Một số luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên luận văn thạc sĩ toán học

❜é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦
tr➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝✈✐♥❤

❚r➢➡♥❣ ❚❤Þ ◆❣ä❝

▼ét sè ❧✉❐t ②Õ✉ sè ❧í♥
❝❤♦ ♠➯♥❣ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿

▲ý t❤✉②Õt ①➳❝ s✉✃t ✲ ❚❤è♥❣ ❦➟ ❚♦➳♥ ❤ä❝
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✶✺

◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✿ P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ◗✉➯♥❣

❱✐♥❤ ✲ ✷✵✶✷


✶

▼ô❝ ❧ô❝
◆❤÷♥❣ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥

✸

✶

✹

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ

✶✳✶ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶ ❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷ ❍➭♠ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✸ ❈➳❝ ❧♦➵✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✹ ❈➳❝ sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
✶✳✶✳✺ ❈➳❝ ❞➵♥❣ ❤é✐ tô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✻ ❚Ý♥❤ ➤é❝ ❧❐♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
✶✳✶✳✼ ❑ú ✈ä♥❣ ❝ã ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✽ ▼❛rt✐♥❣❛❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ▼ét sè ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✶ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▼❛r❦♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✷ ❈➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠♦♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✸ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❇✉r❦❤♦❧❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✹ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❉❛✈✐s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✹
✹
✺
✺
✼
✾
✶✵
✶✶
✶✷
✶✸
✶✸
✶✸
✶✺
✶✺

▼ét sè ❧✉❐t ②Õ✉ sè ❧í♥
❝❤♦ ♠➯♥❣ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸
✷✳✹

❈➳❝ ❞➵♥❣ ❜Þ ❧➭♠ tré✐ ❝ñ❛ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
◗✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝➳❝ ❞➵♥❣ ❜Þ ❧➭♠ tré✐ ✳ ✳ ✳ ✳
▲✉❐t ②Õ✉ sè ❧í♥ ❝❤♦ ♠➯♥❣ ❦❤➯ tÝ❝❤ ➤Ò✉ ✳
▲✉❐t ②Õ✉ sè ❧í♥ ❝❤♦ ♠➯♥❣ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➠♥❣

✶✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
t➢➡♥❣ q✉❛♥

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✶✻
✶✼
✷✸
✷✽

❑Õt ❧✉❐♥

✸✵

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✸✶


ờ ó
í tết st ộ t ứ ệ tợ
r ờ ử ố tế ỉ tứ ở P ù r ờ ộ ó
t trể ẽ ó ề ứ ụ tự tễ tr ộ số
ờ r từ ó trị ợ ủ í tết
st ị í ớ ết q ủ ế t q trọ t ủ
í tết st t số ớ t số ớ ợ ột tr
ọ qý ủ í tết st t ế số ớ tổ ế
ù ố ó tể tổ qt t ề ụ í
ủ tết ột số ề ệ ộ tụ ị ể ì
ột số t ế số ớ t ố tổ qt ế

ồ
trì ữ ế tứ ị ồ ệ
ế ố ộ tụ ỳ ọ ó ề ệ
ột số t tứ q
ộ í ủ r ồ
ị trộ ủ ế t ế số ớ ế
ết q q
ợ tự ệ t trờ ọ ớ sự ớ trự

tế ủ P ễ tỏ ò ết s s
tớ ề sự q t ệt tì ớ t t
tr sốt q trì ọ t ứ t trờ ũ
t P r ễ r ù
t t t tr sốt q trì ọ t
t ở ĩ ệ
trờ P ồ ệ trờ P
ì q t ú ỡ t ọ ề ệ t ợ t
tr q trì ọ t ứ
t




✸

◆❤÷♥❣ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥
N
R
B(R)
✭Ω, F, P✮

❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣
❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝
σ ✲➤➵✐ sè ❝➳❝ t❐♣ ❝♦♥ ❇♦r❡❧ ❝ñ❛
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➳❝ s✉✃t ❝➡ ❜➯♥

R

✹

❈❤➢➡♥❣

✶

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ
✶✳✶

✶✳✶✳✶

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠

❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳

❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➳❝ s✉✃t

(Ω, F, P)✱ G ❧➭ σ ✲ ➤➵✐ sè ❝♦♥ ❝ñ❛

σ ✲ ➤➵✐ sè F ✳ ❑❤✐ ➤ã ➳♥❤ ①➵ X ✿ Ω −→ R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
➤♦ ➤➢î❝

♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ➳♥❤ ①➵

❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

G✲

G ✴B(R) ➤♦ ➤➢î❝✱ tø❝ ❧➭ ✈í✐ ♠ä✐ B ∈ B(R) t❤×

X −1 (B) ∈ G ✳
❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ➤➷❝ ❜✐Öt✱ ❦❤✐
➤➢î❝ ❣ä✐ ♠ét ❝➳❝❤ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭

X ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ F ✲ ➤♦ ➤➢î❝✱ t❤× X

❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

✳ ◆Õ✉ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

♥❤❐♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❣✐➳ trÞ t❤× ♥ã ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳

●✐➯ sö

A ∈ F ✳ ➜➷t

IA (ω) =

1 ♥Õ✉ ω ∈ A,
0 ♥Õ✉ ω ∈
/ A.

