Bài toán parabolic ngược

Bài toán Parabolic ngược

Tóm tắt
Trong đề tài này, chúng tôi xét bài toán parabolic ngược như sau
uxx (x, t) = a(t)ut (x, t),

(x, t) ∈ R × [0, T ].

Bằng cách áp dụng phương pháp biến đổi Fourier và phương pháp
chỉnh hóa tựa giá trò biên có điều chỉnh, chúng tôi sẽ chỉnh hóa bài toán
trên. Đồng thời, chúng tôi cũng đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác
và nghiệm chỉnh hóa trong đề tài này. Một ví dụ số cụ thể cũng được
chúng tôi đưa ra nhằm minh họa cho các kết quả trong đề tài.

1 Kiến thức liên quan
1.1 Ký hiệu
Ta kí hiệu ||.|| là chuẩn trong L2 (R), và |||.||| là chuẩn sup trong C([0, T ]; L2(R)).
Với w ∈ C([0, T ]; L2(R)). Khi đó ta kí hiệu
và

|||w||| = sup t∈[0,T ]||w(., t)||,
w(., t) =

∞

2

w(x, t) dx

1/2

.

−∞

1.2 Bài toán thuận và bài toán ngược
Cho X và Y là 2 không gian đònh chuẩn, K : X −→ Y là một ánh xạ có thể
tuyến tính hoặc không. Khi đó ta nói, bài toán thuận là cho x ∈ X và K, ta
tính giá trò của K(x). Bài toán ngược là cho y ∈ Y và K, ta giải phương trình
K(x) = y tìm x hoặc cho (x, y) trong X và Y tìm K.

1


1.3 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa
1.3.1 Bài toán chỉnh
Cho X và Y là 2 không gian đònh chuẩn, K : X −→ Y là một ánh xạ có thể
tuyến tính hoặc không. Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các
điều kiện sau đây.
i) Sự tồn tại : Với mỗi y ∈ Y , có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y.
ii) Sự duy nhất : Với mỗi y ∈ Y , có nhiều nhất một x ∈ X với Kx = y.
iii) Tính ổn đònh : Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với
mỗi dãy (xn ) ⊂ X sao cho Kxn −→ Kx (tức là dãy dữ liệu nhiễu hội tụ đến
dãy dữ liệu chính xác khi n −→ ∞) thì xn −→ x (tức là nghiệm nhiễu hội
tụ đến nghiệm chính xác khi n −→ ∞).
1.3.2 Bài toán không chỉnh
Bài toán được gọi là không chỉnh nếu nó không thỏa ít nhất một trong 3 điều
kiện của bài toán chỉnh.
1.3.3 Sự chỉnh hóa
Sự chỉnh hóa, nghóa là, ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (nếu tồn tại)
và nghiệm xấp xỉ của bài toán nhiễu với một điều kiện cho trước của nghiệm

chính xác.

1.4 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz
Cho n ∈ N, k = 1, n và xk , yk ∈ R, ta có
n

n

2

xk yk
k=1

≤

n

x2k
k=1

yk2 .
k=1

1.5 Mệnh đề về giới hạn các hàm số cơ bản
Ta có các mệnh đề cơ bản sau
i)
ex − 1
ln (1 + x)
lim
= 1; lim

= 1.
x→0
x→0
x
x
ii) Với mọi k ∈ N,
ex
= +∞; lim xk ex = 0.
x→+∞ xk
x→−∞
lim

2


iii) Với mọi k ∈ N,
ln x
= 0; lim xk ln x = 0.
x→+∞ xk
x→0
lim

1.6 Đònh nghóa hàm Lipschitz
Giả sử X là không gian Banach, f : X −→ R. Hàm f được gọi là Lipschitz
với hằng số Lipschitz K trên tập X, nếu tồn tại lân cận U trong X, số K ≥ 0
sao cho
f(x) − f(x ) ≤ K x − x , ∀x, x ∈ U

1.7 Điểm bất động và Nguyên lý ánh xạ co
1.7.1 Đònh nghóa điểm bất động và nguyên lý ánh xạ co

Cho f : X −→ X là một ánh xạ từ một không gian mêtric đầy đủ vào chính
nó. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f(x) = x .
Nguyên lý ánh xạ co. Cho (X, δ) là một không gian metric đầy đủ và f :
X −→ X là một ánh xạ co từ X vào X, nghóa là có k ∈ [0, 1) sao cho
δ(f(x), f(y)) ≤ k δ(x, y),

∀x, y ∈ X.

Thì f có điểm bất động duy nhất x .
Hơn nữa, nếu x0 là một điểm bất kỳ của X và {xn } là dãy trong X xác đònh
như sau
xn = f(xn−1 ),
n = 1, 2, ...
thì
δ(xn , x) ≤
và

kn
δ(x1 , x0),
1−k

a = lim f n (x),
n→∞

ở đây f 0 = I, f n = f ◦ f n−1 với mọi n ∈ N và I là ánh xạ đồng nhất .
Hệ quả 1.7.1.1 Cho f là một ánh xạ từ một không gian mêtric đầy đủ (X,δ)
vào X. Giả sử f n là ánh xạ co với n nguyên dương. Khi đó f có một điểm bất
động duy nhất x ∈ X.

3

1.8 Biến đổi Fourier
1.8.1 Các đònh nghóa và tính chất của biến đổi Fourier
Đònh nghóa 1.8.1.1 Cho f ∈ L 1 (R), khi đó ta đònh nghóa biến đổi Fourier của
f là
∞

1
f (p) = √
2π

f(x) e−ipx dx,

−∞

với p ∈ R.
và biến đổi Fourier ngược của f là
∞

∨
1
f (x) = √
2π

f(p) eipx dp.

−∞

Tính chất 1.8.1.2 Cho f, g ∈ L1 (R), c là hằng số thuộc R. Khi đó ta có

i)

f + g = f + g,

ii) c f = c f ,
với

iii) f ∗ g = f . g,
1
iv) f(x) = √
2π

∞

(f ∗ g)(x) =

∞
−∞

f(x − y) g(y) dy,

f(p) eipx dp.

