Môđun xạ ảnh và một số mở rộng

Mục lục
Mở đầu ....................................................................................................

Trang
3

Chơng 1: Các kiến thức cơ sở về vành và môđun ............................

6

1.1. Các kiến thức cơ sở về môđun .......................................................

6

1.1.1. Sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp các môđun con.......

6

1.1.2. Môđun con cốt yếu, môđun con bé. Căn và đế của môđun ..........

8

1.1.3. Bù- giao và bù- cộng của môđun con ........................................

11

1.1.4. Dãy khớp .......................................................................................

12

1.2. Các kiến thức cơ sở về vành ..........................................................

13

1.2.1. Phần tử luỹ đẳng, phần tử luỹ linh. Căn của vành .........................

13

1.2.2. Nhúng một vành vào vành có đơn vị ............................................

15

1.2.3. Sự phân tích một vành thành tổng trực tiếp...................................

16

1.2.4. Iđêan linh hoá tử và môđun suy biến............................................

17

1.2.5. Các điều kiện chuỗi trên vành .......................................................

17

1.3. Kết luận chơng 1 ..........................................................................

18

Chơng 2: Môđun xạ ảnh và một số mở rộng ....................................

19

2.1. Môđun xạ ảnh ................................................................................

19

2.1.1. Môđun tự do ..................................................................................

19

2.1.2. Môđun xạ ảnh ......................................... .....................................

21

2.2. Môđun A- xạ ảnh............ ............................................................................

24

2.3. Bao xạ ảnh của một môđun ...................................................

31

2.3.1. Khái niệm bao xạ ảnh của môđun ................................................

31

2.3.2. Vành hoàn chỉnh và vành nửa hoàn chỉnh ....................................

33

2.4. Môđun với các điều kiện rời rạc .................................................

2.4.1. Các điều kiện rời rạc .....................................................................

33

2.4.2. Môđun rời rạc ...........................................................................................

33

2.4.3. Môđun tựa rời rạc ......................................................................................

36

2.4.4. Mối liên hệ giữa thuộc tính xạ ảnh và thuộc tính rời rạc .........................

38

2.5. Đặc trng của môđun tựa rời rạc qua các điều kiện khả bù yếu ...

38

1


2.6. Kết luận chơng 2

40

Kết luận của luận văn

42

Tài liệu tham khảo

43
44

Mở đầu
Đặc trng các lớp vành qua các điều kiện đối với các lớp môđun là một
trong những hớng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết vành. Vì vậy, việc lựa
chọn các lớp môđun và khảo sát các thuộc tính của chúng phục vụ cho việc
nghiên cứu đặc trng các lớp vành đã biết trở nên một vấn đề hấp dẫn.
Lớp các môđun xạ ảnh cùng với lớp các môđun nội xạ có vai trò quan
trọng trong nghiên cứu vành và môđun. Từ trớc đến nay các lớp môđun này vẫn
là những đối tợng truyền thống đợc nhiều ngời nghiên cứu. Các kết quả tìm
thấy đợc sử dụng để mô tả cấu trúc nhiều lớp vành quan trọng nh vành noether,
vành nửa đơn, vành hoàn chỉnh, . . . Từ nửa cuối thế kỷ XX, nhiều ng ời nghiên
cứu vành và môđun đã tìm cách mở rộng các lớp môđun này để phục vụ cho
việc nghiên cứu các thuộc tính của vành. Việc mở rộng này có thể nói đợc quan
tâm nhiều sau các công trình của Utumi (1960 1965) về thuộc tính C 1 trên
các vành. Sau đó, Mohamed, Bouhy, Oshiro, . . . đề xuất nghiên cứu các điều

2


kiện C1, C2, C3 đối với môđun và định nghĩa các lớp môđun tựa liên tục, liên tục,
extending (tức là môđun CS), 1-C 1, . . . Những lớp môđun này đều là những mở
rộng thực sự của lớp môđun nội xạ.
Cùng với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, ngời ta đã tìm cách mở
rộng môđun xạ ảnh. Bằng cách sử dụng các điều kiện D 1 , D 2, D 3 , đối ngẫu
với các điều kiện C 1, C2 , C 3 tơng ứng, Mohamed và Singh đã định nghĩa

