Các phương pháp giải bài tập cơ học lí thuyết phần động lực học vật rắn

1

Luận văn tốt nghiệp

Lời mở đầu
Chúng ta đã biết: Động lực học vật rắn là một phần quan trọng của cơ
học lý thuyết nhằm nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học của các vật
thể dới tác dụng của lực. Động lc học nghiên cứu chuyển động của các vật thể
một cách toàn diện nhằm thiết lập các mối quan hệ có tính chất quy luật giữa
hai đại lợng.
+ Các đại lợng đặc trng cho tác dụng lực.
+ Các đại lợng đặc trng cho chuyển động của vật thể.
Trong quá trình học tập, khi nghiên cứu về cơ học vật rắn, chúng ta có
dịp làm quen với 2 phơng pháp:
- phơng pháp cơ học véc tơ.
- phơng pháp cơ học giải tích.
Đối với phơng pháp cơ học véc tơ, dựa trên các định luật cơ bản của cơ
học đó là 3 định luật Niutơn, các định luật tổng quát Chúng ta đã dùng các
đại lợng véc tơ nh lực, vận tốc, gia tốc để giải các bài tập. Phơng pháp này
chúng ta đã làm quen nhiều ở phổ thông trung học.
Đối vơi phơng pháp cơ học giải tích. Là phần động lực học dựa vào giải
tích toán học để giải quyết vấn đề lập phơng trình vi phân chuyển động của các
loại hệ khác nhau. Cơ học giải tích đợc xây dựng dựa trên nguyên lý biến phân
Hamintơn. Các đại lợng cơ bản trong các phơng trình đều là các đại lợng vô hớng tìm đợc băng các phép tính tích phân, vi phân. Với phơng pháp này thì chỉ
những năm cuối của bậc đại học chúng ta mới có dịp nghiên cứu. Đó là một vấn
đề mới mẻ nên chúng ta thờng hiểu vấn đề cha đợc sâu sắc, do đó trong khi giải
bài tập thì học sinh thờng sử dụng phơng pháp cơ học véc tơ. Điều này dẫn đến
một số khó khăn vớng mắc khi giải các bài tập có số bậc tự do lớn. Nhng khi đã
làm quen với cơ học giải tích thì vấn đề đó trở nên đơn giản và nhẹ nhàng hơn.
Trong quá trình học tập, do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu tìm
hiểu đợc tất cả các vấn đề là một điều khó có thể thực hiện đợc, đặc biệt là

việc giải các bài tập. Vì thế tôi chọn đề tài: Các phơng pháp giải bài tập cơ
học lý thuyết phần động lực học vật rắn .


Luận văn tốt nghiệp

2

Hy vọng rằng nội dung của đề tài này sẽ giúp cho ngời đọc có cách
nhìn tổng quát hơn khi giải một bài toán. Hiểu thêm về u điểm của cơ học giải
tích.
Nội dung của đề tài bao gồm những vấn đề sau:
- Phần I: Cơ sở lý thuyết.
- Phần II: Bài tập về động lực học vật rắn.
- Phần III : Kết luận.
Chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong và
xin chân thành cảm ơn sự góp ý quý báu của độc giả.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo lê thị thai đã hớng dẫn
và đóng góp cho tôi nhiều ý kiến quý báu. Giúp tôi hoàn thành luận văn này./.

Sinh viên: võ thị nga


3

Luận văn tốt nghiệp

Phần I: CƠ Sở Lý Thuyết

I. Lý thuyết về cơ học véc tơ áp dụng cho việc giải các bài tập.

1. Các định luật cơ bản của Newton.
a. Định luật I:
Mọi chất điểm đứng yên hay chuyển động thẳng đều khi không có lực
nào tác dụng lên nó. Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất
điểm đợc gọi là chuyển động quán tính ( v=const ).
b. Định luật II:
Gia tốc cuả một chất điểm chuyển động có cùng phơng, chiều với lực
tác dụng lên nó và có giá trị tỷ lệ với lực ấy:


F = m.W

c. Định luật III:
Lực tác dụng tơng hỗ giữa hai chất điểm là những lực có cùng phơng,


cùng cờng độ và ngợc chiều: F12 = F21
2. Các định lý tổng quát của động lực học.
a. Định lý biến thiên động năng dạng vi phân.
Vi phân động năng của hệ bằng tổng công nguyên tố của tất cả các
ngoại lực và nội lực tác động lên hệ:
e
i
dT= dAk + dAk

trong đó: T : động năng ở thời điểm t.

dA , dA
e
k

i
k

: Thứ tự là tổng công nguyên tố của ngoại lực và nội lực

tác dụng lên hệ.

b. Định lí biến thiên động năng dạng tích phân.


