Hệ thống bài tập điện động lực phần trường từ dừng và trường chuẩn dừng

trờng đại học vinh
khoa vật lí

luận văn tốt nghiệp đại học

hệ thống bài tập điện động lực

phần trờng từ dừng và
trờng chuẩn dừng

Giáo viên hớng dẫn : cô lê thị thai
vinh

Sinh viên thực hiện : đoàn thế ngô
Lớp: 42a

Khoa : vật lí


2
Vinh 2005

mở đầu
Điện động lực học là bộ môn của vật lí lí thuyết . Nó nghiên cứu những
quy luật tổng quát nhất của điện từ trờng và các hạt tích điện . Điện động lực đợc xây dựng trên cơ sở những tiên đề là hệ các phơng trình Maxwell . Những tiên
đề cơ bản của điện động lực học đợc thành lập do khái quát hoá những kết quả
thực nghiệm . Các kết luận của điện động lực học rút ra từ những tiên đề đó bằng
cách suy luận lôgic , bằng chứng minh toán học
Việc học tập môn Điện động lực cũng nh các môn học Vật lí khác, ngoài
phần nghiên cứu lí thuyết ngời học cần thiết phải tiến hành giải các bài tập.
Việc giải các bài tập giúp ngời học vận dụng lí thuyết và củng cố hoàn thiện kiến

thức lí thuyết . Muốn giải đợc bài tập cần có phơng pháp giải. Với mỗi dạng bài
tập có một hoặc nhiều phơng pháp giải khác nhau . Vì thế việc xây dựng và lựa
chọn phơng pháp giải hợp lí cho mỗi dạng bài tập là rất cần thiết . Nhìn chung
bài tập điện động lực là đa dạng phong phú và có nhiều phơng pháp giải khác
nhau . Hiện nay tài liệu tham khảo khi học môn điện động lực là không nhiều và
nói chung các bài tập trong đó cha đợc sắp xếp phân loại thành hệ thống theo
các phơng pháp giải , đồng thời các lời giải cũng cha đợc cụ thể. Từ thực trạng
đó đề tài này có nhiệm vụ phân loại và sắp xếp các bài tập một cách có hệ thống
theo các phơng pháp giải bài tập . Tuy nhiên trong phạm vi một luận văn tốt
nghiệp đề tài chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu các loại bài tập cơ bản của hai ch ơng trờng từ dừng và trờng chuẩn dừng đồng thời đa ra các phơng pháp cơ bản
để giải chúng. Vì vậy tôi đã chọn đề tài : Hệ thống bài tập điện động lực phần
trờng từ dừng và trờng chuẩn dừng
Nội dung cơ bản của luận văn này gồm hai chơng


3
Chơng I : trờng từ dừng .
Chơng I trình bày ba loại bài tập cơ bản của trờng từ dừng :
*

Biết từ trờng tìm phân bố dòng gây ra trờng .

*

Biết phân bố dòng xác định trờng do nó gây ra .

*

Tính lực từ tác dụng lên dây dẫn .
Chơng II : trờng chuẩn dừng.

Chơng II trình bày hai loại bài tập thờng gặp là :
*

áp dụng định luật cảm ứng điện từ để tìm suất điện động cảm ứng và dòng

cảm ứng.
* áp dụng phơng trình vi phân đối với mạch điện chuẩn dừng.
Bố cục mỗi chơng gồm hai phần :
Phần cơ sở lí thuyết : phân loại bài tập và nêu các phơng pháp giải bài tập,
các công thức toán học có liên quan tới quá trình giải bài tập.
Phần bài tập : các bài tập đợc sắp xếp theo các phơng pháp giải. Các bài tập
đa ra đều có lời giải cụ thể và trong quá trình giải đã chú í đến các phép biến
đổi trung gian phức tạp .
Trong bản luận văn này các đại lợng vécto đợc viết bằng chữ in đậm.
Vì kinh nghiệm của bản thân còn ít nên bản luận văn này không tránh
khỏi các thiếu sót , rất mong đợc sự đóng góp í kiến xây dựng của các thầy cô
giáo và anh chị em sinh viên .
Cuối cùng em xin chân thành cám ơn cô giáo Lê Thị Thai đã trực tiếp hớng dẫn em hoàn thành bản luận văn này ./.
Vinh , tháng 5 năm 2005.
Đoàn Thế Ngô Vinh


