Các hàm nửa liên tục và đa điều hoà dưới

1

mục lục

Trang
Lời giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chơng 1. Hàm nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hàm nửa liên tục trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chơng 2. Các hàm điều hòa dới và đa điều hòa dới . . . . . . . . . . . 26
2.1 Các hàm điều hòa và điều hòa dới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Hàm đa điều hòa dới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


2

lời giới thiệu
Trong giải tích phức, các hàm điều hòa, điều hòa dới và đa điều hòa
dới đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của các hàm
chỉnh hình nhiều biến, đặc biệt là trong lý thuyết đa thế vị. Nó thu hút đợc
sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Sau một thời gian nghiên cứu các tài liệu có liên quan và dới sự dẫn
dắt và giúp đỡ của thầy PGS.TS. Đinh Huy Hoàng chúng tôi đã chọn đề tài
"Các hàm nửa liên tục và đa điều hòa dới". Mục đích của luận văn là
tìm hiểu nghiên cứu các tính chất, cấu trúc của lớp các hàm nửa liên tục,
từ đó nghiên cứu tính chất của các hàm điều hòa, điều hòa dới và đa điều
hòa dới. Với mục đích đó luận văn đợc trình bày thành hai chơng.
Chơng 1. Hàm nửa liên tục
Phần đầu tiên của chơng, trình bày một số khái niệm và kết quả cơ

bản về không gian tôpô, không gian mêtric, các hàm chỉnh hình mà chúng
ta cần dùng trong luận văn.
Phần tiếp theo, dựa vào các khái niệm hàm nửa liên tục trên không
gian mêtric chúng tôi trình bày khái niệm hàm nửa liên tục trên không gian
tôpô và xét xem các tính chất tơng tự nh hàm nửa liên tục trên không
gian mêtric còn đúng cho trờng hợp không gian tôpô nữa hay không?
Chơng 2. Các hàm điều hòa dới và đa điều hòa dới
Phần đầu của chơng, trình này bày các khái niệm và tính chất của
các hàm điều hòa và điều hòa dới.
Phần thứ hai, trình bày khái niệm và một số tính chất của hàm điều
hòa dới; nghiên cứu cấu trúc của họ các hàm đa điều hòa dới.
Các kết quả trong luận văn hầu hết là đã có trong các tài liệu tham


3
khảo. Chúng tôi đã tìm hiểu, trình bày chi tiết theo mục đích của mình;
chứng minh chi tiết một số kết quả mà trong các tài liệu chỉ chứng minh
vắn tắt hoặc không chứng minh. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đa ra và
chứng minh một vài kết quả, đó là Mệnh đề 1.2.8, Định lí 2.2.8 và Hệ quả
2.2.9.
Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Đại học Vinh và Đại học
Đồng Tháp dới sự hớng dẫn tận tình của thầy PGS.TS. Đinh Huy Hoàng.
Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
PGS.TS. Đinh Huy Hoàng ngời đã hết lòng, tận tình giúp đỡ tôi từng
bớc nghiên cứu khoa học, ngời đã động viên giúp tôi vững tin để hoàn
thành luận văn nghiên cứu khoa học của mình.
Xin trân trọng cảm ơn các thầy trong tổ Giải tích trờng Đại học Vinh
đã nhiệt tình trong giảng dạy và đóng góp ý kiến, cũng nh động viên giúp
cho tôi hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trờng Đại học Vinh, Ban Giám

Hiệu Trờng Đại học Đồng Tháp và Khoa sau đại học trờng Đại học Vinh,
Đại học Đồng Tháp đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt
khóa học.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót nhất định. Vì vậy chúng tôi rất mong nhận đợc những ý
kiến đóng góp quí báu của các thầy cô giáo và bạn đọc để luận văn đợc
hoàn thiện hơn.

Tác giả


4

Chơng 1. hàm nửa liên tục

Trong chơng này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về hàm nửa liên
tục trên, nửa liên tục dới, các phép toán trên tập hợp các hàm nửa liên tục.
Sau đó chứng minh một số tính chất của các hàm nửa liên tục và cấu trúc
của họ các hàm nửa liên tục.

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trong mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cần dùng trong
luận văn.

1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một tập hợp bất kì khác rỗng. Một họ
các tập con của X đợc gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
sau:
1) , X ;
2) Nếu U1, U2 thì U1 U2 ;
3) Nếu Ui , i I thì

Ui .
iI

Tập X cùng với một tôpô trên nó đợc gọi là một không gian tôpô.

