SKKN Ứng dụng hệ thức Viét và ..

Phần I - Đặt vấn đề

1. Lí do chọn đề tài:
a) Cơ sở lí luận:

Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dỡng và phát triển trí
tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá trình dạy học là nội dung
của việc đổi mới phơng pháp dạy học.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phơng pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức
đã học vào giải toán thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học đợc trang bị cho học sinh
THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phơng pháp giải một số bài
toán, nhng để nắm vững cách giải 1 dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến
thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã
tích luỹ đợc để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông qua việc giải bài tập các em đợc rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máy
tính bỏ túi, đồ dùng dạy học. Do đó nâng cao năng lực t duy, óc tởng tợng, sáng tạo, rèn khả năng
phán đoán, suy luận của học sinh.

b) Cơ sở thực tiễn:

Các bài toán ứng dụng hệ thức Vi ét có một vị trí quan trọng trong chơng trình dạy học
toán THCS. Học sinh vận dụng những ứng dụng của hệ thức Vi - ét nh: Nhẩm nghiệm của phơng
trình bậc hai trong các trờng hợp a + b + c = 0 ; a - b + c = 0 , hoặc các trờng hợp mà tổng và tích của
hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn. Tìm đợc hai số biết tổng và
tích của chúng. Biết cách biểu diễn tổng các bình phơng, các lập phơng của hai nghiệm qua các hệ
số của phơng trình còn lúng túng, khó khăn trong quá trình vận dụng vào giải các bài toán có liên
quan.
Các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi - et rất phơng phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vận
dụng nhiều kiến thức, cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy
bén, giúp học sinh phát triển t duy.
Những ứng dụng của hệ thức Vi ét đối với học sinh THCS là khó và mới các em thờng

gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này; có những bài toán các em không biết bắt
đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chơng trình đã học? Làm thế nào để tìm đợc giá trị của
tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán ấy? Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo
dục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một
công việc cụ thể trong cuộc sống sau này.
Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng nh
trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua một số năm giảng dạy toán THCS đợc giao công tác bồi dỡng học sinh lớp 9 tôi rất
quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này. Với thời
gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:

Những ứng dụng của hệ thức Vi ét

2) Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu:
a, Đối tợng nghiên cứu:
Là học sinh lớp 9
b, Phơng pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9, sách nâng cao.
- Các đề thi vào các trờng THPT, các chuyên đề đại số.

PHần II - giải quyết vấn đề

A. Một số vấn đề lí thuyết:

1) Hệ thức Vi ét:

- Nếu x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 )
thì

b

x1 + x2 = a

x .x = c
1 2 a

Mở rộng: - Nếu phơng trình bậc ba: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a 0 ) có 3 nghiệm là x1 ; x2 ; x3

1


thì

b

x
+
x
+
x
=

1
2
3

a

c

x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 =
a

d

x1.x2 x3 = a


( I)

Và ngợc lại nếu 3 số x1 ; x2 ; x3 là thỏa mãn hệ thức ( I ) thì x1 ; x2 ; x3 là nghiệm của phơng

trình bậc ba ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a 0 )
+) Hệ quả 1: Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có a + b + c = 0
thì phơng trình có một nghiệm x1 = 1 còn nghiệm kia là x2 =
+) Hệ quả 2: Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có a - b + c = 0

c
.
a
c
a

thì phơng trình có một nghiệm x1 = 1 còn nghiệm kia là x2 = .
+) Hệ quả 3: Nếu phơng trình ax 3 + bx 2 +cx + d = 0 ( a 0 ) có nghiệm x0
thì phơng trình phân tich đợc thành ( x-x 0 ) . ( Ax 2 +Bx + C ) = 0
+) Có nghiệm x = 1 nếu a + b + c + d = 0
+) Có nghiệm x = 1 nếu a b + c d = 0

2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phơng
trình bậc hai:
x 2 Sx + P = 0
Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm của phơng trình:

( x - u ) .( x - v ) = 0

x 2 - ( u+v ) x + u.v = 0

x 2 - Sx + P = 0

Nh vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm đợc hai số đó thông qua việc giải phơng trình
bậc hai. Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P 0

3. Vị trí tơng đối của đờng thẳng y = mx + n ( m 0 ) ( d ) và đồ thị hàm số y = ax 2 ( a 0 ) ( P )
- Số giao điểm của đờng thẳng y = mx + n ( m 0 ) và đồ thị hàm số y = ax 2 ( a 0 )

y = ax 2
là nghiệm của hệ phơng trình
y = mx + n
- ( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt phơng trình ax 2 mx n = 0 có 2 nghiệm phân biệt
- ( d ) tiếp xúc với ( P ) tại 1 điểm phơng trình ax 2 mx n = 0 có 1 nghiệm kép.

- ( d ) không cắt

( P ) (không có điểm chung)

phơng trình ax 2 mx n = 0 vô nghiệm.

4. Khái niệm về giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất:

Cho hàm số f ( x) xác định trên miền D
1) m đợc gọi là một giá trị lớn nhất ( GTLN ) của f ( x) trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện
sau đây:
a, f ( x) m với x D
b, x0 D sao cho f ( x0 ) = m ; Kí hiệu m = max f ( x) , x D
2) m đợc gọi là một giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) của f ( x) trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện
sau đây:
a, f ( x) m với x D
b, x0 D sao cho f ( x0 ) = m ; Kí hiệu m = min f ( x) , x D

2


Với x2 0 [ f (x)] 2n 0 với x R, n Z

[ f (x)] 2n + M



M (M là giá trị nhỏ nhất)

M - [ f (x)] 2n M (M là giá trị lớn nhất)

Hoặc

*Hệ quả:
- Nếu x > 0, y > 0 và x.y = k 2 (không đổi) thì tổng x + y đạt GTNN x = y

- Nếu x > 0, y > 0 và x + y = k 2 (không đổi) thì tích x.y đạt GTLN x = y
B. một số ví dụ về những ứng dụng của hệ thức Vi- ét

I. Dạng I: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai
ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) khi biết các hệ số a; b; c.
2
Hệ quả 1: Nếu phơng trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có a + b + c = 0

thì phơng trình có một nghiệm x1 = 1 còn nghiệm kia là x2 =
2
Hệ quả 2: Nếu phơng trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có a - b + c = 0

c
.
a

thì phơng trình có một nghiệm x1 = - 1 còn nghiệm kia là x2 = 3
2
Hệ quả 3: Nếu phơng trình ax + bx +cx + d = 0 ( a 0 ) có nghiệm x0

c
.
a

thì phơng trình phân tich đợc thành ( x-x 0 ) . ( Ax 2 +Bx + C ) = 0
+) Có nghiệm x = 1 nếu a + b + c + d = 0
+) Có nghiệm x = 1 nếu a b + c d = 0

Chú ý: Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có x1 + x2 =

b
c
và x1 x2 = thì x1 , x2 là hai
a
a

nghiệm của phơng trình
1. Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phơng trình ( Bài 31 - SGK Toán 9 - Trang 54)
a) - 5x 2 + 3x + 2 = 0
b) 2008x 2 + 2009 x + 1 = 0

(

)

c) 3x 2 - 1 - 3 x - 1 = 0

Hớng dẫn cách giải:

d) ( m - 1) x 2 - ( 2m + 3) x + m + 4 = 0

- Muốn giải phơng trình trên ta làm nh thế nào ?
- Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phơng trình này
- Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm các nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x1 = 1
còn nghiệm kia là x2 =

c
hoặc a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x1 = 1 còn nghiệm
a

c
a

kia là x2 = .
- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi ét vào nhẩm nghiệm của phơng trình
bậc hai các em đã trình bày lời giải nh sau:
Giải:
a) - 5x2 + 3x + 2 = 0 (a = - 5; b = 3; c = 2)
2
5

Vì a + b + c = ( 5 ) + 3 + 2 = 0 phơng trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = .
b) 2008x 2 + 2009 x + 1 = 0 (a = 2008; b = 2009; c = 1)

Vì a - b + c = 2008 - 2009 + 1 = 0 phơng trình có hai nghiệm là: x1 = 1 ; x2 =

3

1
.
2008


(

)

c) 3x 2 - 1 - 3 x - 1 = 0

(

{a =

(

}

)

3; b = - 1 - 3 ; c = - 1

)

Vì a b + c = 3- - 1 - 3 + ( - 1) = 0


1 1
phơng trình có hai nghiệm là: x1 = 1 ; x2 =
ữ=
3
3

2
d) ( m - 1) x - ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( a = ( m - 1) ;b = - ( 2m + 3) ; c = m + 4 )

Với m 1 ta có a + b + c = ( m - 1) + - ( 2m + 3) + ( m + 4 ) = 0

phơng trình có hai nghiệm là: x1 = 1 ; x2 =

m+4 m+4

.
=
m 1 m 1

2. Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm các phơnh trình sau:
a, x2 + 7x + 12 = 0
d, x2 12x + 35 = 0

b, x2 - 7x + 12 = 0
c, x2 -11x + 28 = 0
2
e, x + 10x + 21 = 0
Giải
a, Ta có (-3) + (-4) = -7 và (-3)(-4) = 12 nên phơng trình có hai nghiệm là x1 = -3; x2 = -4
b, Ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên phơng trình có hai nghiệm là x1 = 3; x2 = 4
Các phần c,d,e tơng tự học sinh có thể nhẩm.
Sau khi tính đợc nghiệm của phơng trình xong tôi đã yêu cầu các em sử dụng máy tính bỏ túi
Casio giải phơng trình để kiểm tra các nghiệm vừa tìm đợc ở phần a và b.

