vận dụng bảng gợi ý của g. polya hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
o0o


PHẠM THỊ TRÀ MY


VẬN DỤNG BẢNG GỢI Ý CỦA G.POLYA
HƢỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI
BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG


Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS BÙI VĂN NGHỊ


THÁI NGUYÊN - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ii
LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ
công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013
Tác giả luận văn


Phạm Thị Trà My


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

iii
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TS Bùi Văn Nghị, đã tận
tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này
Tôi xin trân trọng cảm ơn:
- Phòng đào tạo sau đại học trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán
trường ĐHSP Thái Nguyên.
- Các thầy cô giáo ở trường ĐHSP Hà Nội, trường ĐHSP Thái Nguyên,
đã hướng dẫn chúng tôi học tập trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
- Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp ở tổ toán cùng với các em học sinh

lớp 10A1, 10A2 trường THPT Việt Bắc tỉnh Lạng Sơn đã tạo điều kiện thuận
lợi giúp tôi hoàn thành đề tài của mình.
- Bạn bè và gia đình đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013
Tác giả luận văn


Phạm Thị Trà My

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

iv
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN vi
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích của đề tài 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Giả thuyết khoa học 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
6. Cấu trúc luận văn 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VIỆC DẠY HỌC PHƢƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 4
1.1. Kỹ năng giải toán 4
1.1.1. Kỹ năng 4

1.1.1.1. Khái niệm kỹ năng 4
1.1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng 5
1.1.1.3. Sự hình thành kỹ năng 5
1.1.2. Kỹ năng giải toán 6
1.1.2.1. Khái niệm 6
1.1.2.2. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT 6
1.1.2.3. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán 7
1.2. Dạy học bài tập toán học 8
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 8
1.2.2. Các yêu cầu đối với lời giải 9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

v
1.3. Bảng gợi ý của G.Polya 10
1.3.1. Quy trình bốn bước giải bài toán của G.Polya 10
1.3.2. Bảng gợi ý của G.Polya 10
1.4. Các bước giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 11
1.5. Thực tiễn dạy học Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 12
1.5.1. Mục đích yêu cầu của chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 12
1.5.2. Một số nhận xét về tình hình dạy học Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng tại một số trường THPT ở tỉnh Lạng Sơn 12
1.6. Một số yêu cầu về bài tập của chương tọa độ trong mặt phẳng 13
1.7. Tóm tắt chương 1 13
Chƣơng 2. VẬN DỤNG BẢNG GỢI Ý CỦA G.POLYA HƢỚNG DẪN HỌC
SINH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 15
2.1. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phương trình đường thẳng 15
2.2. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phương trình đường tròn 26
2.3. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán kết hợp phương trình đường thẳng
và đường tròn 42

2.4. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phương trình ba đường
cônic 49
2.5. Tóm tắt chương 2 57
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 58
3.1. Mục đích, nội dung, tổ chức thực nghiệm sư phạm 58
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 58
3.1.2. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 58
3.1.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm 58
3.1.4. Các giáo án thực nghiệm sư phạm 59
3.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 73
3.2.1. Đánh giá về nội dung 73

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

vi
3.2.2. Đánh giá về phương pháp dạy học khi thực nghiệm 73
3.2.3. Đánh giá về khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh 73
3.2.4. Kết quả kiểm tra 74
3.3. Tóm tắt chương 3 75
KẾT LUẬN 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

vi

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
[?]
:
Câu hỏi gợi ý của giáo viên

[!]
:
Dự đoán câu trả lời hoặc cách xử lý của học sinh
GV
:
Giáo viên
HS
:
Học sinh
NXB
:
Nhà xuất bản
PPDH
:
Phương pháp dạy học
SGK HH
10

