chuyen de tinh don dieu cua ham so

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
3x
y = x 4 − 2 x3 + 2 x + 1
y = x3 − 6 x 2 + 9 x
y= 2
x +1
x−2
16
y=
y = 16 x + 2 x 2 − x 3 − x 4
x+2
3
y = x2 + 2x + 3
4
2
2
y = x + 8x + 5
x −x+2
10
7
y=
y = 2 x5 + 5 x 4 + x3 −
2x
2− x
3
3
y= 2
4
2
x−2

x −9
y = 2x − 4x + 5
y= 2
2
x + x +1
x − 2x + 3
− x2 − 2 x + 3
y
=
y=
x
x +1
x +1
y= 2
x +1
2
x2 − 5x + 3
x − 8x + 9
y=
y=
y = x ( x − 1) ( x > 0)
x−2
x−5
1
2
1
y = 25 − x
y= 2
y = −2 x +
x − 4x + 3

x +1
x
3 − 2x
2
y
=
2 x + 3x
y=
x + 100
y=
x+7
2x +1
1
y = x 4 + x3 − x + 5
x 2 − 3x + 2
y= 2
y = x2 − 2x + 3
2
2x + x −1
7
y = 4 − x2
y = 9 x 7 − 7 x 6 + x 5 + 12
y = −2 x + 4 x 2 + 1
6
y = 2x − x2
2
x
+
1
y = −x + 2 x + 4

y=
3 x
Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến)
I. Cơ sở lý thuyết
1. Cho hàm số y = f ( x) xác định và có đạo hàm trên D
* Hàm số đồng biến trên (a, b) ⊂ D khi f '( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b)
* Hàm số nghịch biến trên (a, b) ⊂ D khi f '( x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b)
2. Xét tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0
a > 0
2
* ax + bx + c ≥ 0 ⇔ 
∆ ≤ 0
a < 0
2
* ax + bx + c ≤ 0 ⇔ 
∆ ≤ 0
II. Bài tập áp dụng
A – HÀM ĐA THỨC
Cho hàm số y = x 3 − 3( m − 1) x 2 + 3m(m − 2) x + 1 . Tìm m để hàm số
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R


y ' = 3x 2 − 6(m − 1) x + 3m(m − 2)
a. Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
a = 3 > 0
⇔
 ∆ ' = 6m + 9 ≤ 0

3
2
b. Hàm số nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
a = 3 < 0
⇔
(vô nghiem)
 ∆ ' = 6m + 9 ≤ 0
Vậy: Không có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R
⇔m≤−

Cho hàm số y = x 2 (m − x) − m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = − x 3 + mx 2 − m
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ − x 3 + mx 2 − m ≤ 0, ∀x
 a = −1 < 0
⇔
2
∆ = m ≤ 0
⇔m=0
Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa
Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + m + 3 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = 3x 2 − 4 x + m − 1
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ 3 x 2 − 4 x + m − 1 ≥ 0, ∀x
a = 3 > 0
⇔

∆ ' = −3m + 7 ≤ 0
7
⇔m≥
3
7
Vậy: Với m ≥ thì yêu cầu bài toán được thỏa
3
Cho hàm số y = x 2 (m − x) − mx + 6 . Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
Lời giải:
TXĐ: D = R


y ' = −3 x 2 + 2mx − m
Hàm số nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ −3 x 2 + 2mx − m ≤ 0, ∀x
 a = −3 < 0
⇔
2
∆ = m − 3m ≤ 0
⇔0≤m≤3
Vậy: Với 0 ≤ m ≤ 3 thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(2m − 1) x + 1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = 3x 2 − 6mx + 3(2m − 1)
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ 3 x 2 − 6mx + 3(2m − 1) ≥ 0, ∀x
a = 1 > 0
⇔
2

 ∆ ' = m − 2m + 1 ≥ 0
⇔ m =1
Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa
1 3
2
Cho hàm số y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x + 4 . Tìm m để hàm số luôn luôn giảm
3
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = − x 2 + 2( m − 1) x + m + 3
Hàm số luôn luôn giảm khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ − x 2 + 2(m − 1) x + m + 3 ≤ 0, ∀x
 a = −1 < 0
⇔
(vô nghiem)
2
∆ ' = m − m + 4 ≤ 0
Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + 3x − 1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = 3x 2 − 2mx + 3
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x


⇔ 3 x 2 − 2mx + 3 ≥ 0, ∀x
a = 3 > 0
⇔
2
∆ ' = m − 9 ≤ 0

⇔ −3 ≤ m ≤ 3
Vậy: Với −3 ≤ m ≤ 3 thì điều kiện bài toán được thỏa
1 3
2
Cho hàm số y = x − (m − 1) x + 2(m − 1) x − 2 . Tìm m để hàm số luôn tăng trên R
3
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = x 2 − 2(m − 1) x + 2(m − 1)
Hàm số luôn tăng trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ x 2 − 2(m − 1) x + 2(m − 1) ≥ 0, ∀x
a = 1 > 0
⇔
∆ ' = (m − 1)(m − 3) ≤ 0
⇔1≤ m ≤ 3
Vậy: Với 1 ≤ m ≤ 3 thì điều kiện bài toán được thỏa
1 3 1
3
2
Cho hàm số y = x − (sin m + cos m) x + x sin 2m . Tìm m để hàm số đồng biến trên
3
2
4
R
Lời giải:
TXĐ: D = R
3
y ' = x 2 − (sin m + cos m) x + sin 2m
4
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x

3
⇔ x 2 − (sin m + cos m) x + sin 2m ≥ 0, ∀x
4
a = 1 > 0
⇔
∆ = 1 − 2sin m ≤ 0
⇔ 1 − 2sin m ≤ 0
π
π
⇔ − + k 2π ≤ 2m ≤ + k 2π
6
6
π
π
⇔ − + kπ ≤ m ≤ + k π
12
12
Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 2 x + 1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R


y ' = 3x 2 + 2mx + 2
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ 3 x 2 + 2mx + 2 ≥ 0, ∀x
a = 3 > 0
⇔
2
∆ ' = m − 6 ≤ 0
⇔− 6≤m≤ 6

