Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu

Mục lục

Chương 1. Thông tin chung về đề tài

3

1.1. Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự
tham chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Chủ nhiệm đề tài: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Đơn vị chủ trì: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4. Thời gian thực hiện đã được phê duyệt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 2. Kết quả thực hiện đề tài

4

2.1. Kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2. Hướng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3. Kết quả của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.4. Kết quả ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.5. Tình hình tổ chức thực hiện đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự
tham chiếu
5
3.1. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo

9
11

2


Chương 1
Thông tin chung về đề tài

1.1.

Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân
đạo hàm riêng tự tham chiếu

• Mã số đề tài: CS2012-11.
• Lĩnh vực: Toán học.

1.2.

Chủ nhiệm đề tài:

ThS. Nguyễn Thị Thanh Lan

1.3.

Đơn vị chủ trì:

Khoa Toán-Ứng Dụng - Trường Đại học Sài Gòn

1.4.

Thời gian thực hiện đã được phê duyệt:

12 tháng (03/2012 đến 03/2013)

3

Chương 2
Kết quả thực hiện đề tài

2.1.

Kết quả nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu đề cập đến vấn đề quan trọng của phương trình vi-tích phân, một lĩnh vực
có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các ngành khoa học như: Vật lí, Cơ học, Sinh học, . . . .
Một trong các mô hình thú vị, thu hút sự chú ý của nhiều nhà Toán học là các phương trình
vi-tích phân ứng dụng trong di truyền học và đã được các nhà Toán học: V. Volterra, E.
Eder, J. G. Si, S. S. Cheng, X. P. Wang, M. Miranda, E. Pascali,. . . nghiên cứu trong nhiều
trường hợp khác nhau bằng các công cụ thích hợp.

2.2.

Hướng nghiên cứu

Các bài toán liên quan đến sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm.

2.3.

Kết quả của đề tài

Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu.

2.4.

Kết quả ứng dụng

Hướng nghiên cứu của đề tài là các bài toán liên quan đến mô hình toán học ứng dụng trong
di truyền học và có định hướng ứng dụng trong thực tiễn.

2.5.

Tình hình tổ chức thực hiện đề tài

Tác giả đã thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu theo tiến độ đề ra và hoàn thành đúng thời gian
qui định. Kết quả của đề tài đã được nhận đăng trên tạp chí quốc tế ISI. Các vấn đề nghiên
cứu đều là những vấn đề thời sự và thuộc hướng mới đang được nhiều nhà Toán học quan
tâm.

4


Chương 3
Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo
hàm riêng tự tham chiếu

Trong đề tài này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương của bài toán

∂
1 t


u(x, s)ds + ϕ(u(x, t)), t , t ,
 u(x, t) = u f u(x, t) + v
∂t
t 0
(3.1)

∂
1 t


 v(x, t) = v g v(x, t) + u
v(x, s)ds + ψ(v(x, t)), t , t ,
∂t
t 0
thỏa các điều kiện đầu
u(x, 0) = u0 (x),

v(x, 0) = v0 (x),

(3.2)

trong đó f, g, ϕ, ψ, u0 và v0 là các hàm cho trước thỏa một vài điều kiện thích hợp.
Để nghiên cứu bài toán (3.1)-(3.2), ta xét bài toán

t


u f u(x, s)

u(x, t) = u0 (x) +



0




1 s


+v
u(x, τ )dτ + ϕ(u(x, s)), s , s ds,

s 0
t



v g v(x, s)
v(x,
t)
=
v
(x)
+
0



0



1 s



+u
v(x, τ )dτ + ψ(v(x, s)), s , s ds.

s 0

(3.3)

Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề. Nếu bài toán (3.3) có nghiệm thì nghiệm đó cũng là nghiệm của bài toán
(3.1)-(3.2).
Vì vậy ta sẽ nghiên cứu bài toán (3.3).
Bây giờ ta định nghĩa các dãy hàm thực {un }n≥1 , {vn }n≥1 như sau:
t

u1 (x, t) = u0 (x) +

u0 f u0 (x) + v0 u0 (x) + ϕ u0 (x)

ds,

0
t

v1 (x, t) = v0 (x) +

v0 g v0 (x) + u0 v0 (x) + ψ v0 (x)
0

5

ds,


Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 6
t

un+1 (x, t) = u0 (x) +

un f un (x, s)
0

1
s

+ vn

s

un (x, τ )dτ + ϕ un (x, s) , s , s ds,

(3.4)