khái niệm môđun rời rạc, Oshiro định nghĩa khái niệm môđun tựa rời rạc.
Trên vành hoàn chỉnh, lớp môđun rời rạc và lớp môđun tựa rời rạc là
những mở rộng thực sự của lớp môđun xạ ảnh. Mặc dù vấn đề đợc đặt ra
đối với việc mở rộng lớp môđun xạ ảnh có vẻ tơng tự với việc mở rộng lớp
môđun nội xạ nhng trên thực tế nghiên cứu thờng gặp nhiều khó khăn hơn,
đòi hỏi sử dụng nhiều kỹ thuật phức tạp hơn.
ở Việt Nam, dới sự hớng dẫn của GS TSKH Đinh Văn Huỳnh, việc
nghiên cứu các mở rộng của các lớp môđun nội xạ, xạ ảnh đợc thực hiện từ
những năm 80 của thế kỷ XX và đã thu đợc nhiều kết quả. Chỉ tính trong nớc đã
có 7 luận án Tiến sĩ đợc bảo vệ có liên quan đến các lớp môđun này. Sự hấp dẫn
của hớng nghiên cứu này đã dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài luận văn là
tìm hiểu Lớp môđun xạ ảnh và một số mở rộng.
Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống hoá các tính chất của lớp
môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh, môđun rời rạc và môđun tựa rời rạc. Trên cơ
sở đó chúng tôi cố gắng tìm hiểu sâu hơn các đặc trng của các lớp môđun này
và sự liên hệ giữa tính chất của chúng với tính chất một số lớp vành đã biết.
Nội dung Luận văn gồm 2 chơng:
Chơng 1: Các kiến thức cơ sở về môđun và vành
Nội dung chính trong chơng này là nhắc lại một số khái niệm cơ
sở của Lý thuyết môđun và hệ thống hoá các kiến thức cơ sở về vành.
Chơng 2: Lớp môđun xạ ảnh và một số mở rộng
Chúng tôi tập trung nghiên cứu lớp môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ
ảnh và thông qua các điều kiện rời rạc, nghiên cứu môđun rời rạc và
môđun tựa rời rạc. Đồng thời tìm hiểu mối liên hệ giữa thuộc tính xạ
ảnh và thuộc tính rời rạc; đặc trng của môđun tựa rời rạc qua các điều
kiện khả bù yếu.

3

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của Thầy giáo TS Chu Trọng Thanh. Nhân dịp này, chúng tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đã dành cho chúng
tôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái.
Trong thời gian học tập và viết luận văn chúng tôi đã đợc sự dạy bảo tận
tình của các thầy giáo, cô giáo và các nhà khoa học trờng Đại học Vinh. Chúng
tôi luôn nhớ đến những bài học mà các thầy giáo, cô giáo và các nhà khoa học
đã giảng dạy trong thời gian qua.
Gia đình và bạn bè luôn là nguồn động viên để chúng tôi có thêm nghị
lực hoàn thành khoá học.
Xin đợc chân thành cảm ơn tất cả mọi tấm lòng đã u ái dành cho chúng
tôi.
Tuy nhiên dù có nhiều cố giắng nhng không thể tránh khỏi những sai
sót, chúng tôi mong nhận đợc sự chỉ bảo chân tình của quý thầy cô và các bạn.
Vinh, 28 tháng 12 năm 2006
Tác giả

4


Chơng 1
Các kiến thức cơ sở về vành và môđun
Trong chơng này ta giả sử R là một vành có đơn vị cho tr ớc và kí hiệu
R-Mod dùng để chỉ phạm trù gồm tất cả các R-môđun trái unita, tức là các
môđun M trên vành R với điều kiện 1m = m, với mọi m thuộc M.
1.1- Các kiến thức cơ sở về môđun

Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở của Lý
thuyết môđun và mục 1.2- Hệ thống hoá các kiến thức cơ sở về vành.
Những khái niệm, thuật ngữ và kí hiệu về vành và môđun không đ ợc nhắc
đến ở đây có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [6], [9],

[10], [11] đợc liệt kê ở cuối luận văn này.
1.1.1- Sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp các môđun con
Định nghĩa 1: Giả sử M là một môđun trên vành R.
a) Môđun M đợc gọi là môđun đơn nếu M không chứa môđun con
thực sự nào khác 0, nghĩa là chỉ có môđun con 0 và M.
b) Môđun con A của môđun M đợc gọi là tối đại nếu A M và A
không chứa trong một môđun con thực sự nào của M.
c) Môđun con A của M bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa tập hợp
con X của M đợc gọi là mô đun con sinh bởi X. Khi đó X đợc gọi là một
tập sinh hay hệ sinh của A. Trong trờng hợp A = M ta nói X là một hệ sinh
của M hay M đợc sinh bởi X. Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M
là một môđun hữu hạn sinh .
Định nghĩa 2: a) Giả sử {AiiI } là một họ tuỳ ý những môđun con
của R-môđun M. Khi đó môđun con sinh bởi tập S =
môđun con Ai của họ đã cho, ký hiệu

Ai .
I

5


I

Ai gọi là tổng của các


b) Một họ F = {Ai i I } các môđun con của môđun M đợc gọi là độc
lập (hay khả tổng) nếu A j Ai = 0 , với mọi j I.
i j

Trong trờng hợp họ F = {Ai i I } độc lập tổng
trực tiếp trong của họ F và kí hiệu là

Ai.

Ai
I

cũng là tổng

Môđun A đợc gọi là phân tích đợc

I

thành tổng trực tiếp của một họ F = {A i i I } các môđun con của môđun A
nếu họ F = {Ai i I } độc lập và A =

Ai. Khi đó các điều kiện sau đợc
I

thoả mãn:
(i) A = Ai
I

và (ii) A j Ai = 0 , với mọi j I
i j

Nếu A là tổng trực tiếp trong của họ môđun con F = {Ai i I } thì
mỗi phần tử x của A đợc biểu diễn thành tổng hữu hạn duy nhất

x = a1 + a2 + . . . + an, trong đó ai Ai, i = 1, 2, . . ., n.
c) Cho F = {A i| iI} là một họ những R-môđun. Tích Đềcác

Ai
I

của họ F với các phép toán đợc định nghĩa theo thành phần làm thành một
R-môđun. Môđun đun này đợc gọi là tích trực tiếp của họ F. Tập con của
tích Đề các

Ai gồm tất cả những phân tử (a i) mà ai = 0 hầu hết, trừ một
I

số hữu hạn chỉ số iI, làm thành một môđun con của môđun tích trực tiếp
nói trên. Môđun này đợc gọi là đối tích (hay tổng trực tiếp ngoài) của họ F
= {Ai| iI} và đợc ký hiệu là

Ai.
I

Trong trờng hợp tất cả các môđun A i

của họ F bằng môđun A thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp ngoài nói trên đ ợc
gọi là luỹ thừa của A và kí hiệu tơng ứng là AI và A(I) tơng ứng. Ngời ta còn
dùng thuật ngữ tích (tổng) trực tiếp của I bản copy môđun A.