:
Sách giáo khoa hình học 10
THPT
:
Trung học phổ thông
Tr
:
Trang



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Theo Luật Giáo dục Việt Nam năm 2005 [5]: phương pháp giáo dục cần
phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học
sinh. Từ đó, mục tiêu dạy học môn Toán là: Trang bị cho HS những tri thức, kĩ
năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực; Góp phần phát triển
năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS; Góp phần hình thành và
phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý
chí và thói quen tự học thường xuyên; Tạo cơ sở để HS tiếp tục học cao đẳng, đại
học, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” là một cách nghiên cứu hình học
- Đại số hóa các bài toán hình học. Nếu chỉ đơn giản là sử dụng các biểu thức
tọa độ để tính toán hoặc chỉ đọc, viết và giải các phương trình đường thẳng,
đường tròn thì không khó đối với HS. Song nếu phải kết hợp giữa nghiên cứu
hình học bằng phương pháp tiên đề (còn gọi là hình học tổng hợp) với phương
pháp tọa độ thì không dễ đối với HS.
G. Polya là một nhà Toán học, nhà sư phạm nổi tiếng, tác giả của những
cuốn sách "Giải bài toán như thế nào?", "Sáng tạo Toán học" và "Toán học và
những suy luận có lý". Trong quyển sách "Giải bài toán như thế nào?" Ông đã
có nhiều gợi ý hay để tìm lời giải bài toán. Những gợi ý đó đã giúp ích rất
nhiều cho những người làm toán.
Thực tiễn cho thấy có không ít giáo viên khi dạy giải bài tập toán học,
chỉ đưa ra lời giải không có sự phân tích để học sinh thấy được người ta đã nghĩ
như thế nào mà có được lời giải như thế. Đó mới là điều cần cho người học.
Đã có một số luận văn nghiên cứu về những đề tài xung quanh việc vận
dụng bảng gợi ý của G.Polya. Tuy nhiên việc vận dụng bảng gợi ý của G.Polya
mỗi người áp dụng cho một nội dung dạy học khác nhau. Chưa có đề tài nào

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
nghiên cứu vận dụng bảng gợi ý của Polya trong hướng dẫn học sinh tìm lời
giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng.
Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: Vận dụng bảng gợi ý của G.
Polya hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng.
2. Mục đích của đề tài
Đề xuất những hướng dẫn tìm lời giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng
theo bảng gợi ý của Polya một cách thích hợp giúp cho HS lớp 10 THPT có kĩ năng
giải toán tốt hơn, nâng cao chất lượng dạy học nội dung này ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về kĩ năng giải toán, PPDH giải bài tập toán học
- Phân loại, hệ thống hóa các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng, nhằm
thuận lợi cho việc đề xuất những hướng dẫn tìm lời giải bài toán theo bảng gợi
ý của Polya.
- Đề xuất những hướng dẫn một cách thích hợp giúp cho HS lớp 10
THPT có kĩ năng giải toán về tọa độ trong mặt phẳng tốt hơn.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng
theo bảng gợi ý của Polya một cách thích hợp thì không những giúp HS có kĩ
năng giải toán tốt hơn mà còn giúp HS học được cách suy nghĩ tìm phương
pháp giải toán dạng này ở trường THPT.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu các tài liệu lí luận về kĩ
năng giải toán, PPDH giải bài tập toán học.
- Phương pháp điều tra: Tiến hành tìm hiểu, điều tra về kĩ năng giải toán
về tọa độ trong mặt phẳng lớp 10 THPT.

- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số giáo án tại một số
trường THPT tỉnh Lạng Sơn nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
6. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn việc dạy học phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng
Chƣơng 2: Vận dụng bảng gợi ý của G.Polya hướng dẫn học sinh tìm lời
giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng
Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm
Kết luận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VIỆC DẠY HỌC PHƢƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1.1. Kỹ năng giải toán
1.1.1. Kỹ năng
1.1.1.1. Khái niệm kỹ năng
“Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đó
khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc
gì”.[1, tr.548].
Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi
người để đạt được mục đích. Kỹ năng còn có thể được đặc trưng như một thói
quen nhất định và là khả năng làm việc có phương pháp.

“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh đã nhận được. Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với
kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”.[19, tr.99].
Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng:
kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương
pháp,…) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức,
thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã
định. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động.
Trong thực tế dạy học học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức vào giải quyết các bài tập cụ thể. Nguyên nhân là học sinh không nắm
vững kiến thức về các khái niệm, các định lí, các quy tắc do đó không trở thành
cơ sở của kỹ năng. Bởi vậy để hình thành kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán
cho học sinh thì người thầy giáo cần tổ chức cho học sinh giải toán thông qua
các hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo. Từ đó học sinh có thể nắm vững tri
thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện
nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp
với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
1.1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
Khái niệm kỹ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau:
- Kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Bởi vì
cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mục đích – biết cách thức đi đến kết quả – hiểu
những điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi đó kiến thức phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động.
- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: kiến

