skkn phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của g polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP- TỰ DO- HẠNH PHÚC
----------

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG QUY TRÌNH BỐN
BƯỚC CỦA G.POLYA VÀO GIẢI TỐN TỌA ĐỘ TRONG
KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 12

Các tác giả:
Th.s Trần Quang Vinh
Th.s Lê Thị Hòa Bình
Đơn vị cơng tác: Trường THPT Đinh Tiên Hồng

Ninh Bình, tháng 5 năm 2015


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GTLN : giá trị lớn nhất
GTNN

: giá trị nhỏ nhất

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

Mp

: mặt phẳng

Đt

: Đường thẳng

Đk

: Đk

PT

: phương trình

PTTQ

: phương trình tổng quát

TH

: trường hợp

THPT

: Trung học phổ thông

VTCP

: Véc tơ chỉ phương

VTPT

: Véc tơ pháp tuyến


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải bài tập là một trong những tình huống dạy học điển hình.
Nhờ quá trình này, người học hiểu được bản chất của kiến thức, có khả
năng vận dụng linh hoạt tri thức và phương pháp đã học, qua đó phát
triển năng lực tư duy. Chỉ có thơng qua các bài tập ở hình thức này hay
hình thức khác, mới tạo đk cho HS vận dụng linh hoạt những kiến thức
đã học để giải quyết thành cơng những tình huống cụ thể khác nhau và
những kiến thức đó mới trở nên sâu sắc, trở thành vốn riêng của HS.
Yêu cầu phát triển của đất nước trong thời kì mới địi hỏi các nhà
trường phải đào tạo được những con người có kiến thức, có năng lực tư
duy, hoạt động một cách tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo. Để đạt
được mục tiêu trên, cần đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục nói
chung và phương pháp giảng dạy từng bộ mơn nói riêng theo hướng
tiếp cận năng lực của HS. Trong dạy học mơn tốn, nói riêng là giảng
dạy hình học tọa độ trong không gian, bản thân nội dung môn học đã
có tính chất khái qt, trừu tượng khá cao, là mơi trường tốt để người

thầy khơi dậy ở trị khả năng tư duy linh hoạt, trí tưởng tượng phong
phú. Bởi vậy, q trình dạy học giải bài tập nói chung, giải bài tập hình
học tọa độ trong khơng gian nói riêng nếu có phương pháp tốt sẽ tạo
đk thuận lợi cho việc rèn luyện, phát triển tư duy và phẩm chất, nhân
cách ở người học.
Để dạy bài tập hình tọa độ trong khơng gian nói riêng và bài tập
tốn THPT nói chung, thơng thường GV chỉ trình bày, giảng giải và viết
lời giải, ít khi có sự hướng dẫn để HS tự tìm ra lời giải, đơi khi có hướng
dẫn song còn sơ sài, hay hướng dẫn theo kiểu dắt tay chỉ việc, ít khi
đặt vấn đề để HS tạo ra bài tập tương tự, đặc biệt, tổng quát hay tạm
thời bỏ đi một yêu cầu. Ngoài ra, thời lượng phân phối cho phân môn
không nhiều, bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, có sự hệ
thống chưa cao. Với mong muốn, giúp học sinh phát triển năng lực giải
bài tập theo bốn bước của G.Polya chương PPTĐ trong Không Gian nên
tôi đã chọn đề tài: “ Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn

4


bước của G.Polya vào giải tốn tọa độ trong khơng gian cho HS
lớp 12”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất những câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lời
giải bài tốn về tọa độ trong khơng gian theo quy trình của G.Polya, từ
đó phát triển năng lực vận dụng quy trình này trong giải tốn cho HS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về phát triển năng lực, năng lực giải toán cho
HS, về phương pháp dạy học giải bài tập tốn học, về quy trình giải bài
toán theo bốn bước của G.Polya.
- Đề xuất những câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lời

giải bài tốn về “Tọa độ trong khơng gian” theo quy trình của G.Polya,
từ đó phát triển năng lực vận dụng quy trình này trong giải tốn cho
HS.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp điều tra – khảo sát
- Thực nghiệm sư phạm
5. Đối tượng nghiên cứu
Q trình dạy học có vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya để
giải bài tốn “Tọa độ trong khơng gian” lớp 12 THPT.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu GV biết cách hướng dẫn HS tìm lời giải bài tốn về tọa độ
trong khơng gian theo bốn bước của G.Polya thì góp phần phát triển
năng lực giải tốn cho HS: HS có kĩ năng giải tốn tốt hơn và học được
cách suy nghĩ tìm lời giải dạng tốn này ở trường THPT.
7. Cấu trúc
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, sáng kiến gồm hai chương.
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chương 2: HƯỚNG DẪN HS TÌM LỜI GIẢI BÀI TỐN VỀ TỌA ĐỘ
TRONG KHƠNG GIAN THEO QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.POLYA

5


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực giải toán
1.1.1. Quan niệm về năng lực và năng lực giải toán
Năng lực thường xét đến năng lực hành động, là khả năng thực
hiện hiệu quả một nhiệm vụ/một hành động cụ thể, liên quan đến một

lĩnh vực nhất định dựa trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo. Bởi vậy,
năng lực được thể hiện qua những kĩ năng nhằm hồn thành một cơng
việc nào đó. Năng lực được xây dựng trên cơ sở tri thức.
Năng lực: là khả năng ứng phó thành cơng hay năng lực thực hiện
hiệu quả một loại/lĩnh vực hoạt động nào đó trên cơ sở hiểu biết (tri
thức), biết cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, kinh nghiệm, kĩ
năng/kĩ xảo... để hành động phù hợp với những mục tiêu và đk thực tế
hay hồn cảnh thay đổi.
Nhóm năng lực chun mơn trong mơn Tốn bao gồm các năng lực
sau đây:
+) Giải quyết các vấn đề tốn học;

+)

Lập

luận

Giao

tiếp

tốn

tốn học;
+) Mơ hình hóa tốn học;

+)

học;

+) Tranh luận về các nội dung toán học;
+) Vận dụng các cách trình bày tốn học;
+) Sử dụng các ký hiệu, cơng thức, các yếu tố thuật tốn.
1.1.2. Nhiệm vụ phát triển năng lực giải toán cho HS

