Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hòa và đa điều hòa dưới

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
ĐÀO VĂN ĐỘ
KIỀU MỸ HẠNH
BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
Sơn La, năm 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
ĐÀO VĂN ĐỘ
KIỀU MỸ HẠNH
BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI
Chuyên ngành: Giải Tích
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
Người hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG
Sơn La, năm 2011
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng,
người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng em, giúp
đỡ chúng em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên chúng em có
nghị lực hoàn thành đề tài này.
Trong quá trình làm đề tài, chúng em cũng đã nhận được sự giúp đỡ
của các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các t hầy cô
trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại
học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K49 ĐHSP Toán. Những ý kiến đóng
góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận
lợi để chúng em hoàn thành đề tài này. Nhân dịp này chúng em xin được
bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên.
Sơn La, tháng 5 năm 2011

Người thực hiện
Sinh viên: Đào Văn Độ
Kiều Mỹ Hạnh
3
LỜI CẢM ƠN
Đề tài này được hoàn thành chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành
tới thầy VŨ VIỆT HÙNG - GV Khoa Toán- Lí- Tin Trường Đại học
Tây Bắc người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng em
hoàn thành đề tài này.
Đồng thời nhân dịp này chúng em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích Khoa Toán- Lí- Tin Trường Đại học
Tây Bắc cùng các bạn sinh viên lớp K49 ĐHSP Toán đã đóng góp ý kiến,
giúp đỡ động viên chúng em trong quá trình hoàn thành đề tài này.
Với đề tài này chúng em mong nhận được các ý kiến đóng góp, phê bình
của thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn
Sơn La, tháng 5 năm 2011
Người thực hiện
Sinh viên: Đào Văn Độ
Kiều Mỹ Hạnh
1
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Kiến thức hàm biến phức trong C . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Kiến thức hàm biến phức trong C
n
. . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Không gian C
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Hàm chỉnh hình trong C
n
và một số tính chất đơn giản
của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Dạng vi phân phức và dòng . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Độ đo và phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Các kí hiệu vi phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4 Dạng vi phân phức và dạng dương . . . . . . . . . . 18
1.3.5 Các phép toán trên các dòng . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.6 Dòng, dòng dương và dòng dương đóng . . . . . . . . 22
1.3.7 Một số kêt quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Hàm điều hòa và đa điều hòa dưới 26
2.1 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Một số ứng dụng 47
3.1 Toán tử Monge-Ampère phức . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của toán tử Monge-
Ampère phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2
PHẦN MỞ ĐẦU
1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của Toán học bắt nguồn
từ khoảng thế kỉ XIX và thậm chí có thể là trước đó. Một số nhà toán học
nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler, Gauss, Riemann, Weierstrass
và nhiều nhà toán học khác ở thế kỉ XX.
Giải tích phức đặc biệt là lý thuyết về ánh xạ bảo giác có nhiều ứng dụng
trong cơ khí. Nó cũng được sử dụng trong lý thuyết số giải tích. Ngày nay
giải tích phức được nghiên cứu nhiều với những ứng dụng trong động lực

phức và Fractal. Ứng dụng quan trọng khác của giải tích phức là trong lý
thuyết đa thế vị.
Lý thuyết đa thế vị là một nhánh trong giải tích phức nhiều biến được
phát triển mạnh mẽtrong vòng 30 năm trở lại đây. Nhiều kết quả quan trọng
của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80
của thế kỉ trước, chẳng hạn như định lý Josefson về sự tương đương giữa
tính đa cực địa phương và đa cực toàn thể của một tập trong C
n
. Trong
những năm sau đó, một số tác giả tiếp tục trình bày các hướng nghiên cứu
khác của lý thuyết này như giải bài toán Dirichlet, thiết lập sự hội tụ yếu
của dãy độ đo Monge – Ampere tương ứng với sự hội tụ theo dung lượng,
nghiên cứu bài toán xấp xỉ đối với các hàm đa điều hoà dưới. . .
Hàm điều hoà và đa điều hoà dưới là đối tượng chủ yếu được nghiên cứu
nhiều trong lý thuyết đa thế vị. Vì vậy nghiên cứu hàm đa điều hoà và đa
điều hoà dưới cho ta nhiều bổ ích trong việc tìm hiểu bộ môn Hàm Biến
Phức. Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức của Hàm Biến Phức.
Do vậy, chúng em đã chọn đề tài: “ Bước đầu nghiên cứu một số tính chất
của hàm điều hoà và đa điều hoà dưới ” thuộc bộ môn Hàm Biến Phức để
làm đề tài nghiên cứu cho mình nhằm góp phần vào việc nâng cao hiệu quả
học tập môn học Hàm Biến Phức nói chung và môn toán nói riêng.
2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hoà đa điều hoà
dưới.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm đa điều hoà dưới.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu trên lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả . . . nhằm giúp
sinh viên nắm được những nội dung cơ bản. Đồng thời nghiên cứu những
3
ứng dụng ban đầu của lớp hàm điều hòa và đa điều hòa dưới.

4. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
- Tìm hiểu và nghiên cứu về hàm điều hòa và đa điều hòa dưới cùng một
số tính chất cơ bản của hàm điều hoà dưới trên C, đa điều hoà dưới trên
C
n
.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm điều hòa và đa điều hòa dưới
trong lý thuyết hàm biến phức như: Xây dựng toán tử Monge – Ampere trên
lớp hàm đa điều hòa dưới,. . . 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn,
seminar với giáo viên hướng dẫn và nhóm làm đề tài.
6. TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI
6.1. Tính mới mẻ của đề tài
Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong hàm biến phức và
chưa được nhiều bạn sinh viên nghiên cứu.
6.2. Hướng phát triển của đề tài
- Xây dựng toán tử Monge – Ampère trên lớp hàm đa điều hoà dưới rộng
hơn.
- Nghiên cứu sâu các tính chất của toán tử Monge – Ampère.
7. Những đóng góp của đề tài
Đề tài đã nêu được cơ bản về tính chất của hàm điều hòa và đa điều hòa
dưới cùng với việc xây dựng toán tử Monge - Ampère trên lớp hàm đa điều
hòa dưới bị chặn địa phương.
8. CẤU TRÚC ĐỀ TÀI
Với mục đích như vậy đề tài này dược chia thành 3 chương với những nội
dung chính sau đây:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức hàm biến phức trong C, C
n
, một

