Khóa luận tốt nghiệp toán Giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân thường và ứng dụng Maple trong tính toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (401.45 KB, 48 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
Khóa luận tốt nghiệp
KHOA TỐN
———————* * *———————
BÙI HUN TRANG
GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SĨ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ ỨNG
DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TỐN
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• •••
Chuyên ngành: Giải tích
HÀ NỘI - 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • • KHOA TỐN
BÙI HUYỀN TRANG
GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỔ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ ỨNG
SVTH: Bùi Huyền Trang
DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TỐN
Khóa luận tốt nghiệp
KHĨA LN TỐT NGHIÊP ĐAI HOC
• • • •
Chun ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS
KHUẤT VĂN NINH
HÀ NỘI 2014 LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Giải tích đã tạo điều kiện giúp đỡ và
đóng góp ý kiến cho em trong suốt thòi gian học tập và nghiên cứu tại trường. Đặc biệt, em bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Khuất Văn Ninh - người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình để
em có thể hồn thành khóa luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh YỈên thưc hiên
• •
Bùi Huyền Trang
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này được hồn hành dưói sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Khuất Văn Ninh
cùng vói sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả
SVTH: Bùi Huyền Trang
nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Khóa luận tốt nghiệp
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân,
không trùng với khóa luận của tác giả nào.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thưc hiên
• •
Bùi Huyền Trang
MỤC LỤC
SVTH: Bùi Huyền Trang
Khóa luận tốt nghiệp
LỜI NĨI ĐÀU
Tốn học là mơn học khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của Toán học được
đánh dấu bỏi những ứng dụng của nó vào việc giải quyết các bài tốn thực tiễn. Trong lĩnh vực
Toán ứng dụng thường gặp rất nhiều bài tốn liên quan đến phương trình vi phân thường . Vì vậy
việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trị rất quan trọng trong lí thuyết Tốn học.
Chúng ta biết rằng chỉ có một số ít các phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm
chính xác, trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài tốn thực tiễn đều
khơng tìm được nghiệm chính xác. Do vậy, một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần
đúng của phương trình vi phân. Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà Tốn học đã tìm ra nhiều phương
pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường.
Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong phạm vi của một
khóa luận tốt nghiệp em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết của mình về vấn đề :
“Giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân thường và ứng dụng Maple trong tính
tốn”
Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thường Chương 3: ứng
dụng của Maple trong tính tốn
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và năng lực cịn hạn chế nên khóa luận của em
chắc chắn cịn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của q thầy cơ và các bạn
để khóa luận được hồn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.
Sai số
1.1.1.
Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối
a, Khái niệm về số gần đúng. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
Trong tính tốn thơng thường người ta không biết số đúng <2° mà chỉ biết
4
SVTH: Bùi Huyền Trang
Khóa luận tốt nghiệp
các số gần đúng của nó là a. Sai số được gọi là gần đúng của a, độ lệch h = a°-a được gọi là
sai số thực của a. Vì khơng biết a° nên khơng biết h. Tuy nhiên, ta có thể xác định được một
số dương Aa > \h\ sao cho a—Aa
tuyêt đối của a. Tỷ số s = — đươc goi là sai số tương đối của« ,Aa có cùng
\a\
thứ ngun với a, cịn Sa là số khơng có thứ ngun và được biểu diễn bằng
0/ 0/
/0 ’ /00 5 • • •
b, Sự thu gọn các số, sai số thu gọn.
Giả sử« được biểu diễn dưới dạng số thập phân
a = {PpW +Pp_1W1
1(F-’)
trong đó (i = p,p-\,...,p-q) là các số nguyên dương tò 0 đến 9.
Chẳng hạn a = 123,45 = 1.102 +2.101 +3.10° +4.101 +5.10'2 ở
đây P = 2,q = 4,p 2 =\,p i =2,p ữ =
= A,p_2 = 5.