4

Luận văn tốt nghiệp

Biến thiên động năng của hệ trên một đoạn đờng nào đó bằng tổng cộng
của tất cả ngoại lực và nội lực tác dụng lên hệ trên đoạn di chuyển ấy.
T1

M1

M1

n M1

n M1

T0

M0

M0

k =1 M 0

k =1 M 0

dT =

e
dAk +

i
e
i
dAk = dAk + dAk

n

n

k =1

k =1

T1 T0 = Ake + Aki

c. Định lí chuyển động của khối tâm.
Khối tâm của cơ hệ chuyển động nh một chất điểm mang khối lợng của
cả hệ và chịu tác dụng của một lực đợc biểu diễn bằng véc tơ chính của các

ngoại lực tác dụng lên cơ hệ ấy.
n

e
M Wc = Fk
k =1

trong đó: M : khối lợng của hệ
Wc : Gia tốc khối tâm
Fke : Ngoại lực tác dụng

d. Định lí biến thiên và định luật bảo toàn mô men xung lợng.
Đạo hàm theo thời gian của mô men xung lợng của cơ hệ đối với một
tâm hay một trục bằng tổng mô men đối với tâm hay trục ấy của các ngoại lực
tác dụng lên cơ hệ.
n
d L0
= M Fke

dt
k =1

[

]

với: L0 = r mv : mô men xung lợng của hệ đối với 0.
e
M F k : mô men của ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với tâm O

Nếu tổng mô men của tất cả các ngoại lực đối với tâm O bất kì bằng 0
thì mô men động lợng của hệ đối với tâm đó không đổi cả về hớng và giá trị.

[

]

L0 = r mv = const


Luận văn tốt nghiệp

5

II. lý thuyết về cơ học giải tích áp dụng cho việc giải các bài tập

1. Các khái niệm về cơ hệ không tự do.
a. Liên kết và phơng trình liên kết.
Cơ hệ không tự do là tập hợp các chất điểm mà chuyển dộng của chúng
bị ràng buộc bởi một số điều kiện hình học và động học cho trớc, độc lập với
điều kiện đầu chuyển động và các lực tác dụng đợc gọi là các liên kết về mặt
toán học, các liên kết đợc biểu thị bởi những phơng trình và bất phơng trình
gọi là những phơng trình liên kết.
f (t , x k , y k , z k , x k , y k , z k ) (1)

trong đó:
x k , y k , z k : Là các toạ độ đề các của chất điểm Mk thuộc cơ hệ.
x k , y k , z k : Là các hình chiếu của vận tốc của chất điểm M k lên các trục

toạ độ.
t: Là thời gian.
: 1,2...,S <3N : Là số phơng trình liên kết.
+ Liên kết giữ và liên kết không giữ.
Nếu phơng trình liên kết có dạng f (t , x k , y k , z k , x k , y k , z k ) = 0 (2) thì liên
kết đợc gọi là giữ hoặc hai phía. Còn nếu phơng trình liên kết có dạng (1) thì
liên kết đợc gọi là không giữ hoặc liên kết một phía
+ Liên kết dừng và liên kết không dừng
Nếu phơng trình liên kết không chứa rõ thời gian t: f ( x k , y k , z k , x k , y k , z k )
= 0 (3) thì liên kết đợc gọi là dừng. Còn nếu phơng trình liên kết chứa rõ thời
gian t thì liên kết đợc gọi là không dừng .
+ Liên kết Holonom và không Holonnom.
Nếu phơng trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc hoặc chứa
những yếu tố ấy nhng nhờ các phơng pháp tích phân có thể nhận đợc các ph-


6

Luận văn tốt nghiệp

ơng trình liên kết tơng đơng không chứa các yếu tố vận tốc thì liên kết đợc gọi
là Holonom.
f(t,xk,yk,zk) = 0 = 1,S<3N (4)
Ngợc lại nếu phơng trình liên kết chứa các yếu tố vận tốc mà bằng các
phơng pháp tích phân không loại trừ đợc các yếu tố đó ra khỏi các phơng trình
liên kết thì liên kết đợc gọi là không Holonom.
Cơ hệ với liên kết Holonom gọi là cơ hệ Holonom, còn nếu trong các
liên kết có liên kết không Holonom thì cơ hệ đợc gọi là cơ hệ không Holonom
b. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của hệ.
Di chuyển khả dĩ của cơ hệ là tập hợp các di chuyển vô cùng bé của các

chất điểm thuộc cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà các liên kết đặt
lên cơ hệ cho phép.