số kiến thức về độ đo phân bố, dạng vi phân và dòng để phục vụ cho việc
xây dựng toán tử Monge - Ampère trên lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn
địa phương cùng với các kết quả liên quan được sử dụng cho chứng minh
trong chương 2, chương 3.
Chương 2: Trình bày nội dung chính của đề tài. Trong chương này chúng
tôi trình bày các định nghĩa cùng với một số kết quả và các tính chất của
hàm điều hòa và đa điều hòa dưới trên C và C
n
.
4
Chương 3: Trình bày ứng dụng của hàm đa điều hòa và đa diều hòa
dưới về xây dựng toán tử Monge - Ampère trên lớp hàm đa điều hòa dưới
bị chặn địa phương.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức hàm biến phức
trong C, C
n
. Đây là những kiến thức về hàm điều hòa, hàm chỉnh hình, tích
phân Cauchy, phép toán trong C
n
. Ở đây, chúng tôi trình bày một cách tổng
quát nhất về độ đo phân bố, dạng vi phân và dòng phục vụ trong chương 3.
Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một số kết quả liên quan để sử dụng cho
chứng minh chương 2 và chương 3.
1.1 Kiến thức hàm biến phức trong C
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ⊂ C. Xét giới hạn
lim
∆z→0

f(z + ∆z) − f(z)
∆z
, z, z + ∆z ∈ Ω
Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của
f tại z, kí hiệu là f

(z) hay
df
dz
(z).
Như vậy f ’(z) = lim
∆z→0
f(z + ∆z) − f(z)
∆z
Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C - khả
vi tại z.
Định lý 1.1.2. Nếu f(z) và g(z) khả vi phức tại z
0
thì αf(z) + βf(z),
f(z)g(z) và f(z)/g(z) (g(z
0
) = 0) cũng khả vi phức tại z
0
với mọi α, β ∈ C
và
(i) (αf + βg)

(z
0
) = αf


(z
0
) + βg

(z
0
)
(ii) (fg)

(z
0
) = f

(z
0
)g(z
0
) + f(z
0
)g

(z
0
)
(iii) (f/g)

(z
0
) =

f

(z
0
)g(z
0
) − f(z
0
)g

(z
0
)
g
2
(z
0
)
(iv) Nếu ω = f(z) khả vi phức tại z
0
, còn g(ω) khả vi phức tại
6
ω
0
= f(z
0
) thì hàm hợp g
◦
f khả vi phức tại z
0

và
(gf)

(z
0
) = g

(f(z
0
))f

(z
0
).
Chứng minh. Vì f(z) và g(z) khả vi phức tại z
0
nên hiển nhiên ta có αf(z)+
βf(z), f(z)g(z) và f(z)/g(z)(g(z
0
) = 0) cũng khả vi phức tại z
0
với mọi
α, β ∈ C.
i)αf

(z
0
) + βg

(z

0
)
= α lim
∆→0
f((z
0
) + ∆z) − f(z
0
)
∆z
+ β lim
∆z→0
g((z
0
) + ∆z) − g(z
0
)
∆z
= lim
∆→0
α
f((z
0
) + ∆z) − f(z
0
)
∆z
+ lim
∆z→0
β

g((z
0
) + ∆z) − g(z
0
)
∆z
= lim
∆z→0
α[f(z
0
) + ∆z − f(z
0
)] + β[g(z
0
) + ∆z − g(z
0
)]
∆z
= (αf + βg)

(z
0
)
Tương tự ta được ii), iii), iv).
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử Γ là đường cong Jordan trơn từng khúc f(η) là
hàm liên tục trên Γ. Với mọi z ∈ C\Γ, hàm
ϕ(η) =
f(η)
η − z
liên tục trên Γ. Do đó nếu đặt

F (z) =
1
2πi

Γ
f(η)
η − z
dη
ta nhận được hàm F xác định trên C\Γ.
Hàm F (z) được gọi là tích phân loại Cauchy.
Định lý 1.1.4. Giả sử f(η) là hàm liên tục trên đường cong Jordan trơn
từng khúc Γ. Khi đó tích phân (5) là một hàm chỉnh hình trên C\Γ. Hơn
nữa trên C\Γ hàm F(z) có đạo hàm mọi cấp, chúng được cho bởi công thức
F
(n)
(z) =
n!
2πi

Γ
f(η)
(η − z)
n+1
dη, n = 0, 1 (6)
Ở đây định nghĩa bằng quy nạp
F
(n)
(z) = (F
(n−1)
)


(z)
7
Với
F
(0)
(z) = F (z)
Chứng minh. Bằng cách đặt
ϕ
k
(η, z) =
(k − 1)!f(η)
2πi(η − z)
k
Ta có
∂ϕ
k
(η, z)
∂z
=
k!f(η)
2πi(η − z)
k+1
= ϕ
k+1
(η, z)
Và công thức (6) trở thành
F
(n)
(z) =


Γ
ϕ
n+1
(η, z)dη, n = 0, 1, (7)
Ta sẽ chứng minh (7) quy nạp theo n. Khi n = 0, (7) là hiển nhiên vì
theo (5)
F
0
(z) = F (z) =

Γ
ϕ
1
(η, z)dη
Giả sử (7) đúng cho tới n − 1, tức là có đẳng thức
F
(n−1)
(z) =

Γ
ϕ
n
(η, z)dη (8)
Ta sẽ chứng minh rằng
F
(n)
(z) =

Γ

ϕ
n+1
(η, z)dη
Đặt
η = µ + iν, z = x + iy
ϕ
n
(η, z) = u(µ, ν, x, y) + iv(µ, ν, x, y)
F
(n−1)
(z) = U(x, y) + iV (x, y)
Khi đó từ đẳng thức (8) ta được
U(x, y) =