Vậy: Với − 6 ≤ m ≤ 6 thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số y = mx 3 − (2m − 1) x 2 + (m − 2) x − 2 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ: D =R
y ' = 3mx 2 − 2(2m − 1) x + m − 2
Trường hợp 1:
m = 0 ⇒ y ' = 2 x − 2 ⇒ m = 0 không thỏa yêu càu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
a = 3m > 0
⇔
2
∆ ' = (2m − 1) − 3m( m − 2) ≤ 0
m > 0
⇔ 2
 m + 2m + 1 ≤ 0
m > 0
⇔
(vô nghiem)
 m = −1
Vậy: Không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán
m −1 3
x + mx 2 + (3m − 2) x luôn đồng biến
Tìm m để hàm số y =
3
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = (m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2
Trường hợp 1: m − 1 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ y ' = 2 x + 1 ⇒ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Hàm số luôn đồng biến khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ (m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2 ≥ 0, ∀x
m − 1 > 0
⇔
2
 ∆ ' = −2 m + 5m − 2 ≤ 0
⇔m≥2
Vậy: Với m ≥ 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa


1 3
2
Cho hàm số y = mx + mx − x . Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến
3
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = − mx 2 + 2mx − 1
Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = −1 < 0 ⇒ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ −mx 2 + 2mx − 1 ≤ 0, ∀x
a = −m < 0
⇔
2
∆ ' = m − m ≤ 0
m > 0
⇔
(vô nghiem)
0 ≤ m ≤ 1
Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Định m để hàm số y =

1− m 3
x − 2(2 − m) x 2 + 2(2 − m) x + 5 luôn luôn giảm
3

Lời giải
TXĐ: D = R
y ' = (1 − m) x 2 − 4(2 − m) x + 4 − 2m
Trường hợp 1: m = 1 ⇒ y ' = −4 x + 2 ≤ 0 ⇔ x ≥
Trường hợp 2: m ≠ 1

1
nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
2

a = 1 − m < 0
m > 1
⇔
⇔2≤m≤3
Hàm số luôn giảm khi 
2
2 ≤ m ≤ 3
 ∆ ' = 2m − 10m + 12 ≤ 0
Cho hàm số y =

m+2 3
x − (m + 2) x 2 + (m − 8) x + m 2 − 1 . Tìm m để dồ thị hàm số nghịch
3

biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = (m + 2) x 2 − 2(m + 2) x + m − 8
Trường hợp 1: m + 2 = 0 ⇔ m = −2 ⇒ y ' = −10 ⇒ m = -2 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ −2
Hàm số nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ (m + 2) x 2 − 2(m + 2) x + m − 8 ≤ 0, ∀x
a = m + 2 < 0
⇔
2
∆ ' = (m + 2) − (m + 2)(m − 8) ≤ 0
⇔ m < −2


KL: Với m < - 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa
1 2
3
2
Cho hàm số y = (m − 1) x + (m + 1) x + 3 x + 5 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
3
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = (m 2 − 1) x 2 + 2(m + 1) x + 3
Trường hợp 1: m 2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1
* m = 1 ⇒ y ' = 4 x + 3 ⇒ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
* m = −1 ⇒ y ' = 3 > 0 ⇒ m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m 2 − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ (m 2 − 1) x 2 + 2(m + 1) x + 3 ≥ 0

m 2 − 1 > 0
⇔
2
∆ = −2m + 2m + 4 ≤ 0
⇔ m < −1 ∨ m > 2
Vậy: Với m ≤ −1 ∨ m > 2 thì bài toán được thỏa
1
3
2
Cho hàm số y = (m + 3) x − 2 x + mx . Tìm m để hàm số:
3
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = (m + 3) x 2 − 4 x + m
Trường hợp 1: m + 3 = 0 ⇔ m = −3 ⇒ y ' = −4 x − 3 ⇒ m = -3 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ −3 .
a. Hàm số luôn đồng biến khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ (m + 3) x 2 − 4 x + m ≥ 0, ∀x
a = m + 3 > 0
⇔
2
∆ = − m − 3m + 4 ≤ 0
⇔ m ≥1
b. Hàm số luôn nghịch biến khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ (m + 3) x 2 − 4 x + m ≤ 0, ∀x
a = m + 3 < 0
⇔
2

∆ = − m − 3m + 4 ≤ 0
⇔ m ≤ −4


1 3
1
2
Cho hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + . Xác định giá trị m để hàm số đã cho
3
3
nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2)
Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = 2 x − 6 ⇒ m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số nghịch biến trên R khi y ' ≤ 0, ∀x
⇔ mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≤ 0, ∀x
a = m < 0
⇔
2
 ∆ = −2 m + 4 m + 1 ≤ 0
⇔m≤

2− 6
2

Cho hàm số y =

1 2

( m + 2m ) x3 + mx 2 + 2 x + 1 . Xác định m để hàm số sau đồng biến trên
3

R
Lời giải:
TXĐ: D = R
2
2
Ta có: y ' = ( m + 2m ) x + 2mx + 2
Xét 2 trường hợp:
m = 0
2
* m + 2m = 0 ⇔ 
 m = −2
+ m = 0 ⇒ y ' ≥ 0, ∀x nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
1
+ m = - 2 ⇒ y ' = −4 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán
2
m ≠ 0
2
* m + 2m ≠ 0 ⇔ 
 m ≠ −2
m 2 + 2m > 0
a > 0
⇔
⇔ m ≤ −4 ∨ m ≥ 0
Hàm số đồng biến trên R khi 
 2
∆
≤