4

trờng từ dừng

Chơng I

A . cơ sở lí thuyết

1 . Ba loại bài toán cơ bản của từ trờng dừng:
Bài toán 1 : Cho biết từ trờng, tìm sự phân bố các dòng dừng sinh ra từ trờng đó.
Bài toán 2 : Cho biết sự phân bố các dòng dừng , phải tìm từ trờng do
chúng gây ra.
Bài toán 3 : Tìm lực từ tác dụng trong từ trờng dừng , kèm theo đó là
một số bài toán khác về tính hệ số tự cảm , hỗ cảm.
2 . Phơng pháp giải bài tập
Bài toán 1: Khi biết từ trờng H ta dễ dàng tìm đợc sự phân bố dòng điện nhờ
các phơng trình sau :
j = rotH
i = n ì (H 2 H 1 )
Trong đó j là mật độ dòng điện khối ; i là mật độ dòng điện mặt tại mặt phân
cách .
Đây là loại bài toán không phức tạp lắm , có thể giải nó theo các bớc sau
_ Chọn hệ toạ độ thích hợp
_ Sử dụng phơng trình j = rotH

để tìm mật độ dòng tại mỗi điểm

_Tại các mặt phân cách giữa hai môi trờng dùng điều kiện biên n ì (H2 - H1 ) = i
để tìm mật độ dòng mặt .


5
Bài toán 2:

Bài toán tìm từ trờng khi biết sự phân bố dòng có thể giải bằng

các phơng pháp sau :
Phơng pháp 1: tính từ trờng nhờ định luật Biô - Xava:

Nếu có dòng điện chảy trong thể tích V nào đó với mật độ dòng j thì vectơ cảm
ứng từ do nó gây ra tại điểm quan sát

B=

r
jì
dV
4 r 3



V

r bán kính vectơ từ nguyên tố thể tích dV đến điểm tính từ trờng
Nếu chỉ có dòng điện mặt chảy trên mặt S nào đó thì

B=

r
iì
dS
4 r 3


S

r bán kính vectơ từ nguyên tố diện tích dS đến điểm tính từ trờng
Nếu dòng chảy trong dây dẫn (vật dẫn có tiết diện rất bé so với chiều dài vật ),
mật độ dòng điện phân bố đều theo tiết diện của dây _ dòng điện nh vậy gọi là

dòng tuyến tính. Khi đó :

B=

I
4



L

r

d
l
ì

r 3

r bán kính vectơ từ dl đến điểm tính từ trờng
Phơng pháp tính từ trờng nhờ định luật Biô - Xava là phơng pháp tổng quát thờng đợc áp dụng cho các dây dẫn hoặc mặt dẫn có biểu thức giải tích cụ thể. Phơng pháp này có các bớc giải sau :
_ Chọn hệ toạ độ thích hợp.
_ Chia dòng điện thành các yếu tố I dl hay i dS rồi xác định dB do các yếu tố I dl
hay i dS gây ra tại điểm tính trờng
_ Lấy tích phân dB theo toàn bộ dây dẫn hoặc mặt dẫn sẽ đợc kết quả cần tìm.
Phơng pháp này đối với một số bài toán sẽ gặp phải những phép tính phức tạp


6

Phơng pháp 2: tính từ trờng nhờ định luật dòng toàn phần :
Lu thông của vectơ cờng độ từ trờng theo một đờng cong kín bằng tổng đại số
của các dòng điện chảy xuyên qua đờng cong kín đó
N

