Tìm hiểu các dạng bài tập về vật dẫn cân bằng tĩnh điện (KL02737)

Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan
Mở đầu

1. lí do chọn đề tàI
Năm 1791 Gavanđi phát minh ra dòng điện, đây là một bước ngoặt quan
trọng đánh giá một sự phát triển mới của khoa học, một môn học mới ra đời
đó là môn điện học. Từ đây, điện học được ứng dụng mạnh mẽ, mở ra một
tương lai sáng lạng trong rất nhiều lĩnh vực của kinh tế, sản xuất cũng như
nghiên cứu khoa học.
Hiện nay, loài người đã bước sang thế kỷ XXI, thế kỷ của đỉnh cao trí tuệ,
khi mà hàng loạt nguyên liệu mới được khám phá phục vụ cho nhu cầu sinh
hoạt và sản xuất thì điện học vẫn giữ một vị trí vô cùng quan trọng trong đời
sống và khoa học.
Trong tự nhiên có nhiều hiện tượng: Các vật sau khi cọ sát có thể hút được
các vật nhẹ, sấm hay chớp tưởng chừng rất thần bí nhưng khi môn khoa học
là điện học ra đời thì con người có thể lí giải một cách rõ ràng các hiện tượng
đó.
Sét là một tia lửa điện khổng lồ. Bản chất của sét đã được chứng thực bởi
các thí nghiệm của Frank-lin, Lomônôsov và Richman, sét gây nguy hiểm cho
con người; để chống sét, người ta dùng cột thu lôi.Vậy cột thu lôi được cấu tạo
như thế nào? cấu tạo đó được xây dựng lên từ cơ sở nào?...
Với rất nhiều lí do đó, tôi mong muốn được nghiên cứu phần Điện học
và tôi đã chọn đề tài Tìm hiểu một số dạng bài tập về vật dẫn cân bằng tĩnh
điện làm khoá luận tốt nghiệp. Với đề tài này nó giúp tôi hiểu sâu hơn về các
hiện tượng trong tự nhiên cũng như sản xuất. Đồng thời, đề tài này cũng giúp
tôi có một số kỹ năng giải bài tập, góp phần củng cố kiến thức đã được học

2. mục đích nghiên cứu

- Nắm vững các kiến thức cơ bản của vật dẫn ở trạng thái cân bằng tĩnh
điện


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

- Thống kê, phân loại và đề ra phương pháp giải một số dạng bài tập về
vật dẫn cân bằng tĩnh điện nhằm hiểu rõ hơn về vật dẫn để ứng dụng
trong dạy học, đời sống và khoa học.
3. đối tượng nghiên cứu:

- Tính chất của vật dẫn cân bằng tĩnh điện.
- Một số bài tập áp dụng.
4. phương pháp nghiên cứu:

- Tra cứu tài liệu.
-

Tổng hợp các kiến thức.

-

Giải bài tập kết hợp với phân tích và phân loại.

5. nội dung:

- Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
- Chương 2: Một số dạng bài tập và phương pháp giải.

Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan
Nội dung
Chương 1: cơ sở lí thuyết

1.1 Định luật bảo toàn điện tích:
- Nội dung: Trong một hệ cô lập, tổng đại số các điện tích luôn luôn là một
hằng số.
- Định luật bảo toàn điện tích đã được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm, nó là
một trong những định luật chính xác nhất của vật lý đúng cho cả hệ vĩ mô và
hệ vi mô.
1.2. Định luật Culông: (Định luật Coulomb):
1.2.1. Lực tương tác giữa hai điện tích điểm đặt trong chân không:
- Nhận xét: Không thể tìm được biểu thức định lượng tổng quát để xác
định lực tương tác giữa hai vật mang điện bất kì mà chỉ có thể tìm được biểu
thức định lượng xác định lực tương tác giữa hai vật mang điện là điện tích
điểm.
+ Điện tích điểm là phần tử vật chất mang điện có kích thước rất nhỏ so
với khoảng cách từ đó đến vật mang điện khác.
- Định luật Culông: Lực tương tác điện giữa hai điện tích điểm đứng yên
tỷ lệ thuận với tích độ lớn các điện tích và tỷ lệ nghịch với bình
phương khoảng cánh giữa chúng.
- Biểu thức (dạng vectơ)

q q
F12 = k 1 3 2 r12
r12

Với: k là hệ số tỷ lệ, trong hệ SI k =

1
4 0

=9. 109 đơn vị SI.

0 : hằng số điện, 0 = 8,85.1012 đơn vị SI.

F12 : vectơ lực tác dụng của điện tích 1 lên điện tích 2.

r12 : bán kính vectơ hướng từ điện tích 1 đến điện tích 2, có độ lớn r.


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

q1 , q2 : là những giá trị đại số của hai điện tích điểm.

Nhận thấy:




Nếu q1 , q2 cùng dấu thì tích của q1.q2 >0 , F12 và r12 cùng chiều khi đó
lực điện là lực đẩy.
Nếu q1 , q2 trái dấu thì kết quả ngược lại.