6


Xu thế đổi mới phương pháp dạy học trong những năm tới là dạy
học định hướng phát triển năng lực, vì vậy nhiệm vụ phát triển năng
lực giải tốn cho HS là cần thiết và phù hợp với xu hướng đổi mới
phương pháp dạy học.
Năng lực giải toán là khả năng thực hiện bốn bước trong phương
pháp chung để giải bài toán của G.Polya. Phát triển năng lực giải toán
cho HS chính là rèn luyện cho họ có ý thức, thói quen và thực hiện có
hiệu quả các bước giải đó.
Phát triển năng lực giải tốn hình học cho HS bằng phương pháp
tọa độ đóng góp một phần vào phát triển năng lực giải tốn nói chung.
Cần phải tập luyện cho HS biết phân loại các bài toán, rèn luyện để họ
thực hiện linh hoạt, độc lập và sáng tạo các bước trong quy trình giải
loại bài tốn đó.
Một điểm đáng chú ý nữa là: "Trong quá trình giải bài tập tốn, cần
khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều
dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều
cách giải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều
khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư
duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay
nhất, đẹp nhất...” [6].
1.2. Dạy học giải tốn
1.2.1. Vai trị của bài tập Tốn

Theo Nguyễn Bá Kim [2, tr.386], bài tập có vai trị quan trọng
trong mơn Tốn. Bài tập tốn nhằm phát triển tư duy cho HS, đặc biệt
là rèn luyện các thao tác trí tuệ. Vì vậy, trong q trình dạy học người
thầy giáo phải chú trọng phát triển năng lực giải toán cho HS.
1.2.2. Quy trình giải bài tốn của G.Polya
Theo G.PoLya [12], quy trình giải bài tốn gồm bốn bước sau:
Bước 1: Hiểu bài tốn
Trước khi tìm lời giải bài tốn, cần hiểu rõ:
- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là đk? Có thể thỏa mãn đk bài tốn?
Đk có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay cịn thiếu? Hay có mâu
thuẫn?

7


- Vẽ hình.
- Sử dụng các kí hiệu thích hợp, có thể biểu diễn các đk, dữ kiện thành
cơng thức được không? Phân biệt rõ các phần của đk.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
Sau đây là những gợi ý cho việc tìm lời giải bài tốn:
- Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi khác?
- Bạn có biết một định lý, một bài toán liên quan đến bài toán này không?
- Hãy xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ xem có bài tốn nào có cùng cái
chưa biết khơng?
- Đây là bài tốn mà bạn đã có lần giải nó rồi, bạn có thể áp dụng được
gì ở nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào
mới áp dụng được?
- Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài tốn và nếu cần hãy quay về
các định nghĩa?
- Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ

dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn?
Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực
nào? Từ các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải
bài tốn? Với giả thiết nào thì bạn có thể giải được bài tốn này?
- Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?
Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra. Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng?
Bạn có thể chứng minh nó đúng?
Bước 4: Nhìn lại
- Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài tốn? Lời giải có ngắn hơn,
đặc sắc hơn.
- Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài tốn nào chưa?
- Bạn có thể áp dụng bài tốn này để giải các bài toán khác đã biết?
1.3. Giải pháp cũ thường làm
Khi dạy học giải bài tập tốn thơng thường GV không tuân thủ
theo 4 bước giải bài tập: Ở bước 1, thường chỉ dừng lại ở việc đọc đề
bài, khơng tìm hiểu rõ cái đã cho, cái cần tìm. Ở bước 2, GV thường

8


cung cấp lời giải sau đó giải thích hoặc gọi HS nêu hướng làm, ít có gợi
ý, hướng dẫn để HS tìm ra lời giải hoặc hướng dẫn theo kiểu dắt tay chỉ
việc. Ở bước 4, đa phần GV không hướng dẫn HS kiểm tra lại kết quả
bài toán cũng như lời giải, khơng hướng dẫn để HS tìm ra nhiều cách
giải, khơng xét bài tốn đặc biệt, tương tự, khái qt hay đề xuất bài
tốn khác.
*) Ưu điểm:
Nhanh chóng, đỡ tốn thời gian, GV không phải chuẩn bị nhiều, không cần chuẩn bị hệ
thống câu hỏi gợi ý, không phải tạo ra các bài tốn khác liên quan, khơng phải đầu tư quá

nhiều công sức để dạy được một bài tập. Một tiết học có thể chữa được nhiều bài tập.
*) Hạn chế:
+) Do khơng tìm hiểu kĩ đề bài ở bước 1 nên HS không hiểu rõ bài tốn, ít có sự hứng
thú, khơng rèn thói quen đọc kĩ đề khi làm bài, khó hướng dẫn bước 2.
+) HS khơng được tham gia nhiều vào q trình tìm lời giải, làm cho HS khơng hiểu rõ
cách tìm ra lời giải bài tốn, ít có sự hứng thú, lười suy nghĩ, giảm khả năng sáng tạo của
người học.
+) HS không được tập luyện với những câu hỏi, cách suy nghĩ để có thể tự mình đặt ra
câu hỏi, cách nghĩ với một bài tốn khác.
+) HS khơng kiểm tra lại kết quả dẫn đến kết quả có thể thừa, thiếu, chưa thỏa mãn hết
các điều kiện của bài toán; Các bước trình bày, lập luận có thể khơng lơgic, thiếu chính
xác; Khơng rèn tính cẩn thận cho người học.
+) HS khơng được phát triển tìm ra nhiều lời giải nên có thể khơng chọn ra cách tối ưu
nhất, dễ hiểu nhất, ít có cơ hội sáng tạo tìm ra những cách giải độc đáo, đặc sắc, giảm khả
năng nhìn nhận các khía cạnh, suy nghĩ khác nhau của bài tốn, cách nghĩ chưa bao qt.
+) Khơng giúp HS thấy được mối liên hệ giữa bài toán với bài toán đặc biệt, tương tự,
khái quát, bài toán khác nên chỉ giải quyết được một bài tốn thay vì có thể giải quyết
được nhiều bài.
1.4. Giải pháp mới cải tiến: Dạy học theo quy trình bốn bước
của G.Polya
Dạy học theo quy trình bốn bước của G.Polya như đã trình bày
ở trên ngồi ra ở bước 4 khai thác bài tốn theo hướng phát triển tư
duy cho người học.
*) Tính mới của giải pháp là:
+) Tuân thủ đầy đủ các bước của dạy học bài tập, không bỏ bước nào,
chuẩn bị hệ thống câu hỏi để hướng dẫn bài, suy nghĩ phát triển các

