩ {xnm : m ∈ N} = {yn } = ∅. Do đó C là tập có giao với
vô hạn dãy của M .
Nếu U là một lân cận của x thì tồn tại no ∈ N sao cho Pno (x) ⊂ U .
Do đó, ta có yn ∈ Pn (x) ⊂ Pno (x) ⊂ U với mọi n ≥ no hay yn ∈ U với
mọi n ≥ no . Từ đó ta suy ra {yn } là một dãy hội tụ về x. Như vậy, mọi
cái quạt tại x ∈ X đều có đường chéo hội tụ về x. Vậy X là α4 -không
gian.
1.2.8 Mệnh đề. ([10]) Không gian nửa-mêtric là không gian đếm được

thứ nhất.
Chứng minh. Giả sử X là không gian nửa-mêtric. Khi đó tồn tại hàm
số d : X × X → R thoả mãn ba điều kiện:
(i)

d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
13


d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(ii)

d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

(iii)

A ⊂ X, x ∈ A ⇔ d(x, A) = 0.

Xét phủ P = {Px : x ∈ X}, trong đó
Px = {Sn (x) : n ∈ N} = {y ∈ X : d(x, y) <
Ta sẽ chứng minh Px là một cơ sở lân cận của x.

1
}.
n

Trước hết ta chứng minh Sn (x) là lân cận của x với mọi n ∈ N. Đặt
1
E = X \ Sn (x). Ta có d(x, E) ≥ nên x ∈ E. Từ đó suy ra x ∈ X \ E.
n

Mà X \ E là mở, nên tồn tại U mở sao cho x ∈ U ⊂ X \ E. Ta có
U ⊆ Sn (x). Thật vậy, lấy x ∈ U thế thì x ∈ X \ E, nên x ∈ E. Vì vậy
x ∈ E, do đó x ∈ Sn (x). Từ đó suy ra U ⊂ Sn (x). Vậy Sn (x) là lân
cận của x.
Tiếp theo ta chứng minh, với U là lân cận mở bất kỳ của x, thì tồn
tại m ∈ N sao cho Sm (x) ⊂ U . Thật vậy, giả sử Sn (x) ∩ (X \ U ) = ∅
với n = 1, 2, ... Khi đó, tồn tại {xn } ⊂ (X \ U ) ∩ Sn (x). Từ đó suy ra
1
0 ≤ d(x, X \ U ) ≤ d(x, xn ) < → 0 khi n → ∞.
n
Do vậy d(x, X \ U ) = 0. Từ đó ta có x ∈ X \ U = X \ U . Điều này mẫu
thuẫn với x ∈ U . Như vậy tồn tại m sao cho Sn (x) ⊂ U .
Do đó X là không gian đếm được thứ nhất.
1.2.9 Mệnh đề. Giả sử X là không gian đối xứng. Khi đó X là gf đếm được với cơ sở yếu P =

Px , trong đó Px = {Px,1 , Px,2 , ...},
x∈X

thoả mãn:
(a) Nếu xn ∈ Px,n với mọi n thì xn → x;
(b) Nếu x ∈ Pxn ,n với mọi n thì xn → x.
Chứng minh. Giả sử X là không gian đối xứng. Khi đó mỗi x ∈ X đặt
trong đó Px,n

Px = {Px,n : n = 1, 2, 3, ...},
1
= Sn (x) = {y ∈ X : d(x, y) < } và P = ∪{Px : x ∈ X}.
n
14