0
−
m
−
4
m
≤
0
y
'



Vậy với m ≤ −4 ∨ m ≥ 0 thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số y = (m 2 + 5m) x 3 + 6mx 2 + 6 x − 6 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải
TXĐ: D = R
y ' = 3(m 2 + 5m) x 2 + 12mx + 6
Trường hợp 1: m 2 + 5m = 0 ⇔ m = 0, m = −5
+ m = 0 ⇒ y ' = 6 > 0 ⇒ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán


+ m = −5 ⇒ y ' = −60 x + 6 ⇒ m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m 2 + 5m ≠ 0
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x
⇔ 3(m 2 + 5m) x 2 + 12mx + 6 ≥ 0, ∀x
2
a = m + 5m > 0
⇔
2

∆ ' = 2m − 10m ≤ 0

⇔0Vậy: Với 0 ≤ m ≤ 5 thì yêu cầu bài toán được thỏa
B – HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Tìm m để hàm số y =

mx − 2
luôn đồng biến
x+ m−3

Lời giải:
TXĐ: D = R \ { 3 − m}
m 2 − 3m + 2
( x + m − 3) 2
Hàm số luôn đồng biến khi y ' ≥ 0, ∀x ≠ 3 − m
⇔ m 2 − 3m + 2 ≥ 0
⇔ m ≤ 1∨ m ≥ 2
y'=

Cho hàm số y =

x 2 + m2 x + m − 2
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
x +1

của nó
Lời giải:
TXĐ: D = R \ { −1}

x2 + 2 x + m2 − m + 2
y'=
( x + 1) 2
Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y ' ≥ 0, ∀x ≠ −1
⇔ x 2 + 2 x + m 2 + m − 2 ≥ 0, ∀x ≠ −1
a = 1 > 0

⇔ ∆ = − m2 − m + 3 ≤ 0
( −1) 2 + 2(−1) + m 2 + m − 2 ≠ 0

⇔m<

1 + 13
1 − 13
∨m>
−2
−2

Cho hàm số y =

x
. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
x−m


Lời giải:
TXĐ: D = R \ { m}
−m
y'=
( x − m) 2

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi y ' ≥ 0, ∀x ≠ m
⇔ −m ≥ 0
⇔m≤0
mx 2 − ( m + 2) x + m 2 − 2m + 2
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
x −1
từng khoảng xác định của nó
Lời giải:
TXĐ: D = R \ { 1}
Cho hàm số y =

mx 2 + 2mx − m 2 + 3m
( x − 1) 2
Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = 0 ⇒ chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0
không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi y ' ≤ 0, ∀x ≠ 1
⇔ mx 2 + 2mx − m 2 + 3m ≤ 0, ∀x ≠ 1
y'=

a = m < 0

⇔ ∆ ' = m3 − 2m 2 ≤ 0
m12 + 2m.1 − m 2 + 3m ≠ 0

m < 0

⇔ m − 2 ≤ 0
m ≠ 0, m ≠ 6


⇔m<0
Cho hàm số y =

(m + 1) x 2 − 2mx − (m3 − m 2 + 2)
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
x−m

Lời giải:
TXĐ: D = R \ { m}
(m + 1) x 2 − 2( m2 + m) x + m3 + m 2 + 2
( x − m) 2
2
> 0, ∀x ≠ −1 ⇒ m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 1: m = −1 ⇒ y ' =
2
( x + 1)
Trường hợp 2: m ≠ −1
Hàm số đồng biến trên R khi y ' ≥ 0, ∀x ≠ m
y'=


⇔ (m + 1) x 2 − 2( m2 + m) x + m3 + m 2 + 2 ≥ 0, ∀x ≠ m
a = m + 1 > 0

⇔  ∆ = −2 m − 2 ≤ 0
( m + 1)m 2 − 2(m 2 + m).m + m3 + m 2 + 2 ≠ 0

 m > −1

⇔ m ≥ −1

2 ≠ 0

⇔ m > −1
C – BÀI TẬP NÂNG CAO
Cơ sở lý thuyết:
f ( x)
Giả sử tồn tại mx∈ax
K
f ( x) < g (m), ∀x ∈ K ⇔ max f ( x) < g (m)
x∈K

f ( x) ≤ g (m), ∀x ∈ K ⇔ max f ( x) ≤ g (m)
x∈K

f ( x)
Giả sử tồn tại min
x∈K
f ( x) > g (m), ∀x ∈ K ⇔ min f ( x ) > g (m)
x∈K

f ( x) ≥ g (m), ∀x ∈ K ⇔ min f ( x) ≥ g (m)
x∈K

1 3
1
2
Định m để hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + đồng biến trong khoảng (2; +∞)
3
3
Lời giải:

TXĐ: D = R
y ' = mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2)
Điều kiện bài toán được thỏa khi y ' ≥ 0, ∀x > 2 ⇔ mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≥ 0, ∀x > 2
−2 x + 6
⇔m≥ 2
, ∀x > 2
x − 2x + 3
−2 x + 6
2 x 2 − 12 x + 6
⇒ g '( x) = 2
Xét hàm số g ( x) = 2
x − 2x + 3
( x − 2 x + 3) 2
x = 3 + 6
g '( x) = 0 ⇔ 
 x = 3 − 6
Bảng xét dấu
−∞
x
3− 6
g’(x)
+
0
g(x)

2
-

2
3

3+ 6
0

+∞
+
0


− 6
3+ 2 6

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện bài toán được thỏa khi m ≥

2
3

Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − mx − 4 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
khoảng ( −∞;0 )
Lời giải
TXĐ: D = R
y ' = 3x 2 + 6 x − m