9

bài tập. Làm rõ bước 1, đề xuất hệ thống câu hỏi hướng dẫn tìm lời giải
cho tất cả các bài tập đã lựa chọn chữa trong chương, nghiên cứu lời
giải, đề xuất các cách giải khác, đề xuất bài tập liên quan. Làm sáng tỏ
lí luận 4 bước dạy học giải bài tập, đã khai thác gần như triệt để tồn
bộ chương phương pháp tọa độ trong khơng gian.
+) Ở bước 4, đã đưa ra hệ thống bài tập khá tồn diện, phù hợp, lơgic
làm rõ hơn, sâu hơn bước 4 mà G.Polya đã đưa ra.
+) Lựa chọn bài tập để dạy cho phù hợp, bài tập vừa gần gũi, thiết
thực vừa dễ khai thác, dễ phát triển tư duy, mang tính đa dạng.
+) Các ví dụ được sắp xếp theo từng vấn đề, từng dạng bài, mang tính
hệ thống cao. Các vấn đề đưa ra bao quét gần hết các dạng bài tốn
trong chương, mang tính cập nhật.
*) Ưu điểm:
+) Khi làm rõ bước 1 sẽ giúp HS hiểu rõ bài tốn, ham thích bài tốn, rèn thói quen đọc
kĩ đề khi làm bài, giúp định hướng cho việc tìm lời giải.
+) Thơng qua hệ thống câu hỏi mà GV đã chuẩn bị, HS có thể liên
tưởng, nhớ lại cách làm bài tương tự, kiến thức liên quan…để tìm ra lời
giải, HS khơng phải bị áp đặt lời giải.
HS là người chủ chốt tham gia vào quá trình tìm ra lời giải, HS có điều kiện hiểu được
cách suy nghĩ để tìm ra lời giải bài tốn, được trải nghiệm nhiều hơn. Hơn thế, HS còn
được học những kinh nghiệm giải tốn mang tính chất tìm tịi, phát hiện. Thông qua hệ
thống câu hỏi lúc đầu do GV đưa ra, dần dần HS biết tự đặt ra câu hỏi, cách suy nghĩ
phù hợp để giải quyết một bài tốn khác. HS học sáng tạo, khơng phải nhớ máy móc.
+) Qua bước 4, giúp HS: Kiểm tra sự chính xác của kết quả, của lập luận trong lời giải,
rèn tính cẩn thận. Tìm ra những cách giải khác, có thể ngắn gọn hơn lời giải đã tìm ra
cũng có thể có cách giải dài hơn, phức tạp hơn nhưng quan trọng HS đã nhìn bài tốn với
những khía cạnh khác nhau, khai thác khác nhau. HS có cơ hội được sáng tạo, có thể với
cách giải khơng tối ưu trong bài tốn này nhưng lại giúp ích cho người học tìm ra lời giải
với bài tốn khác. HS thấy được mối liên hệ với các bài toán đặc biệt, tương tự, khái
qt, bài tốn có liên quan. HS biết cách tạo ra các bài toán tương tự, khái quát giúp phát

triển tư duy người học.

10


+) Thơng qua một bài tập dạy theo quy trình trên, HS khơng chỉ giải một bài tốn mà cịn
giải được nhiều bài tốn cùng dạng, bài tốn có liên quan.
*) Hạn chế: Việc dạy học theo quy trình bốn bước của G.PoLya mất nhiều thời
gian, GV cũng phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi chi tiết, GV phải đầu tư suy nghĩ, chuẩn bị,
sáng tạo, tìm ra hệ thống bài tốn, địi hỏi người GV cũng phải có tư duy tốt, GV phải
chọn lựa bài tập phù hợp để khai thác, đạt được ý đồ chỉ dạy một bài nhưng giải quyết
được nhiều bài. Việc hướng dẫn đôi khi là không cần thiết với HS giỏi. Việc vận dụng
cũng phải linh hoạt tùy theo mức độ nhận thức, tính tự giác và thái độ học tập của HS.
Sau đây là một ví dụ minh họa tổng thể.
Ví dụ minh họa
x−2 y+2 z
=
=
2
1 và vuông
Trong Oxyz, lập PT mặt phẳng (P) chứa đt d: 1

góc với mặt phẳng (Q): 3x+y+2z-5=0.
Bước 1: Hiểu bài toán
GV: Xác định giả thiết của bài toán và yêu cầu của bài toán.
HS: Giả thiết cho pt đường thẳng d và mặt phẳng (Q), cho quan hệ (P)
chứa d, (P) vng góc với (Q).
u cầu lập PT mặt phẳng (P).
GV: Dữ liệu của bài tốn có đủ để xác định Mp (P) không? (Đủ xác định
(P)).

GV: Em có thể vẽ hình minh họa bài tốn khơng?
HS:
Vẽ
hình

1.

Hình 1
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
GV: Ta có những cách nào để lập phương trình mặt phẳng?
HS: Cách 1: Xác định một điểm và một VTPT.
Cách 2: Tìm các hệ số của PTTQ.
GV: Theo cách 1, ta cần xác định mấy yếu tố? Là những yếu tố nào?
HS: Cần xác định hai yếu tố: một điểm và một VTPT.
GV: Đk (P) chứa d giúp gì cho việc tìm 2 yếu tố trên?

11


uu
r uu
r
n
⊥
u
P
d
HS: Đk (P) chứa d: M thuộc đường thẳng d thì M thuộc Mp (P);
GV: ĐK (P) vng góc với (Q) thì có mối liên hệ gì về VTPT của (P) với
VTPTuu

của (Q)?
r uur
nP ⊥ nQ
HS:
uu
r uur
uu
r uur
nP ⊥ nQ
nP ⊥ nQ
GV: Từ
và
em hãy nêu cách xác định VTPT của (P)?
HS: Cách 1: Tích có hướng của cặp VTCP (Tích có hướng của 2 véc tơ
khơng cùng phương và cùng vng góc với VTPT của mặt phẳng; với
uur uu
r
nQ , ud
không cùng phương)
r uu
r
uu
r uu
r uu
n
⊥
n
n
⊥
u

P
Q
d ;
Cách 2: Gọi tọa độ của VTPT, từ P
lập hệ 2 pt 3ẩn rồi chọn
bộ số phù hợp.
Bước 3:uu
Trình
bày lời giải bài tốn uur
r
u = 1; 2;1)
n = 3;1;2 )
Ta có: d (
là một VTCP của d, Q (
là một VTPT của (Q).
uu
r uu
r uur
u
u
r
u
u
r
u
u
r
u
u
r

r
nP = ud , nQ 
n ⊥ ud ; nP ⊥ nQ
≠
0
= (3;1;-5)
. Vì P
nên là một VTPT của MP (P).
∈
∈
M(2;-2;0) d nên M MP (P). Vậy (P): 3(x-2)+1(y+2)-5z=0 hay 3x+y-5z4=0.
Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Mp (P) có pt như trên đã thỏa mãn đk của bài tốn (P)
chứa d và vng góc với (Q) chưa? (Đã thỏa mãn).
GV: Nếu d vng góc với (Q) thì có tồn tại Mp (P) không? Đk nào để
biết d ⊥ (Q)?
r
HS: Nếu d ⊥ (Q) thì mọi Mp chứa d đều thỏa mãn. Nếu [ ] = 0 thì d ⊥
(Q).
Xuất phát từ phân tích tìm lời giải ở trên, em có cách khác giải bài tốn
này khơng?
Cách 2: Lấy M(2;-2;0) ∈ d nên M ∈ (P). Gọi = (a; b; c) là một VTPT
của Mp (P).

