Giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân thường và ứng dụng maple trong tính toán (KL06328)

Khóa luận tốt nghiệp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=======***=======

BÙI HUYỀN TRANG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ LỚP PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƢỜNG VÀ ỨNG DỤNG MAPLE
TRONG TÍNH TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2014

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=======***=======

BÙI HUYỀN TRANG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ LỚP PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƢỜNG VÀ ỨNG DỤNG MAPLE
TRONG TÍNH TOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI - 2014
LỜI CẢM ƠN
SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Giải tích đã tạo điều
kiện giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu
tại trường. Đặc biệt, em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Khuất Văn Ninh người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình để em có thể hoàn thành khóa
luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Bùi Huyền Trang

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này được hoàn hành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS
Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu
em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà
nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên

cứu của bản thân, không trùng với khóa luận của tác giả nào.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Bùi Huyền Trang

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
MỤC LỤC
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 4
1.1. Sai số ............................................................................................................ 4
1.1.1. Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối.................................. 4
1.1.2. Sai số tính toán ...................................................................................... 5
1.1.3. Bài toán ngược của sai số...................................................................... 7
1.2. Khái quát về phương trình vi phân .............................................................. 8
1.2.1. Định nghĩa ............................................................................................. 8
1.2.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1 ............... 8
1.2.3. Một số định lý. ....................................................................................... 9
Chƣơng 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƢỜNG .......................................................................... 11
2.1. Một số phương pháp giải tích .................................................................... 11
2.1.1. Phương pháp chuỗi hàm ...................................................................... 11
2.1.2. Phương pháp hệ số bất định ................................................................ 14
2.1.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp ............................................................... 16
2.2. Một số phương pháp số .............................................................................. 18
2.2.1. Các phương pháp Euler ....................................................................... 19
2.2.2. Phương pháp Runge - Kutta ................................................................ 24
Chƣơng 3. ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN.............................. 26

3.1. Giới thiệu về phần mềm Maple ................................................................ 26
3.2. Một số ứng dụng của Maple trong việc giải phương trình vi phân ........... 27
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 43

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
LỜI NÓI ĐẦU
Toán học là môn học khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của
Toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của nó vào việc giải quyết các bài
toán thực tiễn. Trong lĩnh vực Toán ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên
quan đến phương trình vi phân thường . Vì vậy việc nghiên cứu phương trình vi
phân thường đóng vai trò rất quan trọng trong lí thuyết Toán học. Chúng ta biết
rằng chỉ có một số ít các phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm
chính xác, trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài
toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác. Do vậy, một vấn đề đặt ra
là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phương trình vi phân. Xuất phát từ
nhu cầu đó, các nhà Toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng
phương trình vi phân thường.
Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong
phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết của
mình về vấn đề :
“Giải gần đúng một số lớp phƣơng trình vi phân thƣờng
và ứng dụng Maple trong tính toán”
Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thường
Chương 3: Ứng dụng của Maple trong tính toán

Tuy đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa
luận của em chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của quý thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

3

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Sai số
1.1.1. Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối
a, Khái niệm về số gần đúng. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
Trong tính toán thông thường người ta không biết số đúng a 0 mà chỉ biết
các số gần đúng của nó là a . Sai số được gọi là gần đúng của a , độ lệch

h  a0  a được gọi là sai số thực của a . Vì không biết a 0 nên không biết h .
Tuy nhiên, ta

có thể xác định được một số dương a  h sao cho

a  a  a0  a  a . Số a bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là sai số
tuyệt đối của a . Tỷ số   a được gọi là sai số tương đối của a , a có cùng
a

thứ nguyên với a , còn  a là số không có thứ nguyên và được biểu diễn bằng
0

0

, 0 00 ,…

b, Sự thu gọn các số, sai số thu gọn.
Giả sử a được biểu diễn dưới dạng số thập phân
a    p10 p   p 110 p 1  ...   p q 10 p q 

trong đó i  i  p, p 1,..., p  q  là các số nguyên dương từ 0 đến 9.
Chẳng hạn a  123, 45  1.102  2.101  3.10 0  4.10 1  5.10 2
ở đây p  2, q  4, 2  1, 1  2, 0  3, 1  4, 2  5.
Thu gọn a là vứt bỏ đi một số hạng bên phải trong biểu diễn của a để
được một số gần đúng a gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết.
Quy ước nếu chữ số đầu tiên bỏ đi tính từ bên trái qua có giá trị