6


Nếu R-môđun M là tổng trực tiếp trong của họ môđun con {A i| iI}

của nó thì M đẳng cấu với tổng trực tiếp ngoài của họ R-môđun {A i| iI}.
Đảo lại, nếu {A i| iI} là một họ R-môđun và M =

Ai là tổng trực
I

tiếp của họ môđun đã cho. Khi đó trong M có một họ môđun con {A' i| iI}
với Ai' đẳng cấu với Ai, với mỗi iI và M là tổng trực tiếp trong của các
môđun con A' i .
Do đó trong một số trờng hợp, khi không cần phân biệt giữa tổng trực
tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài, ngời ta dùng chung một thuật ngữ cho cả
hai đối tợng trên là tổng trực tiếp.
Định nghĩa 3: a) Môđun M đợc gọi là không phân tích đợc nếu nó
không biểu diễn đợc thành tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự.
b) Giả sử M có sự phân tích M = I Mi. Nếu Mi 0 là môđun con
không phân tích đợc của M, i I thì sự phân tích đó đợc gọi là sự phân
tích thành tổng trực tiếp của những môđun con không phân tích đ ợc.
1.1.2- Môđun con cốt yếu, môđun con bé. Căn và đế của môđun.
Định nghĩa 4: Cho A là một môđun con của môđun M. A đợc gọi là
môđun con cốt yếu của M nếu với mỗi môđun con X 0 của M luôn có
A X 0. Trong trờng hợp này ta cũng nói M là một mở rộng cốt yếu của
A, ký hiệu A * M.
Một mở rộng cốt yếu M của A đợc gọi là mở rộng cốt yếu thực sự nếu
M A.
Môđun M đợc gọi là đều nếu mọi môđun con khác không của M là
môđun con cốt yếu của M.
Đối với mỗi môđun con A khác 0 của môđun M luôn tồn tại mở rộng
cốt yếu của A trong M. Mở rộng cốt yếu tối đại của A trong M đ ợc gọi là
bao đóng của A trong M. Một môđun con A của M đợc gọi là đóng nếu A
không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M.

7


Một số tính chất của môđun con cốt yếu của môđun trên vành R đ ợc
đề cập trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1: a) A * M xR A 0, 0 x M.
b) A B M thì A * M A * B, B * M.
c) A * M, K M A K * K.
d) Giao của một họ hữu hạn các môđun con cốt yếu của môđun M là
môđun con cốt yếu của M.
e) A B M, B/A * M/A B * M
f) Cho f: M N là các đồng cấu môđun, B * N f-1(B) * M.
g) Cho Ai, Mi là các môđun con của M, i I sao cho: M =
tồn tại

Mi
I

và

Ai; Ai * Mi i I thì:
I

(i) Tồn tại
(ii)

Mi = Mi
I

I

Ai * M i .
I

I

Định nghĩa 5: Cho A là môđun con của môđun M. A đợc gọi là
môđun con bé (hoặc đối cốt yếu) của M nếu với mọi môđun con thực sự X
của M thì A + X M. Ký hiệu: A 0 M.
Môđun M đợc gọi là môđun hổng nếu mọi môđun con thực sự của nó
là môđun con bé của môđun M.
Một số tính chất của môđun con bé của môđun trên vành R đ ợc đề
cập trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 2: a) Nếu A 0 B và B C thì A 0 C với A, B, C là các
môđun con của M.
b) Cho A 0 M, A N. Nếu N M thì A 0 N

8


c) Tổng một số hữu hạn các môđun con bé của môđun M là môđun
con bé của môđun M.
d) Nếu A là hạng tử trực tiếp của môđun M và X là mô đun con của A
sao cho X 0 M. Khi đó X 0 A.
e) Nếu A B, B M khi đó B 0 M B/A 0 M/A và A 0 M.
f) Cho f: M N là đồng cấu môđun và A 0 M thì f(A) 0 N.
Định nghĩa 6: (i). Tổng tất cả các môđun con bé của môđun M đ ợc
gọi là căn của môđun M. Ký hiệu: Rad(M).
(ii) Giao của tất cả các môđun con cốt yếu của môđun M đ ợc gọi là