1.1.2. Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô với tôpô . Một tập hợp
V X đợc gọi là lân cận của x nếu tồn tại U sao cho x U V.

1.1.3. Định nghĩa. Cho (X, ) là một không gian tôpô. Ta gọi mọi tập
U là tập mở.
Mọi tập con A X đợc gọi là tập đóng nếu X\A là tập mở.


5

1.1.4. Định lí. Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là tập đóng. Giao
của một họ tùy ý các tập đóng là tập đóng.

1.1.5. Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô. Tập con A X
gọi là compact (trong X) nếu mọi phủ mở của A đều có một phủ con hữu
hạn. Điều này có nghĩa là nếu Ui là các tập con mở của X với mọi i I
sao cho

Ui A thì tồn tại tập con hữu hạn Io của I sao cho
iI

Ui A.
iIo

Không gian X đợc gọi là không gian compact nếu X là tập compact
trong X. Tức là nếu Ui là mở trong X, với mọi i I và
một tập hữu hạn Io I sao cho

Ui = X.

Ui = X thì có
iI

iIo

1.1.6. Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng và hàm d : X ìX R.
Hàm d đợc gọi là một mêtric hay khoảng cách trên X nếu thỏa mãn các
điều kiện sau:
1) d(x, y) 0 x, y X,

d(x, y) = 0 x = y;

2) d(x, y) = d(y, x) x, y X;
3) d(x, y) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X.
Tập X cùng với một mêtric trên nó đợc gọi là không gian mêtric.

1.1.7. Định lí. Cho A là tập con của không gian mêtric X. Khi đó A
là compact khi và chỉ khi mọi dãy {an } A có dãy con {ank } hội tụ đến
a A.

1.1.8. Định nghĩa. Ta nói ánh xạ f : X Y , với X và Y là các không
gian tôpô, là liên tục tại xo X nếu với mọi lân cận V của f (xo) tồn tại
lân cận U của xo sao cho f (U ) V .
Nếu f liên tục tại mọi x X, ta nói f liên tục trên X.

6

1.1.9. Định nghĩa. Giả sử X là không gian mêtric và f : X R. Nếu
một dãy nào đó {xn } X, xn xo X, dãy {f (xn)} có giới hạn (hữu
hạn hay vô hạn), thì giới hạn đó đợc gọi là giới hạn riêng của f khi
x xo .
Số lớn nhất ( tơng ứng bé nhất ) trong trong các giới hạn riêng đợc
gọi là giới hạn trên (tơng ứng dới) của f khi x xo và viết là lim f (x)
xxo

(tơng ứng lim f (x)), hay lim sup f (x) (tơng ứng lim inf f (x)).
xxo

xxo

xxo

Từ định nghĩa đó ta có
lim f (x) = inf {sup{f (x) : x B(xo, )}}

xxo

>0

và
lim f (x) = sup{inf{f (x) : x B(xo , )}}.
xxo

>0

1.1.10. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian
Lindelop nếu mọi phủ mở của nó có một phủ con đếm đợc.

1.1.11. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian tôpô và

b là một họ

b gọi là một cơ sở tôpô của không gian X, nếu
và mọi lân cận V của x, đều tồn tại B b sao cho

những tập mở của X. Họ
với mọi điểm x X
x B V.
Một cơ sở tôpô

b của không gian tôpô X

gọi là đếm đợc nếu

b gồm

một số (không quá) đếm đợc những tập mở.
Không gian tôpô X đợc gọi là thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ hai nếu
có một cơ sở tôpô đếm đợc.

1.1.12. Định lí (Lindelop). Mọi không gian tôpô X có cơ sở tôpô đếm
đợc là Lindelop.

7

1.1.13. Định nghĩa. Giả sử D là tập mở trong C, f là hàm từ D vào C
và zo là điểm thuộc D. Nếu tồn tại giới hạn
f (zo + z) f (zo )
z0
z
lim

thì ta nói f có đạo hàm hay khả vi (theo nghĩa phức) tại zo và gọi đó là
đạo hàm của f tại zo . Ta kí hiệu đạo hàm của f tại zo bởi f (zo ).
Hàm f đợc gọi là chỉnh hình tại zo nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc
một lân cận nào đó của zo .