5

gọn ta tăng thêm vào chữ số cuối cùng giữ lại một đơn vị, nếu

thì giữ nguyên.

5

thì khi thu

Trường hợp chữ số bỏ đi đúng bằng 5 và các chữ số tiếp theo toàn là chữ số 0 thì
chữ số cuối cùng giữ lại để nguyên nếu có là số chẵn và tăng thêm một đơn vị
nếu là số lẻ (tính toán với số chẵn thuận lợi hơn).
4

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ: Thu gọn đến hai chữ số sau dấu phẩy với các số sau:
a  57,96573,
a  45,75124,
a  302,36500,
a  432,22500,

a  57,97
a  45,75
a  302,36
a  432,23

c, Cách viết các số gần đúng
Thường viết số gần đúng kèm theo sai số (tuyệt đối hay tương đối).
 0,05 
 ; b  0,0085  0,03 ; c  146  2 0 0 

0,02



Chẳng hạn: a  13,52 

Trong các bảng số thường giữ lại các chữ số chắc tức là các số mà chữ số
cuối cùng được giữ lại có bậc tương ứng sai số tuyệt đối theo quy tắc làm tròn số
( ở đây không đưa ra định nghĩa chính xác của chữ số chắc).
1.1.2. Sai số tính toán

Giả sử cần tính giá trị của một hàm y 0  f ( x10 , x20 ,... xn0 ) trong đó chỉ biết các
giá trị gần đúng x1 , x2 ,..., xn với các sai số tương ứng xi ( hay  xi ) ( i  1, n ).
Sai số của giá trị y  f  x1 , x2 ,..., xn  được gọi là sai số tính toán. Giả sử f là một
hàm khả vi, liên tục theo các biến xi . Khi đó:

y  y0  f  x1, x2 ,..., xn   f ( x10 , x20 ,.., xn0 )
Như vậy ta có thể viết:

y y 
0

 f  x , x ,..., x   x  x    f  x , x ,..., x  x
n

n

'

i 1

i

1

2

n

i

0
i

i 1

'
1

1

2

n

i

 y

(1)

Ta có công thức:
n

y   f i '  x1, x2 ,..., xn  xi

(2)

n
y n fi '  x1 , x2 ,..., xn 


y 
xi  
ln f  x1 , x2 ,..., xn  xi
y i 1 f  x1 , x2 ,..., xn 
i 1 xi

(3)

i 1

5

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Công thức (3) đôi khi có thể viết  y   ln y

(4)

a, Sai số cuả tổng

y  x1  x2  ....  xn ,

y 'x  1
i

( i  1, n )
n

Theo công thức (2) ta có : y   xi
i 1

Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.
Nếu tổng đại số có giá trị nhỏ thì sai số tương đối   y trở nên rất lớn ( vì
y

y quá bé) nên kết quả mất hẳn tính chính xác. Vì vậy trong quá trình tính toán

các công thức đưa đến việc tính cách hiệu số của hai số rất gần nhau. Chẳng hạn
khi tính nghiệm của phương trình bậc hai ax2  bx  c  0, b  0 theo công thức

b  b2  4ac
x
mà 4ac rất nhỏ so với b2 thì ta thay bằng biểu thức tương
2a
đương x 

