Biểu diễn các trạng thái lượng tử

Trờng đại học vinh
Khoa vật lý

------- -------

Đề tài:

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

Giáo viên hớng dẫn
Sinh viên thực hiện
Lớp

:
:
:

Đinh Phan Khôi

Vũ Văn Tới
45A Vật lý

Vinh - 2008

mở đầu
Trong cơ học lợng tử, để mô tả sự biến đổi của hệ vật lý theo thời gian, ngời ta có thể diễn đạt công cụ toán học dới một số dạng, khác nhau đôi chút nhng
tơng đơng, hay nói cách khác, trong một số phép biểu diễn tơng đơng. Phép biểu
diễn mà chúng ta thờng dùng là phép biểu diễn Schrodinger. Ngoài phép biểu
diễn Schrodinger, cơ học lợng tử còn dùng phép biểu diễn Heisenberg, phép biểu
diễn tơng tác, phép biểu diễn các số lấp đầyĐồng thời, ta để ý rằng phép biến

Khoá luận tốt nghiệp
đổi unita làm bất biến các hệ thức giao hoán, dạng các phơng trình đại số, tính
chất của toán tửSự bất biến đó chứng tỏ sơ đồ toán học mới sau phép biến
đổi unita vẫn chứa đựng đầy đủ thông tin nh sơ đồ toán học ban đầu. Ngợc lại,
nếu hai tập hợp các toán tử cùng mô tả một hệ vật lý với cùng Hamiltonian và
các hệ thức giao hoán, thì chúng có liên hệ với nhau bằng phép biến đổi unita.
Phù hợp với các nguyên lý tổng quát đó, các phép biểu diễn Schrodinger, phép
biểu diễn Heisenberg, phép biểu diễn tơng tác có liên hệ với nhau bằng phép
biến đổi unita.
Trạng thái của một hạt hay hệ hạt ở một thời điểm t bất kỳ đợc biểu diễn
bởi hàm sóng . Trong không gian Hilbert các trạng thái này chúng ta có thể
dùng các cơ sở khác nhau để xét bài toán, với mỗi cơ sở ta có một biểu diễn. Ví
dụ, nếu ta chọn hệ cơ sở là các vectơ riêng của toán tử àX ta có biểu diễn toạ độ,
nếu ta chọn hệ cơ sở là các vectơ riêng của toán tử Pà ta có biểu diễn xung lợng,
à ta có biểu diễn năng lợng
nếu ta chọn hệ cơ sở là các vectơ riêng của toán tử H

Các hệ cơ sở là bình đẳng nên tất cả các biểu diễn đều tơng đơng nhau. Vì vậy,
việc chọn biểu diễn này hay biểu diễn khác chỉ xuất phát từ bài toán cụ thể cho
thuận tiện việc tính toán, giống nh việc chọn các hệ trục toạ độ khác nhau trong
toán học.
Để có thể giải quyết các bài toán mô tả trạng thái của hạt hay hệ hạt một
cách dễ dàng đòi hỏi cần phải nắm vững các cơ sở với các biểu diễn cụ thể tơng
ứng. Từ nhu cầu đó, khoá luận này sẽ tìm hiểu các cách để biểu diễn các trạng
thái lợng tử, dựa trên cơ sở là ký hiệu Dirac, và đợc khảo sát trong không gian
Hilbert.
Khóa luận đợc hoàn thành với sự giúp đỡ của các thầy cô và bạn bè. Đặc
biệt là sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hớng dẫn Đinh Phan Khôi. Em xin gửi
lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hớng dẫn, cũng nh các thầy cô và bạn bè đã

giúp đỡ em trong thời gian làm khoá luận.
Vũ Văn Tới
Vinh, 05/2008

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

2


Khoá luận tốt nghiệp

Chơng 1: Ký hiệu Dirac và Không gian Hilbert
1.1. Ký hiệu Dirac
1.1.1. Ký hiệu Dirac
Để mô tả trạng thái của một hệ lợng tử, ta dùng hàm sóng a (t ) . Xét tại
một thời điểm xác định trong biểu diễn toạ độ hàm sóng có dạng a ( x) . Hàm
này đợc Dirac ký hiệu bằng , gọi là ket vectơ, hay bằng a .
1

= = 2
.

n

(1)

Ví dụ: Hàm sóng klmn mô tả trạng thái của hạt đợc ký hiệu bằng ket vectơ
klmn .

Hàm sóng liên hợp phức với hàm đợc ký hiệu bằng bra vectơ

.
= = [ 1 2 ... n ]

(2)

Ket vectơ và bra vectơ liên hệ với nhau bằng hệ thức:
=



Biểu diễn các trạng thái lợng tử

(3a)

3


Khoá luận tốt nghiệp


=

(3b)

Do đó, một trạng thái bất kỳ của một hệ có thể đợc mô tả bằng ket vectơ hoặc
bra vectơ.
Chuẩn của vectơ đợc viết dới dạng:
=

(4)

Tích vô hớng của bra vectơ b = b và ket vectơ a = a đợc ký hiệu
bằng b a , là một số phức thoả mãn đẳng thức:
ba = ab



Nghĩa là:


b



(5)

( x ) a ( x)dx = b a

(6)

Tích vô hớng này có thể đợc hiểu nh hàm sóng a trong biểu diễn b. Thật vậy,
ta khai triển:
a ( x) = Ca (b) b ( x)db

(7)

Ca (b) là hàm sóng của trạng thái a trong biểu diễn b.
Ca (b) = b ( x) a ( x) dx = b a

(8)

Một cách tơng ứng, hàm sóng của trạng thái a trong biểu diễn x trong ký
hiệu Dirac có dạng:
a ( x) = x a

(9)

Trong các ký hiệu này, khai triển (7) có thể đợc viết lại:
x a = b a x b db
b

= x b b a db

(10)

b

Ta thừa nhận

b
b

b db = 1 .