Thu gọn a là vứt bỏ đi một số hạng bên phải trong biểu diễn của a để được một số gần
đúngữ gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết. Quy ước nếu chữ số đầu tiên bỏ đi
tính từ bên trái qua có giá trị >5 thì khi thu gọn ta tăng thêm vào chữ số cuối cùng giữ lại một
đơn vị, nếu < 5 thì giữ nguyên. Trường họp chữ số bỏ đi đúng bằng 5 và các chữ số tiếp theo
toàn là chữ số 0 thì chữ số cuối cùng giữ lại để nguyên nếu có là số chẵn và tăng thêm một
đơn yị nếu là số lẻ (tính tốn với số chẵn thuận lợi hơn).
5
SVTH: Bùi Huyền Trang
Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ: Thu gọn đến hai chữ số sau dấu phẩy vói các số sau:
a = 57,96573, ã = 51,91 « =
45,75124,
ã
=
45,75
«
=
302,36500, ã = 302,36 « =
432,22500, ã = 432,23
c, Cách viết các số gần đúng
Thường viết số gần đúng kèm theo sai số (tuyệt đối hay tương đối).
^+0,05"
-0,02) Chẳng hạn: a = 13,52
; b = 0,0085(±0,03); c = 146(±2%)
Trong các bảng số thường giữ lại các chữ số chắc tức là các số mà chữ số cuối cùng được
giữ lại có bậc tương ứng sai số tuyệt đối theo quy tắc làm tròn số ( ở đây khơng đưa ra định nghĩa
chính xác của chữ số chắc).
1.1.2.
Sai số tính tốn
Giả sử cần tính giá trị của một hàm y° = /Oq0,*°)trong đó chỉ biết các
giá trị gần đúng xỉ,x2,...,xn vói các sai số tương ứng ầXi ( hay Ổ X Ị ) ( i = l,n). Sai số của giá trị y =
f(xl,x2,...,xn) được gọi là sai số tính tốn. Giả sử / là một hàm khả vi, liên tục theo các biến Xị. Khi
đó:
y-y°=f{xi,x2”~ ^n)-f{^,xị,..,x0n)
Như vậy ta có thể viết:
0
. .*„)(*!--*?)
i=l i=\
^y = Ễ\fi{xí^2,...,xn)Ỳ^ci
*„)K-=A>’
(
(2
)
nQ
\y\ tí
i=1
6
SVTH: Bùi Huyền Trang
Cơng thức (3) đơi khi có thể viết Sy - Aln _y
(4)
a, Sai số cuả tổng
y = xl+x2+....+xn,
3^=1 (i = ì , n )
Theo cơng thức (2) ta có : Ay = Ỳ, ÁXị
i= 1
Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng. Nếu tổng đai số
có giá tri nhỏ thì sai số tương đối Aổ = trở nên rất lớn ( vì
\y\
I q bé) nên kết quả mất hẳn tính chính xác. Vì vậy trong q trình tính tốn
các cơng thức đưa đến việc tính cách hiệu số của hai số rất gần nhau. Chẳng hạn khi tính
nghiệm của phương trình bậc hai ax2 +bx+c = 0, b> 0 theo công thức
_—b + yjb2 — 4ac
r
X =---------- mà 4ac rât nhỏ so vói b thì ta thay băng biêu thức tương
_ - ~2c đương x = ~—,
.
b+yỊb -4ac
b, Sai sổ của tích
y = XìX2....Xn
ln|j| = ln|jq|+ln|jẸ2|+....+ln|jc I
Theo cơng thức (4) ta có õy - Àln\ỵ\ - ^AlnỊx. I - ^ỔXị
i=ì
i= 1
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của từng thành phần.
c, Sai số của thương: y = —
\X 2 \AX 1
Từ đó Ay =
ổỵ = ổx 1 +
d, Sai sổ của các phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo
Cho y = xa , khi đó Sy -
d
d
lny ; ầx = \a\ỏx
• Nếu a> 1 (phép lũy thừa) thì ổy>ổx , do đó độ chính xác giảm
• Nếu 0
1.1.3.