−∞

1.8.2 Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L 2 (R)
Đònh nghóa 1.8.2.1 Cho f ∈ L 2 (R), N > 0 khi đó biến đổi Fourier của f là
1
FN {f}(p) = √
2π

với p ∈ R.

Tính chất 1.8.2.2 a)
N → ∞. Hơn nữa
F {f}

2

=

N

f(x) e−ipx dx,
−N

F N {f} hội tụ trong L2 (R) đến một hàm F {f} khi
∞
−∞

2

F {f}(p) dp =

∞

2

f(x) dx =

−∞

b) Nếu f ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) thì F {f} = f h.k.n trên R .
c) Đặt
N
1
√
gN (x) =
F {f} eixp dp,
2 π −N
4

f

2

.


khi đó gN hội tụ trong L2 (R) đến f khi N → ∞.
d) F là toán tử đẳng cấu từ L2 (R) vào L2 (R), nghóa là
F {f}

=

f .

Đònh lý 1.8.1 Đònh lý Plancherel. (Đẳng thức Plancherel)
Cho f ∈ L2(R) và F {f}(p) là biến đổi Fourier của f trong L2 (R). Khi đó,
ta có
F {f}

=

f .

1.9 Bất đẳng thức Holder
Giả sử 1 ≤ p , q ≤ ∞,
Lq (Ω) thì f.g ∈ L1 (Ω) và

1
p

+

1
q

= 1, Ω ⊂ R. Khi đó nếu f ∈ Lp (Ω), g ∈

fg dx ≤

f

Lp (Ω)

Ω

5

g

Lq (Ω)

.


2 Giới thiệu
Trong đề tài này, chúng tôi xét bài toán ngược cho phương trình parabolic
với hệ số phụ thuộc vào thời gian nghóa là chúng tôi tìm nhiệt độ u(x, t) thỏa
mãn
uxx(x, t) = a(t)ut(x, t),
u(x, T ) = g(x),

(x, t) ∈ R × [0, T ],
x ∈ R,

(1)
(2)

với a(t), g(x) là các hàm cho trước sao cho a(t) > 0. Chú ý rằng hệ
t 1
ds thì ta có
(1)-(2) có thể giải trực tiếp hay chúng ta có thể đặt F (t) =
0 a(s)
thể đưa về hệ phương trình với hệ số hằng bằng những tính toán đơn giản.
Tuy nhiên, nếu hệ (1)-(2) là hệ phương trình không thuần nhất
uxx(x, t) − a(t)ut(x, t) = f(x, t),
u(x, T ) = g(x),

(x, t) ∈ R × [0, T ],

x ∈ R,

thì bài toán trở nên phức tạp hơn hệ (1)-(2). Theo chúng tôi, chúng ta rất
khó sử dụng cách đổi biến F (t) trong trường hợp hệ phương trình không
thuần nhất. Do đó, chúng tôi chọn phương pháp trực tiếp để giải quyết trong
trường hợp không thuần nhất và đã thu được một số kết quả trong trường
hợp phương trình không thuần nhất (xem đònh lí 3).
Như đã biết, bài toán (1)-(2) là không chỉnh theo nghóa Hadamard, nghóa
là, bài toán không chắc tồn tại nghiệm, và ngay cả trong trường hợp tồn
tại nghiệm thì nghiệm cũng không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Vì vậy,
chúng ta cần một phương pháp chỉnh hóa thích hợp để chỉnh hóa bài toán
này. Thật sự, bài toán ngược cho phương trình parabolic đã được nghiên cứu
bằng nhiều phương pháp trong khoảng bốn thập kỉ gần đây điển hình như
các bài báo [3, 5, 6, 9]. Bài toán sau là một trường hợp đặc biệt, trong đó
chúng ta cần tìm u thỏa mãn
ut + A(t)u = 0,
u(T ) = g,

t ∈ [0, T ],

với A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian hàm thích hợp. Trong [5],
Lattes-Lions đã sử dụng phương pháp tựa toán tử (QR) để chỉnh hóa phương
trình chính bằng cách thêm vào một lượng chỉnh hóa ở phương trình chính.
Vào năm 1973, K. Miller giải quyết bài toán bằng cách sử dụng lượng chỉnh
hóa f(A)
ut + f(A)u = 0,
u(T ) = g.

t ∈ [0, T ],

Một phương pháp khác được gọi là phương pháp tựa giá trò biên (QBV) đã
được nghiên cứu bời nhiều tác giả. Khi sử dụng phương pháp này, họ đã
6


thêm một lượng ổn đònh vào điều kiện biên của bài toán. Trong [7], M.
Denche và K. Bessila đã sử dụng phương pháp này để chỉnh hóa bài toán
ngược cho phương trình parabolic
ut + f(A)u = 0,
u(T ) − u (0) = ϕ.

t ∈ [0, T ],

Rất gần đây, trong [9], các tác giả đã sử dụng phương pháp giá trò biên để
t
chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược và thu được ước lượng sai số ở cấp độ T at
1
t = 0 và một sai số ước lượng cấp độ (ln( 1 ))− 4 tại giá trò 0. Chúng ta dễ
thấy rằng nếu t nằm gần giá trò 0, sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ là rất chậm.
t
Từ những bất lợi của sai số cấp độ T , chúng tôi sẽ cải thiện ước lượng sai
số để tăng tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ với mọi t ∈ [0, T ). Theo chúng
tôi biết, những bài báo liên quan đến toán tử phụ thuộc thời gian A(t) khá
hiếm. Trong đề tài này, chúng tôi xét trường hợp đặc biệt sau
1
A(t)u = −
uxx .
a(t)
Bằng cách lấy biến đổi Fourier hai vế của (1) (theo biến x) và sử dụng điều
kiện (2), chúng ta có nghiệm chính xác của bài toán (1)-(2) như sau

1
u(x, t) = √
2π
với

+∞

eω

2 (F (T )−F (t))

g(ω)eiωx dω,

(3)

−∞

1
g(ω) = √
2π
t

F (t) =

+∞

g(x)e−iωx dx,

(4)

−∞

1
ds.
a(s)

(5)

0

Phần chính của đề tài được chia làm 3 phần. Trong phần 3 và 4, chúng
ta sẽ lần lượt là chứng minh một số kết quả về chỉnh hóa và đánh giá sai số
bằng phương pháp tựa giá trò biên có điều chỉnh và phương pháp Tikhonov
có điều chỉnh. Trong phần 5, chúng ta sẽ đưa ra một ví dụ số minh họa cho
phần lí thuyết ở phần 3 và 4. Chú ý rằng trong đề tài này, ở phần 3và phần
4 các kí hiệu toán học là dành riêng cho từng phần và không liên quan đến
nhau.