❑❤✐ ➤ã IA ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ✈í✐ ♠ä✐

❚õ ➤ã I−1
A (B)

B ∈ B(R)✱ t❤× B

∅,



A,
I−1
A (B) =
A,



Ω,

⊂ R ♥➟♥
♥Õ✉

0∈
/ B, 1 ∈
/ B.
♥Õ✉ 0 ∈ B, 1 ∈
/ B.
♥Õ✉ 0 ∈
/ B, 1 ∈ B.
♥Õ✉ 0 ∈ B, 1 ∈ B.

∈ F ✈í✐ ♠ä✐ B ∈ B(R)✳

❙✉② r❛ IA ❧➭ ♠ét ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✳

➳♥❤ ①➵ IA ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ tr➟♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø t✐➟✉ ❝ñ❛ A.

X ❝❤Ø





ố

ị ĩ



sử

ế

(, F, P) ột st X R

ó số

FX (x) = P(X < x) = P( : X() < x)
ợ ọ

ố

ủ

X

í t



0 F (x) 1

ế tì

F (b) F (a) = P(a x < b) ó F (x)




lim F (x) = 1 lim F (x) = 0

x+



x

ế

ị ĩ

ột ế ợ ọ

ế rờ r

ế ó ỉ ột số ữ ế ợ trị
ố ớ ế rờ r t ợ tt trị ó tể ó ủ
ó ó tể ợ ệt ột ữ
ợ trị ó tể ó ủ ế

x1 , x2 , x3 , ..., xn , ...
X ợ ý ệ

X().
ố

ứ ề ế rờ r

X, t ết

tt trị ủ ó ù ớ st t ứ t t
ợ ị tệ ợ tr ột ọ
sử ế rờ r
st t ứ



ố

X trị x1 , x2 , ..., xn , ... ớ

P(X = xi ) = pi , (i = 1, 2, 3, ..., n...)

ó ó

X x1 x2 xn ...
P p1 p2 pn ...
(ú ý r

pi = 1)
i

ét

ừ ố ủ

X t s r ợ ố st


✻
❤➭♠ ♣❤➞♥ ♣❤è✐✳

PX (B) =

pi ,

FX (x) =

xi ∈B
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹✳

❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

♥Õ✉ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ♣❤è✐

pi .
xi
X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❧✐➟♥ tô❝

F (x) ❝ñ❛ ♥ã ❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ tå♥ t➵✐ ❤➭♠ sè p(x) s❛♦

❝❤♦
✶✳

p(x) ≥ 0;

✷✳

F (x) =

−∞ < x < +∞.
x

p(t)dt;

−∞ < x < +∞.

−∞

❍➭♠ sè

p(x) ♥➟✉ tr➟♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ♠❐t ➤é ①➳❝ s✉✃t ❝ñ❛ X.

❱Ý ❞ô ✶✳✷✳

✶✳ ❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

X ❝ã ❤➭♠ ♠❐t ➤é

p(x) =
❑❤✐ ➤ã t❛ ♥ã✐
❑ý ❤✐Ö✉

1
b−a

♥Õ✉
♥Õ✉

x∈
/ [a, b],
x ∈ [a, b].

X ❝ã ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ➤Ò✉ tr➟♥ [a, b]✳

X ∼ U[a,b] .

✷✳ ❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

X ❝ã ❤➭♠ ♠❐t ➤é

p(x) =
❑❤✐ ➤ã t❛ ♥ã✐
❑ý ❤✐Ö✉

0

0
♥Õ✉
−λx
λe
♥Õ✉

x < 0,
x ≥ 0.

X ❝ã ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ♠ò t❤❛♠ sè λ✳

X ∼ E(λ), (λ > 0).

✸✳ ❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

X ❝ã ❤➭♠ ♠❐t ➤é

−(x−µ)2
1
p(x) = √ e 2σ2 ; (σ > 0).
σ 2π
❑❤✐ ➤ã t❛ ♥ã✐ X ❝ã ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❝❤✉➮♥ t❤❛♠ sè µ; σ 2 ✳

❑ý ❤✐Ö✉

X ∼ N (µ, σ 2 ).

➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥Õ✉

X ∼ N (0, 1) t❤× p(x) = ϕ(x) =

−x
√1 e 2
2π

2

.