1.1.14. Định nghĩa. Giả sử D là tập mở trong Cn và f : D C với
f = u + iv, trong đó u = Ref, v = Imf là hai hàm nhận giá trị thực xác
định trên
G = {(x1, y1, . . . , xn, yn) R2n : (x1 + iy1 , . . . , xn + iyn ) D}.
Với mỗi z = (z1, . . . , zn ) D,

zj = xj + iyj ;

j = 1, . . . , n ta kí

hiệu
1 f
f
f
1 f

f
f
,
.
=
i
=
+i
zj
2 xj
yj
zj
2 xj
yj
Hàm f đợc gọi là khả vi tại điểm z D nếu các hàm u, v khả vi tại
(x1, y1 , . . . , xn, yn ) và
f
(z) = 0,
zj

j = 1, . . . , n.

Hàm f đợc gọi là chỉnh hình tại điểm z nếu f khả vi tại mọi điểm thuộc
một lân cận nào đó của z.
Hàm f đợc gọi là chỉnh hình trên D nếu f chỉnh hình tại mọi điểm
thuộc D.

1.1.15. Định nghĩa. Giả sử D là tập mở trong Cn và f : D Cm với
f = (f1, . . . , fm), trong đó fj : D C với j = 1, . . . , m. Hàm f đợc

8
gọi là chỉnh hình tại điểm z D nếu các hàm fj chỉnh hình tại z với
j = 1, . . . , m. Hàm f đợc gọi là chỉnh hình trên D nếu nó chỉnh hình tại
mọi điểm thuộc D.

1.1.16. Định lí (Tính khả vi của hàm hợp). Giả sử D là tập mở trong
Cn và f : D C khả vi tại z D. Khi đó
1) Nếu : C C là hàm khả vi tại w = f (z) thì hàm hợp of khả vi
tại z.
2) Nếu : Cm Cn khả vi tại t Cm và (t) = z thì hàm hợp f o
khả vi tại t.


9

1.2. Hàm nửa liên tục trên
Trong mục này sẽ trình bày các khái niệm và tính chất có liên quan của
các hàm nửa liên tục.

1.2.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, f : X R là ánh xạ
từ tập X vào tập hợp các số thực R.
1) Ta nói hàm f là nửa liên tục trên tại xo X nếu với mọi số thực
R mà f (xo) < thì tồn tại lân cận mở U của xo trong X sao
cho f (x) < , với mọi x U .
2) Hàm f đợc gọi là nửa liên tục dới tại xo X nếu với mọi số thực
R mà f (xo) > thì tồn tại lân cận mở V của xo trong X sao
cho f (x) > , với mọi x V .
3) Hàm f : X R đợc gọi là nửa liên tục trên (tơng ứng dới) trên
X nếu nó là hàm nửa liên tục trên (tơng ứng dới) tại mọi điểm

thuộc X.

1.2.2. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R là hàm
nửa liên tục trên trên X và số thực c R. Khi đó
1) Nếu c > 0 thì c.f là hàm nửa liên tục trên trên X.
2) Nếu c < 0 thì c.f là hàm nửa liên tục dới trên X.
Chứng minh. 1). Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục trên trên

X, c > 0. Với xo là điểm bất kì của X, với mỗi số thực R và

c.f (xo) < . Do c > 0 nên từ c.f (xo) < . Suy ra f (xo) < . Theo giả
c
thiết f là hàm nửa liên tục trên trên X nên f là hàm nửa liên tục trên tại


10

, x U suy ra
c
c.f (x) < , x U . Vậy c.f là hàm nửa liên tục trên tại xo X. Vì xo

xo . Do đó tồn tại lân cận mở U của xo sao cho f (x) <

là điểm bất kì của X nên c.f là hàm nửa liên tục trên trên X.
2). Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục trên trên X và c < 0. Với mỗi

xo X và với mỗi số thực R và c.f (xo) > , vì c < 0 nên f (xo) < .
c
Do f là hàm nửa liên tục trên trên X nên f là hàm nửa liên tục trên tại

xo . Do đó tồn tại lân cận mở V của điểm xo thỏa mãn f (x) < , với mọi
c
x V . Vì c < 0 nên c.f (x) > với mọi x V . Do đó c.f là hàm nửa
liên tục dới tại xo . Vì xo là điểm bất kì của X nên c.f là hàm nửa liên
tục dới trên X.

1.2.3. Nhận xét.
1). Cho X là không gian tôpô, f : X R là hàm nửa liên tục dới trên

X và số thực c R. Khi đó
+ Nếu c > 0 thì c.f là hàm nửa liên tục dới trên X.
+ Nếu c < 0 thì c.f là hàm nửa liên tục trên trên X.
2). Cho X là không gian tôpô, f : X R khi đó, f là hàm nửa liên

tục trên trên X khi và chỉ khi f là hàm nửa liên tục dới trên X.