F21

+
q1 -

+

F12
+q


F21


F12
2

1.2.2. Hệ quả của định luật Culông.
1.2.2.1. Nguyên lý chồng chất các lực điện.
Theo nguyên lý này lực tác dụng của một hệ nhiều điện tích lên điện tích q
được xác định bằng tổng hình học các lực riêng biệt do từng điện tích của hệ
tác dụng lên q:

n
F12 F1 F2 .......... Fn Fi
i 1

Khi tính lực tác dụng của một vật mang điện bất kì lên một điện tích điểm q
ta chia vật mang điện tích đó ra thành các phần tử rất nhỏ riêng biệt sao cho
mỗi phần tử này được xem như một điện tích điểm dq . Dựa vào định luật

Culông (Coulomb) tính được lực tác dụng của điện tích điểm dq lên điện tích
điểm q là dF . Khi đó lực do vật mang điện tác dụng lên điện tích điểm q:


F dF

(toàn vật)
1.2.2.2. Nguyên lý chồng chất điện trường.
Điện trường là một dạng vật chất tồn tại xung quanh điện tích và tác dụng
lực điện lên điện tích khác đặt trong nó.
Để đặc trưng cho điện trường về mặt định lượng người ta dùng cường độ
điện trường


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

Cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng đặc trưng cho điện trường
về phương diện tác dụng lực, có giá trị bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện
tích dương đặt tại điểm đó và có hướng là hướng của lực này.
+ Nếu tại một điểm nào đó trong điện trường lực tác dụng lên điện tích q là


F thì vectơ cường độ điện trường E tại điểm đó là:

F
E
q

Nếu q=+1 đơn vị điện tích thì E F .


+ Ta thấy: q>0 thì E F .


q<0 thì E F .

- Ta xác định cường độ điện trường E gây bởi một điện tích điểm Q đặt

tại O gây ra tại A. Tại A ta đặt điện tích q. Lực F do Q tác dụng lên q

là:


1 Qq r
F
, r OA
4 0 r 2 r


F
1 Qr
E
q 4 0 r 2 r

O
Q+

r

QO

r

A

E


E

A

nguyên lý chồng chất điện trường:
Vectơ cường độ điện trường gây bởi một hệ điện tích điểm tại một điểm
nào đó bằng tổng hình học các vectơ cường độ điện trường do từng điện
tích riêng biệt gây ra tại điểm đó.


E E1 E2 ... Ei
i


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

*ứng dụng:
- Nếu vật mang điện có kích thước lớn, ta không thể coi nó là điện tích

điểm được thì ta coi điện tích phân bố liên tục trong vật và cần xét sự
phân bố điện tích đó.
- Khi đã biết được sự phân bố điện tích ở trên các vật, ta chia vật (hoặc
các vật ) ra thành những phần nhỏ sao cho mỗi phần mang điện tích dq
có thể coi như một điện tích điểm. Cường độ điện trường do điện tích
này gây ra tại một điểm P nào đó là:


1 dq r
dE
4 0 r 2 r

Cường độ điện trường của cả hệ vật tích điện gây ra:




1 dq r
E Ei d E
4 0 r 2 r
i

(toàn các (toàn bộ các
vật mang điện) vật mang điện)

1.2.2.3. Định lý Ostrogradski-Gauss ( Định lý O-G):
Định lý O-G: Điện thông qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số
các điện tích có mặt bên trong mặt đó chia cho 0 .
1
Ed S

0

q

i

i

Để đi đến định lý trên, ta đã xuất phát từ định luật Culông nếu trong công
thức của định luật Culông, số mũ của khoảng cách r không phải là 2 mà là
một giá trị khác thì ta sẽ không đi đến kết quả như trên. Vì thế ta nói rằng
định lý O-G là hệ quả của định luật Culông.
1.3. Điện thế.
1.3.1. Công của lực tĩnh điện


Gỉa sử có một hệ điện tích, nó gây ra trong không gian một điện trường E




một điện tích q đặt trong điện trường đó chịu tác dụng của lực điện F qE .


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

Nếu điện tích q dịch chuyển theo đường cong L từ điểm A đến điểm B thì lực

điện trường thực hiện công
AAB







Fdl qEdl q Edl
AB

AB

AB

dl là nguyên tố độ dài trên đường đi L.

A
AB
gọi
là
lưu
thông
của
vectơ
E dọc theo đường cong từ điểm A đến
Edl

q

điểm B.
Để cho cụ thể ta xét trường hợp một điện tích điểm Q đặt tại O. Điện
tích q dịch chuyển trong điện trường của Q từ điểm A đến điểm B.
OA rA , OB rB . Ta tính công AAB :

- Trước hết ta tính công nguyên tố



Q r
qQ
dA Fdl qEdl q
dl
dl cos
3
4 0 r
4 0 r 2

qQ
qQ
1
dr
d( )
2
4 0 r
4 0
r

trong đó là góc giữa vectơ E và vectơ dl .
dA



H F
A

M q
dl
rA r
M

r dr

Q
O

rB

B


dr dl cos MH là hình chiếu của vectơ dịch chuyển dl lên phương

vectơ bán kính r .