3 Chỉnh hóa bài toán (1)-(2) bằng phương pháp 1
Trong phần này, chúng tôi sẽ xây dựng nghiệm chỉnh hóa như sau
1
u (g)(ω, t) = √
2π

+∞

√
−∞

7

g(ω)
iωx
dω.
2 b(t) e
−ω
ε+e

(6)


3.1 Sự ổn đònh của nghiệm chỉnh hóa (6)
Trước tiên, chúng ta có kết quả về sự ổn đònh của u (g).
Bổ đề 3.1.0.3 Let g1 , g2 be in L2 (R). Thì ta có
u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t)
where .

2

2

1
≤√

g1 − g2

2

,

là chuẩn trong L2 (R).

Chứng minh
Từ (6), ta có
1
(g1 (ω) − g2 (ω))
ε+e−ω 2 b(t)
1
√ (g1 (ω) − g2 (ω)) .
ε
√

|u (g1 )(ω, t) − u (g2 )(ω, t)| =
≤
Do đó, chúng ta có

1
u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t) ≤ √ g1 − g2 .
ε
Từ đònh lí Plancherel, ta suy ra
1
u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t) ≤ √ g1 − g2 .
ε
Chúng ta đã chứng minh xong bổ đề 3.1.0.3.

3.2 Chỉnh hóa bài toán (1)-(2)
Giả sử rằng uex (ω, t) là nghiệm chính xác của bài toán parabolic ngược tương
ứng với dữ liệu chính xác gex , và g là dữ liệu đo thỏa mãn gε − gex ≤ ε,
với . 2 là chuẩn trong L2(R). Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng a(t) là hàm
cho trước thỏa mãn 0 < N ≤ a(t) ≤ M, ∀t ∈ [0, T ]. Do đó, chúng ta dễ thấy

rằng 0 < TM−t ≤ b(t) ≤ TN−t , ∀t ∈ [0, T ].
Từ (6), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo
như sau
+∞
1
gε (ω)
√
uε (gε )(ω, t) = √
eiωx dω,
(7)
ε + e−ω2 b(t)
2π
−∞

và nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu chính xác
1
uε (gex )(ω, t) = √
2π

+∞

√
−∞

8

gex (ω)
iωx
dω.
2 b(t) e

−ω
ε+e

(8)


Chúng ta có ước lượng sau
uε (gε )(., t)−uex(., t)

=
≤

2

uε (gε )(., t) − uex (., t)
uε (gε )(., t) − uε (gex )(., t)
+ uε (gex )(., t) − uex (., t)

(9)

Chúng ta có bổ đề sau
Bổ đề 3.2.0.4 Giả sử rằng u ex (., t) ∈ L2 (R), ∀t ∈ [0, T ), g , gex ∈ L2 (R) and
gε − gex 2 ≤ ε . Thì ta có
uε (gε )(., t) − uex (., t)

2

→ 0 với ε → 0, với mọi t ∈ [0, T ).

Chứng minh

Áp dung bổ đề 3.1.0.3, ta có
uε (gε )(., t) − uε (gex )(., t)

2

1
≤ √ gε − gex
ε
1
≤ √ ε
ε
√
≤
ε.

(10)

Vì vậy, ta có
với ε → 0.
Do (3) và (8), ta có

uε (gε )(., t) − uε (gex )(., t)

|uε (gex )(ω, t) − uex (ω, t)| =
=
=
=
Do 0 <

√

ε<

√

ε + e−ω

2

→0

(11)

1
1
gex (ω)
2 b(t) gex (ω) −
−ω
−ω
ε+e
e 2 b(t)
1
1
√
gex (ω)
2 b(t) −
−ω
−ω
ε+e
e 2 b(t)

1
1
2
√
e−ω b(t) uex (ω, t)
2 b(t) −
2 b(t)
−ω
−ω
ε+e
e
√
ε
√
. |uex (ω, t)| .
(12)
ε + e−ω2 b(t)
√

2 b(t)

, ta có
√
ε
< 1.
0< √
ε + e−ω2 b(t)

Suy ra
|uε (gex )(ω, t) − uex (ω, t)| = √

√

ε
. |uex (ω, t)| < |uex (ω, t)| .
ε + e−ω2 b(t)
9


Hơn nữa, ta có
√
ε
2
lim √
2 b(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ] and uex (., t) ∈ L (R), ∀t ∈ [0, T ).
−ω
ε→0
ε+e
Từ đó, ta được
(13)

uε (gex )(., t) − uex (., t) → 0

when ε → 0.
Do (9), (11) và (13), ta có

uε (gε )(., t) − uex (., t)

2

→0

với ε → 0. Chúng ta đã chứng minh xong bổ đề 3.2.0.4.
Đònh lý 3.2.1 Cho u ex , g , gex như trong bổ đề 3.2.0.4 và E1(t), E2 (t) là hai
nghiệm của t. Thì ta có các phát biểu sau
a) Nếu ta giả sử thêm rằng uex (., t) ∈ H 1 (R), ∀t ∈ [0, T ), ∈ (0, 1) and
uex (., t) H 1 (R) ≤ E1 (t) thì
uε (g )(., t) − uex (., t)
√
với C1 (t) = 2( 2 +

2

C1(t)

≤

ln( 1ε )

(14)

,

T −t
) max{1, E1(t)}.
N

b) Nếu uex (x, t) thỏa mãn λ(., t)uex(., t)
2
λ(ω, t) = eω b(t) and ∈ (0, 1) thì

uε (g )(., t) − uex (., t)

