đề và đáp án thi thử ĐH số 3

Đề thi thử đại học số 10 năm 2011
Môn thi : toán, Khối A
(Thời gian làm bài 180 phút , không kể giao đề
Cõu I. (2 im).

Cho hm s

y=

2 x 1
x +1

(1).

1) Kho sỏt v v th (C) ca hm s (1).
2) Tỡm im M thuc th (C) tip tuyn ca (C) ti M vi ng thng i qua
M v giao im hai ng tim cn cú tớch h s gúc bng - 9.
Cõu II. (2 im)

1
+
x

1) Gii phng trỡnh sau:
2) Gii phng trỡnh lng giỏc:

1
2 x2

=2.

sin 4 2 x + cos 4 2 x
tan(



4

x).tan(



4

+ x)

= cos 4 4 x

.

Cõu III. (1 im) Tớnh gii hn sau:

L = lim

3

ln(2e e.cos2 x) 1 + x 2
x2

x 0

Cõu IV. (2 im)
Cho hỡnh nún nh S cú di ng sinh l l, bỏn kớnh ng trũn ỏy l r. Gi I
l tõm mt cu ni tip hỡnh nún (mt cu bờn trong hỡnh nún, tip xỳc vi tt c cỏc
ng sinh v ng trũn ỏy ca nún gi l mt cu ni tip hỡnh nún).
1. Tớnh theo r, l din tớch mt cu tõm I;
2. Gi s di ng sinh ca nún khụng i. Vi iu kin no ca bỏn kớnh
ỏy thỡ din tớch mt cu tõm I t giỏ tr ln nht?
Cõu V (1 im) Cho cỏc s thc x, y, z tha món: x2 + y2 + z2 = 2.
Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x3 + y3 + z3 3xyz.
1
2

Cõu VI. (1 im) Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú tõm I ( ;0)
ng thng AB cú phng trỡnh: x 2y + 2 = 0, AB = 2AD v honh im A õm.
Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ú.
Cõu VII. (1 im) Gii h phng trỡnh :

2
2
x 2 + 2010
2009 y x =

y 2 + 2010

3log3 ( x + 2 y + 6) = 2 log 2 ( x + y + 2) +1
--------------- HT --------------Ghi chỳ:

- Thớ sinh khụng c s dng bt c ti liu gỡ!
- Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm!
H v tờn thớ sinh: ... S bỏo danh: ...

HƯỚNG DẪN
CÂU
I.1

NỘI DUNG
Hàm số: y =

2 x −1
3
=2−
x +1
x +1
lim y = 2; lim

+) Giới hạn, tiệm cận:

x →+∞

ĐIỂM

y = 2; lim y = −∞; lim y = +∞
x → ( −1)+

x →−∞

x → ( −1)−

- TC đứng: x = -1; TCN: y = 2.

3
> 0, ∀x ∈ D
+) y ' =
2
( x + 1)
+) BBT:

-∞

x
y'
y

+∞

-1
||

+

+

+∞

||
2

2
−∞

+) ĐT:

1 điểm
8

6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

I.2

II.1

3

y −y

1 điểm

+) ycbt ⇔ kM .kIM = −9
+) Giải được x0 = 0; x0 = -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)
+) ĐK: x ∈ (− 2; 2) \ {0}
 x + y = 2 xy
+) Đặt y = 2 − x 2 , y > 0 Ta có hệ:  2
2
x + y = 2

−1 + 3 
−1 − 3
x =
x =


2
2
;
+) Giải hệ đx ta được x = y = 1 và 
 y = −1 − 3  y = −1 + 3


2
2

+) Kết hợp điều kiện ta được: x = 1 và x =

II.2

−3

M
I
+) Ta có I(- 1; 2). Gọi M ∈ (C ) ⇒ M ( x0 ; 2 − x + 1) ⇒ k IM = x − x = ( x + 1) 2
0
M
I
0
3
+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k M = y '( x0 ) =
2
( x0 + 1)

+) ĐK: x ≠

π
π
+ k ,k ∈ Z
4
2

1 điểm

−1 − 3
2

π

π
π
π
+) tan( − x ) tan( + x) = tan( − x) cot( − x) = 1
4
4
4
4
1
1
1
sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 − sin 2 4 x = + cos 2 4 x
2
2 2
4
2
pt ⇔ 2 cos 4 x − cos 4 x − 1 = 0