Lu ý:
- Khi giải một phơng trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi et để tính nhẩm nghiệm
của phơng trình nếu có thể. Nếu không tính nhẩm đợc nghiệm của phơng trình thì ta mới dùng
công thức nghiệm để giải.
- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi et và tính toán cho phép tính nhanh chóng nghiệm
của phơng trình.
3. Ví dụ 3: Giải phơng trình
a) 5x 3 - 6x 2 + 8x - 7 = 0

Hớng dẫn cách giải:

b) 2x 3 + x 2 + 4x +5 = 0

Hãy vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm các nghiệm của phơng trình bậc ba
ax 3 + bx 2 +cx + d = 0 ( a 0 )
+) Có nghiệm x = 1 nếu a + b + c + d = 0
+) Có nghiệm x = 1 nếu a b + c d = 0

- Khi đó các em trình bày lời giải nh sau:

Giải:
a) 5x 3 - 6x 2 + 8x - 7 = 0 có tổng các hệ số a + b + c + d = 5 - 6 + 8 - 7 = 0
nên phơng trình có nghiệm x = 1 khi đó phơng trình 5x 3 - 6x 2 + 8x - 7 = 0
( 5x 3 - 5x 2 ) - ( x 2 - x ) + ( 7x - 7 ) = 0

5x 2 . ( x - 1) - x. ( x - 1) + 7. ( x - 1) = 0

( x - 1) . ( 5x 2 - x + 7 ) = 0
( 1)
x - 1 = 0
2
5x - x + 7= 0 ( 2 )
+) Giải phơng trình ( 1) x - 1= 0 x =1
+) Giải phơng trình ( 2 ) 5x 2 - x + 7 = 0
Ta có = ( 1) 2 4.5.7 = 1 140 = 139 < 0
phơng trình ( 2 ) có vô nghiệm




Vậy phơng trình có nghiệm x = 1

b) 2x 3 + x 2 + 4x +5 = 0 có a - b + c - d = 2 - 1 + 4 - 5 = 0

4


nên phơng trình có nghiệm x = 1 khi đó phơng trình 2x 3 +x 2 + 4x +5 = 0


( 2x + 2x ) - ( x
3

2

2

+ x ) + ( 5x +5 ) = 0

2x 2 . ( x + 1) - x. ( x + 1) + 5. ( x + 1) = 0


( x + 1) ( 2x 2 -

x+5 )=0

( 1)
x + 1 = 0
2
2x - x + 5 = 0 ( 2 )
+) Giải phơng trình ( 1) x + 1 = 0 x = - 1
+) Giải phơng trình ( 2 )

2x 2 - x + 5 = 0

Ta có = ( 1) 2 4.2.5 = 1 40 = 39 < 0
phơng trình ( 2 ) vô nghiệm

Vậy phơng trình có nghiệm x = 1

Nh vậy:

- Qua 2 ví dụ trên tôi đã hớng dẫn cho học sinh cách giải phơng trình bằng cách vận dụng hệ
thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai và phơng trình bậc ba một ẩn.
- Chú ý trong quá trình giải phơng trình chúng ta nên vận dụng linh hoạt hệ thức vi ét để
nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai bậc ba một ẩn.
4. Ví dụ 4: Giải phơng trình x 4 + ( x +1) ( 5x 2 - 6x - 6 ) = 0
Giải:
Nhận thây x = - 1 không là nghiệm của phơng trình nên ta chia 2 vế của phơng trình cho ( x +1) 2
2

2
2
ta đợc phơng trình: x ữ + 5. x ữ 6 = 0
x +1
x +1
2
Đặt y = x ta dợc phơng trình y 2 + 5y 6 = 0
x +1
bằng phơng pháp nhẩm nghiệm ta tính đợc y1 = 1 và y2 = 6
x2
2

= 1 x = 1. ( x + 1) x 2 x 1 = 0
x +1
Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm x1 = 1 + 5 ; x2 = 1 5
2
2
2
+) Với y2 = 6 x = 6 x 2 = 6 ( x + 1) x 2 + 6 x + 6 = 0
x +1
Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm x3 = 3 + 3 ; x4 = 3 3

+) Với y1 = 1

Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm x1 = 1 + 5 ; x2 = 1 5 ; x3 = 3 + 3 ; x4 = 3 3
2

2

Qua ví dụ 3 tôi đã hớng dẫn cho học sinh cách giải phơng trình bằng cách vận dụng hệ thức Vi
- ét vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai một ẩn và hớng dẫn cách biến đổi linh hoạt
(đặt ẩn phụ) để đa phơng trình bậc 4 về phơng trình bậc hai một ẩn có thể nhẩm nghiệm đợc
qua đó các em đợc rèn luyện kĩ năng biến đổi và trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả năng
phân tích, dự đoán. . .

Phơng pháp chung:
- Vận dụng các hệ quả của hệ thức Vi ét để tính nhẩm các nghiệm của phơng trình bậc hai,
bậc ba. Hoặc các phơng trình đa đợc về dạng cơ bản để tinh nhẩm nghiệm.

II. Dạng II: ứng dụng của hệ thức Vi et vào việc tìm 2 số khi biết tổng và tích của
chúng:
5

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của
phơng trình bậc hai:

1. Ví dụ 1:

( SGK Toán 9 - Trang 52)

x 2 - Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P 0

a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5.
Hớng dẫn cách giải: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
x1 + x2 = 27
. Nếu áp dụng hệ thức Vi et đảo thì x1 và x2
x1.x2 = 180

Tức là ta cần tìm 2 số x1 và x2 biết

là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai x 2 - 27x + 180 = 0 ta có lời giải nh sau:
Giải:

a) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 27 và tích bằng 180
Nên 2 số là nghiệm của phơng trình: x 2 - 27x + 180 = 0
Ta có: = 27 2 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0 = 9 = 3
phơng trình có 2 nghiệm

x1 =

27 + 3
= 15 ;
2

x2 =

27 3
= 12
2

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
b) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 1 và tích bằng 5, Nên 2 số là nghiệm của phơng trình:
x2 - x + 5 = 0
Ta có: = ( -1) 2 - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < 0

phơng trình trên vô nghiệm

Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài.
Khai thác ví dụ 1 tôi nêu ra ví dụ sau:

2. Ví dụ 2:

a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m 2
b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm 2
Hớng dẫn cách giải - Bài toán cho biết gì ? cần tìm gì?
2. ( a + b ) = 100
.
ữ

ữ


- Nếu gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì? .
a.b = 621

a + b = 50
thì a và b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai nào? ( x 2 - 50x + 621 = 0 )
a
.
b
=
621


- Vậy

Với gợi ý trên tôi cho các em thảo luận 5 phút và đại diện 1 em trình bày lời giải.
Giải:

2. ( a + b ) = 100
a + b = 50

a.b = 621
a.b = 621
2
Nên a và b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai: x - 50x + 621 = 0
phơng trình có 2 nghiệm x1 = 27 ; x2 = 23

a) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phơng trình:

Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 27 (m ) và 23 (m).

2. ( a + b ) = 20
a + b = 10

a.b = 32
a.b = 32
Nên a và b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai: x 2 - 10x + 32 = 0
Ta có: ' = ( 52 ) 1.32 = 7 < 0 phơng trình vô nghiệm

b) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phơng trình

Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32 cm 2.
Lu ý: Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, ta áp dụng hệ thức Vi et để đa về
dạng phơng trình bậc hai một ẩn rồi giải.

III. Dạng III: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc giải hệ phơng trình đối xứng.
1. Khái niệm hệ phơng trình đối xứng:

Một phơng trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì phơng trình
không thay đổi.
Ví dụ: Phơng trình đối xứng x + y + xy = 11 y + x + yx = 11

6


x 2 + y 2 = 25

y 2 + x 2 = 25

Một hệ phơng trình đợc gọi là hệ đối xứng loại I nếu nó gồm những phơng trình đối xứng.
x 2 + y 2 = 25
y 2 + x 2 = 25
Ví dụ: Hệ phơng trình đối xứng loại I: 2 2
2
2
x + y xy = 13
y + x yx = 13

2. Cách giải hệ phơng trình đối xứng loại I.

+) Biểu diễn từng phơng trình qua x + y ; xy
+) Đặt S = x + y ; P = xy ta đợc hệ phơng trình mới chứa các ẩn S và P
+) Giải hệ phơng trình tìm S và P
+) Các số x và y là nghiệm của phơng trình t 2 St + P = 0 (Vận dụng hệ thức Vi et đảo- Tìm
2 số khi biết tổng và tích của chúng)
(Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phơng trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn S2 4 P 0 )
Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phơng trình theo tham số t từ đó suy ra
nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phơng trình.
Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình
5 ( x + y ) + 2 xy = 19
( x + y ) + 3 xy = 35

x 2 xy + y 2 = 7
x + y = 5

a)

b)

x2 y 2
= 18
+
c) y x
x + y = 12


x 3 + y 3 = 7
d)
( x + y ) xy = 2

Hớng dẫn cách giải:

5 ( x + y ) + 2 xy = 19
( x + y ) + 3 xy = 35

- Em có nhận xét gì về hệ phơng trình

- Muốn giải hệ phơng trình trên ta làm nh thế nào ?
(GV nêu cách làm bằng cách đặt ẩn phụ S = x + y và P = x. y khi đó các em thảo luận và trình
bày lời giải nh sau)
Giải:
5 ( x + y ) + 2 xy = 19
Đặt S = x + y và P = x. y ta có hệ phơng trình
x
+
y

+
3
xy
=

35
(
)


a)

5S + 2 P = 19
15S + 6 P = 57
13S = 13
S = 1
S = 1





S + 3P = 35
2S + 6 P = 70
S + 3P = 35
1 + 3P = 35
P = 12
x + y = 1 theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai 2

X X 12 = 0 giải

x
.
y
=

12

phơng trình này ta đợc 2 nghiệm là X 1 = 4 và X 2 = 3 .

Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( 4; 3) và ( 3; 4 ) .
- Hoặc các em có thể biến đổi trực tiếp hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số (không đặt
ẩn
x + y = 1
từ đó áp dụng hệ thức vi- ét để giải hệ phơng trình tìm x; y.
x. y = 12

phụ) ta cũng tính đợc
b)

x 2 xy + y 2 = 7

x + y = 5

( x 2 + 2 xy + y 2 ) 3 xy = 7

x + y = 5

( x + y ) 2 3 xy = 7
52 3 xy = 7

x + y = 5
x + y = 5

xy = 6

x + y = 5

Theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai X 2 5 X + 6 = 0
Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm là X 1 = 3 và X 2 = 2 .

7


Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( 3; 2 ) và ( 2;3) .
c)

x2 y 2
= 18
+
x
y
x + y = 12


( x + y ) 3 3 xy ( x + y ) = 18 xy

x + y = 12

x 3 + y 3 = 18 xy

x + y = 12

123 3 xy.12 = 18 xy
54 xy = 1728


x + y = 12
x + y = 12

xy = 32

x + y = 12

theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai t 2 12t + 32 = 0
Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm là t1 = 4 và t2 = 8 .
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( 4;8 ) và ( 8; 4 ) .

( x + y ) 3 3 xy ( x + y ) = 7
( x + y ) 3 3. ( 2 ) = 7
x 3 + y 3 = 7
x + y = 1
d)



xy = 2
( x + y ) xy = 2
( x + y ) xy = 2
( x + y ) xy = 2

theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai: t 2 t 2 = 0
(1)
vì a - b + c = 1- ( -1) + ( -2 ) = 0 nên phơng trình (1) có nghiệm 2 là t1 = 1 và t2 = 2 .

Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( 1; 2 ) và ( 2; 1) .

x = a
x = b
thì nó cũng có nghiệm
y = b
y = a

Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm

Chúng ta cần lu ý điều này để không bỏ xót nghiệm của hệ phơng trình.

Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình
x + y + xy = 5

x 4 + y 4 = 17
2
2
x + y + xy = 3

a)

b)

2
2

x + y + xy = 7

Hớng dẫn cách giải:

x + y + xy = 5

- Muốn giải hệ phơng trình

2
2
x + y + xy = 7

x 2 + x + y 2 + y = 18
x ( x + 1) y ( y + 1) = 72

c)

ta làm nh thế nào ?

- Học sinh nêu cách làm là biến đổi hpt về dạng tổng và tích của x và y bằng cách đặt S = x + y
S + P = 5

và P = x. y ta có hệ pt

2
S S 12 = 0

rồi giải hệ phơng trình này.

- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi et vào nhẩm nghiệm của ph ơng

trình bậc hai các em đã trình bày lời giải nh sau:
Giải:

xy = 5 ( x + y )
( x + y ) + xy = 5
x + y + xy = 5


2


2
2
2
x + y + xy = 7
( x + y ) xy = 7
( x + y ) 5 ( x + y ) = 7
xy = 5 ( x + y )

Đặt S = x + y và P = x. y
2
( x + y ) ( x + y ) 12 = 0
S + P = 5
S + P = 5
Ta có hệ phơng trình 2

S = 3; S = 4
S S 12 = 0

a)

x + y = 3
theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của
xy = 2

+) Với S = 3 P = 2 ta có

phơng trình bậc hai t 2 3t + 2 = 0 (1)
vì a + b + c = 1+ ( -3) + 2= 0 nên phơng trình (1) có nghiệm 2 là t1 = 1 và t2 = 2 .

Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( 1; 2 ) và ( 2;1) .

8


x + y = 2
theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của
xy = 3

+) Với S = 2 P = 3 ta có

phơng trình bậc hai t 2 2t + 3 = 0 (2)
Giải pt (2) ta có ' = ( 1) 2 1.3 = 1 3 = 2 < 0 nên phơng trình (2) vô nghiệm

Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( 1; 2 ) và ( 2;1) .
Tôi gợi ý đối với hpt này ta biến đổi vế trái của hpt thành tổng của x 2 + y 2 ; xy khi đó ta có lời giải
nh sau:
( x 2 + y 2 ) 2 2 ( xy ) 2 = 17
4
4

x + y = 17

b) 2 2
Đặt S = x 2 + y 2 ; P = xy

2
2
x + y + xy = 3
( x + y ) + xy = 3
S 2 2. ( 9 6 S + S 2 ) = 17
S 2 2 ( 3 S ) 2 = 17
S 2 2 P 2 = 17
Ta có hệ phơng trình


P = 3 S
S + P = 3
P = 3 S
S 2 18 + 12 S 2 S 2 = 17


P = 3 S
Giải phơng trình S 2 12 S + 35 = 0 ( 1) ta đợc S1 = 7

S 2 12S + 35 = 0 ( 1)

( 2)
P = 3 S
; S2 = 5

x + y = 7
(I)
xy = 4

+) Với S1 = 7 P1 = 4 ta có

theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai t 2 7t 4 = 0 (3)
Giải phơng trình (3) ta có = ( 7 ) 2 4.1. ( 4 ) = 49 + 16 = 65 > 0 nên phơng trình (3) có 2
nghiệm phân biệt t1 = ( 7 ) + 65 = 7 + 65 ; t2 = ( 7 ) 65 = 7 65
2.1

2
2.1
7 + 65 7 65
hệ phơng trình (I) có 2 nghiệm là
;
ữ và
2
2 ữ


x + y = 5
+) Với S 2 = 5 P2 = 2 ta có
( II )
xy = 2

2
7 65 7 + 65
;

ữ.
2
2 ữ



theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai t 2 5t 2 = 0 (4)
Giải phơng trình (4) ta có = ( 7 ) 2 4.1. ( 4 ) = 49 + 16 = 65 > 0 nên phơng trình (4) có 2 nghiệm
phân biệt t3 = ( 5 ) + 33 = 5 + 33 ; t4 = ( 5 ) 33 = 5 33
2.1

2

2.1
2
5 + 33 5 33
5 33 5 + 33
và
hệ phơng trình ( II ) có 2 nghiệm là
;
;
ữ

ữ
ữ
ữ.
2
2
2
2

Vậy hệ phơng trình có 4 nghiệm là:
7 + 65 7 65
;

ữ
ữ;
2
2



7 65 7 + 65 5 + 33 5 33
5 33 5 + 33
;
;
;
và
;

ữ

ữ

ữ
ữ 2

ữ
ữ.
2
2
2
2
2





2
2
x ( x + 1) + y ( y + 1) = 18 ( 1)
x + x + y + y = 18
c)

x ( x + 1) y ( y + 1) = 72
x ( x + 1) y ( y + 1) = 72 ( 2 )
Từ ( 1) ; ( 2 ) và áp dụng hệ thức Vi - et suy ra x ( x+1) ; y ( y+1) là nghiệm của phơng trình bậc hai:
t 2 18t + 72 = 0 t1 = 6; t2 = 12

9


x ( x+1)

y ( y+1)
x ( x+1)

Giải hệ phơng trình ( I ) :
y ( y+1)

Khi đó xảy ra hai trờng hợp

=6
= 12

x ( x+1) = 12
( II )

y ( y+1) = 6

( I)

=6

x 2 + x 6 = 0
2
= 12
y + y 12 = 0
x = 2
x = 3
giải hệ phơng trình này ta đợc 2 nghiệm:
v
y = 3
y = 4

x ( x+1) = 12
( II )

Giải hệ phơng trình
y ( y+1) = 6

2
x + x 12 = 0
2
y + y 6 = 0
x = 3
x = 4
giải hệ phơng trình này ta đợc 2 nghiệm :
v
y = 2
y = 3

Vậy hệ phơng trình có 4 nghiệm là; ( 2;3) ; ( 3; 4 ) ; ( 3; 2 ) ; ( 4; 3) .
Nhận xét: Bài toán nhìn vào rất phức tạp nhng chỉ biến đổi đôi chút và vận dụng linh hoạt
hệ thức Vi ét về tổng và tích của 2 số x +y và x.y nhng nhìn nhận các số là x ( x + 1) và
y ( y + 1) ta sẽ đa đợc hệ phơng trình về dạng đơn giản hơn đó là hệ hai phơng trình bậc hai,

mỗi phơng trình bậc hai một ẩn.
Phơng pháp chung:
- Nh vậy từ những bài toán giải hệ phơng trình đối xứng loại I rất phức tạp xong nếu biết biến đổi
linh hoạt và vận dụng hệ thức Vi - et về tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ta sẽ đ a bài
toán trở về dạng đơn giản hơn từ đó tìm đợc nghiệm của hệ phơng trình.
- Khi giải hệ phơng trình mà vế trái là những đa thức đối xứng thì ta có thể coi các ẩn đó là
nghiệm của một phơng trình rồi sử dụng hệ thức Vi - et để thiết lập phơng trình mới này. Nghĩa
là ta đã chuyển việc giải hệ phơng trình n ẩn về giải một phơng trình bậc n một ẩn, nếu phơng
trình này giải đợc thì đó là nghiệm của hệ n phơng trình đã cho.
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: Giải hệ phơng trình

x + y + xy = 2

a)

