Hệ thức bất định heisenberg trong các hiệu ứng lượng tử

1

Mục lục;lkmkl
Trang
Mở đầu........................................................................................................2
Chơng I. Tổng quan về hệ thức Heisenberg...................................................4
I.1) Sự đo đồng thời hai đại lợng vật lý............................................4
I.2) Hệ thức giao hoán Heisenberg.................................................5
I.3) Hệ thức Heisenberg...................................................................7
3.1) Hệ thức tổng quát.............................................................7
3.2) Hệ thức bất định giữa toạ độ v và xung lợng px............10
3.3) Hệ thức bất định cho năng lợng.....................................11
Kết luận:..........................................................................................13
Chơng II. Hệ thức bất định trong các hiệu ứng quang học lợng tử...........14
II.1) Năng lợng không và hệ thức bất định...................................14
II.2) Bài toán nguyên tử hai mức...................................................16
II.3) Bài toán xác định số hạt phôton với biên độ trờng...............22
II.4) Hệ thức bất định với trạng thái kết hợp................................28
Kết luận:.........................................................................................32
Chơng III. Một số ứng dụng của hệ thức bất định Heisenberg...............34
Giải một số bài toán cơ bản
Các kết luận chính................................................................................42
Tài liệu tham khảo............................................................................... 44

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


2
Mở đầu

Hai lý thuyết ra đời trong thế kỷ XX trong pham vi vật lý học hiện đại đó là
lý thuyết lợng tử (cơ học lợng tử ) và lý thuyết tơng đối hẹp. Nếu nh lý thuyết tơng
đối hẹp của Einstein xem xét các tính chất vật lý, các quan niệm mới về thời gian,
không gian và các khái niêm mới về cơ học Newton trong các chuyển động nhanh
(v c), thì cơ học lợng tử lại đa đến những nghiên cứu mới, khám phá những tính
chất mới của vật chất Vi mô, siêu Vi mô (có kích thớc cở nguyên tử hoặc bé hơn).
Ngày nay cơ học lợng tử đã trở thành lý thuyết cơ bản, quen thuộc với bất cứ ai
nghiên cứu trong các lĩnh vực vật lý và kỹ thuật. Tuy vậy, nghiên cứu các vấn đề
của của vật lý lợng tử vẫn con mang tính thời sự. Trong khóa luận này chúng tôi đặt
vấn đề tìm hiểu, nghiên cứu một trong những hệ thức quan trọng nhất quyết định
các tính chất vật lý của hệ vi mô đó là hệ thức bất định Heisenberg.
Trong khoá luận này, hệ thức bất định Heisenberg đợc nghiên cứu một cách
đầy đủ, trên cơ sở phân tích ý nghĩa và vai trò to lớn của hệ thức trong các hiện tợng vật lý lỡng tử, khoá luận đa ra một số ứng dụng của hệ thức quan trọng này
trong việc giải thích một số hiệu ứng lợng tử thông qua các bài toán.Từ đó sẽ làm
rõ ý nghĩa, tầm quan trọng và vai trò của" nguyên lý bất định" trong các vấn đề vật
lý hiện đại. Khoá luận đợc trình bày trong ba chơng sau đây:
Chơng I. Tổng quan về hệ thức Heisenberg.
Xét sự đo đồng thời giữa hai đại lợng vật lý bất kỳ, chứng minh điều kiện cần và
đủ để đo đồng thời chính xác hai đại lợng khác nhau, bên cạnh đó xét hệ thức giao
hoán giữa xung lợng và toạ độ trên cùng một trục(ox)và mở rộng cho các trục khác.
Trên cơ sở xây dựng hệ thức bất định tổng quát cho hai đại lợng bất kỳ, chúng tôi
nghiên cứu hệ thức bất định của thời gian và năng lợng.
Chơng II. Hệ thức bất định trong các hiệu ứng của quang học lợng tử.
Đề cập vấn đề năng lợng không và đa vào hệ thức bất định Heisenberg ta
chứng minh sự tồn tại năng lợng thấp nhất của dao động tử. Cùng với việc xem
nguyên tử là lý tởng hai mức năng lợng đặt trong trờng ngoài, tìm đợc xác suất tìm
hạt trên mức kích thích liên quan đến độ mở rộng vạch phổ. Ngoài ra còn xét các

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


3
bài toán liên quan đến việc xác định số phôtôn với biên độ trờng, hệ thức bất định
với trạng thái kết hợp nhằm xác định giới hạn nghiên cứu các phép đo vật lý trong
khuôn khổ bài toán tơng tác giữa trờng với hệ nguyên tử.
Chơng III. Một số ứng dụng của hệ thức bất định Heisenberg
Để hoàn thiện các nghiên cứu về hệ thức bất định, trong chơng này chúng tôi
xem xét bài toán dao động tử điều hoà, hạt nhốt trong hố sâu vô hạn.v.v.với việc
sử dụng hệ thức bất định giữa hai đại lợng toạ độ và xung lợng, hệ thức bất định về
năng lợng, tìm đợc sai số mắc phải trong phép đo cũng nh giá trị bé nhất của đại lợng đo có thể đạt tới.Để khẳng định hơn nữa vai trò của hệ thức bất định
Heisenberg không chỉ trong các bài toán cụ thể mà liên quan đến toàn bộ tính chất
vật lý của vi hạt.

Chơng I:

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


4
Tổng quan về hệ thức heisenberg.
Trong vật lý học cổ điển, tính Sóng và Hạt là hai tính chất độc lập của vật
chất. Các đại lợng đặc trng cho trạng thái chuyển động đều đo đợc chính xác đồng
thời. Quỹ đạo của hạt vĩ mô là hoàn toàn xác định. Trong vật lý lợng tử hạt vi mô
mang lỡng tính sóng - hạt. Trạng thái của hạt đợc mô tả bằng hàm sóng. Các phép
đo hai đại lợng vật lý có thể tiến hành đồng thời hoặc không đồng thời và kết quả
đo hai đại lợng này có thể đợc xác định đồng thời cũng có thể là không đồng thời.