2c
.
b  b2  4ac

b, Sai số của tích

y  x1 x2 ....xn
ln y  ln x1  ln x2  ....  ln xn
n

n

i 1

i 1

Theo công thức (4) ta có  y   ln y    ln xi    xi
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của từng thành phần.
c, Sai số của thương: y  x1

x2

x
1
 y'x  , y'x   12
x2
x2
1

2

6

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Từ đó y 

x2 x1  x1x2
,
x22

 y   x1   x2

d, Sai số của các phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo
Cho y  x , khi đó  y 
 Nếu

d
ln y ; x    x
dx

  1 (phép lũy thừa) thì  y   x , do đó độ chính xác giảm

 Nếu 0    1 thì ta có phép khai căn, khi đó  y   x hay độ chính xác
tăng.
 Nếu

  1 ta có phép nghịch đảo, khi đó  y   x nghĩa là độ chính xác

không đổi.
1.1.3. Bài toán ngược của sai số
Giả sử cần tính y  f  x1, x2 , ...., xn  với các sai số cần có là y   .
Hãy xác định sai số cần thiết phải đạt của các đối số xi .





Nguyên lý ảnh hưởng đều: Giả sử f x' xi  const i  1, n . Khi đó
i

n

y   f x'i xi  n.const 
i 1

y
y

 f x'i xi  xi 

n
n f x'i n f x'i

Ví dụ: Một hình trụ có bán kính đáy r  2m , chiều cao h  3m . Hãy xác
định r và h sao cho thể tích V được tính chính xác đến 0.1m3
Giải
Ta có V   r 2h; V  0,1 m3 ;   3,14; h  3 m; r  2 m; n  3 .

V
0,1
 2 rh  37,7  r 
 0,001;
r
3.37,7
V
0,01
 r 2 h  12   
 0,003;


3.12

7

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp

V
0,1
  r 2  12,6  h 
 0,001;
h
3.12,6
1.2. Khái quát về phƣơng trình vi phân
1.2.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các đạo
hàm của nó.
 Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương trình
vi phân thường.
 Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có phương
trình đạo hàm riêng.
 Phương trình vi phân thường cấp 1 là phương trình biểu diễn dưới dạng

dx
 f  t , x  hay F  x, y, y '  0.
dt
Sau này trong các phương pháp giải tích ta chỉ cần nghiên cứu các phương
trình vi phân thường cấp 1 với bài toán Cauchy.

1.2.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1
* Xét bài toán (1-2)
 dx
 f t, x 

 dt
 x(0)  x
0


(1)

 t , x    0,T    x0  r; x0  r 

(2)

trong đó x(t ) là hàm một biến xác định trên 0,T 
Được gọi là bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1.
Lớp bài toán Cauchy có thể giải được bằng các phép cầu phương rất hẹp.
do vậy thông thường để giải các bài toán (1-2) ta phải sử dụng các phương pháp
giải gần đúng (tích phân gần đúng).

8

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Tuy nhiên, trước khi sử dụng các phương pháp tích phân gần đúng ta cần biết
bài toán (1-2) có tồn tại nghiệm hay không và tính duy nhất của nghiệm. Vì nếu

thiếu điều kiện duy nhất thì ta không xác định được đâu là nghiệm cần tìm.
1.2.3. Một số định lý
Xét bài toán (1-2)
 dx
 f t, x 

 dt
 x(0)  x
0


(1)

 t , x    0,T    x0  r; x0  r 

(2)

a, Định lý 1( định lý tồn tại nghiệm)
Xét bài toán (1-2)
Nếu f (t , x) là hàm liên tục trên hình chữ nhật R ( r  0 cố định) thì tồn tại
ít nhất một nghiệm x(t ) của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện (2) tức là x(t )
là nghiệm của bài toán (1-2).
b, Định lý 2 ( định lý duy nhất nghiệm)
Xét bài toán (1-2)
Nếu f (t , x) là hàm liên tục trên hình chữ nhật R ( r  0 cố định) và f (t , x)
thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến x trên hình chữ nhật R, tức là

f  t, x   f  t , y   N x  y trong đó N là hằng số (gọi là hằng Lipsit) thì nghiệm
của bài toán (1  2) xác định là duy nhất.
 Từ hai định lý trên ta có định lý sau:

c, Định lý 3 ( định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)
Xét bài toán (1-2).
Hàm f (t , x) xác định trong R ( r  0 cố định) thỏa mãn hai điều kiện:

1 : f  t, x  liên tục trên R và do R đóng và bị chặn nên:
ax f  t , x 
f  t , x   M với M  (m
t , x )R

9

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp

2 : f  t, x  thỏa mãn điều kiện Lipsit:
f  t, x   f t, y   N x  y

(với N là hằng số)

Thì tồn tại duy nhất nghiệm x(t ) của bài toán (1-2) xác định trên 0,T  .

10

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Chƣơng 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG
2.1. Một số phƣơng pháp giải tích
Là phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức, tức là ta đi xây dựng
dãy hàm yn ( x) , x   a.b sao cho yn ( x)  y* ( x) ,

*
x   a, b . Trong đó, y ( x)

là nghiệm của phương trình.
2.1.1. Phương pháp chuỗi hàm
a, Nội dung phương pháp
Xét bài toán (1-2):
 y '  f ( x, y)

 y( x0 )  y0

( x, y)  D, ( x0 , y0 )  D

Giả sử y  y( x) là nghiệm của bài toán (1  2) và y( x) phân tích được thành
chuỗi Taylor.

y( x)  y( x0 )  y '( x0 )( x  x0 ) 

y ''( x0 )
( x  x0 )2  ...
2!

(3)

*) Xác định các đạo hàm y k ( x0 ).

Theo điều kiện (2) ta có y( x0 )  y0 , do y( x) là nghiệm của (1) nên từ (3) ta có:

y '( x)  f  x, y( x) 
y '( x0 )  f  x0 , y( x0 )   f  x0 , y0 

(4)

Đạo hàm hai vế của (4) ta được

y ''( x)  f x'  x, y( x)   f y'  x, y( x)  . y '( x)

(5)

 y ''( x0 )  f x'  x0 , y0   f y'  x0 , y0  . f  x0 , y0 
Từ đó ta xác định được y ''( x0 ) .

11

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Tương tự, ta xác định được y '''( x0 ), y 4 ( x0 ), y5 ( x0 ),...... Giả sử trong công thức
(3) ta xác định được tất cả các đạo hàm thì khi đó nghiệm gần đúng của phương
trình có dạng

y n ( x0 )

( x  x0 )n 
n!

yn ( x)  y( x0 )  y '( x0 )( x  x0 ) 

Khi đó ta có y n ( x)  y* ( x) , y* ( x) là nghiệm chính xác của phương trình
y  n1 ( x0 )
yn ( x)  y ( x) 
( x  x0 )n1 
n 1
*

Giả sử các đạo hàm riêng của f  x, y  các cấp (n  1) bị chặn

f x n.1y
k

n1k

( x0 , y0 )  M ; n

thì

yn ( x)  y* ( x) 

M
x  x0
(n  1)!

n 1




x  x0
x  x0

 ... 
1 
n  2 (n  2)(n  3)



Rn ( x)
Khi x  x0   thì

Rn ( x)  c  yn ( x)  y* ( x) 

c.M
n 1
x  x0
, x : x  x0  
(n 1)!

 yn ( x)  y* ( x) 

*) Ta chứng minh

c.M n1

(có thể
(n  1)!

 0)

cM
 n 1  0
(
n

1)!
n
lim



 n1

Thật vậy, xét chuỗi  (n  1)!
n 1
 n1
 n2
, un1 
Đặt un 
(n  1)!

