Chuyên đề lượng giác luyện thi ĐH

wWw.VipLam.Info
Chuyên đề

LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
sin 2 α + cos 2 α = 1

tan α .cot α = 1
cos α
cot α =
( α ≠ kπ )
sin α
1
= cot 2 α + 1 ( α ≠ kπ )
sin 2 α

π


 α ≠ + kπ ÷
2


1
π


= tan 2 α + 1 α ≠ + k π ÷
2
2

cos α


2. Công thức LG thường gặp
sin ( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa
tan α =

sin α
cos α

Công thức cộng:

cos ( a ± b ) = cos a cos b msinasinb
tan ( a ± b ) =

tana ± tanb
1 mtanatanb

sin 2a = 2sin a.cos a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a
Công thức nhân:

cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a
sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a
tan 3a =

3 tan a − tan 3 a
1 − 3 tan 2 a

1

[cos(a−b)+cos(a+b)]
2
1
sina.sinb = [cos(a−b)−cos(a+b)]
2
1
sina.cosb = [sin(a−b)+sin(a+b)]
2
a+b
a−b
cos
Tổng thành tích: sin a + sin b = 2sin
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
sin
2
2
a+b
a −b
cos a + cos b = 2 cos
cos
2
2
a+b
a −b
cos a − cos b = −2sin
sin

2
2
sin(a ± b)
tan a ± tan b =
cos a.cos b
1
Công thức hạ bậc: cos2a = (1+cos2a)
2
1
sin2a = (1−cos2a)
2
a
Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan
2
Tích thành tổng:

Chuyên đề: LG

cosa.cosb =

1

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info
2t
1- t 2
2t
sin a =

; cos a =
; tan a =
.
2
2
1+ t
1+ t
1 t2
3. Phng trỡng LG c bn
u = v + k 2
* sinu=sinv
u = v + k 2

* cosu=cosvu=v+k2

* tanu=tanv u=v+k
* cotu=cotv u=v+k ( k Z ) .
4. Mt s phng trỡnh LG thng gp
1. Phng trỡnh bc nht, bc hai i vi mt hm s lng giỏc:
a. Phng trỡnh bc nht i vi mt hm s lng giỏc: gii cỏc phng trỡnh ny ta dựng cỏc
cụng thc LG a phng trỡnh v phng trỡnh LG c bn.
b. Phng trỡnh bc hai i vi mt hm s lng giỏc: l nhng phng trỡnh cú dng
2
a.sin x+b.sinx+c=0 (hoc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) gii cỏc
phng trỡnh ny ta t t bng hm s LG..
2. Phng trỡnh bc nht i vi sinx v cosx:
Dng: asinx+bcosx=c. iu kin phng trỡnh cú nghim l a 2 + b 2 c 2 .
b
c
Cỏch 1: Chia hai v phng trỡnh cho a ri t = tan , ta c: sinx+tancosx= cos

a
a
c
c
ủaởt
sinx cos + sin cosx= cos
sin(x+ )= cos = sin .
a
a
Cỏch 2: Chia hai v phng trỡnh cho a 2 + b 2 , ta c:
a
b
c
sin x +
cos x =
2
2
2
2
2
a +b
a +b
a + b2
a
b
= cos ;
= sin . Khi ú phng trỡnh tng ng:
t:
a2 + b2
a2 + b2

ủaởt
c
c
cos sin x + sin cos x =
sin ( x + ) =
= sin .
hay
a 2 + b2
a 2 + b2
x
Cỏch 3: t t = tan .
2
3. Phng trỡnh thun nht bc hai i vi sinx v cosx:
Dng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

Cỏch 1: + Kim tra nghim vi x = + k .
2
+ Gi s cosx0: chia hai v phng trỡnh cho cos2x ta c: atan2x+btanx+c=0.
1



= tan 2 x + 1 x + k ữ
Chỳ ý:
2
2
cos x


Cỏch 2: p dng cụng thc h bc.

4. Phng trỡnh i xng i vi sinx v cosx:
Dng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c.
Cỏch gii: t t= sinx cosx. iu kin | t | 2 .