đế (socle) của môđun M. Ký hiệu : Soc(M).
Mệnh đề sau đây cho một cách định nghĩa khác của các khái niệm
căn và đế của môđun.
Mệnh đề 3: (i) Rad(M) là giao của tất cả các môđun con tối đại của M.
(ii) Soc(M) là tổng tất cả các môđun con đơn của môđun M.
1.1.3- Bù-giao và bù-cộng của môđun con
Định nghĩa 7: Cho A là môđun con của M. Môđun con A' của M tối
đại trong số các môđun con của M có giao với A bằng không đợc gọi là bù
-giao (complement) của A trong M.
Mệnh đề 4: Môđun con B của M là đóng nếu và chỉ nếu tồn tại
môđun con A của M sao cho B là một bù-giao của A trong M.
Chú ý rằng bằng cách sử dụng Bổ đề Zorn, ngời ta chứng minh đợc sự
tồn tại của bù-giao của một môđun con bất kỳ trong môđun M. Tuy nhiên,
với mỗi môđun con cho trớc, bù giao của nó trong môđun M không duy
nhất. Mệnh đề sau cho một dấu hiệu để nhận biết một môđun con của M có
phải là bù giao của môđun con A của M hay không.
Mệnh đề 5: (i) Cho A là môđun con của M, môđun B là bù-giao của A
trong M thì B đóng trong M và B A * M.
(ii) Nếu A là môđun con của M và B là môđun con đóng trong M sao
cho A B = 0 và A B * M thì B là một bù-giao của A trong M.

9


Liên quan đến bù-giao của một môđun con và các môđun con đóng ta
có mệnh đề sau:
Mệnh đề 6: (i) Mỗi môđun con A của M tồn tại môđun con đóng
- giao) B sao cho A là môđun con cốt yếu trong B.

(bù

(ii) Nếu A là môđun con đóng trong B và B là môđun đóng trong M thì
A là môđun con đóng trong M.
Định nghĩa 8: Cho A là một môđun con của M. Môđun con P của M
tối tiểu trong số các môđun con của M thoả mãn điều kiện A + P = M thì
môđun P đợc gọi là bù-cộng (supplement) của A trong M.
Môđun con B của M đợc gọi là môđun con bù-cộng (supplement
submodule) nếu B là bù-cộng của một môđun con nào đó của M.
Nhận xét: (Xem [6])
- Nếu M = A B thì B vừa là bù-giao, vừa là bù-cộng của A trong M.
- Khác với bù-giao của một môđun con, bù-cộng của một môđun con
trong M có thể không tồn tại.
Ví dụ: Trong môđun Z Z không có môđun con khác 0 nào có môđun
con bù - cộng.
Mệnh đề sau đây cho ta một tính chất đặc trng của bù - cộng của một
môđun con trong môđun M.
Mệnh đề 7: Cho A và P là môđun con của M thì P là bù - cộng của A
nếu và chỉ nếu M = A + P và A P 0 P.
1.1.4- Dãy khớp
Định nghĩa 9: Đơn cấu f: X Y các R - môđun đợc gọi là chẻ ra
nếu Im(f) là hạng tử trực tiếp trong Y.
Toàn cấu g: Y Z đợc gọi là chẻ ra nếu ker(g) là hạng tử trực tiếp
trong Y.
Định nghĩa 10: a) Ta gọi dãy khớp (những môđun) là một dãy hữu
hạn hoặc vô hạn
f
g
. . . X
Y
Z . . .

10


những đồng cấu của các môđun trên R sao cho ảnh của đồng cấu vào trùng
với hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi môđun khác hai đầu (nếu có) của dãy.
Chẳng hạn, tại môđun Y, ta phải có:
Im(f) = Ker(g).
b) Một dãy khớp bất kì dạng:
f
g
0
Y
Z
X
0

gọi là một dãy khớp ngắn.
c) Một dãy khớp ngắn
f
g
0
Y
Z
X
0

đợc gọi là chẻ ra nếu imf = kerg là hạng tử trực tiếp của Y
Định lý 8: Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
f

g
G : 0
M
M''
M'
0 .

Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng:
i) Dãy khớp ngắn G là chẻ ra.
ii) Tồn tại một R - đồng cấu f 0 : M M' sao cho f 0 f = 1M'.
iii) Tồn tại một R - đồng cấu g 0 : M'' M sao cho gg 0 = 1M''.
Hơn nữa, khi đó ta có:
M Im(f) Ker(f 0) Ker(g) Im(g0) M' M''.
1.2. Các kiến thức cơ sở về vành

1.2.1- Phần tử luỹ đẳng, phần tử luỹ linh. Căn của vành
Định nghĩa 11: Cho vành R, có đơn vị.
(i) Phần tử x R đợc gọi là luỹ đẳng nếu x 2 = x.
(ii) Hệ các phần tử x 1 , x 2 , ..., x n R đợc gọi là hệ luỹ đẳng trực
giao nếu:
xixi = x i
và xixj = 0 , nếu i j

11


(iii) Phần tử x R đợc gọi là luỹ linh nếu tồn tại số nguyên dơng n
sao cho x n = 0. Số nguyên dơng bé nhất sao cho x n = 0 đợc gọi là bậc luỹ
linh của x.
Đối với phần tử luỹ linh của vành có đơn vị ta có các mệnh đề sau:

Mệnh đề 9: Nếu x là phần tử luỹ linh khác 0 của vành R có đơn vị 1
thì 1 - x là phần tử khả nghịch.
Chứng minh. Vì x là phần tử luỹ linh nên tồn tại số nguyên dơng n
sao cho x n = 0. Khi đó ta có 1 = 1 - x n = (1 - x)(x n-1 + xn-2 + . . . + 1) =
= (xn-1 + xn-2 + . . . + 1)(1- x).
Vì vậy 1- x là phần tử khả nghịch trong vành R.
(iv) Phần tử x R đợc gọi là thuộc tâm vủa vành R nếu xy = yx,

y

R. Tâm của vành R ký hiệu C(R).
Định nghĩa 12: Ta gọi iđean trái của một vành A là một nhóm con
(với phép cộng) B và thoả mãn AB B.
Khái niệm iđêan phải của vành A đợc định nghĩa tơng tự.
Nếu B vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của vành R thì B đ ợc gọi là
iđêan hai phía (hoặc đơn giản là iđêan) của R.
Một iđêan P của vành A đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu P A và nếu
I, J là những iđêan của A sao cho IJ P thì I P hoặc J P. Một iđêan P
của vành A đợc gọi là iđêan hoàn toàn nguyên tố nếu P A và nếu x,y A
mà xyP thì hoặc xP hoặc yP.
Nếu A là vành giao hoán thì khái niệm iđêan nguyên tố và khái niệm
iđêan hoàn toàn nguyên tố là trùng nhau.
Một iđêan T đợc gọi là tối đại nếu T A và nếu B là iđêan của A sao
cho T B A thế thì hoặc B = T hoặc B = A.
Định nghĩa 13: Cho A là vành có đơn vị. Ký hiệu tập hợp tất cả các
iđêan nguyên tố của A là Spec(A).

12

Ta gọi tập N(A) xác định bởi N(A) =

P

PSpec ( A )

là linh căn của A hay còn

gọi là căn luỹ linh của A.
Nhận xét: (theo [2])
Rad(M) =
=
Soc(M) =
=

T , T là môđun con tối đại của M.

A M

E , E chạy khắp tập môđun con bé của M.

EM

H , H chạy khắp tập các môđun con đơn của M

EM

A , A chạy khắp tập các môđun con cốt yếu của M.

A M

1.2.2. Nhúng một vành vào vành có đơn vị
Định lý 10: (Mở rộng Dorh) Mọi vành bất kỳ đều nhúng đợc vào
vành có đơn vị.
Phép chứng minh định lý trên đây của Dorh có thể tóm tắt nh sau:
Giả sử A là vành bất kỳ và Z là vành các số nguyên. Khi đó tập hợp A
x Z với các phép toán cho bởi:
(a, m) + (b, n) = (a+b, m+n)
(a, m) (b, n) = (na+mb +ab, mn), với mọi (a, m), (b, n) thuộc A x Z
lập thành một vành có đơn vị. Phần tử đơn vị của A x Z là (0, 1). Trong vành
A x Z có vành con A = {(a, 0) A xZ | aA} đẳng cấu với vành A. Do đó A
nhúng đợc vào vành A x Z là vành có đơn vị. Hơn nữa, A còn là một iđêan
của A x Z nên bởi phép nhúng này A đợc xem nh một iđêan của vành có đơn
vị A x Z.
1.2.3- Sự phân tích một vành thành tổng trực tiếp
Đối với một vành R ngời ta thờng xét đến hai sự phân tích R thành
tổng trực tiếp. Sự phân tích thứ nhất xét theo quan điểm cấu trúc vành và sự
phân tích thứ hai đợc xét theo quan điểm cấu trúc môđun, tức là sự phân
tích các môđun R R và RR thành tổng trực tiếp các iđêan phải hay các iđêan
trái tơng ứng. Vì các vấn đề về quan hệ giữa môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ
ảnh với môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc liên quan chủ yếu đến việc phân

13


tích một vành thành tổng trực tiếp theo quan điểm môđun nên chúng tôi chỉ
nhắc lại sự phân tích của RR và RR theo quan điểm thứ 2 ở trên.
Mệnh đề 11: Cho vành R có đơn vị 1
(a) Nếu R R có sự phân tích thành tổng trực tiếp các iđêan (A i )i I
RR =

Ai
i1

thế thì:
(i) Tồn tại tập hữu hạn F I sao cho R R=

Ai , (Ai 0)
iF

(ii) Với mỗi i F, tồn tại x i R mà Ai = xiR, trong đó hệ x 1, x2, ..., xn
luỹ đẳng trực giao với F = (1, 2, ..., n) và x 1 + x2 + ...+ x n = 1.
(iii) Nếu các Ai, i F là iđêan hai phía thì các x i (ở ii) thuộc vào tâm
của R.
b) Ngợc lại
Nếu vành R có hệ luỹ đẳng trực giao {x1, x2, ..., x n} và
x1 + x2 +... + xn = 1
thì
RR =

n

Ai
i =1

1.2.4- Iđêan linh hoá tử và môđun suy biến
Định nghĩa 14: Cho M là một R-môđun, mM. Tập hợp:
lR(m) = { rR | r.m = 0 }
đợc gọi là linh hoá tử của phần tử m
Nếu lR(m) là một iđêan trái cốt yếu của R thì m đợc gọi là phần tử

suy biến của môđun M. Tập hợp các phần tử suy biến của môđun M làm
thành một môđun con của M, đợc gọi là môđun con suy biến của M và kí
hiệu là Z(M). Môđun M đợc gọi là môđun suy biến nếu Z(M) = M, M đợc
gọi là môđun không suy biến nếu Z(M) = 0.