Γ
udµ − vdν, V (x, y) =

Γ
vdµ + udν (9)
8
Với η cố định (η ∈ Γ) hàm ϕ
n
(η, z) theo biến mọi cấp trên C\Γ, do đó
nói riêng u và v là các hàm có các đạo hàm riêng liên tục . Mặt khác hiển
nhiên u và v là các hàm liên tục theo tập các biến µ, ν, x, y. Vì thế ta có thể
lấy các đạo riêng các tích phân (9) dưới dáu tích phân.
∂U
∂x
=


Γ
∂u
∂x
dµ −
∂v
∂x
dν,
∂U
∂y
=

Γ
∂u
∂y
dµ −
∂v
∂y
dν
∂V
∂x
=

Γ
∂v
∂x
dµ +
∂u
∂x
dν,
∂V

∂y
=

Γ
∂v
∂y
dµ −
∂u
∂y
dν
Vì ϕ
n
C− khả vi theo z nên u và v thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann
theo x và y. Do đó hai tích phân cuối có thể viết thành
−
∂V
∂x
=

Γ
∂u
∂y
dµ −
∂v
∂y
dν =
∂U
∂y
∂V
∂y

=

Γ
∂u
∂x
dµ −
∂v
∂x
dν =
∂U
∂x
Điều đó có nghĩa U(x, y) và V (x, y) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Rie-
mann trên C\Γ tức là hàm F
(n−1)
C− khả vi trên C\Γ. Ta còn chứng tỏ
F
(n)
(z) = (F
(n−1)
), (z) =

Γ
ϕ
n+1
(η, z)dη
=
∂U
∂x
+ i
∂V

∂x
=

Γ
(
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
)(dµ + idν) =
=

Γ
∂ϕ
n
∂z
(η, z)dη =

Γ
ϕ
n+1
(η, z)dη
Định lý 1.1.5. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω. Khi đó f có đạo
hàm mọi cấp trên Ω và các đạo hàm này cũng là các hàm chỉnh hình trên
Ω. Ngoài ra các đạo hàm của f tại z ∈ Ω cho bởi công thức
f
(n)
(z) =
n!

2πi

γ
f(η)
(η − z)
n+1
dη, n = 0, 1, 2, (10)
Trong dó γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z sao cho Ω
γ
⊂ Ω.
9
Định lý 1.1.6. Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao cho tích
phân của nó theo mọi chu tuyến trong Ω đều bằng 0. Khi dó f chỉnh hình
trên Ω
Chứng minh. Theo định lý về sự tồn tại của nguyên hàm
F (z) =
z

z
0
f(η)dη, z ∈ Ω
Ở đây z
0
là điểm cố định bất kì thuộc Ω, là hàm chỉnh hình trên Ω và
F

(z) = f(z).
Theo định lý 1.1.5 F

(z) và vậy thì f(z) là hàm chỉnh hình trên Ω.

1.2 Kiến thức hàm biến phức trong C
n
1.2.1 Không gian C
n
Không gian C
n
. Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R
2n
, các điểm của
nó là các bộ có thứ tự 2n số thực (x
1
, , x
2n
). Ta đưa vào trong đó cấu
trúc phức, bằng cách đặt z
v
= x
v
+ ix
n+v
(v = 1, , n). Thường ta kí hiệu
x
n+v
= y
v
nên z
y
= x
v
+ iy

v
(v = 1, , n). Không gian mà điểm là những bộ
số phức (hữu hạn)
z = (z
1
, , z
n
) = {z
v
}
sẽ gọi là không gian phức n chiều và kí hiệu qua C
n
. Đặc biệt khi n = 1, ta
có C
1
= C là mặt phẳng số phức. Có thể xem rằng, với n tùy ý, không gian
C
n
là tích n mặt phẳng phức
C
n
= C × × C
  
n
.
Trong C
n
Trong C
n
có thể đưa vào cấu trúc không gian mêtric. Thường

xét hai mêtric: mêtric Ơclit e(z

, z

), hay
z

− z

=




n

v=1
|z

v
− z

v
|
2
=





2n

v=1
|x

v
− x

v
|
2
và mêtric
ρ(z

, z

= max
v
|z

v
− z

v
.
ta gọi là p− mêtric. Rõ ràng rằng, ρ− mêtric, cũng như mêtric Ơclit, thỏa
mãn các tiên đề thông thường:
10
a) ρ(z


, z

) = ρ(z

, z

)
b) ρ(z

, z

) > 0 với z

= z

, ρ(z, z) = 0
c) ρ(z

, z

)  ρ(z

, z

) + ρ(z

, z

)
Hình cầu bán kính r tâm a ∈ C

n
được định nghĩa như tập các điểm
B(a, r) = {z ∈ C
n
: |z − a| < r}.
Đó là hình cầu tâm a trong mêtric Ơclit. Biên ∂B của hình cầu là mặt cầu
(2n − 1) chiều
S
2n−1
= {z ∈ C
n
:
n

v=1
|z
v
− a
v
|
2
= r
2
}
trong không gian R
2n
.
1.2.2 Hàm chỉnh hình trong C
n
và một số tính chất đơn giản của

nó
Định nghĩa 1.2.1. Hàm l : C
n
→ C gọi là R− tuyến tính (tương ứng C−
tuyến tính) nếu
a) l(z

+ z

) = l(z

) + l(z

)∀z

, z

∈ C
n
.
b) l(λz) = λl(z)∀λ ∈ R, z ∈ C
n
(tương ứng ∀λ ∈ C)
Hiển nhiên hàm l : C
n
→ C, R− tuyến tính là C− nếu
l(iz) = il(z)∀ ∈ C
n
.
Trong trường hợp l(λz) =

¯
λ(z) ta nói l là C− phản tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm f : Ω → C, Ω là mở rộng trong C
n
, gọi là R− khả
vi (t.ứ C− khả vi) tại z ∈ Ω nếu
f(z + h) = f(z) + l(h) + 0(h)
ở đây l là R− tuyến tính (t.ứ C− tuyến tính) và
0(h)
h
→ 0 khi h → 0.
Hàm l (nếu tồn tại là duy nhất) gọi là R− đạo hàm (t.ứ C− đạo hàm của
f tại z) ký hiệu f