{ }

điều kiện để rk với k = 1,N là một di chuyển khả dĩ của cơ hệ
Holonom là:
f

r r

k

k

= 0 (5)

k

f

f
f
x k + y k + z k = 0 (5)
y k
z k
x k


hoặc trong dạng:

k

+ Số bậc tự do của cơ hệ.
Là số tối đa các di chuyển khả dĩ độc lập tuyến tính của cơ hệ, nghĩa là
bằng số biến phân độc lập của các toạ độ.
Số bậc tự do của cơ hệ chịu liên kết Holonom bằng:
m = 3N - S (6)
trong đó N: Là số chất điểm của cơ hệ
S: Là số phơng trình liên kết.
c.Toạ độ suy rộng.
Là tập hợp những thông số đủ để xác định vị trí cơ hệ, chúng đợc kí

hiệu qua {q j } với


7

Luận văn tốt nghiệp

j = 1, N . Các toạ độ đề các của các chất điểm đều có thể đợc biểu diễn
qua các toạ độ suy rộng.
xk = xk(t,q1...,qr)
yk = yk(t,q1...,qr)hoặc rk = rk (t,q1...,qr)(7)
zk = zk(t,q1...,qr)
r

từ (7) ta có:xk =
r

yk =

j =1

q
j =1

j =1

q j

j

q j (8)

j

z k

r

zk =

y k

q

x k

q

q j

j

rk
q j
j =1 q j
r

hay trong dạng thu gọn hơn: rk =

(8)

+ Toạ độ suy rộng đủ là tập hợp các toạ độ suy rộng độc lập với nhau J = 1, n
+ Toạ độ suy rộng d là tập hợp các toạ độ suy rộng lớn hơn toạ độ suy
rộng đủ. Giữa các toạ độ suy rộng d có mối ràng buộc với nhau.
Đối với cơ hệ Holonom thì giữa các toạ độ suy rộng d {q j } với j = 1, n > N .
sẽ tồn tại các hệ thức:
f(t,q1...qr,) = 0 , =1, n > N .

(9)

điều kiện để {q j } là di chuyển khả dĩ của cơ hệ:
f

q

q j = 0 ;=1,S

(10)

j

số bậc tự do của cơ hệ (9): m= r-s
Nếu {qj} là các toạ độ suy rộng đủ thì s = 0 vậy, m = r
Tức là số bậc t do của cơ hệ Holonom bằng số toạ độ suy rộng đủ.
d. Lực suy rộng.


8

Luận văn tốt nghiệp

- Công của lực trong di chuyển khả dĩ gọi tắt là công khả dĩ của lực.
- Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ rk . Công khả dĩ của lực.

( )

A F = Fk rk = ( Fkxxk + Fyk y k + Fzk z k )
N

k =1

( )

r

hoặc A F = Qi ri
i =1

(11)
(12)

trong đó:
Qi = Fk


rk
x
y
z
= Fkx k + Fky k + Fkz k
q i
qi
qi
qi


(13)

đợc gọi là lực suy rộng tơng ứng với toạ độ suy rộng qi
Chú ý:
Đối với hệ hôlonômvà các toạ độ suy rộng là đủ thì q j trong (12) độc
lập với nhau. Còn trong trờng hợp toạ độ suy rộng thừa, các q j có quan hệ
phụ thuộc (10).
Trong trờng hợp cơ hệ là bảo toàn và hàm thế năng có dạng

thì

U = U ( q1 ....q n )

(14)

U
;j =1,r
q j

(15)

Qj =

Bản chất vật lý của lực suy rộng phụ thuộc vào bản chất vật lý của toạ
độ suy rộng tơng ứng. Nếu toạ độ suy rộng là độ dài thì lực suy rộng là lực,
nếu toạ độ suy rộng là góc thì lực suy rộng là ngẫu lực.
* Dới đây là một số phơng pháp tính lực suy rộng.
+ Phơng pháp 1:
Tính lực suy rộng theo định nghĩa (13).
Trớc hết tìm hình chiếu các lực trên các trục toạ độ đề các, cùng biểu
thức của toạ độ điểm đặt lực theo toạ độ suy rộng từ (7) sau đó tính các đạo


9

Luận văn tốt nghiệp

hàm của các toạ độ đề các theo các toạ độ suy rộng rồi thay các đại lợng tìm
đợc vào (13).
+ Phơng pháp 2:
Tính tổng công khả dĩ của các lực trong toạ độ đề các, sau đó biểu diễn
các di chuyển khả dĩ qua các biến phân của toạ độ suy rộng theo biểu thức (8)

qua đó chúng ta viết biểu thức công khả dĩ trong dạng (12). Các hệ số đứng trớc các biến phân của các toạ độ suy rộng sẽ là các lực suy rộng ứng với các
toạ độ suy rộng.
+ Phơng pháp 3:
Trong trờng hợp các toạ độ suy rộng đủ, có thể tính riêng từng lực suy
rộng bằng cách chọn những di chuyển khả dĩ đặc biệt
Ví dụ: Để tính lực suy rộng Q i ta chọn một di chuyển khả dĩ đặc biệt nh
sau:
q1 = 0; q 2 = 0;.......; qi 1 = 0
qi 0; qi +1 = 0;........; q n = 0

tức là cho hệ một di chuyển khả dĩ trong đó chỉ có toạ độ q i thay đổi,
còn các toạ độ khác không đổi. Tính tổng công khả dĩ của các lực trong di
chuyển khả dĩ này, ký hiệu A F ( q i )


khi đó lực suy rộng Qi bằng: Q i =

A F ( q i )
q i

e. Liên kết lý tởng:
Nếu tổng công nguyên tố của các lực liên kết trong mọi di chuyển khả
dĩ của hệ đều bằng không thì liên kết đặt lên hệ gọi là liên kết lý tởng.