I.1) Sự đo đồng thời hai đại lợng vật lý.
Trong cơ học lợng tử để đo đợc một đại lợng vật lý nào đó đợc những giá trị
chính xác thì trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng phải là hàm riêng của toán tử
biểu diễn biến số đó. Từ đó để hai đại lợng có thể đo đợc những giá trị là xác định
thì hai toán tử biểu diễn hai biến số động lực đó phải có chung một hàm riêng.
Chúng ta có thể chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đo đợc hai đại lợng chính
xác đồng thời là hai toán tử đó giao hoán với nhau.
Trớc hết ta chứng minh điều kiện cần: Gọi A và B
là hai toán tử cần xác
định, là hàm sóng mô tả trạng thái chung đó. Khi đó phơng trình trị riêng có
dạng:
A = A

(1-1)

B = B

(1-2)

Ta có B A = A B A = A B B A = AB
Và = A B = A B A B = B A A B = AB

.

(a)

(b)

Lấy (b) trừ (a) : ( A B - B A ) = ( BA AB) = 0
Do # 0 Suy ra A B - B A = 0 Hay [ A , B ] = 0

+ Chứng minh điều kiện đủ: Nếu toán tử A và B giao hoán nhau thì:
A B - B A = 0 hay A B = B A .

(1-3)

Giã sử là hàm riêng của toán tử B ,khi đó thoả mãn phơng trình trị riêng (1-1)
B = B

(1-4)

Dựa vào (1-3) và ( 1- 4 ) ta có:
Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


5
A B = A B = B A = B A .
B A = B A .

Hay

(1-5)

là hàm riêng của B ở (1-4 ), đến lợt ( A ) lại là hàm riêng của B trong (1- 5).

Theo (1-4 ) thì ứng với hàm riêng là thì toán tử B cũng có trị riêng là B. Do đó
hàm riêng A phải trùng với hàm riêng với độ chính xác đúng đến hằng số nhân
A.
Nghĩa là A = A .

(1-6)

So sánh (1 - 6 ) với ( 1- 5 ) có nghĩa hai toán tử A và B có chung nhau một
hàm riêng .
Nhng trong cơ học lợng tử thì nói chung hàm riêng của một toán tử này
không phải là hàm riêng của một toán tử khác, do đó điều kiện để đo đồng thời hai
đại lợng không đợc thoã mãn hay nói khác đi là hai đại lợng cơ học khác nhau khi
đo không thể cho các giá trị xác định đồng thời mà phải có một độ bất định nào đó.
Mức độ bất dịnh này đợc xác định bởi hệ thức bất định.
I. 2) Các hệ thức giao hoán Heisenberg.
Trong cơ học cổ điển các đại lợng đặc trng cho chuyển động nh toạ độ xi,
xung lợng Pi xác định đợc đồng thời. Còn trong cơ học lợng tử thì sự định vị của
hạt đợc biểu diển thông qua toán tử xi ( i = x, y, z). Còn xung lợng đợc biểu diễn P


=-i x . Nêú nh toạ độ và xung lợng đó đợc đồng thời thì hệ thức giao hoán sau
i

i



i =0
phải thoả mãn x i , p



Xét trờng hợp đơn giãn một chiều dọc theo trục x,tức là:
x i = x , p i = p x ;

Khi đó: [ x, p x ] = xp x -



Nguyễn Thị Miều


p x = i d
dx
p x x với

x = x

(1-7)

[ x, p x ] =-i (x d - d x )

(1-8)

dx dx

Khóa luận tốt nghiệp


6


[ x, p x ] =+i

(1-9)

Từ ( 1-9) ta thấy [ x, p x ] =i 0 do đó toạ độ và xung lợng trong cơ học lợng
tử là không đo đợc chính xác đồng thời hay nói khác đi là toán tử x và p x không
có chung một hàm riêng - Từ (1- 9 ):

[ x, p x ] = i i x

d dx
= i
dx dx

Phơng trình này đúng với mọi hàm khả vi tuỳ ý và có một ý nghĩa rất quan
trọng trong quang lợng tử. Hệ thức (1 - 9 ) gọi là hệ thức giao hoán Heisenberg.
Tơng tự xét trên trục y và z

[ y , p ] = i ; [ z, p ] = i
y

z

Ta cũng có thể chứng minh: Toạ độ và xung lợng trên hai trục khác nhau là
giao hoán nhau

[ ]

ví dụ x, p y =0

(1-10)

Trong trờng hợp đặc biệt nào đó hai đại lợng có thể có giá trị chính xác đồng
thời.
Kết luận:
Từ ( 1- 9 ) thấy rằng trong trờng hợp toạ độ và xung lợng trên cùng một trục,
theo trục x, hoặc theo trục y, hoặc theo trục z là không xác định chính xác cùng
lúc. Điều này cũng là hiển nhiên, bởi lẽ trong trờng hợp hạt định vị tại vị trí xác

p
định thì tính sóng k = không thể có đợc giá trị là xác định bởi bản thân tính sóng


và hạt không thể hiện trong cùng một hiện tợng vật lý; còn với toạ độ và xung lợng
đo trên hai trục khác nhau thì có giá trị xác định chính xác đồng thời.
Vì kết quả lấy vi phân các hàm theo các biến độc lập không phụ thuộc vào
thứ tự lấy vi phân cho nên dễ dàng thấy rằng các toán tử của hai thành phần xung l-

[

ợng một là giao hoán nhau. Điều này có nghĩa là p x , p x
i

j

]

= [ p y , p z ] = 0, với (i,j

=x,y,z)
Hệ thức giao hoán đợc thoả mãn, dẫn đến khi đó xung lợng của hạt trên hai
trục là hoàn toàn xác định.