2
2
x + y + xy = 4

đ/s

{ ( x; y ) } = { ( 0; 2 ) ; ( 2;0 ) }

1 1

x + y + x + y = 4

c)
đ/s
x2 + y2 + 1 + 1 = 4

x2 y2

{ ( x; y ) } = { ( 1;1) }

x y + y x = 30

b)

x x + y y = 35

{ ( x; y ) } = { ( 4;9 ) ; ( 9; 4 ) }

( x 2 + y 2 ) ( x + y ) = 3

d) 2 2
( x y ) ( x y ) = 15

{ ( x; y ) } = { ( 1; 2 ) ; ( 2;1) }

2. Bài 2: Giải hệ phơng trình
x 2 + y xy = 3
a) 2
y + x xy = 3

x 4 + y 4 x 2 y 2 = 13
b) 2 2
( x + y ) xy = 3

IV. Dạng IV: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc tính giá trị biểu thức đối xứng của
các nghiệm tìm điều kiện để 2 nghiệm liên hệ với nhau theo một hệ thức cho trớc.
1. Ví dụ 1: Cho phơng trình x 2 + 4 x + 1 = 0 ( 1)
a) GiảI phơng trình ( 1)

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ( 1) . Tính giá trị của biểu thức: B = x13 + x23

Hớng dẫn cách giải:

- Khi tôi nêu ví dụ các em đã nhanh chóng vận dụng công công thức nghiệm để giải ph ơng
trình tìm đợc nghiệm đối với phần a.

10


- Đối với biểu thức B = x13 + x23 ta có thể vận dụng hằng đẳng thức tổng của hai lập phơng
A3 + B3 = ( A + B ) ( A2 AB + B 2 ) ; A3 + B3 = ( A + B ) 3 AB ( A + B ) hoặc thay vào trực tiếp để
3

tính. Khi đó các em có thể trình bày lời giải nh sau
Giải:
2
a) Xét phơng trình x + 4 x + 1 = 0 ( 1)
Ta có: ' = 22 1.1 = 4 1 = 3 > 0

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = 2 + 3 = 2 + 3 và x2 = 2 3 = 2 3
1
1
Vậy phơng trình có nghiệm x1 = 2 + 3 ; x2 = 2 3
x1 + x2 = 4
x1.x2 = 1

b) áp dụng đinh lí Vi ét ta có:

Khi đó B = x13 + x23 = ( x13 + 3x12 .x1 + 3 x1 x22 + x23 ) ( 3x12 .x1 + 3x1 x22 )
=

(x

1

+ x2 ) 3x1 .x2 ( x1 + x2 )

3

= ( 4 ) 3 3.1. ( 4 ) = 64 + 12 = 52
Vậy B = x13 + x23 = 52
Hoặc học sinh có thể thay trực tiếp x1 = 2 + 3 ; x2 = 2 3 vào biểu thức B

(

) (
3

) (

) (

3

ta có B = x13 + x23 = 2 + 3 + 2 3 = 8 + 12 3 18 + 3 3 + 8 12 3 18 3 3
Vậy

)

= 8 + 12 3 18 + 3 3 8 12 3 18 3 3 = 52
B = x13 + x23 = 52

2. Ví dụ 2:

Cho phơng trình ( ẩn x): x 2 - 2x - 2m = 0 .
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: ( 1 + x12 ) ( 1 + x 22 ) = 5 .

Hớng dẫn cách giải: - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm ( 0 ) (hoặc a.c < 0).

Sau đó áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng và tích của 2 nghiệm. Kết hợp với điều kiện (hệ thức) giảI hệ
phơng trình gồm điều kiện với tổng và tích các nghiệm chúng ta tìm đợc tham số thỏa mãn điều kiện bài
toán ta có lời giảI nh sau:

Giải:
a) Xét phơng trình x 2 - 2x - 2m = 0
Ta có: ' = ( 1) 2 1.2m = 1 + 2m
Để phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ' > 0

1 + 2m > 0 m > -

1
2

- Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 2 và x1 x2 = -2m
- Để phơntg trình có 2 nghiệm thoả mãn điều kiện ( 1 + x12 ) ( 1 + x 22 ) = 5
x12 + x22 + x12 x22 + 1 = 5 ( x1 + x2 ) 2 x1 x2 + x12 x22 = 4 ( *)
2

m = 0

Thay x1 + x2 = 2 và x1 x2 = -2m vào ( *) có 4 + 4m + 4m 2 = 4 4m + 4m 2 = 0
m = 1
Kết hợp với m >

1
ta có m = 0 thỏa mãn.
2

Vậy m = 0 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn ( 1 + x12 ) ( 1 + x 22 ) = 5 .
3. Ví dụ 3: Cho phơng trình 2 x 2 9 x + 6 = 0 gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giảI phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

11


a) x1 + x2 ; x1.x2

b) x13 + x23
c) x1 + x1
2
2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x1 x2 và x22 x1 là nghiệm.
Giải:
2
a) Xét phơng trình 2 x 9 x + 6 = 0
- Ta có: = ( 9 ) 2 4.2.6 = 81 48 = 33 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
9

x1 + x2 = 2
9
- áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
Vậy x1 + x2 = ; x1.x2 = 3
2
x .x = 6 = 3
1 2

2
3

2
2
3
3
b) Ta có: x1 + x2 = ( x1 + 3x1 .x1 + 3 x1 x2 + x23 ) ( 3x12 .x1 + 3x1 x22 )

=

(x

1

+ x2 ) 3x1 .x2 ( x1 + x2 )
3

3

= 9 ữ 3.3. 9 = 729 + 81 = 405
2
2
8
2
8


Vậy giá trị biểu thức x13 + x23 =

405
8

9

x1 + x2 = 2
c) Ta có:
x1 > 0; x2 > 0 ;
x .x = 6 = 3
1 2 2
Đặt A = x1 + x1 ( A > 0)
A2 =

(

x1 + x1

)

2

x1 > 0;

x2 > 0 ;

x1.x2 > 0 ;

x1 + x2 > 0

= x1 + 2 x1 . x2 + x2 = ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2

A2 = 9 + 2 3 = 9 + 4 3
2

2

( Vì A > 0 )

A = 9+4 3
2
7+2 2
2
Chú ý: Để tính đợc tổng A + B thì ta cần chứng minh đợc điều kiện để tồn tại các căn thức

Vậy

x1 + x1 =

và áp dụng công thức sau để tính hoặc bình phơng biểu thức đó để tính theo tổng và tích các
nghiệm của phơng trình bậc hai

+)

A+ B =

( A + B) + 2

+) A A + B B =

(

AB

)

A + B . ( A + B ) AB

+) A B + B A = AB .

(

A+ B

)

4. Ví dụ 4: Cho phơng trình x ( m + 4 ) x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)
2

a) Xác định m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn x13 + x23 0

Hớng dẫn cách giải:

- Đối với phần a) các em hiểu phơng trình có 1 nghiệm bằng 2 có nghĩa là x = 2 từ đó các em
thay x = 2 vào phơng trình để tìm m từ đó tìm đợc nghiệm còn lại
- Đối với phần b) các em đã biết áp dụng hệ thức Vi - et tính tổng và tích các nghiệm, thay vào
biểu thức x13 + x23 0 từ đó tính đợc m3 + 3m 2 + 3m + 28 0 nhng các em (có thể không) phân

12


tích đợc m3 + 3m 2 + 3m + 28 0 thành ( m 2 m + 7 ) ( m + 4 ) 0 để tìm đợc m tôi đã gợi ý sử dụng
1
2

1
2

máy tính Casio để tìm đợc nghiệm x1 = 4 ; x2 = + 2598076211i ; x3 = 2598076211i từ đó
phân tích đợc thành ( m 2 m + 7 ) ( m + 4 ) 0 bằng cách áp dụng tính chất

(Nếu x = a là một nghiệm của đa thức f ( x ) khi đó f ( x ) M( x a ) hay f ( x ) = ( x a ) .Q ( x ) )
Giải:
2
a) Để phơng trình x ( m + 4 ) x + 3m + 3 = 0 có 1 nghiệm bằng 2
22 ( m + 4 ) .2 + 3m + 3 = 0

4 2m 8 + 3m + 3 = 0 m = 1
Vì x1 + x2 = m + 4 2 + x2 = 1 + 4 x2 = 3
Vậy m = 1 và x2 = 3

b) Xét phơng trình x 2 ( m + 4 ) x + 3m + 3 = 0

Ta có: = ( m + 4 ) 4.1. ( 3m + 3) = m2 + 8m + 16 12m 12 = m2 4m + 4 = ( m 2 ) 2 0
để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì 0 ( m 2 ) 2 0 m 2
2

x1 + x2 = m + 4
x1.x2 = 3m + 3

- áp dụng hệ thức Vi et ta có:

Khi đó x13 + x23 0 ( x13 + 3x12 x2 + 3x1 x22 + x23 ) ( 3x12 x2 + 3x1 x22 ) 0
( x1 + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 0

( *)
Thay x1 + x2 = m + 4; x1.x2 = 3m + 3 vào ( *) ta đợc ( m + 4 ) 3 3 ( 3m + 3) ( m + 4 ) 0
3

m3 + 12m 2 + 48m + 64 9m 2 9m 36m 36 0
m3 + 3m 2 + 3m + 28 0
( m3 + 4m 2 ) ( m 2 + 4m ) + ( 7 m + 28 ) 0


(m

2

m + 7) ( m + 4) 0
2

2

Mà m m + 7 = m 1 ữ + 27 > 0 ( m R ) vì m 1 ữ 0 ( m R )
2
4
2


( m + 4 ) 0 m 4
2

Vậy với m 4 và m 2 thì phơng trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn x13 + x23 0 .

