Khai thác bài toán tìm cực trị

/>
Một số phương pháp giải bài toán tìm
cực trị của biểu thức

A - Lời mở đầu:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là loại toán tương
đối khó, có nhiều dạng và có nhiều phương pháp giải. Trong quá trình dạy học ở
bậc THCS, tôi đã hệ thống một số phương pháp giải thường gặp để truyền đạt
cho học sinh trong các buổi học bổ trợ kiến thức. Giúp học sinh lớp 9 có cách
nhìn tương đối tổng thể về dạng toán này. Hôm nay xin được trao đổi cùng các
bạn đồng nghiệp.
B - Nội dung:
I - Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức:

1/ Khái niệm:
a/ Cho biểu thức f ( x, y,...) xác định trên miền D . Ta nói K là giá trị lớn nhất của
f ( x, y,...) trên D nếu:

* Với mọi x, y,... thuộc D thì f ( x, y ,...) K với K là hằng số
* Tồn tại x0 , y 0 ,... thuộc D sao cho f ( x 0 , y 0 ,...) K
b/ Cho biểu thức f ( x, y,...) xác định trên miền D . Ta nói K là giá trị nhỏ
nhất của f ( x, y,...) trên D nếu:
+ Với mọi x, y,... thuộc D thì f ( x, y ,...) K với K là hằng số
+ Tồn tại x0 , y 0 ,... thuộc D sao cho f ( x 0 , y 0 ,...) K
2/ Cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f ( x, y,...)
+ Tìm TXĐ (nếu cần)
+ Chứng minh rằng f ( x, y ,...) K trên TXĐ ( K là hằng số)
+ Chỉ ra được f ( x, y ,...) = K x = x 0 ; y = y 0 ;...
+ Trả lời

1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

( x 0, y 0 TXĐ)


/>3/ Cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f ( x, y,...)
+ Tìm TXĐ (nếu cần)
+ Trên TXĐ, chứng minh rằng f ( x, y ,...) K ( K là hằng số)
+ Chỉ ra được f ( x, y ,...) = K x = x 0 ; y = y 0 ;...

( x 0, y 0 TXĐ)

+ Trả lời
II - Một số phương pháp cụ thể để giải bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:

1/ Phương pháp dùng tam thức bậc hai:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau
a/ P = 3x 2 12 x + 5
a/ Q = 2 x 2 + 16 x 15
Giải: a/ P = 3x 2 12 x + 5 = 3( x 2 4 x + 4) 7 = 3( x 2) 2 7 7
Min P = 7 khi x 2 = 0 hay Min P = 7 khi x = 2

b/ Q = 2 x 2 + 16 x 15 = 2( x 2 8 x + 16) + 17 = 2( x 4) 2 + 17 17
Max Q = 17 khi x 4 = 0 hay Max Q = 17 khi x = 4

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

2

6x 5 9x 2

Giải:
2
2
=
9 x 6 x + 5 (3 x 1) 2 + 4
1
1
2
2
1
Vì (3 x 1) 2 + 4 4 nên


A
2
2
(3 x 1) + 4 4
(3x 1) + 4
4
2
1
1
Vậy Min A = 3x 1 = 0 x =
2
3

Ta có: A =

2

2/ Phương pháp chia khoảng để tìm cực trị:
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x 2001 | + | x 1 |

2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


/>Giải:
* Xét khoảng x < 1 thì x 1 < 0 và x 2001 < 0
Do đó B = 2001 x + 1 x = 2002 2 x
Vì x < 1 nên 2 x > 2 2 x + 2002 > 2 + 2002 Hay B = 2 x + 2002 > 2000
* Xét khoảng 1 x 2001 thì x 1 0 và x 2001 0
Do đó B = x + 2001 + x 1 = 2000

(2)

* Xét khoảng x > 2001 thì x 2001 > 0 và x 1 > 0
Do đó B = x 2001 + x 1 = 2 x 2002
Vì x > 2001 nên 2 x > 4002 2 x 2002 > 4002 2002
Hay B = 2 x 2002 > 2000

(3)