(z) hay df(z).
Định nghĩa 1.2.3. a) Hàm gọi là chỉnh hình tại z ∈ C
n
nếu nó C− khả vi
trong một lân cận của z.
11
b) f : Ω → C
m
với Ω là mở trong C
n
gọi là chỉnh hình tại z nếu f
j
chỉnh
hình tại z với mọi j =
1, m, ở đây
f = (f

1
, , f
m
).
Như trường hợp hàm một biến phức nếu f chỉnh hình tại z thì
∂f
∂z
j
chính
là đạo hàm riêng của z theo biến z
j
.
Một số tính chất đơn giản của hàm chỉnh hình
Giả sử P = P (a, r) = {z ∈ C
n
: |z
j
− a
j
| < r
j
∀j =
¯
1, n} là đa đĩa tâm a
đa bán kính r = (r
1
, , r
n
) và
Γ = {z ∈ C

n
: |z
j
− a
j
| = r
j
∀j =
¯
1, n
Định lý 1.2.4. Nếu f là hàm liên tục trên
¯
P và chỉnh hình trong P thì
f(z) = (
1
2
πi)
n

Γ
f(ξ)dξ
1
dξ
n
(ξ
1
− z
1
) (ξ
n

− z
n
)
∀z ∈ P (1)
Chứng minh. Viết z = (

z, z
n
) ∈ C
n−1
× C đối với z ∈ C
n
và

P = {

z ∈
C
n−1
: |z
j
− a
j
| < r
j
, j = 1, n − 1}.
Áp dụng công thức tính tích phân Cauchy cho hàm một biến z
n
→ f(


z, z
n
)
ta nhận được
f(z) =
1
2πi

γ
n
f(

z, ξ
n
ξ
n
− z
n
dξ
ở đây
γ
n
= {z
n
∈ C : |z
n
− a
n
| = r
n

}
Với mỗi ξ
n
∈
n
cố định ta lại có
f(

z, ξ
n
) =
1
2πi

γ
n−1
f(z
1
, , z
n−1
, ξ
n−1
, ξ
n
)
ξ
n−1
− z
n−1
dS

n−1
Vậy do tính liên tục của f ta có
f(z) − (
1
2πi
)
2

γ
n−1
×γ
n
f(z
n
, , z
n−2
, ξ
n−1
, ξ
n
)
(ξ
n−1
− z
n−1
)(ξ
n
− z
n
)

dξ
n−1
dξ
n
Cứ thế tiếp tục ta nhận được (1)
Viết
1
ξ − z
=
1
ξ − a
1
(1 −
z
1
− a
1
ξ
1
− a
1
) (1 −
z
n
− a
n
ξ
n
− a
n

)
12
=
1
ξ − a
∞

|α|=0
(
z − a
ξ − a
)
α
=
∞

|α|=0
(
z − a
ξ − a
)
α+1
ở đây α + 1 = (α
1
+ 1, , α
n
+ 1) và chuỗi là hội tụ đều trên mọi compact
của P . Do đó từ (1) ta nhận được.
Định lý 1.2.5. Giả sử f là hàm liên tục trên
¯

P chỉnh hình trên P . Khi đó
f(z) =
∞

|α|=0
C
α
(z − a)
α
(2)
với
C
α
= (
1
2πi
)
n

Γ
f(ξ)
(ξ − a)
α+1
dξ
ở đây dξ = dξ
1
dξ
n
.
Định lý 1.2.6. Nếu f chỉnh hình tại a ∈ C

n
và (2) là khai triển thành chuỗi
lũy thừa của f trong một lân cận của a, thì
C
α
=
1
α!
∂
α
f(a)
∂z
α
=
1
α
1
! α
n
!
∂
α
1
+ +α
n
∂z
α
1
1
∂z

α
n
1
f(α) (3)
Định lý 1.2.7. (Tính duy nhất). Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền Ω ⊂ C
n
sao cho mọi đạo hàm riêng của f bằng không tại a ∈, thì f ≡ 0.
Chứng minh. Đặt G = {z ∈ Ω : f = 0 trong một lân cận của z}. Hiển nhiên
G mở và bởi vì f có khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận của
a, từ (3) suy ra f = 0 trong một lân cận của a. Vậy a ∈ G. Còn chứng minh
G đóng trong Ω. Giả z
o
∈ ∂G. Khai triển f thành chuỗi lũy thừa
f(z) =
∞

|z|=0
c
α
(z − z
o
)
α
trong một lân cận của z
0
.
Bởi vì
c
α
=

1
α
∂
α
f(z
o
)
∂z
α
= lim
z∈G
z→z
0
1
α
∂
α
f(z)
∂z
α
= 0
z
o
∈ G. Do Ω liên thông G = Ω có nghĩa là f ≡ 0.
Định lý 1.2.8. (Nguyên lý môđun cực đại)
Nếu f chỉnh hình trên miền Ω ⊂ C
n
sao cho |f| đạt cực đại tại a ∈ Ω,
thì f = const trên Ω.
13

Chứng minh. Chọn ρ > 0 đủ bé để B(a, ρ) ⊂ Ω.
Khi đó như hàm của một biến ξ ∈ C : |ξ| < ρ, f = const trên {a + ωξ :
|ξ| < ρ} với mọi ω ∈ C
n
: ||ω|| = 1. Vậy f = const trên B(a, ρ).Từ 1.2.7 suy
ra f = const trên Ω.
Định lý 1.2.9. (Liouville.) Nếu f chỉnh hình trên C
n
và bị chặn, thì
f = const.
Chứng minh. Nếu xét f như hàm một biến ξ ∈ C
n
thì f = const trên
{ωξ : ξ ∈ C} với mọi ω ∈ C
n
, ||ω|| = 1. Vậy f = const trên C
n
.
1.3 Dạng vi phân phức và dòng
1.3.1 Dạng vi phân
Cho U là tập mở trong không gian định chuẩn E còn F là không gian
Bânach. Bởi dạng vi phân bậc p hay p− dạng vi phân trên U với giá trị
trong F ta hiểu là ánh xạ ω : U → A
p
(E, F ). Nếu ánh xạ này thuộc lớp
C
k
, k  0, ta nói ω là p− dạng vi phân lớp C
k
. Kí hiệu Ω