thức, kỹ năng và phương pháp.
Trong thực tiễn giảng dạy chúng tôi nhận thấy có nhiều học sinh học
thuộc lý thuyết nhưng không vận dụng được lý thuyết đó vào bài tập, không
biết lựa chọn định lý nào phù hợp với bài toán mình cần giải. Nguyên nhân của
hiện tượng đó là kỹ năng chưa được hình thành.
1.1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
Việc hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống
phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng
trong các bài toán.
Để hình thành kỹ năng cho học sinh (chủ yếu là kỹ năng học và kỹ năng
tính toán) người thầy giáo cần giúp cho học sinh hình thành đường lối chung
(khái quát) để giải quyết các đối tượng, các bài toán cùng loại; Xác lập được
mối liên hệ giữa những bài toán khái quát và các kiến thức tương ứng.
Ví dụ 1: Khi rèn luyện kỹ năng lập phương trình tổng quát (phương trình
tham số) của đường thẳng cần chú ý cho học sinh phải tìm được một điểm
thuộc đường thẳng và vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ chỉ phương) của đường
thẳng đó. Chẳng hạn:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng
trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm
 
1; 2A 
và song song với đường thẳng
2 3 3 0xy  
;
b) Đi qua hai điểm

   
1; 1 , 3; 2MN
;
c) Đi qua điểm
 
2 ;1P
và vuông góc với đường thẳng
5 0.xy  

Những bài toán dạng này giúp cho học sinh củng cố kỹ năng tìm vectơ
pháp tuyến, vectơ chỉ phương để từ đó có thể lập được phương trình tổng quát,
phương trình tham số của đường thẳng.
Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông,
theo lý luận dạy học môn toán cần chú ý: “Trong khi dạy học môn toán cần
quan tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khác
nhau, đó là:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán;
- Kỹ năng vận dụng tri thức môn toán vào những môn học khác;
- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống”.[6, tr.19].
1.1.2. Kỹ năng giải toán
1.1.2.1. Khái niệm
Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do
đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện
hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó. Trong giải toán chúng tôi
quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh như sau: “Kỹ năng giải toán là khả
năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận,
chứng minh)” [3, tr.12].
1.1.2.2. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT
Tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ
năng khác nhau. Để thực hiện tốt môn toán ở trường THPT thì một trong những

yêu cầu được đặt ra là: “Về tri thức kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng.
Chẳng hạn: tri thức và kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, tri thức và
kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm…”.[7, tr.41].
Như vậy việc rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào
thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được những yêu cầu sau:
(1) Giúp học sinh hình thành, nắm vững những mạch kiến thức cơ bản
xuyên suốt chương trình phổ thông.
Trong môn toán có thể kể đến các kiến thức cơ bản sau:
- Các hệ thống số.
- Hàm số và ánh xạ.
- Phương trình và bất phương trình.
- Định nghĩa và chứng minh toán học.
- Ứng dụng toán học.
(2) Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ
Cụ thể là:
- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
(3) Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả các giờ học
toán, gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ
hình, vẽ đồ thị.
(4) Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: tính
cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.
1.1.2.3. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán

Hệ thống kỹ năng giải toán của học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết
làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong giải toán học sinh cần có nhóm kỹ năng sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
- Nhóm kỹ năng chung.
- Nhóm kỹ năng thực hành.
- Nhóm kỹ năng về tư duy.
1.2. Dạy học bài tập toán học
Nội dung mục này viết dựa theo tư liệu [6, tr.412-415].
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải bài tập,
học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và
thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán
học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt
động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và
phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện cả trên
3 bình diện này.
Thứ nhất trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường
phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó
thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những
chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn
Toán, cụ thể là:
+) Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ sảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
+) Phát triển năng lực trí tuệ; rèn luyện những hoạt động tư duy hình
thành những phẩm chất trí tuệ;

+) Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất của người lao động mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập là giá mang hoạt động
liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn
chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá
mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó
thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác các bài tập như vậy sẽ góp phần
tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học; Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,… Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,…
1.2.2. Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Như vậy là
bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc thực
hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có
thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp
nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
i) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian
ii) Lập luận chặt chẽ
iii) Lời giải đầy đủ
iv) Ngôn ngữ chính xác

v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật
vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất
vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) là các yêu cầu cơ bản; (v) là yêu cầu về
mặt trình bày, còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
1.3. Bảng gợi ý của G.Polya
1.3.1. Quy trình bốn bước giải bài toán của G.Polya
"Giải bài toán", theo G. Polya, không đơn thuần chỉ dừng lại ở việc tìm
ra đáp số, như nhiều học sinh thậm chí cả sinh viên vẫn thường hay hiểu, "Giải
bài toán" ở đây bao quát toàn bộ quá trình suy ngẫm, tìm tòi lời giải cũng như
lý giải nguyên nhân phát sinh bài toán, và cuối cùng là phát triển bài toán vừa
làm được, hoặc ít ra nêu ra những hướng đi mới trên cơ sở đã hiểu nguồn gốc
từ đâu bài toán phát sinh. Đây là những ý chính trong quyển sách "Giải bài
toán như thế nào?
Bước 1: Tìm hiểu bài toán
Bước 2: Tìm tòi lời giải bài toán
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Bước 4: Khai thác bài toán
1.3.2. Bảng gợi ý của G.Polya
Sau đây là những gợi ý cho việc tìm lời giải bài toán:
- Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi khác?
- Bạn có biết một định lý, một bài toán liên quan đến bài toán này không?
- Hãy xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ xem có bài toán nào có cùng cái
chưa biết không?
- Đây là bài toán mà bạn đã có lần giải nó rồi, bạn có thể áp dụng được gì ở
nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào mới áp dụng được?

- Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài toán và nếu cần hãy quay về các
định nghĩa?
- Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ dễ
hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn? Hãy giữ lại
một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào? Từ các điều đó
bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải bài toán? Với giả thiết nào thì
bạn có thể giải được bài toán này?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
- Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?
1.4. Các bƣớc giải bài toán bằng phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Để giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện theo các
bước sau:
Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục tọa độ phù hợp.
Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang tọa độ các điểm, phương trình
đường thẳng…Ta có thể gọi bước này là bước "phiên dịch" từ ngôn ngữ hình
học sang ngôn ngữ tọa độ.
Bước 3 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên.
Bước 4 : Kiểm tra đánh giá kết quả, chuyển ngôn ngữ tọa độ về ngôn
ngữ thông thường.
Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng
vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình
trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy,
thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc
giải toán bằng phương pháp tọa độ.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
2MA MB
.

Hướng dẫn
Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp
Chọn hệ trục tọa độ Đề-Các vuông góc
Oxy
như sau :
(0 ; 0); (1; 0)A O B

Bước 2: "Phiên dịch" bài toán sang ngôn ngữ tọa độ
Giả sử
( ; )M x y
, giả thiết MA = 2MB, tính MA và 2MB .
   
22
A M A M
MA x x y y   

   
22
22
B M B M
MB x x y y   

Bước 3: Dùng kiến thức tọa độ để giải toán

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
2 2 2 2
; (1 )MA x y MB x y    

Từ giả thiết
2MA MB
ta có :
 
2 2 2 2
2 2 2 2
22
2
2
2 (1 )
4 2 1
3 3 8 4 0
44
39
x y x y
x y x x y
x y x
xy
   
     
    

   



Bước 4: "Phiên dịch" kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học
thông thường
Kết luận: Vậy tập hợp các điểm
M