A( R

k

) = R r
k

2. Hàm largăng.

k

= 0 (16)


10

Luận văn tốt nghiệp

a. Hàm Lagrăng của chất điểm chuyển động tự do đối với hệ quy chiêú
quán tính K.
- Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó không gian là
đồng nhất, đẳng hớng. Các tính chất vật lý của hệ cô lập sẽ không thay đổi đối
với phép tịnh tiến toàn bộ cơ hệ trong không gian. Chất điểm tự do là một hệ
cô lập. Hàm Lagrăng chứa đựng mọi tính chất vật lý của nó sẽ không thay đổi
khi chất điểm tịnh tiến trong không gian. Điều này có nghĩa là hàm Lagrăng
của chất điểm tự do không phụ thuộc vào bán kính véc tơ xác định vị trí của
chất điểm. Tính đồng nhất của thời gian có nghĩa là tất cả các thời điểm khác
nhau là tơng đơng với nhau. Vì vậy hàm Lagrăng của chất điểm cô lập sẽ
không phụ thuộc tờng minh vào thời gian. Hàm Lagrăng của chẩt điểm bây
giờ chỉ phụ thuộc vào vận tốc của nó.
Tính chẩt đẳng hớng của không gian có nghĩa là tất cả các phơng của
không gian là tơng đơng nhau về mặt vật lý. Vì vậy hàm Lagrăng của chất

điểm cô lập không phụ thuộc vào phơng của véc tơ vận tốc v mà chỉ phụ
thuộc vào độ lớn của vận tốc, nghĩa là phụ thuộc vào v2: L=L(v2).
Để tìm dạng của hàm Lagrăng ta dùng nguyên lý tơng đối của Galilê.

Nếu hệ quy chiếu quán tính k chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tinh k
với vận tốc v (v=cons) thì theo định lý công vận tốc:
v = v' + V v ' = v V

theo nguyên lý tơng đối của Galilê, các phơng trình chuyển động của chất
điểm trong hai hệ quy chiếu k và k phải giống nhau. Khi chuyển k k thì L
L.
Hàm L khác hàm L một đạo hàm toàn phần theo thời gian của một

( )

hàm f r , t bất kỳ, nghĩa là:L=L+

( )

d
f r, t
dt

v' = v V v' 2 = v 2 + V 2 2vV = v 2 +

(

(

d 2
V t 2rV
dt

suy ra:L=a v' 2 ; L=a v 2 ; f(r,t)=a V 2 t 2rV

)

)


11

Luận văn tốt nghiệp

trong đó a=const không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính k hay k
và hoàn toàn đặc trng cho chất điểm chuyển động.
đặt a=
L=

m
với m là khối lợng của chất điểm.
2
1 2
mv = T gọi là động năng của chất điểm.
2

Nh vậy:
Hàm Lagrăng của một chất điểm chuyển động tự do bằng động năng của
nó.
b. Hàm Lagrăng của một hệ cô lập gồm các hạt không tơng tác.
Xét hệ gồm N chất điểm không tơng tác với nhau. Vì các chất điểm
không tơng tác với nhau nên chuyển động của chất điểm này của hệ hoàn toàn
không ảnh hởng đến chuyển động của chất điểm khác.
Nh vậy, mỗi hạt chuyển động hoàn toàn tự do và hàm Lagrăng của chất

điểm thứ i sẽ không chứa tốc độ của hạt khác. Kết hợp với tính chất cộng đợc
của động năng của hệ cô lập ta có thể viết.
N

N

N

i =1

i =1

i =1

L = Li = Ti =

mi 2
v i = T (*)
2

T: gọi là động năng của cơ hệ
Nh vậy hàm Lagrăng của một hệ cô lập gồm các hạt không tơng tác với
nhau bằng tổng động năng của các chất điểm trong cơ hệ.
c. Hàm Lagrăng của một hệ cô lập gồm các hạt tơng tác với nhau.
Trờng hợp các chất điểm của cơ hệ cô lập tơng tác với nhau thì ta thêm
vào biểu thức (*) một hàm đặc trng cho tơng tác giữa các chất điểm của cơ hệ.
Ta kí hiệu hàm này là - U và gọi U là thế năng tơng tác giữa các chất điểm của
cơ hệ.
Đối với hệ cô lập, do tính đồng nhất của thời gian, hàm Lagrăng của hệ
không phụ thuộc tờng minh vào thời gian và do đó hàm U cũng không phụ

thuộc vào thời gian. Mặt khác do tính đồng nhất của không gian, hàm L của cơ


hệ sẽ không thay đổi khi tịnh tiến toàn bộ cơ hệ một véc tơ r tuỳ ý. Khi đó các


12

Luận văn tốt nghiệp

bán kính véc tơ xác định vị trí của các chất điểm m i, mk của hệ sẽ biến đổi nh
sau:
ri ri, = ri + ri ; rk rk, = rk + rk ; ri rk = ri, + rk, = bất biến .