Ii
Hdl =
i=

L

1

Phơng pháp tính từ trờng nhờ định luật dòng toàn phần là phơng pháp giải ngắn
gọn , đơn giản tuy nhiên nó chỉ áp dụng có hiệu quả cho các dòng điện phân bố
đều trên các vật dẫn có hình dạng đặc biệt (các mặt dẫn vô hạn hoặc các dây dẫn
hình trụ vô hạn ). Trờng sinh ra có tính chất đối xứng
Các bớc giải của phơng pháp này:
_ Chọn đờng cong kín lấy tích phân thích hợp , thờng chọn :
* Đờng cong này đi qua điểm tính trờng
* Taị mỗi điểm trên đờng cong đó vectơ cờng độ từ trờng có độ lớn nh nhau
* Tại mỗi điểm trên đờng cong vectơ cờng độ từ trờng có phơng trùng với
phơng tiếp tuyến của nó hoặc có phơng vuông góc với dl
_ Xác định tổng đại số các dòng xuyên qua diện tích giới hạn bởi đờng cong kín
rồi áp dụng định luật dòng toàn phần từ đó suy ra cờng độ từ trờng
Phơng pháp 3: tính từ trờng qua thế vecto A
Phơng trình Poisson đối với thế vectơ 2 A = j
ở những điểm có j = 0 phơng trình Poisson trở thành phơng trình Laplac
2A = 0
Tích phân các phơng trình trên ta có thế vectơ A rồi tìm từ trờng nhờ phơng trình

B = rotA
Phơng pháp tính từ trờng qua thế vecto A cũng là một phơng pháp tổng
quát . Nhng nó chỉ thờng áp dụng cho các dây dẫn hình trụ dài vô hạn có


7
dòng điện phân bố đối xứng trụ , vì vậy thế vectơ và từ trờng cũng có tính chất
đối xứng trụ . Phơng pháp này có các bớc giải sau :
_ Chọn hệ toạ độ thích hợp ( thờng là hệ toạ độ trụ).
_ Viết các phơng trình Poisson 2 A = j và phơng trình Laplac 2 A = 0
_ Tích phân các phơng trình trên ta có thế vectơ A rồi tìm từ trờng nhờ phơng
trình B = rotA
_ Các hằng số tích phân đợc xác định nhờ điều kiện liên tục của thế và các điều
kiện biên .
Bài toán 3:

Tìm lực từ tác dụng trong từ trờng dừng , kèm theo đó là một số bài

toán khác về tính hệ số tự cảm , hỗ cảm .
Để tính lực tác dụng lên vật dẫn mang dòng điện đặt trong từ trờng có hai
phơng pháp :
Phơng pháp 1 : tính trực tiếp nhờ định luật Ampe .

Yếu tố dòng j dV đặt vào từ trờng B thì lực từ tác dụng lên nó là :
dF = [ j ì B] dV
Nếu là dòng tuyến tính đặt vào từ trờng B thì lực từ tác dụng lên yếu tố

dòng I dl là

dF = I[ dl ì B ]

Lực tác dụng lên đoạn dây dẫn chiều dài l mang dòng I đặt trong từ tr ờng B

F=I

[ dl ì B]
l

Phơng pháp 2: Nếu có một mạch kín mang dòng I thì có thể tính lực từ
tác dùng lên nó qua hàm năng lọng W bằng biểu thức F = grad W
Với W = -I trong đó là thông lợng của từ trờng ngoài gửi qua diện tích giới
hạn bởi mạch kín mang dòng I


8
ở đây có thêm dạng bài tập tính năng lợng của một hệ dòng dừng và các hệ
số cảm ứng . Năng lợng từ trờng của một dây dẫn tuyến tính khép kín mang dòng
I:

W=

1
AIdl
2l



A là thế vecto của dòng gây ra tại yếu tố I dl
Nếu hệ có n dòng tuyến tính thì năng lợng từ trờng của hệ dòng

n

1
W=
AI i dl i
2 i =1


li

A là thế vecto của hệ dòng kể cả dòng Ii gây ra tại yếu tố I dl i
đặt

l Adli = S BdSi = i

i gọi là thông lợng cảm từ của hệ dòng gửi

i

i

qua diện tích Si . Ta có
Thay A =

W=

à Ik
dl
4 r k

k

1
2

i Ii
i

W=

thì

1
2


i

Ii I k

k


4



li l k

dl i dl k
r

r là khoảng cách từ dl i đến dl k


L
=
Đặt
ik
4
Suy ra



li l k

dl i dl k

ta có

r
i =

Ik Lik
k

W=

1

2

Ii Ik Lik

(*)

ik

(**)