1.2.4. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R. Khi
đó, f là hàm nửa liên tục trên trên X khi và chỉ khi với mỗi số thực R
thì tập {x X : f (x) } là đóng.
Chứng minh. + Điều kiện cần. Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục

trên trên X, với mỗi số thực R, ta đặt
A = {x X : f (x) }.


11
Để chứng minh A là tập đóng trong X ta cần chứng minh X\A là tập
mở. Đặt
B = X\A = {x X : f (x) < }.
Với mỗi xo B thì f (xo) < . Do f là hàm nửa liên tục trên tại xo nên

tồn tại lân cận mở U của xo sao cho f (x) < , với mọi x U . Ta nhận
thấy xo U B = X\A. Do đó B là lân cận của xo. Vì xo lấy bất kì
thuộc B nên B là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Vậy B là tập mở. Do
đó
A = {x X : f (x) }
là tập đóng trong X.
+ Điều kiện đủ. Giả sử A = {x X : f (x) } là tập đóng trong X,

với mọi R. Ta cần chứng minh f : X R là hàm nửa liên tục trên
trên X. Từ
A = {x X : f (x) }, R
là tập đóng trong X, suy ra
B = X\A = {x X : f (x) < }, R
là tập mở trong X. Với mỗi xo X thỏa mãn f (xo) < thì xo B. Do
B là tập mở, nên tồn tại lân cận mở V của xo trong B sao cho f (x) <
với mọi x V B. Suy ra f là hàm nửa liên tục trên tại xo . Vì xo là
điểm bất kì thuộc X nên f là hàm nửa liên tục trên trên X.

1.2.5. Nhận xét. Giả sử X là không gian tôpô, f : X R. Khi đó f là
hàm nửa liên tục dới trên X khi và chỉ khi tập {x X : f (x) r, r R}
là tập đóng trong X.

(chứng minh tơng tự Mệnh đề 1.2.4)

Từ mệnh đề 1.2.4 và nhận xét 1.2.5 ta có Hệ quả sau.


12

1.2.6. Hệ quả. Giả sử X là không gian tôpô, f : X R. Khi đó, f là

hàm nửa liên tục trên (tơng ứng, nửa liên tục dới) trên X khi và chỉ khi
với mỗi c R, tập {x X : f (x) < c} (tơng ứng tập {x X : f (x) > c})
là mở trong X.

1.2.7. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f, g và các
f : X R, I là các hàm nửa liên tục trên trên X. Khi đó, max(f, g),
inf f và f + g là các hàm nửa liên tục trên trên X, trong đó I là tập chỉ

I

số bất kì.
Chứng minh. Ta dùng Hệ quả 1.2.6 để chứng minh Mệnh đề 1.2.7

Giả sử c R. Khi đó ta có
{x X : max(f (x), g(x)) < c} = {x X : f (x) < c}{x X : g(x) < c}.
Vì hai tập {x X : f (x) < c} và {x X : g(x) < c} là mở (do f và
g là nửa liên tục trên) nên {x X : max(f (x), g(x)) < c} là mở. Do đó
max(f, g) là nửa liên tục trên trên X.
Giả sử c R. Đặt
E = {x X : inf f (x) < c}
I

và

F = {x X : f (x) < c, I}.

Khi đó, các F là mở với I vì các f nửa liên tục trên. Mặt khác
tập E =

F . Thật vậy, rõ ràng nếu x

F thì x E, nghĩa là
I

I

F E.
I

Ngợc lại, giả sử x E. Khi đó, tồn tại o I sao cho fo (x) < c bởi

vì nếu fo (x) c với mọi I thì inf {f(x) : I} x, tức là x
/ E.
F và ta có E

Từ fo (x) < c suy ra x Fo . Do đó x
vậy E =

F . Nh
I

I

F . Vì các F mở nên E mở. Do đó inf f là hàm nửa liên
I

I


13

tục trên trên X.
Bây giờ ta chứng minh f + g nửa liên tục trên trên X. Với mọi c R,
đặt
E = {x X : f (x) + g(x) < c}.
Với mọi xo E, chọn c1 , c2 R sao cho f (xo) < c1 , g(xo) < c2 và
c1 + c2 < c. Đặt
E1 = {x X : f (x) < c1 } , E2 = {x X : g(x) < c2 }.
Với mỗi x E1 E2 ta có
f (x) + g(x) < c1 + c2 < c.
Do đó x E và ta có E1 E2 E. Mặt khác do f + g nửa liên tục
trên trên E1 và E2 mở. Từ đó E1 E2 là tập mở chứa xo . Từ đó suy ra E
là tập mở.
Vậy f + g nửa liên tục trên trên X.