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


7
I. 3, Hệ thức Heisenberg.
3.1, Xây dựng hệ thức tổng quát:
Gọi là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ và gọi hai đại lợng không đo đợc
cùng lúc chính xác là A và B, khi đó không phải là trạng thái riêng của hai toán tử
A và B biểu diễn các đại lợng cần đo A và B. Khi đó độ bất định của mỗi một phép

đo tơng ứng với một toán tử, bằng độ lệch toàn phơng trung bình. Trong cơ học lợng tử, hai đại lợng cần đo biểu diễn bằng hai toán tử A và B . với điều kiện A và B
phải là các toán tử Ecmit - Nghĩa là A và B phải thoả mãn phơng trình sau:



i



i

*
A j dv= J ( A i ) dv

*

*

*
B j dv= j ( B i ) dv

Trong đó *là liên hợp phức của hàm sóng ; trong trờng hợp là một
ma trận cột thì + = ( 1, 2,. n)*,và biến là một ma trận hàng với n

12
trạng thái nh trên thì + = .
.
n

*

Giả sử A và B là hai toán tử thoả mãn hệ thức sau đây: [ A , B ] = i C

(1-11)

C cũng là toán tử Ecmit .

Gọi độ lệch khỏi giá trị trung bình của A và B là A và B
Khi đó

A = A - A , B = B - B

Độ lệch toàn phơng trung bình là:
A 2 = ( A - A )2 = ( A 2 A A - A A + A 2 )

= ( A 2 - 2 A A + A 2 ), A là thực cho nên A = A
= (A2 - 2A
Nguyễn Thị Miều

2

+A

2

) = (A2 - A

2

)=

2

-

A

2

Khóa luận tốt nghiệp


8

(

2 = B B

trong đó

)

2=

( B 2 - 2 B 2 + B 2 ) = ( B2 - B

2

) = ( B 2 -B

2

)

A = A .

=

.
B = B =
=

Sử dụng kí pháp Đirắc :

*

gọi là Bra véc tơ,
gọi là ket véc tơ

Ta có sự tơng ứng trong cơ học lợng tử :
A ~ A
B ~ A B

A = A A

B = B B

Do đó

(1-12)


A = A + A
khi đó (1- 11) viết đợc:


B = B + B

Từ (1-12) ta có:






B + A, B = i ;
A + A, B + B = i C A , B + A, B + A,
C

[ ]

















B = A, B = [ A, B ] = 0
Nhận thấy A,

Do đó: A + A, B + B = A , B A , B =i C

(1

-13 )
Hệ thức (1-13) chứng tỏ A , B cũng là những toán tử Ecmít.

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


9
Để tìm mối liên hệ giữa sự bất định của hai đại lợng đo A và B ta đi xét








0
tích phân bổ trợ sau: I( ) = i 2dv


(1-14)

là biến số thực tuỳ ý .

Sử dụng tính chất ecmit của toán tử và B Tức là:


*



A dv = A dv

*



*
dv = B dv


B





*

(1-15)

Ta có:

2






I ( ) = i . . dv = i .. 2 + i * dv

Do thực nên * = .

( ) = i . , * + i * * dv




(

) (

)

(

) (

)

= A i B A* * dv + A i B i B * * dv

= ( A i B ) ( A ) dv + i ( A i B ) ( B ) dv
*

Nhờ(1-15)tacó:

*

^
( ) = * ( i ) .dv +i * B ( i ) .dv

= * ( + i )( i ) .dv
= * ( 2 ( 2 ) +i - i + ( 2 ) ) .dv
= * ( 2 ( 2 ) +i [ ; ] + ( 2 ) ) .dv
ở đây

[ B; A] = B A - [ A B ] .

Điều kiện I( ) 0 với mọi .

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


10
Sử dụng biểu thức Braket. * A 2 .dv = A 2 = A 2



*

B 2 dv = B 2 = B 2 .





B; A = A, B = i C

Còn



Cho nên:

I ( ) viết lại là:

*



*
B, A .dv = i C .dv = i C = iC.



I ( ) = 2 2 + C + B 2



(1-16)

2


.

Để (1-16) có nghiệm với



Xét biệt thức den ta cho (1-16).

( )

( ) = + C

2

4A 2 .B 2 0

C
4A .B C A .B
4
2

khai căn thức bậc hai

A 2 .B 2

C
2

2

2

2

2

2

hay A.B C .
2

(1-17)

(1- 17) là biểu thức toán học về lỡng tính sóng - hạt của hệ Vi mô. Đó là
nguyên lý bất định cho hai đại lợng không đo đợc đồng thời chính xác A và B.
Hệ thức đó đợc gọi là hệ thức bất định Heisenberg tổng quát và là một trong những
nguyên lý cơ bản của cơ học lợng tử.
3.2. Hệ thức bất định Heisenberg giữa x và px.
Xét sự bất định giữa toạ độ x và xung lợng trên trục x là (Px) khi đo đồng thời. Ta
thấy x là toán tử toạ độ và p x là toán tử xung lợng trên trục x liên hệ với nhau bởi
hệ thức Heisenberg :


x , p x = i



Nguyễn Thị Miều

với p x = i
x

(1-18)

Khóa luận tốt nghiệp


11

So sánh (1- 18) với



A , B = i C ;



Ta có:

xp x

(1-19)


2

(1-20)