Ta có P là một cơ sở yếu của X.
Thật vậy, giả sử U là lân cận của x. Khi đó tồn tại V mở sao
cho x ∈ V ⊂ U . Do đó, tồn tại n ∈ N sao cho Sn (x) ⊂ V ⊂ U
hay tồn tại P = Sn (x) ∈ Px sao cho P ⊂ U . Vậy Px là một lưới
tại x. Giả sử U , V ∈ Px với U = Sn (x), V = Sm (x), m ≤ n. Ta có
U ∩ V = U = Sn (x) ∈ Px . Với G ⊂ X, theo điều kiện (iii) của Định
nghĩa không gian đối xứng ta có G mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ G
luôn tồn tại P = Sn (x) ∈ Px sao cho P ⊂ G.
Như vậy P là một cơ sở yếu của X. Mặt khác, với mỗi x thì Px là
tập đếm được. Vậy X là gf -đếm được.
(a) Giả sử {xn } ⊂ X mà xn ∈ Px,n với mỗi n ∈ N và U là lân cận
mở bất kỳ của x. Khi đó tồn tại m ∈ N sao cho Px,m ⊂ U . Mặt khác,
với mọi n ≥ m thì Px,n ⊂ Px,m . Do vậy, ta có xn ∈ Px,n ⊂ Px,m ⊂ U ,
với mọi n ≥ m. Từ đó suy ra xn → x.
(b) Giả sử {xn } ⊂ X mà x ∈ Pxn ,n với mọi n ∈ N và U là lân cận
mở bất kỳ của x. Khi đó tồn tại no sao cho Px,no ⊂ U . Từ x ∈ Pxn ,n
1
ta có d(x, xn ) < . Do đó xn ∈ Px,n . Mặt khác ta có Px,n ⊂ Px,no ⊂ U ,
n
∀n ≥ no . Do vậy, xn ∈ U , ∀n ≥ no . Từ đó ta suy ra xn → x.

Trong sơ đồ (1), chiều ngược lại của các quan hệ nói chung là không
đúng. Vì vậy một câu hỏi đặt một cách tự nhiên là với điều kiện nào
thì ta có được chiều ngược lại? Các định lý sau đây sẽ trả lời câu hỏi
trên.
1.2.10 Chú ý. (1) Giả sử X là không gian đối xứng. Khi đó P = ∪Px ,
là cơ sở yếu của X, trong đó Px = {Px,n : n = 1, 2, ...} và Px,n = Sn (x).
(2) Giả sử X là không gian gf -đếm được với cơ sở yếu P = ∪Px ,
trong đó mỗi Px là đếm được. Khi đó ta có thể giả thiết

15


Px = {Px,1 , Px,2 , ...}, trong đó Px,1 ⊃ Px,2 ⊃ ...
1.2.11 Định lý. Giả sử X là T1 -không gian, gf -đếm được với cơ sở
yếu
P=

Px , Px = {Px,1 , Px,2 , ...}, Px,1 ⊃ Px,2 ⊃ ...
x∈X

(1) Nếu X thoả mãn (b) trong Mệnh đề 1.2.9 (tức là, nếu x ∈ Pxn ,n
với mọi n thì xn → x) thì X là không gian đối xứng.
(2) Nếu X thoả mãn (1) và thoả mãn thêm điều kiện Px,n là tập
mở với mọi x ∈ X, với mọi n ∈ N thì X là nửa-mêtric.
Chứng minh. (1) Giả sử X là T1 -không gian, gf -đếm được với cơ sở
yếu P = ∪Px thoả mãn: nếu x ∈ Pxn ,n với mọi n thì xn → x. Khi đó
với mọi x, y ∈ X, ta đặt
d(x, y) = inf {

1
1
;
}.
inf {j : x ∈ Py,j } inf {j : y ∈ Px,j }

Ta sẽ chứng minh d thoả mãn ba điều kiện trong định nghĩa không
gian đối xứng
(i) Dễ thấy d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X.
Và nếu x = y thì d(x, y) = 0. Ngược lại, nếu d(x, y) = 0 ta suy ra