cần tìm là đường tròn tâm
4
;0
3
I



bán
kính
2
3
R 
.
1.5. Thực tiễn dạy học Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
1.5.1. Mục đích yêu cầu của chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Theo sách giáo viên hình học 10 Nâng cao [12, tr.85]:
“Học chương này học sinh phải đạt được các yêu cầu sau:
- Lập được phương trình của đường thẳng, đường tròn, đường cônic khi
biết các yếu tố xác định đường đó và ngược lại, từ phương trình của mỗi
đường, xác định các yếu tố đặc trưng của nó.
- Nhớ và vận dụng được các biểu thức tọa độ để biểu thị một cách chính
xác các sự kiện hình học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc đường, vị trí
tương đối giữa các đường, tính chất của đường cônic,… Từ tính chất và quan
hệ giữa các hình, củng cố được một số kiến thức đại số như bài toán biện luận
hệ phương trình bậc nhất, bậc hai,…” [12, tr.85].
1.5.2. Một số nhận xét về tình hình dạy học Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng tại một số trường THPT ở tỉnh Lạng Sơn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Thực tiễn dạy học cho thấy còn một số học sinh chưa hứng thú học tập
tọa độ trong mặt phẳng. Khi hỏi về nguyên nhân, các em này cho rằng dạng
toán này không có dạng hay, vì chỉ rập khuôn máy móc theo: các biểu thức tọa
độ, các phương trình đường thẳng, các công thức tính toán góc hoặc khoảng
cách. Cũng có những bài toán tổng hợp, nhưng với sự cho sẵn của hệ trục tọa
độ
Oxy
, nên chưa phát huy được khả năng sáng tạo cho bộ phận học sinh khá
giỏi biết vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo phương pháp tọa độ. Một số em
chưa hứng thú học tập chương này vì ít thấy ứng dụng vào thực tiễn.
Thực tiễn dạy học còn cho thấy: việc chỉ rõ qui trình chuyển hóa: ngôn
ngữ tọa độ - ngôn ngữ hình học - ngôn ngữ tọa độ là cần thiết. Nếu làm được
điều này sẽ khiến cho học sinh thấy rõ hơn ý nghĩa và vai trò của phương pháp
tọa độ, sử dụng được thế mạnh của đại số, gây hứng thú học tập cho học sinh.
1.6. Một số yêu cầu về bài tập của chƣơng tọa độ trong mặt phẳng
Bằng cách đưa vào mặt phẳng một hệ trục tọa độ, mỗi vectơ, mỗi điểm
trên mặt phẳng đó đều được xác định bởi tọa độ của nó. Khi đó chúng ta có thể
chuyển nhiều bài toán hình học sang bài toán đại số và ngược lại, từ kết quả của
đại số suy ra được một số tính chất và mối quan hệ giữa các hình hình học.
“Nội dung của chương này bao gồm những kiến thức đơn giản nhất, cơ
bản nhất của bộ môn Hình học giải tích phẳng. Có thể tạm phân nội dung thành
hai mảng:
+) Diễn đạt bằng tọa độ những đối tượng hình học quen thuộc: đường
thẳng, đường tròn và biểu thị qua tọa độ các tính chất, quan hệ đơn giản giữa
các hình đó.
+) Lập phương trình chính tắc của elip, hypebol, parabol và từ các
phương trình đó xét tính chất của mỗi đường. SGK cũng đề cập đến một số tính
chất chung của ba đường: elip, hypebol, parabol để đi đến khái niệm về đường

cônic.” [12, tr.85- 86].
1.7. Tóm tắt chƣơng 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Môn toán là một môn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các
năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện óc tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ.
Trong chương trình Toán phổ thông, các bài toán về tọa độ trong mặt
phẳng tương đối hay và tương đối khó. Vì vậy việc tìm ra phương pháp dạy học
tích cực phù hợp với nội dung dạy học sẽ giúp học sinh hứng thú học Toán
hơn, hiểu sâu, hiểu kỹ vấn đề hơn.
Quá trình giải bài tập toán nói chung, bài tập hình học nói riêng góp phần
quan trọng vào việc rèn luyện tư duy độc lập, sáng tạo cũng như nhiều phẩm
chất tốt đẹp của người học: tính tích cực, tinh thần kiên trì vượt khó.
Thực tiễn dạy học nội dung “Phương pháp Tọa độ trong mặt phẳng” ở
trường phổ thông cho thấy còn tồn tại nhiều vấn đề cần được giải quyết.
Các nội dung được đề xuất ở chương sau sẽ góp phần khắc phục những
vấn đề trên.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Chƣơng 2
VẬN DỤNG BẢNG GỢI Ý CỦA G.POLYA HƢỚNG DẪN HỌC SINH
TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Bảng gợi ý của G.Polya rất tổng quát, có thể áp dụng chung cho mọi bài
toán. Những điều trình bày sau là những minh họa chỉ ra sự vận dụng trong

những dạng toán cụ thể.
2.1. Hƣớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phƣơng trình đƣờng thẳng
Ví dụ 3: (Bài 20 – tr90 – SGK HH
10
– Nâng cao)
Cho hai đường thẳng
12
: 2 3 0, :3 2 0.x y x y       
Viết phương
trình đường thẳng đi qua điểm
 
3;1P
và cắt
1

,
2

lần lượt ở
A
,
B
sao
cho

tạo với
1

,
2


một tam giác cân có cạnh đáy là
AB
.
Hướng dẫn:
- Vẽ hình

[?]: Tạm thời bỏ điều kiện "

