Một số tính chất về thứ tự từ trong lí thuyết cơ sở grobner

1
Trờng đại học vinh
Khoa toán
--------------------

một số tính chất về thứ tự từ
trong lý thuyết cơ sở grệbner

khoá luận tốt nghiệp đại học
ngành cử nhân s phạm toán
Chuyên ngành: đại số - lý thuyết số

Cán bộ hớng dẫn : PGS.TS. Nguyễn thành quang
Sinh viên thực hiện: Dơng xuân giáp
Lớp

: 44A2 - Toán

Vinh 2007


2

Mục Lục
Trang
Mục lục

1

Lời nói đầu

2

Đ1. Vành đa thức nhiều biến

4

Đ2. Thứ tự từ

10

Đ3. Cơ sở Grệbner và phép chia đa thức

21

Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

32


3

Lời nói đầu

Toán học hình thức (Symbolic computation), hay còn gọi là Đại số máy tính
(Computer Algebra), xuất hiện khoảng ba chục năm nay và gần đây đã trở thành
một chuyên ngành độc lập. Nó kết hợp chặt chẽ giữa Toán học và Khoa học máy

tính. Sự phát triển của máy tính đòi hỏi phải xây dựng các lý thuyết toán học làm
cơ sở thiết lập các thuật toán và các phần mềm toán học. Mặt khác Đại số máy tính
cũng tác động tích cực trở lại đối với nghiên cứu toán học lý thuyết. Chúng ta đều
biết nhờ máy tính và các phần mềm toán học, phần mềm tin học đã giúp dự đoán
các kết quả lý thuyết hoặc có đợc các phản ví dụ.
Hạt nhân của tính toán hình thức bằng máy tính trong Đại số giao hoán và
Hình học Đại số chính là lý thuyết Cơ sở Grệbner. Lý thuyết này do nhà Toán học
ngời áo Bruno Buchberger đa ra trong Luận án Tiến sĩ của mình năm 1965 dới sự
dẫn dắt của ngời thầy là Wolfgang Grệbner. Điểm mấu chốt khởi đầu cho sự hình
thành lý thuyết của Buchberger chính là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức
một biến sang trờng hợp các đa thức nhiều biến.
Cơ sở Grệbner về phơng diện lý thuyết còn đợc khẳng định bằng việc cung
cấp chứng minh cho ba Định lý của Hilbert - Định lí về cơ sở, Định lí về xoắn và
Định lí về không điểm.
Nghiên cứu một số tính chất của thứ tự từ trong lý thuyết Cơ sở Grệbner chính
là nội dung chính của Khoá luận.
Trong Khoá luận này chúng tôi trình bày một số Định nghĩa và tính chất của
lý thuyết Cơ sở Grệbner, nghiên cứu một số tính chất về thứ tự từ khái niệm mở
đầu trong lý thuyết Cơ sở Grệbner. Nó đợc thể hiện qua các mục sau:
Đ1: Vành đa thức nhiều biến.
Đ2: Thứ tự từ.
Đ3: Cơ sở Grệbner và phép chia đa thức.


4
Theo đó với việc đa vào định nghĩa hình nón dơng, chúng tôi đã chứng minh
đợc tính chất lồi của nó (xem Định lý 2.4.6). Chúng tôi còn chú trọng nghiên cứu
điều kiện để tích từ điển của các thứ tự là một thứ tự từ (xem Định lý 2.4.7 và Định
lý 2.4.8) và với việc mở rộng giả thứ tự trên tập các từ lên vành đa thức nhiều biến
chúng tôi đã chứng minh đó là giả thứ tự tốt (xem Định lý 3.3.5). Đồng thời chúng

tôi còn đi vào nghiên cứu các điều kiện để đa thức d trong định lý chia đa thức là
duy nhất (xem Định lý 3.4.5 và Định lý 3.4.8). Bên cạnh đó chúng tôi còn đa ra
một số phản ví dụ giải quyết ý ngợc lại của một số định lý, tính chất có tính một
chiều.
Để hoàn thành Khoá luận này tác giả đã nhận đợc sự hớng dẫn, sự chỉ bảo rất
tận tình của Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy cô giáo trong
Khoa Toán. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy cô giáo trong Khoa Toán, đặc
biệt là các thầy cô trong Tổ Đại số đã giúp đỡ, góp ý kiến chỉ bảo để tác giả hoàn
thành Khoá luận này cũng nh trong suốt khoá học vừa qua.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế.
Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý kiến quý báu của các thầy cô và các bạn.
Vinh, tháng 5 năm 2007.
Tác giả


5
Đ 1. vành đa thức nhiều biến
1.1. Đa thức và bậc của đa thức nhiều biến.
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và x1, ..., xn là các biến.
* Ta gọi đơn thức là biểu thức có dạng x1a ...x na .
n

1

Để cho tiện ta viết xa, trong đó x = (x1, , xn) và a = (a1, , an) Ơ n .
Nếu a = (0,,0) Ơ n thì ta viết 1 thay cho xa.
Phép nhân đơn thức ( x1a ...xna ).( x1b ...xnb ) = x1a + b ...xna
n

1

n

1

1

1

n

+ bn

, hay là xa.xb = xa+b tơng ứng

phép cộng các bộ số mũ trong nhóm cộng Ơ n .
* Từ là biểu thức có dạng ( x1a ...xna ), R hay là xa và đợc gọi là hệ số của từ.
1

n

Hai từ xa và xa đợc gọi là đồng dạng với nhau nếu , 0.
Có thể xem đơn thức là từ có hệ số là 1.
* Đa thức n biến x1, , xn trên vành R là một tổng hình thức các từ
f(x) =



a N n

a.xa (1), trong đó chỉ có hữu hạn hệ số a 0.