inf {j : x ∈ Py,j } = ∞ hoặc inf {j : y ∈ Px,j } = ∞. Hay x ∈ Py,j , với
mọi j ∈ N hoặc y ∈ Px,j , với mọi j ∈ N. Từ đó, theo giả thiết suy ra
x = y. Như vậy d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
(ii) Dễ thấy d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X.
(iii) Giả sử U là tập mở của x. Vì P là cơ sở yếu nên tồn tại no ∈ N
1
sao cho Px,no ⊂ U . Ta chứng minh Sno (x) = {y : d(x, y) < } ⊂ U .
no
Thật vậy, vì Px,no ⊂ U nên Px,no ∩(X\U ) = ∅. Khi đó, với mọi y ∈ X\U
1
ta có y ∈ Px,no , do đó inf {j : y ∈ Px,j } ≤ no . Từ đó suy ra d(x, y) >
no
1
với mọi y ∈ X \ U . Vì thế Sno (x) = {y ∈ X : d(x, y) < } ⊂ U .
no
16


Giả sử U là tập mà với mọi x ∈ U , tồn tại n ∈ N để Sn (x) ⊂ U .
Ta sẽ chứng minh U mở. Thật vậy, lấy x ∈ U , khi đó tồn tại n ∈ N để
Sn (x) ⊂ U . Ta sẽ chỉ ra Px,n ⊂ Sn (x).
Lấy y ∈ Px,n , khi đó inf {j : y ∈ Px,j } > n. Suy ra

1
<
inf {j : y ∈ Px,j }

1
1
hay d(x, y) < . Từ đó suy ra y ∈ Sn (x). Vậy Px,n ⊂ Sn (x) ⊂ U .

n
n
Như vậy với mỗi x ∈ U , tồn tại Px,n ⊂ U . Kết hợp với P là cơ sở yếu
nên suy ra U là tập hợp mở. Vậy X là không gian đối xứng.
(2) Giả sử A là tập con bất kỳ của X.
Nếu x ∈ A thì do Px,n mở, với mọi n ∈ N nên A ∩ Px,n = ∅, với mọi
n ∈ N. Do đó ta xây dựng được dãy {yn } thỏa mãn với mỗi n ∈ N,
yn ∈ Px,n . Từ đó suy ra
d(x, A) ≤ d(x, {y1 , y2 , ..}) ≤
Vì vậy, suy ra d(x, A) = 0.

1
, với mọi n ∈ N.
n

1
, với mỗi
n
n ∈ N. Từ đó suy ra xm ∈ Sn (x) với mọi m ≥ n. Mà {Sn (x)}n∈N là cơ
Nếu d(x, A) = 0 thì tồn tại dãy {xn } ⊂ A mà d(x, xn ) <

sở yếu tại x. Nên ta có xn → x. Do vậy x ∈ A.
1.2.12 Mệnh đề. ([10]) Mỗi không gian trong cột 2 của Sơ đồ 1, có
tính di truyền cho không gian con đóng (tức là, không gian đóng của
một không gian nào đó cũng có tính chất như không gian đó).
Chứng minh. Giả sử X là không gian tôpô và A là không gian con
đóng của không gian X.
(1) Với X là không gian dãy. Ta sẽ chứng minh A là không gian
dãy.
Vì A đóng trong X nên với mọi tập B ⊂ A, thì B là đóng trong A khi

và chỉ khi B đóng trong X. Do đó B là đóng trong A khi và chỉ khi
không có dãy {xn } nào trong B hội tụ về điểm x không thuộc B.
Vậy A là không gian dãy.
17


(2) Nếu X là gf -đếm được thì ta sẽ chứng minh A là gf - không
gian.
Vì X là gf -đếm được nên X có cơ sở yếu P =