Lửu yự caực coõng thửực : sin x + cos x = 2 sin x + ữ = 2 cos x ữ
4
4






sin x cos x = 2 sin x ữ = 2 cos x + ữ
4
4



Chuyờn : LG

2

Thỏi Thanh Tựng


wWw.VipLam.Info

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Giải
1 − cos 2 x 1 − cos 6 x 1 + cos 4 x 1 + cos8 x
+
=
+
Phương trình (1) tương đương với:
2
2
2
2
⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
π kπ
π


 x = 10 + 5
5 x = 2 + kπ
cos 5 x = 0


π
π lπ



⇔ cos 2 x = 0 ⇔ 2 x = + kπ ⇔  x = +
, (k , l, n ∈ ¢)


2
4 2
cos x = 0


 x = π + nπ
 x = π + kπ

2
2

6
6
8
8
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos x+sin x = 2 ( cos x+sin x) (2).
Giải
Ta có (2) ⇔ cos6x(2cos2x−1) = sin6x(1−2sin2x)
⇔ cos2x(sin6x–cos6x) = 0
⇔ cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
⇔ cos2x = 0
⇔ 2x =

π
π kπ
+ kπ ⇔ x = +

, (k ∈ ¢ )
2
4 2

Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos6 x + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 6 2 cos 4 x − 1 = 0 (3).
Giải
Ta có:
(3) ⇔ 2 2 cos3 x(4 cos3 x − 3cos x) + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 1 = 0
⇔ 2 cos 2 x.2 cos x cos 3x + 2sin 2 x.2sin x sin x3 x = 2
⇔ (1 + cos 2 x)(cos 2 x + cos 4 x) + (1 − cos 2 x)(cos 2 x − cos 4 x) = 2
⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = 2
⇔ cos 2 x(1 + cos 4 x) =
⇔ cos 2 x.cos 2 2 x =

2
2

2
4

2
π
⇔ x = ± + kπ , (k ∈ ¢ )
2
8
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
⇔ cos 2 x =

Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: sin 8 x + cos8 x =

17
32

(4).

Giải
Ta có (4)
4

4

1
17
 1 − cos 2 x   1 + cos 2 x  17
⇔
+
=
⇔ (cos 4 2 x + 6 cos 2 2 x + 1) =
÷
÷
2
2
32
8
32

 


Chuyên đề: LG

3

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info
 1
t = 2
17
13
2
2
2
Đặt cos 2x = t, với t∈[0; 1], ta có t + 6t + 1 = ⇔ t + 6t − = 0 ⇔ 
4
4
t = − 13

2
1
1
cos
4
x
+
1
1
2
=

Vì t∈[0;1], nên t = ⇔ cos 2 x = ⇔
2
2
2
2
π
π
π
⇔cos4x = 0 ⇔ 4 x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ )
2
8
4

Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0
⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos x = 1 ⇔ x = kπ2 ,k( ∈ ¢ )
⇔
 2sin x + 2 cos x + 2sin x cos x + 1 = 0 (*)
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t |≤ 2 , khi đó phương trình (*) trở thành:
t = 0
π
⇔ sin x = -cos x ⇔ x = − + nπ , ( n ∈ ¢ )
2t + t2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t2 + 2t = 0 ⇔ 
4
t = −2 (lo¹i)
π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = − + nπ ; x = kπ2 , n( k, ∈ ¢ )

4
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình: π |sin x | = cos x (6).
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do | sin x |≥ 0, nên π |sin x | ≥ π 0 = 1 , mà |cosx| ≤ 1.
| sin x |= 0
 x = kπ , ( k ∈ ¢ + )
 x = kπ2 2
k π2 =n
k = n = 0
(6)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Do đó




| cos x |= 1
 x = nπ , ( n ∈ ¢ )
x = 0
 x = nπ
 x = nπ
(Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.

x2
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 1 −
= cos x .
2
Giải
x2
Đặt f ( x )= cos x + . Dễ thấy f(x) = f(−x), ∀x ∈ ¡ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
2
với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
 π
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng  0; ÷ thoả mãn
 2
2− n

phương trình: sin n x + cos n x = 2 2 .
Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.
= nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Chuyên đề: LG

4

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info

2−n
 π
π 
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng  0; ÷, ta có minf(x) = f  ÷ = 2 2
 2
4
π
Vậy x =
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
4
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:

ĐS: x = k 2π ; x =

1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng)
2. tanx.sin2x−2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

ĐS: x = −

HD: Chia hai vế cho sin2x
3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)

π
+ n 2π
2

π
π
+ kπ ; x = ± + n2π

4
3

π
π
π
7π
+ k ; x = − + nπ ; x =
+ mπ .
4
4
12
12
π
ĐS: x = k .
2

ĐS: x = ±
4. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội)

5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐH Luật Hà Nội)
π
1
ĐS: x = + k 2π ; x = α + n 2π ; x = π − α + l 2π ; với sin α = − .
2
4
π
6. sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội)
ĐS: x = + kπ .
4