(n  2)!

u



n 1

 lim
01
khi đó ta có lim
n  u
n  n  2
n

12

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp


Cho nên chuỗi số

 n 1

 (n  1)! hội tụ . Suy ra lim u

n

n 

n 1

0

b, Ví dụ

Giải xấp xỉ bài toán sau bằng phương pháp chuỗi hàm, tìm nghiệm xấp xỉ của
bài toán dưới dạng tổng riêng gồm 4 số hạng đầu tiên của chuỗi hàm

y ''  xy '  e x

, y(0)  1, y '(0)  0

2

Giải
Giả sử y( x) là nghiệm của bài toán trên. Khai triển y( x) thành chuỗi
Taylor ta được

y( x)  y(0) 

y '(0) x
y ''(0) 2 y '''(0) 3

x 
x 
1!
2!
3!



y ( n ) (0) n
x 
n!

x
x
Từ phương trình y ''  xy '  e  y ''  e  xy '
2

2

x
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình y ''  e  xy ' đến bậc 8 ta được:
2

y '''( x)   2 xe x  xy ''  y ' ;
2

y  4 ( x)  (2  4 x 2 )e x  xy '''  2 y '' ;
2

y 5 ( x)  (12 x  8 x3 )e x  xy  4  3 y ''' ;
2

y  6 ( x)  (12  48 x 2  16 x 4 )e x  xy 5  4 y  4 ;
2

y  7  ( x)  (120 x  160 x3  32 x5 )e x  xy  6  4 y 5 ;
2

y 8 ( x)  (120  720 x 2  1120 x 4  320 x 6 )e x  xy  7   4 y  6 ;
2

Ta có

y(0)  1 ; y '(0)  0

 y ''(0)  1; y '''(0)  0 ; y 4 (0)   4
y (5) (0)  0 ; y  6 (0)  28 ; y 7 (0)  0 ; y 8 (0)   288 ;

Vậy nghiệm xấp xỉ của bài toán có dạng
y ( x)  1 

x2
x4 7 x6
x8




2!
6 180 140

13

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
2.1.2. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp hệ số bất định áp dụng để giải phương trình tuyến tính với hàm số
biến thiên. Cụ thể như sau:
a,Nội dung phương pháp
Xét bài toán Cauchy đối với phương trình tuyến tính cấp 2

y ''  p( x) y '  q( x) y  r ( x)
y(0)  y0 ; y '(0)  y0

(6)
(7)

Giải
Giả sử các hàm p( x), q( x), r ( x) được khai triển thành chuỗi lũy thừa theo x






n 0

n 0

n 0

Đặt p( x)   pn xn , q( x)   qn x n , r ( x)   rn x n

(8)


Ta tìm nghiệm của bài toán (6  7) dưới dạng chuỗi lũy thừa y( x)   an xn
n 0

(9)

trong đó an cần phải xác định.
Lấy đạo hàm y ', y '' theo (9) ta có


y '   n.an xn1
n 1





y ''   n(n 1).an x n2
n2

Sau đó thay các chuỗi biểu diễn p( x), q( x), r ( x), y ', y '' vào (1) ta được


 n(n 1)a x
n2

n

n2





  pn x . n.an x

n

n 0

n 1

n 1







  qn x . an x  rn x n
n

n 0

n

n 1

(10)

n 0

Nhân các chuỗi và cân bằng hệ số của những lũy thừa cùng bậc ở hai vế ta được
phương trình

2a2  a1 p0  a0 q0  r0 ;
3.2a3  2a2 p0  a1 p1  a0 q1  a1q0  r1 ;

4.3a4  3a3 p0  2a2 p1  a1 p1  a2 q0  a0 q1  a0 q2  r2 ;

14

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Ta có a0 , a1 được xác định từ điều kiện y(0)  y0 ; y '(0)  y0
Cụ thể từ (9): y( x)
y '( x)

x 0

x 0

 a0  a1 x  a2 x 2 

 a1  2a2 x  3a3 x 2 

x 0

x 0



y0  a0

 y1  a1

Thay a0 , a1 vào (10) thì ta được a2
Thay a0 , a1, a2 vào phương trình tiếp theo của (10) thì ta được a3 . Làm tương tự
như vậy ta được a4 ,
+) Về nguyên tắc ta xác định được tất cả các an , nhưng trong thực tiễn ta
chỉ lấy một tổng riêng của chuỗi (9). Khi đó ta xác định được nghiệm xấp xỉ của
phương trình vi phân.
N