14


Định nghĩa 15: Cho R là một vành nào đó và S là tập con khác rỗng
của vành R.
Linh hoá tử phải của tập S trong R là
rR(S) := { xR | sx = 0, sS }.
Linh hoá tử trái của S trong R là
lR(S) := { xR | xs = 0, sS }
Nếu S chỉ gồm một phần tử sR ta viết r(s) hoặc l(s) tơng ứng.
Nhận xét: (theo [2])
Thì rR(X) và l R(X) lần lợt là những iđêan phải và trái của vành R.
1.2.5- Các điều kiện chuỗi trên vành.
Cho X là tập sắp thứ tự bởi (tơng ứng ). Ta nói X thoả mãn điều
kiện chuỗi tăng (tơng ứng, giảm) nếu mọi chuỗi tăng
x1 x2 ... xn ...
(tơng ứng x 1 x2 ... xn ...)
Tồn tại chỉ số n sao cho x n = xn+1 = ...
Điều kiện chuỗi tăng (tơng ứng, giảm) đợc ký hiệu ACC (tơng ứng
DCC)
1.3- Kết luận chơng 1
Trong chơng này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm của Lý thuyết
môđun và hệ thống hoá các kiến thức về vành để làm cơ sở cho việc trình
bày chơng sau. Các kết quả trình bày trong chơng đều đợc chọn trong các
tài liệu tham khảo [1], [2]... [11].

15


Chơng 2
Môđun xạ ảnh
và Một số mở rộng của môđun xạ ảnh
2.1- Môđun xạ ảnh
Định nghĩa 1: Ta gọi môđun P là môđun xạ ảnh nếu với mọi môđun
A, B và toàn cấu g: A B, mọi đồng cấu f: P B luôn tồn tại đồng cấu
h: P A sao cho gh = f.
Khái niệm môđun xạ ảnh còn đợc định nghĩa bởi thuật ngữ sơ đồ
giao hoán nh sau:
Môđun P đợc gọi là môđun xạ ảnh nếu mọi sơ đồ các đồng cấu môđun
sau đây với f và g là toàn cấu luôn bổ sung đơc một đồng cấu h sao cho sơ
đồ trở thành sơ đồ giao hoán, tức là gh = f.
P
h

f

g
A
B

Các mệnh đề sau đây làm rõ mối quan hệ giữa môđun tự do với
môđun xạ ảnh và một số tính chất của môđun xạ ảnh. Các mệnh đề này đ ợc
hệ thống hoá từ các tài liệu tham khảo [1], [3], [4].

16

Mệnh đề 1: Mọi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh. Tuy nhiên điều
ngợc lại không đúng.
Mệnh đề 2: Hạng tử trực tiếp của môđun xạ ảnh là một môđun xạ ảnh.
Mệnh đề 3: Tổng trực tiếp bất kì những môđun xạ ảnh là môđun
xạ ảnh.
Định lý 4: Với một môđun X tuỳ ý và tự đồng cấu đồng nhất i của X,
các phát biểu sau là tơng đơng:
(i) X là môđun xạ ảnh.
f
g
(ii) Mọi dãy khớp ngắn các môđun 0
V
X
U
0

đều chẻ ra;
(iii) X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun tự do.
(iv) Mọi toàn cấu môđun g: A B ánh xạ
g* = Hom(i, g): Hom(X, A) Hom(X, B) cũng là toàn cấu
môđun;
(v) Với mọi dãy khớp ngắn các môđun 0 B C 0, dãy
0 Hom(X, A) Hom(X, B) Hom(X, C) 0
cũng là dãy khớp ngắn.
Sau đây chúng tôi chứng minh một số kết quả đợc cho trong các sách
tham khảo không kèm theo chứng minh.
Mệnh đề 5: Nếu X là môđun xạ ảnh và A, B, C là các môđun cho tr ớc
cùng với các đồng cấu môđun f: A B; g: B C; h: X B sao cho imf =

Kerg và gh = 0 thì tồn tại đồng cấu môđun k: X A sao cho fk = h.
Chứng minh. Thật vậy, vì gh = 0 nên Imh Kerg = Imf nên
Imh Imf. Xét các đồng cấu f: A Imf và h: X Imf ta có f là toàn

17


cấu. Do giả thiết X là môđun xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu k: X A sao cho
fk = h.
Mệnh đề sau đây mở rộng Mệnh đề 7 về môđun tự do.
Mệnh đề 6. Cho A là môđun con của môđun M. Nếu môđun thơng
M/A là xạ ảnh thì A là một hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. Xét biểu đồ tam giác trong đó f: M M/A là phép
chiếu tự nhiên và h: M/A M/A là ánh xạ đồng nhất. Khi đó do M/A là xạ
ảnh nên tồn tại đồng cấu k: M/A M sao cho fk = h. Vì h là đồng cấu
đồng nhất nên theo tính chất các đồng cấu môđun ta có M = Imk Kerf. Vì
Kerf = A nên A là hạng tử trực tiếp của M.
2.2- Môđun a - xạ ảnh

Trong mục 2.1 chúng tôi đã hệ thống hoá những kết quả về các
môđun tự do và môđun xạ ảnh. Thực tế lớp môđun xạ ảnh là một mở rộng
thực sự của lớp môđun tự do. Trong mục này chúng tôi tiếp tục hệ thống
hoá một số kết quả về các lớp môđun mở rộng của lớp môđun xạ ảnh.
Khi xét khái niệm môđun xạ ảnh ta đã xét các điều kiện đặt ra đối với
môđun P trong mối quan hệ với tất cả các môđun trên vành R. Trong mục
này chúng ta chỉ xem xét các điều kiện ràng buộc mối quan hệ của môđun
đó đối với chỉ một môđun A cụ thể.
Định nghĩa 2: Giả sử N và A là các môđun trong Mod-R. Môđun N
đợc gọi là A - xạ ảnh nếu với mỗi môđun con X của A, với mọi đồng cấu
f : N A/X , luôn tồn tại ít nhất một R-đồng cấu g : N A sao cho biểu

đồ sau giao hoán:
N
g

f


A
A/X .