Bài tốn ngược của sai số
Giả sử cần tính y = f (x1,x2,....,xn)vói các sai số cần có là Ay<£.
Hãy xác định sai số cần thiết phải đạt của các đối số Xị.
Nguyên lý ảnh hưởng đều: Giả sử f 'x AXị = consí ụ = l,nj. Khi đó
K Ay
í
,
n
i=\
\
II
ì
4
Ạv È /.
n
n
\
y
K
<
£
n
Á
Ví dụ: Một hình trụ có bán kứứi đáy r = 2m, chiều cao h = 3m. Hãy xác định Ar và Ah sao
cho thể tích V được tính chính xác đến 0.1m3
Giải
Ta có V = 7rr2h; AV=0,lra3; 71 = 3,14; h = 3m; r = 2m; n = 3.
Ẹ- = 2xrh = 37J=>Ar = ^g- < 0,001; õr3.37,7
d v _ 2, _ 1 0 A _0,01
= r h = 12 =>A n =
Õ7Ĩ
3.12
< 0,003;
^- = nr1 = \2fi =>AA = -ậi- < 0,001; dh
1.2.
3.12,6
Khái quát về phương trình vi phân
1.2.1.
Định nghĩa
Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các đạo hàm của nó.
• Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương trình vi phân thường.
• Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có phương trình đạo hàm riêng.
• Phương trình vi phân thường cấp 1 là phương trình biểu diễn dưới dạng
Sau này trong các phương pháp giải tích ta chỉ cần nghiên cứu các phương trình vi phân
thường cấp 1 với bài tốn Cauchy.
1.2.2.
Bài tốn Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1
* Xét bài tốn (1-2)
=
(1)
(ÍjJC)gR
x[*0
40)= X,
(2)
trong đó x(t) là hàm một biến xác định trên [0,r]
Được gọi là bài tốn Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1. Lớp bài tốn
Cauchy có thể giải được bằng các phép cầu phương rất hẹp. do vậy thông thường để giải các
bài toán (1-2) ta phải sử dụng các phương pháp giải gần đúng (tích phân gần đúng).
Tuy nhiên, trước khi sử dụng các phương pháp tích phân gần đúng ta cần biết bài tốn
(1-2) có tồn tại nghiệm hay khơng và tính duy nhất của nghiệm. Vì nếu thiếu điều kiện duy
nhất thì ta khơng xác định được đâu là nghiệm cần tìm.
1.2.3.
Một số định lý
Xét bài tốn (1-2)
_Ệ=f(t,x)
0)
XịXa_r.Xo+r-ị
x(0) = x0
(2)
a, Định lỷ 1( định lý tồn tại nghiệm)
Xét bài toán (1-2)
Nếu f(t,x) là hàm liên tục trên hình chữ nhật R (r > 0 cố định) thì tồn tại ít nhất một
nghiệm x(t) của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện (2) tức là x(t) là nghiệm của bài toán (12).
b, Định lỷ 2 (định lý duy nhất nghiêm)
Xét bài toán (1-2)
Nếu f ( t , x ) là hàm liên tục trên hình chữ nhật R (r>0cố định) và f ( t , x ) thỏa mãn điều
kiện Lipsit theo biến X trên hình chữ nhật R, tức là ị f ( t , x ) — f ( t , y ) ị < N \ x — y \ trong đó N
là hằng số (gọi là hằng Lipsit) thì nghiệm
của bài tốn (1 - 2) xác định là duy nhất.
> Từ hai định lý trên ta có định lý sau:
c, Định lỷ 3 (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)
Xét bài toán (1-2).