2

2

≤ E2(t), ∀t ∈ [0, T ) với

√
≤ C2 (t) ε,

(15)

với C2 (t) = (1 + E2 (t)).
Chứng minh
a) Bây giờ, chúng ta xét ước lượng trong trường hợp uex (., t) ∈ H 1 (R), ∀t ∈
[0, T ). Do uex (., t) H 1(R) ≤ E1 (t) dễ thấy rằng uex (., t) 2 ≤ E1 (t) và
α(.)uex(., t) 2 ≤ E1 (t) với α(ω) = ω. Hơn nữa, từ (12), ta được
uε (gex )(., t) − uex (., t)

2

√

ε
ε + e−ω2 b(t)
√
ε
√
ε + e−ω2 b(t)

√

=
R

=
Dε

+
R\Dε

. |uex (ω, t)|2 dω
2

. |uex (ω, t)|2 dω

√
ε
√
ε + e−ω2 b(t)

in which
Dε = {ω ∈ R/ω 2 ≤ r(ε)},
10

2

2

. |uex (ω, t)|2dω (16)

where r(ε) > 0 will be chosen later.
For all ω ∈ Dε , we have

Dε

√
ε
√
ε + e−ω 2 b(t)

2

2

. |uex (ω, t)|2 dω =

1
2
e−ω b(t)
√
Dε 1 +
ε

2

. |uex (ω, t)|2dω




1


≤  −r(ε)b(t)  . uex (., t)
e

√
ε
= εe2r(ε)b(t) uex (., t)

2

2
2

(17)

.

Do ω ∈
/ Dε nên α2(ω) = ω 2 > r(ε). Do đó, ta có
√
2
ε
√
. |uex (ω, t)|2dω ≤
|uex (ω, t)|2 dω
ε + e−ω2 b(t)
R\Dε

R\Dε

≤

1
r(ε)

|α(ω)uex (ω, t)|2 dω
R\Dε

=

1
α(.)uex (., t)
r(ε)

2
2

(18)

.

Từ (16), (17) and (18), ta có
uε (g ex )(., t) − uex (., t)

2

≤

√

εer(ε)b(t) uex (., t)

√
≤ E1 (t)( εer(ε)b(t) +

2

+
1
r(ε)

1
α(.)uex(., t)
r(ε)

2

(19)

).

Do (9), (10) và (19), ta có
uε (g ε )(., t) − uex (., t)

≤

√

√
ε + E1 (t) εer(ε)b(t) + E1(t)

≤ max{1, E1 (t)}

1
r(ε)

√
√
ε + εer(ε)b(t) +

1
r(ε)

.
(20)

√

Ta chọn r(ε) sao cho r(ε) → ∞ và εer(ε)b(t) → 0 với ε → 0. Do đó, ta
ln( 1ε )
√ r(ε)b(t)
1
4
chọn r( ) sao cho εe
= ε . Do đó, r(ε) =
thì r(ε) → ∞ và
4b(t)
√ r(ε)b(t)

εe
→ 0 với ε → 0. Do đó, từ (20), ta có


√
1
4b(t) 
uε (gε )(., t) − uex (., t) ≤ max{1, E1 (t)}  ε + ε 4 +
.
(21)
1
ln( ε )
11


Bây giờ, ta chứng minh rằng ∈ (0, 1) thì uε (gε )(., t) − uex (., t)
√
với C1 (t) = 2( 2 +

T −t
) max{1, E1 (t)}.
N

√

2

≤

C1 (t)

ln( 1ε )

Vì vậy, ta có
2
ln( 1ε )

1

ε < ε4 <

,

(22)

Từ (21) và (22), ta có

uε (g ε )(., t) − uex (., t)

2



1

≤ max{1, E1 (t)} 2ε 4 +


C1(t)

≤

√
với C1 (t) = 2( 2 +
e

ln( 1ε )

ln( 1ε )

√

≤ 2 max{1, E1 (t)} 

T −t
N

2

2

ln( 1ε )




T −t
N

+

ln( 1ε )

,




T −t
) max{1, E1 (t)}.
N

b) Tiếp theo ta xét trường hợp λ(., t)uex(., t)
. Do (12), ta có

2

ω2 b(t)

uε (g ex )(., t) − uex (., t)

2
2

=
R

√
ε
√
ε + e−ω2 b(t)

≤ E2 (t) và λ(ω, t) =
2

. |uex (ω, t)|2dω

2

1

=

2

2

R

−ω b(t)
1+ e √ε

. |uex (ω, t)| dω

2

1

≤

2

R

b(t)
e−ω
√
ε

ε.e2ω

=

2 b(t)

2

. |uex (ω, t)| dω
. |uex (ω, t)|2dω

R

= ε λ(., t)uex(., t)

2
2

(23)

.

Do (9), (10) và (23), ta có
uε (g ε )(., t) − uex (., t)

2

√
√
ε + ε λ(., t)uex(., t)
≤
√
≤ C2 (t) ε,

2

với C2 (t) = (1 + E2 (t)). Chúng ta đã chứng minh xong đònh lí 3.2.1.
12

(24)


4 Chỉnh hóa bài toán (1)-(2) bằng phương pháp 2
Trong đề tài này, để có nghiệm ổn đònh u chúng ta sẽ sử dụng
1
u (g)(ω, t) = √
2π
và
1
v (g)(ω, t) = √
2π

+∞

−∞

+∞

−∞

2

e−ω F (t)
iωx
g(ω)e dω,
ω 2 +e−ω2 F (T )

(25)

2

e−ω (F (t)+m)
iωx
g(ω)e dω.
ω 2 +e−ω2 (F (T )+m)

(26)

Thật vậy, nếu chúng ta áp dụng phương pháp QBV [12] để chỉnh hóa bài
toán (1)-(2) , chúng ta sẽ có nghiệm chỉnh hóa như sau
rxx (x, t) = a(t)rt (x, t),
r (x, T ) + r(x, 0) = g(x),

(x, t) ∈ R × [0, T ],
x ∈ R.