Lik gọi là hệ số cảm ứng của dòng điện , nó chỉ phụ thuộc vào hình dạng kích th ớc và sự sắp xếp vật dẫn mà không phụ thuộc vào dòng điện chảy trong chúng
i = k Lik gọi là hệ số tự cảm
i k Lik gọi là hệ số hỗ cảm
Hệ số tự cảm và hệ số hỗ cảm có thể tính trực tiếp từ công thức


9

Lik =


4



li l k

dl i dl k
r

hoặc có thể suy ra từ (*) và (**)

2 W
Lik =
L ik =
,
Ik
Ii I k
Trong trờng hợp chỉ có một dây dẫn các công thức trên trở thành

2W
,
L=
I2

L=


I

3. phụ lục toán
Các công thức vi phân trong hệ toạ độ cong trực giao

dl = h1dx1e1 + h2 dx2e 2 + h3 dx3e 3
dS = h2 h3 dx2 dx3e1 + h1h3 dx1dx3e 2 + h1h2 dx1dx2e 3
dV = h1h2 h3 dx1dx 2 dx3

2 =

1

h1h2 h3

h2 h3 h1h3 h2 h1


+

+

x1 h1 x1 x2 h2 x 2 x3 h3 x3

2 A = 2 A1e1 + 2 A2 e 2 + 2 A3e 3
ìA =




1
( h3 A3 ) ( h2 A2 ) e1 + 1 ( h1 A1 ) ( h3 A3 ) e 2 +

h2 h3 x2
x3
h1h3 x3
x1



1

(

)
(
)
+
h
A

h
A
2 2
1 1 e 3
h2 h1 x1
x2


h1e1
1

=
h1h2 h3 x1
h1 A1

h2 e 2

x2
h2 A2

h3e 3

x3

h3 A3

Trong đó h1 , h2 , h3 là các hệ số Lame , e1 ; e 2 ; e 3 là các vectơ đơn vị
Trong hệ toạ độ trụ (r , ,z) thì

x1 = r ; e1 = e r ; h1 = 1
x2 = ; e 2 = e ; h2 = r
x3 = z ; e 3 = e z ; h3 = 1


10
Trong hệ toạ độ cầu (r,,)

B . bài tập

x1 = r ; e1 = e r ; h1 = 1
x1 = ; e 2 = e ; h2 = r
x3 = ; e 2 = e ; h3 = r sin

Loại bài tập 1 : Cho biết từ trờng , tìm sự phân bố các dòng dừng
sinh ra từ trờng đó .
1.1

Từ trờng H cho trong hệ toạ độ trụ có dạng
re

H = a 2
e

r

ra

r>a

Tìm sự phân bố dòng điện.
Bài giải
Xét trong hệ toạ độ trụ đã cho
_ Miền r < a

er
1
j1 = rotH =
r r
0

re


rr

ez

= 2 ez
z
0

_ Miền r > a

er

1
j2 = rotH =
r r

re
ez


=0

z
a2
0 r
0
r
_ Tại r = a áp dụng điều kiện biên i = n ì (H 2 H1 )
ở đây mặt phân cách là mặt trụ trục Oz bán kính a nên n = e r


a2

i = e r ì
a e = 0
a



11
Vậy dòng điện phân bố đều trong hình trụ dài vô hạn bán kính a với mật độ dòng

j = 2e z

1.2

Từ trờng H cho trong hệ toạ độ trụ có dạng

0


a2
e
H = r
r


(b 2 a 2 )

e

r

( r < a)
( a r < b)
( r b)

Hãy tìm sự phân bố dòng điện.
Bài giải
Xét trong hệ toạ độ trụ đã cho
_ Miền

r < a

_ Miền

a < r < b

j1 = rotH = rot 0 = 0

er
1
j2 = rotH =
r r
0
_ Miền

r > b
er
1
j3 = rotH =
r r

re
ez


= 2 ez

z

a2

0
r r
r



re
ez


=0

z
(b 2 a 2 )
0 r
0
r
_ Tại r = a và r = b áp dụng điều kiện biên i = n ì (H 2 H1 )


12

r=a
r = b


a2
e = 0
i = e r ì a
a

2
2
(b a )
a2
e = 0
i = e r ì
b
b
b




Vậy dòng điện phân bố đều trong dây dẫn dài vô hạn giới hạn bởi hai mặt trụ
đồng trục bán kính a và b ( a < b ) với mật độ dòng