Hàm số đồng biến trên ( −∞;0 ) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, 0)
⇔ 3 x 2 + 6 x − m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, 0)
⇔ m ≤ 3 x 2 + 6 x = g ( x), ∀x ∈ (−∞, 0)
⇔ m ≤ min g ( x)
( −∞ ,0)

Ta có: g '( x) = 6 x + 6 = 0 ⇔ x = −1

Vẽ bảng biến thiên ta có m ≤ min g ( x ) = g (−1) = −3
( −∞,0)

Kết luận: Với m ≤ −3 thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số y = − x3 + 3 x 2 + mx − 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
khoảng ( 0; 2 )
Lời giải
TXĐ: D = R
y ' = −3 x 2 + 6 x + m
Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2)
⇔ −3 x 2 + 6 x + m ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2)
⇔ m ≥ 3x 2 − 6 x = g ( x), ∀x ∈ (0, 2)
⇔ m ≥ max g ( x)
(0,2)

Ta có: g '( x) = 6 x − 6 = 0 ⇔ x = 1
Vẽ bảng biến thiên ta có m ≥ max g ( x) = 0
(0,2)

Vậy: m ≥ 0 thì điều kiện bài toán được thỏa
m 3
1
2
Cho hàm số y = x − ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) x + . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng
3
3
biến trên [ 2; +∞ )
Lời giải
TXĐ: D = R

y ' = mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2)
Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = 2 x − 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 nên không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số đồng biến trên [ 2; +∞ ) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ [2, +∞)
⇔ y ' = mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≥ 0, ∀x ∈ [2, +∞)
6 − 2x
⇔m≥ 2
= g ( x ), ∀x ∈ [2, +∞)
x − 2x + 3
⇔ m ≥ max g ( x)
[2,+∞ )

Ta có: g '( x) =

2 x 2 − 12 x + 6
( x 2 − 2 x + 3) 2

= 0 ⇔ x = 3± 6

Vẽ bảng biến thiên ta được m ≥ max g ( x ) = g (2) =
[2,+∞ )

2
3

1 3
2
Tìm m để hàm số y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x − 4 đồng biến trên (0; 3)
3

Lời giải:
TXĐ: D = R
y ' = − x 2 + 2( m − 1) x + m + 3
Hàm số đồng biến trên (0; 3) ⇔ y ' = − x 2 + 2(m − 1) x + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (0;3)
⇔ m(2 x + 1) ≥ x 2 + 2 x − 3
x2 + 2 x − 3
= g ( x)
(*)
2x +1
2x2 + 2 x + 8
g
'(
x
)
=
> 0, ∀x ∈ (0;3)
Ta có:
(2 x + 1) 2
⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên (0; 3)
12
⇒ g (0) < g ( x) < g (3) ⇔ −3 < g ( x) <
7
12
Vậy điều kiện (*) được thỏa khi m ≥
7
1 3
1
2
Tìm m để hàm số y = mx + (1 − 3m) x + (2m + 1) x + nghịch biến trên [1; 5]
3

3
Lời giải
y ' = mx 2 + 2(1 − 3m) x + 2m + 1
1
Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ − nên không thỏa yêu cầu bài toán
2
Trường hợp 2: m ≠ 0
Hàm số nghịch biến trên [1; 5] khi y ' = mx 2 + 2(1 − 3m) x + 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ [1;5]
2x +1
⇔m≥− 2
= g ( x), ∀x ∈ [1;5]
x − 6x + 2
⇔m≥


⇔ m ≥ max g ( x)
[1;5]


−1 + 21
x=

2( x + x − 5)
2
=0⇔
Ta có: g '( x) = 2
2
( x − 6 x + 2)

−1 − 21

x =

2
11
Vẽ bảng biến thiên ta có m ≥ max g ( x ) =
[1;5]
3
2

2
(
)
(
)
Tìm m để y = mx + 6m + 5 x − 2 1 − 3m nghịch biến trên [1, +∞)
x +1

mx 2 + 2mx + 7 ≤ 0 ∀x ≥ 1
Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, +∞) ⇔ y ′ =
( x + 1) 2

⇔ mx 2 + 2mx + 7 ≤ 0 ⇔ m ( x 2 + 2 x ) ≤ −7 ∀x ≥ 1 ⇔ u ( x ) =
(
)
⇔ Min u ( x ) ≥ m . Ta có: u ′ ( x ) = 7 22 x + 2 2 > 0 ∀x ≥ 1
x ≥1
( x + 2 x)

−7 ≥ m ∀x ≥ 1
x + 2x

2

u ( x ) = u ( 1) = −7
⇒ u(x) đồng biến trên [1, +∞) ⇒ m ≤ Min
x ≥1
3
2
mx + (1 − m) x + 2m
Tìm m để hàm số y =
đồng biến trên [ 4; +∞ )
2x − 3
Lời giải
2mx 2 − 6mx − 3 − m
y'=
(2 x − 3) 2
2mx 2 − 6mx − 3 − m
≥ 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ )
Hàm số đồng biến trên [ 4; +∞ ) khi y ' =
(2 x − 3) 2
⇔ 2mx 2 − 6mx − 3 − m ≥ 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ )

3
= g ( x), ∀x ∈ [ 4; +∞ )
2x − 6x −1
⇔ m ≥ max g ( x)
⇔m≥

2

x∈[ 4; +∞ )

−6(2 x − 3)
< 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ ) ⇒ g(x) là hàm số nghịch biến trên
(2 x 2 − 6 x − 1) 2
[ 4; +∞ ) nên m ≥ x∈m[ 4;ax+∞) g ( x) = f (4) = 3
7

Ta có: g '( x) =

Định m để hàm số y =
Lời giải

−2 x 2 − 3 x + m
nghịch biến trong khoảng
2x +1

 1

 − ; +∞ ÷
 2



 1
TXĐ: D = R \  − 
 2
2
−4 x − 4 x − 3 − 2m
y'=
(2 x + 1) 2

−4 x 2 − 4 x − 3 − 2m
 1

 1

≤ 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷
Hàm số nghịch biến trên  − ; +∞ ÷ khi y ' =
2
(2 x + 1)
 2