So sánh: (1), (2), (3) ta được Min B = 2000 1 x 2001
Nhận xét về cách làm:
x 1 < 0
x < 1

x <1
x 2001 < 0
x < 2001

* Cách xét khoảng: Đầu tiên xét
Sau đó xét

x 1 0
x 1

1 x 2001

x 2001 0
x 2001

x 1 0
x 1
trường hợp này không xẩy ra

x 2001 0
x 2001

và

x 1 > 0
x > 1

x > 2001
x 2001 > 0
x > 2001

Cuối cùng xét:

3/ Phương pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới:
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x( x 3)( x 4)( x 7)
Giải: A =[x( x 7)] [( x 3)( x 4)] = ( x 2 7 x ) ( x 2 7 x + 12)
= ( x 2 7 x + 6 6) ( x 2 7 x + 6 + 6)

3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


/>Đặt x 2 7 x + 6 = y thì A = ( y 6)( y + 6) = y 2 36 36
x = 1
Min A = 36 y = 0 x 2 7 x + 6 = 0
x = 6

Vậy

Min A = 36 khi x = 1 hoặc x = 6

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 x
Giải: TXĐ: x 2
Đặt 2 x = y ( y 0) . Ta có y 2 = 2 x x = 2 y 2
A = 2 + y 2 + y = ( y 2 y 2)
1
9 9
y ( y )2 =
2
4 4

Max A =

9
y 1 = 0 y = 1 (Thoả mãn y 0)
2
2
4
7
2 x = 1 2 x = 1 x =
2
4
4

Vậy Max A =

9
7
x=
4
4

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của

A = x 3 + y 3 + xy biết x + y = 1

Giải: Ta có
A = ( x + y )( x 2 xy + y 2 ) + xy

Do x + y = 1 nên A = x 2 xy + y 2 + xy = x 2 + y 2
1

2

1
2

Đặt x = + a thì y = a (vì x + y = 1)
1
2

1
2

1
4

1
4

Ta có A = x 2 + y 2 = ( + a ) 2 + ( a) 2 = + a + a 2 + a + a 2
= 2a 2 +
Min A =

(Thuộc TXĐ)

1 1

2 2

1
1

a=cx= y=
2
2

4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


/>Ví dụ 7: Tìm giá trị của A =

3x 2 8 x + 6
x2 2x + 1

Giải: TXĐ: x 1
3x 2 6 x + 3) 2 x + 2 + 1 3( x 1) 2 2( x 1) + 1
2
1
=
= 3
+
2
2
x 1 ( x 1) 2
( x 1)
( x 1)
1
Đặt y =
thì A = 3 2 y + y 2 = ( y 1) 2 + 2 2
x 1
1

Min A = 2 y 1 = 0 y = 1
= 1 x = 2 thuộc TXĐ)
x 1
A=

Vậy Min A = 2 x = 2

4/ Phương pháp xét biểu thức phụ:
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
Giải: Biểu thức A có nghĩa 3 x 2 0 + | x | 3
Vậy TXĐ: | x | 3

Với | x | 3 dễ thấy 2 3 x 2 > 0 A > 0
Do A > 0 nên ta có thể xét biểu thức B =

1
= 2 3 x2
A

Ta có: 0 3 x 2 3
0 3 x2 3
3 3 x2 0
2 3 2 3 x2 2 0

Hay 2 3 B 2
* MinB = 2 3 3 x 2 = 3 x = 0 thuộc TXĐ)
Khi đó MaxA =

1
2 3

=

2+ 3
2 L ( 3) 2

= 2+ 3

* MaxB = 2 3 x 2 = 0 x = 3 thuộc TXĐ)
Khi đó MinA =
Vậy

1
(Thuộc TXĐ)
2

MaxA = 2 + 3 x = 0
x = 3
MinA = 2
x = 3

5
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

A=

1
2 3 x2

/>5/ Phương pháp phân tích biểu thức về dạng tổng đại số của các luỹ
thừa bậc chẵn:
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 4 6 x 3 + 10 x 2 6 x + 15
Giải: A = ( x 4 6 x 3 + 9 x 2 ) + ( x 2 6 x + 9) + 6
= ( x 2 3x ) 2 + ( x 3) 2 + 6 6
x 2 3x = 0
x( x 3) = 0