1.3

j = 2e z

( a < r < b)

j=0

( r < a , r > b)

Từ trờng H cho trong hệ toạ độ trụ có dạng
r

0

H =
r e

r>a

Hãy tìm sự phân bố dòng điện.
Bài giải
Xét trong hệ toạ độ trụ đã cho
- Miền r < a

j1 = rotH = rot 0 = 0

- Miền r > a

er
1
j = rotH =
r r
0
- Tại r = a

re


r
r

ez

=0
z
0

áp dụng điều kiện biên i = n ì (H 2 H1 )


13




i = e r ì 0 e = e z
a
a


Mật độ dòng điện mặt

Vậy dòng điện phân bố đều trên mặt trụ dài vô hạn bán kính a với mật độ

i=

dòng điện mặt


e
a z

1.4 Biết rằng :
1 . Mật độ j của dòng điện dừng song song với trục Oz và chỉ phụ
thuộc vào khoảng cách r đến trục đó.
2 . Lu số C của vectơ H dọc theo chu tuyến phẳng bán kính r vuông
góc với trục Oz , có tâm trên trục này tỉ lệ bậc 3 với r C = r3.
Hãy tìm j(r).
Bài giải
Mật độ dòng j có tính chất đối xứng trụ nên trờng do nó sinh ra cũng có tính
chất đối xứng trụ . Vì vậy xét bài toán trong hệ toạ độ trụ . Ta có

Hdl = 2 r = r

3

l

Có thể viết lại dạng vectơ



r2
=
2

r2
=
e
2

Vectơ mật độ dòng

er
1
j = rotH =
r r
0

re


r2
r
2

ez

3
=
re
z 2 z
0


14

Loại bài tập 2 : Biết sự phân bố dòng , xác định từ trờng do nó
gây ra .
Phơng pháp 1 : Tính từ trờng nhờ định luật Biô - Xava .
1.5 Tính cờng độ từ trờng của một dòng điện thẳng có chiều dài 2L

và cờng độ I . Xét trờng hợp giới hạn khi L .
Bài giải
Chọn hệ toạ độ trụ có trục
Oz dọc theo dây dẫn , chiều dơng
trùng với chiều dòng điện , gốc O
trùng với trung điểm của dây. Xét
trờng tại một vị trí (R,,) bất
kì .
Theo định luật Biô - Xava
L

I [ dl ì r ]
H=
4 L r 3
dl = dze z
Trong đó



r = R e r + ( Z - z )e z
r = R 2 + (Z - z) 2


[ dl ì r ] = R dze


15

I L
Rdz

H=
4 L R 2 + ( Z - z ) 2

(


L

Tính J =

(R

L

Rdz
+ (Z - z)2

2

1
Z L



1
Z +L

=

R R 2t 2 + 1

H=

2

z = Lt =
1
Z L

Rdt
1

t2R2 + 2
t


1
Z L

1

Vậy

3

1
Z +L

=

1

dt
= Z z dz = 2
t
t

đặt

1
;
Z+L

z = L t =
J=

)

)


e
3
2


3

2

=

1
Z +L

1
Z L
Rtdt

(R t + 1)
2 2

3

2

1
=
2R

1
Z L



1
Z +L

d (R 2t 2 )
(R t + 1)

2 2

3

2

=


1
Z+L
Z L



2
2
R R 2 + ( Z + L ) 2
R + ( Z L )


I
LZ
L+Z
+

e
2
2
4 R R 2 + (L Z) 2

R + (L + Z)

Khi L thì
H=

I
e
2 R

1.6 Tính cờng độ từ trờng trên trục của một dòng điện tròn bán kính
r0 và cờng độ dòng điện I.
Bài giải


16
Xét trong hệ toạ độ trụ gốc O trùng với tâm vòng tròn , trục Oz trùng với trục
vòng tròn . áp dụng định luật Biô - Xava ta có

H=

Cờng độ từ trờng tại điểm có toạ độ Z trên trục Oz
Trong đó

dl = r0 d e

r = Ze z r0e r ,

r = r02 + Z 2

[ dl ì r ] = r0 Z [d e ì e z ] r02 d [e ì e r ] =

[

]