0

t

vn g vn (x, s)

vn+1 (x, t) = v0 (x) +
0

+ un

1
s

s

vn (x, τ )dτ + ψ vn (x, s) , s , s ds,
0

với mọi x ∈ R và t > 0.
Ta thành lập các giả thiết sau:
(A1 ) u0 và v0 là các hàm bị chặn và liên tục Lipschitz trên R.
(A2 ) f, g, ϕ, ψ là các hàm liên tục Lipschitz trên R.
Trước hết, ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 3.1. Giả sử các hàm f, g, ϕ, ψ, u0 và v0 thỏa các giả thiết (A1 ) − (A2 ). Khi đó, với
mọi n ≥ 1 tồn tại các dãy hàm liên tục và không âm, với các số hạng tổng quát lần lượt ký
hiệu là Mn (t) và Nn (t), thỏa các bất đẳng thức sau:
|un+1 (x, t) − un+1 (y, t)| ≤ Mn+1 (t)|x − y|, n ∈ N, x, y ∈ R
|vn+1 (x, t) − vn+1 (y, t)| ≤ Nn+1 (t)|x − y|, n ∈ N, x, y ∈ R.
Hơn nữa, tồn tại số dương T1 sao cho các dãy không âm {Mn (t)}n≥1 , {Nn (t)}n≥1 bị chặn đều
trên khoảng (0, T1 ]; nghĩa là tồn tại một hằng số G0 > 0 sao cho 0 < Mn (t), Nn (t) < G0 với
mỗi t ∈ (0, T1 ], với mọi n ≥ 1.
Chứng minh.
Thật vậy, với n = 0 ta có
|u0 (x) − u0 (y)| ≤ M0 |x − y|, |v0 (x) − v0 (y)| ≤ N0 |x − y|, ∀x, y ∈ R,
trong đó M0 > 0, N0 > 0.
Với P, Q, , σ > 0 ta có


|f (α1 ) − f (α2 )| ≤ P |α1 − α2 |, α1 , α2 ∈ R,



|g(β ) − g(β )| ≤ Q|β − β |, β , β ∈ R,
1
2
1
2
1
2
|ϕ(γ1 ) − ϕ(γ2 )| ≤ |γ1 − γ2 |, γ1 , γ2 ∈ R,



|ψ(η1 ) − ψ(η2 )| ≤ σ|η1 − η2 |, η1 , η2 ∈ R.
Với n = 1 ta có
|u1 (x, t) − u1 (y, t)| ≤ M1 (t)|x − y|,

(3.5)


Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 7
trong đó
M1 (t) = M0 + t(M02 P + M02 N0 + M02 N0 ),
và
|v1 (x, t) − v1 (y, t)| ≤ N1 (t)|x − y|,
trong đó
N1 (t) = N0 + t(N02 Q + M0 N02 + M0 N02 σ).
Bằng qui nạp ta thu được

|un+1 (x, t) − un+1 (y, t)| ≤ Mn+1 (t)|x − y|,

(3.6)

trong đó
t

Mn2 (s)P

Mn+1 (t) = M0 +
0

s

1 d
+ Nn (s)
2s ds

+ Mn2 (s)Nn (s)

2

Mn (τ )dτ
0

ds,

và
|vn+1 (x, t) − vn+1 (y, t)| ≤ Nn+1 (t)|x − y|,

(3.7)

trong đó
t

Nn2 (s)Q

Nn+1 (t) = N0 +
0

1 d
+ Mn (s)
2s ds

s

2

Nn (τ )dτ
0

+ Mn (s)Nn2 (s)σ ds.
Dễ thấy, Mn+1 (t) và Nn+1 (t) là các hàm không âm và liên tục trên R. Bằng cách chọn các
hằng số dương K0 , H0 và I0 thỏa các điều kiện sau
N0 + K0 ≤ H0 , M0 + K0 ≤ I0 , G0 = max{H0 , I0 },
khi đó tồn tại T1 > 0 sao cho
0 ≤ Mn+1 (t) ≤ M0 + K0 ≤ G0 ,
0 ≤ Nn+1 (t) ≤ N0 + K0 ≤ G0 ,