Từ a.xa (a 0) và đơn thức xa tơng ứng là từ và đơn thức của đa thức f(x).
Hai đa thức f(x) =



a N n

a.xa và g(x) =



a N n

axa đợc gọi là bằng nhau nếu a = a ,

a Ơ n .
Đa thức mà a = 0, a Ơ n đợc gọi là đa thức không, ký hiệu là 0.
* Phép cộng đa thức đợc định nghĩa
( a
a xa ) + ( a
a x a) =
N
N
n

n

a N n

(a + a)xa.


6
Với việc có thể nhóm các từ đồng dạng, ta có thể viết f(x) dới dạng
f(x) = 1 xa1 + + pxap (2)
trong đó a1, , ap Ơ n là các bộ phận số mũ khác nhau.
Biểu diễn này là duy nhất và đợc gọi là biểu diễn chính tắc của f(x).
Với i degf(x), kí hiệu fi là tổng tất cả các từ có bậc tổng thể là i trong biểu diễn
chính tắc của f(x).
* Phép nhân đa thức đợc định nghĩa
( a
a xa ).( a
a x a) =
N
N
n

n

a x a,

a N n

trong đó a =

b , c N n , b + c = a

bc.

Dễ dàng kiểm tra đợc kết quả của phép cộng và phép nhân đa thức là một đa thức.
* Với hai phép toán cộng và nhân đa thức ta có thể kiểm tra tập tất cả đa thức lập
thành một vành giao hoán, có phần tử đơn vị là đơn thức 1 và đợc ký hiệu là
R[x1, , xn] , hay R[x].
1.1.1. Định nghĩa. Vành R[x1,,xn] xây dựng nh trên đợc gọi là vành đa thức
n biến trên vành R.
a
a
* Chú ý : Cho 0 m < n . Có thể xem mỗi từ ( x1 ...x n ) trên R nh là từ
1

n

(x1a1 ...xma m ) xma m++11 ...xna n trên vành R[x1, , xm]; cho nên có thể xem vành R[x1, , xn]

nh là vành đa thức n - m biến xm+1, ..., xn trên vành R[x1,, xm],
tức là R[x1, , xn] = R[x1,..., xm][xm+1,, xn].
1.1.2. Định nghĩa. Bậc tổng thể của đa thức f(x) = a
a xa là số
N
n

deg f (x) = max{a1 ++ ak / a 0}.

7
* Chú ý : + Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0.
+ Bậc tổng thể của đa thức 0 đợc quy ớc là một số tuỳ ý.
+ Trong vành R[xk+1, ..., xn][x1, , xk] thì deg x1 ... xk f ( x) = max{a1 + ... + a k / a 0} .
1.1.3. Tính chất. + Nếu R là miền nguyên thì vành đa thức R[x] cũng là miền
nguyên.
+ Nếu R là miền nguyên thì mọi đa thức f(x), g(x) R[x] đều có
deg(f(x).g(x)) = degf(x) + degg(x)
và

deg(f(x) + g(x)) max{degf(x), degg(x)},

hơn nữa ta có bất đẳng thức chặt degf(x) = degg(x) và fdegf(x)= - gdegg(x) .
+ R là vành Noether thì R[x] cũng là vành Noether (đó là một dạng tổng quát của
Định lý Hilbert về cơ sở).
1.2. Iđêan đơn thức.
1.2.1. Định nghĩa. Iđêan I K[x] đợc gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi
các đơn thức. Tức là iđêan đơn thức có dạng I = (xa ; a A), trong đó A Ơ n .
1.2.2. Bổ đề. Cho I = (xa/ aA) là iđean đơn thức. Đơn thức xb I khi và chỉ
khi xb chia hết cho một đơn thức xa với aA nào đó.
Chứng minh: + Nếu xb chia hết cho một đơn thức xa với a A nào đó thì xb I .
s

+ Nếu x I thì tồn tại hi K[x] và a(i)A, i = 1, , s sao cho x =
b

b

i =1

hi .x a ( i )

.

Xem hi nh tổng hữu hạn các từ và khai triển vế phải của đẳng thức trên ta thấy
mỗi từ của nó phải chia hết cho xa(i) nào đó. Sau khi giản ớc, một trong số các từ đó


8
còn lại và phải bằng xb; cho nên xb phải có tính chất của những từ đó, tức là x b chia
hết cho xa(i) nào đó mà a(i) A .
1.2.3. Bổ đề. Cho I là iđêan đơn thức và f K[x]. Khi đó các điều kiện sau là
tơng đơng:
(i)

f I.

(ii)

Mọi từ của f thuộc I .

(iii)

f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I .

Chứng minh : + Hiển nhiên (iii) (ii) (i).
+ Ta chỉ cần chứng minh (i) (iii) là đủ. Lí luận tơng tự nh chứng minh Bổ đề
1.2.2 ta có f I f =

s

h .x
i 1

i

a (i )

, trong đó I = (xa ; aA), A Ơ n , a(i)A, hi K[x].