uu
r uu
r
nP ⊥ ud = ( 1;2;1)

Vì (P) chứa d nên

hay a + 2b + c = 0 (1)
uu
r uu
r
nP ⊥ nQ = ( 3;1; 2 )
Vì (P) (Q) nên
hay 3a + b + 2c = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta được: c = -5b; a = 3b. Chọn b = 1 thì a = 3; c = -5
uu
r
n
Vậy (P) qua M và nhận P = (3;1;-5) là một VTPT nên có PT: 3x+y-5z4=0.

12


Nghiên cứu tiếp bài toán:
Trong bài toán trên nếu thay đổi cách cho từng đk thì ta sẽ có các bài
toán tương tự.
Với đk (P) chứa đt d, với đt d được xác
định bởi:
+) d qua hai điểm.
+) d qua một điểm và song song với đt
d’.
+) d qua một điểm và song song với
BC.
+) d là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Với đk thứ hai, MP (Q) được xác
định:

+) qua ba điểm.
+) qua một điểm nằm ngoài
một đt.
+) qua hai đt cắt nhau.
+) qua hai đt song song.

x −1 y z +1
= =
2
1 (với các bài 1.11 đến 1.13)
Một số bài tương tự: Cho đt d: 1
Bài 1.1.1. Cho điểm A(1;2;1), B(2;-2;0). Lập PT mặt phẳng đi qua hai
điểm A, B và vng góc với (Q), trong đó (Q) xác định như sau:
a) MP (Q): 3x+y+2z-3=0.
b) (Q) qua ba điểm B(1;0;0), C(0;1;-2), D(2;3;5).
c) (Q) qua điểm B(1;0;0) và chứa đt d.
x−2 y+2 z
x − 4 y + 3 z −1
=
=
=
=
1
2
1
3
1
2 .
d) (Q) chứa d1 và d2 với d1:
, d 2:

Bài 1.1.2. Cho điểm A(1;2;0). Lập PT mặt phẳng đi qua điểm A, song
song với d và vng góc với MP (Q) trong các trường hợp sau:
a) MP (Q): 2x+2y+z-9=0.
b) (Q) qua ba điểm B(1;0;0), C(0;1;-2), D(2;3;5).

x − 2 y z +1
= =
−
1
2
1
c) (Q) qua điểm B(1;0;0) và chứa đt d’:
x−2 y+2 z
x − 4 y + 3 z −1
=
=
=
=
1
2 .
2
1 , d2: 3
d) (Q) chứa d1 và d2 với d1: 1

Bài 1.1.3. Cho A(1;2;0), B(-1;-1;0), C(0;1;2). Lập PT mặt phẳng đi qua
điểm A, song song với BC và vuông góc với Mp (Q) trong các trường
hợp sau:
a) MP(Q): 2x+2y+z-9=0
b) (Q) qua ba điểm D(1;0;0), E(0;1;-2), F(2;3;5).
c) (Q) qua điểm D(1;0;0) và chứa đt d.

x−2 y+2 z
x − 4 y + 3 z −1
=
=
=
=
1
2 .
2
1 , d2: 3
d) (Q) chứa d1 và d2 với d1: 1

13


GV: Qua bài tập trên, em hãy cho biết cách tìm một VTPT của
(P) khi biết hai véc tơ

cùng vng góc với VTPT của (P) và

r
r r
a , b  ≠ 0


(biết cặp VTCP của Mp(P))?
r r
a , b 
 là một VTPT của (P).

HS: 

Bài toán này thuộc dạng: Lập ptMp (P) đi qua một điểm và xác
định được VTPT thơng qua đk VTPT vng góc với hai véc tơ khơng
cùng phương đã biết. Có thể thay đổi đk xác định của VTPT để có
những bài tốn tương tự, chẳng hạn như Mp (P) qua A và
+) (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R).
+) (P) vng góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (Q), (R).
+) (P) chứa đường thẳng d (A không thuộc d).
+) (P) qua hai điểm B, C.
+) (P) song song với hai đt d1, d2.
Như vậy, ta có thể khai thác một bài toán để đề xuất những bài
toán tương tự bằng cách thay đổi mỗi yếu tố trong bài toán. Chẳng
hạn:
- Thay đt d có PT cho trước bởi hai điểm phân biệt; một điểm và một
VTCP; giao tuyến của hai mặt phẳng…
- Thay góc α cho trước bởi một góc bất kỳ như: 30 0; 450; 900; góc bé
nhất; góc lớn nhất.
- Thay góc giữa MP với MP bởi góc giữa MP với đt, góc giữa hai đt.
- Thay PT Mp(Q) cho trước bởi (Q) qua ba điểm phân biệt không thẳng
hàng; hai đt song song; hai đt cắt nhau; một điểm nằm ngoài một đt.
- Thay khoảng cách từ điểm đến MP bằng một số cho trước bởi khoảng
cách từ MP đến điểm này bằng k lần khoảng cách từ MP đến điểm, thay
khoảng cách từ MP đến điểm bởi khoảng cách từ MP đến đt, giữa hai
MP…
Bài tập vận dụng:

14

Bài 1.1.4. Cho A(2;1;3) và hai mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-9=0, (R): x2y+z+1=0. Lập PT mặt phẳng đi qua A và vng góc với hai mặt
phẳng (Q), (R).
Bài 1.1.5. Lập PT mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vng góc với giao
tuyến của hai mặt phẳng (Q):2x+2y-z+1=0, (R): x-2y+z+1=0.
Bài 1.1.6. Cho d1

x−2 y+2 z
x − 4 y + 3 z −1
=
=
=
=
1
2
1 , d 2: 3
1
2 . Lập PT mặt

phẳng biết
a) (P) chứa hai đt d1 và d2.

b) (P) chứa đt d1 và song

song với d2.
c) Mp (P) qua gốc tọa độ và song song với d1, d2.
Bài 1.1.7. Cho A(1;-2;4), B(1;0;0), C(0;1;1). Lập PT Mp qua ba điểm A, B,
C.
Các ví dụ ở chương II sẽ làm rõ hơn các nhận định của chương I