Do vậy hàm Lagrăng của cơ hệ cô lập chỉ phụ thuộc vào hiệu ( ri rk ),
và do tính chất đẳng hớng của không gian nên hàm U không phụ thuộc vào
chiều của các véc tơ ( ri rk ) mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn của chúng.
Vậy hàm L của hệ cô lập N chất điểm tơng tác với nhau có dạng:
L=

1
m i Vi2 U(.. ri rk ..)

2

Dạng của hàm U đợc xác định từ điều kiện vật lý đặt ra cụ thể.
d. Hàm Lagrăng của một hệ không cô lập.
Hệ chất điểm không cô lập nghĩa là hệ chuyển động trong môi trờng
ngoài.
Giả sử có hệ cô lập gồm hai hệ con A, B tơng tác với nhau. Hàm

Lagrăng của hệ cô lập đợc xác định:

(

)

(

)

L = T A q A , q ,A + TB q B , q B, U ( q A , q B )

Với q A , q B : Là toạ độ suy rộng tơng ứng của các hệ con A, B.
TA,TB: Là động năng của hai hệ con A, B.
Giả sử đã biết quy luật chuyển động của hệ con B tức là biết sự phụ
thuộc của q B , q B, vào t: q B = q B ( t ) , q B = q B ( t ) .
Thì ta nói rằng hệ A chuyển động trong trờng ngoài biến đổi sinh bởi hệ
B.

Lúc đó hàm mô tả chuyển động của hệ con A trong trờng ngoài là:
L A = T A ( q A , q A ) + TB ( q B ( t ) , q B ( t ) ) U ( q A , q B ( t ) )

Đặt TB ( q B ( t ) , q B ( t ) ) = TB ( t ) =
U ( q A , qB ( t ) ) = U ( q A , t ) .

df
.
dt

13

Luận văn tốt nghiệp

và bỏ qua số hạng không quan trọng trong biểu thức LA, ta đợc
L A = T A ( q A , q A ) U ( q A , t ) .

Nh vậy nếu hệ chuyển động trong trờng ngoài thì thế năng của hệ phụ
thuộc vào thời gian t. Nếu U không phụ thuộc tờng minh vào thời gian t thì trờng ngoài là không đổi.
3. Ham Lagrăng loại II.
a. Phơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ.
Đối với cơ hệ liên kết giữ, dừng và lý tởng chúng ta có:

A( F ) + A F
k

trong đó:

qt
k

A( F )
k

=0

(17)


và

A F

qt
k


lần lợt là tổng công khả dĩ của các lực


hoạt động tác dụng lên cơ hệ và tổng cộng khả dĩ của các lực quán tính của
các chất điểm thuộc cơ hệ. Từ (17) chúng ta nhận đợc các dạng khác nhau của
phơng trình chuyển động của cơ hệ.
- Phơng trình tổng quát của động lực học trong dạng véc tơ:

(F
N

k =1

k

)

mk rk rk = 0 (18)

trong đó: Fk : Là lực hoạt động lên chất điểm Mk.
mk, rk: Là khối lợng và véc tơ điịnh vị của chất điểm Mk.
+ Đối với cơ hệ chịu liên kết Holonom giữ, dừng và lý tởng, chúng ta
có phơng trình Lagrăng loại II:

d T T
U

= Qi
, i=1...n(19)
dt q i qi
qi

trong đó: qi : Là toạ độ suy rộng của cơ hệ,


Luận văn tốt nghiệp

q i =

14

dqi
: Là vận tốc suy rộng.
dt

T: Là động năng của cơ hệ đợc biểu diễn qua các toạ độ suy rộng đủ và
các vận tốc suy rộng .
U: Là thế nămg của cơ hệ.
n: Là số bậc t do của cơ hệ.
phơng trình (19) có thể viết dới dạng:
d T L

= Qi (20)
dt q i qi

trong đó :L=T-U là hàm Lagrăng.
+ Trong trờng hợp tất cả các lực tác dụng lên cơ hệ đều là các lực có thế
thì phơng trình chuyển động của hệ có dạng:
d L L

=0
dt q i qi

+ Trong trờng hợp các lực suy rộng có cả các lực không thế, ta có
d T T

= Qi .
dt q i qi


15

Luận văn tốt nghiệp

Phần II: bài tập
I. Một số bài toán có một bậc tự do.
Bài 1:
Một cái đĩa có khối lợng m lăn không trợt theo mặt phẳng nghiêng hợp
với phơng ngang 1 góc . Hãy xác định gia tốc khối tâm của đĩa.