Khai triển vế phải ta có mỗi từ của f chia hết cho xa(i) với a(i)A nào đó. Mà
mọi đơn thức chia hết cho xa lại thuộc I, do đó mỗi từ của f là tích của một đơn thức
thuộc I và một phần tử thuộc K (iii) .
1.2.4. Hệ quả. Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức là bằng nhau nếu
chúng chứa cùng một tập đơn thức.
Nh vậy mỗi iđêan đơn thức hoàn toàn xác định và duy nhất bởi tập các đơn
thức của nó.
1.2.5. Bổ đề. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f I, các từ của f
đều thuộc I .
Chứng minh: + Chiều thuận suy ra ngay từ Bổ đề 1.2.3 .
+ Ta chứng minh chiều ngợc lại. Gọi A là tập tất cả các đơn thức của các đa thức
trong I I = (A) I là iđêan đơn thức .
1.2.6. Bổ đề Dickson. Mọi iđêan đơn thức I = (xa ; aA) bao giờ cũng viết đợc
dới dạng I = (xa(1), , xa(s)), trong đó a(1), ..., a(s)A. Nói riêng I là hữu hạn sinh.
Chứng minh : Suy ra từ Định lý Hilbert về cơ sở.


9

2.2.7. Thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu.
Theo Bổ đề 1.2.2 và Bổ đề Dickson suy ra mỗi iđêan đơn thức I chỉ có một tập
sinh tối tiểu gồm các đơn thức. Tập sinh này đợc gọi là tập sinh đơn thức tối tiểu
của I. Mỗi đơn thức trong tập sinh này đợc gọi là đơn thức sinh của I .
Sau đây là thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu {u 1, , us} khi biết một
tập sinh hữu hạn đơn thức {m1, ..., mr} của iđêan đơn thức I :
Tìm tapsinh.đttt(m1, , mr) := {u1,, us}
Input

: m1, , mr

Output

: u1, ..., us

s := 0; i :=1
While i r do
j := i+1
While j r do
If mj mi then
i := i+1; j := i+1
Else
While mi mj do
k := j ; r := r -1
While k r do
mk := mk+1; k := k+1
j :=j +1
s := s +1 ; us := mi ; i := i+1 .
1.2.8. Tính chất.
+ Nếu m = x1a ...x na và m'= x1b ...xnb là hai đơn thức, ký hiệu ƯCLN(m,m') là đơn

1

n

1

n

thức bậc lớn nhất chia hết cho m và m', còn BCNN(m, m') là đơn thức bậc nhỏ nhất
chia hết cho m và m'. Khi đó
ƯCLN(m,m') = x1min{a ,b } ...x nmin{a
1

1

n ,bn }

BCNN(m,m') = x1max{a ,b } ...xnmax{a
1

1

n ,bn }


10
+ Cho I =(m1,..., mr) vµ J =(n1,…, ns) lµ hai i®ªan ®¬n thøc. Khi ®ã I ∩ J còng lµ
i®ªan ®¬n thøc vµ I ∩ J = (BCNN(mi , nj )/1≤ i ≤ r, 1≤j ≤ s).

11
Đ2. Thứ tự từ

2.1. Thứ tự, giả thứ tự.
+ Cho X là tập khác rỗng. Quan hệ (2 ngôi ) trên X là một tập con R của tích
Đềcác XxX. Để thuận tiện, ta thờng viết xR y thay cho (x, y) R và dùng ký hiệu
~, , , để chỉ R ).
+ Quan hệ R trên tập X đợc gọi là một thứ tự (bộ phận) nếu nó thoả mãn ba điều
kiện sau đây đối với mọi x, y, z X:
(i) xR x (tính chất phản xạ).
(ii) Nếu xR y và yR z thì xR z (tính chất bắc cầu).
(iii) Nếu xR y và yR x thì x = y (tính chất phản đối xứng).
Thông thờng để chỉ thứ tự bộ phận ta ký hiệu bởi , .
+ Nếu R là một thứ tự bộ phận thì quan hệ ngợc R -1 = {(x, y)/(y, x) R } cũng là
thứ tự bộ phận và gọi là thứ tự ngợc của R . Ta dùng để chỉ thứ tự ngợc của thứ tự
tơng ứng và ngợc lại.
+ Trên X cho một thứ tự bộ phận thì ta nói X là tập đợc sắp.
Nếu x, y X mà x y hoặc y x thì ta nói x, y so sánh đợc với nhau, nếu
trái lại ta nói x, y không so sánh đợc với nhau.
Quan hệ thứ tự trên X đợc gọi là thứ tự toàn phần nếu mọi cặp phần tử của
X đều so sánh đợc với nhau và ta nói X là tập đợc sắp hoàn toàn.
+ Quan hệ chỉ thoả mãn tính chất phản xạ (i) và bắc cầu (iii) ở trên đợc gọi là giả
thứ tự.