Chẳng hạn, lấy yN ( x)   an x n khi đó yN ( x)  y( x)
x 0

Nhận xét: Có thể chứng minh được rằng nếu chuỗi lũy thừa trong (8) có bán
kính hội tụ bằng R thì chuỗi lũy thừa trong công thức (9) cũng có bán kính hội
tụ bằng R. Và công thức (9) sau khi xác định an thì nó là nghiệm của bài toán
(1-2).
b, Ví dụ
Giải xấp xỉ bài toán sau bằng phương pháp hệ số bất định

xy ''  y '  xy  0
y(0)  1 ; y '(0)  0

(11)
(12)

Giải
Ta tìm nghiệm của bài toán dưới dạng


y( x)   an x n  a0  a1 x  a2 x 2 
n 0

 an x n 

Lấy đạo hàm cấp một và cấp hai hai vế của biểu thức trên ta được

15

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
y '( x)  a1  2a2 x  3a3 x 2  4a4 x 3 
y ''( x)  2a2  6a3 x  12a4 x 2 

Thay vào phương trình (11) ta được
a1  (2a2  2a2  a0 ) x  (6a3  3a3  a3 ) x 2 
 a1  (4a2  a0 ) x  (9a3  a1 ) x 2 

0
0

Từ điều kiện ban đầu ta xác định được

a0  1, a1  0
 4a  a  0
 2
0


9a3  a1  0
16a4  a2  0

a  1, a  0
1
 0

 a2   1 , a3  0
4

a4  1 64

Vậy nghiệm xấp xỉ của phương trình là y( x)  1 

x2 x4


4 64

2.1.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
a, Nội dung phương pháp
Xét bài toán Cauchy (1-2)
 y '  f ( x, y )

 y( x0 )  y0

( x, y )  D, ( x0 , y0 )  D

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp là phương pháp xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ yn ( x)

x

theo công thức yn ( x)  y0   f  x, yn1 ( x)  d ( x)

(13)

x0

Giả sử lim
yn ( x)  y* ( x) thì y* ( x) là nghiệm của bài toán (1)
n 
Trong lí thuyết phương trình vi phân thường đã chứng minh rằng: nếu
hàm f ( x, y) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y
f ( x, y1 )  f ( x, y2 )

 N y1  y2 , N  const

16

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
trong hình chữ nhật D với D  ( x, y)  R2 : x  x0  a , y  y0  b thì hàm
yn ( x) hội tụ tới nghiệm y* ( x) của phương trình (1) trên đoạn  x, x  h , h  0 là

một số dương nào đó và hàm y0 ( x) tùy ý cho trước.
Sai số giữa yn ( x) và y* ( x) được đánh giá bởi công thức sau :

 n  yn ( x)  y* ( x)  M .N

trong đó M  max f ( x, y) ,
( x , y )D
MN
Ta chứng minh công thức lim
n 
n



Thật vậy, xét chuỗi

n

( x  x0 )n1
(n  1)!

(14)

 b 
h  min  a,

( x , y )D
 M

( x  x0 )n 1
(n  1)!

 0

N n ( x  x0 )n1

(15)

(n  1)!

n 1

Áp dụng dấu hiệu Dalambe với un 

N n ( x  x0 )n 1
(n  1)!

un  0 .
Chuỗi (9) hội tụ theo điều kiện cần của chuỗi hội tụ thì lim
n 

( x  x0 )n1
MN
 0
Do đó lim
n 
(n  1)!
n

b, Ví dụ
Tìm ba nghiệm xấp xỉ liên tiếp của phương trình sau
y '  ysin x  x , y(0)  0