Áp dụng phương pháp Fourier, chúng ta có nghiệm của bài toán trên
1
r (g)(ω, t) = √
2π

+∞

−∞

2

e−ω F (t)
iωx
dω.
2 F (T ) g(ω)e
−ω
+e

Dễ thấy rằng tham số chỉnh hóa của r là khác với tham số chỉnh hóa
của nghiệm chỉnh hóa (25), (26). Hơn nữa, dạng nghiệm chỉnh hóa (26) hoàn
toàn khác với r . Với điều kiện mạnh về tính trơn của dữ liệu chính xác gex ,
chúng ta có

và

u (g )(., t) − uex (., t)

v (g )(., t) − uex (., t)

2

2

≤ T0 (1 +

≤ Tm (1+

Q)

F (t)
F (T )

F (t)−F (T )
F (T )

,

F (t) − F (T )
F (t) + m
Qm ) F (T ) + m [ln(F (T )/ )] F (T ) + m ,

với T0 = max{1, F (T )}, 0 < Q =

ω 2 eω

2 F (T )

R

ω 2 eω

max{1, F (T ) + m}, 0 < Qm =

[ln(F (T )/ )]

2 (F (T )+m)

R

2

gex (ω) dω < ∞ và Tm =
2

gex (ω) dω < ∞.

4.1 Một số bổ đề cần dùng
4.1.1 Một số bất đẳng thức dùng trong đánh giá
1
. Chúng ta có
ξ + e−ξM
M
M
g(ξ) ≤
≤
,

(1 + ln(M/ ))
ln(M/ )

Bổ đề 4.1.1.1 Cho 0 < < M và g(ξ) =

với mọi ξ ≥ 0.
13


Chứng minh. Chứng minh của bổ đề 4.1.1.1 được tham khảo trong [15].
Bổ đề 4.1.1.2 Cho 0 ≤ t ≤ s ≤ M, 0 < < M, ξ ∈ R và M 1 = max{1, M},
chúng ta có các bất đẳng thức sau
t−s
2
e(s−t−M )ξ
M ,
i) 2
2 ≤ M1 [ ln(M/ )]
ξ + e−M ξ
t−M
2
e−tξ
M .
ii) 2
2 ≤ M1 [ ln(M/ )]
ξ + e−M ξ
Chứng minh
i) Ta có
2

e(s−t−M )ξ
2
ξ 2 + e−M ξ

2

e(s−t−M )ξ
≤
s−t
M +t−s
2
2
2
2
M
( ξ + e−M ξ ) M ( ξ + e−M ξ )
2

e(s−t−M )x
≤
.
s t
M +t−s
−
2
2
M
( ξ 2 + e−M ξ ) M M
(e−M ξ )
Do đó, ta được

s t
2
−
M
e(s−t−M )ξ
M M
≤
(
)
2
2
ln(M/ )
ξ + e−M ξ
t−s
≤ M1 [ ln(M/ )] M ,
với M1 = max{1, M}.
t−M
2
e−tξ
M . Chúng ta
ii) Chọn s=M, chúng ta có 2
2 ≤ M1 [ ln(M/ )]
ξ + e−M ξ
đã chứng minh xong bổ đề 4.1.1.2.
4.1.2 Các bổ đề về sự ổn đònh của nghiệm chỉnh hóa
Bổ đề 4.1.2.1 (Sự ổn đònh của nghiệm chỉnh hóa cho bởi (25))
Cho ∈ (0, F (T )), g1 , g2 ∈ L2 (R) và u (g1 ), u (g2 ) là hai nghiệm cho bởi
(25) tương ứng với các giá trò cuối g1 , g2 , . Khi đó, ta có

u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t)

where .

2

2

F (t) − F (T )
F (T )
≤ T0[ ln(F (T )/ )]
g1 − g2

is the norm in L2 (R) and T0 = max{1, F (T )}.

14

2

,


Chứng minh
Từ (25) và bổ đề 4.1.1.2, ta có
2

e−ω F (t)
(g1 (ω) − g2 (ω))
ω 2+e−ω 2 F (T )

|u (g1 )(ω, t) − u (g2 )(ω, t)| =
≤

F (t) − F (T )
F (T )
T0[ ln(F (T )/ )]
(g1 (ω) − g2 (ω)) .

Do đó, ta có
u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t)

2

Từ đònh lí Plancherel, ta được
u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t)

2

F (t) − F (T )
F (T )
≤ T0[ ln(F (T )/ )]
g1 − g2
F (t) − F (T )
F (T )
≤ T0[ ln(F (T )/ )]
g1 − g2

2

.

2

.

Chúng ta đã chứng minh xong bổ đề 4.1.2.1.

Bổ đề 4.1.2.2 (Sự ổn đònh của nghiệm chỉnh hóa cho bởi (26)) Cho ∈
(0, F (T )), m > 0, g1 , g2 ∈ L2 (R) và v (g1 ), v (g2 ) là hai nghiệm cho bởi
(26) tương ứng với các giá trò cuối g1 , g2 Khi đó, ta có
v (g1 )(., t) − v (g2 )(., t)

2

F (t) − F (T )
≤ Tm [ ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m g1 − g2

2

,

với . is the norm in L2 (R) và Tm = max{1, F (T ) + m}.
Chứng minh
Từ (26) và bổ đề 4.1.1.2, ta có
2

e−ω (F (t)+m)
(g1 (ω) − g2 (ω))
ω 2 +e−ω2 (F (T )+m)

|v (g1 )(ω, t) − v (g2 )(ω, t)| =
≤

F (t) − F (T )
Tm[ ln((F (T ) + m)/ )] F (T ) + m (g1 (ω) − g2 (ω)) .

Suy ra
v (g1 )(., t) − v (g2 )(., t)

2

F (t) − F (T )
≤ Tm [ ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m g1 − g2

2

.

2

.

Từ đònh lí Plancherel, ta được

v (g1 )(., t) − v (g2 )(., t)

2

F (t) − F (T )
≤ Tm [ ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m g1 − g2

Chúng ta đã chứng minh xong bổ đề 4.1.2.2.