- Từ đó, công của lực điện trường khi q dịch chuyển từ A đến B là:

Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan
rB

qQ
1
qQ 1 1
d ( )
( )
4 0
r
4 0 rA rB
rA

AAB dA
L

AAB q (

Q
4 0 rA



Q
4 0 rB

)

Như vậy, công của lực điện trường khi dịch chuyển điện tích q theo
một đường cong bất kì chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu ( rA ) và điểm cuối
( rB ) của đường đi mà không phụ thuộc vào hình dạng của đường đi.
- Công mà lực điện trường thực hiện khi một điện tích q dịch chuyển từ
điểm A đến điểm B chính bằng hiệu thế năng của điện tích đó ở A và
B.
AAB WA WB

Với WA , WB là thế năng của q tại Avà B,
WA

qQ
qQ
C ,WB
C'
4 0 rA
4 0 rB

1.3.2. Điện thế và hiệu điện thế:
- Ta thấy, tỷ số giữa công của lực điện trường và do đó, tỷ số giữa hiệu thế
năng WA - WB giữa điểm đầu và điểm cuối đường đi với độ lớn của điện tích q
không phụ thuộc vào q. Đại lượng này chỉ phụ thuộc vào điện trường trong đó
q dịch chuyển và vị trí các điểm A,B, nó có thể dùng để đặc trưng cho điện
trường. Ta gọi tỷ số đó là hiệu điện thế giữa hai điểm A, B, kí hiệu:
U AB VA VB
U AB VA VB

WA WB AAB

AAB q(VA VB )
q
q

- Điện thế ở mỗi điểm trong điện trường được xác định sai khác nhau một
hằng số tuỳ ý, cũng giống như thế năng.
Trong trường hợp, điện trường của điện tích điểm Q, điện thế tại mỗi
điểm được biểu thị bằng hàm vô hướng:


Khoá luận tốt nghiệp

V

Q
C
4 0 r

Hoàng Thu Loan

, C là hằng số tuỳ ý.

- Với hệ gồm nhiều điện tích điểm thì điện thế ở điểm A được xác định:
n

VA
i 1

Qi
4 0 riA

C

riA là khoảng cách từ điểm đặt Qi tới điểm A.

- Đối với một hệ, điện tích phân bố liên tục, ta chia hệ điện tích thành các
phần tử đủ nhỏ mang điện tích dq sao cho có thể coi là những điện tích điểm.
Ta có điện thế gây bởi hệ:
V

1
4 0



dq
C
r

(toàn hệ)
r là khoảng cách từ điểm đặt dq tới điểm ta xét.
1.4. Thế năng của hệ các điện tích:
- Với hệ có n điện tích điểm thì thế năng của hệ là:
W

với

1 n
qiVi
2 i 1

qi : độ lớn của điện tích thứ i
Vi : là điện thế tại điểm đặt điện tích qi gây bởi điện tích khác và

có thể viết :
W

1 n n qi qk

2 i 1 k 1 4 0 rik

Với:

(i k)
n

Vi
k 1

qk
4 0 rik

- Trường hợp, hệ điện tích phân bố liên tục trên vật thì ta chia vật ra thành
các vi phân thể tích và vi phân diện tích sao cho mỗi vi phân này được coi là


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

một điện tích điểm. Gọi U là điện thế gây bởi các điện tích khối và các điện
tích mặt tại điểm đặt các điện tích dV,dS:
W


1
UdV UdS
2 V
S


1.5. Vật dẫn cân bằng tĩnh điện
Vật dẫn điện là những vật có chứa những điện tích tự do. Các điện tích đó
có thể chuyển động tự do trong vật nhưng không thể thoát ra ngoài vật được.
Nhiều lọai vật dẫn (lỏng , rắn ) nhưng ở đây ta chủ yếu khảo sát vật dẫn
kim loại .Trong vật dẫn kim loại có nhiều electron tự do, khi trong vật có điện
trường , các electron đó sẽ dịch chuyển.
Ta xét vật dẫn trong trạng thái cân bằng điện, tức là trạng thái mà vật dẫn
không có dòng điện tích chuyển động .
1.5.1. Điều kiện tổng quát để vật dẫn ở trạng thái cân bằng điện


1.5.1.1. Vectơ cường độ điện trường Ebt tại mọi điểm trong vật dẫn phải


bằng 0: Ebt =0
Thoả mãn điều kiện này thì bên trong vật dẫn sẽ không có dòng hạt mang
điện chuyển dời có hướng.