✼
❚Ý♥❤ ❝❤✃t✳

❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ s✉② r❛

✶✳ ❱í✐ ♠ä✐

a, b t❤á❛ ♠➲♥ −∞ ≤ a < b ≤ +∞ t❛ ❝ã
b

P(a < X < b) =

p(x)dx.

a

+∞

✷✳

p(x)dx = 1.
−∞

✸✳
✶✳✶✳✹

p(x) = F (x) t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ó♠ x ♠➭ p(x) ❧✐➟♥ tô❝✳
❈➳❝ sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺✳

●✐➯ sö

X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✳ ❑❤✐

➤ã tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❝ñ❛
❝ñ❛

X t❤❡♦ ➤é ➤♦ P (♥Õ✉ tå♥ t➵✐) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦ú ✈ä♥❣

X ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ EX ✳

❱❐②

EX =

XdP.
Ω

◆Õ✉ tå♥ t➵✐
➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥Õ✉
◆Õ✉

E|X|p < ∞ (p > 0) t❤× t❛ ♥ã✐ X

❦❤➯ tÝ❝❤ ❜❐❝

p✳

E|X| < ∞ t❤× X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❦❤➯ tÝ❝❤✳

X ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥ X =

n
i=1 ai IAi t❤×

n

EX :=

ai P(Ai ).
i=1

◆Õ✉

X ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ t❤× X ❧➭ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♠ét ❞➲② t➝♥❣

❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥
n2n

Xn =
k=1

(Xn , n ≥ 1)

k−1
k
I k−1
+ nI(X≥n) .
2n ( 2n ≤X< 2n )

❑❤✐ ➤ã

EX := lim EXn .
n→∞

◆Õ✉
✈í✐

X ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❜✃t ❦ú t❤× X = X + − X − ;

X + = max(X, 0) ≥ 0✱ X − = max(−X, 0) ≥ 0✳

✽
❑❤✐ ➤ã✿

EX := EX + − EX − (♥Õ✉ ❝ã ♥❣❤Ü❛).

❑ú ✈ä♥❣ ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤➞②

✶✳ ◆Õ✉

X ≥ 0 t❤× EX ≥ 0.

✷✳ ◆Õ✉

X = C t❤× EX = C.

✸✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐

EX t❤× ✈í✐ ♠ä✐ C ∈ R t❛ ❝ã E(CX) = C EX.

✹✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐

EX ✈➭ EY t❤× E(X ± Y ) = EX ± EY.

✺✳

EX =








EY =



✻✳

X rê✐ r➵❝ ♥❤❐♥ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ x1 , x2 ...

i
−∞
+∞ xp(x)dx

❚æ♥❣ q✉➳t✿ ◆Õ✉





♥Õ✉

xi pi

✈í✐

P(X = xi ) = pi .
♥Õ✉ X ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❤➭♠ ♠❐t ➤é p(x).

f : R → R ❧➭ ❤➭♠ ➤♦ ➤➢î❝ ✈➭ Y = f (X) t❤×
♥Õ✉

f (xi )pi

X rê✐ r➵❝ ♥❤❐♥ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ x1 , x2 ...

i
+∞
−∞ f (x)p(x)dx

✈í✐

P(X = xi ) = pi .
♥Õ✉ X ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❤➭♠ ♠❐t ➤éP (x).

(➜Þ♥❤ ❧ý ▲❡❜❡s❣✉❡ ✈Ò ❤é✐ tô ❜Þ ❝❤➷♥)✳ ◆Õ✉ |Xn | ≤ Y, EY < ∞ ✈➭

Xn → X t❤× X ❦❤➯ tÝ❝❤✱ E|Xn − X| → 0 ✈➭ EXn → EX (❦❤✐ n → ∞).

ý ♥❣❤Ü❛✿ ❑ú ✈ä♥❣ ❝ñ❛ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ X

❧➭ ❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ❜×♥❤ t❤❡♦ ①➳❝

s✉✃t ❝ñ❛ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤ã✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣

X ♥❤❐♥ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ✈í✐ ①➳❝

s✉✃t ♥❤➢ ♥❤❛✉ t❤× ❦ú ✈ä♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝é♥❣ ❝ñ❛ ♥ã✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✻✳

●✐➯ sö

X ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ sè

DX := E(X − EX)2 (♥Õ✉ tå♥ t➵✐) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ s❛✐ ❝ñ❛ X ✳
❱❐②

DX =

(xi − EX)2 pi

♥Õ✉

X rê✐ r➵❝ ✈➭ P(X = xi ) = pi .

i

+∞
−∞ (x

− EX)2 p(x)dx ♥Õ✉ X ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❤➭♠ ♠❐t ➤é ❧➭ ♣✭①✮.

P❤➢➡♥❣ s❛✐ ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ s❛✉ ➤➞②

✶✳

DX = EX 2 − (EX)2 .

✷✳

DX ≥ 0✳

✸✳

DX = 0 ⇔ X = EX = ❤➺♥❣ sè ❤✳❝✳❝✳

✹✳

D(CX) = C 2 DX.