Px , trong đó mỗi
x∈X

Px là đếm được. Ta viết Px = {Px,1 , Px,2 , ...}. Khi đó ta đặt Px =
{Px,1 , Px,2 , ...}, trong đó Px,n = Px,n ∩ A. Theo Bổ đề 1.1.5, Px là cơ sở
yếu của không gian A. Từ đó suy ra A là không gian gf -đếm được.
(3) Với X là không gian đối xứng, ta sẽ chứng minh A là không
gian đối xứng.
Vì X là không gian đối xứng nên tồn tại hàm số d : X × X → R thoả
mãn:
(i) d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X;
(iii) U ⊂ X, U mở khi và chỉ khi với mọi x ∈ U tồn tại n ∈ N sao
1
cho Sn (x) ⊂ U , trong đó Sn (x) = {y ∈ X : d(x, y) < }.
n
Từ (i) và (ii) ta suy ra:
(i’) d(x, y)

0 ∀x, y ∈ A; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(ii’) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ A;
Ta cần phải chứng minh:
(iii’) U ⊂ A, U mở khi và chỉ khi mọi x ∈ U tồn tại n ∈ N sao cho
1
Sn (x) ⊂ U , trong đó Sn (x) = {y ∈ A : d(x, y) < }. Tức là ta phải
n
chứng minh họ P =
Px là cơ sở yếu của X,trong đó
x∈X

Px = {Sn (x) : n = 1, 2, ...}.
Điều này được suy ra từ Chú ý 1.2.10.
Bây giờ ta phải chứng minh A là chính qui.
Vì X chính qui và A không gian con đóng của X nên A cũng là không
gian chính qui. Như vậy A là không gian đối xứng.
(4) Với X là không gian chính qui và gs-đếm được, ta sẽ chứng
18


minh A chính qui và A là gs-đếm được.
Ta có, vì X là chính qui và A là đóng trong X nên A là cũng là không
gian chính qui. Mặt khác X là gs-đếm được nên X có cơ sở yếu P là
đếm được. Đặt P =

∞

n=1

Pn , trong đó Pn = Pn ∩ A. Khi đó theo Bổ

đề 1.1.5 ta có P là cơ sở yếu của không gian A. Và rõ ràng P là đếm
được. Vậy A là cơ sở yếu đếm được nên A là gs-không gian.
1.2.13 Bổ đề. ([2]) Cho không gian tôpô X. Khi đó nếu mọi không
gian con của X là k-không gian thì X là không gian Fréchet.
1.2.14 Bổ đề. ([3]) Không gian tôpô X là mêtric hóa được khi và chỉ
khi X có cơ sở σ-hữu hạn địa phương.
1.2.15 Bổ đề. Giả sử X là không gian tôpô với cơ sở yếu P =

Px .
x∈X

Khi đó nếu X là không gian Fréchet thì B =

Bx là một cơ sở của
x∈X

X, trong đó Bx = {intP : P ∈ Px }.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng, với mỗi x ∈ X và P ∈ Px
ta đều có x ∈ intP . Thật vậy, giả sử ngược lại rằng, tồn tại x ∈ X
và P ∈ Px sao cho x ∈ intP . Suy ra x ∈ X \ P . Vì X là không
gian Fréchet nên tồn tại dãy {xn } ⊂ X \ P , xn → x. Mặt khác,
vì mỗi P ∈ Px là lân cận dãy của x nên tồn tại no ∈ N sao cho
{x} ∪ {xn : n ≥ no } ⊂ P . Điều này mâu thuẫn với {xn } ⊂ X \ P . Bây
giờ ta đặt
Bx = {intP : P ∈ Px }, B =

Bx .
x∈X

Vì P là lưới nên hiển nhiên rằng B là cơ sở của X.
1.2.16 Định lý. ([10]) Nếu X là không gian tôpô thoả mãn một trong
hai điều kiện sau:
(a) X là một không gian trong cột 2 của Sơ đồ 1 và cũng là không
gian Fréchet;
19


(b) X là một không gian trong cột 2 của Sơ đồ 1 và có tính di truyền
cho không gian con;
thì X là không gian tương ứng trong cột thứ nhất.
Chứng minh. (a) Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu không gian X là
gf -đếm được và Fréchet thì nó là đếm được thứ nhất. Vì X là gf -đếm
được nên X có cơ sở yếu B =