18


Nghĩa là 0g = f , trong đó : A A/X là đồng cấu tự nhiên
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng:
Môđun M là xạ ảnh nếu và chỉ nếu M là A - xạ ảnh với mọi môđun A.
Sau đây chúng tôi tổng hợp một số kết quả về các môđun A- xạ ảnh.
N đều
Mệnh đề 7: Nếu N là A- xạ ảnh thì mọi toàn cấu : A

chẻ ra. Trờng hợp đặc biệt, nếu môđun A không phân tích đợc thì là một
đẳng cấu.
A sao
Chứng minh. Do N là A- xạ ảnh tồn tại đồng cấu : N
cho biểu đồ sau giao hoán:

N

1P


A
A/ker N

Tức là: = 1P đơn cấu.
Mặt khác:
- Lấy bA tuỳ ý,
Vì là toàn cấu
khi đó (b - 0 (b)) = (b)- 0( 0 (b)) = (b)- 0 0( (b)) = 0
Nghĩa là (b - 0 (b)) = b1ker .
Vậy A = Ker + Im .
a ker (a ) = 0

- Lấy a Ker Im a Im x A : ( x) = a

0 = 0( (x) = 0 (x) = x a = 0
N chẻ ra.
Vậy A = Ker Im toàn cấu : A

19


Mệnh đề 8: Nếu môđun N là A-xạ ảnh và B môđun con của A thì N
là B - xạ ảnh và là A/B - xạ ảnh.
Chứng minh: Trớc hết ta chứng minh N là B - xạ ảnh
Thật vậy, xét biểu đồ:
Trong đó: i, j là phép nhúng đồng nhất
, ' là phép đồng cấu tự nhiên

X là mô đun con bất kỳ khác 0 của B
f: N
B X là đồng cấu bất kỳ.
N
g

f


B
B
X

j

g'

i

A

A
X
'

'
Do N là A - xạ ảnh tồn tại đồng cấu g ' : N
A sao cho 0g' = j 0f

x N ta có ' 0(g'(x)) = j 0f(x)
' 0(g'(x)) = j 0(f(x)) = f(x)
g'(x) B

Vậy g' thực chất là đồng cấu từ N
B.

N

Lấy g = g ' , khi đó g là đồng cấu cần tìm ( tức 0g = f) N là B - xạ ảnh.
Tiếp theo ta chứng minh N là A/B-xạ ảnh
Thật vậy, xét biểu đồ:
g

g'
A

A




'

20

f


B

(A )
B

hf
(X )
B




h

A

X


Trong đó 0 X

A , , là các đồng cấu tự nhiên, h là đẳng cấu
'

h0 0 ' : A
A X là đồng cấu tự nhiên.

Lấy h0f: N
A X .

Do N là A - xạ ảnh g': N
A sao cho:
h0 ' 0g' = h0f 0 ' 0g' = h-10h0f = f
chọn g = ' 0g': N
A B g là đồng cấu và 0g = f

Vậy N là A B - xạ ảnh.

Pi là môđun A- xạ ảnh khi và chỉ

Mệnh đề 9: Tổng trực tiếp P =

I

khi Pi là A-xạ ảnh, i I.
Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh điều kiện cần. Giả sử
=

Pi là A- xạ ảnh , ta chứng minh iI, Pi là A-xạ ảnh.
I

Thật vậy, xét biểu đồ sau với dòng khớp:

P=

Pi
I

pi

ji

f

Pi
ki

21

fi

P


g
A
B
0 ,

Trong đó j i : Pi
Pi là phép nhúng chính tắc; p i:

I

Pi
I


Pi là phép

chiếu chính tắc (p i(xi)I = xi) và f i: Pi
B là một đồng cấu tuỳ ý.
Vì P là A-xạ ảnh nên đối với đồng cấu f ipi: P
B, tồn tại một đồng cấu
f: P
A sao cho ta có f ipi = gf.
Đặt ki = fj i , khi đó
gki = gfj i = fipij i = fi.
Do pij i = 1P i . Vậy Pi là A-xạ ảnh.
Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ: Giả sử với mỗi iI, Pi là A-xạ

Pi của chúng cũng là A-xạ ảnh.

ảnh ta chứng minh tổng trực tiếp P =

I

Thật vậy, xét biểu đồ giao hoán (*) với dòng khớp.
Trong đó f: P
B là đồng cấu bất kỳ, vì P i là A-xạ ảnh nên với
đồng cấu fj i: Pi
B tồn tại một đồng cấu h i: P i
A sao cho ta có:
i = gh i .

fj

Rõ ràng họ đồng cấu (h i)I luôn xác định. Theo tính chất của tổng trực
tiếp, tồn tại ánh xạ tuyến tính h:

Pi
I


P i sao cho h i = hj i với mọi iI.

Pi
hi

ji
P= Pi
I

h

f

g
A
B
0,

22

(*)


Khi đó ta có:
iI , ghj i = ghi = fj i gh = f.
Vậy P là A-xạ ảnh.