1.5.1.2. Thành phần tiếp tuyến Et của vectơ cường độ điện trường E tại mọi
điểm trên mặt ngoài của vật dẫn phải bằng không

Et =0






Suy ra E = En ( En là thành phần pháp tuyến của E ). Nói cách khác tại mọi
điểm trên mặt ngoài của vật dẫn, vectơ cường độ điện trường phải vuông góc
với mặt vật dẫn.
1.5.2. Các tính chất của vật dẫn mang điện
1.5.2.1. Vật dẫn là một vật đẳng thế
Xét hai điểm bất kỳ A,B trên một vật dẫn mang điện tích q(giả sử q>0).
Hiệu điện thế giữa hai điểm đó là:


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan


AAB
Edl El dl
q
AB

AB


El là hình chiếu của E trên phương chuyển dời dl

VA - VB =


E

++

+
+

+


E

A

+
E +

B
+
+ +

+

+

+



+ Nếu A, B ở bên trong vật dẫn thì Ebt =o, do đó VA VB 0 VA VB : ở mọi
điểm bên trong vật dẫn đều có điện thế bằng nhau.
Nếu A, B ở trên mặt vật dẫn thì El Et 0 nên ta cũng có VA VB :mọi
điểm trên bề mặt vật dẫn đều có điện thế như nhau.
Người ta chứng minh được rằng, do tính liên tục của điện thế, điện thế tại
mọi điểm ở sát mặt vật dẫn sẽ bằng điện thế tại một điểm trên mặt vật dẫn.
Như vậy điện thế tại mọi điểm của vật dẫn đều bằng nhau hay vật dẫn cân
bằng tĩnh điện là một vật đẳng thế
1.5.2.2. Điện tích của vật dẫn mang điện chỉ phân bố trên bề mặt của vật dẫn,
bên trong vật dẫn tổng đại số của các điện tích bằng không.
Chọn mặt Gauss là mặt kín S nằm hoàn toàn bên trong vật dẫn. Điện
thông qua mặt Gauss:


q

E
d
S

,
vì
Ebt 0 0 q 0
bt

o

Điều đó cho thấy tổng đại số điện tích bên trong vật dẫn bằng 0.


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

Nếu vật dẫn mang điện thì các điện tích sẽ nằm ở một lớp mỏng trên mặt
vật dẫn, có chiều dày khoảng một vài nguyên tử.
Do đó nếu ta khoét rỗng một vật dẫn đặc thì sự phân bố điện tích trên bề
mặt vật dẫn không hề bị thay đổi. Có nghĩa: đối với vật dẫn rỗng đã ở trạng
thái cân bằng tĩnh điện, điện trường ở phần rỗng và trên thành trong của vật
dẫn cũng luôn bằng không.
1.5.2.3. Sự phân bố điện tích trên bề mặt vật dẫn chỉ phụ thuộc vào hình dạng
của mặt đó.
Nếu vật dẫn có dạng hình cầu hoặc mặt phẳng thì điện tích phân bố đều
Nếu vật dẫn phân bố bất kỳ thì các điện tích chủ yếu phân bố ở chỗ lồi
nhất đặc biệt là ở mũi nhọn.
Tại sát các mũi nhọn, điện trường rất mạnh nó chỉ có tác dụng làm iôn
hoá không khí và mũi nhọn sẽ hút các hạt mang điện tích trái dấu, đồng thời
đẩy các iôn cùng dấu tạo nên một luồng gió gọi là gió điện đồng thời điện tích
các mũi nhọn giảm, hiện tượng này gọi là hiện tượng rò điện.
Hiện tượng rò điện có nhiều ứng dụng quan trọng.
1.5.2.4. Điện trường trên mặt vật dẫn tích điện :
Vì mặt của vật dẫn là một mặt đẳng thế nên vectơ cương độ điện trường
trên và sát mặt vật dẫn phải vuông góc với mặt vật dẫn.
Điều này dễ hiểu vì nếu có một thành phần của điện trường hướng theo

mặt vật dẫn thì thành phần đó sẽ buộc điện tích phải dịch chuyển trên mặt vật
dẫn tức là không có trạng thái cân bằng tĩnh điện.
- Ta đi tính cường độ điện trường tại một điểm M ở sát trên mặt vật dẫn.
Chọn mặt Gauss là mặt kín S gồm một thành phần là mặt phẳng nhỏ AB
đi qua M và song song với mặt vật dẫn, một mặt trụ đứng lấy AB làm đáy có
đường sinh vuông góc với mặt AB và một phần là mặt A B C tuỳ ý nằm
trong vật dẫn.