 2

3
 1

⇔ m ≥ −2 x 2 − 2 x − = g ( x), ∀x ∈  − ; +∞ ÷
2
 2

⇔ m ≥ max g ( x)
 1

 − ; +∞ ÷
 2


 1

Ta có: g '( x) = −4 x − 2 < 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷

 2

 1
g ( x ) = g  − ÷ = −1
Vậy: m ≥ max
1

 2
 − ; +∞ ÷
2




2 x 2 + mx + 2 − m
Cho hàm số y =
(Cm). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)
x + m −1
Lời giải
TXĐ: D = R \ { 1 − m}
2 x 2 + 4(m − 1) x + m 2 − 2
y'=
( x + m − 1) 2
2 x 2 + 4(m − 1) x + m 2 − 2
≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞)
( x + m − 1) 2
⇔ g ( x ) = 2 x 2 + 4(m − 1) x + m 2 − 2 ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞)
Tam thức g(x) có biệt thức ∆ ' = 2(m − 2) 2 . Ta xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: ∆ = 0 ⇔ m = 2 ⇒ y ' ≥ 0, ∀x ≠ −1 ⇒ hàm số đồng biến trên (0; +∞)
Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán

+ Trường hợp 2: ∆ > 0 ⇔ m ≠ 2
Với điều kiện trên thì điều kiện bài toán được thỏa khi phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm
x1, x2 thỏa

m ≠ 0
m ≠ 0
∆ > 0



x1 < x2 < 0 ⇔  S = x1 + x2 > 0 ⇔ 2(1 − m) > 0 ⇔ m < 1
⇔m<− 2
P = x x > 0
 m2 − 2


1 2
m < − 2 ∨ m > 2

>0
 2
Kết luận: với m < − 2 ∨ m = 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa
Hàm số đồng biến trên (0; +∞) khi y ' =


Vấn đề 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
Giải các phương trình
a. x 2011 + x = 2
b. x 2 + x − 1 = 5
Lời giải:

a. Đặt f ( x) = x 2011 + x ⇒ f '( x) = 2011x 2010 + 1 > 0
⇒ f(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: f (1) = 2 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
b. Điều kiện x ≥ 1 và x = 1 không là nghiệm của phương trình
Đặt f ( x) = x 2 + x − 1 với x > 1
1
⇒ f '( x) = 2 x +
> 0, x > 1
2 x −1
⇒ f(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: f (2) = 5 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình

x + 3 + x + 7x + 2 = 4

(1)

Lời giải
Điều kiện của phương trình

7 − 41
7 + 41
≤x≤
2
2

(*)

(1) ⇔ x + 3 + x + 7 x + 2 − 4 = 0
Xét g ( x) = x + 3 + x + 7 x + 2 − 4 ⇒ g '( x ) =

1+

7
2 x+3

1
+
> 0, ∀x ∈ (*)
2 x + 3 2 x + 7x + 2

⇒ g(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: g(1) = 0
Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Thật vậy:
Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm
Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm
Giải các phương trình sau

5 x3 − 1 + 3 2 x − 1 = 4 − x

(1)

Lời giải
Điều kiện: x ≥

1
5

3

(1) ⇔ 5 x 3 − 1 + 3 2 x − 1 + x = 4
Xét f ( x) = 5 x − 1 + 2 x − 1 + x ⇒ f '( x) =
3

3

15 x 2

2
1
+ .
+1 > 0
2 5 x − 1 3 3 ( 2 x − 1) 2

 1

⇒ hàm số đã cho đồng biến trên  3 ; +∞ ÷
 5

Mặt khác: f (1) = 4 nên x = 1 là nghiệm duy nhất
Kết luận: S = { 1}

3


Giải phương trình

3

x + 2 + 3 x + 1 = 3 2 x2 + 1 + 3 2 x2

Lời giải
Phương trình (1) được viết lại

(1)

x + 1 + 1 + 3 x + 1 = 3 2 x2 + 1 + 3 2x 2
1
1
1 1
3
3
+ .
>0
Xét f (t ) = t + 1 + t ⇒ f '(t ) = 3 . 3
(t + 1) 2 3 3 t 2
3

(2)

⇒ hàm số đồng biến trên R

x =1
Mặt khác: (2) ⇔ f ( x + 1) = f (2 x ) ⇒ x + 1 = 2 x ⇔ 
x = − 1

2
2

2

 x2 + x + 3 
2
(1)
Giải phương trình log 3  2
÷ = x + 3x + 2
 2x + 4x + 5 
Lời giải
 x 2 + x + 3 > 0
Điều kiện  2
(đúng ∀x )
 2 x + 4 x + 5 > 0
(1) ⇔ log 3 ( x 2 + x + 3) − log 3 (2 x 2 + 4 x + 5) = (2 x 2 + 4 x + 5) − ( x 2 + x + 3)
⇔ log 3 ( x 2 + x + 3) + ( x 2 + x + 3) = log 3 (2 x 2 + 4 x + 5) + (2 x 2 + 4 x + 5)
1
> 0, ∀t > 0
Xét f (t ) = log 3 t + t ⇒ f '(t ) =
t.ln 3
 x = −1
2
2
2
Mặt khác: (2) ⇔ f ( x + x + 3) = f (2 x + 4 x + 5) ⇔ x + 3 x + 2 = 0 ⇔ 
 x = −2
Vậy: S = { −1; −2}