12
+ Cho X là tập đợc sắp bởi thứ tự và A X.
Phần tử a A đợc gọi là phần tử tối tiểu (tơng ứng tối đại) nếu b A mà b
a (tơng ứng a b) thì a = b.
Phần tử a A đợc gọi là phần tử nhỏ nhất (tơng ứng lớn nhất) nếu b A thì

a b(tơng ứng b a).
Phần tử b X đợc gọi là chặn trên (tơng ứng chặn dới) của A nếu a A thì
a b (tơng ứng b a).
Tập X đợc gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu nó sắp hoàn toàn và mọi tập con khác
rỗng đều có phần tử nhỏ nhất. Thứ tự tơng ứng gọi là thứ tự tốt.
2.2. Thứ tự từ.
2.2.1. Định nghĩa. Thứ tự từ là một thứ tự toàn phần trên tập M-tất cả các
đơn thức của vành K[x] thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Với mọi m M, 1 m.
(ii) Nếu m1, m2, m M mà m1 m2 thì m.m1 m.m2.
* Sau khi đổi chỉ số các biến, sau này ta luôn giả thiết x1> x2 > > xn.
2.2.2. Ví dụ:
+ Thứ tự từ điển lex xác định
x11 ...x n n
là một thứ tự từ.
+ Thứ tự từ điển phân bậc glex xác định
x11 ...x n n

13
deg( x1 ...x n ) = deg( x1 ...x n ) và x1 ...x n n

1

n

1

1

n

1

n

+ Thứ tự từ điển ngợc rlex xác định
x11 ...x n n
deg( x1 ...x n ) = deg( x1 ...xn ) và thành phần đầu tiên khác không tính từ bên phải
1

n

1

n

của vectơ (1 - 1, , n - n ) là một số dơng, là một thứ tự từ.
+ Giả sử là một thứ tự từ nào đó đã đợc xác định.
Giả thứ tự trên tập các từ của vành R = K[x] (cũng đợc ký hiệu là ) xác định:
Nếu 0 , K và m, n M sao cho m n (tơng ứng m < n ) thì ta nói .m
.n (tơng ứng .m < .n).
2.2.3. Tính chất. (a) Một thứ tự toàn phần trên M là thứ tự tốt khi và chỉ khi
mọi dãy đơn thức thực sự giảm m1 > m2 > m3 > sẽ dừng sau hữu hạn phần tử.
(b) Thứ tự từ là thứ tự tốt. Ngợc lại mọi thứ tự tốt trên M thoả mãn điều kiện
(ii) của Định nghĩa 2.2.1 là thứ tự từ.
2.3. Thứ tự theo trọng và tích từ điển của các thứ tự (bộ phận).

2.3.1. Định nghĩa. + Hàm trọng số trên vành K[x] là một phiếm hàm tuyến
tính Ă n Ă .
Hàm trọng số nguyên là hàm trọng số mà ( Â n ) Â .
+ Thứ tự theo trọng liên kết với là thứ tự bộ phận trên M xác định bởi xa < xb
nếu và chỉ nếu (a) < (b).
+ Ta nói hàm trọng số tơng thích với thứ tự từ nếu m1 < m2 kéo theo m1< m2.


14
+ Cho 1,,s là các thứ tự bộ phận trên tập X. Tích từ điển R của các thứ tự này
là quan hệ đợc xác định x, yX , xR< y Tồn tại 1 i s để x, y không so sánh
đợc với nhau theo 1,, i-1 và x 2.3.2. Ví dụ: + Các hàm deg(a) = a1++ an (gọi là hàm bậc tổng thể ) và hàm
i(a) = ai, 1 i n là những hàm trọng số.
+ Hàm bậc tổng thể tơng thích với một thứ tự từ thì thứ tự từ đó gọi là thứ tự từ
phân bậc. Theo đó, thứ tự từ điển phân bậc và thứ tự từ điển ngợc là những thứ tự từ
phân bậc.
+ Thứ tự theo trọng là một thứ tự bộ phận, không phải là thứ tự từ.
2.3.3. Tính chất. + Nói chung tích từ điển của các thứ tự bộ phận không phải
là thứ tự.
+ Tích từ điển của các thứ tự theo trọng là thứ tự bộ phận trên M . Hơn nữa, nếu tất
cả các hàm trọng số nhận giá trị không âm trên Ơ n và thứ tự tích là thứ tự toàn phần
thì thứ tự tích là một thứ tự từ .
+ Vấn đề ngợc lại là một kết quả chính của Robbiano: "Mọi thứ tự từ là tích từ điển
của tối đa n thứ tự theo trọng. Tích từ điển của n thứ tự theo trọng liên kết với n
hàm trọng số độc lập tuyến tính là một thứ tự từ, nếu hàm trọng số đầu tiên không
âm".
2.4. Một số tính chất về thứ tự từ.
Suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.3.1 ta có hai nhận xét có ý nghĩa quan trọng
trong chứng minh sau này.