(11)

Tích phân đợc lấy theo toàn bộ phổ liên tục của các hàm riêng.
Trờng hợp phổ gián đoạn:

b

b =1

b

(12)

Nh vậy, một cách tơng tự (6) ta có đợc:
Hàm sóng trạng thái a trong L biểu diễn: L a
Hàm sóng trạng thái a trong E biểu diễn: En a
Hàm sóng trạng thái a trong P biểu diễn: P a

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

4


Khoá luận tốt nghiệp
Ta có thể chuyển từ hàm sóng m a xác định trạng thái trong biểu diễn
m sang một biểu diễn khác nào đó, biểu diễn q chẳng hạn.
q a = q m m a

(13)

m a = m q q a

(14)

m

Hay ngợc lại:
q

Trong đó, hàm biến đổi m q = q m



là các hàm riêng của toán tử tơng ứng với

đại lợng vật lý q trong biểu diễn m. Trờng hợp phổ liên tục:
q a = q p p a dp

(15)

Các vectơ có thể khai triển theo các hệ cơ sở của mình:
n

= j j
j =1

j = j
n

= j

j

j =1

n

I = j

j

j =1

n

= j j
j =1

j = j = j



n

= j

j

(16)

j =1

Ma trận đơn vị:

n

I = j

(17)

j

j =1

Hệ thức này là điều kiện đủ của cơ sở trực chuẩn.
Sử dụng điều kiện đủ ta có thể viết:
2

= = I
n

= j

j

j =1
n

n

= j = j
j =1

j

2

(18)

j =1

Các phần tử ma trận của toán tử Fà trong ký hiệu Dirac:

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

5


Khoá luận tốt nghiệp
à = '
F

(19)

Nhân hai vế với j và sử dụng điều kiện đủ ta có:
à = j FI
à
j ' = j F
n

n

k =1

k =1

à k k =
= j F
j Fà k k
n

à k
j ' = 'j = j F
k

Vậy

(20)

k =1

à k
a jk = j F

Nghĩa là:

(21)

1.1.2. Một số tính chất trong ký hiệu Dirac
Nếu a là phức, , là hai hàm sao cho:
+

dx <

Ta có:
a = a

(22)

a = a

(23)



=

(24)

+ = +

(25)

(



1

+ 2 ) (1 + 2 )dx

= 1 + 2 1 + 2
= ( 1 + 2 )( 1 + 2 )
= 1 1 + 1 2 + 2 1 + 2 2

(26)

1.1.3. Nhận xét
Cách ký hiệu của Dirac có một vai trò quan trọng trong các tính toán vật
lý vì nó làm đơn giản hoá rất nhiều cách viết và chứng minh các khẳng định toán
học.
Ví dụ: Chứng minh các tính chất của toán tử Hermite
+ Tính chất 1: Các trị riêng của toán tử Hermite là số thực.
Chứng minh: Do àA là toán tử écmít nên ta có:
( x) àA ( x) = àA ( x) ( x)

Ta chọn ( x) = ( x) = un ( x)

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

6


Khoá luận tốt nghiệp
Khi đó ta đợc:
un ( x) àAun ( x ) = àAun ( x) un ( x)

Mà àAun ( x) = an un ( x)
un ( x) anun ( x) = an un ( x ) un ( x)
an un ( x ) un ( x) = an un ( x) un ( x)

(an an ) un ( x) un ( x) = 0

Do un ( x) un ( x) 0 nên an = an (đpcm).
+ Tính chất 2: Các hàm riêng của toán tử Hermite thì trực giao với nhau.
Chứng minh: Do àA là toán tử Hermite nên ta có:
( x) àA ( x) = àA ( x) ( x)

Chọn ( x) = un ( x) , ( x) = um ( x)
Khi đó ta có:
un ( x) àAum ( x ) = àAun ( x) um ( x)

Mà àAun ( x) = an un ( x) , àAum ( x) = am um ( x)
un ( x) amum ( x) = an un ( x ) um ( x)
am un ( x ) um ( x) = an un ( x) um ( x)

Do an là số thực nên an = an
(am an ) un ( x) um ( x) = 0

Trong trờng hợp không suy biến: am an (các trị riêng ứng với các hàm khác
nhau thì khác nhau).
u n ( x ) um ( x ) = 0

Chuẩn hoá:

un ( x ) u m ( x ) = 1

Tổng quát ta có:
un ( x) um ( x) = nm

(đpcm)

1.2. Không gian Hilbert
Trong cơ học lợng tử, chúng ta đa vào khái niệm trạng thái của hạt hay hệ
hạt. Mỗi một trạng thái đợc đối ứng với một vectơ trong không gian Hilbert. Các
biến số động lực đợc đối ứng với các toán tử tác dụng lên các vectơ của không