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

M
A


E

B
B

A
C

- Xét điện thông toàn phần qua mặt S
+ Điện thông qua mặt bên phải bằng không vì pháp tuyến của mặt vuông


góc với E

+ Điện thông qua mặt ACB phải bằng không vì mặt đáy nằm bên trong


vật dẫn Ebt =0 do đó điện thông toàn phần qua mặt S bằng điện thông qua mặt
AB
Vì mặt AB là nhỏ nên trên mặt AB, điện trường coi như đều và điện
thông qua nó là :
E.S với S là diện tích của mặt AB

Trong mặt S có chứa phần của mặt vật dẫn là AB. Nếu gọi mật độ điện
tích ở đó là thì điện tích trên AB là : q .S .
Theo O-G:
E.S

q

o



.S

E
o
o

E là cường độ điện trường ở sát mặt vật dẫn
Ta thấy kết quả tính cường độ điện trường ở sát mặt một vật dẫn mang điện
so với kết quả tính cường độ điện trường của mặt mang điện lớn hơn gấp hai

lần
Giải thích :


Gọi E1 , E2 là cường độ điện trường do các điện tích trên mặt S và trên
diện tích còn lại của mặt vật dẫn.


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan




Vectơ cường độ điện trường tại sát bề mặt vật dẫn: E E1 E2

Một phần S của mặt vật dẫn có mang mật độ luôn gây ra về hai phía sát
nó một điện trường có giá trị E1


2 o

Các điện tích trên bề mặt vật dẫn phải xếp đặt thế nào để đạt được trạng thái
cân bằng, tức là điện trường trong vật phải bằng 0: Ebt 0
Nên:
E1 E2 E 2 E1 2 E2 E1 E2

E

2 2 O

Có nghĩa các điện tích trên diện tích còn lại của bề mặt vật dẫn đã
tạo ra một điện trường có giá trị


làm triệt tiêu điện trường của S bên
2 o

trong vật, nhưng nó lại làm cho cường độ điện trường ở bên ngoài vật dẫn tăng
thêm một lượng



tức bằng .
2 o
o

Vì các hạt tích điện trên diện tích ngoài S tạo ra tại S một điện trường


nên chúng tác dụng lên diện tích S một lực đẩy tĩnh
E2 có cường độ
2 o

điện :
F E2 .q
q .S
2 S với

2 0


F hướng theo pháp tuyến ngoài n với bề mặt vật dẫn có khuynh hướng đẩy

F

phần tử S ra khỏi vật dẫn. Kết quả này là hiển nhiên, vì các hạt điện tích trên
bề mặt vật dẫn là cùng dấu và đẩy nhau.
1.5.3. Hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện:
Hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện chia làm hai loại:
Hưởng ứng tĩnh điện một phần: Các đường sức xuất phát ở vật dẫn mang
điện chỉ có một phần kết thúc ở vật dẫn trung hoà.


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

Hưởng ứng tĩnh điện toàn phần: Các đường sức xuất phát ở vật mang điện
đều kết thúc ở vật dẫn trung hoà.
Vì thế trong hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện một phần, điện tích trong vật
hưởng ứng q nhỏ hơn điện tích q của vật dẫn mang điện: qCòn ở hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện toàn phần thì:
q= q
1.5.4. Tụ điện:
- Hệ thống hai vật dẫn đặt cách điện với nhau, giữa chúng xảy ra hiện tượng
hưởng ứng toàn phần tạo nên một tụ điện ( đơn giản).
- Tụ điện được đặc trưng bởi đại lượng gọi là điện dung của tụ điện: điện
dung của tụ điện có giá trị bằng điện tích của tụ điện khi hiệu điện thế giữa

hai bản bằng một đơn vị điện thế.
C

q
V1 V2

Với q: điện tích của tụ điện
V1 ,V2 : là điện thế của hai bản tụ

C: đặc trưng cho khả năng tích điện của tụ
- Ghép các tụ điện:
+ Ghép song song các tụ điện:
Có n tụ điện C1 , C2 ,..., Cn ghép song song

V1

C1
C2
Cn

Điện dung tương ứng của bộ:
C

n
q
C1 C2 ... Cn Ci
V1 V2
i 1

V2

Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

+ Ghép nối tiếp các tụ điện:
Các tụ C1 , C2 ,..., Cn ghép nối tiếp nhau, các tụ điện đều có điện tích là q.
V1 V2
C1 C2

Cn

Điện dung của bộ tụ là C với:
n
1 V1 V2 1
1
1
1


...

C
q
C1 C2
Cn i 1 Ci

+ Ghép hỗn hợp:
Các tụ điện vừa ghép nối tiếp vừa ghép song song.

1.5.5. Năng lượng điện trường.
1.5.5.1. Năng lượng của một tụ điện đã tích điện:
- Khi tích điện cho một tụ điện ta nối hai bản của tụ với một nguồn điện. Nếu
ngắt tụ ra khỏi nguồn và nối hai bản của nó bằng một dây dẫn, tụ điện sẽ
phóng điện. Trong dây dẫn có một dòng điện chạy qua, dòng điện làm toả ra
một nhiệt lượng trên dây dẫn. Tụ điện đã giải phóng năng lượng mà nó dự trữ
khi được tích điện.
- Ta tính năng lượng của tụ điện có điện dung C
Khi tích điện cho tụ điện thì nguồn điện đã thực hiện một công để đưa các
điện tích về các bản tụ. ở một lúc nào đó, hiệu điện thế giữa hai bản tụ là u
nếu nguồn đưa thêm đến các bản một điện lượng nhỏ dq thì công thực hiện để
thắng lực tĩnh điện là:
dA u.dq u.C.du

Công toàn phần của một nguồn điện để thiết lập lên trạng thái điện tích
trên các bản với hiệu điện thế U giữa hai bản là:


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan
U

1
A dA C.udu C.U 2
2
0

Theo định luật bảo toàn năng lượng thì công này được chuyển thành năng
lượng của tụ điện.