1 điểm


π
+) Giải pt được cos24x = 1 ⇔ cos8x = 1 ⇔ x = k và cos24x = -1/2 (VN)
4

+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là x = k
III

L = lim

3

ln(2e − e.cos2 x) − 1 + x 2
x2

x →0

= lim

3

ln(1 +1 − cos2 x ) +1 − 1 + x 2
x2

x →0



3
ln(1 + 2sin 2 2 x) 1 − 1 + x 2
= lim 
+
x →0  x 2
x2

2sin 2 x
 2sin 2 x

π
,k ∈ Z

2







2
−1
 = lim  ln(1 + 2sin 2 x) +

 x →0  x 2

3
2
2
2
3
(1 + x ) + 1 + x +1 


2sin 2 x

 2sin 2 x

S

1 5
=2− =

3 3

IV.1

+) Gọi rC là bán kính mặt cầu nội tiếp nón, và cũng là bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB.

S SAB = prC = (l + r ).rC =
Ta có:

⇒ rC =

IV.2

l

1
SM . AB
2

l 2 − r 2 .2r
l −r
=r
2(l + r )
l+r

2
2
+) Scầu = 4π r C = 4π r

1 điểm

I

A

M

r

1 điểm
B

l −r
l+r

+) Đặt :
y (r ) =

lr 2 − r 3
,0 < r < l
l+r


− 5 −1
r=
l

−2r ( r + rl − l )
2


+) y '(r ) =
=
0
⇔
(l + r ) 2

5 −1
l
r =

2
2

+) BBT:

2

r

0

y'(r)
y(r)

V

5 −1
l
2

1 điểm

l

ymax

5 −1
+) Ta có max Scầu đạt ⇔ y(r) đạt max ⇔ r =
l
2
+) Ta có
P = ( x + y + z )( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx )

x2 + y 2 + z 2 − ( x + y + z)2 
P = (x + y + z)  x2 + y 2 + z 2 +

2


2

 ( x + y + z)2 
2 − ( x + y + z) 
P = ( x + y + z ) 2 +
=
(
x
+
y

+
z
)

3 +

2
2





1
+) Đặt x +y + z = t, t ≤ 6( Bunhia cov xki) , ta được: P (t ) = 3t − t 3
2

+) P '(t ) = 0 ⇔ t = ± 2 , P( ± 6 ) = 0; P ( − 2) = −2 2 ; P ( 2) = 2 2
+) KL: MaxP = 2 2; MinP = −2 2
VI

+) d ( I , AB) =

5 ⇒
AD
2

= 5 ⇒ AB = 2 5 ⇒ BD = 5.

1 điểm

+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4
+) Tọa độ A, B là nghiệm của

 x = 2

1 2
25

2
( x − ) + y =
  y = 2 ⇒ A(−2;0), B(2; 2)
⇔
2
4
hệ: 
  x = −2
 x − 2 y + 2 = 0

  y = 0

⇒ C (3;0), D(−1; −2)
VII


2
2
x 2 + 2010
(1)

2009 y −x =

y 2 + 2010

3log3 ( x + 2 y + 6) = 2 log 2 ( x + y + 2) +1(2)

+) ĐK: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0
+) Lấy loga cơ số 2009 và đưa về pt:
x 2 + log 2009 ( x 2 + 2010) = y 2 + log 2009 ( y 2 + 2010)
+) Xét và CM HS f (t ) = t + log 2009 (t + 2010), t ≥ 0 đồng biến,
từ đó suy ra x2 = y2 ⇔ x= y, x = - y
+) Với x = y thế vào (2) và đưa về pt: 3log3(x +2) = 2log2(x + 1) = 6t
t

t

1 8
Đưa pt về dạng  ÷ +  ÷ = 1 , cm pt này có nghiệm duy nhất t = 1
9 9

⇒ x = y =7
+) Với x = - y thế vào (2) được pt: log3(y + 6) = 1 ⇒ y = - 3 ⇒ x = 3
Ghi chú:
- Các cách giải khác với cách giải trong đáp án mà vẫn đúng, đủ thì cũng cho
điểm tối đa.
- Người chấm có thể chia nhỏ thang điểm theo gợi ý các bước giải.