Giải phương trình 3x + 4 x = 5 x
Lời giải
x

x
3  4
(1) ⇔  ÷ +  ÷ = 1
5 5
x

x

(1)

x

x

3 4
4
3  4
 3
Xét f ( x) =  ÷ +  ÷ − 1 ⇒ f '( x) =  ÷ ln +  ÷ ln < 0, ∀x
5 5
5
5  5
5
⇒ f(x) là hàm đồng biến trên R
Mặt khác: f (2) = 0 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình 9 x + 2( x − 2)3x + 2 x − 5 = 0
Lời giải
Đặt t = 3x > 0

(1)

(loai)
t = −1
2
Phương trình trở thành t + 2( x − 2)t + 2 x − 5 = 0 ⇔ 
t = 5 − 2 x
x
x
Với t = 5 − 2 x ⇔ 3 = 5 − 2 x ⇔ 3 + 2 x − 5 = 0
Xét f ( x) = 3x + 2 x − 5 ⇒ f '( x) = 3x ln 3 + 2 > 0, ∀x

(2)


⇒ f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình x + x − 5 + x + 7 + x + 16 = 14
Lời giải
Điều kiện của phương trình x ≥ 5 . Nhận xét x = 5 không là nghiệm của phương trình
Xét f ( x) = x + x − 5 + x + 7 + x + 16
1
1
1
1
⇒ f '( x) =
+
+
+
> 0, ∀x > 5
2 x 2 x − 5 2 x + 7 2 x + 16

⇒ f(x) là hàm số đồng biến trên (5; +∞)
Mặt khác: f (9) = 14 nên x = 9 là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình: x 5 + x 3 − 1 − 3x + 4 = 0 .
Giải. Điều kiện: x ≤ 1 . Đặt f ( x ) = x 5 + x 3 − 1 − 3 x + 4 = 0 .
3

2
Ta có: f ′ ( x ) = 5 x + 3x +
4

(

3
> 0 ⇒ f (x) đồng biến trên −∞, 1  .
3 
2 1 − 3x

Mặt khác f (−1) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = −1.
2

Giải phương trình −2 x − x + 2 x −1 = ( x − 1) 2
Lời giải
2
(1) ⇔ −2 x − x + 2 x −1 = x 2 − 2 x + 1
⇔ −2 x

2

−x

(1)

+ 2 x −1 = x 2 − x − ( x − 1)
2

⇔ 2 x −1 + x − 1 = 2 x − x + x 2 − x
(2)
t
t
Xét f (t ) = 2 + t ⇒ f '(t ) = 2 ln 2 + 1 > 0, ∀t
⇒ f(t) là hàm đồng biến
Mặt khác: (2) ⇔ f ( x − 1) = f ( x 2 − x) ⇔ x − 1 = x 2 − x ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1
Kết luận: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
(1)
Giải phương trình 25 x − 2(3 − x)5 x + 2 x − 7 = 0
Lời giải
(l )
t = −1
2
Đặt t = 5 x > 0 . Phương trình trở thành t − 2(3 − x)t + 2 x − 7 ⇔ 
t = 7 − 2 x
Với t = 7 − 2 x ⇔ 5x = 7 − 2 x ⇔ 5 x + 2 x − 7 = 0
Xét f ( x) = 5 x + 2 x − 7 ⇒ f '( x) = 5 x ln 5 + 2 > 0, ∀x
⇒ f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: f (1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình log 2 (1 + 3 x ) = log 7 x
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình x > 0
t
Đặt t = log 7 x ⇔ x = 7

(1)


t

t
1  3 7 
Phương trình (1) trở thành log 2 (1 + 7 ) = t ⇔ 1 + 7 = 2 ⇔  ÷ + 
÷ =1
2  3 ÷

3

t
3

t

t

t

t

t
t
3
1 37
7

1  3 7 
1
−
1
⇒
f
'(
t
)
=
.ln
+
.ln
< 0, ∀t
Xét f (t ) =  ÷ + 
÷

÷

÷
 3 ÷
2
2
3
2  3 ÷






⇒ f(t) là hàm số nghịch biến trên R
Mặt khác: f(3) = 0 nên t = 3 ⇔ x = 343 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình log 5 x = log 7 ( x + 2)
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là x > 0
t
Đặt t = log 5 x ⇔ x = 5
Phương trình trở thành
t

t

5
1
t = log 7 (5 + 2) ⇔ 5 + 2 = 7 ⇔ 5 − 7 + 2 = 0 ⇔  ÷ + 2  ÷ − 1 = 0
7
7
t

t

t

t

t

t

t

t

t

5
1
5
1
5
1
Xét f (t ) =  ÷ + 2  ÷ − 1 ⇒ f '(t ) =  ÷ .ln + 2  ÷ .ln < 0, ∀t
7
7
7
7
7
7
⇒ f(t) là hàm nghịch biến trên R ⇒ phương trình f(t) = 0 có không quá 1 nghiệm trên R
Mặt khác: f (1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
Giải bất phương trình

2 x 3 + 3x 2 + 6 x + 16 < 2 3 + 4 − x

Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình là −2 ≤ x ≤ 4
Bất phương trình được viết lại thành 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 − 4 − x < 2 3
(2)

Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên
Xét
3x 2 + 3x + 3
1
f ( x) = 2 x3 + 3 x 2 + 6 x + 16 − 4 − x ⇒ f '( x) =
+
> 0, ∀x ∈ (−2; 4)
4− x
2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16
⇒ f(x) là hàm số đồng biến trên (-2; 4)
Mặt khác: (2) ⇔ f ( x) < f (1) ⇔ x < 1
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là −2 ≤ x < 1
Giải bất phương trình x + 9 + 2 x + 4 > 5
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là x ≥ −2
Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
1
1
+
> 0, ∀x > −2
Xét f ( x) = x + 9 + 2 x + 4 ⇒ f '( x ) =
2 x+9
2x + 4
⇒ f(x) là hàm số đồng biến trên (−2; +∞)