Hàm /(í,x) xác định trong R (r > 0 cố định) thỏa mãn hai điều kiện:
(1) : / (í, x) liên tục trên R và do R đóng và bị chặn nên:
|/(í,jc)|< M với M = max|/(í,x)|
(2) : / ịt, X) thỏa mãn điều kiện Lipsit:
ịf(t,x) — f(t,y)ị
(vói N
làhằngsố)
Thì tồn tại duy nhất nghiệm X ( t ) của bài toán (1-2) xác định trên [0,r].
Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
2.1.
Một số phương pháp giải tích
Là phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức, tức là ta đi xây dựng
dãy hàm y n { x ) , x & [ a b \ sao cho Jn(;c) 4/0),
x & [ a , b ] . Trong đó, J*(X)
là nghiệm của phương trình.
2.1.1.
Phương pháp chuỗi hàm
a, Nội dung phương pháp Xét
bài toán (1-2):
Giả sử y = y ( x ) là nghiệm của bài tốn (1-2) và ;y(jt) phân tích được thành chuỗi Taylor.
y(■*) = y ( x .0) + y 'OoX*■-■X o ) +
y
"^ (x-x0)2+...
(3
*) Xác định các đạo hàm y k (jc0).
Theo điều kiện (2) ta có j(x0) = y0, do ;y(X) là nghiệm của (1) nên từ (3) ta có:
y'(x) = f[x,y(x)']
(4)
y 'C*o) = /1>0> y(xo)] = / (*0. y )
0
??
(
=> y "(*o) = f c*0> y ) + fy (*0> y )-f (*0>y0)
x
0
Từ đó ta xác định được ỵ " ( x 0 ) .
0
Tương tự, ta xác định được yOo), y4)O0), y5)(x0),.........................Giả sử trong công thức
(3) ta xác định được tất cả các đạo hàm thì khi đó nghiệm gần đúng của phương trình có dạng
y n w = y ( x o ) + y 'COC*- *o) + .................................
............
Khi đó ta có >>"(*)» y\x), y*(x) là nghiệm chính xác của phương trình
( X - X 0T +1 +
n
Giả sử các đạo hàm riêng của f ( x , y ) các cấp ( n + 1)bị chặn
f^+1-k(x0ìỵ0)
< M\\fn
thì
<
ynix)-y\x)
<
M
(n +1)!
\x-xn
1
ị Ị ịX-
\x-xn
/___
Khi I*—*b| <C.M
(n+1)!
ổn+1 (có thể £>0)
*) Ta chứng minh lim -ổn+1 - 0
n^oo(,W + l)!
0 Sn+l
Thật vậy, xét chuỗi +
Đăt
• "
cM
(n+1)! ’ K+1
(n +
khi đó ta có "+1 —
,o =0<1
n-*» u B-*° n + 2
00 §n+^
Cho nên chuỗi số s , IN, hơi tu . Suy ra limun =0
v
n=ìựi + \)\ J
b, Ví dụ
Giải xấp xỉ bài toán sau bằng phương pháp chuỗi hàm, tìm nghiêm xấp xỉ của bài tốn
dưới dạng tổng riêng gồm 4 số hạng đầu tiên của chuỗi hàm
y" + xy' = e-*2
,
y(
0) = 1, y'( 0) = 0
Giải
Giả sử y(*) là nghiệm của bài toán trên. Khai triển yO) thành chuỗi Taylor ta được
Từ phương trình y” + xy' =e~ỵ2 -> y" = e-*-xy'
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình y" = e x - xy' đến bậc 8 ta được:
y"\x) = - 2 x e - x l - x y " - y ' ;
y{4\x) = (-2 + 4x2)e~x2-xy'"-2y" ;
y5)0t) = ( Ì 2 x —Sx3)e~xl — xy(4) -3y;
y{6)(x) = (ì2-4Sx2+ì6x4)ex2-xy{5)-4 y(4) ;
y(7)(x) = (-120X + 160x3-32x5)e~x2 -Xỵ(6) -4y(5) ;
y»)(jc) = (-120 + 720x2 -1120x4 + 320x6)e~x2 - xy(7) - 4y(6) ;
Ta có y ( 0) = 1 ;
y(0) = 0
=>/•(0) = 1;
/"(0) = 0; y4)(0) = -4
5
6
y )(0) = 0; y )(0) = 28; y7)(0) = 0; ys)(0) = -288;
Vậy nghiệm xấp xỉ của bài tốn có dạng
v2
4
n
v6
8
y(*) = 1+ 2 ! - 6" +Ĩ8Õ “ Ĩ4Õ +........................