Giải:
* Phơng pháp cơ học véc tơ.
- Chọn vị trí ban đầu của vật làm gốc của hệ trục toạ độ.
- Chọn trục ox hớng theo chiều chuyển động khi vật chuyển động trên

mặt phẳng nghiêng, các lực tác dụng lên vật bao gồm:
+ trọng lực.
+ phản lực N của mặt phẳng nghiêng.
+ lực ma sát F ms .
áp dụng định luật II Niu tơn:



Fms + N + P = mWc (1)



Fms R = J c (2)

trong đó : Wc : Là gia tốc khối tâm của đĩa
m: Là khối lợng của vật.


16

Luận văn tốt nghiệp

Jc: Là mô men quán tính của đĩa tròn.
: Là gia tốc góc.
=

Wc
mR 2
; Jc=
.

R
2

Chiếu (1), (2) lên phơng chuyển động: Fms + P sin = mWc
Fms .R = J c
mg sin = mWc +

(1)
(2)

J c
2
Wc = g sin
R
3
2
3

Vậy gia tốc khối tâm của đĩa là: Wc = g sin .
* Phơng pháp cơ học giải tích.
Cơ hệ có một bậc tự do, chọn toạ độ suy rộng q = xc.
1
2

1
2

- Động năng của cơ hệ: T = mx c2 + J c 2
với là vận tốc góc của đĩa.
1

1 mR 2 x c2 3
T = mx c2 +
.
= mx c2
2
2 2 R2 4

- Thế năng của hệ: U = mgx c .sin
Hàm Lagrăng có dạng
L=TU=

3
mx c2 + mgx c . sin
4
d L

L

- Hệ có một bậc tự do nên có một phơng trình Lagrăng: dt x x = 0
c
c
L

L

3

với x = mg sin ; x = 2 mx c
c
c

vậy

3
2
mxc = mg sin xc = g sin
2
3

Wc = xc =

Bài 2:

2
g sin
3


17

Luận văn tốt nghiệp

Hai vật có trọng lợng P1, P2 đợc treo bằng một sợi dây mảnh không giãn
và cuốn vào hai ròng rọc đồng tâm, gắn liền nhau có bán kính r 1, r2. Các vật
chuyển động dới tác dụng của trọng lực của chúng. Xác định gia tốc góc của
ròng rọc, bỏ qua khối lợng của ròng rọc và dây buộc.
Giải:
*. Phơng pháp cơ học véc tơ.
Giả sử vật 1 đi xuống,vật 2 đi lên.
áp dụng định lý mô men xung lợng đối với cơ
hệ:

d Lz
= M z với L z : mô men động lợng đối với
dt

một trục.
M z : mô men của tất cả các ngoại lực

( )
M (P ) = P r .
M ( he ) = M ( P ) + M ( P ) = P r P r.
ta có: M z P1 = P1r1 .
z

z

z

2

1

2 2

z

2

1

2

- Mô men động lợng của P1:

Lzhệ

thay (2) vào (1):

L z ( P1 ) = r1

P1
P
v1 = 1 r12
g
g

L z ( P2 ) = r2

P2
P
v 2 = 2 r22
g
g

=

P1 2 P2 2
r1 + r2
g
g

P1 r12 + P2 r22 d
= P1 r1 P2 r2
g
dt

Vậy gia tốc của ròng rọc: =

d g ( P1 r1 P2 r2 )
=
dt
P1 r12 + P2 r22

* Phơng pháp cơ học giải tích.

(2)


18

Luận văn tốt nghiệp

Hệ có một bậc tự do. Chọn toạ độ suy rộng q=x 1: Chính là quãng đờng
của trọng vật P1.
Do vật 1 đi xuống,vật 2 đi lên: x 2 =

r2
x1 .
r1

1

2

- Động năng của vật 1: T1 = m1 x12
2


1
1 r
- Động năng của vật 2: T2 = m2 x 22 = m2 2 x1 .
2
2 r1
r
1
1
The = m1 x12 + m2 x12 2
2
2
r1





2

Thế năng của hệ: Chọn gốc thế năng tại O.
U = P1 x1 P2 x 2 = P1 x1 + P2 x1

r2
r1

d L

L

Phơng trình Lagrăng: dt x x = 0 với L=T-U .
1
1
r
L
r
L
= P1 2 P2 ;
= m1 x 1 + m2 2
Các đạo hàm riêng:
x1
r1
x 1
r1
r
m1 x1 + m2 2
r1
x1 =

2


x 1

2


r
x1 = P1 P2 2 .
r1


r1 P1 r2 P2
gr1 là gia tốc dài.
P1 r12 + P2 r22

Vậy gia tốc góc của ròng rọc: =

x1
rP r P
= 1 12 2 22 g
r1
P1 r1 + P2 r2

Bài 3: Môt vật A có trọng lợng P đợc kéo lên từ trạng thái đứng yên nhờ
tới B là đĩa tròn đồng chất có bán kính R, trọng lợng Q và chịu tác dụng của
ngẫu lực có mô men M xác địnhgia tốc của vật A.