(3.8)

với mỗi t ∈ (0, T1 ], T1 > 0. Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3.2. Giả sử các hàm u0 , v0 , f, g, ϕ và ψ thỏa các điều kiện (A1 ) − (A2 ). Khi đó, với
mọi n ≥ 1 tồn tại các dãy hàm liên tục và không âm, với các số hạng tổng quát lần lượt ký
hiệu là An (t) và Bn (t), thỏa
|un+1 (x, t) − un (x, t)| ≤ An+1 (t), x ∈ R, t ∈ R+ ,
|vn+1 (x, t) − vn (x, t)| ≤ Bn+1 (t), x ∈ R, t ∈ R+ .
Hơn nữa, tồn tại hằng số dương T2 sao cho cả hai dãy {An (t)}n≥1 và {Bn (t)}n≥1 hội tụ đều
trên (0, T2 ].
Chứng minh.


Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 8
Từ các giả thiết (A1 ) − (A2 ), ta có
|u1 (x, t) − u0 (x)| ≤ t u0

L∞

|v1 (x, t) − v0 (x)| ≤ t v0

L∞

:= A1 (t),
:= B1 (t).

Tương tự,
t

|u2 (x, t) − u1 (x, t)| ≤

A1 (s) 1 + M0 P + M0 N0

+ M0 B1 (s)

0

+ M0 N0

s

1
s

A1 (τ )dτ ds := A2 (t),
0

và
t

|v2 (x, t) − v1 (x, t)| ≤

B1 (s) 1 + N0 Q + M0 N0 σ + N0 A1 (s)
0

+ M0 N0

s

1
s

B1 (τ )dτ ds := B2 (t).
0

Bằng qui nạp, ta thu được
|un+1 (x, t) − un (x, t)| ≤ An+1 (t),

(3.9)

trong đó
t

An+1 (t) =

An (s) 1 + Mn−1 (s)P + Mn−1 (s)Nn−1 (s)
0

+ Bn (s)Mn−1 (s) + Mn−1 (s)Nn−1 (s)

1
s

s

An (τ )dτ ds,
0

và
|vn+1 (x, t) − vn (x, t)| ≤ Bn+1 (t),

(3.10)

trong đó
t

Bn+1 (t) =

Bn (s) 1 + Nn−1 (s)Q + Mn−1 (s)Nn−1 (s)σ
0

1
+ An (s)Nn−1 (s) + Mn−1 (s)Nn−1 (s)
s

s

Bn (τ )dτ ds.
0

Với h ∈ (0, 21 ), ta có thể chọn T2 > 0 sao cho các bất đẳng thức sau đúng với mọi t ∈ (0, T2 ]
1
+ G20 t ≤ h < ,
2
1
1 + G0 Q + G0 + G20 σ + G20 t ≤ h < ,
2

1 + G0 P + G0 + G20

(3.11)

Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 9
Bằng qui nạp, ta cũng chứng minh được
0 ≤ An+1 (t), Bn+1 (t) ≤ hn

A1

∞

+ B1

∞

1
, h < , t ∈ (0, T2 ].
2

Khi đó, các dãy An (.) và Bn (.) hội tụ đều trên (0, T2 ]. Bổ đề được chứng minh.
Chú ý. Ta dễ dàng chứng minh được
|un+1 (x, t)| ≤ et u0

∞,

|vn+1 (x, t)| ≤ et v0

∞.