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

7


Khoá luận tốt nghiệp
gian đó. Các vectơ này là hàm số của các toạ độ không thời gian và các toạ độ
nội tại. Sau đây ta tìm hiểu về khái niệm không gian Hilbert.
Trớc hết ta điểm lại các yếu tố cơ bản của đại số vectơ trong không gian
Euclide ba chiều. Sau đó sẽ tiến hành tổng quát hoá nó đến không gian Hilbert từ
khái niệm tập hợp theo sơ đồ sau:
Tập hợp

Không
gian
tuyến tính
n chiều

Không
gian
Euclide

Không
gian

Hilbert

1.2.1. Không gian tuyến tính n chiều (không gian vectơ n chiều)
Không gian tuyến tính là một tập hợp X trong đó xác định phép toán cộng
hai phần tử với nhau và nhân một phần tử với một số. Các phép toán này thoả
mãn tất cả các tính chất sau:

r r r r
a+b=b+a
r r r r r r
+ Tính kết hợp:
(a + b) + c = a + (b + c)
r
r r r
+ Tồn tại vectơ không 0 :
a+0=a
r
r r
+ Với mọi vectơ tồn tại vectơ đối: a + (a) = 0
r
r
+ Với cặp ,a trong đó là một số thuộc trờng số thực, còn a là vectơ, tích tr
ơng ứng .a là một vectơ. Phép nhân có tính chất kết hợp:
r
r
( a ) = ( )a
r r
1.a = a

+ Tính giao hoán:

+ Tính chất phân phối phép nhân đối với phép cộng:
r r
r
r
( a + b) = a + b
r
r
r
( + )a = a + a

Ví dụ: Tập hợp của bộ n số phức đợc sắp xếp theo một thứ tự nhất định
= { 1 , 2 , 3 ,..., n } , = { 1 ,2 , 3 ,..., n } với phép cộng và phép nhân với số đợc xác

định theo định nghĩa nh sau:
+ = { 1 + 1 , 2 + 2 ,..., n + n }

Vectơ không:

= { 1 , 2 ,..., n }
r
0 = { 0,0,...,0}

Vectơ đối:

= { 1 , 2 ,..., n }

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

8

Khoá luận tốt nghiệp
Nếu trong không gian này tồn tại tối đa n vectơ độc lập tuyến tính, thì ta nói
ur uu
r ur

uu
r

không gian này n chiều. Gọi tập hợp n vectơ độc lập tuyến tính { e1 , e2 , e3 ,..., en } là
hệ vectơ cơ sở của không gian tuyến tính, khi đó mọi vectơ trong không gian này
đều đợc biểu thị qua hệ các vectơ đó một cách duy nhất:
ur
uu
r
ur
uu
r
= 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 + ... + n en
n
uu
r
= j e j
j =1

1.2.2. Không gian Euclide n chiều
Tích vô hớng của hai phần tử trong không gian tuyến tính (thực hay phức)
đợc gọi là hàm số của hai vectơ và đợc ký hiệu ( , ) và thoả mãn các tính
chất sau:

+ Tính tuyến tính theo thừa số thứ hai: ( , + ) = ( , ) + ( , )
+ Tính Hermite:

( , ) = ( , ) - trong không gian thực, ( , ) là hàm thực.

( , ) = ( , ) - trong không gian phức, ( , ) là hàm phức.

+ Tính xác định dơng: ( , ) 0
Không gian tuyến tính n chiều mà trong đó xác định tích vô hớng đợc gọi là
không gian Euclide n chiều.
Ví dụ: Nh không gian tuyến tính đã xét ở trên, với vectơ = { 1 , 2 , 3 ,..., n } ,
= { 1 ,2 , 3 ,..., n } thì tích vô hớng đợc viết dới dạng:

( , ) = 1 1 + 2 2 + 3 3 + ... + n n
n

= j j
j =1

1.2.3. Không gian Hilbert
Khái niệm không gian Hilbert: Tập hợp các vectơ , , X ,... đợc gọi là
không gian Hilbert nếu tập hợp này là không gian tuyến tính nh đã định nghĩa ở
trên, vô hạn chiều, chứa vô hạn các vectơ độc lập tuyến tính. Các yếu tố của
không gian Hilbert chính là các hàm (thay thế cho các vectơ trong không gian
Euclide 3 chiều), các hàm đôi khi cũng đợc gọi là các vectơ.
Tính chất của không gian Hilbert:
+ Tuyến tính.
+ Tồn tại tích trong đối với bất kỳ yếu tố nào trong không gian.

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

9


Khoá luận tốt nghiệp
+ Mọi yếu tố trong không gian Hilbert có độ dài liên hệ với tích trong theo công
thức: 2 =
+ Không gian Hilbert là đủ, có nghĩa là không gian Hilbert chứa tất cả các điểm
giới hạn của nó.
Ví dụ về không gian Hilbert:
+ Ví dụ 1: Tập hợp các hàm xác định trong khoảng 0 x L với
L

= dx <
2

(H1)

0

+ Ví dụ 2: Không gian các hàm L là các hàm bình phơng khả tích xác định trên
toàn bộ trục số:
2



= dx <
2

+ Ví dụ 3: Không gian Hilbert H1 đợc khai triển bởi chuỗi hay tập hợp các hàm

{ n } , là hàm riêng của toán tử năng lợng tơng ứng với trờng hợp hố thế một


chiều: n =


2
nx
Sin(
)
d
L

( x) bất kỳ trong không gian Hilbert này có thể đợc khai triển theo chuỗi các

hàm { n } .