Vì rằng xung lợng và toạ độ là các đại lợng véc tơ vì vậy một cách tơng tự ta

mở rộng cho trờng hợp đo đồng thời trên các trục y và z.
(1- 20 ) nói lên sự hạn chế của phép đo giữa toạ độ và xung lợng. Tích hai độ bất
định luôn phải cố định, hằng số cố định đó là hằng số plank. Hệ thức (1- 20) cho
phép ta xác định sai số mắc phải trong phép đo đồng thời của hạt có trạng thái đợc
đặc trng bằng hàm sóng tuỳ ý trên một trục đơn lẻ. Nếu trong một trạng thái mà
thành phần xung lợng hoàn toàn xác định, tức là Px = 0 thì x

nghĩa là toạ

độ của hạt bất định là càng lớn và ngựơc lại. Việc không có giá trị chính xác đồng
thời này dẫn đến hạt trong cơ học lợng tử không có quỹ đạo xác định. Điều này
phản ánh tính chất đặc thù của thế giới vi hạt, đó là lỡng tính sóng - hạt. Khác biệt
so với cơ học cổ điển rằng hạt là thuần tuý. Do đó quỹ đạo hoàn toàn xác định.
3.3. Hệ thức bất định cho năng lợng:
Trong cơ học lợng tử trạng thái cho phép ta xác định đợc năng lợng của hạt
có giá trị xác định là trạng thái dừng. Nhng trong một hệ ngay cả với hệ kín thì
năng lợng toàn phần có thể không có giá trị xác định không đổi theo thời gian mà
nó có một sự bất định nào đó. Điều này đợc các viện sĩ Li manđel stam và Ietamm
chứng minh đợc từ những công cụ tổng quát. Giả thiết ban đầu hệ nằm trong một
hệ kín năng lợng E. Từ khái niệm đạo hàm trong cơ học lợng tử :

= A , Sử dụng .B

2

Ta có :

.t

2

(1-21)

Trong đó t là khoảng thời gian dùng để đo năng lợng đợc dộ bất định E .
Biểu thức (1 - 21 ) cho thấy nếu ta đo năng lợng của một hạt khi cho phép đo
trong khoảng thời gian t, thì phép đo năng lợng sẻ phải chịu một lợng bất định là

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


12
E đợc cho bởi


. Để hoàn thành phép đo năng lợng đến chính xác thì cần
2t

tiến hành đo trong thời gian vô hạn.
Nếu đặt t =



làm chu kỳ bán phân rã của hệ thì ~


, là độ phân định
2

nặng lợng của hệ ở trạng thái đầu - cho phép xác định độ rộng của vạch phổ,
càng lớn thì vạch phổ đợc mở rộng.
So sánh (1.20) và (1.21) về mặt ý nghĩa là khác hẳn nhau. Trong(1-20) xpx



ta đo trong cùng thời gian t, còn (1.21) giá trị năng lợng đó đo đợc tại hai thời
2

điểm t1và t2 ; (t1t2). Vậy trong thời gian t sẽ không có một sự bất định nào về năng
lợng. Trong cơ học lợng tử định luật bảo toàn năng lợng chỉ có thể bảo toàn bằng
hai phép đo với độ bất định đến cấp


do đó (1.21) là biểu thức thuần tuý lợng tử.
t

Từ sự bất định trong các phép đo xung lợng với toạ độ, giữa năng lợng với thời gian
đo, trong cùng một thí nghiệm không thể xác định đợc đồng thời hai đại lợng biến
liên hợp với độ chính xác tuỳ ý nh trong cơ học cổ điển. Nếu x = 0 tức là vị trí đo
chính xác và t = 0 thì đại lợng đặc trng cho sóng =

h
E
, = sẽ không đo đợc.
p
t

Nh vậy một lần nữa khẳng định rằng tính sóng -hạt nó luôn tồn tại trong một đối tợng là vi hạt nhng không thể thể hiện đồng thời trong cùng một thí nghiệm đơn

nhất, khía cạnh nào đợc bộc lộ là do bản chất của thí nghiệm quyết định. Điều này
đợc Bohr khẳng định trong nguyên lý bổ sung.
Hai tính chất sóng - hạt không tách rời nhau mà liên hệ với nhau qua hệ thức
E =


p = k;

(1-22)

(1.22) mang ý nghĩa rằng: Trong một thí nghiệm nếu tần số nhỏ, tức là bứơc
sóng lớn thì tính sóng thể hiện và ngợc lại.
Kết luận:

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


13
Với mục đích xây dựng lý thuyết bất định, trên cơ sở các toán tử cùng với
tính chất Hecmit của nó, trong chơng này chúng tôi đi xây dựng hệ thức bất định
cho hai đại lợng vật lý bất kỳ A và B, bằng cách đặt tích phân bổ trợ I() và xét cho
tích phân đó là đại lợng không âm với mọi biến số (). Dựa trên hệ thức vừa xét đ



ợc, cùng với sự hỗ trợ của các biến liên hợp x, p x = i

, ta tìm đợc hệ thức bất

định cho vị trí (x) và xung lợng px,là những đại lợng đặc trng cho chuyển động của
hạt xét trên cùng một trục. Phép đo giữa xung lợng và toạ độ đồng trục trong cơ
học lợng tử tại một thời điểm bất kì (t) đều cho ta một độ bất định, trong trờng hợp
ta muốn xác định đợc (ví dụ: vị trí của hạt) thì đại lợng kia là (xung lợng) có độ bất
định vô cùng lớn. Điều này có ý nghĩa quan trong rằng với vi hạt không riêng gì hạt
ánh sáng(phô tôn) thì quỹ đạo chuyển động là không xác định. Ngoài ra còn xét
cho thành phần năng lợng. Ta biết trong cơ học cổ điển năng lợng của hạt là bảo
toàn nhng cơ học lợng tử không cho phép ta làm đợc điều đó, cùng với thời gian
năng lợng của hạt là có độ bất định nào đó, năng lợng chỉ đạt đến giá trị xác định
khi thời gian tiến hành đo là vô cùng lớn. Thực tế ta không thể làm đợc điều này vì
không thể tiền hành một thí nghiệm với thời gian vô hạn.
Hệ thức bất định giữa hai đại lợng đo không dừng lại ở cơ học lợng tử mà
còn trong quang học lợng tử ... Điều này sẽ đợc trình bày trong chơng sau.