Chương 2

HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA
TRONG GIẢI TỐN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Năng lực được thể hiện qua những kỹ năng; Năng lực vận dụng
quy trình giải tốn của G.Polya vào giải tốn “Tọa độ trong khơng gian”
cho HS lớp 12 THPT được thể hiện qua việc giải các dạng toán thuộc
nội dung chương 3 Hình học 12. Để phát triển năng lực này ở HS, GV
cần phải phân tích một số bài tốn có tích chất làm mẫu. Trong đó GV
đặt ra các câu hỏi, các hoạt động để hướng đẫn HS tìm lời giải bài tốn
trong những trường hợp cụ thể. Trên cơ sở đó HS sẽ tự luyện tập vận
dụng vào những bài toán mới.
Trong chương này chúng tơi sẽ trình bày theo thứ tự từng dạng
tốn về tọa độ trong khơng gian. Trong mỗi dạng trình bày những
hướng dẫn vận dụng quy trình giải tốn của G.Polya vào một số bài.
Sau đó là những bài tốn để HS tự luyện. Do bước 1 khá đơn giản (chỉ

15


cần hiểu rõ giả thiết, kết luận, vẽ hình minh họa nếu có tuy nhiên vẫn
phải tiến hành) nên trong tài liệu này chúng tơi chỉ tập trung trình bày
bước 2 và bước 4, ở bước 3 chỉ trình bày vắn tắt lời giải.
Để ngắn gọn, trong tài liệu này ta mặc định xét trong hệ trục tọa
độ Đề-Các vuông góc Oxyz.
Trong chương này, chúng tơi xin trình bày 05 dạng toán thường
gặp là viết PT mặt phẳng, viết phương trình đường thẳng, viết phương
trình mặt cầu, tìm tọa độ điểm và bài toán cực trị.
2.1. Dạng toán về viết PT mặt phẳng
Với dạng toán về lập PT mặt phẳng, chúng tơi đưa ra một số bài tốn:
1. Lập PTMP biết một điểm và cặp véc tơ chỉ phương.
2. Lập PTMP biết một điểm và tìm VTPT bằng cách lập hệ phương trình.

3. Lập PTMP biết một VTPT và tìm hệ số tự do của PTTQ.
4. Viết PTMP dưới dạng đoạn chắn
Chúng tôi đề xuất hệ thống câu hỏi, gợi ý, hướng dẫn HS như sau:
- Ta có những cách nào để lập PT mặt phẳng?
Cách 1: Xác định một điểm và một VTPT; Cách 2: Tìm các hệ số của
PTTQ.
- Theo cách 1, ta cần xác định mấy yếu tố? là những yếu tố nào?
Cần xác định hai yếu tố: một điểm và một VTPT.
- Một VTPT của mặt phẳng có thể được xác định bằng những cách nào?
Cách 1: Tích có hướng của hai véc tơ khơng cùng phương có giá song
song hoặc nằm trong MP cần tìm (cặp VTCP).
Cách 2: Hệ 2 PT với ba ẩn là ba thành phần tọa độ của VTPT.
- Theo cách 2, để xác định các hệ số của mặt phẳng ta cần mấy PT liên
quan đến các hệ số đó? (Hệ ba PT bốn ẩn).
Ví dụ 1.1. (Trình bày ở ví dụ chương I)
x −1 y z + 1
x y − 2 z +1
=
=
=
=
−1
1 và d2: 2
1
−1 . Lập phương
Ví dụ 1.2. Cho d1: 1

trình mặt phẳng chứa đt d1 và tạo với d2 một góc bằng 300.
Bước 1: Hiểu bài toán
GV: Xác định giả thiết của bài toán và yêu cầu của bài toán.

HS: Giả thiết cho PT đt d 1 và d2, cho quan hệ (P) chứa d 1, (P) tạo với d2
góc 300.
u cầu lập phương trình mặt phẳng (P).

16


GV: Dữ liệu của bài tốn có đủ để xác định Mp (P) không? (Đủ xác định
(P)).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
GV: Em có tìm được tọa độ một điểm trên (P) khơng? Nêu cách tìm?
HS: Có, đó là điểm bất kỳ trên d1.
GV: Em có tìm được ngay một VTPT của Mp(P) khơng? Hay có tìm thấy
cặp VTCP của Mp(P) khơng? Nếu chưa tìm được trực tiếp thì em phải
làm như thế nào?
HS: Khơng tìm được ngay VTPT của (P) cũng như không thấy ngay cặp
VTCP của Mp(P). (Nhớ lại cách giải 2 của bài 1). Gọi tọa độ của VTPT và
lập hệ PT để tìm tọa độ của VTPT.
GV: Dựa vào mối quan hệ của Mp (P) với hai đt, em cho biết các đẳng
thức véc tơ của VTPT của Mp(P) với các VTCP của 2 đt? Em có chuyển
được đẳng thức véc tơ đó sang đẳng thức tọa độ được không?
uu
r ur
uu
r uu
r
uu
r ur uu
r
n

.
u
n
,
u
n
,
u
,
u
0
HS: P 1 =0, |cos( P 2 )| = sin30 với P 1 2 lần lượt là một VTPT của
(P), chỉ phương của d1, d2. Có chuyển được sang đẳng thức tọa độ.
Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
uur
n
M(1;0;- 1) ∈ d nên M (P). Gọi P = (a; b; c) (a2+b2+c2 ≠ 0) là một VTPT
của (P).
ur
uu
r
u
u
Ta có: 1 = (1;-1; 1), 2 = (2; 1;-1) lần lượt là một VTCP của d1, d2.
uu
r ur
n
Vì MP (P) chứa d nên P .u1 =0 hay a-b+c=0
(1)
uu

r uu
r
n
,
u
0
0
Vì MP (P) tạo với d góc 30 nên sin30 = |cos( P 2 )|
2

2a + b − c

=

hay

1
2

6. a 2 + b 2 + c 2
(2)
Từ (1) ta có: b = a + c thế vào (2) và bình phương 2 vế của (2) ta được:
4(2a+a+c-c)2 =6[a2+(a+c)2+c2] 2a2 - ac - c2 =0 (*)
Nếu c = 0 thì a =0 do đó b =0 (loại)
Nếu c ≠ 0 thì chia 2 vế của (*) cho c2 ta được: 2x2 – x – 1 = 0 với x= a/c.
Ta được x = 1 hoặc x = -1/2.
Chọn a = 1 thì c = 1 hoặc c =-2. Với c = 1 thì b = 2, với c =-2 thì b =-1
uur
n
TH1: P = (1;2;1) thì (P): 1(x-1)+2(y-0)+1(z+1) = 0 hay x+2y+z=0.