✾
✶✳✶✳✺

❈➳❝ ❞➵♥❣ ❤é✐ tô

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✼✳

♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

•

(Xn , n ≥ 1)

❤é✐ tô

X (❦❤✐ n → ∞) ❧➭

❍➬✉ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥

❑Ý ❤✐Ö✉

•

❚❛ ♥ã✐ ❞➲② ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

♥Õ✉

P( lim |Xn − X| = 0) = 1✳
n→∞

h.c.c

Xn −−→ X ✳

❚❤❡♦ ①➳❝ s✉✃t

♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

ε > 0 t❤×

lim P(|Xn − X| > ε) = 0.

n→∞

•

P

❑Ý ❤✐Ö✉

Xn −
→ X✳

➜➬② ➤ñ

♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

ε > 0 t❤×
∞

P(|Xn − X| > ε) < ∞.
n=1

❑Ý ❤✐Ö✉

•

C

Xn −
→ X✳
p (p > 0) ♥Õ✉

❚❤❡♦ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝✃♣

lim E|Xn − X|p = 0.

n→∞

❑Ý ❤✐Ö✉

Lp

Xn −→ X.

❍é✐ tô ❤➬✉ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ❝ß♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
❍é✐ tô t❤❡♦ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝✃♣
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳

❤✳❝✳❝✳

Xn −−→ X

❤é✐ tô ✈í✐ ①➳❝ s✉✃t

1❀

p ❝ß♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤é✐ tô tr♦♥❣ Lp ✳

❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ✈í✐ ♠ä✐

ε>0

lim P(sup |Xm − X| > ε) = 0.

n→∞
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

m≥n

❳❡♠ ❬✶❪✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳ ◆Õ✉

❤✳❝✳❝✳

Xn −−→ X

Lp

❤♦➷❝

Xn −→ X

t❤×

P

Xn →
− X.

➤Õ♥ ❜✐Õ♥


✶✵
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❤✳❝✳❝

(i) ●✐➯ sö Xn −−→ X. ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ ε > 0
lim P(sup |Xm − X| > ε) = 0.

n→∞

m≥n

▼➷t ❦❤➳❝

0 ≤ P(|Xn − X| > ε) ≤ P(sup |Xm − X| > ε).
m≥n

❱× ✈❐② t❛ ❝ã

lim P(|Xm − X| > ε) = 0 (✈í✐ ♠ä✐ ε > 0).

n→∞

P

❉♦ ➤ã

Xn →
− X ❦❤✐ n → ∞.
Lp

(ii) ●✐➯ sö Xn −→ X. ❑❤✐ ➤ã ➳♣ ❞ô♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▼❛r❦♦✈ ❝❤♦ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉
♥❤✐➟♥

|Xn − X|p t❛ ❝ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ ε > 0

(P(|Xn − X| > ε) = P(|Xn − X|p > εp ) ≤
❉♦ ➤ã

✶✳✶✳✻

E|Xn − X|p
→ 0.
εp

P

Xn →
− X ❦❤✐ n → ∞✳ ➜ã ❧➭ ➤✐Ò✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚Ý♥❤ ➤é❝ ❧❐♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✽✳
❧❐♣ ➤➠✐ ♠ét

❍ä ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

✮ ♥Õ✉ ❤ä

❚Ý♥❤ ❝❤✃t✿ ◆Õ✉

(Xi )i∈I ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➤é❝ ❧❐♣

σ ✲ ➤➵✐ sè (σ(Xi ))i∈I ➤é❝ ❧❐♣ ✭➤é❝ ❧❐♣ ➤➠✐ ♠ét✮✳

X ✈➭ Y ❧➭ ❤❛✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤é❝ ❧❐♣ t❤×

E(XY ) = EX EY
D(X ± Y ) = DX + DY.
❚æ♥❣ q✉➳t✿ ◆Õ✉

X1 , X2 , ..., Xn ❧➭ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤é❝ ❧❐♣ t❤×

E(X1 X2 ...Xn ) = EX1 EX2 ...EXn .
◆Õ✉

X1 , X2 , ..., Xn ❧➭ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤é❝ ❧❐♣ ➤➠✐ ♠ét t❤×
D(X1 + X2 + ... + Xn ) = D(X1 ) + D(X2 ) + ... + D(Xn ).

✭➤é❝





ỳ ọ ó ề ệ

ị ĩ

sử

ế

(, F, P) st X R

G số ủ F. ó ế Y ọ

ỳ ọ ó ề ệ

ủ

X ố ớ số G ế

(i) Y ế G ợ
(ii) ớ ỗ A G, t ó
Y dP =
A

ý ệ

XdP
A

Y = E(X|G) Y = EG X.

ú ý

ế
ủ

Y ế ị tr (, F, P) G số

F s Y ế G ợ tì t ết Y G

ế

X, Y ế tr (, F, P) G

số s ở
ề ệ

ế

Y tì E(X|G) ợ ý ệ E(X|Y ) ợ ọ

ủ ế

ỳ ọ

X ố ớ ế Y

X1 , X2 ... ế ị tr (, F, P) G

số s ở ú tì E(X|G) ợ ý ệ E(X|X1 , X2 , ..).
ế


X = IA , A G tì E(X|G) ợ ý ệ P(A|G) ợ ọ

st ề ệ

ợ ý ệ
ố

ủ ế ố

A ố ớ số G. E(IA |X1 , X2 , ...)