Chơng II.
Hệ thức bất định trong các hiệu ứng quang học lợng tử .

Lý thuyết bất định Heisenberg đợc áp dụng trong nhiều bài toán lợng tử
trong đó có bài toán dao động tử và bài toán trong trờng có số hạt ánh sáng xác
định (phôtôn) và trờng kết hợp là chồng chất của các trờng có số phôtôn xác định
Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


14
với tần số giao động là . Để thấy rõ sự bất định khi trạng thái mô tả trờng n có

số hạt xác định, ta đi xét hệ thức liên hệ giữa biên độ của trờng B, E với số hạt N.
Tơng tự ta cũng xét cho trạng thái kết hợp.
2.1) Năng lợng "không" và hệ thức bất định.
Bài toán giao động tử điều hoà là một bài toán rất quan trọng trong vật lý.
Bằng nhiều phơng pháp giải khác nhau ta có thể tìm đợc năng lợng của giao động
tử. Năng lợng giao động tử đã tính đợc Wn = (n +

1
) , Wn là năng lợng của giao
2

động tử tơng ứng với trạng thái có hàm sóng n.
Khi n = 0, là trạng thái không có một giao động tử nào thì w0=


. Trạng
2

thái ứng với mức năng lợng thấp nhất ký hiệu o; với o thoã mãn định nghĩa: b o =
0; trong đó b là toán tử huỷ.
Sự có mặt của mức năng lơng Wo("mức năng lợng không" này không ảnh hởng đến tần số bức xạ vì khi tính toán tần số bức xạ mn = wm wn với wm> wn,
mức năng lợng " không" bị khử đi. Tuy nhiên nhờ có năng lợng không mà làm cho
trạng thái của nguyên tử trong mạng luôn luôn dao động ngay cả ở nhiệt độ không
tuyệt đối T= 00k thì nguyên tử vẫn không nằm ở trạng thái nghỉ- giao động này gọi
là giao động không.
Qua sự tồn tại giao động "không" ta sẽ thấy rằng nó liên hệ mật thiêt với hệ
thức bất định. Thật vậy do có giao động "không "đã dẫn đến mức năng lợng của
giao động tử không thể bé hơn năng lợng không w0=

.
2

Xét một giao động tử, giao động xung quanh vị trí cân bằng dọc theo trục ox

2

sẽ có xung lợng là px , khi đó từ hệ thức (1-20) ta có x.x , trong đó x và Px


thoả mãn hệ thức giao hoán x, p x = i . Xét trong trờng hợp trạng thái dừng nghĩa


Nguyễn Thị Miều



Khóa luận tốt nghiệp


15
là x = n x n

p x = n i

(*)

với n là hàm thoả mãn điều kiện chuẩn hoá

d

d
n = i n n dx = i n2
dx
dx

+


dv = 1
*
n

n

khi này

x = x x
(***)
sử dụng (*)(**)
= 0 (*,*)
p x = p x p x

thì biểu thức (***) viết đợc x = x, p x = p x khi này hệ thức bất định (1-20) viết đợc:


x 2p
2
x

(2-1)

1
1
2
H =
p x + m 2 x 2
2m
2

(2-2)

xpx
Mặt khác ta có Hamintơn

Lấy trung bình (2-2) ta đợc năng lợng giao động tử trên trục ox.
ƯW =

1 2 1
px + m 2 x 2
2m
2

(2-3)
2

1 2 1 2 2 1 2 1 1 2
px + m x
px + . m
= w1 w w1 , w
Sử dụng (2-1) kết hợp (2-3) ta thấy

2m
2
2m
2 4
p x2

đạt giá trị nhỏ nhất là w1 , tuy nhiên w1 lại không bé hơn giá trị năng lợng cực tiểu
wo. Tìm đợc w1 cực tiểu thì ta sẽ tìm đợc w cực tiểu thông qua w1
áp dụng bất đẳng thức Cosin ta có:
w1 =

1 2 11
2
1 21

px +
m 2 2 2
p x m 2 2
2m
42
2m
8
px
px
w w1 =


= w0
2

(2-4)
1
2

Nhận xét: Từ hệ thức (2- 4) ta thấy w 1min = chính bằng giá trị năng lợng
"không" của giao động tử, phù hợp với hệ thức bất định (2-4).
Ngoài ra khi nghiên cứu về sự tán xạ của tia Rơngen lên mạng tinh thể ở tại
các nhiệt độ thấp đã chứng tỏ sự có mặt của " năng lợng không". Khi nhiệt độ càng
giảm xuống, cờng độ tán xạ sẽ tiến đến một giá trị giới hạn nào đó, nghĩa là ngay
cả khi T0 thì năng lợng vẫn khác không(w0 0) và tiết diện hiệu dụng tán xạ sẽ
dần đến một giá trị giới hạn nào đó. Sự kiện năng lợng không đã đa đến vận động

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


16
của vật chất không bao giờ bị triệt tiêu hay nói khác đi không có vật chất phi vận
động. Đồng thời " năng lợng không " của giao động tử cũng là một biểu hiện đặc
trng nhất của các tính chất sóng của vi hạt.
2-2) Bài toán nguyên tử hai mức.
Xét nguyên tử có hai mức năng lợng Em,En; Em>En tức là mức m nằm trên
mức n
Nh chúng ta đã biết: sự dịch chuỷên của nguyên tử từ mức n- trạng thái cơ bản lên
mức m chỉ xảy ra khi và chỉ khi nguyên tử đó có tác động của trờng ngoài. Khi này
phơng trinh sóng mô tả trạng thái nguyên tử:
i

d

= H ;
dt

(2-5)

H = H 0 + V

(2-6)

H 0 đợc ký hiệu là hamiton của nguyên tử khi không kích thích .
V là năng lợng tơng tác với trờng ngoài.