5. Ví dụ 5:

Cho phơng trình: mx 2 2mx + 1 = 0 ( m là tham số)
1. Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm và tính các nghiệm của phơng trình theo m .
2. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Giải:
2
1) - Để phơng trình mx 2mx + 1 = 0 ( *) có nghiệm
' 0 m 2 m 0 m ( m 1) 0

m 1

m 0

- Khi đó phơng trình ( *) có 2 nghiệm phân biệt x = m + m ( m 1) ; x = m m ( m 1)
1
2
m

m
x1 + x2 = 2

2
2) áp dụng hệ thức Vi - et cho phơng trình mx 2mx + 1 = 0 ( *) ta có
1
x1.x2 = m

- Để phơng trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, giả sử x1 = 2 x2

13

1
1


2 1
2 x2 .x2 =
2 x2 .x2 =
2 x2 =
khi đó ta có hệ phơng trình :
m
m
m
2 x2 + x2 = 2
2 x2 + x2 = 2
3x2 = 2
2 2 1
9
8 1

=
m=
2 ữ =


m 1

8
m 9 m

3
( thỏa mãn điều kiện
)


m 0
x = 2
x = 2
x = 2
2 3
2 3
2 3
9
Vậy với m = thì phơng trính có 2 nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
8
Hoặc các em có thể thay trực tiếp 2 nghiệm vừa tìm đợc và cho x1 = 2 x2 từ đó ta cùng tìm

đợc giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.
6. Ví dụ 6:
Cho phơng trình x 2 2 ( m + 1) x + 2m 15 = 0
1) Giải phơng trình khi m = 0
2) Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để phơng trình có nghiệm thỏa mãn
x2 + 5 x1 = 4

Hớng dẫn cách giải:
Đối với phần 2 ta cần tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm từ đó áp dụng hệ thức Vi - et
tính tổng và tích các nghiệm x1, x2 của phơng trình, và kết hợp với điểu kiện bài toán x2 + 5 x1 = 4
x1 + x2 = 2m + 2

rồi giải hệ phơng trình x1.x2 = 2m 15 từ đó tìm đợc giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.

x + 5x = 4
1
2

Giải:
1) Thay m = 0 vào phơng trình ta đợc x 2 2 x 15 = 0
Giải phơng trình này ta đợc x1 = 5 và x2 = 3
Vậy với m = 0 thì phơng trình có nghiệm x1 = 5 và x2 = 3 .
2) Xét phơng trình x 2 2 ( m + 1) x + 2m 15 = 0 ( *)
Ta có: ' = ( m + 1) 1. ( 2m 15 ) = m 2 + 2m + 1 2m + 15 = m 2 + 16 > 0 ( m )
2

vì m 2 0 ( m R ) phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

x1 + x2 = 2m + 2 ( 1)
x1.x2 = 2m 15 ( 2 )

+) áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình ( *) ta có

Để phơng trình ( *) có nghiệm thỏa mãn điều kiện x2 + 5 x1 = 4 ( 3)
x1 + x2 = 2m + 2

x2 + 5 x1 = 4

Từ ( 1) và ( 3) ta có hệ phơng trình

x1 + x2 = 2m + 2

x2 + 5 x1 = 4

1 m
1 m


x1 = 2
x1 = 2
x1 + x2 = 2m + 2



1

m
5 x1 + x2 = 4

x = 5m + 3
+ x2 = 2m + 2
2
2
2
1 m
5m + 3
1 m 5m + 3
Thay x1 =
; x2 =
vào phơng trình ( 2 ) ta đợc phơng trình:
.
= 2m 15
2
2

2
2
( 1 m ) . ( 5m + 3) = 4 ( 2m 15 )

14


5m 5m 2 + 3 3m = 8m 60
5m 2 + 6m 63 = 0
21
Giải phơng trình này ta đợc m1 = 3 ; m2 =
5
21
Vậy với m = 3 ; hoặc với m =
thì phơng trình ( *) có nghiệm thỏa mãn x2 + 5 x1 = 4
5
1
7. Ví dụ 7: Cho hàm số y = x 2 có đồ thị là (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình y = x + m .
2
1 1
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 thỏa mãn 2 + 2 = 2
x1 x2

Hớng dẫn cách giải:
Đối với bài toán này ta cần vận dụng điều kiện để Parabol và đờng thẳng cắt nhau tại 2

điểm phân biệt. (

( d) :

( P) :

y = mx + n cắt

y = ax 2 tại 2 điểm phân biệt phơng trình

ax 2 mx n = 0 có 2 nghiệm phân biệt). Khi đó các em đã biết áp dụng hệ thức Vi - et tính tổng và
1

1

tích các nghiệm x1, x2 của phơng trình: x 2 2 x 2m = 0 , thay vào biểu thức 2 + 2 = 2 từ đó tìm
x1 x2
đợc m thỏa mãn điều kiện bài toán, ta có lời giải nh sau.
Giải:
1 2
x = x+m
2
x 2 2 x 2m = 0 (1)

- Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:

- Để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ' > 0 1 + 2m > 0 m >
- Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 2 và x1 x2 = -2m
1 1
Để 2 + 2 = 2
x1 x2

x12 + x22
2 2 =2

x1 x2

(x


1
2

+ x2 ) 2 x1 x2
2

= 2 (*)
x12 x22
4 + 4m
Thay x1 + x2 = 2 và x1 x2 = -2m vào (*) ta có
= 2 1 + m = 2m 2
4m 2
2m 2 m 1 = 0 ( **)
1

- Vì a + b + c = 2+ ( -1) + ( 1) = 0 nên phơng trình ( **) có nghiệm m1 = 1 ; m2 =

1
2

1 1
1
thì phơng trình có nghiệm thỏa mãn 2 + 2 = 2 .
x1 x2
2

1
8. Ví dụ 8: Cho parabol ( P ) có đỉnh ở gốc toạ độ O và đi qua điểm A 1; ữ .
4

1) Viết phơng trình của parabol ( P ) .

Vậy với m1 = 1 ; m2 =

2) Viết phơng trình đờng thẳng ( d ) song song với x + 2 y = 1 và đi qua điểm B(0; m) . Với giá trị

nào của m thì ( d ) cắt parabol ( P ) tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho 3 x1 + 5 x2 = 5 .
Giải:
a) Vì Parabol ( P ) có đỉnh ở gốc tọa độ O ( 0; 0 ) nên ( P ) có dạng y = ax 2 ( a 0 )



1

1
4

Vì ( P ) đi qua điểm A 1; ữ nên ta có = a.12 a =
4


15

1
4

1
4

Vậy phơng trình của ( P ) là : y = x 2
1
2

1
2

b) Ta có: x + 2 y = 1 y = x + . Giả sử phơng trình đờng thẳng ( d ) là y = ax + b
1

a=

1
1

2
- vì đờng thẳng y = ax + b song song vói đờng thẳng y = x +

2
2
b 1

2
Mà đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm B(0; m) ta có m = a.0 + b b = m
1
1

Vậy phơng trình đờng thẳng ( d ) là y = x + m với m ữ
2
2

- Để đờng thẳng ( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm có hoành độ x1 và x2
1
1
phơng trình hoành độ giao điểm x 2 = x + m có 2 nghiệm x1 và x2
4
2
2
phơng trình x 2 x + 4m = 0 ( *) có 2 nghiệm x1 và x2
1
4
x + x = 2 ( 1)
- áp dụng hệ thức Vi- et cho phơng trình ( *) ta có 1 2
( 2)
x1 x2 = 4m
Để phơng trình ( *) có nghiệm thỏa mãn điều kiện 3 x1 + 5 x2 = 5 ( 3)

Khi đó ' = ( 1) 2 1.4m 0 1 4m 0 m

x1 + x2 = 2m + 2
x + x = 2m + 2
1 2
x2 + 5 x1 = 4
x2 + 5 x1 = 4
5

x1 =

x
+
x
=
2
5
x
+
5
x
=
10
2
x
=
5




2
2
1 2
1
1

3 x1 + 5 x2 = 5
3 x1 + 5 x2 = 5

x1 + x2 = 2
x = 1
2
2
5 1
5
1
Thay x1 = ; x2 = vào phơng trình ( 2 ) ta đợc
. ữ = 4m
2 2
2
2
5
5
1
4m = m =
(thỏa mãn điều kiện m )
4
16
4
5
Vậy với m =
thì phơng trình ( *) có nghiệm thỏa mãn 3 x1 + 5 x2 = 5
16