Bx , trong đó mỗi Bx là đếm được.
x∈X

Lấy B là lân cận yếu của x, chúng ta sẽ chứng minh rằng B là lân cận
của x. Giả sử điều đó không đúng. Khi đó với mọi lân cận Ux của x
thì Ux ⊂ B, hay Ux ∩ X \ B = ∅. Từ đó ta suy ra x ∈ X \ B. Bởi giả
thiết X là Fréchet, nên tồn tại một dãy {xn } trong X \ B hội tụ tới
x. Khi đó tập U = X \ {x, x1 , x2 , ...} là mở. Do đó với mỗi p ∈ U tồn
tại một Bp ∈ Bp mà Bp ⊂ U . Đặt U = U ∪ {x}, khi đó mỗi p ∈ U sẽ
tồn tại Bp ∈ Bp sao cho Bp ⊂ U , nếu p = x thì lấy Bp = B ⊂ U . Bởi
B=

Bp là cơ sở yếu nên suy ra U là mở trong X. Mà ta có x ∈ U
p∈X

và xn → x, nên suy ra {xn } ⊂ U từ một n đủ lớn nào đó. Điều này là
mẫu thuẩn. Do đó x ∈ intB.
Vậy ta suy ra X là không gian đếm được thứ nhất.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng, một không gian X là không gian đối
xứng và Fréchet thì nó là nửa-mêtric. Vì X là không gian đối xứng nên
tồn tại hàm d : X × X → R thoả mãn ba điều kiện:
(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
(iii) U ⊂ X, U mở khi và chỉ khi với mọi x ∈ U tồn tại x ∈ N sao
1
cho Sn (x) ⊂ U , trong đó Sn (x) = {y ∈ X : d(x, y) < }.
n
Ta sẽ chứng minh hàm d thoả mãn điều kiện (iii’).
(iii’) A ⊂ X, x ∈ A ⇔ d(x, y) = 0.
Giả sử A là tập con bất kỳ của X và x ∈ A. Khi đó, tồn tại
20


{xm } ⊂ A mà xm → x.Vì {Sn (x) : n ∈ N} là cơ sở lân cận yếu tại x
nên {Sn (x) : n ∈ N} là các lân cận dãy của x. Do đó, với mọi n ∈ N tồn
1
tại mn ∈ N sao cho xm ∈ Sn (x) với mọi m ≥ mn . Hay ta có d(x, y) < ,
n
1
với mọi m ≥ mn . Từ đó suy ra d(x, A) ≤ d(x, {x1 , x2 , ...}) < , với
n
mọi n. Do đó, suy ra: d(x, A) = 0.
Ngược lại, giả sử A là tập con bất kỳ của X và x ∈ X sao cho
d(x, A) = 0, ta sẽ chỉ ra x ∈ A. Từ d(x, A) = 0, suy ra với mọi n ∈ N
1

tồn tại xn ∈ A sao cho d(x, xn ) < . Từ đó ta xây dựng được dãy
n
{xn } ⊂ A thoả mãn xn ∈ Sn (x) với mọi n ∈ N. Mặt khác, ta có
Sm (x) ⊂ Sn (x) với mọi m ≥ n. Do đó, suy ra xm ∈ Sn (x) với mọi
m ≥ n. Ta có xm → x. Thật vậy, giả sử Ux là một lân cận bất kỳ của
x. Khi đó do {Sn (x) : n ∈ N} là một cơ sở lân cận yếu của x, nên tồn
tại no ∈ N sao cho Sno (x) ⊂ Ux . Như vậy, ta có
xm ∈ Sno (x) ⊂ Ux , với mọi m ≥ no . Do đó xm → x. Vậy x ∈ A.
Giả sử X là không gian g-mêtric hóa được và Fréchet. Ta sẽ chứng
minh X là không gian mêtric hóa được. Vì X là không gian g-mêtric
hóa được nên X có cơ sở yếu σ-hữu hạn địa phương P = {Px : x ∈ X}.
Vì X là Fréchet nên theo Bổ đề 1.2.15 B =