Giải
x

Thay bài toán trên bởi phương trình y( x)    ysin x  x  dx
0

Áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ đầu tiên y0 ( x)  0
x

2

0

2

Khi đó ta có y1 ( x)   xdx  x

17

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
x

 x2

0

 2

 y2 ( x)   




x2
x2
x2 
x2
sin xdx 
 x sin x  1   cos x  1
2
2
2
0 2

x

sin x  x  dx  





x2 
x2 
y3 ( x)    x sin x  1   cos x  1 sin x  x  dx
2
2 
0




x

x


x 2  sin 2 x x 2
   x sin 2 x  1  
 sin x  x  dx  cos x  1
2 2
2
0


2
2
x
x
x

x  sin 2 x
x
  x sin 2 xdx   1  
dx   sin x  xdx  cos x 1
2 2
0
0
0 2

x2 x
cos2 x
 x cos2 x 
dx 
 sin 2 x 
1
+) Tính I1   x sin xdx    

2 
4 4
8
0
0 2
x

x

2

x

 x2
 cos2 x
x2  sin 2 x
xcos2 x
1
dx   1
 
dx 
+) Tính I 2   1  

2 2
4
4
0
2
 2
 4
x

 x2
 cos2 x x sin 2 x cos2 x 5
  1



8
16
16
 2
 4

Suy ra y3 ( x) 

3x 2
3
x2
2 x 2 11
5
 x sin x  x sin 2 x  (1  )cos x 
cos2 x 

4
8
2
16
16

Vậy ba nghiệm xấp xỉ cần tìm là:

y1 ( x) 

x2
2

;


y2 ( x)  x sin x  1 


y3 ( x) 

x2 
x2
cos
x

1 ;
2 
2

3x 2
3
x2
2 x 2 11
5
 x sin x  x sin 2 x  (1  )cos x 
cos2 x 
4
8
2
16
16

2.2. Một số phƣơng pháp số
Phương pháp số là phương pháp tìm nghiệm của phương trình dưới dạng
bảng số, tức là ta chỉ cần tìm các giá trị yi  y( xi ) ; i  0, n ; xi  a, b  .
Đoạn  a, b  được chia thành n phần bằng nhau x0  a, xi  a  (i 1)

18

ba
,
n

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
đặt h  b  a thì x0  a, xi  a  (i 1)h ,
n

i  1, n

2.2.1. Các phương pháp Euler
a,. Phương pháp Euler
 Nội dung phương pháp
Xét bài toán (1-2)
 y '  f ( x, y )

 y( x0 )  y0

( x, y )  D, ( x0 , y0 )  D

Giả sử f ( x, y) xác định trong hình chữ nhật D ,

D  ( x, y)  R2 : x  x0  a , y  y0  b thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y :

f ( x, y)  f ( x, y)  L y  y , ( x, y), ( x, y)  D
Giả sử M  max f ( x, y) thì bài toán (1-2) có nghiệm duy nhất yn ( x)  y* ( x)
x , y D




b
trong đó x   x0   , x0    ,   min(a, )
M
+) Xét đoạn  x0   , x0   
Chia đoạn

 x0   , x0   



thành n phần bằng nhau, h  , h  0 .
n

x1  x0  h, x2  x0  2h,...., xn  x0  nh, xi  x0  ih
yi  y* ( xi ),

f i  f ( xi , yi ), i  0, n

Theo phương pháp sai phân ta thấy

y' ( xi ) 

yi 1  yi
; yi 1  y* ( xi  h) yi  y* ( xi )
h

Từ (1) và (16) ta có fi  f ( xi , yi ) ;

yi 1  yi
 fi
h

Suy ra yi 1  yi  hfi , i  0, n

(16)
(17)

(18)

19

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
y0 đã biết từ điều kiện (2).