π
π
π
π


7. sin  3x − ÷ = sin 2 x.sin  x + ÷ ; (Học Viện BCVT)
ĐS: x = + k
4
4
4
2


3
3
3
8. sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x
π
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x
ĐS: x = k .
12
−π

 x = 4 + kπ

1
1
 7π


+
= 4 sin 
− x÷
−π
+ kπ
3π 
9. sin x

ĐS:  x =
 4

sin  x −
8
÷
2 


 x = 5π + kπ
8

3
3
2
2
10. sin x − 3 cos x = sin x cos x − 3 sin x cos x
π
π
HD: Chia hai vế cho cos3x
ĐS: x = − + kπ , x = ± + k π
3

4
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
π
2π
+ k 2π (k ∈ ¢ )
HD: Đưa về cung x đặt thừa số
ĐS: x = + kπ ∨ x = ±
4
3
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
(1)
⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.
⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK t ≤ 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.

Chuyên đề: LG

5

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info
 1
1
t =
⇒ cos x = …(biết giải)
⇒  2

2
t = sin x - 2 ( loaïi)

13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK t ≤ 1 .
2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)2.
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
2 ( cos x − sin x )
1
15. Giải phương trình lượng giác:
=
tan x + cot 2 x
cot x − 1
Giải
cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0
Điều kiện: 
cot x ≠ 1
1

2 ( cos x − sin x )
cos x.sin 2 x
⇔
= 2 sin x
cos x
cos x
−1

sin x

=

Từ (1) ta có: sin x cos 2 x
+
cos x sin 2 x
⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x
π

x = + k 2π

2
4
⇔ cos x =
⇔
( k ∈¢)
2
 x = − π + k 2π

4

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = −
16. Giải phương trình:

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
4

sin 4 x + cos 4 x 1

= ( tan x + cot x )
sin 2 x
2

Giải
sin 4 x + cos 4 x 1
= ( tan x + cot x ) (1)
sin 2 x
2
Điều kiện: sin 2 x ≠ 0
1
1
1 − sin 2 2 x
1 − sin 2 2 x
1
sin
x
cos
x


1
1
2
2
(1) ⇔
= 
+
=
⇔ 1 − sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = 0

÷⇔
sin 2 x
2  cos x sin x 
sin 2 x
sin 2 x
2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.



2
17. Giải phương trình: 2 sin  x −

π
= 2 sin 2 x − tan x .
4÷


Giải


π





π 

2

2
2
Pt⇔ 2 sin  x − ÷ = 2 sin x − tan x (cosx ≠ 0) ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ cos x = 2 sin x.cos x − sin x
4
2 



⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔ sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
3
18. Giải phương trình: sin 2 x ( cos x + 3) − 2 3cos x − 3 3cos2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0 .

(

)

Giải

Chuyên đề: LG

6

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info
sin 2 x(cos x + 3) − 2 3.cos x − 3 3.cos 2 x + 8( 3.cos x − sin x) − 3 3 = 0
3

⇔ 2sin x.cos 2 x + 6 sin x.cos x − 2 3.cos 3 x − 6 3 cos 2 x + 3 3 + 8( 3.cos x − sin x) − 3 3 = 0

⇔ −2 cos 2 x( 3 cos x − sin x) − 6. cos x( 3 cos x − sin x) + 8( 3 cos x − sin x) = 0
⇔ ( 3 cos x − sin x)( −2 cos 2 x − 6 cos x + 8) = 0
 tan x = 3

 cos x = 1
 cos x = 4 (loai)


 3 cos x − sin x = 0
⇔
⇔
2
cos x + 3cos x − 4 = 0

π

x = + kπ

⇔
,k ∈Z
3

 x = k 2π
π

19. Giải phương trình: cosx=8sin3  x + ÷
6

Giải
3

π

cosx=8sin3  x + ÷ ⇔ cosx = 3 sin x + cos x
6

3
⇔ 3 3 sin x + 9sin 2 x cos x + 3 3 sin x cos 2 x + cos 3 x − cos x = 0 (3)
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
(3) ⇔ 3 3 tan 3 x + 8 tan 2 x + 3 3 tan x = 0
⇔ tan x = 0 ⇔ x = k π
2 ( cos x − sin x )
1
20. Giải phương trình lượng giác:
=
tan x + cot 2 x
cot x − 1
Giải
cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0
Điều kiện: 
cot x ≠ 1

(

)