( x) = ann ( x)
n =1

Trong đó các hệ số an là hình chiếu của vectơ ( x) lên n ( x) .
Chứng minh: Ta có:
= ann
n

n' = n' an n

n

= an n' n
n

= an nn'
n

= an'
an' là tích trong giữa vectơ cơ sở n' và vectơ . Vì n' là một vectơ đơn vị

nên an chính là hình chiếu của lên n (điều phải chứng minh)
'

'

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

10


Khoá luận tốt nghiệp
Các vectơ cơ sở { n } tạo thành một tập trực giao n n' = 0 với n n'
n là vectơ đơn vị:

2

n n = n = 1
n n' = nn'

Kết luận: Không gian Hilbert giống không gian vectơ, ngời ta còn gọi
không gian Hilbert là không gian vectơ vô hạn chiều, hay còn gọi là không gian
đủ, không gian đợc chuẩn hoá, không gian vectơ tuyến tính. Mỗi yếu tố của
không gian này có độ dài và ta có thể lập tích trong giữa hai yếu tố bất kỳ. Hai
vectơ và trong không gian Hilbert đợc gọi là trực giao nếu = 0 . Và ta
luôn có một tập vectơ khai triển (căng) không gian Hilbert. Định nghĩa toán tử
tuyến tính và các phép toán đại số cơ bản cho các toán tử liên hợp, liên hợp écmit
và định luật đối ứng ma trận với toán tử, đều đợc áp dụng trong không gian
Hilbert.

Chơng 2: biểu diễn các trạng thái lợng tử

2.1. Khái niệm về biểu diễn các trạng thái lợng tử
2.1.1. Khái niệm biểu diễn các trạng thái lợng tử
Ta biết rằng, trong cơ học lợng tử trạng thái của một hạt hay hệ hạt ở một
thời điểm t bất kỳ đợc biểu diễn bởi hàm sóng và mỗi biến số động lực L đợc
biểu diễn bởi một toán tử tuyến tính xác định L$ . Khi đo một biến số động lực
nào đó ta chỉ thu đợc một giá trị bằng số là một trong những trị riêng Lk của toán
tử L$ biểu diễn biến số động lực ấy, ta suy ra toán tử L$ phải là toán tử Hermite.
Do L$ là toán tử Hermite nên các hàm riêng của toán tử L$ lập thành một hệ đủ.
Vì vậy ta có thể khai triển hàm sóng theo tổ hợp tuyến tính các hàm riêng của
toán tử L$ .
a ( x , t ) = cn u n ( x )
n

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

(27)
11

Khoá luận tốt nghiệp
Nếu biết đợc tất cả các hệ số cn thì ta xây dựng đợc tổng (27), nghĩa là biết đợc
biểu thức của a(x,t). Do vậy tập hợp các hệ số {cn} hoàn toàn có thể thay thế
cho a(x,t) để mô tả trạng thái của hệ. Ta nói rằng: tập hợp các hệ số {cn} là hàm
sóng của hệ trong L biểu diễn.
2.1.2. Các cách biểu diễn khác nhau các trạng thái lợng tử
Trong cơ học lợng tử trạng thái của vi hạt đợc mô tả bằng hàm sóng hay là
vectơ trạng thái là vectơ trong không gian Hilbert. Nhng ta biết rằng trong
không gian Hilbert các trạng thái này chúng ta có thể dùng các cơ sở khác nhau
để xét bài toán. Thông thờng ngời ta chọn các cơ sở này là hệ các hàm riêng trực
chuẩn của toán tử Hermite. Với mỗi cơ sở mà ta chọn ta có một biểu diễn tơng
ứng. Cụ thể ta có:
+ Nếu ta chọn L$ = àX là toán tử toạ độ, các vectơ riêng của àX chọn làm cơ sở của
không gian, ta có biểu diễn toạ độ, hay X biểu diễn.
+ Nếu ta chọn L$ = Pà là toán tử xung lợng, các vectơ riêng của Pà chọn làm cơ
sở của không gian, ta có biểu diễn xung lợng, hay P - biểu diễn.
à là toán tử Hamiltonian không phụ thuộc thời gian, chọn
+ Nếu ta chọn L$ = H
à làm cơ sở của không gian, ta có biểu diễn năng lợng, hay
các vectơ riêng của H

E biểu diễn.
+ Nếu ta chọn cơ sở trực chuẩn là hệ Yl m ( , ) - các hàm riêng của toán tử momen
xung lợng thì cách mô tả này của hàm sóng và toán tử động lực đợc gọi là
biểu diễn momen xung lợng.
Tuy nhiên, do các hệ cơ sở là bình đẳng nên tất cả các biểu diễn đều tơng
đơng nhau. Vì vậy, việc chọn biểu diễn này hay biểu diễn khác chỉ xuất phát từ
bài toán cụ thể cho thuận tiện việc tính toán. Hơn nữa, về mặt toán học khi
chuyển cơ sở trực chuẩn này sang một cơ sở trực chuẩn khác bằng một phép biến

đổi unita nào đó thì ma trận các toán tử sẽ biến thành ma trận đồng dạng. Các
phép biến đổi khi đó đợc gọi là phép biến đổi chính tắc. Mặt khác, ta biết rằng
nếu cơ sở là một hệ hàm riêng tiêu chuẩn của toán tử L$ nào đó thì ma trận biểu
diễn của L$ trong cơ sở đó có dạng chéo. Thật vậy, giả sử B là một cơ sở trực giao
à : Khi đó, ta có:
tạo bởi các hàm riêng của toán tử Hermite G
à = g
G
n
n n
à .
Ta tìm yếu tố ma trận của toán tử G
à =g
q G
n
n
q
n

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

12


Khoá luận tốt nghiệp
= g n qn
Gqn = g n qn

(28a)

Viết dới dạng ma trận:
g1
0

Gqn = 0

0
.