2.4.1. Nhận xét: (a) Cho là thứ tự theo trọng liên kết với . Khi đó với mỗi
m1, m2 M thì :
(i) m1, m2 so sánh đợc với nhau theo khi và chỉ khi m1 = m2 hoặc


15
(m1) (m2) .
(ii) m1, m2 không so sánh đợc với nhau theo khi và chỉ khi m1 m2 hoặc
(m1) = (m2) .
(b) Cho là thứ tự theo trọng. Khi đó (1) = 0.
2.4.2. Định lý. Cho là một thứ tự từ. Khi đó nếu m1m2 thì m1 m2. Tuy
nhiên điều ngợc lại thì không đúng.
Chứng minh: Giả thiết m1m2 suy ra tồn tại m M sao cho m2 = m.m1. Theo
điều kiện (i) của định nghĩa thứ tự từ ta có 1 m. Lại theo điều kiện (ii) của định
nghĩa thứ tự từ ta có m1.1 m1. m hay là m1 m2 .
Điều ngợc lại không đúng. Thật vậy, chẳng hạn ta xét cho thứ tự từ điển lex :
Gọi m1 = x1.x2 , m2 = x12 . Rõ ràng m1 lex m2 nhng m2 không chia hết cho m1.
2.4.3. Định lý. Cho là một thứ tự từ và m1 < m2 .
Nếu là thứ tự từ phân bậc thì giữa m1, m2 chỉ có hữu hạn đơn thức.
Nếu là thứ tự từ bất kỳ thì giữa m1, m2 có thể có vô hạn đơn thức.
Chứng minh: + Gọi n1 = deg(m1), n2 = deg(m2) n1, n2 Ơ và n1 n2 (bởi vì
nếu ngợc lại n2 < n1 deg(m2) < deg(m1) m2 < m1 : trái giả thiết).
Đơn thức m ở giữa m1, m2; tức là m1 < m < m2. Khi đó
deg(m1)deg(m)deg(m2) n1 deg(m) n2 . Giả sử m = xa với a = (a1, , an) có
n1 deg(xa) n2 n1 a1 + a2 + ... + an n2.
Tuy nhiên tập các bộ số mũ a = (a 1, ...,an) sao cho n1 a1 + a2 +...+ an n2 là
hữu hạn nên tập các đơn thức m nằm giữa m1, m2 là hữu hạn .
+ Nếu là thứ từ từ bất kỳ giữa m1, m2 có thể có vô hạn đơn thức.
Thật vậy, chẳng hạn ta xét cho thứ tứ tự từ điển lex :
Chọn m1 = x1, m2 = x13 thì ta có m1 < m2.

Ta có m = x12.x2n với n Ơ thoả mãn m1 < m < m2 .
Rõ ràng m xác định nh vậy là vô hạn .


16
2.4.4. Định lý. Cho là một thứ tự từ sao cho x1 > x2 >> xn . Khi đó với mọi
s 2 ta đều có x1s > x2s > > xns .
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh x1s >x2s là đủ. Thật vậy, ta sẽ chứng minh
khẳng định tổng quát hơn x1s-i x2i > x1s-j x2j, 0 i là đợc.
Điều nói trên sẽ đợc chứng minh nếu ta chứng minh đợc x1m x2n < x1m+1x2n-1.
Do x1 > x2 và điều kiện (ii) của Định nghĩa 2.2.1 về thứ tự từ nên
x1(x1m x2n-1) > x2(x1m x2n-1 ) x1 m+1 x2n-1 >x1mx2n .
2.4.5. Hệ quả. Cho là một thứ tự từ và m1 , m2 M sao cho m1 > m2. Khi đó
với mỗi s 1 thì m1s > m2s .
2.4.6. Định lý. Cho là một thứ tự từ. Hình nón dơng của thứ tự này là tập P
 n bao gồm các hiệu a - b sao cho xa > xb. Khi đó P là tập nón lồi thực sự theo
nghĩa:
(i) u, v P pu + qv P nếu 0 p, q Ô , p2 +q2 0 và pu+qv  n .
(ii) u P - u P .
Chứng minh: (i) +) Trớc hết ta chứng minh cho p, q  + .
Với mọi u, v P u = a - b, v = c - d sao cho xa > xb và xc > xd
pu + qv = p(a - b) + q(c - d) =(pa + qc) - (pb + qd ). Do là thứ tự từ và theo Hệ
quả 1.4.3 thì xa > xb kéo theo (xa)p (xb)p (dấu "=" chỉ xảy ra khi và chỉ khi p = 0).
Tơng tự ta có (xc)q > (xd)q (dấu "=" chỉ xảy ra khi và chỉ khi q = 0).
Theo điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.2.1 về thứ tự từ thì do xpa xpb và


17
xqc xqd nên xpa.xqc xpb.xqc xpb.xqd hay là xpa+qc > xpb+qd (do dấu"=" chỉ xảy ra khi

và chỉ khi p = q = 0 là vô lý), tức là (pa + qc) - (pb + qd) P suy ra pu + qv P
Khẳng định đã đợc chứng minh cho trờng hợp p, q  + .
+) Bây giờ ta sẽ chứng minh cho p, q Ô + .
Giả sử p =

r
k
, q = (r, s, k, h Ơ * ). Với mỗi u, v P thì
s
h
r
k
(r.h).u + ( s.k )v
pu + qv = .u + v =
 n .
s
h
sh