Từ ( 1) và ( 3) ta có hệ phơng trình

Chú ý: Trong bài tập trên ta đã vận dụng điều kiện để đờng thẳng và parabol cắt nhau tại 2
điểm phân biệt (Đờng thẳng ( d ) : y = mx + n cắt Parabol ( P ) : y = ax 2 tại 2 điểm phân biệt
phơng trình ax 2 mx n = 0 có 2 nghiệm phân biệt) và hệ thức Vi - et để tính tổng và tích các

nghiệm để tính đợc giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.
9. Ví dụ 9: Gọi x1 ; x2 x3 ; x4 là tất cả các nghiệm của phơng trình:
Tính x1.x2 .x3 .x4
( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) ( x + 8) = 1
Giải:
- Xét phơng trình ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) = 1 ( 1)
( x + 2 ) ( x + 8 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) = 1
x 2 + 10 x + 16 x 2 + 10 x + 24 - 1 = 0
y ( y + 8) - 1 = 0

y2 + 8 y - 1 = 0

16

Đặt x 2 + 10 x + 16= y

( 2)


Ta có: ' = 42 1.1 = 16 1 = 15 > 0 ' = 15
phơng trình ( 2 ) có nghiệm y1 = 4 + 15 ; y2 = 4 15
+) Với y1 = 4 + 15 x 2 + 10 x + 16 = 4 + 15 x 2 + 10 x + 20 15 = 0 ( 3)

(

)

Xét phơng trình ( 3) ta có '3 = 52 20 15 = 5 + 15 > 0
phơng trình ( 3) có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 x1.x2 = 20 15

+) Với y2 = 4 15 x 2 + 10 x + 16 = 4 15 x 2 + 10 x + 20 + 15 = 0 ( 4 )

(

)

Xét phơng trình ( 4 ) ta có '3 = 52 20 + 15 = 5 15 > 0
phơng trình ( 4 ) có 2 nghiệm phân biệt x3 ; x4 x3 .x4 = 20 + 15

(

)(

)

Khi đó x1.x2 .x3 .x4 = ( x1.x2 ) . ( x3 .x4 ) = 20 15 20 + 15 = 202

(

15

)

2

= 400 15 = 385

Vậy x1.x2 .x3 .x4 = 385
Nhận xét: Trong bài tập này phơng trình đã cho có bậc 4 xong nếu ta vận dụng linh hoạt và
sáng tạo hệ thức Vi et để tính tích các nghiệm x1 . x2 và x3 . x4 từ đó ta có thể tính đợc giá trị

biểu thức x1.x2 .x3 .x4 .
10. Ví dụ 10: Cho phơng trình x 2 2 ( m 1) x 4 = 0
Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình. Hãy tìm m để x1 + x2 = 5 .
Giải:
2
+) Xét phơng trình x 2 ( m 1) x 4 = 0 ( *)
Vì a.c =1. ( -4 ) = 4 < 0

( m R )

phơng trình ( *) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi giá trị của m
x1 + x2 = 2m 2
x1.x2 = 4

+) áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình ( *) ta có

+) Để phơng trình ( *) có nghiệm thỏa mãn điều kiện x1 + x2 = 5


(x

1

)

+ x2

2

2

= 52
2

x1 + 2 x1 x2 + x2 = 25
x12 + 2 x1 x2 + x2 2 = 25

mà x1.x2 = 4 < 0 2 x1.x2 = 2 x1.x2

x12 2 x1 x2 + x2 2 = 25


(x



( x1 + x2 ) 4 x1 x2 = 25
2
( 2m 2 ) 4. ( 4 ) = 25
2m 2 8m 5 = 0 ( **)




2
1

+ 2 x1 x2 + x2 2 ) 4 x1 x2 = 25
2

Giải phơng trình ( **) ta đợc m1 = 4 + 26 ; m2 = 4 26
2

2

Vậy với m = 4 + 26 hoặc m = 4 26 thì phơng trình ( *) có nghiệm thỏa mãn điều kiện
2

2

x1 + x2 = 5

Chú ý: Trong bài tập trên ta đã vận dụng công thức A = B A2 = B 2 với ( A; B 0 ) ;
2
A . B = AB ; A = A2 để biến đổi và kết hợp vận dụng hệ thức Vi et thì ta có thể tìm đ ợc
các giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.

17


Phơng pháp chung:
Nh vậy trong bài toán tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn điều kiện của các nghiệm đối xứng
hoặc liên hệ với nhau theo một hệ thức nào đó chúng ta cần làm nh sau:
+) Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm ( 0 ) (hoặc a.c < 0).
+) áp dụng hệ thức Vi ét để tính tổng và tích của 2 nghiệm.
+) Kết hợp với điều kiện ( hệ thức) giải hệ phơng trình gồm điều kiện với tổng và tích các
nghiệm chúng ta tìm đợc tham số thỏa mãn điều kiện bài toán.
+) So sánh với điều kiện có nghiệm để (trả lời) kêt luận bài toán.

Bài tập áp dụng:

1. Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol y = x 2 (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
y = 2 ( a - 1) x + 5 - 2a ; (a là tham số)
1. Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
2. Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) là x1, x2. Tìm a để x12 + x 22 = 6.
2. Bài 2: Cho phơng trình x 2 6 x + 1 = 0 gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình
Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
1) x12 + x22

2) x1 x1 + x2 x2

(

) (

Bài 3: Cho phơng trình x 2 3 3 + 2 x

x12 + x22 + x1 x2 ( x1 + x2 )

3)

)

x12 ( x12 1) + x22 ( x22 1)

( 1)

5 +1 = 0

Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình ( 1) . Tính giá trị của biểu thức:

(

)

S = x12009 + x22009 3 3 + 2 ( x12008 + x22008 )

(

)

5 1 ( x12007 + x22007 )

4. Bài 4: Cho phơng trình x 2mx + 2m 3 = 0
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
5. Bài 5: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình: y = 2x2, một đờng thẳng (d)
có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I ( 0; 2 ) .
1) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
2) CMR: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
3) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là xA, xB . CMR: x A - x B 2
2

6. Bài 6: Cho hàm số: y = x 2 (P) và y = 3x + m 2
(d)
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2) Gọi y1 và y2 là tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P). Tìm m để y1 +y 2 = 11y1 y2 .
2
7. Bài 7: Cho parabol (P): y = x và đờng thẳng (d): y = mx - m + 2 (m là tham số).

2

1. Tìm m để đờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng x = 4.
2. CMR đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với m R .
3. Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ giao điểm của (d) và (P). CMR: y1 + y 2 2 2 1 ( x1 + x 2 )
8. Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc
đồ thị (P) của hàm số y = ax 2 và điểm B không thuộc (P).
a) Tìm hệ số a và vẽ (P).
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2
điểm A và B. Xác định tọa độ giao điểm thứ
hai của (P) và đờng thẳng AB.
9 Bài 9. Cho phơng trình ( 2m 1) x 2 + 2mx + 1 = 0

(

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng ( 1;0 )
b) Xác định m để 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x 2 x 2 = 1
1

2

18

)


10 Bài 10. Cho phơng trình: ( x 2 + 3 x ) ( x 2 + x - 2 ) = m
1) Giải phơng trình khi m = 2
2) Tìm m là để phơng trình có 4 nghiệm x1 ; x2; x3 ; x4 thỏa mãn

1 1 1 1
+ + + =8
x1 x2 x3 x4

V. Dạng V. ứng dụng hệ thức Vi ét vào việc lập phơng trình bậc hai có chứa hai biểu
thức là 2 nghiệm của phơng trình.
1. Ví dụ 1: Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là:
a, 1 và

1
2

c, 3 5 và 3 + 5

b, 1 5 và 1 + 5

2

Hớng dẫn cách giải:
- Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ta làm ntn?

2

(Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P
thì hai số u và v là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x 2 - Sx + P = 0 ; Đ/K S 2 4 P )

Giải:
1 3
1 1

a, Ta có S = 1 + = và P = 1 ì = .
2 2
2 2
3
1
Do đó phơng trình cần lập là x 2 x + = 0 hay 2 x 2 3 x + 1 = 0
2
2
Vậy phơng trình cần tìm là 2 x 2 3 x + 1 = 0
b, Ta có S = 1 5 + 1 + 5 = 2 và P = 1 5 1 + 5 = 1 5 = 4

(

) (

)

(

)(

)

Do đó ta có phơng trình là x 2 2 x 4 = 0
Vậy phơng trình cần tìm là x 2 2 x 4 = 0
c, Ta có S = 3 5 + 3 + 5 = 3 5 + 3 + 5 = 3
2

2

(

)(

2

)

( )

32 5
3 5 3+ 5 3 5 3+ 5
P =
=
ữ
ữ
ữ.
ữ=
4
4
2 2
Do đó ta có phơng trình bậc hai: x 2 3 x + 1 = 0
Vậy phơng trình cần tìm là: x 2 3 x + 1 = 0

2

=

95
=1

4

Nhận xét: Để lập đợc phơng trình bậc hai có 2 nghiệm nhận 2 số cho trớc là nghiệm thì
ta vận dụng hệ thức Vi et đảo (tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng) ta làm nh sau:
- Bớc 1: Tính tổng và tích của hai số đó.
- Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phơng trình cần lập.
2. Ví dụ 2: Cho phơng trình 2 x 2 7 x + 4 = 0 x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x1 + x2 ; x1.x2
b) x13 + x23
2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x12 x2 và x22 x1 là nghiệm.
Giải:
1) Xét phơng trình 2 x 2 7 x + 4 = 0
Ta có: = ( 7 ) 2 4.2.4 = 49 32 = 17 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
7

x1 + x2 =
áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
2
x1.x2 = 2

b) Ta có: x13 + x23 = ( x13 + 3x12 .x1 + 3 x1 x22 + x23 ) ( 3x12 .x1 + 3x1 x22 ) =