0 0 .
0 0 .
. 0 .

0 . .
. . g n

0
g2
0
0
.

(28b)

2.2. Cơ học lợng tử trong F biểu diễn
Chúng ta chọn một biến động lực nào đó và xét toán tử tuyến tính Hermite
tơng ứng với nó. Giải bài toán trị riêng cho toán tử này:
à f = f f
F

{ f}

Chúng ta chọn hệ cơ sở trực chuẩn

(29)

là các vectơ riêng của toán tử Fà thoả

mãn các điều kiện trực chuẩn và đủ:
f ' f '' = f ' f ''



(30)

f =I

f

(31)

f

Trạng thái trong F biểu diễn
Vectơ bất kỳ nào cũng có thể khai triển theo hệ cơ sở

{ f } nh sau:

= f f

(32)

f = f

(33)

f

Với tập hợp các số f - các thành phần của vectơ trong hệ cơ sở

{ f } này

xác định vectơ = { 1 , 2 ,..., f ,...} một cách đơn trị. Tập hợp các số
f = { 1 , 2 ,..., f ,...} đợc gọi là hàm sóng của trạng thái trong F biểu diễn.
à trong F biểu diễn
Toán tử Q
à tuỳ ý chuyển vectơ thành vectơ :
Xét một toán tử Q
à
=Q

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

13


Khoá luận tốt nghiệp
à
f' = f' Q
à f

= f' Q

f

f

à dới dạng:
Từ đây ta có thể viết phơng trình = Q

f ' = Q f ' f f

(34)

f

à trong F biểu diễn đợc đối ứng với ma trận biến đổi sau:
Toán tử Q
à f
Qf ' f = f ' Q

(35)

à trong F biểu diễn
Bài toán trị riêng của toán tử Q
à q =q q
Q

(36)

Nhân trái hai vế của phơng trình này với f ' ta có:

à q =q f' q
f' Q
= qq f ' = '' q f ' f '' q f ''
f

à q =
f' Q
f ' Qà f ''

f '' q

f ''

= Q f ' f '' q f ''
f ''

Kết quả ta nhận:

(Q
f ''

f ' f ''

q f ' f '' )q f '' = 0

(37)

Nh vậy, chúng ta đã nhận đợc hệ vô số các phơng trình xác định phổ các giá trị
q.
Chuyển từ F - biểu diễn sang G - biểu diễn

Giả sử ta có hai biểu diễn: F - biểu diễn và G - biểu diễn. Khi đó, ta có:
- Trong F - biểu diễn:
à f = f f
F

= f f
f

f = j
à nào đó:
Với toán tử Q

à f ''
Q f ' f '' = f ' Q

- Trong G - biểu diễn:

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

14


Khoá luận tốt nghiệp
à g =g g
G

= g g
g

g = g

à g ''
Qg ' g '' = g ' Q

à :
Với toán tử Q

Vấn đề là biểu diễn g và Qg g qua hệ hàm riêng của toán tử Fà .
' ''

Ta có:
g = g = g f
f

f = g f f
f

à g ''
Qg ' g '' = g ' Q
= g' f '
'

f f

à f ''
f' Q

f '' g ''

''

= g 'f ' Q f ' f '' g ''f ''
f ' f ''

= g 'f ' g ''f '' Q f ' f ''
f ' f ''

Nh vậy, để chuyển từ F - biểu diễn sang G - biểu diễn ta phải biết đợc hàm sóng
gf = f g = g f



trong F biểu diễn, tức là hàm sóng mô tả trạng thái tơng

à .
ứng với vectơ riêng của toán tử Q

2.3. Biểu diễn năng lợng
2.3.1. Khái quát về biểu diễn năng lợng
Trong biểu diễn năng lợng, hệ cơ sở của nó là các hàm riêng của toán tử
Hamiltonian.
Phơng trình Schrodinger có dạng:

ih

(t ) à
= H (t )
t

(38)

Hàm sóng trong biểu diễn năng lợng
Nếu Hamiltonian không phụ thuộc tờng minh vào thời gian thì nghiệm của phơng trình (38) có thể biểu diễn dới dạng:
E (t ) = e

i
Et
h

E

(39)

Trong đó, E không phụ thuộc vào thời gian. Cả hai vectơ E (t ) và E đều
là các vectơ riêng của Hamiltonian cùng với trị riêng E.