W A

CU 2 1
qU
2
2

1.5.5.2. Năng lượng điện trường:
- Ta xét trường hợp tụ điện phẳng mà diện tích đối diện giữa hai bản tụ là S
khoảng cách giữa hai bản tụ là d, điện trường giữa hai bản tụ là điện trường
đều. Ta có năng lượng tụ điện:
1
1 0S 2 1 U 2
W CU 2
U 0 ( ) Sd
2
2 d
2
d

Nhưng

U
E , S .d V : thể tích khoảng không gian có điện trường. Do
d

đó năng lượng điện trường đều :
1
We . 0 .E 2 .V
2

Mật độ thể tích we của năng lượng điện trường:
we

We 1
0E2.
V
2

-Với điện trường không đều ta chia khoảng không gian nơi có điện trường
ra thành các vi phân thể tích V sao cho trong các vi phân thể tích này thì
điện trường là đều, mỗi vi phân thể tích V có một năng lượng điện trường
W, mật độ năng lượng trung bình điện trường là:

we

We
V

Khi V 0 ta có mật độ năng lượng tại mỗi điểm của điện trường:
We dWe

dWe we dV
V 0 V
dV

we lim

We we dV
v

v

0E2
2

dV


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

Chương 2: một số dạng bàI tập và phương pháp giải

2.1. Dạng 1: Một số dạng bài toán áp dụng công thức đơn giản về quả cầu
dẫn.
- Phương pháp:
+ Đối với quả cầu dẫn (quả cầu kim loại) điện thế của quả cầu bằng điện
thế gây bởi một điện tích điểm có điện tích bằng điện tích của quả cầu đặt tại
tâm của nó nên điện thế của quả cầu:
V k.

q
R

Với q là điện tích của quả cầu
R là bán kính của quả cầu
k

1
4 0

(quả cầu đặt trong chân không )

+ Thế năng của quả cầu: áp dụng công thức:
W

1
Vdq
2

do quả cầu dẫn nên V=const do đó:
1
1
W V dq Vq
2
2

q là điện tích của quả cầu.
Bài 1. Hai quả cầu kim loại 1 và 2 bán kính R1=2,5cm, R2=7,5cm và có điện
tích q1=3. 108 C, q2= 108 C đặt cách xa nhau (coi như hai quả cầu cô lập)
Nối hai quả cầu đó bằng một dây dẫn mảnh
1, Hỏi electron sẽ dịch chuyển từ quả cầu nào sang quả cầu nào
2, Tính điện tích của mỗi quả cầu và số(e) đã di chuyển qua dây nối sau đó?
Bài giải:
1, Quả cầu kim loại cô lập là một vật đẳng thế, điện tích chỉ phân bố ở mặt
ngoài quả cầu, trên một lớp mỏng cỡ một vài nguyên tử

Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

Chia mặt quả cầu kim loại thành các vi phân diện tích dS, mỗi vi phân diện
tích này có mang một điện tích là dq, được coi là điện tích điểm.
Khi đó điện thế do từng điện tích điểm này gây tại tâm của quả cầu là:
dV k

dq
R

Với k

1
4 0

(coi quả cầu đặt trong chân không)

R là bán kính quả cầu dẫn
Do đó điện thế tại tâm của quả cầu là:
V k.

dq k
kq
dq
R R
R

(1)

Với q là điện tích của quả cầu dẫn tích điện.
Điện thế tại tâm của quả cầu bằng điện thế tại mọi điểm trên mặt quả cầu
Như vậy điện thế của quả cầu bằng điện thế gây bởi một điện tích điểm có
điện tích bằng điện tích của quả cầu đặt tại tâm của nó
- áp dụng công thức (1) ta có điện thế của quả cầu 1 và 2
V1 k

Ta thấy:

q1
q
;V2 k 2
R1
R2

q1
3.108
q2
108



R1 2,5.102 R2 7,5.102

(a)
(b)

Từ (a) và (b) suy ra V1 V2
Vì điện thế hai quả cầu khác nhau, nên khi nối chúng bằng dây dẫn, các điện

tích sẽ di chuyển từ quả cầu này sang quả cầu kia, cụ thể là điện tích dương sẽ
di chuyển từ quả cầu có điện thế cao (quả cầu 1) đến quả cầu có điện thế thấp
hơn (quả cầu 2). Vì electron mang điện tích âm nên khi nối hai quả cầu bằng
dây dẫn, (e) sẽ di chuyển trong dây dẫn từ quả cầu 2 sang quả cầu 1 cho đến
khi hai quả cầu đó có điện thế bằng nhau
2. Gọi q1, q2; V1, V2 là điện tích và điện thế của hai quả cầu sau khi
electron ngừng di chuyển. Ta có điện thế của hai quả cầu lúc này là:


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

q1'
R1
q '
q'
q'
q ' R 2,5 1
V2' k 2 k 1 k 2 1' 1
(2)
R2
R1
R2
q2 R2 7,5 3
V1' V2'


V1' k

Hệ hai quả cầu dẫn là hệ cô lập về điện nên điện tích của hệ trước và sau khi
nối dây dẫn được bảo toàn. áp dụng định luật bảo toàn điện tích cho hệ vật
dẫn là hai quả cầu trên trước và sau khi (e) ngừng di chuyển từ quả cầu 2 sang
quả cầu 1:
q1 q2 q1' q2'

q1 3.108 C q1' q2' 3.108 108 4.108 (C ) (3)

q2 10 8 C


Từ (2) và (3) ta có: q1` 108 (C ); q2` 3.108 (C )
- Điện lượng sẽ di chuyển qua dây dẫn là: q q1` q1 q2` q2 2.108 (C ) .
Mỗi (e) mang điện tích có độ lớn là e 1, 6.1019 (C )
Nên số (e) đã di chuyển qua dây dẫn là: N =

q
2.108

1, 25.1011 (e)
e 1, 6.1019

Bài 2: Một quả cầu kim loại có bán kính R1 được tích điện đến điện thế V rồi
được bao bằng một vỏ cầu đồng tâm bán kính R2
1. Điện thế của quả cầu thay đổi ra sao nếu nó được nối với vỏ cầu bằng một
dây dẫn?
2. Tính điện thế của quả cầu khi nó được nối với đất.
3.Tính điện dung của tụ điện do quả cầu và vỏ cầu gây ra
Bài giải:

Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

1. Tương tự ta có điện thế của quả cầu: V k
q=

q
điện tích của quả cấu :
R1

VR1
k

Khi nối quả cầu và vỏ cầu bằng một dây dẫn, vỏ cầu và quả cầu hợp với
nhau thành một vật dẫn duy nhất, khi đó điện tích được phân bố lại và chỉ
phân bố lại ở mặt vỏ cầu (theo tính chất của vật dẫn cân bằng điện), hơn nữa
vỏ cầu và quả cầu có cùng một điện thế. Điện thế của vỏ cầu (và cả quả cầu)
bây giờ là:
V1 k

R
q
V 1
R2
R2

- Như vậy điện thế của quả cầu đã biến thiên một lượng :
V V1 V V (

R1
1)
R2

2. Khi vỏ cầu nối với đất (có thể coi đất là một vật dẫn có kích thước rất lớn và
ở rất xa hệ mà ta khảo sát), các điện tích hưởng ứng cùng dấu với điện tích của
quả cầu bị đẩy ra xa. Khi đó trên vỏ cầu chỉ còn điện tích q ` bằng q về độ lớn
nhưng trái dấu: q ` q

VR1
k

Điện thế của quả cầu lúc này bằng điện thế do q và q ` gây ra. Điện thế do
q ` gây ra tại tâm của vỏ cầu (cũng là tâm của quả cầu) bằng:
V2 k

R
q
V 1
R2
R2

Vật dẫn là khối đẳng thế, nên điện thế trên mặt quả cầu và tại tâm của nó bằng
nhau, do đó điện thế của quả cầu bây giờ là:
V ` V V2 V V

R1
R
1 1

V (1 1 ) kq ( )
R2
R2
R1 R2


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

Bài 3: Hai quả cầu kim loại bán kính R1 và R2 được đặt cách xa nhau một
khoảng rất lớn so với bán kính của chúng. Một điện tích Q được phân bố cho
hai quả cầu sao cho thế năng của hệ đạt cực tiểu.
1. Hãy tính điện tích của mỗi quả cầu khi đó. Chứng minh rằng hiệu điện thế
giữa hai quả cầu bằng 0
2. Có thể đạt được sự phân bố như trên bằng cách nào?
3. Giả sử R1 = R2 và ban đầu toàn bộ điện tích Q là của quả cầu 1
a. Tính thế năng của hệ
b. Nối hai quả cầu bằng một dây dẫn, điện tích Q được phân bố lại. Tính
thế năng mới của hệ. Suy nghĩ gì về sự bảo toàn năng lượng trong thao tác
này?
Bài giải:
1. Quả cầu kim loại mang điện tích theo tính chất của vật dẫn mang điện điện
tích nằm ở bề mặt ngoài của quả cầu.
Ta chia quả cầu thành các phần tử nhỏ mang điện tích dq (được xem như
điện tích điểm). Khi đó thế năng của quả cầu:
W