Bx là một cơ sở của
x∈X

X, trong đó Bx = {intP : P ∈ Px }. Theo cách xác định của B, thì với
mỗi B ∈ B sẽ tồn tại P ∈ P, mà do P là σ-hữu hạn địa phương nên
suy ra B cũng là σ-hữu hạn địa phương. Như vậy X có cơ sở σ-hữu
hạn địa phương. Từ đó theo Bổ đề 1.2.14 ta có X là không gian mêtric
hóa được.
Giả sử X là không gian chính qui, gs-đếm được và là không gian
Fréchet. Ta sẽ chứng minh X là không gian mêtric khả li. Vì X là
không gian chính qui, gs-đếm được nên theo Mệnh đề 1.2.2 ta có X là
không gian g-mêtric hóa được. Mặt khác X là không gian Fréchet nên

21


theo chứng minh trên ta có X là không gian mêtric hóa được. Vì X là

không gian gs-đếm được nên X có cơ sở yếu P là đếm được. Lại do X là
Fréchet nên B =

Bx là cơ sở của X trong đó Bx = {intP : P ∈ Px }.
x∈X

Vì P là đếm được và từ cách xác định của B ta suy ra B cũng là đếm
được. Do đó, X là không gian đếm được thứ hai. Khi đó ta có thể viết
B = {B1 , B2 , ...}. Với mỗi n ∈ N, ta lấy xn ∈ Bn . Đặt A = {x1 , x2 , ...}.
Rõ ràng A là đếm được. Bây giờ ta chứng minh A = X. Giả sử U là
tập mở bất kỳ trong X. Do B = {B1 , B2 , ...} là một cơ sở yếu của X
nên tồn tại i ∈ N sao cho Bi ⊂ U . Từ đó suy ra xi ∈ U . Vậy xi ∈ A∩U .
Từ đó ta có A ∩ U = ∅.
Vậy X là không gian mêtric khả li.
(b) Nếu giả thiết (b) được thoả mãn, thì mọi không gian con của X
là không gian dãy. Do đó mọi không gian con của X là k-không gian.
Theo Bổ đề 1.2.13 ta suy ra X là không gian Fréchet. Như vậy điều
kiện (a) được thoả mãn. Do đó ta có điều phải chứng minh.
1.2.17 Nhận xét. Từ Định lý 1.2.11 ta suy ra, không gian gf -đếm
được có tính chất di truyền cho không gian con là không gian Fréchet.

22


CHƯƠNG 2

CÁC PHỦ ĐẾM ĐƯỢC THEO ĐIỂM TRONG
KHÔNG GIAN GF -ĐẾM ĐƯỢC

2.1

Một số khái niệm và tính chất cơ bản

2.1.1 Định nghĩa. ([11]) Giả sử P là một phủ của không gian X
(1) P được gọi là có tính chất (A) nếu với mọi x ∈ X, mọi lân cận
U của x luôn tồn tại F ∈ P <ω sao cho x ∈ Ints (∪F) ⊂ ∪F ⊂ U
(2) P được gọi là có tính chất (B) nếu với mọi x ∈ X, mọi lân cận
U của x luôn tồn tại F ∈ P <ω sao cho
(i) x ∈ Ints (∪F) ⊂ ∪F ⊂ U ;
(ii) x ∈ ∩F.
2.1.2 Nhận xét. (1) Phủ có tính chất (B) ⇒ có tính chất (A) ⇒
wcs∗ -lưới.
(2) Phủ có tính chất (B) ⇒ cs∗ -lưới.
2.1.3 Định nghĩa. ([11]) Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} là họ gồm các tập
con của X.
(1) P là họ bảo tồn bao đóng di truyền (hereditarily closure-preserving)
hay đơn giản HCP nếu
∪{Aα : α ∈ J} = ∪{Aα : α ∈ J},
với mọi J ∈ Λ và Aα ⊂ Pα , với mọi α ∈ J.
(2) P được gọi là họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu (weakly hereditarily closure-preserving) hay đơn giản WHCP nếu
23