= r0 Z d e ì e z + r02 d e z


I
2
r0 Z d e ì e z + r0 d e z
Vậy H =
3
4r

L
L


[

[

]

]

r0 Z d e ì e z = r0 Z d e ì e z = r0 Z 0 ì e z = 0
*

L

L




*

[



r d e z = 2 r e z
2
0

L

2
0

2

Vậy

Ir0 e z
I
2
r
e
H =
2 0 z =
4r 3
2 r02 + Z 2

1.7
Một dây dẫn có hình
xoáy ốc phẳng có phơng trình
trong hệ toạ độ cực là
r=

L
N là số vòng dây , L
2N

là chiều dài bán kính vectơ kẻ
từ tâm xoáy đến đầu ngoài

(

)

3

2

]

I
4



L

[ dl ì r ]
r3


17

cùng dây dẫn . Trong dây có dòng điện I chảy từ tâm xoáy ra ngoài.
Tính thành phần cảm ứng từ trên trục dây dẫn cách mặt phẳng dây
dẫn một đoạn Z .
Bài giải
Chọn hệ toạ độ Đềcác vuông góc trục Oz trùng với trục dây dẫn . Cảm ứng từ dB
tại điểm (0,0,Z) do yếu tố dòng I dl gây ra là dB =

0I
[ dl ì R ]
4 R3

dl = dxi + dyj

Trong đó

R = Zk r = Zk xi yj

R = r2 + Z 2

,

i
j k
[ dl ì R ] = dx dy 0 = Zdyi Zdxj + ( xdy ydx)k
x y Z

0I
( xdy ydx) (*)
4 R3

dBz =

Trong hệ toạ độ cực ta có
x = r cos

dx = cos dr r sin d

y = r sin

dy = sin dr + r cos d

Thay vào (*) ta có

0 I r 2 d
dBz =
4 r 2 + Z 2

(

Bz =



L
L

(r
0

NI
dBz = 0
2L

r 2 dr
2

+ Z2

L

)

3

2

=

)

3

Mặt khác r =

2

L

(r
0

(r
0

r 2 dr
2

+Z

dr
2

+ Z2

2

)

3

2

L

)

L
2N
d =
dr
2N
L

Z

2

(r
0

Tích phân thứ nhất là tích phân cơ bản

dr

2

+ Z2

)

3

2


18
L

(r
0

dr
2

+Z

2

)

= ln(r + r + Z )
2

2

L
0

L + L2 + Z 2
= ln
Z

Đối với tích phân thứ hai
L

(r
0

dr
2

L

(r
0

+ Z2
dr

2

+Z

2

1

)
)

3

2
1

3

L

2

=

L



t2

1

1
2
2 +Z

t


(1 + Z t )

Vậy

NI
BZ = 0
2L

3

2

=

L

tdt

(1 + Z t )

2 2

1

2 2

d (Z t )

2 2

1
dt
dr = 2
t
t

dt

1
= 2
2Z



r=

đặt

3

2

1
= 2
Z

1

(1 + Z t )
2 2



L

=

1
Z2

3

2

=

(L

2

L
+ Z2

)

L + L2 + Z 2

L

2
ln

Z
L + Z 2


1.8
Một dải thẳng dài vô hạn có bề rộng a dòng điện I phân bố
đều theo chiều rộng và chảy dọc theo chiều dài . Tìm từ trờng H .
Bài giải
Chọn hệ toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz . Trục Oy trùng với trục đối
xứng của bản , chiều dơng theo
chiều dòng điện , mặt phẳng Oxy
nằm trong

mặt phẳng của bản .