15


4.2 Chỉnh hóa bài toán (1)-(2)
Giả sử rằng uex (x, t) là nghiệm chính xác của bài toán ngược cho phương
trình parabolic tương ứng với dữ liệu chính xác gex và g là dữ liệu đo sao
cho gε − gex ≤ ε where . 2 là chuẩn trong L2 (R).
Từ (25), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo
1
uε (gε )(ω, t) = √
2π

+∞

−∞

2

e−ω F (t)
gε (ω)eiωx dω,
ω 2 +e−ω2 F (T )

(27)

và nghiệm chỉnh hóa ứng với dữ liệu chính xác
1
uε (gex )(ω, t) = √
2π

+∞

−∞

2

e−ω F (t)
gex (ω)eiωx dω.
ω 2 +e−ω2 F (T )

(28)

Chúng ta có ước lượng sau
uε (gε )(., t)−uex(., t)

Đònh lý 4.2.1 Giả sử rằng

2

=
≤

uε (gε )(., t) − uex (., t) 2
uε (gε )(., t) − uε (gex )(., t) 2
+ uε (gex )(., t) − uex (., t) 2

(29)

∈ (0, F (T )), u ex (., t) ∈ L2 (R) ∀t ∈ [0, T ), g ,

gex ∈ L2 (R) sao cho gε − gex

∞. Lúc đó, chúng ta có

u (g )(., t) − uex (., t)

2

2

≤ ε and 0 < Q =

≤ T0 (1 +

Q)

F (t)
F (T )

ω 2 eω

2 F (T )

2

gex (ω) dω <

R

[ln(F (T )/ )]

F (t)−F (T )

F (T )

,

với mọi t ∈ [0, T ], với T0 = max{1, F (T )}.
Chứng minh
Từ bổ đề 4.1.2.1, ta có

u (g )(., t) − u (gex )(., t)

2

F (t) − F (T )
F (T )
≤ T0[ ln(F (T )/ )]
g − gex 2
F (t)
F (t) − F (T )
F (T )
≤ T0 F (T ) [ln(F (T )/ )]
.
(30)

16


Từ (3) và (28), ta có
2

|u (gex )(ω, t) − uex (ω, t)| =

2

e−ω F (t)
e−ω F (t)
g
(ω)
−
gex (ω)
ex
ω 2 +e−ω2 F (T )
e−ω2 F (T )
2

=

ω 2eω F (T )
2
( 2 −ω2 F (T ) )e−ω F (t)gex (ω)
ω +e

=

ω 2 e−ω F (t)
2
( 2 −ω2 F (T ) )eω F (T ) gex (ω)
ω +e

2

≤ T0

F (t)
F (T )

[ln(F (T )/ )]

F (t)−F (T )
F (T )

ω 2 eω

2 F (T )

gex (ω) ,

trong đó T0 = max{1, F (T )}.
Suy ra
u (gex )(., t) − uex (., t)
≤ T0
= T0

F (t)
F (T ) [ln(F (T )/

Q

F (t)−F (T )
)] F (T )

F (t)
F (T ) [ln(F (T )/



ω 2 eω



2 F (T )

R
F (t)−F (T )
)] F (T ) ,

2

1/2

gex (ω) dω 

(31)
với 0 < Q =

ω 2 eω

2 F (T )

R

2

gex (ω) dω < ∞.

Do (29), (30) and (31), ta được
u (g )(., t) − uex (., t)

2

≤ T0(1 +

Q)

F (t)
F (T ) [ln(F (T )/

F (t)−F (T )
)] F (T ) .

Q)

F (t)
F (T ) [ln(F (T )/

F (t)−F (T )
)] F (T ) .

Vì vậy, từ đònh lí Plancherel, ta có
u (g )(., t) − uex (., t)

2

≤ T0(1 +

Chúng ta đã chứng minh xong đònh lí 4.2.1.
Đònh lý 4.2.2 Giả sử rằng ∈ (0, F (T )), u ex (., t) ∈ L2 (R) ∀t ∈ [0, T ), g ,
gex ∈ L2 (R) sao cho gε − gex 2 ≤ ε and v là nghiệm đònh nghóa bởi (26).
Nếu ta giả sử thêm rằng tồn tại một số dương m sao cho
ω 2 eω

0 < Qm =

2 (F (T )+m)

2

gex (ω) dω < ∞

R

thì ta có
v (g )(., t) − uex (., t)

2

≤ Tm (1 +

Qm )

F (t)+m

F (T )+m

với mọi t ∈ [0, T ], với Tm = max{1, F (T ) + m}.
17

[ln(F (T )/ )]

F (t)−F (T )
F (T )+m

,


Chứng minh
Từ (26), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo
được
1
v (g )(ω, t) = √
2π

+∞

−∞

2

e−ω (F (t)+m)
g (ω)eiωx dω,
ω 2 +e−ω2 (F (T )+m)

(32)

và nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu chính xác
1
v (gex )(ω, t) = √
2π

+∞

−∞

2

e−ω (F (t)+m)
iωx
dω.
2 (F (T )+m) gex (ω)e
2
−ω
ω +e

(33)

Chúng ta có ước lượng sau
vε (gε )(., t)−uex(., t)

=
≤

vε (gε )(., t) − uex (., t)

vε (gε )(., t) − vε (gex )(., t)
+ vε (gex )(., t) − uex (., t) .

(34)

Từ bổ đề 4.1.2.2, ta có
vε (gε )(., t) − vε (gex )(., t) ≤ Tm

F (t) + m
F (t) − F (T )
F
(T
)
+
m
F (T ) + m [ln(
)] F (T ) + m .
(35)

với Tm = max{1, F (T ) + m}.
Mặt khác, ta có
2

|v (gex )(ω, t) − uex (ω, t)| =
=
=

2

e−ω (F (t)+m)

e−ω (F (t)+m)
g
(ω)
−
gex (ω)
ex
ω 2 +e−ω2 (F (T )+m)
e−ω2 (F (T )+m)
e−ω

e

2 (F (t)+m)

2

2

e−ω (F (T )+m) − e−ω (F (t)+m) ( ω 2 +e−ω
e−ω2 (F (T )+m) ( ω 2+e−ω2 (F (T )+m) )

−ω 2 (F (T )+m)

ω2
−ω 2 (F (t)+m)
gex (ω)
2 (F (T )+m) e
2
−ω
( ω +e

)

2

=

e−ω (F (t)+m)
2
ω 2 eω (F (T )+m) gex (ω) .
2 (F (T )+m)
2
−ω
( ω +e
)

Từ bổ đề 4.1.1.2, ta được
|v (gex )(ω, t) − uex (ω, t)|
≤

=

F (t) − F (T )
2
Tm [ ln((F (T ) + m)/ )] F (T ) + m ω 2eω (F (T )+m) gex (ω)

Tm

F (t) + m
F (t) − F (T )
F (T ) + m [ln((F (T ) + m)/ )] F (T ) + m ω 2 eω2 (F (T )+m) g (ω) .

ex

18

2 (F (T )+m)

)

gex (ω)


Suy ra

v (gex )(., t) − uex (., t)
trong đó 0 < Qm =

2

≤ Tm

ω 2 eω

Qm

2 (F (T )+m)

R

F (t) − F (T )
F (t) + m

F (T ) + m [ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m ,
(36)
2

gex (ω) dω < ∞.