P(A|X1 , X2 , ...) ợ ọ st ề ệ ủ ế

A ố ớ ế X1 , X2 , ...

ột số tí t ủ ỳ ọ ó ề ệ

ế

E|X| < tì tồ t t Y = E(X|G)

ế

X = c ( số) tì

E(X|G) = E(c|G) = c
ế

(h.c.c.).

X Y (h.c.c) tì

E(X|G) E(Y |G)

(h.c.c.).

(h.c.c.).


✶✷
✹✳ ❱í✐ ♠ä✐ ❤➺♥❣ sè

a, b t❛ ❝ã✿

E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G)
✺✳ ◆Õ✉
✻✳

(h.c.c.).

X ✈➭ G ➤é❝ ❧❐♣ t❤× E(X|G) = EX.

E[E(X|G)] = EX

(h.c.c.).

✼✳ ◆Õ✉

X ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ G− ➤♦ ➤➢î❝ t❤× E(X|G) = X

✽✳ ◆Õ✉

E|XY | < ∞, E|X| < ∞, X ∈ G t❤×

(h.c.c.).

E(XY |G) = X E(Y |G) (h.c.c.).
✶✳✶✳✽

▼❛rt✐♥❣❛❧❡

●✐➯ sö

(Xn , n ∈ N) ❧➭ ❞➲② ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✱ (Fn , n ∈ N) ❧➭ ❞➲② t➝♥❣ ❝➳❝ σ ✲

➤➵✐ sè ❝♦♥ ❝ñ❛

σ ✲ ➤➵✐ sè F : F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ... ⊂ Fn ... ⊂ F. ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉

Xn ∈ Fn (∀n ∈ N) t❤× ❞➲② (Xn , Fn , n ∈ N) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ♣❤ï ❤î♣✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✵✳

●✐➯ sö

❞➲② ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✱

(Ω, F, P) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➳❝ s✉✃t✱ (Xn , n ∈ N) ❧➭

(Fn , n ∈ N) ❧➭ ❞➲② t➝♥❣ ❝➳❝ σ ✲ ➤➵✐ sè✳ ❑❤✐ ➤ã ❞➲②

(Xn , Fn , n ∈ N) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
•

♠❛rt✐♥❣❛❧❡

♥Õ✉

(i) (Xn , Fn , n ∈ N) ❧➭ ❞➲② ♣❤ï ❤î♣✳
(ii) E|Xn | < ∞, ∀n ∈ N.
(iii) ❱í✐ m < n, m, n ∈ N

E(Xn |Fm ) = Xm

h.c.c..

• ❍✐Ö✉ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ♥Õ✉
(i) (Xn , Fn , n ∈ N) ❧➭ ❞➲② ♣❤ï ❤î♣✳
(ii) E|Xn | < ∞, ∀n ∈ N.
(iii ) ❱í✐ m < n, m, n ∈ N

E(Xn |Fm ) = 0

h.c.c..


✶✸
✶✳✷

▼ét sè ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥

✶✳✷✳✶

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▼❛r❦♦✈

●✐➯ sö

X ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ ε > 0✱ t❛ ❝ã

P(X ≥ ε) ≤

EX
.
ε

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❛ ❝ã

EX =
Ω

XdP ≥ ε

XdP +

XdP =

❙✉② r❛

P(X ≥ ε) ≤

✶✳✷✳✷

❱í✐

(x≥ε)

(X≥ε)

(0≤X<ε)

dP = εP(X ≥ ε).

EX
.
ε

❈➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠♦♠❡♥t

p > 0, ❦ý ❤✐Ö✉ Lp = Lp (Ω, F, P), ❧➭ t❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ X

(①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ (Ω, F, P)) s❛♦ ❝❤♦ E|X|p < ∞. ❑❤✐ X ∈ Lp (p ≥ 1), t❛ ❦ý
❤✐Ö✉

X
◆ã ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

a.

❝❤✉➮♥ ❜❐❝

p

= (E|X|p )1/p .

p ❝ñ❛ X ✳

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤②✲❇✉♥❤✐❛❦♦✇s❦✐✳

●✐➯ sö

X, Y ∈ L2 . ❑❤✐ ➤ã✿

E|XY | ≤ X

2

Y

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

(1.2.1) ❧➭ t➬♠ t❤➢ê♥❣ ♥Õ✉ X
❱❐② ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt
❚❤❛②

X

2

Y

2
2

Y

2

= 0.

> 0.

a, b tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s➡ ❝✃♣
2|ab| ≤ a2 + b2

2.

✭✶✳✷✳✶✮


✶✹
X
✈➭ YY
❜ë✐ X
2

2

2E

t➢➡♥❣ ø♥❣✱ s❛✉ ➤ã ❧✃② ❦ú ✈ä♥❣ ❤❛✐ ✈Õ t❛ ❝ã

|XY |
X 2 Y

X2
+E
X 22

≤E
2

Y2
= 2.
Y 22

❚õ ➤ã t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

b.