1.2.8. Mệnh đề. Giả sử X là không gian tôpô và {fn} là dãy các hàm
nửa liên tục trên (tơng ứng dới) trên X. Khi đó nếu {fn} hội tụ đều tới
hàm f trên X thì f nửa liên tục trên (tơng ứng dới) trên X.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho trờng hợp nửa liên tục trên,

trờng hợp còn lại đợc chứng minh tơng tự.
Với mọi > 0 và với mọi xo X, vì fn f trên X nên tồn tại số tự
nhiên no sao cho

|f (x) fn (x)| < ,
3

n

no , x X.

(1.1)

Vì fno nửa liên tục trên tại xo nên tồn tại một lân cận U của xo sao cho

fno (x) fno (xo) < ,
3

x U.

(1.2)


14
Khi đó, với mọi x U từ (1.1) và (1.2) ta có
f (x) f (xo) = f (x) fno (x) + fno (x) fno (xo ) + fno (xo) f (xo) < .
Do đó f nửa liên tục trên tại xo . Vì xo là điểm bất kì của X nên f nửa
liên tục trên trên X.

1.2.9. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R là hàm
1
nửa liên tục dới trên X, f (x) 0 với mọi x X. Khi đó là hàm nửa
f
liên tục trên từ X vào R.
Chứng minh. Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục dới trên X,
1
f (x) 0 với mọi x X. Giả sử c R ta chứng minh x X :
f (x)
là tập mở.

+ Nếu c > 0 thì ta có
xX:

1
f (x)

xX:

=

1
< f (x)
c

là tập mở vì f là hàm nửa liên tục dới.
+ Nếu c 0 thì ta có
x X. Do đó
Vậy

xX:

xX:

1
f (x)

1

f (x)

= vì f (x) 0 với mọi

là tập mở với mọi c R.

1
là hàm nửa liên tục trên trên X.
f

1.2.10. Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X R và xo X.
1) Ta nói hàm f cực tiểu tơng đối tại xo nếu tồn tại lân cận U của xo
sao cho f (x) f (xo) với mọi x U .
2) Ta nói hàm f có cực đại tơng đối tại xo nếu tồn tại lân cận U của xo
sao cho f (x) f (xo) với mọi x U .


15

1.2.11. Mệnh đề. Cho ánh xạ f : X R và xo X.
1) Nếu f đạt cực tiểu tơng đối tại xo thì f là hàm nửa liên tục dới tại
xo .
2) Nếu f đạt cực đại tơng đối tại xo thì f là hàm nửa liên tục trên tại
xo .
Chứng minh. suy ra từ định nghĩa 1.2.1 và định nghĩa 1.2.10.

1.2.12. Định lí. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R là hàm
liên tục trên X khi và chỉ khi f đồng thời là hàm nửa liên tục trên và nửa
liên tục dới trên X.
Chứng minh. + Điều kiện cần. Giả sử f : X R là hàm liên tục trên

X, ta cần chứng minh f là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dới trên
X.
Thật vậy , với mỗi xo X và với mỗi số thực R thỏa mãn f (xo) < .
Đặt = f (xo)

(1.3)

Vì hàm f là liên tục tại xo nên tồn tại lân cận U của xo sao cho
| f (x) f (xo) |< , x U.

(1.4)

Từ (1.3) và (1.4) suy ra f (x) < với mọi x U . Vậy f là hàm nửa liên
tục trên tại xo X. Vì xo lấy bất kì thuộc X nên f là hàm nửa liên tục
trên trên X. Chứng minh hoàn toàn tơng tự ta cũng có f là hàm nửa liên
tục dới trên X.
+ Điều kiện đủ. Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục trên và nửa liên

tục dới trên X. Ta cần chứng minh f là hàm liên tục trên X. Với mỗi
xo X và > 0 bé tùy ý. Vì f là hàm nửa liên tục trên tại xo nên tồn tại


16
lân cận mở V1 của xo sao cho
f (x) < f (xo) + , x V1 .
Mặt khác, f là hàm nửa liên tục dới tại xo nên tồn tại lân cận mở V2 của
xo sao cho
f (x) > f (xo) , x V2 .
Đặt V = V1 V2 thì V là lân cận của xo và ta có

f (xo) < f (x) < f (xo) + , x V
hay
| f (x) f (xo) |< , x V,
nghĩa là f liên tục tại xo . Vì xo lấy bất kì thuộc X nên f là hàm liên tục
trên X.