(k)
p
(U, F) là không
gian véc tơ các p− dạng vi phân trên U với giá trị trong F . Viết Ω
(k)
p
(U)
thay cho Ω
(k)
p
(U, R)
Biểu diễn tọa độ của dạng vi phân trên R
n
. Giả sử {e
i
}
n
i=1
là cơ sở
chính tắc của R
n
với các hàm tọa độ {u
i
}
n
i=1
. Cho ω là một p− dạng vi phân
lớp C
k
trên tập mở U ⊂ R

n
với giá trị trong không gian Banach F . Do tính
p− tuyến tính thay dấu của ω(x), x ∈ U, ta có:
ω(x)(ξ
1
, , ξ
p
) = ω(x)(
n

i
1
=1
(ξ
1
)e
i
1
, ,
n

i
p
=1
(ξ
p
)e
i
p
=


1i
1
, ,i
p
n
ω(x)(e
i
1
, , e
i
p
)u
i
1
(ξ
1
) u
i
p
(ξ
p
)
=

1i
1
, ,i
p
n

ω(x)(e
i
1
, , e
i
p
)

σ∈

p
sgnσu
i
σ(1)
(ξ
1
) u
i
σ(p)
(ξ
p
)
=

1i
1
, ,i
p
n
ω(x)(e

i
1
, , e
i
p
)(u
i
1
∧ ∧ u
i
p
)(ξ
1
, , ξ
p
).
Như vậy ω có thể viết dưới dạng
ω(x) =

1i
1
, ,i
p
n
f
i
1
i
p
(x)dx

i
1
∧ ∧ dx
i
p
, x ∈ U
Hơn nữa rõ ràng biểu diễn này là duy nhất và do đó ω thuộc lớp C
k
, k  0
nếu và chỉ nếu các hàm tọa độ f
i
1
i
p
thuộc lớp C
k
.
14
Với p = 1, ω có dạng
ω(x) =
n

i=1
f
i
(x)dx
i
.
Với p = 2, ta có thể viết rõ ràng hơn các biến đổi trên như sau
ω(x)(ξ

1
, ξ
2
) = ω(x)(
n

i=1
u
i
(ξ
1
)e
i
,
n

i=1
u
i
(ξ
2
)e
i
)
=

1i
1
,i
2

n
ω(x)(e
i
1
, e
i
2
)u
i
1
(ξ
1
)u
i
2
(ξ
2
)
=

1i
1
<i
2
n
ω(x)(e
i
1
, e
i

2
)[u
i
1
(ξ
1
)u
i
2
(ξ
2
) − u
i
2
(ξ
1
)u
i
1
(ξ
2
)]
=

1i
1
<i
2
n
ω(x)(e

i
1
, e
i
2
)u
i
1
∧ u
i
2
(ξ
1
, ξ
2
)
=

1i
1
<i
2
n
f
i
1
i
2
(x)dx
i

1
∧ dx
i
2
(ξ
1
, ξ
2
).
Tích ngoài của các dạng vi phân. Giả sử F, G, H là các không gian
Banach và φ : F × G → H là ánh xạ song tuyến tính liên tục. Giả sử
α ∈
(n)
p
(U, F), β ∈
(n)
p
(U, G)
ở đây U là tập mở trong không gian định chuẩn E.
Khi đó tích ngoài của các dạng vi phân α và β theo φ ký hiệu α ∧
φ
β cho
bởi
(α ∧
φ
β)(x) = α(x) ∧
φ
β(x), U.
Như vậy
(α ∧

φ
β)(x; ξ
1
, , ξ
p+q
)
=

σ∈

p,q
ε(σ)φ(α(x; ξ
σ(1)
, , ξ
σ(p)
), β(x; ξ
σ(1)
, , ξ
σ(p)
)).
Vi phân ngoài dạng vi phân. Cho ω : U → A
p
(U, F) là p− dạng vi phân
lớp C
k
, k  1 trên U mở trong E. Với mỗi x ∈ U và ξ
0
, , ξ
p
∈ E, đặt

dω(x)(ξ
0
, , ξ
p
) =
n

i=0
(−1)
i
ω

(x)(ξ
i
)(ξ
0
,
ˆ
ξ
i
, , ξ
p
), (1)
ở đây
(ξ
0
, , ξ
i−1
, ξ
i+1

, ξ
p
) được viết là (ξ
0
,
ˆ
ξ
i
, , ξ
p
).
Hiển nhiên (1) xác định (p + 1)− dạng vi phân lớp C
k−1
dω trên U. Thật
vậy chỉ cần kiểm tra lại tính thay dấu của dω. Do ω

(x)(ξ
i
) ∈ A
p
(E, F ) với
i = 0, n còn chứng tỏ
dω(x)(ξ
0
, ξ
1
, , ξ
p
) = −dω(x)(ξ
0

, ξ
1
, , ξ
p
).
15
Đẳng thức này nhận được bằng cách áp dụng (1) tới
(η
0
, η
1
, , η
p
) với η
0
= ξ
1
; η
1
= ξ
0
; η
i
= ξ
i
i = 2, p.
1.3.2 Độ đo và phân bố
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử U ⊂ R
n
là tập mở. Một phân bố trên U là dạng

tuyến tính liên tục trên D(U).
Ta kí hiệu tập các phân bố trên U là D

(U).
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử U ⊂ R
n
là tập mở và u ∈ (D(U))