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▼✐♥❦♦✈s❦✐✳

●✐➯ sö

X, Y ∈ Lp , 1 ≤ p < ∞. ❑❤✐ ➤ã X + Y ∈ Lp ✈➭
X +Y

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

c.

≤ X

p

+ Y

p.

❳❡♠ ❬✶❪✳

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

●✐➯ sö

p

Cr

X, Y ∈ Lr , r > 0. ❑❤✐ ➤ã

E|X + Y |r ≤ Cr (E|X|r + E|Y |r )
tr♦♥❣ ➤ã

Cr = max(1, 2r−1 ) ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ r✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s➡ ❝✃♣

(a + b)r ≤ (ar + br ) max(1, 2r−1 )
✈í✐

a > 0, b > 0, r > 0.

❚❤❛② ❛ ❜ë✐

X ✱ ❜ ❜ë✐ Y s❛✉ ➤ã ❧✃② ❦ú ✈ä♥❣ ❤❛✐ ✈Õ sÏ ➤➢î❝ ➤✐Ò✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣

♠✐♥❤✳

d.

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▲✐❛♣✉♥♦✈

➜è✐ ✈í✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

X ∈ Lt ❜✃t ❦× ✈➭ 0 < s < t✱ t❛ ❝ã✿
X

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❳❡♠ ❬✶❪✳

s

≤ X t.


✶✺
✶✳✷✳✸

❈❤♦

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❇✉r❦❤♦❧❞❡r

(Zn , Fn ), n = 1, 2, ..., ❧➭ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡✳ ➜➷t Xn = Zn − Zn−1 . ❱í✐ p > 1,

tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥

Cp ✈➭ Dp ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ p s❛♦ ❝❤♦

n

n
1/p
Xk2 )p/2

Cp E(

p 1/p

≤ (E|Zn | )

Xk2 )p/2

≤ Dp E(

k=1

1/p

(1.2.2).

k=1

❑❤✐ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

X1 , X2 , ..., ➤é❝ ❧❐♣ t❤× (1.2.2) ❝ß♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜✃t

➤➻♥❣ t❤ø❝ ▼❛r❝✐♥❦✐❡✇✐❝③ ✲ ❩②❣♠✉♥❞ ✈➭ ♥ã ❝ò♥❣ ➤ó♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣

p = 1.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❳❡♠ ❬✹❪✳
✶✳✷✳✹

❈❤♦

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❉❛✈✐s

(Xn , n ∈ N) ❧➭ ❞➲② ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ✈➭ f = (f1 , f2 , ...) ❧➭ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡
n

✈í✐ fn

Xk ,

=

n ≥ 1.

k=1

➜➷t

f ∗ = supn |fn | ✈➭ S(f ) = (

❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❤❛✐ sè ❞➢➡♥❣

❳❡♠ ❬✻❪✳

Xk2 )1/2 .

k=1

C, D s❛♦ ❝❤♦

C S(f )
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

∞

1

≤ f∗

1

≤ D S(f ) 1 .


✶✻

❈❤➢➡♥❣

✷

▼ét sè ❧✉❐t ②Õ✉ sè ❧í♥
❝❤♦ ♠➯♥❣ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
✷✳✶

❈➳❝ ❞➵♥❣ ❜Þ ❧➭♠ tré✐ ❝ñ❛ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳

❈❤♦

{kn ; n ≥ 1} ❧➭ ❞➲② sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ t❤á❛ ♠➲♥

lim kn = ∞✳ ▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ {Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

n→∞

(a)

❇Þ ❝❤➷♥ ♠➵♥❤

❜ë✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

Y ♥Õ✉

|Yni | ≤ Y (❤✳❝✳❝) ➤è✐ ✈í✐ ♠ä✐ i ✈➭ n✳

(b)

❇Þ ❝❤➷♥ ♠➵♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❈❡s➭r♦

❜ë✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

Y ♥Õ✉ tå♥ t➵✐

γ > 0 s❛♦ ❝❤♦
1
kn |

(c)

kn

Yni | ≤ γY (❤✳❝✳❝) ✈í✐ ♠ä✐ n✳

i=1

❇Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉

❜ë✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

Y ♥Õ✉

P(|Yni | > y) ≤ P(Y > y) ✈í✐ ♠ä✐ y > 0 ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ i ✈➭ n.
(d)

❇Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❈❡s➭r♦

❜ë✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ Y ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ γ

s❛♦ ❝❤♦
1
kn

(e)

kn

P(|Yni | > y) ≤ γ P(Y > y) ✈í✐ ♠ä✐ y > 0 ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ n✳

i=1

❑❤➯ tÝ❝❤ ➤Ò✉

♥Õ✉

lim sup E|Yni |I{|Yni | > a} = 0.

a→∞ i,n

(g)

❑❤➯ tÝ❝❤ ➤Ò✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❈❡s➭r♦

1
lim sup
a→∞ n kn

♥Õ✉

kn

E|Yni |I{|Yni | > a} = 0.
i=1

>0


✶✼
✷✳✷

◗✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝➳❝ ❞➵♥❣ ❜Þ ❧➭♠ tré✐

▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳ ▼ét ♠➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ❜Þ ❝❤➷♥

♠➵♥❤ t❤× ❜Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ {Yni ; 1
✈í✐ ♠ä✐

≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ❜Þ ❝❤➷♥ ♠➵♥❤ ♥➟♥ |Yni | ≤ Y,

i ✈➭ n.