uur
n
TH2: P = (1;-1;-2) thì (P): 1(x-1)-1(y-0)-2(z+1) = 0 hay x-y-2z-3=0.
KL: Vậy có hai PT mặt phẳng (P): x+2y+z=0 và x-y-2z-3=0.
Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Trong 2 PT vừa tìm có loại pt nào không? Các bước
biến đổi là tương đương chưa? PTMp vừa lập có thỏa mãn các đk của

17


bài tốn khơng? (Khơng, vì các bước biến đổi là tương đương nên PT
mặt phẳng vừa lập thỏa mãn các đk của bài tốn).
Ngồi cách giải trên, em cịn cách khác khơng? Thay vì việc sử dụng
uu
r ur
nP ⊥ u1 em còn cách sử dụng giả thiết (P) chứa d như thế nào nữa? (Còn
cách sử dụng: (P) đi qua điểm N thuộc d, N khác M)
Cách 2: Lấy M(1;0;-1), N(2;-1;0) là haiuđiểm
phân biệt trên d.
ur
Vì (P) chứa d nên M, N ∈ Mp (P). Gọi nP = (a;b;c) (a2+b2+c2 ≠ 0) là một
VTPT của (P).
Ta có PT mặt phẳng (P): a (x-1) + by + c(z+1) =0
Vì (P) qua N nên: a (2-1)+b.(-1)+c(0+1) =0 hay a-b+c=0
(1)
uu
r
u2 = (2;1;-1) là một VTCP của d . Vì MP (P) tạo với d góc 300 nên
2

2

2a + b − c
1
uu
r uu
r
=
6. a 2 + b 2 + c 2 2
sin300= |cos( nP , u2 )| hay
(2)
Làm tương tự như cách 1 ta được kết quả như cách 1.
Nghiên cứu tiếp bài toán: (Với hai đường thẳng d1, d2 trên)
Như đã trình bày trong ví dụ minh họa, có thể đề xuất các bài toán sau:
Bài 1.2.1. Lập PT Mp đi qua hai điểm A(1;0;-1), B(3;-2;1) và tạo với đt
d2 góc 300.
Bài 1.2.2. Cho A(0;2;-1), B(2;4;-3). Lập PT mặt phẳng chứa đt d1 và tạo
với AB một góc bằng 300.
Bài 1.2.3. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1) ,C(0;2;-1), D(2;4;-3). Lập PT Mp đi
qua hai điểm A, B và tạo với CD một góc bằng 30 0.
Bài 1.2.4. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), C(0;2;-1), D(2;4;-3). Lập PT Mp đi
qua điểm M(1;0;3) và
a) song song với d1 đồng thời tạo với d2 góc 300.
b) song song với AB đồng thời tạo với d2 góc 300.
c) song song với đt AB và tạo với CD một góc 30 0 .
Bài 1.2.5. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), Mp(Q): 2x+y-z+9=0. Lập PT mặt
phẳng (P):
a) (P) chứa đt d1 và tạo với MP(Q) góc 600.
b) (P) qua hai điểm A, B và tạo với Mp(Q) góc 60 0.

c) (P) qua điểm M(1;0;3), song song với AB và tạo với Mp(Q) góc 60 0 .
d) (P) chứa d là giao tuyến của Mp (Q) và Mp (R): x+2y-z+3=0, đồng
thời tạo với hai Mp (Q) và (R) các góc bằng nhau. (Nói cách khác: lập
PT mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi (Q) và (R)).

18


Bài 1.2.6. Lập PT MPđi qua điểm M(1;0;-3) và tạo với hai đt d 1, d2 các
góc lần lượt bằng 450, 300.
Bài 1.2.7. Cho M(1;0;-3), MP (Q): 2x+y-z+9=0. Lập PT mặt phẳng đi
qua điểm M và tạo với d1, Mp (Q) các góc lần lượt bằng 450, 600.
Khái quát hóa: Lập PT mặt phẳng (P)
1)
2)
3)
4)

chứa đt d1 và tạo với đt d2 một góc cho trước.
chứa đt d1 và tạo với mặt phẳng (Q) một góc cho trước.
chứa đt d và tạo với hai mặt phẳng (Q), (R) các góc bằng nhau.
đi qua điểm A, song song với đt d 1 và tạo với đt d2 một góc cho

trước.
5) đi qua điểm A, song song với đt d 1 và tạo với mặt phẳng (Q) một góc
cho trước.
6) đi qua điểm A, lần lượt tạo với các đt d1 và d2 các góc cho trước.
7) đi qua điểm A, lần lượt tạo với đt d 1 và tạo với mặt phẳng (Q) các
góc cho trước.
Chú ý: Đối với bài tốn lập PT mặt phẳng đi qua một điểm và

liên quan đến góc, ta gọi tọa độ của VTPT cần tìm và giải hệ 2
PT để chọn được bộ số thích hợp.
Tương tự với bài tốn liên quan đến góc trên, GV có thể hướng dẫn HS
giải bài tốn liên quan đến khoảng cách, chẳng hạn xuất phát từ bài
tốn:
Ví dụ 1.3. Lập PT mặt phẳng chứa đt d sao cho khoảng cách từ
x −1 y −1 z − 2
=
=
−1
1 . Bằng cách tương tự như
A(2;1;2) đến (P) bằng với d: 2

trên, có thể đề xuất các bài tốn sau:
Bài 1.3.1. Cho A(2;1;2), M(1;1;2), N(3;0;3). d:

x +1 y − 2 z + 2
=
=
2
−1
1 . Lập PT

Mp (P)
1
a) đi qua hai điểm M, N và d(A,(P)) = 3 .
1
b) đi qua điểm M, song song với d và d(A,(P)) = 3 .