Mặt khác: x + 9 + 2 x + 4 > 5 ⇔ f ( x) > f (0) ⇔ x > 0
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 0
Giải bất phương trình 3 x + 4 + 2 2 x + 4 > 13
Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình x ≥ −2
Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
1
1
x+4
+ 2 2 x + 4 ⇒ f '( x) =
3 x + 4.ln 3 +
2
Xét f ( x) = 3
x+4
2x + 4
⇒ f(x) là hàm số đồng biến trên (−2; +∞)
Mặt khác: 3 x + 4 + 2 2 x + 4 > 13 ⇔ f ( x) > f (0) ⇔ x > 0
So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình

2 x +4

.ln 2 > 0, ∀x > −2

Giải bất phương trình log 2 x + 1 + log3 x + 9 > 1
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là x > −1
Xét
1
1
f ( x) = log 2 x + 1 + log 3 x + 9 = log 2 ( x + 1) + log 3 ( x + 9)
2
2
1
1

⇒ f '( x) =
+
> 0, ∀x > −1
2( x + 1) ln 2 2( x + 9) ln 3
⇒ f(x) là hàm số đồng biến trên (−1; +∞)
Ta có: log 2 x + 1 + log3 x + 9 > 1 ⇔ f ( x) > f (0) ⇒ x > 0
So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình
x + 1 + 3 5 x − 7 + 4 7 x − 5 + 5 13 x − 7 < 8 (*)

Giải bất phương trình

5
Giải. Điều kiện x ≥ . Đặt f ( x ) = x + 1 + 3 5 x − 7 + 4 7 x − 5 + 5 13x − 7
7

5
7
13
1
( )
+
+
>0
Ta có: f ′ x = 2 x + 1 + 3
2
3
5
4
5 × (13x − 7) 4
3 × ( 5x − 7 )

4 × ( 7 x − 5)

)

5
⇒ f (x) đồng biến trên  7 , +∞ . Mà f (3) = 8 nên (*) ⇔ f (x) < f (3) ⇔ x < 3.


Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là
Giải bất phương trình 3 3 − 2 x +

5 ≤ x<3
7

5
− 2x ≤ 6
2x −1

(1)

Lời giải
Điều kiện của bất phương trình là
Xét g ( x) = 3 3 − 2 x +

1
3
≤x≤
2
2

(*)

5
−3
10
− 2 x ⇒ g '( x ) =
−
− 2 < 0, ∀x ∈ (*)
2x −1
3 − 2x 2x −1


1 3
⇒ g(x) là hàm số nghịch biến trên  ; ÷
2 2
Mặt khác: g(1) = 6
Khi đó: (1) ⇔ g ( x) ≤ 6 ⇔ g ( x) ≤ g (1) ⇔ x ≥ 1
Kết luận: x ≥ 1 là nghiệm của bất phương trình
x 2 − 2 x + 3 − x 2 − 6 x + 11 > 3 − x − x − 1
Điều kiện của bất phương trình: 1 ≤ x ≤ 3
Giải bất phương trình

(1)

(1) ⇔ ( x − 1) 2 + 2 + x − 1 > ( x − 3) 2 + 2 + 3 − x
t
1
2
+
>0

Xét f (t ) = t + 2 + t , t ≥ 0 ⇒ f '(t ) = 2
t +2 2 t
⇒ f(t) đồng biến trên (0; +∞)
Mặt khác: (1) ⇔ f ( x − 1) > f (3 − x) ⇒ x − 1 > 3 − x ⇔ x > 2
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là 2 < x ≤ 3
Giải bất phương trình sau

7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 < 181 − 14 x (1)

Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình x ≥
(1) ⇔

6
7

7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 − 181 + 14 x < 0

(t ≥ 0)
Đặt t = 7 x + 7 + 7 x − 6 ⇒ t 2 = 14 x + 2 49 x 2 + 7 x − 42
Phương trình trở thành : t 2 + t − 182 < 0 ⇔ −14 < t < 13 kết hợp điều kiện (t ≥ 0)
6

ta được 0 ≤ t ≤ 13 ⇒ (1) ⇔ 7 x + 7 + 7 x − 6 < 13 (2); điều kiện x ∈  ; +∞ ÷
7

Xét hàm f ( x) = 7 x + 7 + 7 x − 6
1
1
6

6

⇒ f '( x) =
+
> 0 ; ∀x ∈ ( ; +∞) hàm số đồng biến trên x ∈  ; +∞ ÷
7
2 7x + 7 2 7x − 6
7

f
(6)
=
13
f
(
x
)
<
13
⇔
x
<
6
Mặt khác
nên
vậy nghiệm của bất phương trình là
6
6 
≤ x ≤ 6 hay x ∈  .6 ÷
7

7 
Giải bất phương trình log 7 x > log 3 (2 + x )

(1)

Lời giải:
Điều kiện của bất phương trình x > 0
Đặt t = log 7 x

(

Phương trình (1) trở thành t > log 3 2 + 7
t

t

)

t

t
1  7 
⇔ 2 + 7 − 3 < 0 ⇔ 2.  ÷ + 
÷ −1 < 0
3  3 ÷

t
2

t

t

t
t
7
1  7 
1 1  7 
− 1 ⇒ f '(t ) = 2.  ÷ ln + 
ln
<0
Xét f (t ) = 2.  ÷ + 
÷
÷
÷
÷
3
3  3 
3 3  3 
⇒ f(t) là hàm số nghịch biến


Mặt khác: f(2) = 0 nên
t

t
1  7 
2.  ÷ + 
÷ − 1 < 0 ⇔ f (t ) < f (2) ⇒ t > 2 ⇔ log 7 x > 2 ⇔ x > 49
 3  3 ÷