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

15


Khoá luận tốt nghiệp
à (t ) = E (t )
H
E
E
à =E
H
E
E

(40)

Giả sử trị riêng không suy biến và có phổ năng lợng gián đoạn. Để đơn giản cách
viết, ta ký hiệu các vectơ riêng E = n và ta có:
n

à n =E n
H
n
m n = mn

n

(41)

n =I

n

Bất kỳ trạng thái nào trong biểu diễn năng lợng đều đợc mô tả bằng tập hợp các
thành phần Cn(t).
(t ) = Cn (t ) n
n

Cn (t ) = n (t )

(42)

Cn(t) là hàm sóng của trạng thái trong E biểu diễn.
à trong biểu diễn năng lợng

Dạng của toán tử H

Toán tử của biến số động lực đối ứng với ma trận Fmn = m Fà n không phụ thuộc
thời gian. Trong E biểu diễn, Hamiltonian sẽ là ma trận chéo.
H mn = En mn

(43)

Thật vậy, ta có:
à n = m E n =E m n =E
H mn = m H
n
n
n mn

Phơng trình Schrodinger trong biểu diễn năng lợng cho hàm Cn(t)
Ta có:
ih

(t ) à
= H (t )
t

(38)

Nhân trái hai vế phơng trình (38) với n ta đợc:
ih

n (t )
à (t )

= n H
t

ih

n (t )
à m m (t )
= n H
t
m

ih

Cn (t )
= Em mnCm (t )
t
m

ih

Cn (t )
= EnCn (t )
t

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

16


Khoá luận tốt nghiệp

Trạng thái mà hàm sóng của nó chỉ có một thành phần khác không Cn(t) với
năng lợng xác định đợc gọi là trạng thái dừng.
Giá trị trung bình của năng lợng H trong trạng thái ( t )
H



à
= H

à n n
= m m H
m

n

m

n

= H mnCm (t )Cn (t )
= En Cn (t )

2

= En Cn (0)

2

n

n

H

Nh vậy, giá trị trung bình H

= En Cn (t ) = En Cn (0)
2





n

2

n

(44)

không phụ thuộc thời gian.

Xác suất nhận đợc giá trị năng lợng En khi đo năng lợng ở trạng thái
( t)
2

W ( E ) = Cn (t ) = Cn (0)

2

(45)

Xác suất này không phụ thuộc thời gian.
2.3.2. Một số bài toán cụ thể trong biểu diễn năng lợng
Hạt trong hố thế một chiều
à chéo là:
Hạt trong hố thế một chiều, cơ sở mà trong đó toán tử H
B=

2
d

2 x
3 x
x
, Sin
,...
Sin , Sin
d
d
d



Phơng trình Schrodinger có dạng:
d 2 ( x) 2m
+ 2 ( E U ) ( x) = 0
dx 2

h

(46a)

Nếu 0 < x < d thì U = 0, khi đó phơng trình Schrodinger có dạng:
d 2 ( x) 2m
+ 2 E ( x) = 0
dx 2
h

(46b)

+ Hàm sóng mô tả trạng thái của hạt có dạng nh sau:
Nghiệm của phơng trình (46b) có dạng:
n ( x) = ASinkn x + BCoskn x

(47)

Do không có khả năng tìm thấy hạt ở bên ngoài hố thế nên ta có điều kiện biên
đối với hàm sóng của hạt chuyển động trong hố thế là: (0) = 0 và (d ) = 0 .

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

17


Khoá luận tốt nghiệp
n ( x ) = ASin

n

x
d

Từ điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng: A2 Sin 2 (

(48)

n
x )dx = 1 ta có:
a

2
n
Sin
x
d
d
n = 1, 2,3,...

n ( x) =

(49)

+ Năng lợng của hạt chuyển động trong hố thế một chiều đợc xác định theo công
thức sau:
En =

h2 2 2
n
2md 2

1

0
0
à =E
à trong biểu diễn này là: H
+ H
1 0
0

0

0

0 0
4 0
0 9
0 0
0 0
0 0
0 0

(50)
0
0
0
.
0
0

0

0
0
0
0
.
0
0

0 0

0 0
0 0

0 0
0 0

. 0

0 n2

(51)

Dao động tử điều hoà một chiều
à chéo hoá là:
Trong trờng hợp này, cơ sở mà H
B=e

2
2

{ A1H1 ( ), A2 H 2 ( ), A3 H 3 ( ),...}

{ 1 , 2 , 3 ,...}

Trong đó:
2 = 2 x2
m0
2 =
h
H n ( ) đợc gọi là đa thức Hermite bậc n.

+ Các toán tử sinh và các toán tử huỷ, toán tử số
Để xét bài toán dao động tử điều hoà một chiều, ta đa vào các toán tử a$ và aà+ .
Trong đó:

à
à
iP
a$ =
(X +
)
0 m
2

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

(52)

18


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
µ
+
β µ
iP
a$ =
(X −
)
ω0 m
2

(53)

- To¸n tö huû a$
a$ψ n = nψ n −1
ank = n a$ k
=k

1
2

n k −1

1

= k 2δ n ,k −1
0

0
0

$
⇒ a = 0
.

.

0

1

0
2

0
0
0
.
.
0

.
.
.
.

.
.
0

0

0
0

0
0

.

0

(54)

.
. .
.
. .
0 . .
0 0 .
4 . .
0 . .
.
. .

.


.
.

.
.

.

0

(55)

0
0
3

0
0
.
.
0

0
.
.
0

.
.