2 ( cos x − sin x )
1
cos x.sin 2 x
=
⇔

= 2 sin x
Từ (1) ta có: sin x cos 2 x
cos x
cos
x
+
−1
cos x sin 2 x
sin x
⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x
π

x = + k 2π

2
4
⇔ cos x =
⇔
( k ∈¢)
2
 x = − π + k 2π

4
π
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − + k 2π ( k ∈ Z¢
)
4
21. Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x)
Giải
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0

 cos x − sin x = −1
⇔
 cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x ≤ 2)
 x = π + k 2π
π
π
π
⇔ 2 sin x −
= 1 ⇔ sin x −
= sin ⇔ 
2
(k ∈ Z )
4
4
4
 x = π + k 2π


(

Chuyên đề: LG

)

(

)

7

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info
22. Giải phương trình: 2cos3x +
Giải
3 sin x + cos x + 2 cos 3x = 0

π

⇔ cos  x − ÷= − cos 3 x
3

 π kπ
x = 3 + 2
(k ∈Z)
⇔  π
 x = + kπ
3


3 sinx + cosx = 0
⇔
⇔

⇔

π
π
sinx + cos cosx = – cos3x.

3
3
π

cos  x − ÷= cos(π − 3 x)
3

sin

x=

π kπ
+
3
2

23. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =

(k∈Z)

2+3 2
8

Giải

2+3 2
2+3 2
⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
8
8

2+3 2
2
π
π
⇔ cos 2 3 x + sin 2 3x + 3 ( cos 3 x cos x − sin 3 x sin x ) =
⇔ cos 4 x =
⇔ x = ± + k ,k ∈ Z .
2
2
16
2
24. Định m để phương trình sau có nghiệm
π 
π
π


4sin 3 x sin x + 4 cos  3 x − ÷cos  x + ÷− cos 2  2 x + ÷+ m = 0
4
4
4



Giải
Ta có:
* 4sin 3 x sin x = 2 ( cos 2 x − cos 4 x ) ;
Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x =

π 

π
 
π


* 4 cos  3x − ÷cos  x + ÷ = 2 cos  2 x − ÷ + cos 4 x  = 2 ( sin 2 x + cos 4 x )
4
4
2


 

π  1
π  1

2 
* cos  2 x +
÷ = 1 + cos  4 x +
÷ = ( 1 − sin 4 x )
4  2
2 ÷


 2
Do đó phương trình đã cho tương đương:
1
1
2 ( cos 2 x + sin 2 x ) + sin 4 x + m − = 0 (1)
2

2
π

Đặt t = cos 2 x + sin 2 x = 2 cos  2 x − ÷ (điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2 ).
4

2
Khi đó sin 4 x = 2sin 2 x cos 2 x = t − 1 . Phương trình (1) trở thành:
t 2 + 4t + 2m − 2 = 0 (2) với − 2 ≤ t ≤ 2
(2) ⇔ t 2 + 4t = 2 − 2m
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y = 2 − 2m (là đường song song với Ox và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y = t 2 + 4t với − 2 ≤ t ≤ 2 .
x
− 2
2
y’
+
y
2+4 2
2−4 2
2
Trong đoạn  − 2; 2  , hàm số y = t + 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 − 4 2 tại t = − 2 và đạt giá trị lớn
nhất là 2 + 4 2 tại t = 2 .
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 − 4 2 ≤ 2 − 2m ≤ 2 + 4 2
Chuyên đề: LG

8

Thái Thanh Tùng

wWw.VipLam.Info
⇔ −2 2 ≤ m ≤ 2 2 .
−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−

Chuyên đề: LG

9

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
KHỐI A
cos 3x + sin 3 x 

= cos 2 x + 3
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của phương trình: 5  sin x +
1 + 2sin 2 x ÷


Giải

ĐS: x =

(Khối A_2002).

π

5π
;x =
.
3
3

2. Giải phương trình: cot x − 1 =
Giải

cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x
2

π
+ k π ( k ∈ Z)
4
3. Giải phương trình: cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0
Giải

(Khối A_2003)

ĐS: x =

Chuyên đề: LG

(Khối A_2005)

10

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info

ĐS: x =

kπ
( k ∈ Z)
2

4. Giải phương trình:

(

)

2 cos 6 x + sin 6 x − sin x cos x
2 − 2 sin x

=0

(Khối A_2006)

Giải

5π
+ k 2π ( k ∈ Z)
4

2
2
5. Giải phương trình: 1 + sin x cos x + 1 + cos x sin x = 1 + sin 2 x
ĐS: x =

(

)

(

)

(Khối A_2007)

Giải

π
π
+ k π , x = + k 2π , x = k 2π ( k ∈ Z)
4
2
1
1
 7π

+
= 4 sin 
− x÷
3

π
sin x
4




sin  x −
÷
2



ĐS: x = −
6.