Mật độ dòng điện mặt chảy trong


19
bản i =

H=

1
4

I
e . Theo định luật Biô - Xava từ trờng tại điểm P(X,Y,Z) là
a y



[ i ì r ] dS
r3

S

S là toàn bộ mặt bản .
dS = dxdy
r = ( X x )e x + (Y y )e y + Ze z

r = ( X x ) 2 + (Y y ) 2 + Z 2
ex

ey
ez
I
IZ
I ( X x)
[ i ì r] = 0
0 =
ex
ez
a
a
a

X x Yy Z

1
H=
4


1
+
4



a





2

a

dx
2



IZ
a

dy
e +
3 x
2
2
2
( X x ) + (Y y ) + Z



I ( X x)
dy

dx
e
3 z
2
2
2
a
( X x ) + (Y y ) + Z

a

2

a



2





Tính tích phân thứ nhất
a

1
4



2


a
dx





2

a

IZ
=
4a

IZ
a

2



a

2

dy
( X x) + (Y y ) + Z
2

2

2

3

=

dx

y Y
( X x) 2 + Z 2 ( X x) 2 + (Y y ) 2 + Z 2

y =
y =


20

IZ
=
2πa
=

a

2

∫

−a

dx
IZ
x−X
=
arctg
2
2
2πa

Z
( X − x) + Z

2

x =a

2

x =−a

2

IZ 
a − 2X
a + 2X 
arctg
+
arctg
2πa 
2Z
2Z 

TÝch ph©n thø hai


 1
 4π



I ( X − x)
dy

dx
3
a
( X − x ) 2 + (Y − y ) 2 + Z 2 
−
∞
−a

2
a

∞

2

∫

I
=
4πa
I
=
2πa

∫

a

2

∫

−a

a

y −Y
( X − x) 2 + (Y − y ) 2 + Z 2

2

2

∫

−a

( X − x )dx
( X − x) 2 + Z 2

( X − x )dx
I
=
−
4πa
( X − x) 2 + Z 2

2

[

I
=−
ln ( X − x ) 2 + Z 2
4πa

]

a

2

∫

−a

y =∞
y = −∞

d ( X − x) 2
=
( X − x) 2 + Z 2

2

x=a

2
a
x =−

2

2

a

2
X +  +Z
I
2
=
ln 
2
4πa 
a
2
X −  +Z
2

2

a

2
X +  +Z
IZ 

a − 2X
a + 2X 
I
2

arctg
+
arctg
e
+
ln
ez
VËy H =
2
x
2πa 
2Z
2 Z 
4πa 
a
2
X −  +Z
2



21

Phơng pháp 2: Tính từ trờng nhờ định luật dòng toàn phần
1.9

Xác định từ trờng H và cảm ứng từ B tạo ra bởi một dòng
điện một chiều I phân bố đều trong một dây dẫn dài vô hạn hình trụ
tròn bán kính a, hệ số từ thẩm à 0 , hệ số từ thẩm của môi trờng xung
quanh là à .
Bài giải
Dòng điện phân bố đối xứng trụ nên
trờng do nó gây ra cũng có tính chất đối
xứng trụ .Vì vậy vecto cờng độ từ trờng H
nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục
dây dẫn đi qua điểm quan sát, và chỉ phụ
thuộc vào khoảng cách từ trục hình trụ
đến điểm tính trờng H = H(r) . áp dụng
định luật dòng toàn phần

Hdl = I

L

Với

đờng cong lấy tích phân là vòng tròn tâm trên trục dây dẫn và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với trục dây dẫn , chiều dơng đờng tròn hợp với chiều dòng
điện theo qui tắc vặn nút chai .Nh vậy tại mỗi điểm trên đờng tròn vecto cờng độ
từ trờng có độ lớn nh nhau , phơng tiếp tuyến với đờng tròn .
Tại các điểm bên trong hình trụ r < a


22

Hdl =

L



Hdl = H 2r

,

I = jS = jr 2

L

H =

jr
I r
= 2
2 a 2

Viết lại dạng vecto

à0
[ j ì r]
2
Tại các điểm bên ngoài hình trụ r > a
H=

1
[ j ì r]
2

B = à0H =

Hdl = Hdl = H 2r = I = ja

L

Với j =

I
a 2

ra

,

2

L

I
ja 2
H =
=
2r 2r
Viết lại dạng vecto

a2
àa 2
H = 2 [ j ì r ] ; B = àH = 2 [ j ì r ]
2r
2r

1.10
Một dây cáp đồng trục
dài vô hạn dùng để truyền dòng
điện một chiều gồm một lõi hình
trụ bán kính R1 và một vỏ hình trụ
rỗng bán kính R2 và R3 . Dòng
điện có cờng độ I chạy đi trong lõi
và chạy về trong vỏ. Giữa lõi và
vỏ là chất điện môi . Tìm từ trờng
tạo bởi dây cáp.
Bài giải