1.2.13. Mệnh đề. Giả sử X là không gian mêtric và f : X R là hàm
nửa liên tục trên trên X, a X. Khi đó
lim f (x) = f (a).

xa

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có

lim f (x) = inf {sup{f (x) : x B(xo , )}}.

xa

>0

Vì hàm f là nửa liên tục trên tại a X nên với mỗi số thực R
thỏa mãn f (a) < , thì tồn tại lân cận U của a sao cho f (x) < , với mọi
x U . Từ đó suy ra với mọi > 0 ắt tồn tại hình cầu B(a, ) sao cho
f (x) < f (a) + , x B(a, ).


17
Do đó
sup f (x) f (a) + .
xB(a,)

Từ đó suy ra
lim f (x) = inf sup f (x) f (a).

xa

>0

(1.5)

xB(a,)

Mặt khác
sup f (x) f (a)
xB(a,)

nên
lim f (x) f (a).

(1.6)

xa

Từ (1.5) và (1.6) ta suy ra
lim f (x) = f (a).

xa

1.2.14. Nhận xét. Hoàn toàn tơng tự ta có kết quả : Giả sử X là không
gian mêtric và f : X R là hàm nửa liên tục dới trên X, a X. Khi đó

lim f (x) = f (a).
xa

1.2.15. Hệ quả. Nếu f : X R liên tục trên không gian mêtric X,
a X thì
lim f (x) = f (a).

xa

Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.12 và Mệnh đề 1.2.13 từ

đẳng thức
lim f (x) = lim f (x) = f (a).

xa

xa


18

1.2.16. Định lí. Mọi hàm nửa liên tục trên (tơng ứng nửa liên tục dới)
trên không gian mêtric compact đạt cận trên đúng (tơng ứng cận dới
đúng).
Chứng minh. Giả sử X là không gian mêtric compact, ánh xạ f : X R

là hàm nửa liên tục trên trên X. Ta cần chứng minh f đạt cận trên đúng
trên X. Để chứng minh f đạt cận trên đúng trên X ta sẽ chứng minh tồn
tại xo X sao cho
f (xo) = sup f (x).

xX

Đặt
Un = {x X : f (x) < n}, n = 1, 2 . . .
Vì f là hàm nửa liên tục trên trên X nên với mọi n thì Un là các tập mở
trong X và
U1 U2 . . . Un . . .
Ta có X


n=1

Un nên {Un}
n=1 là phủ mở của X. Do X là không

gian mêtric compact nên tồn tại phủ con hữu hạn {Unk } {Un} sao cho
k

X
i=1

Uni . Khi đó, tồn tại chỉ số nko để X Unko . Do đó
f (x) < nko

, x X

và

sup f (x) nko .

xX

Từ tính chất của sup ta xác định đợc dãy {xi} X sao cho
f (xi) sup f (x). Mặt khác, từ tính chất compact của X ta có thể tách ra
xX

dãy con {xik } {xi} sao cho xik xo X. Khi đó f (xik ) sup f (x).
xX

Do f là hàm nửa liên tục trên trên X nên ta có

sup f (x) = lim f (xik ) lim f (x) = f (xo) sup f (x)
ik

xX

xxo

nên f (xo) = sup f (x).
xX

Vậy hàm f đạt cận trên đúng trong X.

xX


19

1.2.17. Định lí. Giả sử X là không gian tôpô thỏa mãn tiên đề đếm
đợc thứ hai và {u : I} là họ các hàm nửa liên tục trên trên X, trong

đó I là tập chỉ số bất kì. Đặt
u(x) = inf {u (x) : I}

, x X.

Khi đó u là hàm nửa liên tục trên trên X và tồn tại họ con đếm đợc I'
của I sao cho
u(x) = inf {u(x) : I }.
Chứng minh. Theo mệnh đề 1.2.7, u là hàm nửa liên tục trên trên X.

Với mọi I, đặt
U = {(x, t) X ì R : u (x) < t}.
Ta có
({x X : u (x) < t} ì (t, )), I.