Theo chứng minh trên bài toán đúng cho p, q  + nên áp dụng cho r.h, s.k ta
có (r.h)u +(s.k)v P (r.h)u +(s.k)v = g - l thoả mãn xg > xl
pu + qv =

g l
g l
g l g l
 n (theo giả thiết) nên ( 1 1 , 2 2 , ..., n n )  n , trong đó
sh
s.h
s.h

s.h

g =(g1, ..., gn) Â n , l = (l1, , ln) Â n

g i li
 , i=1, ..., n.
s.h

gi - li s.h , i=1, ..., n gi - li t, i=1, ..., n (ở đây t = s.h  + )
gi = ai.t + ei và li = bi.t + ei (ai, bi, ei  )
gi - li = (ai - bi)t

g i li
= ai bi ,i =1, ..., n
t

pu + qv = (a1 - b1, , an - bn) = (a1, , an) - (b1, ..., bn) = a - b
(a = (a1, , an ), b = (b1,..., bn )).
Ta cần chứng minh xa > xb là đủ (khi đó theo định nghĩa pu + qv P ).
Nếu xa = xb a = b g = l : mâu thuẫn với xg > xl .
Nếu xa < xb : Theo Hệ quả 1.4.3 ta có (xa)t < (xb)t xta < xtb

xe.xta < xe.xtb (do là thứ tự từ, trong đó e = ( e1,, en )) xt.a + e < xt.b + e
xg < xl : vô lý .
Do là thứ tự từ nên là thứ tự toàn phần nên chỉ có thể là xa > xb .


18
(ii) u P u = a b, trong đó xa > xb .
Giả sử -u P suy ra -u = c - d thoả mãn xc > xd .

0 = u +(-u) = (a+c) - (b+d) suyra xa+c = xb+d .
Điều này mâu thuẫn với xa+c = xa.xc > xb.xc > xb. xd = xb+d -u P .
2.4.7. Định lý. Tích từ điển của một thứ tự theo trọng nhận 1 làm phần tử cực
tiểu và một thứ tự từ là một thứ tự từ .
Chứng minh: Gọi là thứ tự theo trọng nhận 1 làm phần tử cực tiểu, là thứ
tự từ và R là tích từ điển của , .
*) Trớc tiên ta chứng minh R là thứ tự toàn phần:
+) Tính phản xạ: m R m với mọi m M (do Định nghĩa 1.3.1 về tích từ điển )
+) Tính bắc cầu: Giả sử m1R m2, m2R m3 với mọi m1, m2, m3 M.
Nếu xảy ra ít nhất m1= m2 hoặc m2 = m3 ta có ngay điều phải chứng minh; cho nên
ta xét cho m1R< m2 , m2R< m3 .
* Trờng hợp 1: m1 < m2 .
Khi đó theo Định nghĩa 1.3.1 thì (m1) < (m2). Từ m2 R< m3 ta có các khả
năng sau xảy ra:
+ Khả năng 1: m2 < m3.
Khi đó m1< m3 (do là thứ tự bộ phận nên theo Định nghĩa 1.1.1 nó thoả
mãn tính bắc cầu).
+ Khả năng 2: m2, m3 không so sánh đợc với nhau theo thứ tự và m2 Khi đó theo Nhận xét 1.4.1.a thì (m2) = (m3). Ta có ngay (m1) < (m3) nên
theo Định nghĩa 1.3.1 thì m1 < m3 m1 R< m3 (theo Định nghĩa1.3.1).
* Trờng hợp 2: m1, m2 không so sánh đợc với nhau theo và m1 Theo Nhận xét 1.4.1.a thì (m1) =(m2). Từ m2 R< m3 nên có các khả năng sau
xảy ra:
+ Khả năng 1: m2 < m3.
Khi đó theo Định nghĩa 1.3.1 thì (m2) < (m3) ta có ngay (m1) < (m3)


19
m1 < m3 m1 R < m3 .
+ Khả năng 2: m2, m3 không so sánh đợc với nhau theo thứ tự và m2 < m3 .

Khi đó theo Nhận xét 1.4.1.a thì (m2) = (m3). Nh vậy (m1) = (m3), do là
thứ tự từ nên nó thoả mãn tính bắc cầu m 1 < m3 , do đó m1 m3 nên m1, m3 không
so sánh đợc với nhau theo thứ tự (theo Nhận xét 1.4.1.a) và m1 < m3
m1 R< m3 .
Nói tóm lại R thoả mãn tính bắc cầu.
+) Tính phản đối xứng :
Giả sử m1R m2, m2R m1 và m1 m2; tức là m1 R< m2, m2R< m1. Theo tính
chất bắc cầu đã chứng minh ở trên thì m1 R< m1, điều này là vô lý vì không thể xảy
ra m1 < m1 hoặc m1 < m1 .
+ Tính toàn phần :
Điều này ta có ngay do ít nhất là thứ tự toàn phần(vì là thứ tự từ) nên R
là thứ tự toàn phần.
* ) Bây giờ ta chứng minh R thoả mãn hai điều kiện về định nghĩa thứ tự từ .
+ Điều kiện (i): Với mọi m M, do là thứ tự theo trọng nhận 1 làm phần tử cực
tiểu nên (1) (m). Có các khả năng sau xảy ra:
Khả năng 1: (1) < (m).
Khi đó 1 < m1 R< m 1 R m.
Khả năng 2: (1) = (m) và m 1.
Theo Nhận xét 1.4.1.a thì 1 và m không so sánh đợc với nhau theo thứ tự ,
đồng thời 1 m (vì là thứ tự từ) nên 1R m .