❉♦ ➤ã

P(|Yni | > y) ≤ P(Y > y), ♠ä✐ y > 0 ✈➭ ♠ä✐ i, n.

❙✉② r❛

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ❜Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✷✳ ▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1}

❜Þ ❝❤➷♥

♠➵♥❤ t❤× ❜Þ ❝❤➷♥ ♠➵♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❈❡s➭r♦✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ {Yni ; 1
✈í✐ ♠ä✐

≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ❜Þ ❝❤➷♥ ♠➵♥❤ ♥➟♥ |Yni | ≤ Y,

i ✈➭ n.

❙✉② r❛
kn

i=1

❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐

1
|Yni | ≤ kn Y ⇒
kn

|Yni | ≤ Y.
i=1

γ = 1 s❛♦ ❝❤♦
1
|
kn

❙✉② r❛

kn

kn

i=1

1
Yni | ≤
kn

kn

|Yni | ≤ Y.

i=1

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ❜Þ ❝❤➷♥ ♠➵♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❈❡s➭r♦✳ ➜ã ❧➭

➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✸✳ ▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1}

❜Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉

t❤× ❜Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❈❡s➭r♦✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ❜Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉ ♥➟♥

P(|Yni | > y) ≤ P(Y > y), ♠ä✐ y > 0 ✈➭ ♠ä✐ i, n.



ó
kn

P(|Yni | > y) kn P(Y > y).
i=1

r tồ t

= 1 s
1
kn

kn

P(|Yni | > y) P(Y > y),
i=1

ọ

y > 0 ọ n.



{Yni ; 1 i kn , n 1} ị ế t ĩ sr

ệ ề ột ế

{Yni ; 1 i kn , n 1} tí

ề tì tí ề t ĩ sr

ứ

ế

{Yni ; 1 i kn , n 1} tí ề

lim sup E|Yni |I{|Yni | > a} = 0.

a i,n

ớ ỗ

n t ó
1
kn

kn

E(|Yni |I{(|Yni | > a} max E|Yni |I{|Yni | > a}.
1ikn

i=1

ó

1
sup
n kn

kn

E(|Yni |I{(|Yni | > a} sup E|Yni |I{|Yni | > a}.
i,n

i=1

r

1
lim sup
a n kn


kn

E(|Yni |I{(|Yni | > a} = 0.
i=1

{Yni ; 1 i kn , n 1} tí ề t ĩ sr ó ề

ứ



ị ý

ị ý r

ột ế

{Xn ; n 1}

tí ề t ĩ sr ế ỉ ế ề ệ s ợ tỏ


n

1

E(|Xk |)) < .

(a) sup(n
n

(b)

k=1

ớ ỗ

> 0

>0

tồ t ột số

s

{Ak }

tỏ ề

ệ

n
1

P(Ak ) <

sup n
n



k=1

tì

n
1

|Xk |dP > .

sup n
n

k=1 A

k

ứ

ề ệ
ớ

= 1 tồ t a0 > 0 s

n
1

|Xk |dP 1.

sup n
n

k=1

|Xk |>a0

ó

E(|Xk |) a0 +

|Xk |dP.

|Xk |>a0

r
n
1

n
1

E(|Xk |) a0 + n

n

k=1

|Xk |dP ao + 1.
k=1

|Xk |>a0

ề ệ () ợ ứ
ờ ớ

> 0 tù ý a0 > 0 s
n


|Xk |dP .
2

1

sup n
n

k=1

|Xk |ao

t

= /(2a0 ) ó từ ề ệ () t ó
n

n

1

|Xk |dP n

n

k=1 A

1
k=1

k

|Xk |dP

a0 P(Ak ) +
|Xk |a0

n

n
1

1

|Xk |dP < a0 + /2 = .

P(Ak ) + n

= a0 n

k=1

k=1

|Xk |a0

ề ệ () ợ ứ
ề ệ ủ
t

n

K = sup{(n

1

n

ó ớ ỗ

E(|Xk |)}.

k=1

a > 0,

P(|Xk | a) a1 E(|Xk |), ớ ọ k 1.
ì

n
1

P(|Xk | a) K/a, ớ ọ n 1.

n

k=1

ớ

> 0 tù ý từ () tồ t ột số > 0 s () é t ().

t a0

= K/. ế (a > a0 ) tì
|Xk |dP
|Xk |a

|Xk |dP.
|Xk |a0

ừ ó s r

n

n

n

1

|Xk |dP n
k=1

1

|Xk |dP < .
k=1

|Xk |a

|Xk |a0

ị ý ợ ứ
ị ý

ở rộ ị ý r

{Xni ; 1 i kn , n 1}

ế

tí ề t ĩ sr ế ỉ ế

ề ệ s ợ tỏ


✷✶
kn
i=1 E(|Xni |)