19

(x

1

+ x2 ) 3 x1 .x2 ( x1 + x2 )

3


3

= 343 42 = 343 168 = 175
= 7 ữ 3.2. 7 ữ
8
2
8
8
2
2
175
Vậy x13 + x23 =
8
2) Đặt u = x12 x2 và v = x22 x1

Ta có: u + v = ( x12 x2 ) + ( x22 x1 ) = x12 + x22 - ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) 2 2 x1 x2 - ( x1 + x2 )
2

49
7 49 16 + 14 47
= 7 ữ 2.2 + 7 =
4+ =
=
4
2
4
4

2
2

u+v =

47
4

Mà: u . v = ( x12 x2 ) . ( x22 x1 ) = x12 .x22 - ( x13 + x23 ) - x1.x2 = ( x1 x2 ) - ( x13 + x23 ) - x1.x2
2

175
175 16 175 159
159
- 2 = 2
u.v =
=
=
8
8
8
8
8
47
159
Vì 2 số u và v có tổng u + v =
và tích u. =
.
4
8

47
159
Nên u ; v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai: X 2 X
=0
4
8
47
159
Vậy phơng trình cần tìm là: X 2 X
=0
4
8
3. Ví dụ 3: Cho phơng trình 2 x 2 9 x + 6 = 0 gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình
Xác định phơng trình bậc hai nhận 2 x1 3 x2 và 2 x2 3 x1 là nghiệm.

= 22 -

Giải:
- Xét phơng trình 2 x 2 9 x + 6 = 0
- Ta có: = ( 9 ) 2 4.2.6 = 81 48 = 33 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
9

x1 + x2 =
áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
2
x1.x2 = 3

Đặt u = 2 x1 3 x2 và v = 2 x2 3 x1

- Ta có: u + v = ( 2 x1 3x2 ) + ( 2 x2 3x1 ) = 2 x1 3x2 + 2 x2 3 x1 = - ( x1 + x2 ) =

9
9
u+v =
2
2

- Mà: u.v = ( 2 x1 3x2 ) . ( 2 x2 3x1 ) = 4 x1 .x2 - 6 ( x12 + x22 ) - 9 x1.x2 = 7 x1.x2 6 ( x1 + x2 )
2

= 7.3 9 ữ = 21 81 = 84 81 = 3
4
4
4
2
Vì 2 số u và v có tổng u + v =

u.v =

3
4

7
3
và tích u. v = .
2
4

Nên u; v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:
Vậy phơng trình cần tìm là:

2

X2

X2

7
3
X =0
2
4

7
3
X =0
2
4

4. Ví dụ 4: Gọi y1 và y2 là hai nghiệm của phơng trình: y 2 + 5y +1 = 0 . Tìm a; b sao cho phơng
trình x 2 + ax + b = 0 có hai nghiệm là: x1 = y12 + 3y 2 và x 2 = y 2 2 + 3y1 .
Giải:
2
- Xét phơng trình y + 5y +1 = 0
Ta có: = 52 4.1.1 = 25 4 = 21 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt y1 ; y2
y1 + y2 = 5
Đặt x1 = y12 +3y 2 và x 2 = y 2 2 + 3y1
y1. y2 = 1

- áp dụng đinh lí Vi ét ta có:

20


- Ta có: x1 + x 2 = ( y12 + 3y 2 ) + ( y 22 + 3y1 ) = ( y12 + y 2 2 ) + ( 3y1 + 3y 2 )

= ( y1 + y 2 ) 2y1 y 2 + 3 ( y1 + y 2 ) = ( 5 ) 2.1 + 3. ( 5 ) = 8
2

2



x1 + x 2 = 8

Mà: x1.x 2 = ( y12 + 3y 2 ) . ( y 2 2 + 3y1 ) = ( y1y 2 ) + 3 ( y13 + y32 ) + 9y1y 2
2

= ( y1 y 2 ) + 3 ( y1 +y 2 ) 9y1 y 2 ( y1 +y 2 ) + 9y1 y 2
2

3

=12 + 3 ( -5 ) 9.1( -5 ) + 9.1=1-125 + 45 + 9 = 70
3

x1.x 2 = 70

Vì 2 số x1 ; x2 có tổng x1 + x 2 = 8 và tích x1.x 2 = 70
Nên x1 ; x2 là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:

X 2 8 X 70 = 0
Vậy phơng trình cần tìm là: X 2 8 X 70 = 0
5. Ví dụ 5: a) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn:
x1
x
a2 7
+ 2 = 2
x1 1 x2 1 a 4

và

x1 . x 2 = 4

3 5
3+ 5

b) Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là :

Hớng dẫn cách giải:
- Đối với phần a thì ta đã biết đợc tích của hai số x1. x 2 = 4 nên ta cần tính x1 + x 2 = ?
-

ta có lời giải nh sau.

Giải:

x1
x
a 7
+ 2 = 2

x1 1 x2 1 a 4
2

a) Ta có:


x1
x
a2 7
+ 2 = 2
x1 1 x2 1 a 4

Từ đó tôi hớng dẫn cho học sinh tìm tổng x1 + x 2 = ? từ biểu thức

( 1)

x1 ( x2 1) + x2 ( x1 1) a 2 7
= 2
a 4
( x1 1) ( x2 1)



2 x1 x2 ( x1 + x2 )
a2 7
x1 x2 x1 + x1 x2 x2 a 2 7
= 2
= 2

x1 x2 ( x1 + x2 ) + 1 a 4

x1 x2 x1 x2 + 1
a 4

8 ( x1 + x2 ) a 2 7
=

5 ( x1 + x2 ) a 2 4



8 ( x1 + x2 )
a2 7
= 2
4 ( x1 + x2 ) + 1 a 4

8 ( x1 + x2 ) ( a 2 4 ) = 5 ( x1 + x2 ) ( a 2 7 )

3 ( x1 + x2 ) = 3a 2 + 3 x1 + x2 = a 2 + 1

Điều kiện: S 2 4 P 0 ( a 2 + 1) 4 0 a 2 3 0 a 3 hoặc a 3

Vậy là nghiệm của phơng trình: X 2 ( a 2 + 1) X + 4 = 0 với a 3 hoặc a 3



Nhận xét: Để lập đợc phơng trình bậc hai khi biết tích hai ẩn và hệ thức ( 1) thì ta cần
tìm tổng của hai ẩn để áp dụng định lí Vi et.

b) Phơng trình bậc hai cần tìm có dạng tổng quát x 2 + px + q = 0 ( 2 ) với
Ta có:

3 5
=
3+ 5

(

(

3 5

3+ 5

)(

)

( p; q Z )

2

3 5

=

8 2 15

) ( 3) ( 5)
2

=

2

(

8 2 15
= 4 + 15
2

)

(

)

Vì phơng trình ( 2 ) có một nghiệm là : 4 + 15 ta có: 4 + 15 + p 4 + 15 + q = 0
2

31 8 15 + p 15 4 p + q = 0


( 31 4 p + q ) ( 8 p )

15 = 0

31 4 p + q
31 4 p + q
Z
(vô lí) Vì 15 R ;

8 p
8 p
+) Nếu 8 p = 0 tức là p = 8 q = 1

+) Nếu 8 p 0

15 =

21


Cho nên phơng trình cần tìm là: x 2 + 8 x + 1 = 0
Nhận xét: Khi lập phơng trình bậc hai khi biết trớc một nghiệm và các hệ số là số nguyên.
Ta cần thay nghiệm của phơng trình vào phơng trình ban đầu và xét các hệ số nguyên đó.
Phơng pháp chung:
+) Muốn lập phơng trình bậc hai có nghiệm là hai số cho trớc ta làm nh sau:
- Bớc 1: Tính tổng và tích của hai số đó.
- Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phơng trình cần lập. ta tính tổng và tích
của chúng rồi áp dụng hệ thức Vi ét đảo để xác định phơng trình cần lập.
+) Trong trờng hợp phơng trình bậc hai cần lập biết trớc một nghiệm và các hệ số là các số
nguyên thì ta thay nghiệm đó vào phơng trình ban đầu rồi tìm các hệ số đó.

Bài tập áp dụng:

1. Bài 1: Cho phơng trình 2 x 2 5 x 1 = 0 gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x1 + x2 ; x1.x2
b) x12 + x22 2 x1 x2
2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x12 và x22 là nghiệm.
2. Bài 2 1) Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là: x1 =

4

4
3+ 5

4

2) Tính: P = 4 + 4
3+ 5 3 5
3. Bài 3 Cho phơng trình: mx 2 + 2 ( m - 2 ) x + m - 3 = 0 (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu ; .
b) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
3
3
c) Lập phơng trình bậc hai nhận
và
là nghiệm.