Nếu chúng ta chọn T sao cho 0 < T ≤ min{T1 , T2 } thì các dãy hàm {un (x, t)}, {vn (x, t)} bị
chặn đều theo t với mọi x ∈ R. Mặt khác, ta cũng chứng minh được các hàm un (x, t), vn (x, t)

liên tục Lipschitz lần lượt theo từng biến x ∈ R và t ∈ (0, T ].
Ta có định lí sau
Định lí. Giả sử các hàm f, g, ϕ, ψ, u0 và v0 thỏa các giả thiết (A1 ) − (A2 ). Khi đó, tồn tại
một giá trị dương T sao cho (3.3) có nghiệm duy nhất trên R × (0, T ], ký hiệu là u∞ , v∞ .
Hơn nữa, các hàm này cũng liên tục Lipschitz và bị chặn lần lượt theo từng biến x ∈ R và
t ∈ (0, T ].
Chứng minh.
Ta chọn T = min{T1 , T2 }. Sử dụng các bổ đề 3.1 và 3.2, các giới hạn u∞ (x, t), v∞ (x, t),
của các dãy hàm {un (x, t)}n≥1 , {vn (x, t)}n≥1 bị chặn trên R × (0, T∗ ], liên tục Lipschitz lần
lượt theo từng biến và thỏa bài toán (3.3).
Bây giờ, ta giả sử (u , v ) là một nghiệm khác của bài toán (3.3) trên R × (0, T∗ ] với các
dữ kiện cho trước như trên. Khi đó, ta chứng minh được
|u (x, t) − u∞ (x, t)| ≤ h max{ u − u∞
|v (x, t) − v∞ (x, t)| ≤ h max{ u − u∞

v − v∞
L∞ , v − v∞

L∞ ,

L∞ },
L∞ },

(3.12)

với mọi t ∈ (0, T0 ], x ∈ R.
Cuối cùng, ta được
max{ u − u∞

L∞ ,

v − v∞

L∞ }

≤ h max{ u − u∞

L∞ ,

v − v∞

L∞ }.

(3.13)

Từ (3.13) tính duy nhất nghiệm được giải quyết. Định lí được chứng minh xong.

3.1.

Ví dụ minh họa

Chúng ta xét bài toán giá trị đầu cho hệ phương trình vi tích phân (3.1)-(3.2) với dữ kiện sau
u0 (x) = 1 − |x| nếu |x| ≤ 1, và u0 (x) = 0 nếu |x| > 1

v0 (x) = 1 với mọi x ∈ R,


Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu10
và
f (u) = u, g(v) = v, ϕ(u) = ψ(v) = 0.

Khi đó, ta thu được kết quả
u (x, t) = u0 (x), v (x, t) = et .

(3.14)

Thực tế, ta có thể chọn u0 (x) là hàm không âm và liên tục Lipschitz; v0 (x) là hàm hằng và
ngược lại thì ta cũng thu được kết quả tương tự.


Tài liệu tham khảo
[1] V. Volterra: Opere Matematiche: Memorie e note, Vol. V, 1926-1940, Accad. Naz. Lincei.
Roma (1962).
[2] E. Eder: The functional-differential equation x (t) = x(x(t)), J. Differ. Equ. 54, 390–400
(1984).
[3] J. G. Si, S. S. Cheng: Analytic solutions of a functional-differential equation with state
dependent argument, Taiwanese J. Math. 4, 471–480 (1997).
[4] X. P. Wang, J. G. Si: Smooth solutions of a nonhomogeneous iterative functional differential equation with variable coefficients, J. Math. Anal. Appl. 226, 377–392 (1998).
[5] X. Wang, J. G. Si, S. S. Cheng: Analytic solutions of a functional differential equation
with state derivative dependent delay, Aequationes Math. 1, 75–86 (1999).
[6] M. Miranda, E. Pascali: On a class of differential equations with self-reference, Rend.
Mat., serie VII, 25, Roma 155-164 (2005).
[7] M. Miranda, E. Pascali: On a type of evolution of self-referred and hereditary phenomena,
Aequationes Math. 71, 253–268 (2006).
[8] E. Pascali: Existence of solutions to a self-referred and hereditary system of differential
equations, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2006 No. 07, pp. 1–7 (2006).
[9] N. M. Tuan, N.T.T. Lan: On solutions of a system of hereditary and self-referred partialdifferential equations, Numer. Algorithms 55, no. 1, 101-Ờ113 (2010).
[10] P. K. Anh, N. T. T. Lan, N. M. Tuan: Solutions to systems of partial differential equations
with weighted self-reference and heredity Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2012(2012), No.
117, pp. 1-14. ISSN: 1072-6691.

11