.
4
.
.
0

- To¸n tö sinh aµ+
aµ+ψ n = n + 1ψ n +1
a + nk = n aµ+ k
1

= (k + 1) 2 n k + 1
1

= (k + 1) 2 δ n ,k +1





µ
+
⇒a =






0

1
0
0
.
.
.

0
0
2
0
.
.
.

0
0
0
3
0
.
.

- To¸n tö sè:
µ = aµ+ .a$
N

Ta cã:
µ k = n aµ+ a$ k
n N

BiÓu diÔn c¸c tr¹ng th¸i lîng tö

19


Khoá luận tốt nghiệp
1

= n aà+ k 2 k 1
= k n k == n nk

Viết dới dạng ma trận:
0
0

0
à = 0
N

0

0
0


0
1
0
0

0
0
0

0
0
2
0
0
0
0

0
0
0
.
0
0
0

0
0
0
0
0
0

0
0
0

0

.
0
0 n + 1

0
0
0
0
.
0
0

(56)

à trong biểu diễn này là:
+ Xác định ma trận H

Toán tử Hamiltonian:

à = h aa
$ à+ 1 , hoặc H
à = h aà+ a$ + 1
H
0
0
ữ
ữ
2

2



12

0
0

à
H = h0 0
0

0

0

0
3

2

0
0
0
0
0

0
0

5

0
0
0
.
0
0
0

2

0
0
0
0

0
0
0
0
.
0
0

0
0
0
0
0

.
0










2 n +1
2
0
0
0
0
0
0

(57)

+ Năng lợng của dao động tử điều hoà một chiều
1
H nn = h0 n (aà+ a$ + ) n
2

( )

= h0 n aà+ a$ n

h0
n n
2

+

h
= h0 aà+ n a$ n + 0
2
+

= h0



2

h
a$ n d + 0
2

Mà ta lại có rằng: a$ = aà+ . Do đó ta đi tới hệ thức:
En = H nn = h0

+

2

h
a$ n d + 0
2

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

(58)

20


Khoá luận tốt nghiệp
Từ đó thấy rằng, năng lợng của dao động tử điều hoà không thể nhỏ hơn

h0
.
2

Trạng thái với năng lợng nhỏ nhất E0 ứng với n = 0 và 0 là hàm sóng tơng ứng
với trạng thái này. Các trạng thái với năng lợng nhỏ hơn không tồn tại. Do đó,
đối với tất cả các k không âm, các hàm k 0 . Đặc biệt 1 = 0 . Và a$ n = n n 1
viết cho n = 0:
a$ 0 = C 1

(59)

Thay (59) vào (58), ta tìm đợc cho E0 = H 0 giá trị

h
. Khoảng cách giữa hai mức
2

kế tiếp bằng h0 . Do đó:
1
En = h0 (n + )
2

(60)

+ Ta xác định toán tử toạ độ và toán tử xung lợng trong biểu diễn biểu diễn năng
lợng.
Ta có:
1

a$ n = n 2 n 1
1

+
a$ n = (n + 1) 2 n + 1

Từ (52) và (53) ta rút ra đợc:
àX =

(

)

(

)

1 $ à+
a+a
2

à = 0 m a$ aà+
P
2i

- Tính biểu diễn ma trận của toán tử toạ độ àX của dao động tử điều hoà trong
biểu diễn năng lợng.
Với k và n là các số nguyên không âm, ta có:
1
n àX k =
n a$ + aà+ k
2
=

1 $
n a k + n aà+ k


2

=

1
2

1
12

2
k
n
k

1
+
(
k
+
1)
n k +1




=

1
2

1
12

2
k

+
(
k
+
1)
n, k +1

n , k 1



Biểu diễn các trạng thái lợng tử

21


Khoá luận tốt nghiệp




1
à
X=
2

0
1
0
0
.
.
0

1
0
2
0
.
.
0

0
2

0 . .
0 0 .
3 0 .
0 . .
.
. .
.
. .

0 0 .

0
3
.
.
0

0

0
0

0
0
.

0

(61)

- Tính biểu diễn ma trận của toán tử xung lợng Pà của dao động tử điều hoà trong
biểu diễn năng lợng.
à k = 0 m n a$ aà+ k
nP
2i
=

0 m $
n a k n aà+ k

2i

=

0 m
2i

1
12

2
k
n
k

1

(
k
+
1)
n k +1




=

0 m
2i

1
12

2
k


(
k
+
1)
n, k +1

n , k 1



0
1

0
1
0
2
0 m
à

P=
0
0
2i
0
0

.
.

.
.

0
2
0

0
0
3

3

0

0
.
.

4

.
.

.
.
.
4
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.

.
.
.