U =
tR

Do đó U là tập mở với mọi I. Tơng tự ta cũng có
V = {(x, t) X ì R : u(x) < t}
là tập mở trong X ì R. Hơn nữa {U : I} là một phủ mở của V . Theo
định lí Lindelôp ắt tồn tại họ con đếm đợc I' của I sao cho {U : I }
phủ V. Bây giờ ta sẽ chứng minh u = inf {u : I }. Giả sử x X.
Đặt
t = u(x) = inf {u (x) : I}.
Khi đó, với mọi > 0 ta có u(x) < t + . Do đó (x, t + ) V . Từ
{U : I } phủ V suy ra tồn tại I sao cho (x, t + ) U . Do đó
u (x) < t + và ta có
t inf {u(x) : I } < t + .

20
Từ đó suy ra
inf {u(x) : I } = t = u(x).

1.2.18. Định lí. Giả sử X là không gian mêtric compact và
f : X [; ) là hàm nửa liên tục trên. Khi đó f là giới hạn của một
dãy giảm các hàm liên tục trên X.
Chứng minh. Theo định lí 1.2.17, ta chỉ cần chứng minh tồn tại họ

U C(X) (họ các hàm liên tục trên X) sao cho u = inf {f : f U}. Bởi
vì khi đó sẽ tồn tại họ {fi : i N} U sao cho u = inf {fi : i N} và do
đó dãy {ui } với ui = min{f1 , . . . , fn} sẽ có tính chất cần thiết. Bây giờ ta
chỉ ra tồn tại họ

U.

Giả sử M R sao cho
u(x) < M 1, x X.

Với mỗi x X và (0, 1), chọn r,x > 0 sao cho
u(y) < u(x) + , y B(x, r,x).
Đặt


M
, nếu y X\B(x, r,x)
u,r (y) =
d(x, y)

[M u(x) ] + u(x) + , nếu y B(x, r,x).

r,x

Khi đó u,x C(X). Đặt

U = {u,x : (0, 1), x X}.
Với mọi y X ta có
u(y) = inf {u,x(y) : u,x U}.


21
Thật vậy,
inf {u,x(y) : u,x U} u,x(y) = u(y) + .

(1.7)

Mặt khác, từ
u(x) < u(x) + , x B(x, r,x)
và
u(x) < M 1 < M, x B(x, r,x)
suy ra
u(y) u,x(y),

x X.

Do đó
u(y) inf {u,x(y) : x X, (0, 1)}
= inf {u,x(y) : u,x U}.
Kết hợp với (1.7) ta có

u(y) = inf {u,x(y) : u,x U}.
Vậy
u = inf {u,x : u,x U}.

1.2.19. Chú ý. Trong định lí 1.2.18 nếu thay giả thiết X là không gian
mêtric compact bởi giả thiết X là không gian mêtric thì kết quả vẫn đúng.
Có thể xem chứng minh kết quả này trong [2].

1.2.20. Bổ đề. Giả sử a b + và dãy {an } giảm tới a còn
dãy {bn} tăng tới b. Giả sử dãy {n } và {n } là các dãy số thực xác định


22
theo qui nạp
1 = a1

,

1 = min(1 , b1)

2 = max(1 , a2)

,

2 = min(2 , b2)

..................

,

..................

n = max(n1, an )

,

n = min(n , bn)

..................

,

..................

Khi đó dãy {n } là dãy giảm, {n} là dãy tăng và chúng có cùng giới hạn
là c thỏa mãn a c b.
Chứng minh. Từ sự xác định của dãy {n }, {n} và {an } là dãy giảm,

ta có
n an an+1

và

n n .

Khi đó
n+1 = max(n , an+1) n .
Điều này chứng tỏ {n } là dãy giảm. Tơng tự n bn bn+1 và
n+1 n . Do đó n+1 = min(n+1, bn+1 n , hay {n } là dãy tăng.
Từ n n suy ra tồn tại các giới hạn = lim n

n

và

= lim n .
n

Hơn nữa , b, a. Khi đó
= lim [max(n1, an )] = max(, a),
n

= lim [min(n , bn)] = min(, b).
n

Suy ra a, và b. Ta cần chứng minh = . Giả sử ngợc lại
= , Khi đó > . Từ các hệ thức = max(, a),

= min(, b)

suy ra a = > = b. Đây là điều mâu thuẫn. Do đó ta có = .
Vậy = = c và a c b.