đi qua
P
", viết phương trình đường thẳng

để
tạo ra
ABC
cân tại
C
như thế nào (
12
C   
)?
[!]: Chỉ cần lấy điểm
1
'A 
và điểm
2
'B 
sao cho
''CA CB

là đường
thẳng
''AB
thỏa mãn điều kiện này.
[?]: Sau khi đã dựng được đường thẳng
''AB
thì đường thẳng

cần dựng,
thỏa mãn thêm điều kiện "đi qua
P
" sẽ dựng thế nào?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
[!]:

qua
P
và
// ' 'AB
hoặc có thể dựng đường thẳng đi qua
P
, vuông góc
với đường phân giác góc tạo bởi
1

,
2


hoặc là dựng đường thẳng qua
P
, tạo
với
1

,
2

các góc bằng nhau.
Tóm tắt lời giải:
Cách 1:
Phương trình hai đường phân giác góc
 
12
,
là:

2 3 3 2
0
5 10
x y x y   

hay
   
2 3 2 2 1 3 2 2 0.xy     


2 3 3 2

0
5 10
x y x y   

hay
   
2 3 2 2 1 3 2 2 0.xy     

Suy ra hai đường thẳng qua
P
, vuông góc với hai đường phân giác trên,
có phương trình là:

 
 
 
 
2 2 1 3 2 3 1 0xy     
hay
 
   
1 2 3 1 0xy    
.

 
 
 
 
2 2 1 3 2 3 1 0xy     
hay

 
   
1 2 3 1 0xy    
.
Cách 2:
Gọi
 
;n a b

là vectơ pháp tuyến của đường thẳng

cần tìm. Khi đó:
   
   
12
2 2 2 2
23
;;
5 10
a b a b
a b a b

      



 
 
12
2 2 3

1 2 .
ab
a b a b
ab



    




Cho
1 1 2ba   
. Vậy có hai đường thẳng
 
   
: 1 2 3 1 0xy     
và
 
   
': 1 2 3 1 0xy     
thỏa mãn yêu
cầu bài toán.
Cách 3:
Ta có
1 11
;
77
C





. Lấy
1
3
' 0 ;
2
A




và tìm
 
2
' ;3 2B x x 
sao cho
''CA CB
suy ra
'B
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Đường thẳng qua
P
, có vectơ chỉ phương

''AB

có phương trình là:
 
   
: 1 2 3 1 0xy     
và
 
   
': 1 2 3 1 0xy     
.
Ví dụ 4: (Bài 13 – tr85 – SGK HH
10
– Nâng cao)
Trên đường thẳng
: 2 0xy   
, tìm điểm
M
cách đều hai
điểm
 
0 ; 4E
và
 
4 ; 9F 
.
Hướng dẫn:
- Vẽ hình

[?]:

 
M 
thì tọa độ
M
có dạng gì? Liên hệ giữa tung độ và hoành độ của
M
?
[!]: Tọa độ
 
;2M x x
hoặc đưa phương trình đường thẳng

về dạng tham
số
2
xt
yt





thì
 
;2M t t
.
[?]: Điều kiện
ME MF
gợi ra điều gì?
[!]: Sử dụng công thức khoảng cách hai điểm hoặc

M
thuộc đường trung trực
của
EF
.
Tóm tắt lời giải:
Cách 1:
Đưa phương trình của

về dạng tham số
.
2
xt
yt





Vì
 
; 2 .M M t t  

Từ điều kiện
ME MF
dẫn tới phương trình:
     
2 2 2
2
2 4 11t t t t     

.

2 2 2 2
4 4 8 16 121 22t t t t t t t         
.

18 133 0  t
133
.
18
  t


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
Tọa độ của điểm
M
là
133 97
;.
18 18





Cách 2:
Phương trình đường trung trực
d

của đoạn thẳng
EF
đi qua trung điểm
5
2;
2
I




, có vectơ pháp tuyến
 
4 ; 13EF 

là:
 
5 81
4. 2 13. 0 4 13 0
22
x y x y

       


.
Tọa độ của điểm
M
là nghiệm của hệ phương trình:
20

133 97
( ; ).
81
18 18
4 13 0
2
xy
M
xy
  


  

  



Ví dụ 5: (Trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A năm 2005)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
1
:0d x y
và
2
:2 1 0d x y  
. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A
thuộc
1
d
, đỉnh C thuộc

2
d
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Hướng dẫn:
- Vẽ hình