19

Luận văn tốt nghiệp
Giải:
* Phơng pháp cơ học véc tơ:

Cơ hệ khảo sát gồm:
- Vật A chuyển động tịnh tiến.

- Tời B quay quanh trục cố định.
Cơ hệ có 1 bậc tự do.
- Các lực tác dụng lên hệ gồm: trọng lực P,Q ngẫu lực có mô men M và
các nội lực.
Trong đó chỉ có ngẫu lực có mô men M và trọng lực P sinh công, còn
Q không sinh công vì điểm đặt cố định, các nội lực cũng không sinh công.

- áp dụng định lý biến thiên động năng:

() ( )

T T0 = A P + A M (1)

trong đó: T0 = 0 vì ban đầu cơ hệ đứng yên
T = T A + TB

- Do vật A chuyển động tịnh tiến nên: T A =

PV A2
2g

tời B quay quanh trục cố định với vận tốc góc
TB =

J 2
2

QR 2
,
2g
J là mô men quán tính của tời đối với trục quay:
V
= A
R
J=

Động năng của hệ: T = T A + TB =

2 P + Q V A2
(2)
2g
2


20

Luận văn tốt nghiệp

gọi

A

k

A

k

là tổng công của tất cả các ngoại lực:

( ) ( )

= A M + A P = M . Ps

với S là quãng đờng dịch chuyển của vật A
Ak = M .

s
M

Ps = P s (3)
R
R


2 P + Q V A2 M

. = P s
thay (2) và (3) vào (1):
2g
2 R

lấy đạo hàm hai vế:


dV A M
2P + Q

ds ds
VA
= P
= VA .
;
2g
dt
dt
R
dt

2 P + Q dV A M
2 g ( M PR )
=
P WA =
( 2P + Q ) R
2g
dt
R

Vậy gia tốc của vật A là:
WA =

2 g ( M PR )
( 2P + Q) R

* Phơng pháp cơ học giải tích.
Cơ hệ khảo sát gồm: - Vật A chuyển động tịnh tiến.
- Tời B quay quanh trục cố định
Hệ có một bậc tự do, chọn toạ độ suy rộng q=s

PV A2 1 QV A2 2 P + Q V A2
+
=
Động năng của hệ: T = T A + TB =
2
4 g
2g
2

do VA = s T =

2P + Q s 2
2g 2

- Tính công của lực hoạt động.
Cho hệ một di chuyển khả dĩ s , công nguyên tố của các lực hoạt động
trong di chuyển khả dĩ đó là:

A = M Ps = M

s
Ps
R


21

Luận văn tốt nghiệp

Lực suy rộng: Q S =

A M
= P
s R

- Phơng trình Lagrăng :
T

d T T

= QS
dt s s
2P + Q

T
s ;
=0
Các đạo hàm riêng: =
s
2g
s


2P + Q
M
2g ( M PR )
s = P WA = s =
2g
R
( 2P + Q ) R

Vậy W A =

2 g ( M PR )
( 2P + Q) R

Bài 4
Một hệ thống chuyển tải gồm 2 trục là các trụ đặc tròn đồng chất có
trọng lợng Q bán kính R quay quanh các trục quay riêng cố định O 1, O2 và
bằng tải là đoạn dây khép kín không dãn có khối lợng m, các gầu xúc có trọng
lợng P1,,P2. Trục quay O1 chịu tác dụng của ngẫu lực M=const. Tìm vận tốc
của gầu xúc theo đoạn đờng di chuyển, cho biết ban đầu hệ đứng yên.

Giải
*. Phơng pháp cơ học véc tơ.
Khảo sát cơ hệ gồm.
Hai trục quay,băng tải.
Hai gầu xúc A,B.
- Lực tác dụng lên cơ hệ: Các lực sinh công
P1, P2, M, còn các trọng lực của 2 trục quay và
băng tải không sinh công vì điểm đặt của chúng
đứng yên.
- Động năng của hệ:
The = T01 + T02 + T A + TB + Tbangtai


22

Luận văn tốt nghiệp
trong đó

Ttruc

J 2
=
; VA=VB=V;
2

TA =

Q 2
P1 2
R
V A ; J 01 = J 02 =
2g
2g

TB =

P2 2
V
VB ; =
2g
R
1
2

Do dây không dẫn: Tbangtai = mV 2
Vậy:
The =

1 Q 2 2 P1 2 P2 2 1 Q 2 2 1
1 Q + P1 + P2
R +
V +
V +
R + mV 2 =
+ m V 2
2 2g
2g
2g
2 2g
2
2
g


Gọi

A

Ta có:

k

là công của tất cả các ngoại lực.