Hàm sóng tơng ứng với hai mức năng lợng trong trờng hợp cha kích thích:
i
n0 = a n exp{ E n t}

i
m0 = a m exp{ E m t}


=

Em En
tác dụng lên
h

i dam (t )
a n (t )Vmn (t ) .
=
n

dt

(2.7)

giả sử xét nhiễu loạn tuần hoàn với tần số gần bằng
hạt.áp dụng lý thuyết nhiễu loạn ta có.

mn

i


trong đó Vmn (t ) = m V (t ) n = a m V (t ) a n exp{+ ( E m E n )t}
nếu biểu diễn V (t ) dới dạng: V (t ) =F { exp(+it ) + exp(it )}
thì

Nguyễn Thị Miều

Vmn (t ) =< a m F a n > exp(i mn t ).(exp(it ) + exp(it ))

Khóa luận tốt nghiệp


17
=F mn exp( imn t )(exp(i t ) +exp(it ))

(

Vmn (t ) = F mn ei (mn +) t +ei (mn ) t

)

F mn = am F an

với

Dễ dàng thấy rằng: H mn = ( H nm ) . Chúng ta xem các hàng chéo của yếu tố ma
H mm = H nn = 0

trận H mn bằng không tức là

đa dạng tờng minh của toán tử V vào (2-7) ta thu đợc hai phơng trình có các hệ số a
m

, an

(

i

da m
= F mn a n ei (mn +) t +ei (mn ) t
dt

i

da n
= (F mn )*a m
dt

(e

i (mn +) t

)

+e +i (mn ) t

(2-8)

)

(2.9)

Nhận thấy i( + mn ) t là những số hãng dao động rất nhanh theo thời gian
và không ảnh hởng đến nghiệm phơng trình. Do đó một cách gần đúng ta có thể bỏ
qua 2 số hạng này khi đó (2-8) và (2-9) viết lại là :
dam
= F mn a n exp ( i ( mn )t )
dt

i
i

da n
= F mn *a m exp ( + i ( mn )t )
dt

Đặt: = mn khi đó:
i

(

dam
= F mn a n exp it
dt

i

)

(2-10)

( )

da n
= F mn *a m exp it .
dt

(2-11)

nhân phải và trái của phơng trình (2-10) với exp[ it ] và vi phân đẳng thức
ta có:

i

d dam
d
(
exp[it ] = Fmn an .

dt dt
dt

d 2 am
da
da
d
=i
exp(it ) m exp(it ) = ( Fmn a n ) = Fmn n
2
dt
dt
dt
dt

Nguyễn Thị Miều

(2-12)

Khóa luận tốt nghiệp


18
thùc hÞªn thay thÕ (2-11) vµo (2-12) ta ®îc:
d 2 am
da
−i
2
i
exp(iωt ) −  ω m exp(iωt ) =

Fmn a m exp(iωt )
2
dt

dt
d 2 am
da
1
2
i
−  ω m + am Fmn = 0
2
dt
dt 

hay

⇔am'' + iωam' +

1
2
Fmn am = 0
2


(2-13)

T×m nghiÖm (2-13) díi d¹ng: a m =Aexp( αt ) , lÊy ®¹o hµm 2 vÕ theo t
da m
= A α exp( αt ) .

dt
d 2a m
= A α 2exp( αt ) .
dt

thay (2-14) vµo (2-13):

A α 2exp( αt ) +i ω Aαexp[αt] +
α 2 + iωα +

ViÕt gän:

( )

2

∆ = iω −

N 0 (2-15):

1
Fmn
2

2

Aexpαt = 0. .

1
2

Fmn = 0
2


(2-15)

2
4
4
4
2
2
2
Fmn = −ω 2 − 2 Fmn ⇒ ∆ = ±i ω + 2 Fmn
2





2
4
2 

2
4
iω + i ω + 2 Fmn 
ω + 2 Fmn




 = −i ω +
α1 = − 
2
2



2

α2 =

khi ®ã:

(2-14)

− iω + i ω +

4
Fmn
2

2

2


a m1 = A1 exp − i



2
4
ω + 2 Fmn


= i − ω +
2




2

NguyÔn ThÞ MiÒu















(ω + δ )t 

2 

 (−ω + δ )t 
2
4
 víi: δ = ω + 2 Fmn
2




a m 2 = A2 exp i

2

2

(2-16)

Khãa luËn tèt nghiÖp


19
nghiệm tổng quát cho phơng trình (2-15): a m (t ) = am1 (t ) + am 2 (t )

(

)

(

)

i + t
i + t
a m (t ) = A1 exp
+ A2 exp

2
2




(2-17)

Lấy đạo hàm (2-17):

(

)

(

)

(

)

(

)

i + t
i + t
dam (t )
i +
+
= A1.
exp
exp
+ A2i

dt
2
2
2
2




(2-18)

đa (2-18) vào (2-10):

(

)

(

)

( + )t

+ i .(+2 )t
+ i . 2
i . A1.
e
+ A2 .
e
.i
2
2





t)
= Fmn a n. . exp(i

(

)

(

)

(+ )t

+ i .(+2 )t
+ i . 2
. A1.
e
+ A2 .
e

2
2




t)
= Fmn an. . exp(i


an =
Fmn


a n (t ) =
Fmn

(

)

(

)

(

)

( + )t
( + )t
+
i .
+ i. 2
2
.
A1e
+ A2 .
e
. e i t
2
2



(

)

( + )t
(+ )t
+
i .
+ i. 2
2
.
A1e
+ A2
e
.
2
2



(2-19)

(2-17) và (2-19)

+
+
t + A2 exp i
t
a m (t ) = A1. exp i

2
2

+
+
+






a
(
t
)
=

A
exp

i
t
+
A



n

1
.
2

2
2
2
F

mn






+

. exp i



2


t



(2-20)

Tìm A1, A2: giả sử tác động nhiẻu là bé, đa vào điều kiện ban đầu
am (0) =0, an (0) =1

Ta có:

A1 + A2 = 0

+
+



. = 1
F
2 A1 + A2

2





mn

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp

20
Suy ra:A1=- A2. thế vào (2-20).
+

Fmn 2

1

Do đó: A2 =


+
A1 A1

2




. = 1



F

= 1 A1 = mn
Fmn


(2-21)

Fmn
. Khi đó.