. Với mỗi
α = (α
1
, , α
n
) ∈ Z
n
+
xác định
∂
α
u
∂x
α
∈ (D(U))

cho bởi:
∂
α
u
∂x
α

(ϕ) = (−1)
|α|
u(
∂
α
ϕ
∂x
α
)
với ϕ ∈ D(U) và |α| =
n

i=1
α
i
là độ dài của đa chỉ số α.
Định nghĩa 1.3.3. Giả sử U ⊂ R
n
là tập mở. Dãy suy rộng {u
α
} ⊂ (D(U))

nếu với mỗi ϕ ∈ D(U) ta có:
lim
α
u
α
(ϕ) = u(ϕ)
Tôpô xác định như trên trên (D(U)


gọi là tôpô yếu. Nó có thể được cho bởi
hệ nửa chuẩn
P
A
(u) = sup{|u(ϕ)| : ϕ ∈ A}
ở đó A chạy qua các tập con hữu hạn của D(U).
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử u ⊂ R
n
là tập mở và u ∈ (D(U))

. Nếu V ⊂ U
là tập mở lớn nhất sao cho u = 0 trên V thì tập F = U\V gọi là giá của u
và kí hiệu F = suppu.
Cho Ω là một tập mở trong C
n
. Ta đặt C
0
(Ω; C) là không gian véc tơ các
hàm giá trị phức liên tục có giá compact trên Ω. Với mỗi tập con compact
K⊂ Ω, theo định nghĩa:
C
0
(K; C = {ϕ ∈ C
0
(Ω; C) : suppϕ ⊂ K}
Ta cũng kí hiệu tương tự khi C
◦
(Ω; C) được thay bởi C
∞
◦

(Ω; C), ở đó
C
∞
◦
(Ω; C) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω. Bây
giờ ta trang bị tôpô cho C
◦
(Ω; C). Cho {Ω
j
}
j∈N
là dãy các tập mở compact
tương đối trong Ω thỏa mãn:
¯
Ω
j
⊂ Ω
j+1
, và

j∈N
Ω
j
= Ω
16
Trang bị cho mỗi không gian C
◦
(
¯
Ω

j
; C) một tôpô hội tụ đều, khi đó nó
trở thành không gian Banach. Bây giờ ta đưa vào không gian C
◦
(Ω
j
; C) tôpô
của giới hạn quy nạp chặt của các không gian C
◦
(
¯
Ω
j
; C).
Chú ý rằng với tôpô này một dãy {ϕ
m
}
m∈N
trong không gian C
◦
(Ω; C)
hội tụ đến ϕ
◦
∈ C
◦
(Ω; C) nếu và chỉ nếu tồn tại tập K Ω sao cho:

m0
suppϕ
m

⊂ Kvàϕ
m
→ ϕ
◦
trênK
Tương tự như vậy ta cũng trang bị cho các không gian C
∞
◦
(
¯
Ω
j
; C) tôpô
hội tụ đều của đạo hàm mọi cấp và tôpô của C
∞
◦
(Ω; C) là tôpô giới hạn quy
nạp chặt của các không gian C
∞
◦
(
¯
Ω; C). Với tôpô này là một dãy {ϕ
m
}
m∈N
trong không gian C
∞
0
(Ω; C) hội tụ đến ϕ

◦
∈ C
∞
0
(Ω; C) nếu và chỉ nếu tồn tại
tập K  Ω sao cho:

m0
suppϕ
m
⊂ Kvà ∂
α
ϕ
m
⇒ ∂
α
ϕ
◦
trên K
với mọi bội đa chỉ số α ∈ N
n
. Một độ đo Radon trên Ω là phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên C
◦
(Ω; C), hay nói cách khác, không gian các độ đo
Radon trên Ω là đối ngẫu tôpô (C
◦
(Ω; C))

. Theo định lý Riesz mọi độ đo

Radon µ đều có tương ứng một độ đo Borel phức duy nhất trên Ω mà ta
cũng kí hiệu là µ sao cho:
µ(ϕ) =

Ω
ϕdµ, ϕ ∈ C
◦
(Ω; C) (1)
Hơn nữa một độ đo Radon là phiếm hàm dương (tức là µ(ϕ)  0 với
mọi hàm không âm ϕ ∈ C
◦
(Ω; C)) nếu và chỉ nếu độ đo Borel tương ứng là
dương.
Một phiếm hàm tuyến tính dương trên C
◦
(Ω; C) rõ ràng là liên tục, tức
là nó là một độ đo Radon. Về sau độ đo Radon được đồng nhất với các độ
đo Borel tương ứng qua (1) và ta gọi chúng là độ đo.
Nhận thấy độ đo này có các tính chất:
• Nếu V là tập mở của Ω thì:
µ(V ) = sup{µ(ϕ) : ϕ ∈ C
◦
(V ; [0; 1])}
•Nếu E là tập Borel bất kì của Ω thì:
µ(E) = inf{µ(V ) : V mở , E ⊂ V ⊂ Ω}
17
•Nếu K  Ωthì:
µ(K) = inf{µ(ϕ) : ϕ ∈ C
◦
(Ω; [0; 1]); K ⊂ ϕ

−1
(1)}
Từ đây ta cũng có:
µ(V ) = sup{µ(K); Kchạy qua mọi tập compact của V}
Chúng ta trang bị cho (C
◦
(Ω; C))

tôpô yếu hay tôpô hội tụ điểm (nếu
không có gì nhầm lẫn về không gian đối ngẫu từ nay ta chỉ gọi là tôpô yếu).
Trong tôpô này µ
j
→ µ khi j → ∞ nếu µ
j
(ϕ) → µ(ϕ) với mỗi ϕ ∈ C
◦
(Ω; C).
Tương tự ta cũng trang bị tôpô yếu cho không gian (C
∞
◦
(Ω; C)

và mỗi phần
tử của không gian này được gọi là một phân bố.
1.3.3 Các kí hiệu vi phân phức
Cho Ω là một tập mở trong C
n
và một hàm f: Ω → C
n
khả vi trên Ω, ta

sử dụng những kí hiệu sau:
Nếu z
j
= x
j
+ iy
j
thì dz
j
= dx
j
+ idy
j
, d¯z
j
= dx
j
− idy
j
;
∂
∂z
i
=
1
2
(
∂
∂x
i