(a) sup k1n
n

(b)

❱í✐ ♠ç✐

ε > 0✱

< ∞.

tå♥ t➵✐ ♠ét sè

δ>0

s❛♦ ❝❤♦ ♥Õ✉

{Ani }

❧➭ ♠➯♥❣ t❤á❛

♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

kn

1
sup
kn
n

P(Ani ) < δ

✭✷✳✷✳✶✮

i=1

t❤×

1
sup
kn
n

kn

|Xni |dP < ε.
i=1 A

ni

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥
❱í✐

ε = 1 tå♥ t➵✐ ao > 0 s❛♦ ❝❤♦
sup
n

1
kn

|Xni |dP ≤ 1.
|Xni |>a0

❑❤✐ ➤ã

E(|Xni |) ≤ a0 +

|Xni |dP.

|Xni |>a0

❙✉② r❛

1
kn

kn

i=1

1
E|Xni | ≤ a0 +
kn

kn

|Xni |dP ≤ a0 + 1.
i=1

|Xni |>a0

❱❐② ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ (❛) ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❇➞② ❣✐ê ✈í✐

ε > 0 tï② ý✱ ❧✃② a0 > 0 s❛♦ ❝❤♦
1
sup
kn
n

kn

|Xni |dP < ε/2.
i=1

|Xni |≥a0

✭✷✳✷✳✷✮

t

= /(2a0 ) từ () t ó
1
kn

kn

i=1 A

1
= a0
kn

1
|Xni |dP
kn
ni

kn

i=1

1
P(Ani ) +
kn

kn

|Xni |dP

a0 P(Ani ) +
i=1

|Xni |a0

kn

|Xni |dP < a0 + /2 = .
i=1

|Xni |a0

ề ệ () ợ ứ
ề ệ ủ
t

1
K = sup (
kn
n
ó ớ ỗ

kn

E|Xni |) .
i=1

a > 0, t ó

P(|Xni | a) a1 E(|Xni |), ớ ọ i 1.
ó

1
kn
ớ

kn

P(|Xni | a) <
i=1

k
ớ ọ kn 1.
a

> 0 tù ý từ () tồ t ột số > 0 s 2.2.1 s r 2.2.2

t a0

= K/ ế a > a0 tì
|Xni |dP
|Xni |a

|Xni |dP.
|Xni |a0

ừ ó s r

1
kn

kn

i=1

ó

1
|Xni |dP
kn
|Xni |a

kn

|Xni |dP < .
i=1

|Xni |a0

{Xni ; 1 i kn , n 1} tí ề t ĩ sr

ị ý ợ ứ





t ế số ớ tí ề

ị ý
tr ó

{Xni ; 1 i kn , n 1}

{kn ; n 1}

0
ế

số tỏ

sử

lim kn =

n

{|Xni |p ; 1 i kn , n 1}

tí ề t

ĩ sr
t

Fno = {, }
Fnj = {Xni , 1 i j}, 1 j kn , n 1
k

n


Xni 0 < p < 1,
Sn = i=1
kn


(Xni E(Xni |Fn,i1 )) 1 p < 2.
i=1

ó

Lp

kn1/p Sn 0,

ó

kn1/p Sn 0
P



n .

ứ

M > 0 t ì ớ ỗ 1 i kn , n 1

t

Xni = (Xni àni )I{|Xni àni | M }


Xni = Xni àni Xni = (Xni àni )I{|Xni àni | > M };

ớ

àni = 0 0 < p < 1,
àni = E(Xni |Fn,i1 ) 1 p < 2.






rờ ợ

ớ

1 p < 2 : ụ t tứ rr ( 1 < p < 2), t

tứ s (

p = 1) t tứ Cr t ó
kn

E|Sn |p Bp E

(Xni E(Xni |Fn.i1 ))2
i=1
kn

kn
2 p/2

Bp E

p/2

(Xni )

(Xni )2

+ Bp E

i=1

p/2

i=1
kn

|Xni |p

Bp (kn M 2 )p/2 + Bp E
i=1

kn



Bp knp/2 M p

+

Bp kn kn1 E

|Xni |p
i=1

ớ

Bp số ỉ ụ tộ p

sẽ ứ r ế

{|Xni àni |p ; 1 i kn , n 1}
tí ề t ĩ sr
t t tết t ó

{|Xni |p ; 1 i kn , n 1} tí ề t ĩ sr
t t t r

E|àni |p E|Xni |p .
ó

{|àni |p ; 1 i kn , n 1} tí ề t ĩ sr

r

|Xni àni |p Cp (|Xni |p + |àni |p )
ớ

Cp = max(1, 2p1 ). {|Xni àni |p ; 1 i kn , n 1} tí ề

t ĩ sr
ờ t ụ ị ý r

{|Xni àni |p ; 1 i kn , n 1}