0

(62)

2.4. Biểu diễn toạ độ
2.4.1. Khái quát về biểu diễn tọa độ
Để đơn giản, chúng ta xét chuyển động của một hạt dọc theo trục 0x. Vậy
vị trí của nó hoàn toàn đợc xác định theo toạ độ x. Toạ độ này đợc đối ứng với
một toán tử tuyến tính àX . ở đây, Fà = àX . Phơng trình trị riêng:
àX x = x x

(63)

Phơng trình này có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của x. Các vectơ x có thể
chọn làm hệ vectơ cơ sở thì chúng ta có thể biểu diễn toạ độ.
Các điều kiện trực chuẩn và điều kiện đủ đợc xác định nh sau:

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

22


Khoá luận tốt nghiệp
x ' x '' = ( x ' x '' )



x x dx = I

(64)
(65)

Hàm sóng trong biểu diễn toạ độ
Trạng thái trong biểu diễn toạ độ đợc mô tả bằng tập hợp liên tục các thành phần
x:

= x x

(66)

x = x = ( x)

(67)

x

Trong đó, hàm ( x) đợc gọi là hàm sóng trong biểu diễn toạ độ.
Dạng của toán tử trong biểu diễn toạ độ
+ Một toán tử bất kỳ tơng ứng với một ma trận liên tục:
à x ''
Qx' x'' = x ' Q

(68)

Ma trận này chuyển các thành phần của vectơ sang các thành phần của vectơ
:
x = ( x) = Qx' x'' x' dx '
= Qx' x'' ( x ' )dx '

(69)

+ Toán tử àX trong biểu diễn toạ độ có ma trận dạng chéo:

X x' x'' = x ' àX x ''
= x '' ( x ' x '' )
= x ' ( x ' x '' )

(70)

Toán tử toạ độ này tác dụng lên hàm sóng theo cách sau:
x = X xx' x'
= x ' ( x x ' ) x'
= x x

(71)

Điều này có nghĩa: Tác dụng của toạ độ lên hàm sóng phụ thuộc vào toạ độ bằng
chính nhân hàm sóng với trị số x. Kết quả này đợc tổng quát hoá lên bất kỳ hàm
toạ độ nào Uà ( x) = U ( x) .
+ Toán tử xung lợng trong biểu diễn toạ độ
Để tìm ma trận của toán tử xung lợng trong X biểu diễn chúng ta sử dụng hệ
thức giao hoán:

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

23


Khoá luận tốt nghiệp
(72)

àX P
à P

à àX = ihI

à x '' x ' P
à àX x '' = i h x ' x '' (73)
x ' àX P

Sử dụng phơng trình liên hợp x X = x x ta có:
à x '' = ih ( x ' x '' )
( x ' x '' ) x ' P

(74)

Sử dụng tính chất của hàm Delta:
xf ( x) = ( x ) f ( x) = ' ( x)

(75)

Ta đợc kết quả:
à x ''
Px' x'' = x ' P

(76)

= ih ' ( x ' x '' )

Từ đây chúng ta rút ra quy luật sau đây của toán tử xung lợng tác dụng lên hàm
sóng:
x = ( x) = Pxx' x' dx '
= ih ' ( x ' x '' )dx '
= ih

d ( x)
dx

(77)

Điều này có nghĩa: Tác dụng của toán tử xung lợng lên hàm sóng phụ thuộc vào
toạ độ trong biểu diễn toạ độ tơng đơng việc lấy đạo hàm của hàm sóng theo toạ
độ. Ma trận của toán tử xung lợng có thể viết dới dạng:
Px' x'' = ih ( x ' x '' )

d
dx '

(78)

+ Kết luận
Từ các kết quả (71) và (77) suy ra:
àX = x

(79)

à = i h
P
x
x

(80)

Các biểu thức cụ thể cho toán tử toạ độ và xung lợng tác dụng trong không gian

Hilbert của các hàm phù hợp với các biểu thức suy ra đợc từ vật lý cổ điển theo
luật tơng ứng mà ta đã biết.
Các hàm riêng của toán tử toạ độ và toán tử xung lợng trong biểu diễn
toạ độ.
Xuất phát từ bài toán trị riêng:
àX ( x) = x ( x)
x0
0 x0
( x x0 ) x0 ( x) = 0 = ( x x0 ) ( x x0 )

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

24


Khoá luận tốt nghiệp
Do vậy, ta đợc:

x0 ( x) = ( x x0 )

(81)

Phơng trình trị riêng của toán tử xung lợng trong biểu diễn toạ độ có dạng:
i h

p ( x)
x

(82)

= p p ( x)

Với bất kỳ số thực p nào ta có nghiệm dới dạng sóng phẳng:
i
p ( x) = A exp( px) == x p
h

(83)

Xác định A từ điều kiện chuẩn hoá:
p ' p '' = p ' x x p '' dx
= p' ( x) p '' ( x)dx
= A

2

i

exp[ h ( p

''

p ' ) x]dx

2

= A 2 h ( p '' p ' )
= ( p '' p ' )
2

A 2 h = 1

Kết quả ta có:
A =

1
2 h

A=

1
2 h

2

(84)

Hàm riêng của toán tử xung lợng ứng với trị riêng p có thể biểu diễn dới dạng:
p ( x) =

1
i
exp( px)
h
2 h

2.4.2. Một số bài toán trong biểu diễn toạ độ
Hạt trong giếng thế một chiều sâu vô hạn:
Giếng thế đợc mô tả bằng hàm U(x):
U ( x) = khi x < 0

U ( x) = 0 khi 0 < x < a

(85)

(I)
(II)

U ( x) = khi x > a

(III)
Phơng trình Schrodinger trong trờng hợp này có dạng:
d 2 ( x) 2m
+ 2 ( E U ) ( x) = 0
dx 2
h

(86)

Trong miền (I) và (III), U ( x) = thì ( x) = 0 , tức là các bức tờng cao vô hạn đã
loại bỏ khả năng tìm thấy hạt ở ngoài giếng thế, hay nói cách khác là ở các điểm

Biểu diễn các trạng thái lợng tử

25