Theo [6], ta có mệnh đề:
n

Mệnh đề 17: Môđun N là ( Ai)-xạ ảnh (n N) nếu và chỉ nếu N là
i =1

Ai-xạ ảnh, i = 1,2,...,n.
Khẳng định trong mệnh đề 17 không đúng trong trờng hợp tổng trực
tiếp của vô hạn các Ai. Sau đây là phản ví dụ.
Ví dụ: Cho I là tập vô hạn, giả sử Ai = Z i I. Hiển nhiên Q là Aixạ ảnh tồn tại toàn cấu từ

Ai
iI


Q. ánh xạ này không thể mở rộng

vì QZ không phải là môđun xạ ảnh.
Do vậy, Q không phải là ( Ai)-xạ ảnh (theo mệnh đề 17).
iI

Trong trờng hợp N là hữu hạn sinh thì mệnh đề 17 có thể mở rộng cho
trờng hợp vô hạn.
Mệnh đề 18: Cho I là một tập tuỳ ý và N là hữu hạn sinh và A i-xạ
ảnh i I. Khi đó N là ( Ai)-xạ ảnh.
iI
Chứng minh: Giả sử X

Ai
iI

. Thế thì

Ai = (A i + X)/X. Với mọi đồng cấu : N
__

__

( Ai)/X

= Ai , với

iI

__

Ai , Im
i I

i I

__

Ai với F là tập
i F

con hữu hạn sinh nào đó của I. áp dụng mệnh đề 17 cho tổng trực tiếp hữu
hạn

__

Ai ta có điều phải chứng minh.
i F

Từ mệnh đề 16 và mệnh đề 17 ta có các hệ quả sau:

23


Hệ quả 1: Tổng trực tiếp các môđun xạ ảnh là môđun xạ ảnh.
Định nghĩa 4: Môđun M đợc gọi là tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) nếu M
là M-xạ ảnh.
Hệ quả 2: Một tổng trực tiếp hữu hạn

n

Mi là tựa xạ ảnh nếu và chỉ
i =1

nếu Mi là Mj-xạ ảnh (i,j = 1,2,...,n). M n là tựa xạ ảnh nếu và chỉ nếu M là
tựa xạ ảnh.
Định nghĩa 5: (a) Miền xạ ảnh của môđun M là tập tất cả các môđun
A sao cho M là A-xạ ảnh.
(b) Lớp xạ ảnh của môđun M là tập tất cả các môđun N sao cho N
là M-xạ ảnh.
(c) Các môđun M và N đợc gọi là xạ ảnh tơng hổ (hoặc xạ ảnh lẫn
nhau) nếu N là M-xạ ảnh và M là N-xạ ảnh.
Hệ quả 3: (i) Miền xạ ảnh của một môđun luôn đóng kín với tổng trực
tiếp hữu hạn.
(ii) Lớp xạ ảnh của các môđun là khép kín đối với môđun con và

môđun thơng và tổng trực tiếp tuỳ ý các môđun.
2.3- Bao xạ ảnh của một môđun
2.3.1- Khái niệm bao xạ ảnh của môđun
Định nghĩa 6: Một cặp (P,p) đợc gọi là bao xạ ảnh của môđun M,
nếu P là một xạ ảnh và p: P M đồng cấu sao cho Kerp là một môđun con
bé của P.
Chúng ta biết rằng mỗi môđun luôn tồn tại bao nội xạ và đó là mở
rộng cốt yếu tối đại của môđun đó. Tuy nhiên bao xạ ảnh của một môđun
không nhất thiết tồn tại
Ví dụ: Z-môđun Z không có bao xạ ảnh nhng có bao nội xạ là Q.
Định lý 19: Giả sử M có bao xạ ảnh là cặp (P,p) và Q là môđun xạ
ảnh, q: Q
M là một toàn cấu. Khi đó Q có sự phân tích Q = P P
sao cho:

24


(i) P P
(ii) P là môđun con của ker(q).
(iii) (P ; q |P) là một bao xạ ảnh của môđun M.
Hơn nữa nếu f: M 1
M2 là một đẳng cấu và nếu cặp (P 1; p1) là
bao xạ ảnh của M 1, (P2, p2) là bao xạ ảnh của M 2 thì tồn tại một đẳng cấu
P 2 sao cho p 2 0 f = f
f : P1

0

p1

Chứng minh: Từ tính xạ ảnh của Q ta có biểu đồ giao hoán với hàng
và cột là khớp:
Q
h

q

P

M

O

p
O
Từ p là một toàn cấu và p 0h = q là toàn cấu đầy h là một toàn cấu.
Nhng do P là môđun xạ ảnh h là toàn cấu chẻ ra. Do vậy tồn tại một đơn
cấu g: P
Q sao cho h 0 g = 1 P và do đó Q = im(g) ker(h).
Đặt P' = im(g) và P" = ker(h), khi đó ta thấy:
(i) thoả mãn vì g là đơn cấu.
(ii) thoả mãn vì p 0h = q.
(q|P ')
Mặt khác ta lại có q(P') = q(Q) = M, do đó P'
M
O là khớp
và đây là một bao xạ ảnh vì q 0g = p0h0g = p.
Điều này suy ra từ ker(q|P ') = g(ker(p)) là môđun con đầy của g(P) = P'.
Do vậy (iii) thoả mãn.

25