Giải bất phương trình 8 x 3 + 2 x < ( x + 2) x + 1
Lời giải:
Điều kiện x ≥ −1
(*) ⇔ (2 x)3 + 2 x < ( x + 1 + 1) x + 1
⇔ (2 x)3 + 2 x < ( x + 1)3 + x + 1
⇔ f (2 x ) < f ( x + 1), f (t ) = t 3 + t
⇔ 2x < x +1
x < 0
x < 0

x ≥ 0

⇔  x ≥ 0
⇔ 

  4 x 2 < x + 1  0 < x < 1 + 17


8

Vậy bất phương trình có nghiệm −1 ≤ x <

1 + 17
8

Vấn đề 5: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
 x 3 + x = ( y + 2) y + 1
Giải hệ phương trình  2

2
 x + y = 1
Lời giải:
(1) ⇔ x 3 + x = ( y + 2) y + 1 ⇔ x 3 + x = ( y + 1)3 + y + 1
⇔ f ( x) = f ( y + 1), f (t ) = t 3 + t
⇔x=

y +1

y = 0 ⇒ x =1
2
y + 1 vào (2) ta có: y + 1 + y + 1 = 0 ⇔ 
 y = −1 ⇒ x = 0
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1)
 x 3 − 3 y = y 3 − 3x
(1)
Giải hệ phương trình  2
2
 2x − y = 4
Lời giải
(1) ⇔ x 3 + 3x = y 3 + 3 y
Xét f (t ) = t 3 + 3t ⇒ f '(t ) = 3t 2 + 3 > 0
⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: x 3 + 3x = y 3 + 3 y ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y
Thay x =


x = y
x = y
⇔

Ta được hệ phương trình như sau:  2
2
 x = ±2
2 x − y = 4
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (2; 2) và (-2; -2)
 x + 3 + 10 − y = 5
Giải hệ phương trình 
 y + 3 + 10 − x = 5
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình −3 ≤ x, y ≤ 10
Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình
Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình x + 3 − 10 − x = y + 3 − 10 − y
1
1
+
> 0, ∀t ∈ (−3;10)
Xét hàm số f (t ) = t + 3 − 10 − t ⇒ f '(t ) =
2 t + 3 2 10 − t
⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên (-3; 10)
x + 3 − 10 − x = y + 3 − 10 − y ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y
Ta được hệ phương trình như sau
 x = y
x = y
x = 1
 x = y
⇔
⇔
⇔



x = 1
y =1
 x + 3 + 10 − x = 5
 x + 3 + 10 − y = 5
Kết luận: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
1
 1
x − x = y − y
Giải hệ phương trình 
2 y = x3 + 1

Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình x ≠ 0, y ≠ 0
1
1
Xét hàm số f (t ) = t − ⇒ f '(t ) = 1 + 2 > 0, ∀t ≠ 0
t
t
⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên R \ { 0}
Mặt khác: x −

1
1
= y − ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y
x
y

x = y
x = y
x = y


⇔ 3
⇔
Ta được hệ phương trình như sau 
−1 ± 5
3
2 y = x + 1  x − 2 x + 1 = 0
 x = 1, x =

2
−1 ± 5
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm x = y = 1, x = y =
2
Vấn đề 6: Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất
phương trình
Tìm m để phương trình m( x 2 − 2 x + 2 + 1) + x(2 − x) ≤ 0 có nghiệm x ∈  0;1 + 3 
Lời giải:


m( x 2 − 2 x + 2 + 1) + x(2 − x) ≤ 0 ⇔ m( x 2 − 2 x + 2 + 1) − ( x 2 − 2 x) ≤ 0
x −1
2
= 0 ⇔ x =1
Đặt t = x − 2 x + 2 ≥ 0 ⇒ t ' =
2
x − 2x + 2
Vẽ bảng biến thiên suy ra x ∈  0;1 + 3  ⇒ t ∈ [ 1; 2]
t2 − 2
2
2

(*) ⇒ m ( t + 1) − t + 2 ≤ 0 ⇔ t − m ( t + 1) − 2 ≥ 0 ⇔ m ≤
t +1
2
2
t −2
t + 2t + 2
,1 ≤ t ≤ 2 ⇒ f '(t ) =
> 0,1 ≤ t ≤ 2
Xét f (t ) =
2
t +1
( t + 1)

(*)

⇒ f(t) là hàm số đồng biến

Bất phương trình được thỏa khi m ≤ min f ( x) = f (1) = −
1≤ x ≤ 2

Tìm m để phương trình sau có nghiệm x( x − 1) + 4( x − 1)

1
2
x
=m
x −1

Lời giải:
Điều kiện của phương trình x ≤ 0 ∨ x ≥ 1

Với điều kiện trên thì (*) ⇔ x( x − 1) + 4 x( x − 1) = m

(**)

Đặt t = x( x − 1) , t ≥ 0
Phương trình (**) trở thành t 2 + 4t − m = 0 có nghiệm t ≥ 0
Điều kiện trên được thỏa khi m ≥ −4
Tìm m để phương trình 2 ( x + 2)(4 − x) + x 2 = 2 x − m có nghiệm
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình −2 ≤ x ≤ 4
Đặt t = ( x + 2)(4 − x) (0 ≤ t ≤ 3) ⇔ − x 2 + 2 x = t 2 − 8
Phương trình trở thành 2t = t 2 − 8 − m
⇔ g (t ) = t 2 − 2t − 8 = m
Phương trình có nghiệm khi min g (t ) ≤ m ≤ m ax g (t )
[ 0;3]

[ 0;3]

Ta có: g '(t ) = 2t − 2
g '(t ) = 0 ⇔ t = 1
Vẽ bảng biến thiên ta có
min g (t ) ≤ m ≤ m ax g (t ) ⇔ g (1) ≤ m ≤ g (3) ⇔ −9 ≤ m ≤ −5
[ 0;3]

[ 0;3]

(*)