VI. Dạng VI: ứng dụng hệ thức Vi ét vào việc xét mối quan hệ giữa các nghiệm
của phơng trình bậc hai.
b

c

Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có = b 2 4ac ; S = ; P =
a
a
+ hai nghiệm trái dấu P < 0 ( hoặc ac < 0)

a 0
> 0

+ hai nghiệm dơng
S > 0
P > 0
a 0
> 0

+ hai nghiệm âm

S < 0
P > 0

P < 0
S < 0

+ hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng

P < 0
S > 0

+ hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn nghiệm dơng

1. Ví dụ 1: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dơng x1 , x2 . CMR: phơng trình

cx 2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng, gọi 2 nghiệm đó là x3 , x4 . CMR: x1 + x2 + x3 + x4 4

Hớng dẫn giải:

22


-

Để chứng minh phơng trình cx 2 + bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dơng ta cần chứng minh
điều gì?

b
c

( = b 2 4ac 0 ; x3 + x4 = > 0 ; x3 .x4 =

a
>0)
c

Giải
Vì phơng trình ax + bx + c = 0 có 2 nghiệm dơng x1 , x2 nên
2


= b 2 4ac 0

b
a.b < 0 ( 1)

từ ( 1) và ( 2 ) b và c trái dấu, a và c cùng dấu
x1 + x2 = > 0
a

c

a.c > 0 ( 2 )
x1.x2 = a > 0
2 = b 2 4ac 0
a


x3 .x4 = > 0
b
c
x3 + x4 = > 0
a

Nh vậy các nghiệm x3 , x4 của phơng trình cx 2 + bx + a = 0 cũng dơng

Bất đẳng thức Cô si:

Với hai số không âm A và B ta có:

(

A+ B

)

2

0

(dấu bằng xảy ra khi A = B)
A + B 2 AB
áp dụng cho 4 số dơng x1 , x2 x3 , x4 là các nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 và
cx 2 + bx + a = 0

c
a
+
ữ
ữ 4 ì
a
c



ta có: x1 + x2 + x3 + x4 = ( x1 + x2 ) + ( x3 + x4 ) 2 ì x1 x2 + 2 ì x3 x4 = 2
Vậy x1 + x2 + x3 + x4 4 (đpcm)

c a
.
=4
a c

Nhận xét:

- Qua ví dụ này chúng ta đã vận dụng điều kiện để phơng trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt dơng ( 0 ; x1 + x2 > 0 ; x1.x2 > 0 )
- áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình bậc hai đồng thời vận dụng linh hoạt
Bất đẳng thức Cô si cho hai số dơng ta đã chứng minh đợc x1 + x2 + x3 + x4 4
2. Ví dụ 2: Tìm m để 2 phơng trình x 2 + 2x + m = 0 ( 1)

x 2 + 3x - 2m = 0

( 2)

có 2 nghiệm phân biệt và các nghiệm của phơng trình xen kẽ nhau

Hớng dẫn giải:
- Phơng trình x 2 + 2x + m = 0 và x 2 - 2x - 2m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khi nào? ( ' 0 )
- Khi nào thì hai nghiệm của 2 phơng trình xen kẽ nhau?
Giải
Gọi các vế trái của phơng trình ( 1) và ( 2 ) là f ( x ) và g ( x )

khi đó f ( x ) có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2 ' 0 1 m > 0 m < 1
g ( x ) có 2 nghiệm phân biệt x3 , x4 xen kẽ các nghiệm x1 , x2 g ( x ) có 1 nghiệm thuộc

( x1; x2 ) và có 1 nghiệm ngoài [ x1; x2 ]
g ( x1 ) .g ( x2 ) < 0 ( x12 + 3x1 - 2m ) . ( x 2 2 + 3x 2 - 2m ) < 0 ( *)

x12 = -2x1 - m
2
x = -2x 2 - m
Do f ( x ) có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 nên 2
( **)
x
+x
=

2
1 2
x .x = m

1 2

23


Thay ( **) vào ( *) ta đợc



( x1 - 3m ) . ( x 2 - 3m ) < 0
x1x 2 - 3m ( x1 + x 2 ) + 9m 2 < 0
m- 3m ( -2m ) + 9m 2 < 0

9m 2 +7m< 0



7
< m<0
9

7
9

Vậy với < m < 0 thì các nghiệm của hai phơng trình xen kẽ nhau.

Nhận xét:

Qua ví dụ này chúng ta đã vận dụng điều kiện để phơng trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt
rồi áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình thứ nhất thay thế vào phơng trình thứ hai thì

ta đợc điều cần tìm.
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: Gọi u và v là các nghiệm của phơng trình: x 2 + px + 1 = 0
Gọi r và s là các nghiệm của phơng trình : x 2 + qx + 1 = 0 ; ( p; q Z )
-

1. Chứng minh: A = ( u - r ) ( v - r ) ( u + s ) ( v + s ) là số nguyên.
2. Tìm điều kiện của p và q để A chia hết cho 3.

2. Bài 2:
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dơng)
Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình: x 2 + 2004x + 1 = 0 . x3 ; x4 là nghiệm của phơng trình:
x 2 + 2005x + 1 = 0 . Tính giá trị biểu thức: A = ( x1 + x3 ) ( x2 + x3 ) ( x1 x4 ) ( x2 x4 )

Cho phơng trình x 2 + bx + c = 0 ( 1) và x 2 + mx + n = 0 ( 2 ) . Biết rằng b, c là nghiệm
của phơng trình ( 2 ) và m, n là nghiệm của phơng trình ( 1)
Chứng minh rằng: b 2 + c 2 + m 2 + n 2 = 10
4. Bài 4: Giả sử hai phơng trình bậc hai ẩn x a1x 2 +b1x + c1 = 0 và a 2 x 2 +b 2 x + c 2 = 0 có nghiệm.
3. Bài 3:

Chứng minh rằng: ( a1c2 a 2 c1 ) 2 = ( a1b2 a 2b1 ) ( b1c2 b2 c1 )
5. Bài 5: Gọi a và b là 2 nghiệm của phơng trình x 2 + px + 1 = 0 .
c và d là 2 nghiệm của phơng trình x 2 + qx + 1 = 0
Chứng minh hệ thức

( a c) ( a d ) ( b c) ( b d ) = ( p q)

2

VII. Dạng VII: ứng dụng hệ thức Vi et vào bài toán cực trị đơn giản.

1. Ví dụ 1: Cho phơng trình: x 2 ( 2m 3) x + m = 0

1) Giải phơng trình khi m = - 2
2) Gọi ; là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để 2 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất
Hớng dẫn giải:
- Khi tôi đa ra bài tập này các em đều rất lúng túng tìm cách giải phần 2) bài tập dạng này
nh thế nào. Tôi hớng dẫn các em cách giải đối với dạng tam thức bậc hai để tìm GTLN; GTNN ta
thờng biến đổi biểu thức A về dạng
A = M - k.f2(x) ( M; k là hằng số, f(x) là nhị thức bậc nhất)
Hoặc A = k.f2(x) + m ( m; k là hằng số, f(x) là nhị thức bậc nhất)
Từ hớng dẫn tổng quát trên các em đã tìm đợc cách giải bài toán trên nh sau:
Giải
1) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc x 2 + 7 x 2 = 0
Ta có: = 7 2 4.1.2 = 41 > 0
phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = 7 + 41 ; x2 = 7 41 .
2

24

2


2) Xét phơng trình x 2 ( 2m 3) x + m = 0
Ta có: = ( 2m 3) 4.1.m = 4m 2 16m + 9
Để phơng trình có nghiệm ; thì 4m 2 16m + 9 0 ( *)
2

+ = 2m 3
áp dụng hệ thức Vi ét cho phơng trình x 2 ( 2m 3) x + m = 0 ta có
. = m

Khi đó 2 + 2 = ( + ) 2 2 = ( 2m 3) 2 2.m = 4m 2 14m + 9

2
2
2
2

7 7
7 13
13
7
7

= 4m 2 2.2m. + ữ + 9 ữ = 2m

m

R
(
) 2m 0
2 2
2
4
4
2
2


13

7
7
Vậy tổng 2 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi 2m = 0 m =
4
2
4

2. Ví dụ 2:

Cho 2 số a = 3 5 và b = 3 + 5 . Chứng tỏ A = a 3 + b3 là số nguyên.
2

2

Cách 1: Thay a =

Giải

3 5
3+ 5
và b =
vào biểu thức A = a 3 + b3
2
2

3

3

3 5 3+ 5

Ta có: A =
2 ữ
ữ + 2 ữ
ữ



2
2
3 5 3 + 5 3 5 3 5 3 + 5 3 + 5


=
+
ữ
ữ 2 ữ
ữ 2 ữ
ữ. 2 ữ
ữ+ 2 ữ
ữ
2
2






14 6 5 4 14 + 6 5
= 3.

+
= 3.6 = 18 Z
4
4
4



Vậy A là số nguyên.

Cách 2: Ta có a + b =

3 5 3+ 5
+
= 3 và
2
2

3 5 3+ 5
a.b =
ữ
ữ. 2 ữ
ữ= 1
2




Mà a 3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b)
a 3 + b3 = 33 3.1.3 = 27 9 = 18 Z

Vậy A là số nguyên.
Nhận xét: - Đối với phần a) ta có thể sử dụng hằng đẳng thức A3 + B3 hoặc ( A + B ) 3 một cách
hợp lí thì ta có thể tính đợc giá trị của biểu thức A = a 3 + b3 từ đó suy ra điều phải chứng minh.

4. Ví dụ 3:

1
2

Cho Parabol y = x 2 và điểm M ( -1; 2 )

1) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt Parabol tại 2
điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k.
2) Gọi xA , xB là hoành độ giao điểm của A và B. Xác định k để xA2 + xB 2 + 2 x A xB ( xA + xB ) đạt giá
trị lớn nhất. Tìm giá trị ấy.
Giải
1) Giả sử phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k có dạng y = kx + b
Vì đờng thẳng y = kx + b đi qua điểm M ( -1; 2 ) nên ta có: 2 = k ( 1) + b b = k + 2
Khi đó phơng trình đờng thẳng là: y = kx + k + 2

25