19

Bài 1.3.2. Cho A(2;1;2), B(-1;2;-2), C(1;1;-1), M(1;1;2). Lập PT mặt
1
phẳng đi qua điểm M, song song với BC và d(A,(P)) = 3 .
x −1 y −1 z − 2
=
=
2
−
1
1 . Lập PT mặt
Bài 1.3.3. Cho A(2;2;2), B(4;1;4), d:
phẳng chứa đt d sao cho khoảng cách từ A đến (P) gấp hai lần khoảng
cách từ B đến (P).
Với bài toán này, thay vì sử dụng d(A,(P))=k ta có d(A,(P))=2d(B,(P)).
Ngồi ra ta cịn có thể giải bài tốn bằng cách quy về lập PT mặt
phẳng qua một điểm nằm ngoài một đt thơng qua việc tìm tọa độ giao
điểm I của AB với mặt phẳng (P) như sau:
Xét vị trí tương đối của 2 điểm A, B với MP (P).

uu
r
uur
IA
=
−
2
IB :.
Nếu A, B nằm khác phía với (P) thì (P) cắt AB tại I sao cho

(Hình 2)
Nếu A, B nằm cùng phía với (P) thì (P) cắt AB tại I sao cho:.
(Hình 3)

Hình 2

Hình 3
x −1 y −1 z − 2
x − 2 y −1 z − 2
=
=
=
=
−1
1 :, d2: −2
−1
−1 . Lập PT mặt
Bài 1.3.4. Cho d1 2
phẳng (P) chứa đt d1, song song với d2 sao cho khoảng cách từ d2 đến
1
(P) bằng 3 .
Bài 1.3.5. Lập PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) qua M(1;1;2), N(3;0;3) và d(A,(P))=2d(B,(P)) với A(2;2;2),
B(4;1;4).
b) (P) qua M(1;0;-5), song song với AB và d(C;(P))=2d(D;(P)) với
A(1;1;2), B(3;0;3), C(1;2;1), D(-4;1;-4).
1
c) (P) chứa AB và d(CD,(P)) = 3 với A(1;1;2), B(3;0;3), C(1;2;1) và
ABCD là hình bình hành.

20


d) (B-2009) (P) qua hai điểm A(1;2;1), B(-2;1;3) và khoảng cách từ
C(2;-1;1) đến (P) bằng khoảng cách từ D(0;3;1) đến (P).
x − 2 y −1 z − 2
=
=
1
−1 . Lập PT mặt phẳng (P) qua
Bài 1.3.6. Cho M(1;1;2), d: −2

1
M, song song với d và d(d, (P)) = 3 .
Đặc biệt hóa:
1
Bài 1.3.7. Cho PT mặt cầu (S): (x-2)2+(y-1)2+(z-2)2 = 3 . Viết PT mặt

phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) biết:
x −1 y −1 z − 2
=
=
2
−
1
1 .
a) (P) chứa đt d:
b) (P) đi qua hai điểm M(1;1;2), N(3;0;3).

x − 2 y −1 z − 2

=
=
−
2
1
−1 .
c) (P) đi qua M(1;1;2) và song song với d:

Khái quát hóa: (k là số thực dương cho trước). Lập PT mặt phẳng (P)
biết
1)
2)
3)
4)
5)

(P)
(P)
(P)
(P)
(P)

chứa đt d và d(A,(P))=k.
chứa đt d và d(A,(P))=kd(B,(P)).
đi qua điểm A, song song với đt d và d(B,(P))=k.
đi qua điểm A, song song với đt d và d(B,(P))=kd(C,(P))
đi qua điểm A, song song với d và d(d;(P))=k.

Chú ý: Với bài toán lập PT mặt phẳng chứa đt d và liên quan tới
khoảng cách đến mặt phẳng đó thì ta nên gọi tọa độ của một

VTPT của (P), suy ra ptMp. Dựa vào hai đk thiết lập hệ 2 PT với
ba thành phần tọa độ của nó.
Sau đây một số bài đơn giản nên xin không nêu ra bước 1.
 x =1+ t

y = 2 −t
x − 2 y −1 z +1
=
=
 z =1

1
−
2
2 . Lập PT mặt phẳng
Ví dụ 1.4. Cho d1:
, d2:
song song với d1, d2 và d(d1,(P)) = 2d(d2,(P)).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

21


GV: Trong hai yếu tố thơng thường em cần tìm để lập PT mặt phẳng (P),
em có thể tìm được ngay yếu tố nào khơng?
HS: Chưa tìm được ngay tọa độ một điểm hay một VTPT của (P).
GV: Dựa vào giả thiết (P) song song với các đt d 1, d2, em có thể tìm
được yếu tố gì để lập PT mặt phẳng (P)? Là yếu tố nào? Nêu cách xác
định.
HS: Có thể tìm được tọa độ VTPT của (P) bằng tích có hướng của hai

VTCP của hai đt.
GV: Vậy nếu chưa tìm được tọa độ của một điểm thuộc (P) thì có thể
lập PT mặt phẳng (P) bằng cách đưa về tìm yếu tố nào? (GV có thể gợi
ý tiếp: PTTQ của mặt phẳng (P) có dạng như thế nào? Đã biết tọa độ
VTPT tức là biết những gì, cịn tìm gì nữa?)
HS: Lập PT mặt phẳng (P) bằng cách đưa về tìm d trong PTTQ:
ax+by+cz+d=0.
GV: Em có thể tìm số d dựa vào giả thiết nào? (Tìm d dựa vào d(A,
(P))=2d(B;(P)).
GV: Bây giờ em có thể làm được bài tốn này chưa? (Có thể làm được
ạ.)
Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
Ta có d1 đi qua điểm A(1;2;1) và có một VTCP là =(1;-1;0)
d2 đi qua điểm B(2;1;-1) và nhận =(1;-2;2) là một VTCP
[,] = (-2;-2;-1) .
Vì (P) song song hoặc chứa d1, d2 nên [,]= (-2;-2;-1) là một VTPT của
(P), do đó (P) có dạng: 2x+2y+z+d=0
 d = −3
7+d
5+ d
⇔
=
⇔ 7+d = 5+d ⇔ 
 d = − 17
3
3
3

Ta có d(A,(P))=2d(B,(P))
17

2x + 2 y + z –
=0
3
Vậy có 2 PT mặt phẳng (P): 2 x + 2 y + z − 3 = 0 hoặc
.

Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Các giả thiết đã được chuyển thành đk tương đương
nên không phải loại trường hợp nào. Các bước biến đổi là chính xác.
(Lưu ý cơng thức khoảng cách có giá trị tuyệt đối).
Nghiên cứu tiếp bài toán:
Ta xem xét sự tồn tại Mp (P) tùy theo các vị trí của d1 và d2

22


+) Nếu d1, d2 trùng nhau thì có vơ số Mp (P) thỏa mãn, các mặt phẳng
này đều chứa d1 và khoảng cách giữa đt và Mp bằng 0. Nếu thêm giả
thiết (P) // d1 thì khơng tồn tại Mp (P).
+) Nếu hai đt d1 và d2 song song thì cũng tồn tại vô số Mp(P) thỏa mãn,
các mặt phẳng này đều chứa đt d, d là đt song song với d 1 và
d(d,d1)=2d(d,d2).
+) Nếu hai đt d1 và d2 cắt nhau thì tồn tại duy nhất Mp (P) thỏa mãn
bài toán, mặt phẳng này chứa hai đt d1 và d2. Khi đó khoảng cách giữa
các đt và mặt phẳng bằng 0. Nếu thêm giả thiết (P) song song với hai
đt d1, d2 thì khơng tồn tại Mp (P).
+) Nếu hai đt d1 và d2 chéo nhau thì có hai mặt phẳng cần tìm (Như bài
tốn trên).
Ta có thể thay giả thiết bằng những đk tương đương nào? Từ đó ta được
những bài toán nào?