Với j =

I
a 2

,

ra


23
Dòng điện phân bố đối xứng trụ nên từ trờng do nó gây ra cũng có tính

N

chất đối xứng trụ . áp dụng định luật dòng toàn phần

Ii
H dl =
i=

L

trong đó đ-

1

ờng cong lấy tích phân là đờng tròn tâm trên trục hình trụ nằm trong mặt phẳng
vuông góc với trục hình trụ và đi qua điểm quan sát

Hdl = Hdl = H 2r = I r

L

H=

L

Ir

2r

I r là dòng điện xuyên qua đờng tròn bán kính r

I
I
j =
Mật độ dòng trong lõi j1 =
2 Mật độ dòng trong vỏ 2
2
R1
( R3 R22 )
Ir 2
2
* 0 < r < R1
I r = j1r = 2
R1
H=

Ir
2R12

với

* R1 < r < R2
H=

I
2r

0 < r < R1

Ir = I
với

* R2 < r < R3

R1 < r < R2

I r = I + j2 S = I

2
2
I r R2
H=
1

2r R32 R22

R2 < r < R3
* r > R3

Ir = I I = 0

H = 0 với r > R3

với

I
(r 2 R22 )
2
( R R2 )
2
3

24

1.11
Một vật dẫn hình trụ tròn dài vô hạn có một lỗ hổng cũng
hình trụ dài vô hạn (tiết diện lỗ hổng hoàn tòan nằm trong vật dẫn ).
Một dòng điện không đổi mật độ j phân bố đều chạy dọc theo vật dẫn .
Tìm cờng độ từ trờng trong lỗ hổng .
Bài giải
Có thể xem nh trong lỗ hổng có hai dòng điện chạy ngợc chiều nhau với mật độ
dòng j và -j . áp dụng nguyên lí chồng chất trờng , trờng tại P là chồng chất của
hai trờng một tạo bởi dây dẫn trụ đặc với mật độ dòng j , một tạo bởi hình trụ lấp
đầy lỗ hổng lấp đầy lỗ hổng với mật độ dòng -j . áp dụng kết quả bài 1.9

[

] [

]

H=

1
1
j ì O1 P + ( j) ì O 2 P
2
2

H=

1
1
j ì O 1 P O 2 P = j ì O 1O 2
2
2

[

] [

]

Từ trờng trong lỗ hổng là từ trờng không đổi .

1.12 Xác định từ trờng H tạo bởi hai dòng điện chạy trên hai mặt
phẳng song song vô hạn và có mật độ dòng điện mặt nh nhau i = .
cosnt. Khảo sát hai trờng hợp .
a. Các dòng điện ngợc chiều nhau .
b. Các dòng điện cùng chiều với nhau .
Bài giải
Do các bản rộng vô hạn nên từ
trờng tại điểm quan sát phải vuông góc
với i và song song vơi các bản . áp


25
dụng định luật dòng toàn phần với chu tuyến lấy tích phân là các hình chữ nhật
vuông góc với i .
a. Các dòng điện ngợc chiều nhau

Hdl = AB[ i + (i)] = 0



2 H AB . AB = 0

ABCD

Hdl = i. AB



H . AB + H EF .EF = i. AB
AB


ABEF

H EF EF = iAB

0

H EF = i

b. Các dòng điện cùng chiều nhau

Hdl = AB[ i + i] = 2i.AB

2 H AB . AB = 2iAB

ABCD



H AB = i

Hdl = AB.i



ABEF

H EF EF = 0
Vậy

H AB + H EF EF = iAB
AB

AB.i

H EF = 0

a. Các dòng điện ngợc chiều nhau
Giữa hai mặt phẳng H = i
Ngoài hai mặt phẳng H = 0
b. Các dòng điện cùng chiều nhau
Giữa hai mặt phẳng H = 0

Ngoài hai mặt phẳng H = i

1.13
Cho một cuộn dây điện
hình xuyến gồm n vòng , trong
đó dòng điện cờng độ I chạy
qua, R1 là bán kính trong R2 là
bán kính ngoài của hình xuyến



H AB = 0