Min A = 6
x=3
x 3 = 0
x 3 = 0

Vậy Min A = 6 x = 3
6/ Phương pháp miền giá trị (hay còn gọi là đưa về phương trình bậc
hai và sử dụng điều kiện của )
x2 x +1
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2
x + x +1

Giải: Biểu thức A nhận giá trị m phương trình ẩn x sau đây có nghiệm
x2 x +1
m= 2
x + x +1

(1)

Do x 2 + x + 1 0 nên (1) mx 2 + mx + m = x 2 x x + 1
(m 1) x 2 + (m + 1) x + (m 1) = 0

(2)

Trường hợp 1: Nếu m = 1 thì phương trình (2) có nghiệm x = 0
Trường hợp 2: Nếu m 1 thì phương trình (2) có nghiệm 0
(m + 1) 2 4(m 1)1 0
(m + 1 2m + 2)(m + 1 + 2m 2) 0
(3 m)(3m 1) 0 (Học sinh tự giải)


1
m 3 (m 1)
3

6
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


/>Nếu m =

1
hoặc m = 3 thì = 0 phương trình (2) có nghiệm kép là:
3
m=

Nếu m =

(m + 1)
m +1
=
2(m 1) 2(1 m)

1
thì x = 1 ; Nếu m = 3 thì x = 1 (học sinh tự tính)
3

1
x =1
3
Max A = 3 x = 1
Min A =

Gộp cả 2 trường hợp 1 và 2 ta có:

x2 x +1
1
(Đoạn ;3 là tập giá trị của hàm số A = 2
x + x +1
3

7/ Phương pháp áp dụng bất đẳng thức x + y x + y
Giải VD 3 cách 2:
áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
B = x = 2001 + x 1 = x 2001 + 1 x x 2001 + 1 x = 2000
B 2000 vậy Min B = 2000 ( x 2001)(1 x ) 0 1 x 2001

8/ Phương pháp áp dụng bất đẳng thức A A; Dấu = xẩy ra
A0

Giải VD 3 cách 3:
Ta có x 2001 = 2001 x 2001 x

Dấu = xẩy ra 2001 x 0 x 2001
x 1 x 1

Dấu = xẩy ra x 1 0 x 1
Do đó ta có B = x 2001 + x 1 2001 x + x 1 = 2000
B 2000

7
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


/> x 2001

x 1

Dấu = xẩy ra

1 x 2001

Vậy MinB = 2000 1 x 2001
9/ Phương pháp bất đẳng thức cô si:
9.1/ Bất đẳng thức cô si với 2 số không âm:
Với a 0; b 0 thì a + b 2 ab (1) . Dấu = xẩy ra a = b
* Bất đẳng thức cô si mở rộng đối với n không âm
Với a1 , a 2 ....a n 0 thì a1 + a 2 .... + a n n n a1 , a 2 ...an
Dấu = xẩy ra a1 , a 2 ....a n
* Với 2 số dương a, b từ bất đẳng thức (1) suy ra
* Nếu ab = k (không đổi) thì Min (a + b) = 2 K a = b
* Nếu ab = k (không đổi) thì Max (ab) =

k2
a=b
4

* Kết quả trên được mở rộng với n số không âm
* Nếu a1 , a 2 ....an = K (không đổi) thì
Min (a1 + a 2 + ... + a n ) = n n K a1 = a 2 = ... = a n

* Nếu a1 , a 2 ....an = K (không đổi) thì
n

k
Max (a1 .a 2 ...a n ) = a1 = a 2 = ... = a n
n

* Vận dụng bất đẳng thức cô si ta có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của một số biểu thức.
9.2/ Ví dụ 11:
Cho x > 0; y > 0 thoả mãn điều kiện

1 1 1
+ =
x y 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + y
8
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