Phương pháp tìm nghiệm dưới dạng bảng số theo công thức (18) được gọi là
phương pháp Euler.
(*) Ý nghĩa hình học
Kí hiệu M i  ( xi , yi ) trong đó yi được xác định theo công thức (18)
- Nối các điểm M 0 với M 1 , M 1 với M 2 ,..., Mn1 với M n thì ta được đường
gấp khúc, kí hiệu G  M 0 , M1,....., M n .
- Đường gấp khúc G được gọi là đường gấp khúc Euler
Giả sử V là nghiệm của bài toán (1-2) và có đồ thị là đường cong (C ) thì dáng
điệu của đường gấp khúc G gần đúng với dáng điệu của đường cong (C )
Khi h càng nhỏ thì đường gấp khúc Euler càng gần với đồ thị của nghiệm.
 Ví dụ
Giải phương trình sau bằng phương pháp Euler
y' 

1
1
  0,5 y 2
2
x
x

,

y (1)  2

,  a, b   1, 2

Giải
Ta chia đoạn  a, b  thành 10 phần bằng nhau : h  0,1
Ta kí hiệu: f ( xi, yi )  12  yi  0,5 yi2 , yi  hf ( xi, yi ) ; i  0,10
xi

xi

Áp dụng phương pháp Euler thì yi 1  yi  i  yi  hf ( xi , yi )
Kết quả được tính trong bảng sau:

20

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
i

xi

yi

f  xi , yi 

y

0
1
2
3
4
5

1,0
1,1
1, 2
1,3
1, 4
1,5

2,0
1,7
1,4836
1,31396
1,19001
1,08522

3
2,16401
1,64242
1, 29354
1,04786
0,86789

 0,3
0, 2164
0,16424
0,12936
0,10478
0,08679

6
7
8
9
10

1,6
1,7
1,8
1,9
2,0

0,99843
0,92525
0,86262
0,80836
0,76084

0,73183
0,62628
0,54264
0,47516

0,07318
0,06263
0,05426
0,04752

b, Phương pháp Euler cải tiến thứ 1
 Nội dung phương pháp
Xét bài toán (1-2)
 y '  f ( x, y )

 y( x0 )  y0

( x, y )  D, ( x0 , y0 )  D

Giả sử hàm f ( x, y) xác định trong hình chữ nhật D ,
D  ( x, y)  R 2 : x  x0  a , y  y0  b thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y :

f ( x, y)  f ( x, y)

 L y  y , ( x, y), ( x, y)  D

*
Giả sử M  max f ( x, y) thì bài toán (1-2) có nghiệm duy nhất yn ( x)  y ( x)

 x , y D

trong đó x   x0   , x0    ,   min(a, b )
M

+) Xét đoạn  x0   , x0   

21

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Chia đoạn
Đặt

x

i

1
2

 x0   , x0    thành n
 xi 

h
2

;

y

i

1
2

phần bằng nhau, h 

 yi 

h
f
2 i

;

f

i

1
2


n

, h  0.

 f (x

i

1

2

;y

i

1
2

)

Sau đó tính yi 1  yi  hfi  1

2

 Ví dụ
Giải phương trình sau bằng phương pháp Euler cải tiến thứ 1
y'  e x  y 2 ,

y(0)  0,

h  0,04

Giải
Áp dụng phương pháp Euler cải tiến thứ nhất, ta có kết quả dưới bảng sau:

i

xi

yi

0
1
2
3
4
5

0
0, 04
0, 08
0,12
0,16
0, 2

0
0, 040792
0, 083114
0,126883
0,172005
0, 218375

x

h
fi
2

i

0, 02
0, 020783
0, 021528
0, 022228
0, 022879

1
2

0, 02
0, 06
0,1
0,14
0,18

y

i

1
2

0, 02
0, 061575
0,104642
0,149111
0,194884

yi  hf

i

1
2

0, 040792
0, 042322
0, 043769
0, 045122
0, 046370

c, Phương pháp Euler cải tiến thứ 2
 Nội dung phương pháp
Xét bài toán (1-2)
 y '  f ( x, y )

 y( x0 )  y0

( x, y )  D, ( x0 , y0 )  D

22

SVTH: Bùi Huyền Trang