23

1.2.21. Định lí. Giả sử X là không gian mêtric. f, g : X R với f
là hàm nửa liên tục trên và g là hàm nửa liên tục dới trên X thỏa mãn
f (x) g(x), với mọi x X. Khi đó tồn tại hàm liên tục trên X sao
cho f (x) (x) g(x).
Chứng minh. Vì f : X R là hàm nửa liên tục trên trên X nên theo

định lí 1.2.18 và chú ý 1.2.19 tồn tại dãy giảm các hàm liên tục {fn } trên
X và {fn } hội tụ về f . Tơng tự nh đối với hàm nửa liên tục trên, từ
g : X R là hàm nửa liên tục dới trên X suy ra tồn tại dãy tăng các
hàm liên tục {gn } trên X và {gn} hội tụ về hàm g. Với mỗi x X ta xác

định dãy {n(x)}
n=1 và {(x)}n=1 nh sau

1(x) = f1 (x)

, 1 (x) = min(1(x), g1(x))

2(x) = max(1 (x), f2(x))

, 2 (x) = min(2(x), g2(x))

..................

, ..................

n (x) = max(n1(x), fn(x)) , n (x) = min(n (x), gn(x))
..................

, ..................


theo cách xác định trên thì {n }
n=1 và {n }n=1 là dãy các hàm liên tục

trên X, áp dụng bổ đề 1.2.20 ta suy ra
lim n (x) = lim n (x) = lim (x)

n

n

n

và thỏa mãn
f (x) (x) g(x).

Mặt khác {n}
n=1 là dãy giảm và {n }n=1 là dãy tăng nên ta suy ra

(x) là hàm nửa liên tục dới và nửa liên tục trên trên X. Do đó hàm là
hàm liên tục trên X.

1.2.22. Ví dụ. Cho X là không gian mêtric, F là tập đóng trong X, ánh


24
xạ f : X R đợc xác định bởi công thức

1 nếu x F
f (x) =
0 nếu x
/F

là hàm nửa liên tục trên trên X.

Chứng minh. Với xo bất kì thuộc X.

+ Nếu xo
/ F , tức là xo X\F và R sao cho > f (xo) = 0. Khi đó
tồn tại lân cận U của x sao cho x U X\F X và > f (x) = 0 với
mọi x U .
+ Nếu xo intF và R sao cho > f (xo) = 1 thì tồn tại lân cận U
của xo thỏa mãn xo U intF F và f (x) = 1 < với mọi x U .
+ Nếu xo F = F \intF (Do F đóng) và R sao cho > f (xo) thì
> 1. Khi đó, với mọi lân cận U của xo thì f (x) 1 <

x U.

Vậy f là hàm nửa liên tục trên trên X.

1.2.23. Ví dụ. Giả sử X là không gian mêtric, ánh xạ f A : X R đợc
xác định bởi

1 nếu x A
f A (x) =
0 nếu x
/ A,

A X.

Khi đó f A là hàm nửa liên tục dới trên X khi và chỉ khi A là tập mở trong
X.
Chứng minh. + Điều kiện cần. Giả sử f A : X R là hàm nửa liên

tục dới trên X. Ta cần chứng minh A là tập mở. Từ Định nghĩa hàm đặc
trng của A ta có A = {x X : f A (x) = 1}. Để chứng minh A mở, ta cần
chứng minh A là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Với bất kì xo A ta có
f A (xo ) = 1. Vì f A là hàm nửa liên tục dới nên với bất kì số thực mà
0 < < f A (xo) thì tồn tại lân cận U của xo sao cho 0 < < f A (x) với


25
mọi x U . Điều này chứng tỏ f A (x) = 1 với mọi x U hay U A. Do
đó A là lân cận của xo . Vậy A là tập mở trong X.
+ Điều kiện đủ. Giả sử A là tập mở trong X, xét ánh xạ f A : X R.

Ta cần chứng minh f A là hàm nửa liên tục dới trên X. Với mỗi xo X
ta xét các trờng hợp
a) Nếu xo A, do A là tập mở nên tồn tại lân cận U của xo sao cho
xo U A. Khi đó f A (x) = 1 với mọi x U nên f A liên tục tại xo .
b) Nếu xo X\A thì với mỗi số thực R thỏa mãn < f A (x) = 0.
Khi đó với mọi lân cận V của xo ta có < f A (x) với mọi x V . Từ đó
suy ra f A là hàm nửa liên tục dới tại xo . Vì xo bất kì nên f A là hàm nửa
liên tục dới trên X.

1.2.24. Ví dụ. Hàm

1
nếu x 0
f (x) =
1 nếu x < 0

là hàm nửa liên tục trên tại 0 nhng không nửa liên tục dới tại 0.
Thật vậy, ta có

lim f (x) = 1 = f (0)

x0

và
lim f (x) = 1 = f (0).
x0

Từ đó f là hàm nửa liên tục trên tại 0 nhng không nửa liên tục dới tại
0.