/>

Giải:
Vì x > 0; y > 0 nên

1
1
> 0; > 0; x > 0; y > 0
x
y

Vận dụng bất đẳng thức cô si đối với hai số dương

1
1
và ta được:
x
y

1 1
1 1
1
1 1 1
1
1
+ 2
ì
ì( + )

x y
x y
xy 2 x y

xy 4

Vận dụng bất đẳng thức cô si đối với 2 số dương
A= x+ y 2

x và

xy 4

y ta được:

x. y 2 4 = 4 (dấu = xẩy ra x = y = 4)

Vậy Min A = 4 x = y = 4
* Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức cô si đối
với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một
biểu thức để có thể vận dụng bất đẳng thức cô si rồi tìm cực trị của nó.
9.3/ Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình
phương biểu thức đó.
Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3x 5 + 7 3x
Giải:
ĐKXĐ:

5
7
x
3
3

A 2 = (3 x 5) + (7 3 x) + 2 3 x 5).(7 3x ) 2 + (3x 5 + 7 3 x)4

Dấu = xẩy ra 3 x 5 = 7 3 x x = 2
Vậy Max A 2 = 4 Max A = 2 x = 2
* Nhận xét về phương pháp giải:

9
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


/>Biểu thức A được cho dưới dạng tổng 2 căn thức. Hai biểu thức lấy căn có
tổng không đổi (bằng 2). Vì vậy, nếu ta bình phương biểu thức. Đến đây có thể
vận dụng bất đẳng thức cô si: 2 ab a + b
9.4/ Biện pháp 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0
Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

x9
5x

Giải:
x9
ĐKXĐ
1 x9

+ 3 x 9 + 9

x 9
.
3
x9
1

2 3
=
3
A=
= 3

=
5x
5x
5x
10 x
30

Dấu = xẩy ra
Vậy Max A =

x9
= 3 x = 18
3

1
x = 18
30

* Nhận xét về phương pháp giải:
Trong các giải trên, x 9 được biểu diễn thành
đó tổng 2 số là

x9
.3 và rất thuận lợi khi

3

x9
1
+ 3 = x có thể rút gọn cho x ở mẫu. (Số 3 ở trên lấy bằng
3
3

căn bậc hai của số 9)
9.5/ Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu
thức sao cho tích của chúng là một hằng số.
1/ Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau.
3x 4 + 16
Ví dụ 14: Cho x > 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
x3

Giải:
16
16
= x + x + x + 3 4.4 x.x.x. 16
= 4.2 = 8
3
x3
x
x
16
A 8 Dấu = xẩy ra x = 3 x = 2
x
A = 3x +

Vậy Min A = 8 x = 2

10
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


/>
* Nhận xét:
Hai số dương 3 x và

16
có tích không phải là một hằng số. Muốn khử được
x3

x 3 thì ở từ phải có x.x. x = x 3 do đó ta phải biểu diễn 3 x = x + x + x rồi dùng bất

đẳng thức cô si với 4 số dương.
2/ Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng
tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong
biểu thức đã cho (có thể sai khác một hằng số).
Ví dụ 15: Cho 0 < x < 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

9x
2
+
2 x x

Giải:
9x
2 x

9x 2 x
+
+ 1 2.
.
+1 = 2 9 +1 = 7
2x
x
2x x
9x
2x
1
=
x=
(Thoả mãn điều kiện)
A 7. Dấu = xẩy ra
2x
x
2
1
Vậy Min A = 7 khi và chỉ khi x =
2
A=

* Nhận xét:
Trong cách giải trên ta đã tách
nghịch đảo với

2
2 x
2 x

thành tổng
+ 1. Hạng tử
x
x
x

x
nên khi vận dụng bất đẳng thức cô si ta được tích của chúng
2 x

là một hằng số.
9.4/ Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
Ví dụ 16: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 2
x2
y2
z2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
+
+
y+z z+x x+ y

Giải: áp dụng BĐT cô si đối với hai số dương
x2
y+z
+
2ì
y+z
4

x2

y+z x
ì
= =x
y+z
4
2

11
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

x2
y+z
ta được:
và
y+z
4
(1)