2.1.2.
Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp hệ số bất định áp dụng để giải phương trình tuyến tính với hàm số biến thiên.
Cụ thể như sau:
a, Nội dung phương pháp
Xét bài tốn Cauchy đối với phương trình tuyến tính cấp 2
n=0
trong đó a cần phải xác định.
Lấy đạo hàm y \ y " theo (9) ta có
y' = £ n.anxH~l &
y"=
ị^nỌĩ-l)
.anxnl
Nhân các chuỗi và cân bằng hệ số của những lũy thừa cùng bậc ở hai vế ta được phương trình
2ữ2 + ũị PQ + ữ()(ỈQ — r0 \
3.2a3 + 2a2pữ + aìp1 + aữqẤ + aẤqữ = rẤ;
4.3a4 + 3a3pữ + 2a2pl +a1p1+ a2qữ + aữqx + aữq2 = r2;
Ta có a0, ữj được xác định từ điều kiện y(0) = y0 ; y(0) = y0 Cụ thê từ (9):
y0 — a 0
3>(jc) I x=0 — a 0 + a^x + a2X2 +...
y'(x) x=0 = a i + 2a2x + 3a3x2 + ...
>
yl=al
Thay a0, vào (10) thì ta được a2
Thay a0, ữ,, «2 vào phương trình tiếp theo của (10) thì ta được a3. Làm tương tự như vậy ta
được aA,...
+) về nguyên tắc ta xác định được tất cả các a
chỉ lấy một tổng riêng của chuỗi (9). Khi đó
, nhưng trong thựctiễn ta
ta xác địnhđược nghiệm xấp
xỉ
của
phương trình vi phân.
N
Chang hạn, lấy yN O) = X anx" khi đó yN O) ~ j(x)
*=0
Nhân xét: Có thể chứng minh được rằng nếu chuỗi lũy thừa trong (8) có bán kính hội tụ bằng
R thì chuỗi lũy thừa trong cơng thức (9) cũng có bán kính hội
tụ bằng R. Và cơng thức (9) sau khi xác định an thì nó là nghiệm của bài tốn
(1-2).
b, Ví dụ
Giải xấp xỉ bài tốn sau bằng phương pháp hệ sổ bất định
xy" + y' + xy = 0
(11)
y(0) = l ; /(0) =0
(12)
Giải
Ta tìm nghiệm của bài tốn dưói dạng
y(x) — ẳ anxH — a0+ a\x + a2x2 + • • •
n=0
Lấy đạo hàm cấp một và cấp hai hai vế của biểu thức trên ta được
y '(*) = ax + 2 a2x + 3 a3x2 + 4 a4x3 + ...
y "(*) = 2 a2 + 6 a3x +12 a4x2 +...
Thay vào phương trình (11) ta được
<2, + (2a2 + 2a2 + a0).x + (6a3 + 3a3 + a3)x2
+. ^
+ (4«2 + a^x + (9a3 + a^x2 +.
Từ điều kiện ban đầu ta xác định được
aQ = 1,
aQ = 1, a1 = 0
=0
4a2 + ữ0 = 0
<=> <í ữ2
/^4’ ứ3 0
9«3 + ữ1 - 0
ữ4_
Ì6a4 + a2 =
/64
X
2
J
t
4
Vây nghiêm xâp xỉ của phương trình là v(jt) = 1------------------1--------------------------------------------------------------------------1--------------------------------------------------------------------------4
6
4
2.1.3.