+ Fmn
+
F
t
t
exp
a m (t ) = mn exp i
i




2
2

+
+ +
+

a
(
t
)
=
.
.
exp

i
t

.
exp



i
n

2
2
2





2

hay:

+
a n (t ) = .
2

+

. exp i


2








+
t
2


t

+

. exp i


2








t


i
t

i
t
i
t
i
t

1
2
2

2
2
=

+

e
e
+



e
e


2


(

)

(

)

i t
i t
1

t
t 2
2
=
e 2Cos .2iSin e
2
2
2


1
an (t ) =
2.e
2
am (t ) =

am (t ) =

it
2

t
t

. cos .i sin
2
2


it

Fmn
it
it
exp

exp
.exp
2

2

2

i t
i t
t
Fmn
t 2 Fmn.i
exp
exp
.( 2i ) sin =
sin

2

2
2
2

Xác suất tìm thấy hạt ở mức (m) đợc xác định bằng bình phơng modun am(t)

Tức là a m (t)

2

=

4
2
2

Fmn

Sin2

2

t
2

(2.22)

Đặt pm(t) = a m (t) 2 ta thấy xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái m có giá trị từ 0-->
Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


21
4
2

2

Fmn

2

Vì rằng 2 = 2 +

4
Fmn
2

2

>

4
2

Fmn

2

thì pm(t) 1. Dấu bằng xảy ra

khi và chỉ khi =0 nghĩa là mn = ; khi tần số hấp thụ bằng tần số dịch chuyển
mn thì xác suất tìm hạt ở trạng thái (m) là lớn nhất.Từ (2.22) ta viết đợc: pm(t) =
4
Fmn
2 2

2

t
Sin 2

. t.
2
t

Đặt f ( , t ) =
= 0 thì f ( , t ) -->

Fmn

=

2

2


Sin 2t

. t.
, với = ;
2
2
t

Sin 2t
(*); từ (*) ta thấy khi t--> và #0 thì f ( , t ) -->0; còn
2 t

t
và tăng tuyến tính theo thời gian t.


Dạng (2.22) chỉ đúng với điều kiện khi xác suất dịch chuyển từ trạng thái n
lên trạng thái m là nhỏ.
Bây giờ ta đi khảo sát hàm f ( , t ) theo thời gian t.(hình vẽ).
Từ đồ thị ta thấy rằng xác suất dịch chuyển lớn chỉ đối
1
t

với trạng thái m, ở đó ~ . Sự thay đổi
tham số xác định độ rộng trạng
thái mức năng lợng m.
W(m) ~ ~


; W(m) còn
t

đợc gọi là độ mở rộng tự nhiên của vạch phổ.
Nh vậy sau khoảng thời gian t dới tác
động của trờng ngoài làm cho nội năng của
nguyên tử thay đổi, cụ thể là tăng lên do
hấp thụ năng lợng trờng ngoài nguyên

t


t

tử thực hiện nhảy lên trạng thái m có năng
Wm= Wn+ + W(m),

lợng cao hơn
ở đó W(m) ~


.
t

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


22
Hệ thức W(m) ~


chính là hệ thức bất định về năng lợng mà ta đã trình bày
t

trong chơng I. Điều kiện độ bất định về năng lợng của trạng thái cuối. W(m) phải

nhỏ hơn so với = . Nếu W(m) << suy ra


1
<< hay >> , biểu thức nói
t
t

1
lên rằng: Khi thời gian trôi đi mà càng lớn thì lớn hơn rất nhiều so với tỷ số .
t

2.3) Bài toán xác định số phôtôn với biên độ trờng điện từ.
Xét đối với trờng điện từ đơn mốt ( Một kiểu bớc sóng ) ta đã đa ra đợc sự tơng ứng giữa năng lợng trờng điện từ với năng lợng của giao động tử điều hoà.
Trên cơ sở đó ta đi lợng tử hoá trờng điện từ - trờng ánh sáng có tính chất hạt. Ta
1







biết trờng điện từ có mật độ năng lợng = ( BE + BH ) (2.23) trong đó E vecto c2


ờng độ điện trờng đặc trng cho trờng điện, B véctơ cảm ứng từ đặc trng cho từ tr

ờng, D liên hệ với E bởi D = E , D là véctơ cảm ứng điện; H liên hệ với B bởi

( )

( )





B = àH , H là véctơ cờng độ từ trờng; E D và B H liên hệ với nhau thông qua hệ

phơng trình Max well. Nhờ hệ phơng trình Max well mà ta tìm đợc sự tơng ứng về
mặt hình thức giữa phơng trình tìm đợc với phơng trình Hamimton cổ điển mà
trong đó q, p đóng vai trò là toạ độ và xung lợng suy rộng.( Xét cho chân không
điện từ = 0 ; à = à 0 ) Ta có năng lợng trờng điện từ là: H =


d

KG

3

x ; lấy từ (2.24).



Nhận thấy do sự đóng góp B và E trong (2.24) là tơng đơng nhau do đó, để đơn


giản ta xét trờng điện từ chỉ gồm thành phần trờng điện đứng với vecto sóng k =
2
lan truyền theo trục x.


Đặt



E Z = p(t). N .U ( x ). Với U ( x ) = Sinkx

(2.25)

N

.V( x )
C

(2.26)

B y= q(t).