/>y2
z+x
+
y
z+x
4

Tương tự

(2)

z2
x+ y
+
z
x+ y
4

(3)

x2
y2
z2 y + z + z + x + z + y
+
x+ y+z
+
+
4
y+z z+x x+ y

Vậy

P+

x+ y+z
x+ y+ z
2

P x+ y+z

x+ y+ z

2
= 2 =1
2
2

P 1. Dấu = xẩy ra x = y = z =

2
3

* Nhận xét:
Ta đã thêm

x2
y+z
vào hạng tứ thứ nhất
có trong đầu bài để khi vận
4
y+z

dụng bất đẳng thức cô si có thể khử được y + z .
y+z
có mẫu là 4 để khi cộng lại có
4
2 x + 2 y + 2 z 2( x + y + z ) 2 ì 2
=
=
= 1 (đề bài cho x + y + x = 2)
4
4

4

Và ta chọn

Dấu đẳng thức xẩy ra đồng thời trong (1),(2), (3) khi và chỉ khi x = y = z =
Nếu ta lần lượt thêm ( y + z), ( x + x ), ( x + y ) vào

2
3

x2
y2
z2
;
;
thì ta cũng
y+z z+x x+ y

khử được ( y + z), ( x + x ), ( x + y ) nhưng điều quan trọng là không tìm được giá trị
của x, y, z để dấu đẳng thức xẩy ra đồng thời, do đó không tìm được giá trị nhỏ
nhất của P.
10/ Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:
Ví dụ 17: Tìm giá trị lớn nhất của A = x 2 (3 x ) với x 0 .
Giải: a/ Xét 0 x 3 Trong khoảng này 3 x không âm)
x x
2 2

Ta có thể viết: A = 4. . .(3 x )

12

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


/>áp dụng bất đẳng thức này cô si cho 3 số không âm

x x
; và (3 x) ta có:
2 2

3

x + x +3 x
x x
. .(3 x ) 2 2
= 1 . Do đó A 4
2 2
3



(1)

b/ Xét x> 3 khi đó 3 x < 0 nên A < 0

(2)

x
= 3 x
So sánh (1) và (2) ta kết luận Max A = 4 2
x 0

Hay Max A = 4 x = 2
* Nhận xét: ở cách giải trên ta đã áp dụng phương pháp chia khoảng để
tìm cực trị và phương pháp dùng bất đẳng thức cô si.
Ta hiểu với 3 số không âm a, b, c thì a + b + c 3.3 a.b.c
a+b+c
nên a.b.c

3



3

Học sinh nên hiểu bất đẳng thức cô si có thể vận dụng linh hoạt theo hai
chiều ngược nhau để thuận lợi trong giải toán.
C - Lời kết:

Quả thật có rất nhiều phương pháp giải bài toán tìm cực trị của một biểu
thức và các biểu thức được yêu cầu tìm cực trị cũng thật là đa dạng. Tôi đã cố
gắng tìm nhiều ví dụ để học sinh thấy được rằng có những phương pháp được áp
dụng cho rất nhiều kiểu bài. Chẳng hạn như phương pháp đổi biến, tìm cực trị
đối với biến mới có thể dùng cho biểu thức là đa thức bậc cao (VD4), biểu thức
chưa căn (VD5), biểu thức phân (VD7); bài toán cho điều kiện ràng buộc của ẩn
(VD6). Đặc biệt là phương pháp dùng bất đẳng thức cô si, ứng dụng của nó thật
rộng rãi. Đồng thời học sinh cũng nhận thấy được có những bài toán có rất nhiều
cách giải (VD3: Phương pháp 2 + 7 + 8)
Và cũng có những bài toán cần phối hợp nhiều cách để giải VD 17)
Thực tế giảng dạy cho tôi thấy: Sau khi được truyền đạt kỹ về chuyên đề
này, học sinh hiểu kỹ, hiểu sâu hơn và linh hoạt hơn rất nhiều khi giải bài toán

tìm cực trị của một biểu thức.
Mong muốn của tôi là giúp học sinh học tập tốt hơn và nâng cao tay nghề
của bản thân. Thật hân hạnh được các bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung cho bài
viết được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
13
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


/>
14
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com