− i
∂
∂y
i
);
∂
¯
∂z
i
=
1
2
(
∂
∂x
i
) + i
∂
∂z
i
);
∂f =
n

j=1
∂f
∂z
i
(z)dz
j

,
¯
∂f =
n

j=1
∂f
¯
∂z
i
(z)d¯z
j
;
và:df = ∂f +
¯
∂f
1.3.4 Dạng vi phân phức và dạng dương
Để trình bày toán tử Monge-Ampère phức, chúng tôi sẽ trình bày dạng
vi phân phức song bậc (p, q) và đặc biệt là các vấn đề về dạng dương
Một dạng vi phân phức song bậc (p, q) là một biểu thức có dạng
ω =


|J|=p,|K|=q
α
JK
(
i
2
)

p
dz
j
∧ dz
K
ở đó α
JK
∈ C còn tổng


ký hiệu là tổng lấy theo dãy các chỉ số:
dz
J
= dz
j
1
∧ ∧ dz
j
p
; 1  j
1
< < j
p
 n
dz
J
= dz
j
1
∧ ∧ dz

j
p
; 1  k
1
< < k
p
 n
18
Kí hiệu dạng thể tích trên C
n
là dλ với:
dλ =
i
2
dz
1
∧ d¯z
1
∧
i
2
dz
2
∧ dz
2
∧ ∧
i
2
dz
n

∧ dz
n
Nếu ω
1
, ω
2
, , ω
n
∈ C
(1,0)
thì biểu thức:
⇔ ω =
i
2
ω
1
∧ ¯ω
1
∧
i
2
ω
2
∧ ¯ω
2
∧ ∧
i
2
ω
p

∧ ¯ω
p
∈ C
(p,p)
gọi là dạng dương sơ cấp
Giả sử ω ∈ C
(p,p)
. Ta nói ω là dạng dương nếu với mọi dạng dương sơ cấp
β ∈ C
(n−p,n−p)
ta có ω ∧ β  0. Điều đó có nghĩa là ω ∧ β = τdλ
n
; τ  0.
Dạng ω ∈ C
(p,q)
được gọi là thực nếu ω = ω nghĩa là α
J,K
= α
K,L
đúng
cho mọi |J| = |K| = p.
Ta có một vài kết quả đáng chú ý sau đối với dạng dương:
Mệnh đề 1.3.5. Giả sử
α =
n

j,k=1
α
j,k
i

2
dz
j
∧ dz
k
∈ C
(1,1)
Khi đó α là dạng dương ⇔ Ma trận (α
j,k
)
j,k=1,n
xác định dương
Chứng minh. Lấy α
j
=
n

k=1
α
jk
dz
k
∈ C
(1,0)
; j = 1; n − 1
Khi đó
α ∧ ∧ α
n−1
=
n


k=1
M
k
dz
1
∧ dz
2
∧ ∧ dz
k−1
∧ dz
k+1
∧ ∧ dz
n
ở đó M
k
= det[a
st
]; s = 1, n − 1; t = 1; n; t = k.
Do đó α ∧
1
2
α
1
∧ α
2
∧ ∧
i
2
α

n−1
=
n

j,k=1
α
jk
M
j
M
k
.dλ
Vậy α là dạng dương ⇔
n

j,k=1
α
jk
M
j
M
k
 0 ⇔ ma trận(α
j,k
) xác định
dương.
Mệnh đề 1.3.6. Giả sử α ∈ C
(p,p)
, β ∈ C
(1,1)

là các dạng dương, β là dạng
thực. Khi đó α ∧ β  0.
Chứng minh. . Viết: β =
n

j,k+1
α
jk
i
2
dz
j
∧ d¯z
k
vàA = (a
jk
)
j,k=1,n
. Do β là dạng
thực nên ma trận A = (α
jk
) là ma trận Hecmite
¯
A
t
= A.
19
Chọn ma trận Unita P sao cho B = P
−1
o

A
o
P là ma trận chéo. Khi đó
P
t
= P
−1
nên
A = P
o
B
o
P
−1
= (

l
P
jl
b
l
P
kl
)
; Như vậy α
jk
=

l
P

jl
b
l
P
kl
và
β =
n

l=1
b
l
i
2
(
n

k=1
P
jl
dz
j
) ∧ (
n

k=1
P
jl
dz
j

).
ở đó b
l
 0.
Vậy nếu γ là một dạng dương sơ cấp thuộc C
(
n − p − 1; n − p − 1) thì:
α ∧ β ∧ γ =

l
b
l
α ∧
i
2
(
n

k=1
P
jl
dz
j
) ∧ (
n

k=1
P
jl
dz

j
)  0,
do α là (p,p) - dạng dương nên α ∧
i
2
(
n

k=1
P
jl
dz
j
) ∧ (
n

k=1
P
jl
dz
j
)  0
Mệnh đề 1.3.7. Tập hợp các dạng dương sơ cấp trong C
(
p, p) sinh ra không
gian C
(
p, p) như một không gian vectơ trên C
Chứng minh. Giả sử ω ∈ C
(

p, p) khi đó:
ω =

|J|=p;|K|=p
α
J,K
(
i
2
)
p
dz
J
∧ d¯z
K
Nhưng (
i
2
)
p
dz
J
∧ d¯z
K
= (−1)
p(p−1)
2
i
2
dz

j
1
∧ d¯z
k
1
∧ ∧
i
2
dz
j
p
∧ d¯z
k
p
.
Ta lại có
dz
J
∧ d¯z
K
=
i
2
(dz
j
+ dz
k
) ∧ (d¯z
j
+ d¯z

k
) +
i
2
(dz
j
+ dz
k
) ∧ (d¯z
j
− d¯z
k
) −
i+1
2
(dz
j
+
d¯z
k
) ∧ (dz
j
+ d¯z
k
)
Thay vào biểu thức của ω ta được điều cần chứng minh. 
Giả sử Ω ⊂ C
n
là tập mở. Tập các dạng vi phân song bậc (p,q) có hệ
số thuộc C