Khi đó




Trong đó U ( x )và V( x ) là thành phần chỉ phụ thuộc vào toạ độ.

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp


23
Năng lợng trờng lan truyền trên đoạn 0 x L sẽ là
L

H = dx =
0

L

=

1

2

0

E2 +

0

1
2 ( D E + BH ) dx
L





(2-27)

0

1 2
B dx thay (2-25) và (2-26) vào (2.27)
à0

1
4

1
2

Thực hiện phép lấy tích phân ta có: H= 0 N 2 L( p 2 + q 2 ) ~ ( p 2 + q 2 )
- Năng lợng của giao động tử điều hoà. Điều này khẳng định rằng ánh sáng có lỡng tính sóng - hạt ( phôton). Ta sử dụng b +( toán tử sinh hạt) có tính chất tác động

b+ lên hàm sóng có số hạt xác định ni nào đó sẽ cho ta trạng thái mới có số hạt
khác số hạt của trạng thái ban đầu; b( toán tử huỷ) có tính chất ngợc lại để lợng tử
hoá trờng: khi đó H~ H .
+
H = (b b +

1
)
2

(2.28)




và ta có thể biểu diễn các vec to trờng E & B nh sau:

+
E z =1
(b - b).N.U( x )
2
B y =


N +
. (b + b).V( x )
2 C

Khi này phơng trình sóng cho trờng đơn mốt :
H n = Wn n

Thay (2.6) vào (2.7) ta viết: (b+b +

(2.29)

1
) n = Wn n
2


Hay b+b n = Ư W ' n n với W ' = Ư Wn = W n W0
2

Trong đó = h = là năng lợng của 1 phôton mà theo lý thuyết lợng tử tập
hợp các hạt phôton tạo nên bức xạ điện từ, trong (2.29). n hàm sóng viết cho n hạt
phôton xác định. Từ sự tơng ứng của năng lợng H của giao động tử, ta có sự tơng tự
về hàm sóng cho n phôton có tính chất:
b+ n = n + 1 n+1 ; b n = n n1
(2.30)
với n =

1
n!

(b+)n 0 ;(**); 0 là hàm sóng viết cho không phôton hay trạng thái chân

Nguyễn Thị Miều

Khóa luận tốt nghiệp

24
không. Và trạng thái này đợc định nghĩa b 0 =0. Đặt N = b+b thì (2.29) đợc viết:
'
N n = Wn n

(2-31)

n thoả mãn (**)




Trong trờng cổ điển thì các đại lợng đặc trng cho trờng là B và E là những đại l



ợng đo đợc bằng thực nghiệm. Nhng trong trờng lợng tử các đại lợng B và E này bị








lợng tử hoá nghĩa là E ~ E , B ~ B , do đó mà sẽ không xác định đợc nh cổ điển, đại
lợng đo đợc là thành phần giá trị trung bình( kỳ vọng) xác định thông qua hàm
sóng mô tả trạng thái có n hạt đó - n .
E = E = n E n = ai n b + - b n

Với đặt

a=



N .U ( x )
2

+
= ai n b n - ai n b n

= ai n ( n + 1)n + 1 - ai n ( n ).n 1
= ai n + 1 n n + 1) - ai n n n 1
Vì rằng n là hàm sóng đã chuẩn hoá n =

1
n!

(b + ) n 0 do đó n n + 1 , n n 1 là trực

giao nhau tức là n,n+1 = n,n1 =0
E = a n + 1 mn +1 - a n mn +1 =0
B = B = n B n = b b + + b n

N
.V( x ).
2 C

+
n + b n b n ; với b =
= b nb

Sử dụng (2.30) viết đợc B = b ( n + 1 n,n +1 + n n,n 1 ) = 0
=> B = 0
-

( H ) = H = n H n =

n N +

= n N n + n n

Nguyễn Thị Miều


n
2


.
2

Khóa luận tốt nghiệp


25
= n nn + nn
= n +

.
2


1
= (n + )
2
2

Nh vậy trong trờng hợp đơn mốt với số hạt là xác định thì đại lợng đặc trng
cho trờng lại không xác định đợc E = B = 0 (*).
Giải thích kết quả này nh sau: Giá trị kỳ vọng này có đợc là do sự tơng ứng
nào đó trong vật lý cổ điển khi pha của trờng là không biết đợc chính xác. Mặt
khác trong trờng hợp số hạt là xác định thì ta hoàn toàn không biết đợc sự phân bố
về pha mà ở trên hàm n là hàm viết cho n hạt xác định.


Vấn đề đặt ra là đại lợng đặc trng cho trờng E , B và số lợng tử (phôton) đo đợc đồng thời với một bớc sóng xác định hay không (?)
Ta biết trong biểu diễn Heisenberg, các thành phần phụ thuộc vào thời gian
đợc biểu diễn thông qua toán tử sinh hạt b +, toán tử huỷ hạt b. Đối với trờng đơn
mốt thì b+, b liên hệ với nhau bởi hệ thức giao hoán, [ b +,b] = -1 và đại lợng đặc tr

ng cho trờng E , B sẽ là:



E ( x , t ) = i
N (b + b).U ( x )

2

(2.32)



N +
B ( x , t ) =
(b + b).V ( x )
2 C

(2.33)
N = b+ b

Và số phôton n biểu diễn qua toán tử b+ và b sẽ là:
2

Sử dụng hệ thức:

Ta có

C
A 2 .B 2
N .E

hay A.B

4

[

C
2

]

1
D (**) với N , E = iD
2

(2.34)

Tìm D =?
Xét




E ( x , t ) = i (b + b) NU ( x ) ; N = b + b.
2

Nguyễn Thị Miều

=> [ N , E ] = [b + b, b + b].i


U ( x) .
2

Khóa luận tốt nghiệp