A

k

M
s

= P2 s P1s + M = P2 P1 + s với =
R
R


áp dụng định lý biến thiên động năng dạng tích phân
T T0 = Ak

do ban đầu hệ đứng yên T0 = 0 T = Ak
hay:


1 Q + P1 + P2
M


+ m v 2 = P2 P1 + s
2
g
R


Q + P1 + P2
dv
M ds
+ m v

= P2 P1 +
g
R dt

dt

- Lấy đạo hàm hai vế:
W =

( P2 P1 ) R + M g
dv
=
dt Q + P1 + P2 + mg

Vậy gia tốc của hệ: W =

( P2 P1 ) R + M
dv
=
g
dt Q + P1 + P2 + mg

*. Phơng pháp cơ học giải tích:

.


23

Luận văn tốt nghiệp

Hệ có một bậc tự do. Chọn s - quãng đờng đi của vật A làm toạ độ suy
rộng:


1 Q + P1 + P2
1 Q + P1 + P2
+ m v 2 =
+ m s 2
2
g
2
g



Động năng của hệ: T =
Tính lực suy rộng Q:

cho hệ một di chuyển khả dĩ s . Công nguyên tố của các lực hoạt động
trong di chuyển khả dĩ s là:
A = P2s P1s + M với =

s
R

M

A = P2 P1 + s
R

A

M

- lực suy rộng: Qs = s = P2 P1 + R
Sử dụng phơng trình Lagrăng:
T

d T T

= Qs
dt s s

Q + P1 + P2
T
+ m s ;
=0
g
s


các đạo hàm riêng: =
s

Q + P1 + P2

( P2 P1 ) P + M g
M

+ m s = P2 P1 + W = s =
.
g
R
Q + P1 + P2 + mg


Bài 5:
Xác định gia tốc góc của tay quay làm cho thớc vẽ elíp đặt trong mặt
phẳng nằm ngang chuyển động. Cho biết mô men quay M 0 tác dụng lên trục
của tay quay. Tay quay và thớc xem là những thanh
lăng trụ đồng chất có trọng lợng P và 2P. OA = AC =
BC = a. Trọng lợng các con chạy A, B là nh nhau và
bằng Q. Bỏ qua ma sát.
Giải:
*. Phơng pháp cơ học véc tơ:
Khảo sát cơ hệ gồm tay quay, thớc vẽ


24

Luận văn tốt nghiệp
Và các con chạy A,B.



- Các lực tác dụng lên hệ gồm: Trọng lực P , Q ,
mô men quay M0.
Ta thấy chỉ có mô men quay thực hiện công,

còn các trọng lực không sinh công vì cơ hệ đợc
đặt trong mặt phẳng nằm ngang cố định.
- Động năng của hệ: The = TAB+TA+TB+T0
Toạ độ A, B, C đợc xác định:
xA = 0;

xB = 2a cos ; xC = a cos

yA = 2asin ; yB = 0;
TOC =

yC = a sin

P 2
1
a là mô men quán tính của thanh OC.
mVC2 với J 0 =
3g
2
T AB =

2P 2
1
1
a ; VC = a
mVC2 + J C 2 ; J C =
3g
2
2

TA =

1 Q 2 2Q 2 2
y A =
a cos 2
2g
g

TB =

1 Q 2 2Q 2 2
x B =
a sin 2
2g
g

Vậy The =

3P + 4Q 2 2
a .
2g

+ Công của lực tác dụng lên hệ :

A

k

= M 0 .

áp dụng định lý biến thiên động năng dạng tích phân:
T T0 = Ak ;T0=0 vì ban đầu cơ hệ đứng yên.
T = Ak .

Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian:

dT dA
=
.
dt
dt


25

Luận văn tốt nghiệp

3P + 4Q 2 d 2
d 3P + 4Q 2 d

a
= M0

a
= Mo
2g
dt
dt
g
dt

=

M 0g
d
=
dt ( 3P + 4Q ) a 2

Vậy gia tốc góc của tay quay: =

M0g
( 3P + 4Q ) a 2 .

*. Phơng pháp cơ học giải tích.
Hệ có một bậc tự do. Chọn toạ độ suy rộng q= . Tơng tự nh trên ta có
động năng của hệ là: T =

3P + 4Q 2 2
a
2g

Tìm lực suy rộng tơng ứng toạ độ suy rộng .
Công nguyên tố của hệ: A = Q j q j . Do chỉ có mô men quay thực
hiện công nên khi cho hệ 1 di chuyển khả dĩ d thì công nguyên tố là:
A = M 0 = Q Q =

Phơng trình Lagrăng :
Vậy

3P + 4Q 2
a = M 0

g

= =

Bài 6:

M0g
( 3P + 4Q ) a 2 .

A
= M0


d T T
T
T 3P + 4Q 2

= Q ;
= 0;
=
a
dt


g