20
Tóm lại ta luôn có 1R m với mỗi m M.
+ Điều kiện (ii): Với mỗi m, m1, m2 M sao cho m1 R m2 .
Nếu m1 = m2 thì m.m1 = m.m2 hay m.m1 R m.m2.
Nếu m1 m2 ta có các khả năng sau:
Khả năng 1: m1 < m2 .
Theo Định nghĩa 1.3.1 thì (m1) < (m2) (m) + (m1) < (m2) + (m)
(m.m1) < (m.m2) m.m1< m.m2 m.m1 R< m.m2 m.m1 R m.m2.

* Chú ý là m M m = xa, mà : Rn R là phiếm hàm tuyến tính nên ta viết
(m) thay cho (a), cho nên tính "tuyết tính" của nó thể hiện ở chỗ
(m1.m2)=(m1)+(m2) .
Khả năng 2: m1, m2 không so sánh đợc với nhau theo và m1 < m2 .
Khi đó m.m1 m.m2 và (m.m1) = (m.m2) nên m.m1, m.m2 không so sánh đợc với nhau theo và m.m1 m.m2 (do là thứ tự từ) m.m1 R m.m2 .
2.4.8. Định lý. Cho u = (u1, , un) Ă

n

sao cho u1, , un là các số thực d-

ơng độc lập tuyến tính trên Q. Khi đó quan hệ u đợc định nghĩa nh sau là một thứ
tự từ:
x a

b

n

n

a u < b u .
i =1

i i

i =1

i i

Chứng minh: Việc kiểm tra u là thứ tự và điều kiện (i), (ii) trong Định nghĩa
*
2.2.1 là đơn giản suy ra ngay từ giả thiết cho u i Ă + , ai Ơ và thứ tự thông thờng
trên Ă .
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh u sắp thứ tự toàn phần là đủ.
(Đến đây ta mới sử dụng giả thiết cho {u1, , un} độc lập tuyến tính trên Ô )
Ta có: xa, xb M


21
n

n

i =1

i =1

+ Nếu ai u i < bi u i thì xa + Nếu

n

n

a u > b u
i =1

i

i

i =1

n

n

i =1

i =1

i

i

thì xb
+ Nếu ai u i = bi u i : Điều này tơng đơng với

n

(a
i =1

i

bi )ui = 0

Do {u1, u2, , un} độc lập tuyến tính trên Ô , mà ai - bi Â Ô nên ai - bi = 0,
i = 1, n ai = bi , i = 1, n a = b xa = xb .
Tóm lại xa, xb luôn so sánh đợc với nhau theo thứ tự u u là một thứ tự từ.

Đ3. Cơ sở grệbner và phép chia đa thức
3.1. Từ khởi đầu, đơn thức đầu.


22
3.1.1. Định nghĩa. Cho là thứ từ từ và f R = K[x1,...,xn].
* Từ khởi đầu của f , ký hiệu in(f) là từ lớn nhất của f đối với thứ tự từ .
* Nếu in(f) = .xa, 0 thì lc(f) = gọi là hệ số đầu và lm(f) = xa là đơn
thức đầu của f đối với thứ tự từ .
Nếu ta ngầm hiểu thì ta viết in(f), lc(f), lm(f) tơng ứng thay cho in(f), lc(f),
lm(f).
Từ khởi đầu của đa thức 0 xem là không xác định (có thể nhận giá trị tuỳ ý).
3.1.2. Tính chất. Cho f, g R và m M. Khi đó
(i)

in(f.g) = in(f).in(g).

(ii)

in(m.f) = m.in(f).

(iii) lm(f+g) max{lm(f), lm(g)}. Dấu < xảy ra in(f) = - in(g).
3.2. Iđêan khởi đầu.
3.2.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan của R và là một thứ tự từ.
Iđêan khởi đầu của I, ký hiệu in(I) là iđêan của R sinh bởi các từ khởi đầu
của các phần tử của I, nghĩa là in(I) = (in(f)/f I).

Ta viết in(I) thay cho in(I) nếu đã rõ.
3.2.2. Tính chất. Cho là một số thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R. Khi đó
(i) Tập tất cả các đơn thức của in(I) là {lm(f)/f I}.
(ii) I là iđêan đơn thức thì in(I) = I.
(iii) Nếu I J thì in(I) in(J). Hơn nữa nếu I J và in(I) = in(J) thì I = J.
(iv) in(I).in(J) in(I.J).
(v) in(I) + in(J) in(I+J).
3.3. Cơ sở Grệbner
3.3.1. Định nghĩa. Cho là một thứ tự từ và I là một iđêan của R.
..

* Tập hữu hạn các đa thức khác không g1, , gs I gọi là một cơ sở Gr o bner của
I đối với thứ tự từ nếu in(I) = (in(g1), , in(gs)).


23
..

..

* Tập g1, , gs gọi là một cơ sở Gr o bner , nếu nó là cơ sở Gr o bner của iđêan sinh
bởi chính các phần tử này.
..

..

* Cơ sở Gr o bner tối tiểu của I đối với thứ tự từ đã cho là một cơ sở Gr o bner
G I thoả mãn 2 điều kiện:
(i) lc(g) = 1, g G.
(ii) g G, không tồn tại g' G để in(g') in(g).

..

* Cơ sở Gr o bner rút gọn của iđêan I đối với một thứ tự từ đã cho là một cơ sở
..

