Phương pháp tìm hai điểm thuộc đồ thị đối xứng với nhau qua một đường thẳng

DẠNG BÀI TẬP
TÌM HAI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỐI XỨNG VỚI NHAU QUA
ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP
Với yêu cầu “ Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) đối xứng với
nhau qua đường thẳng (d): y = ax + b”, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số y = f(x).
Bước 2: Gọi (Δ)⊥(d): y = ax + b ⟹ phương trình (Δ)có dạng:
1
a

(Δ): y = - x + m.
Bước 3: Giả sử (Δ) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B. Khi đó hoành độ của A, B
là nghiệm của phương trình :
1
a

f(x) = - x + m ⟺ f(x) +

1
a

x – m = 0.

(1)

Để tồn tại A, B thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc D
⟹ tham số.
Sử dụng hệ thức Vi-ét ta được:

x A + xB


x A . xB
Bước 4: Gọi I là trung điểm của AB, ta có:


x A + xB

x
=

 I
2

y =− 1 x +m
I
I

a

- Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d)
-

⟺ Iϵ (d) ⇒ m.
Thay m vào (1) ta có được hoành độ A, B là xA, xB.
−

-

Khi đó: A(xA,

1
a

−

xA + m) & B(xB,

1
a

xB + m).

MỘT SỐ BÀI TẬP
x2
x −1

Bài 1: (Đề 48/ĐHHH – 99): Cho hàm số y =
. Tìm hai điểm A, B nằm trên
đồ thị và đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): y = x -1.
Giải
Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) ⟺ AB⊥(d) và trung điểm I
của AB thuộc đường thẳng (d).
•

Vì AB⊥(d): y = x -1 ⟹ (AB): y = -x + m
Hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình:
x2
2 x 2 − (m + 1) x + m = 0
x −1
= -x + m ⇔ g(x) =

. (1)

Để A, B tồn tại thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt ⇒ ∆ >0.
⇔ (m +1)2 – 8m >0 ⇔ m2 – 6m + 1 > 0
⇔m>3+

8

hoặc m < 3 -

8

Khi đó, giả sử xA, xB là các nghiệm của (1) thì:


m +1

x
+
x
=
A
B


2

x . x = m
A
B



2

Gọi I là trung điểm của AB ta có:

I:

x A + xB

x
=
I


2

y =− 1 x +m
I
I

a


⟺ I:

m +1

xI =



4

y = 3m −1
I


4

Điểm I ϵ (d) ⟺

3m − 1 m + 1
=
−1
4
4

⟺ m = -1.

Với m = -1 :

(1) ⟺

2 x2 −1 = 0

⇔

1

x

=
A


2

x = − 1
B

2


⟺

  1
1 
, −1 −
A 
÷
2
  2

B  − 1 , −1 + 1 

÷

2
2
 

x2 − 2x + 2 y = x − 2 x + 2
x −1
x −1
2

Bài 2.(ĐH-ThủyLợi-99). Cho hàm số

(C)

Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua
đường thẳng d1: y = x + 3.
Giải


Đường thẳng d cắt (C) tại hia điểm A, B có hoành độ là nghiệm của phương trình:
x2 − 2 x + 2
x −1

⟺

⟺
⟺

=

−x + m

(1)

g ( x; m) = 2 x 2 − (3 + m) x + 2 + m = 0

5x − y + 3 = 0

⇔

(2) có hai nghiệm khác 1

 ∆ = (3 + m) 2 − 8(2 + m) > 0

 g (1; m) = 2 − 3 − m + 2 + m = 1 ≠ 0

m 2 − 2m − 9 > 0

⟹

m < 1 − 10

hoặc

m > 1 + 10

(*)

Gọi I là trung điểm của AB thì:
x1 + x2 3 + m

 xI = 2 = 4

 y = − x + m = m − 3 + m = 3m − 3
1


4
4
•

Để A, B đối xứng với nhau qua d thì I phải thuộc d:
3m − 3 3 + m
y I = xI + 3 ⇒
=
+3
4
4
⇔ 2m = 18 ⇔ m = 9

•

Với m = 9 thì (2) trở thành:
© 6 − 14
6 − 14
12 − 14
ªx =
→ y1 =
+9=
ª 1
ª
2
2
2
⇔ 2 x 2 − 12 x + 11 = 0 ⇒ ª
ª

ª x = 6 + 14 → y = 6 + 14 + 9 = 12 + 14
ª 2
2
ª«
2
2
2


Vậy

 6 − 14 12 − 14 
A 
,
÷
÷
2
2



và

 6 + 14 12 + 14 
B 
,
÷
÷
2
2




Bài 3.(HVKTQS-2001). Cho hàm số:

x 2 + (m − 2) x + m + 1
y=
x +1

Tìm m để trên (Cm) có hai điểm A, B sao cho :

5xA − yA + 3 = 0

Tìm m để A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng

(Cm)
và

5 xB − y B + 3 = 0

x + 5y + 9 = 0

.

.

Giải
Từ giả thiết ta thấy tọa độ A, B thõa mãn phương trình:
A, B nằm trên đường thẳng d1:
B là giao điểm của d1 và Cm

⟹

⟹

y = 5x + 3

5x − y + 3 = 0

. Có nghĩa là

. Nhưng A, B lại nằm trên Cm cho nên A,

 x 2 + (m − 2) x + m + 1
= 5 x + 3  g ( x, m) = 4 x 2 − (m − 10) x − m + 2(1)

⇔
x +1

 y = 5x + 3
 y = 5x + 3

 ∆ = m2 − 4m + 68 > 0
⇔ ∀m ∈ R

g
(
−
1;
m

)
=
4
+
m
−
10
−
m
+
2
=
−
2
≠
0


x1 + x2 m − 10

x
=
=
I

2
8

 yI = 5 xI + 3 = 5  m − 10 ÷+ 3 = 5m − 26
8

 8 


•

Gọi I là trung điểm của AB :

•

Nếu A, B đối xứng nhau qua d:
tính chất d1 vuông góc với d rồi).

x + 5y + 9 = 0

, thì I phải thuộc d ( Thõa mãn


⇔

m − 10 5 ( 5m − 26 )
34
+
+9= 0⇒ m=
8
8
13

m=
Vậy với

34
13

thì thõa mãn điều kiện bài toán.