1
Vdq

Do vật dẫn (quả cầu) là đẳng thế nên:
2

1
1
W .V dq Vq
2
2

Gọi Q1 , Q2 là điện tích mỗi quả cầu khi thế năng của hệ đạt cực tiểu.
Vì hai quả cầu ở xa nhau nên có thể bỏ qua hiện tượng điện hưởng của chúng
Thế năng của hệ lúc này là: (chọn gốc thế năng tại vô cùng)
1
1
Q12
Q22
W V1Q1 V2Q2

(1)
2
2
8 0 R1 8 0 R2
Q Q1 Q2 W

Q12
8 0 R1



(Q Q1 )

8 0 R2

2


Khoá luận tốt nghiệp

Đạo hàm thế năng: W ` (Q1 )

Hoàng Thu Loan
1 2Q1 2(Q Q1 )



8 0 R1
R2


R1

Q1
Q

R1 R2
Q1 Q Q1

`
W 0
0
Thế năng cực tiểu khi:

R1
R2
Q R2 Q
2 R1 R2

Từ đây, ta thấy:

Q1 Q2
Q


(2)
R1 R2 R1 R2

- Điện thế của mỗi quả cầu V1

Q1
4 0 R1

;V2

Q2
4 0 R2

- Theo (2) ta suy ra V1 V2
- Xét mật độ điện tích trên mỗi quả cầu:
1

Q
Q1

1

.
2
4 R1 4 ( R1 R2 ) R1



Q2
Q
1

.
2
4 R2 4 R1 R2 R2

Ta thấy quả cầu nhờ có lớn (đây là ví dụ đơn giản về hiện tượng mũi nhọn)
2. Vì V1=V2 nên ta thấy có thể đạt được sự phân bố như trên bằng cách tích
điện Q cho một quả cầu rồi nối hai quả cầu bằng một dây dẫn
3. Khi R1 R2 R và ban đầu toàn bộ điện tích Q là của quả cầu một.
a. Thế năng ban đầu của hệ là: W0

Q2
8 0 R

b. Sau khi nối hai quả cầu bằng một dây dẫn, thì điện tích của hai quả cầu
lúc sau theo trên ta có Q1 Q2

Q
. Do đó thế năng của hệ lúc sau:

2
2

Q


2 W0

W 2.

8 0 R
2


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

Nhận xét: Như vậy là một nửa năng lượng của hệ đã bị tổn hao dưới dạng
nhiệt lượng trong dây dẫn. Có điều là sự tổn hao này không phụ thuộc vào
điện trở của dây nối. Điều này có thể thấy rõ, nếu như ta xét nhiệt lượng toả ra
trong thời gian t ở một điện trở r có dòng điện i chạy qua.
W ri 2 t ri (it ) u q

Với u là hiệu điện thế giữa hai quả cầu, q là lượng điện tích chạy qua trong
thời gian t . Như vậy có nghĩa sự tiêu hao năng lượng có thể biểu thị như là
hàm của Q và u mà thôi.
2.2. Dạng 2. áp dụng nguyên lý chồng chất.
- Phương pháp chung:
+ Nếu hệ gồm những vật mang điện có kích thước nhỏ so với khoảng cách

của chúng và điện tích hay điểm mà ta xét lực tác dụng hay điện trường thì ta
có thể coi mỗi vật như điện tích. Ta tính lực điện hay cường độ điện trường
gây bởi từng điện tích.

F

E




Fi




Ei

i

i


Fi : là lực tác dụng của một điện tích i trong hệ lên điện tích ta xét.

E i : là cường độ điện trường do điện tích thứ i của hệ gây tại điểm ta

xét.
+ Trường hợp lực tác dụng do vật dẫn tác dụng lên một điện tích khác thì

F dF

(vật dẫn)
+ Còn cường độ điện trường tại một điểm ở sát vật dẫn được tính theo công
thức :


E
n
0



với n là pháp tuyến của mặt vật dẫn


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

0 : hằng số điện, 0 =8,85. 10 12 (C2/Nm2)

: hằng số điện môi, đối với chân không =1 thì E n
0

Bài 1. Một viên bi kim loại bán kính R=1,5 cm, mang điện tích q=10 C .
Tính lực tác dụng lên nửa mặt ngoài của viên bi.
Bài giải:
- Xét lực tác dụng lên nửa mặt cầu trên của viên bi, viên bi kim loại

mang điện tích q, do tích chất của vật dẫn mang điện, điện tích được
phân bố ở một lớp ngoài của viên bi, gọi mật độ phân bố của điện tích
này là (mật độ điện tích mặt)


q
S

q

4 R 2

S: là diện tích mặt cầu của viên bi.


dF '

dFx '


dFz'
ds'

z




dFz' dF

dFx
ds

x

O R

- Chia mặt cầu trên thành các phần tử có diện tích là dS, dS mang điện
tích .dS , khi đó ta đã biết (theo phần lý thuyết), mỗi phần tử dS của


mặt ngoài bán cầu chịu lực đẩy tĩnh điện là dF có độ lớn:
dF

2 dS
(coi viên bi đặt trong chân không)
20

- Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