Do (34), (35) và (36), ta thu được

F (t) − F (T )
F (t) + m
v (g )(., t) − uex (., t) ≤ Tm (1+ Qm ) F (T ) + m [ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m .
(37)
Chúng ta đã chứng minh xong đònh lí 4.2.2.
Chú ý 1. Chúng ta thấy rằng tốc độ hội tụ của ước lượng sai số trong
đònh lí 4.2.1 và 2 tốt hơn trong [9] vì chúng tôi đã cải thiện tốc độ hội tụ
trong lân cận của 0. Đặc biệt, tốc độ hội tụ tại thời điểm đầu t = 0 (trong
đònh lí 4.2.2) là nhanh hơn so với mô hình chỉnh hóa trong đònh lí 1 và trong
[9]. 2. Trong đònh lí 1 và 2, chúng ta có ước lượng sai số trong trường hợp
thuần nhất. Tổng quát hơn, chúng ta xét hệ (1)-(2) ứng với dạng phương
trình không thuần nhất
wxx(x, t) − a(t)wt(x, t) = f(x, t),
w(x, T ) = g(x),

(x, t) ∈ R × [0, T ],
x ∈ R.

(38)
(39)

Áp dụng phương pháp biến đổi Fourier, chúng ta có nghiệm chính xác

của (38)-(39).
T

w(ω, t) = e

ω 2 (F (T )−F (t))

eω

gex (ω) +

2 [F (s)−F (t)]

f (ω, s)
ds.
a(s)

(40)

t

Trong đònh lí 4.2.3, chúng ta đề nghò nghiệm chỉnh hóa của (38)-(39)
tương ứng với dữ liệu chính xác gex và dữ liệu đo g
T

2

w (gex )(ω, t) =

e−ω F (t)

gex (ω) +
ω 2 +e−ω2 F (T )

eω

2 [F (s)−F (t)−F (T )]

ω 2 +e−ω2 F (T )

t

f(ω, s)
ds,
a(s)
(41)

T

2

w (g )(ω, t) =

e−ω F (t)
g (ω) +
ω 2 +e−ω2 F (T )

t

eω

2 [F (s)−F (t)−F (T )]

ω 2 +e−ω2 F (T )

f(ω, s)
ds.
a(s)
(42)

Chúng ta sẽ thu được ước lượng sai số như trong đònh lí 4.2.3.

19


Đònh lý 4.2.3 Giả sử rằng ∈ (0, F (T )), g , gex ∈ L2 (R) sao cho gε − gex 2 ≤
ε và w là nghiệm chính xác của (38)-(39) thỏa mãn w(., t) ∈ L2 (R) ∀t ∈ [0, T ),
 12

2
T
√
f(ω, s)
2
wxx(., 0) ∈ L2 (R) and 0 < K1 = 2  wxx(., 0) 22 + T
dsdω  < ∞.
ω 2 eω F (s)
a(s)
R 0
Nếu ta giả sử rằng w (g ) là đònh nghóa bởi (42) thì ta có
w (g )(., t) − w(., t)

2

≤ T0(1 + K1 )

F (t)
F (T )

[ln(F (T )/ )]

F (t)−F (T )
F (T )

,

(43)

với mọi t ∈ [0, T ], where T0 = max{1, F (T )}.
Chứng minh
Do (41) và (42), ta có
|w (g )(ω, t) − w (gex )(ω, t)|
2

e−ω F (t)
(g (ω) − gex (ω))
ω 2+e−ω2 F (T )

=

≤

F (t) − F (T )
F (T )
T0[ ln(F (T )/ )]
(g (ω) − gex (ω)) .

Do đó, ta đươcï
w (g )(., t) − w (gex )(., t) 2
F (t) − F (T )
F (T )
≤ T0[ ln(F (T )/ )]
g − gex
F (t)
F (t) − F (T )
F (T )
≤ T F (T ) [ln(F (T )/ )]
.
0

20

2

(44)


Do (40) vaø (41), ta suy ra
|w (gex )(ω, t) − w(ω, t)|
=

eω

2 F (T )

−

1
ω 2 +e−ω2 F (T )

2 ω 2 F (T )

=

ω e

ω 2 +e−ω2 F (T )
2

=

e−ω F (t)
ω 2 +e−ω2 F (T )

=

e−ω F (t)
ω 2 +e−ω2 F (T )

2

Vì theá, ta coù





T

e−ω2 F (t) gex (ω) +

=

e

eω

2 [F (s)−F (t)−F (T )]

e−ω F (t)
≤ 2
ω 2+e−ω2 F (T )

ω 2w(ω, 0) −
2

2

t

2

2

Suy ra



f(ω, s) 
ds
a(s)

0

e−ω F (t)
≤ 2
ω 2+e−ω2 F (T )

≤ 2T02

t

f(ω, s) 
ds
a(s)
t


T
ω 2 eω2 F (T )gex (ω) + ω 2 eω2 F (s) f(ω, s) ds
a(s)

t


t
ω 2 w(ω, 0) − ω 2 eω2 F (s) f (ω, s) ds .
a(s)
e−ω2 F (t) gex (ω) +

ω 2 +e−ω 2 F (T )

2

2 [F (s)−F (t)−F (T )]

T

|w (gex )(ω, t) − w(ω, t)|2
−ω 2 F (t)

eω



ω 2 eω

2 F (s)

f(ω, s)
ds
a(s)

0
2

e−ω F (t)
ω 2 w(ω, 0) + 2
ω 2 +e−ω2 F (T )