(Khối A_2008)

Giải

Chuyên đề: LG

11

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info

−π

−π
5π
+ kπ , x =
+ kπ , x =
+ k π , ( k ∈ Z)
4
8
8
( 1 − 2 sin x ) cos x
= 3.
7. Giải phương trình:
( 1 + 2 sin x ) ( 1 − sin x )
ĐS: x =

(Khối A_2009)

Giải

ĐS: x = −

π
2π
+k
, ( k ∈ Z)
18
3

KHỐI B
8. Giải phương trình sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x
Giải

ĐS: x = k

(Khối B_2002)

π
π
; x = k , ( k ∈ Z)
9
2

9. Giải phương trình cot x − tan x + 4 sin 2 x =

2
sin 2 x

(Khối B_2003)

Giải

Chuyên đề: LG

12

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info

π

+ k π , ( k ∈ Z)
3
2
10. Giải phương trình 5sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan x
Giải
ĐS: x = ±

(Khối B_2004)

π
5π
+ k 2π ; x =
+ k 2π , ( k ∈ Z)
6
6
11. Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0
Giải
ĐS: x =

ĐS: x = ±

(Khối B_2005)

2π
+ k 2π ( k ∈ Z)
3

x

12. Giải phương trình: cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 4

2

Giải

Chuyên đề: LG

(Khối B_2006)

13

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info

π
5π
+ kπ ; x =
+ k π , ( k ∈ Z)
12
12
13. Giải phương trình: 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x
Giải
ĐS: x =

(Khối B_2007)

π
2π
5π

2π
+k
;x =
+k
, ( k ∈ Z)
18
3
18
3
14. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x
Giải
ĐS: x =

π
π
π
+ k ; x = − + k π , ( k ∈ Z)
4
2
3
sin
x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin 3 x ) .
15. Giải phương trình:
Giải

(Khối B_2008)

ĐS: x =

ĐS: x =

(Khối B_2009)

π 2k π
π
+
, x = − − 2 k π , ( k ∈ Z)
42
7
6

KHỐI D
Chuyên đề: LG

14

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info
16. Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0
Giải

(Khối D_2002)

π
3π
5π
7π
;x =

;x =
;x =
2
2
2
2
π 2
2  x
2 x
=0
17. sin  − ÷tan x − cos
2
2 4
Giải
ĐS: x =

(Khối D_2003)

π
+ k π , ( k ∈ Z)
4
18. Giải phương trình ( 2 cos x − 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x
Giải
ĐS: x = π + k 2π , x = −

ĐS: x = ±

(Khối D_2004)

π

π
+ k 2π , x = − + k π , ( k ∈ Z)
3
4

π 
π 3

4
4
19. Giải phương trình: cos x + sin x + cos  x − ÷sin  3 x − ÷ − = 0
4 
4 2

Giải

Chuyên đề: LG

15

(Khối D_2005)

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info

π
+ k π , ( k ∈ Z)
4

20. Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0
Giải
ĐS: x =

(Khối D_2006)

2π
+ k 2π , ( k ∈ Z)
3
2
x
x

21. Giải phương trình  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2
2
2

Giải
ĐS: x = ±

(Khối D_2007)

π
π
+ k 2π , x = − + k 2π , ( k ∈ Z)
2
6
22. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos 3 x = 2 sin 2 x
Giải
ĐS: x =

Chuyên đề: LG

(CĐ_A_B_D_2008)

16

Thái Thanh Tùng


wWw.VipLam.Info

π
4π
2π
+ k 2π , x =
+k
, ( k ∈ Z)
3
15
5
23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
Giải
ĐS: x =

(Khối D_2008)

2π
π
+ k 2π , x = + k π , ( k ∈ Z)

3
4
24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx
Giải
ĐS: x = ±

(CĐ_A_B_D_2009)

π
5π
+ kπ , x =
+ k π , ( k ∈ Z)
12
12
25. Giải phương trình 3 cos 5 x − 2 sin 3 x cos 2 x − sin x = 0
Giải
ĐS: x =

ĐS: x =

(Khối D_2009)

π
π
π
π
+ k , x = − + k , ( k ∈ Z)
18
3
6

2
−Hết−

Chuyên đề: LG

17

Thái Thanh Tùng