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
a, Nội dung phương pháp
Xét bài toán Cauchy (1-2)
y' = f ( x , y)
,
y(x0) = y0
( x , y ) G D , (X 0 , y 0 ) G D
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp là phương pháp xây dựng dãy
nghiệm xấp xỉ ỵ n ( x )
theo công thức ?„(*) = y 0 + Ị f { x , y n l ( x ) ) d ( x )
*0
Giả sử lim;ynO:) = /00 thì 3>*0) là nghiệm của bài tốn (1)
(13
n—>00
Trong lí thuyết phương trình vi phân thường đã
chứng minh rằng: nếu hàm /(X , y ) thỏa mãn điều kiện
Lipsit theo biến y
\f(x,yỉ)-f(x,y2)\ <
N
= consí
trong hình chữ nhật D với JD = |(jc,y)e/?2:|A:-jc0|<ữ,|j-j0|
đó và hàm y0(jc) tùy ý cho trước.
Sai số giữa y n ( x ) và /(jc)được đánh giá bỏi công thức sau :
(*-*o)”+1
yM-y\x)
(n+1)!
(1
a ,—
VMj
trong đó M = max \ f ( x , y)|, h = min
(x,y)eD
(x,y)^D
n+1
Ta chứng minh công thức lim M N
Thật vậy, xét chuỗi / ị
n
(n+1)
!
=0
^ N'
n=1
(15
(71
n
N cxx0)
Chuỗi (9) hội tụ theo điều kiện cần của chuỗi hội tụ thì lim u n - 0,
Áp dụng dấu hiệu Dalambe với u n -
Do đó lim M N
n—>00
(x-xoy
n
=
(/1+1)!
b, Ví dụ
Tìm ba nghiệm xấp xỉ liên tiếp của phương trình sau
y' = ysinjc + jc , y(0)= 0
Giải
Thay bài tốn trên bởi phương trình y(x) = I(y sin X + x ) d x
0
Áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ đầu tiên y0(jt) = 0
0
X
~
Khi đó ta có y ỉ ( x ) = )xdx =
r
X2
-—sinx + x
v2
^
y
2
(
x
)
y
(
xsin2x +
=
X2A
*2
V^y
X2
X2
dx= f^-sinjcdx+ ^- = xsinx+
1-4
JCSÌĨ
f
x
cos X +
,x1
sin X +
sin2x X2 " +^sinx+x
COSJÍ:
1
2
jr !
+ -^—
d
djt+ C0SJCx
X2
dx+ ị - ^ s i n x + xdx+cosx-ì ỉ 2
= JJCSÌII2 x d x
+1
+) Tính A = f xsin2 x d x = Ị
J *2
* . „ cos2;e
dx = ----7 sin 2*-—^—+1 4
X 0 _
0
cos2jc 2
f
íữ =
/2 \
T-1
V^
2
+)Tính/2=ĩ ^_jc ^sin 2x ra y3 (x) =
Suy
0
4
COS
2JC
4
X ^cos2x
-1
xsin 2x
8
4
-
4
COS
2JC
16
8
íxcos2x, 1
—dx+^
ị4
4
5
1
6
+ X sin X—^ X sin 2x+(1—^-) cos X +
8
2
Vậy ba nghiệm xấp xỉ cần tìm là:
jiW=y ; y 2 ( x ) =
1-4
2
3x
2.2.
2
COSX+ ", -1 ;
2
3 xsiriA: + 2 x - l l 5
X
y 3 ( x ) — — - + jtsinjt—^jcsin2jc+(l—— )cosjcH-----------------——cos2jc + -^
4 8
2
16
16
2
Một số phưong pháp số
b—
a
16
^ cos2x+
16