Gr o bner G I thoả mãn 2 điều kiện:
(i) lc(g) = 1, g G.
(ii) g G và mọi từ m của g đều không tồn tại g' G \ {g} để in(g') m.
3.3.2. Tính chất. (i) Cho I là một iđêan tuỳ ý của R. Nếu g1, , gs là cơ sở
..

Gr o bner của I đối với một thứ tự từ nào đó thì g1, , gs là cơ sở của I.
..

(ii) Cho là một số thứ tự từ. Khi đó mọi iđêan đều có cơ sở Gr o bner tối
..

tiểu và mọi cơ sở Gr o bner tối tiểu của cùng một iđêan đều chung số lợng phần tử
và chung tập từ khởi đầu.
(iii) Cho I 0. Khi đó đối với mỗi thứ tự từ, I có duy nhất một cơ sở
..

Gr o bner rút gọn.
3.3.3. Định lý. Cho trớc s là một số nguyên dơng. Khi đó tồn tại iđêan I sinh
tối tiểu bởi f1, f2, f3 , ..., fs nhng in(I) thực sự chứa (in(f1), , in(fs)).
Chứng minh: Rõ ràng I sinh tối tiểu bởi f1, , fs thì s < n, cho nên s + 1 n.
Xét thứ tự từ điển mà x1 > x2 > ... > xn .
Gọi f1 = x1
f2 = x12.x2 + x3
f3 = x13. x22.x3 + x4

..
fs = x1s.x2s-1...xs + xs+1


24
{f1, , fn} là hệ sinh tối tiểu của iđêan I = (f1, , fs) (do ta không thể bỏ đợc bất
kỳ phần tử fi với 1 i s nào, bởi vì khi đó fi sẽ không thể biểu thị qua các fi còn
lại, nguyên nhân là phần tử xi+1 trong đa thức fi ).
Ta có in(f1) = x1; in(f2) = x12x2, ..., in(fs) = x1s.x2s-1...xs
(in(f1), , in(fs)) = (in(f1)) = (x1).
Ta có f = f2 (x1x2)f1 = x3 I in(f) in(I) f in(I) (do in(f) = f).
Nhng f = x3 (in(f1), , in(fs)) (do (in(f1), , in(fs)) = (x1))
in(I) thực sự chứa (in(f1), , in(fs)) .
Nh vậy cơ sở Grobner của một iđêan là cơ sở của iđêan đó nhng chiều ngợc lại
không đúng.
3.3.4. Định lý. Cho G I là một cơ sở hữu hạn của iđêan I. Khi đó, G là cơ sở
Grobner của I nếu và chỉ nếu với mọi f I, in(f) chia hết cho in(g) với g G nào
đó.
Chứng minh: Theo Định nghĩa 3.3.1 về cơ sở Grobner ta có :
G là cơ sở Grobner của I in(I) = (in(g1), in(g2), , in(gs))
(trong đó G = {g1, , gs}).
Ta sẽ chứng minh in(I) = (in(g1), , in(gs)) Với mọi f I, in(f) chia hết cho
in(g) với g G nào đó.
+) Chiều thuận : Với mọi f I, do I =(g1, , gs) nên f =

s

fg
i =1

i

i

.

Ta có in(f) in(I) in(f) (in(g1), ..., in(gs)). Theo Bổ đề 1.2.2
in(f) chia hết cho in(gk) với 1 k s .


25
+) Chiều nghịch: Rõ ràng (in(g1), , in(gs)) in(I). Với f I, hay in(f) in(I), ta
có in(f) chia hết cho in(g), với g G nào đó
in(f) (in(g1), , in(gs)) in(I) (in(g1), , in(gs))
in(I) = (in(g1), , in(gs)) .
3.3.5. Định lý. Với mỗi đa thức f R = K[x], kí hiệu M(f) là tập tất cả các
đơn thức của f. Cho là một thứ tự từ trên M. Với f, g R ta định nghĩa f * g
M(f) ' M(g), nghĩa là:
- Nếu M(f) = M(g) thì f * g và g * f.
- Nếu M(f) M(g) thì f * g.
- Nếu M(f) M(g), sắp xếp các đơn thức của M(f) và M(g) theo thứ tự giảm
dần. Tại cặp đơn thức khác nhau đầu tiên kể từ bên trái, đa thức nào có đơn thức
bé hơn thì bé hơn.
Khi đó * là giả thứ tự tốt trên R và là mở rộng của giả thứ tự trên tập các từ
của R.
Chứng minh: Điều này đợc suy ra từ là thứ tự từ nên nó là thứ tự tốt.
Việc kiểm tra * là giả thứ tự là dễ dàng. Bây giờ ta chứng minh nó là giả thứ
tự tốt. Rõ ràng đây là giả thứ tự toàn phần. Giả sử nó không là giả thứ tự tốt
Tồn tại tập A gồm các đa thức trên R và A không có phần tử nhỏ nhất theo
giả thứ tự *.

Trên A: ta gọi A1 là tập các đa thức có cùng đơn thức đầu bé nhất(điều này là
tồn tại do là thứ tự tốt trên M). Tơng tự :
Trên A1: ta gọi A2 là tập các đa thức có cùng đơn thức thứ 2 bé nhất(đa thức đợc viết theo thứ tự giảm dần các đơn thức).
Trên An: ta gọi An+1 là tập các đa thức có cùng đơn thức thứ n+1 bé nhất.
Rõ ràng A A1 An ...