{x(P ) ∈ P : P ∈ P}
là họ HCP.
2.1.4 Bổ đề. ([7]) Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} là họ HCP của X thì
họ P∗ tất cả các giao hữu hạn của các tập thuộc P cũng có tính chất
HCP .
Chứng minh. Ký hiệu Λ<ω là họ tất cả các tập con hữu hạn của Λ. Ta
có

P = {GJ : J ∈ Λ<ω }
trong đó GJ = ∩{Pα : α ∈ J}.
Giả sử Λ ⊂ Λ<ω , HJ ⊂ GJ với J ∈ Λ . Khi đó HJ ⊂ Pα với α nào
đó thuộc J. Do đó, từ P có tính HCP ta suy ra
∪{HJ : J ∈ Λ } = ∪{HJ : J ∈ Λ }.
Vậy P∗ có tính chất HCP .
2.1.5 Bổ đề. Nếu P là phủ hữu hạn địa phương của không gian tôpô
X thì P có tính chất HCP .
Chứng minh. Giả sử P là phủ hữu hạn địa phương của không gian tôpô
X và Po là họ con tùy ý của P. Khi đó, Po có tính chất hữu hạn địa
phương. Với mỗi P ∈ Po lấy bất kỳ AP ⊂ P và đặt A = {AP : P ∈ P0 }.
Từ Po là hữu hạn địa phương nên A là hữu hạn địa phương. Ta sẽ
∪A=∪{A : A ∈ A}.

chứng tỏ rằng

Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh ∪A ⊂ ∪{A : A ∈ A}. Giả sử
x ∈ ∪A. Từ tính chất hữu hạn địa phương của A suy ra tồn tại lân
cận mở U của x sao cho
Ax = {A ∈ A : A∩U = ∅}
là tập hữu hạn. Khi đó ta có U ∩ (∪(A\Ax )) = ∅. Vì U mở nên
U ∩ ∪(A \Ax ) = ∅.
Ta có
24

(1)


x ∈ ∪A = ∪(A \Ax ) ∪ ∪Ax
Từ (1) ta lại có

∪Ax = ∪{A : A ∈ A}.
Do đó
x ∈ ∪{A : A ∈ A}.
Từ đó ta suy ra
∪A ⊂ ∪{A : A ∈ A}.
Vậy P có tính chất HCP

2.2

Mối quan hệ giữa các phủ đếm được theo điểm
trong không gian gf -đếm được

Phần này trình bày sự tồn tại và mối quan hệ giữa các phủ với các
tính chất nào đó trong không gian gf -đếm được và các tính chất của
không gian với cơ sở yếu mà chúng liên quan tới các phủ đếm được.
2.2.1 Bổ đề. ([14], Định lý 2.9) Giả sử X là không gian Fréchet và P
là cs∗ -lưới sao-đếm được. Khi đó P = {P : P ∈ P} là cs∗ -lưới đóng,
sao-đếm được của X.
2.2.2 Mệnh đề. Giả sử X là không gian gf - đếm được có tính chất
di truyền cho không gian con và P là cs∗ -lưới-sao đếm được. Khi đó
P = {P : P ∈ P} là cs∗ -lưới đóng, sao-đếm được của X.
Chứng minh. Vì X là không gian gf -đếm được và có tính di truyền
cho không gian con nên theo Nhận xét 1.2.17 suy ra X là không gian
Fréchet. Từ đó áp dụng Bổ đề 2.2.1 ta có điều phải chứng minh.
2.2.3 Bổ đề. ([14], Bổ đề 2.7) Giả sử X là không gian Fréchet với
wcs∗ -lưới đếm được theo điểm P. Khi đó P là tựa-k-lưới.
25