 x = 1+ t

y = 2 −t
x − 2 y −1 z +1
=
=
 z =1
−2
2 .
Tương tự ta có các bài tốn sau: Cho d1: 
, d 2: 1
Bài 1. 4.1. Lập PT mặt phẳng biết (P) song song với d1, d2 và khoảng
cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng 1.
Đặc biệt của bài tốn 1.4.1. ta có bài tốn 1. 4.2.
Bài 1.4.2. Cho (S):

( x − 1)

2

+ ( y − 1) + ( z − 1) = 1.
2

2

Viết PT tiếp diện của (S) biết

tiếp diện đó song song với d1 và d2.
Bài 1.4.3. Viết PT mặt phẳng (P) song song với d1 và d2 đồng thời d(d2,

(P))=2.
Bài 1.4.4. Cho A(1;2;1), B(2;1;1). Lập PT mặt phẳng (P) song song với
AB và d2 đồng thời khoảng cách từ đt d2 đến Mp (P) bằng 2.
Khái quát hóa: Lập PT mặt phẳng (P) song song với
1) hai đt d1, d2 và d(d1, (P))=kd(d2,(P)) (trong đó d1 và d2 chéo nhau).
2) hai đt d1, d2 và d(A, (P))=k (trong đó d 1 và d2 chéo nhau hoặc cắt

nhau).
3) hai đt d1, d2 và d(d2, (P))=k (trong đó d1 và d2 chéo hoặc cắt nhau).

23


4) hai đt AB, CD và d(AB, (P))=k (trong đó AB và CD chéo nhau hoặc

cắt nhau).
5) hai đt AB, d và d(d, (P))=k (trong đó AB và d chéo hoặc cắt nhau).
Chú ý: Khi lập PT mặt phẳng (P) song song với hai đt và cho biết
khoảng cách liên quan đến (P) thì ta nên tìm tọa độ của VTPT dựa vào
tích có hướng và suy ra dạng tổng quát của mặt phẳng để tìm hệ số D
dựa vào giả thiết khoảng cách.
Bằng cách làm tương tự với bài toán trên, khi thay đổi giả thiết (P) song
song với hai đt bởi giả thiết (P) vng góc với một đt cho trước hay (P)
song song với một mặt phẳng cho trước ta cũng xác định được một
VTPT của (P).
Bài tập vận dụng:
x −1 y −1 z
=
=
−1

2 . Lập PT mặt phẳng (P)
Bài 1.4.5. Cho A(2;1;1) và d: 2

vng góc với đt d và khoảng cách từ A đến (P) bằng 3.
 x = 1 + 2t

 y=2
2
2
2

Bài 1.4.6. Cho mặt cầu (S): x + y + z − 4 x + 2 y - 6 z - 6 = 0 , d:  z = 1 + t . Lập
PT mặt phẳng vng góc với d và tiếp xúc với (S).
 x = 2+t

 y = 1 + 4t
x −1 y −1 z
=
=

−1
2 và d2:  z = 1 + t . Lập PT mặt phẳng
Bài 1.4.7. Cho d1: 2
vng góc với đt d1 và khoảng cách từ d2 đến (P) bằng 3.
Bài 1.4.8 (D-2010). Cho hai MP (Q): x-y-z-3=0 và (R): x-y+z-1=0. Viết
PT MP vng góc với (Q) và (R) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến (P)
bằng 2.
Bài 1.4.9. Lập PTMP song song với (Q): 2x-y-2z+1=0 và khoảng cách
giữa hai MP bằng 5.
Bài 1.4.10. Lập PTMP song song với (Q): 2x-y-2z+1=0 và khoảng cách

từ A(1;0;3) đến (P) bằng 5.
Bài 1.4.11. Cho mặt cầu (S): x 2+y2+z2-4x+2y-6z-6=0. Viết PT tiếp diện
của (S) biết MP tiếp diện song song với MP(Q):x-2y+2z+2=0.

24


Bài 1.4.12. Cho mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x+4y-6z-11=0. Viết PT MPsong
song với MP(Q):2x+2y-z+17=0 và cắt (S) theo giao tuyến là đường
tròn có
a) chu vi bằng 6.

b) diện tích bằng 16.

Bài 1.4.13. a) Cho MP (Q): x+4y+z-11=0, đt d: . Viết PT MP vng góc
với (Q), song song với d và d(d,(P))=2.
b)(B-2010) Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), b>0, c>0 và MP (P): yz+1=0. Xác định b và c, biết (ABC) vng góc với MP (P) và d(O,
(ABC) )= .
Bài 1.4.14. Cho hai đt d1 và d2 . Lập PT MPsao cho (P) song song với d 1
và khoảng cách giữa d1 và (P) bằng 1, đồng thời (P) tạo với d 2 một góc

sao cho cos

µ=

1
6.

Khái qt hóa: Lập PT MP trong các trường hợp sau:
1) (P) vng góc với đt d và d(A,(P)) =k (k>0 cho trước).

2) (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và (P) vng góc với đt d.
3) (P) vng góc với đt d1, (P) song song với d2 và d(d2,(P)) =k (k > 0 và
4)
5)
6)
7)
8)

d1 ⊥ d2 ).
(P) vng góc với hai MP (Q) và (R) sao cho d(A,(P)) =k > 0.
(P) song song với (Q) và d((P),(Q)) = k > 0.
(P) song song với (Q) và d(A,(P)) = k > 0.
(P) song song với (Q) và d(A,(P)) = kd(B,(P)). (k > 0 cho trước)
(P) song song với (Q) và (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một

đường trịn có bán kính hoặc chu vi hoặc diện tích cho trước.
9) (P) vng góc với MP (Q) và d(d;(P)) = k > 0 (d khơng vng góc với
(Q)).
Nhận xét: Với bài tốn viết PTMP có thể tìm trực tiếp VTPT và
chưa biết tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng và liên quan đến
khoảng cách ta thường đưa về xác định hệ số D trong PTTQ: Ax
+ By + Cz + D = 0.
Ví dụ 1.5. Viết PT MPđi qua điểm M(1;2;3) và cắt ba trục Ox, Oy, Oz
theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho:
a) M là trọng tâm tam giác ABC.
b) M là trực tâm trực tâm tam giác ABC.

25