o
(Ω, C) (tương ứng C
∞
0
(Ω, C)) được kí hiệu D
(p,q)
o
(Ω) (tương ứng
D
(p,q)
(Ω)).
Giả sử {Ω
j
}
j1
là dãy tăng các tập mở, compact tương đối của Ω nghĩa
là ∀j  1 : Ω
j
⊂ Ω
j+1
;

j
Ω
j
= Ω. Ta đưa vào mỗi không gian D
(p,q)
o
(
¯

Ω
j
) tôpô
hội tụ đều của các hệ số. Khi đó D
(p,q)
o
(Ω) được đưa vào tôpô giới hạn quy
nạp chặt của D
(p,q)
o
(
¯
Ω
j
)
Như vậy lưới {ϕ
α
=

|J|=p,|K|=q
a
α
JK
dz
I
∧ d¯z
K
}
α∈I
là hội tụ tới ϕ =

20

|J|=p,|K|=q
a
JK
dz
I
∧ d¯z
K
trong D
(p,q)
o
(Ω) nếu có compact K  Ω sao cho:
suppa
α
JK
⊂ K, ∀α ∈ I, ∀J, K
suppa
JK
⊂ K, ∀J, K
sao cho a
α
J,K
⇒ a
J,K
trên K.
Tương tự ta đưa vào các không gian D
(p,q)
(
¯

Ω
j
) tôpô hội tụ đều của các
hệ số và các đạo hàm của nó. Khi đó với mọi j  1, D
(p,q)
(
¯
Ω
j
) là các không
gian Frechet. Không gian D
(p,q)
(Ω) được đưa vào tôpô giới hạn quy nạp chặt
của D
(p,q)
(
¯
Ω
j
). Như vậy nếu {ϕ
α
}
α1
⊂ D
(p,q)
(Ω) với
ϕ
α
=


J,K
ϕ
α
J,K
dz
J
∧ d¯z
K
ở đó |J| = p, |K| = q, hội tụ tới
ϕ
o
=

J,K
ϕ
o
J,K
dz
J
∧ d¯z
K
nếu và chỉ nếu:
(a) Tồn tại tập compact K⊂ Ω sao cho suppϕ
o
I,J
⊂ K ∀I, J.
(b) D
β
(ϕ
J

IJ
) → D
β
(ψ
IJ
) đều khi α → ∞; ∀I, Jvà mọiβ ∈ (Z
+
)
2n
1.3.5 Các phép toán trên các dòng
Giả sử T là (p, q) dòng trong Ω, ψ là (k, l)− dạng trong Ω với hệ số trong
C
∞
(Ω, C) và max{p + k, q + l}  n. Khi đó T ∧ ψ là (p + k, q + l)− dòng
được xác định: nếu ϕ ∈ D
(n−p−k,n−q−l)
(Ω) thì:
(T ∧ ψ), ϕ = T, ψ ∧ ϕ
Chúng ta nhắc lại hai toán tử vi phân
∂ : D
(p,q)(Ω)
→ D
(p+1,q)(Ω)
cho bởi:
∂ϕ =

I,J

1kn
∂ϕ

I,J
∂z
k
dz
k
∧ dz
I
∧ d¯z
J
nếu ϕ =

I,J
ϕ
I,J
dz
I
∧ d¯z
J
và
¯
∂ : D
(p,q)(Ω)
→ D
(p+1,q)(Ω)
21
¯
∂ϕ =

I,J


k=1
∂ϕ
I,J
∂z
k
dz
k
∧ dz
I
∧ d¯z
J
Giả sử T là (p, q)− dòng trên Ω ⊂ C
n
. Khi đó ta xác định:
∂T, ϕ = (−1)
p+q+1
T, ∂ϕ

¯
∂T, ϕ = (−1)
p+q+1
T,
¯
∂ϕ
và dT = ∂T +
¯
∂T
Ngoài ra ta còn đưa ra
d
c

T = i(
¯
∂T − ∂T )
Như vậy dd
c
T = 2i∂
¯
∂T và
dd
c
T, ∂ = T, dd
c
ϕ, ϕ ∈ D
n−p−1,n−q−1
(Ω).
Do đó dd
c
T là (p + 1, q + 1)− dòng. Dòng T gọi là đóng nếu dT = 0. Như
vậy T là đóng nếu ∂T = 0 và
¯
∂T = 0.
1.3.6 Dòng, dòng dương và dòng dương đóng
Các phần tử của không gian đối ngẫu (D
(n−p,n−q)
(Ω))

gọi là một dòng
song bậc (p, q) hay (p, q)- dòng (hay là dòng song chiều (p, q)). Các phần
tử thuộc vào (D
(n−p,n−q)

o
)

gọi là dòng cấp 0, song bậc (p, q). Mọi (n, n) -
dòng nghĩa là các phần tử thuộc (D(Ω))

là các hàm suy rộng trên Ω. Trong
khi đó (0, 0) - dòng cấp 0, nghĩa là phần tử thuộc (D
n,n
(Ω))

chính là độ đo
Radon trên Ω
Kết quả sau đây nói đến tính chất của dòng dương
Định lý 1.3.8. Mọi dòng dương có bậc 0, nghĩa là có hệ số là các độ đo
Borel phức
Chứng minh. Lấy một cơ sở {α
j
} trong C
(n−p,n−p)
gồm các dạng dương sơ
cấp. Giả sử {β
j
} là cơ sở trong C
(p,p)
đối ngẫu với {α
j
} nghĩa là
β
j

∧ α
k
= δ
jk
dλ
ở đó λ
j
k là kí hiệu Kronecker. Khi đó
T =

J,K;|J |=p,|K|=p
T
J,K
dz
J
∧ d¯z
K
=

j
T
j
β
j
(2)
ở đó T
j
dλ = τ ∧ α
j
 0. Vậy T

j
là các độ đo Radon dương. Nhưng
β
j
=


|J|=p,|K|=v
c
j
J,K
dz
J
∧ d¯z
K
, c
j
J,K
∈ C
22