2

ω2 e

2

2

ω w(ω, 0) + 2T

T

2

F (t)
√
≤
2T0 F (T ) [ln(F (T )/ )]

F (t) − F (T ) 

ω e

F (T )

F (t)
F (t) − F (T )
F (T )
≤ K1 T0 F (T ) [ln(F (T )/ )]
,
21

T

ω 2 eω

2 F (s)

f(ω, s)
a(s)

ω 2 eω

2 F (s)

ω 2 eω
R

0

ds .

f(ω, s)
a(s)

0

T

+T



2

0

T

2
2

ds

0

 ω 2 w(ω, 0) 2 + T

 wxx (., 0)

2

a(s)


R

f(ω, s)
ds
a(s)

2 ω 2 F (s) f(ω, s)

2F (t)
2F (t) − 2F (T ) 
F (T ) [ln(F (T )/ )]
F (T )
 ω 2 w(ω, 0) 2 + T

w (gex )(., t) − w(., t) 2
F (t)
F (t) − F (T ) 
√
F (T )

≤
2T0 F (T ) [ln(F (T )/ )]

ω2 F (s)

0

e−ω F (t)
ω 2 +e−ω2 F (T )

2

2

t

2

2

2 F (s)

f(ω, s)
a(s)

2

2



 12

ds dω 
 12

dsdω 

(45)


với

0 < K1 =

√



T
2
2

2  wxx(., 0)

ω 2 eω

+T
R

2 F (s)

f(ω, s)
a(s)

0

Do đó, từ (44) và (45), ta được
w (g )(., t) − w(., t)

≤

 12

2

dsdω  < ∞.

w (g )(., t) − w (gex )(., t) + w (gex )(., t) − w(., t)
F (t)
F (T )

≤ T0(1 + K1 )

[ln(F (T )/ )]

F (t)−F (T )
F (T )

.

5 Ví dụ minh họa
Xét phương trình parabolic tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian sau
uxx (x, t) = a(t)ut(x, t),
u(x, 1) = gex (x),
với
a(t) =

và

(x, t) ∈ R × [0, 1],
x ∈ R,

1
,
2t + 1

(46)

1 −x2
u(x, 1) = gex (x) = √ e 12 .
6

(47)

Nghiệm chính xác của phương trình
uex (x, t) =

−x2

1
2(t2 + t + 1)

e 4(t2 +t+1) .

Từ (48), ta có

2

uex (ω, 1) = gex (ω) = e−3ω .

(48)

(49)

Do (3) và (49), ta có
uex (ω, t) = e
với F (t) =

t
0

1
ds
a(s)

(F (1)−F (t))ω2 −3ω 2

e

(50)

,

t

= (2s + 1)ds = t2 + t.
0

Cho t = 0, từ (50), ta có
2

2

2

uex (ω, 0) = e(F (1)−F (0))ω e−3ω = e−ω .

(51)

Xét dữ liệu đo đạc
6 1
gε (x) = (1+ε( ) 4 )gex (x),
π
22

(52)


thì ta có
g ε − gex = gε − gex

6 1
= ε( ) 4 (
π

+∞

−∞

2

1
x2
1
√ e− 12 ds) 2 = ε.
6

(53)

Từ (25) và (52) , chúng ta có biến đổi Fourier của nghiệm chỉnh hóa cho
trường hợp t = 0
uε (gε )(ω, 0) =

6 1 −3ω 2
1
.
(1+ε(
) 4 )e
2
ω 2 +e−2ω
π

Cho ε lần lượt là ε1 = 10−1 , ε2 = 10−5 , ε3 = 10−10 , ε4 = 10−20 , ε5 = 10−50 .
Chúng ta có bảng sau cho trường hợp t = 0
ε
uεi (g i )(., 0) − uex (., 0) 2
−1

ε1 = 10
0.038172979714189
ε2 = 10−5 1.007122419416841e-005
ε3 = 10−10 1.532571311773795e-010
ε4 = 10−20 2.262863342628008e-020
ε5 = 10−50 1.946443884651801e-032
Do đònh lí 4.2.2 và m = 1/2, chúng ta có Q1/2 =
1

ω 2 e− 2 ω

2

2

ω 2 eω

2 (F (1)+1/2)

2

gex (ω) dω =

R

√
3 π
dω =
< ∞.
4

R

Từ (26) và (52) , chúng ta có biến đổi Fourier của nghiệm chỉnh hóa cho
trường hợp t = 0
7

vε (gε )(ω, 0) =

e− 2 ω
εω 2 + e

2

− 25 ω 2

6 1
(1+ε( ) 4 ).
π

Cho ε lần lượt là ε1 = 10−1 , ε2 = 10−5 , ε3 = 10−10 , ε4 = 10−20 , ε5 = 10−50 .
Chúng ta có bảng sau cho trường hợp t = 0
ε
vεi (gεi )(., 0) − uex (., 0) 2
−1
ε1 = 10
0.051493210811570
−5
ε2 = 10
6.033094118141750e-005

−10
ε3 = 10
7.790717090792106e-009
ε4 = 10−20 9.871639018798631e-017
ε5 = 10−50 2.672312964517292e-032

23


Chúng ta có hình vẽ của biến đổi Fourier của nghiệm chính xác uex (., t)
và các biến đổi Fourier của nghiệm chỉnh hóa uεi (g εi )(., t), i = 1, 2.

Chúng ta có hình vẽ của các biến đổi Fourier của nghiệm chỉnh hóa
uεi (g εi )(., t), i = 3, 4, 5.

24


Tiếp theo, hình sau sẽ biểu diễn biến đổi Fourier của nghiệm chính xác
và các biến đổi Fourier của nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm đầu t = 0.

Chú ý rằng trong hình trên, đường số 0 biểu diễn biến đổi Fourier của
nghiệm chính xác gần như trùng với các đường số i biểu diễn biến đổi Fourier
của nghiệm chỉnh hóa tương ứng với εi , i = 2, ..., 5.
Chúng ta có hình vẽ biểu diễn biến đổi Fourier của nghiệm chính xác uex (., t)
và biến đổi Fourier của nghiệm chỉnh hóa vεi (g εi )(., t), i = 1, 2.

25