Tìm hàm số có đồ thị đối xứng qua một điểm

I. Đặt vấn đề
Trong chơng trình Toán THPT những bài toán về hàm số rất đa dạng và phong
phú, đã có nhiều cuốn sách viết về các chuyên đề xung quanh hàm số. Tuy nhiên, với
chuyên đề Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trớc qua một
điểm, qua một đờng thẳng thì không đợc trình bày trong sách giáo khoa, ở rải rác
các sách tham khảo, một số tác giả đã viết một số bài tập với lời giải dựa trên công
thức đổi trục toạ độ, với phơng pháp này học sinh phải nhớ công thức đổi trục toạ độ,
nhớ đợc tính chất của hai hàm số đối xứng nhau qua gốc toạ độ, qua trục hoành, qua
trục tung.
Với chuyên đề Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trớc qua
một điểm, qua một đờng thẳng. Nếu chỉ dừng lại ở cách giải thông thờng nhờ phơng
pháp đổi trục toạ độ thì đó là điều bình thờng. ở đây ta hãy nhìn vấn đề dới góc độ
khác, cách giải quyết khác để giải quyết bài toán hiệu quả hơn và có thể mở rộng
sang các bài toán phức tạp hơn.
Trong bài viết này, tôi muốn trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp về Sử
dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã
cho qua một điểm, một đờng thẳng.
Tôi hy vọng phơng pháp này sẽ giúp các em học sinh giải quyết tốt các bài tập
cùng dạng trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng và khích lệ tinh thần say mê sáng
tạo trong học tập của các em, góp phần nâng cao chất lợng cho học sinh Tỉnh nhà.
II. Nội dung
1/ Lý thuyết: Xét trong hệ trục toạ độ Oxy.
+ Hai điểm: A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
) đối xứng nhau qua I(x

0
; y
0
)

I là trung điểm của AB.




=+
=+
021
021
y2yy
x2xx
+ Hai điểm: A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
) đối xứng nhau qua đờng thẳng x = a

I là trung điểm của AB; với I(a; y
1
)

=
=+
21
21
yy
a2xx
+ Hai điểm: A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
) đối xứng nhau qua đờng thẳng y = b

I là trung điểm của AB; I(x
1
; b)
2





=+

=
b2yy
xx
21
21
+ Hai điểm: A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
) đối xứng nhau qua đờng thẳng (d):
y = ax + b (a 0)

I là trung điểm của AB; I(x
0
; y
0
) là hình chiếu của A trên đờng thẳng (d).





=+
=+
021
021

y2yy
x2xx
2/ Các bài toán.
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối
xứng với (C) qua điểm I(x
1
; y
1
).
Bài giải :
Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm bất kỳ trên (C).
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I

I là trung điểm của AB





=+
=+
10
10
y2yy
x2xx

=
=
yy2y
xx2x
10
10

)yy2;xx2(A
11

Mà A

(C)

2y
1
y = f(2x
1
x)

y = g(x)
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
Ví dụ 1: Cho y = x
3
3x + 1 (C)

Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1)
Bài giải:
Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm bất kỳ trên (C).
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I

I là trung điểm của AB
3





==+
==+
2y2yy
2x2xx
I0
I0






=
=

y2y
x2x
0
0

)y2;x2(A

Do A

(C)

2 y = (2 x)
3
3(2 x) + 1

y = x
3
6x
2
+ 9x - 1
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = x
3
6x
2
+ 9x 1.
Ví dụ 2: Cho y =
1x
1x2

+

(C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1)
Bài giải:
Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm bất kỳ trên (C).
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I

I là trung điểm của AB





==+
==+
2y2yy
4x2xx
I0
I0






=
=

y2y
x4x
0
0

)y2;x4(A

Do A

(C)

2 y =
1x4
)x4(2




y =
3x
3

Kết luận: Hàm số cần tìm là y =
3x
3

* Ngay cả với những đờng cong không là đồ thị của một hàm số, ta cũng giải quyết
bài toán dễ dàng nhờ công thức trung điểm; Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho (E):
4

y
9
x
22
+
= 1
Tìm phơng trình của đờng cong (C) mà (C) đối xứng với (E) qua điểm I(3;2).
Bài giải:
Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm bất kỳ trên (E).
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I

I là trung điểm của AB
4





=+
=+
4yy
6xx
0
0

=
=
y4y
x6x
0
0

)y4;x6(A

Do A

(E)


1
4
)y4(
9
)x6(
22
=

+

Kết luận: Đờng cong cần tìm có phơng trình
1

4
)4y(
9
)6x(
22
=

+

Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x), (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng y = b.
Bài giải:
Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm bất kỳ trên (C). I(x
0
; b)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = b.

I là trung điểm của AB





=+
=
b2yy

xx
0
0






=
=
yb2y
xx
0
0

)yb2;x(A

Mà A

(C)

2b y = f(x)

y = g(x)
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x
3
3x
2

+ 2 (C).
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng y = 1.
Bài giải:
Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm bất kỳ trên (C). I(x
0
; 1)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = 1.

I là trung điểm của AB





=+
=
2yy
xx
0
0

=
=
y2y
xx
0
0

)y2;x(A

Mà A

(C)

2 y = x
3
3x
2
+ 2

y = -x
3
+ 3x
2
5
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = -x
3
+ 3x
2
.
Ví dụ 2: (Học viện kỹ thuật quân sự 1999).

Cho hàm số y =
2x
2xx
2

+
(C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2.
Bài giải:
Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm bất kỳ trên (C). I(x
0
; 2)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = 2.

I là trung điểm của AB





=+
=
4yy
xx
0
0

=
=
y4y
xx
0
0

)y4;x(A

Mà A

(C)

4 y =
2x
2xx
2

+

y =
x2
6x3x
2

+
Kết luận: Hàm số cần tìm là y =
x2
6x3x
2

+
.
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x); (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x = a.
Bài giải:
Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm bất kỳ trên (C). I(a; y
0
)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = a.

I là trung điểm của AB





=
=+
yy

a2xx
0
0






=
=
yy
xa2x
0
0

)y;xa2(A

Mà A

(C)

y = f(2a-x)

y = g(x).
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
6