Dao động tử biến dạng ĝ (LV00706)

1

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến
PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung
cấp cho em những kiến thức nền tảng để em hoàn thành bài luận văn này.
Thầy cũng là người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa
học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô công tác tại phòng sau Đại
Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ
đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012
Học viên

Nguyễn Hồng Vân


2

LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Nguyễn Hồng Vân, học viên cao học khóa 2010 – 2012
chuyên nghành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Dao động tử biến dạng gˆ ” là kết quả nghiên
cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung
thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận

văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012
Học viên

Nguyễn Hồng Vân


3
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
NỘI DUNG................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT.................. 3
1.1. Dao động tử biến dạng tổng quát........................................................ 3
1.1.1. Dao động tử biến dạng tổng quát ............................................... 3
1.1.2. Hàm cấu trúc F(x) ....................................................................... 5
1.2. Biểu diễn của dao động tử biến dạng tổng quát .............................. 23
1.2.1. Biểu diễn hữu hạn chiều của đại số dao động tử biến dạng
tổng quát ............................................................................................... 24
1.2.2. Biểu diễn vô hạn chiều của đại số dao động tử biến dạng
tổng quát ............................................................................................. 28
CHƯƠNG 2. NHÓM LƯỢNG TỬ.......................................................... 31
2.1. Biểu diễn dao động tử của đại số SU (2) ......................................... 31
2.2. Đại số biến dạng một thông số SU(2)q ............................................. 36
CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG

gˆ ..................................... 41

3.1. Ưu thế của biến dạng gˆ so với biến dạng q ................................ ...41
3.2. Hệ dao động tử biến dạng gˆ ............................................................ 43
3.3. Các tính chất của gˆ ............................................................................ 44
KẾT LUẬN ................................................................................................ 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 49


4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật
lý chi phối tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Trong lịch sử vật lý, các
nhà khoa học đã nhiều lần biến dạng các lý thuyết của mình để tạo nên các lý
thuyết mới đáp ứng nhu cầu thực tiễn.
Lý thuyết mới đã biến dạng là tổng quát hơn và chứa lý thuyết ban đầu,
lý thuyết ban đầu chỉ là một trường hợp giới hạn khi tham số biến dạng tiến
đến một giá trị đặc biệt.
Đại số biến dạng được các nhà vật lý đặc biệt quan tâm bởi chúng liên
quan đến nhiều vấn đề trong vật lý lý thuyết như nghiên cứu nghiệm của
phương trình Yang – baxter lượng tử, lý thuyết trường conformal hữu tỉ, lý
thuyết trường hai chiều với những thống kê phân số... Những năm gần đây,
một hướng phát triển mới của biến dạng lượng tử trong vật lý lượng tử hạt cơ
bản đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các nhà vật lý là lý thuyết biến
dạng lượng tử khi tham số trở thành toán tử. Lý thuyết biến dạng mới này có
nhiều ưu thế hơn so với lý thuyết biến dạng khi tham số biến dạng là c – số.
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu: “Dao động tử biến dạng gˆ ”.
Dao động tử biến dạng khi tham số biến dạng là toán tử.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các dao động tử biến dạng tổng quát.
- Nghiên cứu các dao động tử biến dạng gˆ .

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các dao động tử biến dạng, đưa ra biểu diễn của các dao
động tử biến dạng và tính thống kê của các dao động tử biến dạng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử.


5
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng.
- Phương pháp giải tích toán học.
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Đây là tài liệu tham khảo về dao động tử biến dạng cho sinh viên, học
viên cao học và những người quan tâm về lý thuyết biến dạng lượng tử.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn này gồm ba chương
Chương 1. Dao động tử biến dạng tổng quát.
Chương 2. Nhóm lượng tử.
Chương 3. Dao động tử biến dạng gˆ .


6
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT
1.1. Dao động tử biến dạng tổng quát
1.1.1. Dao động tử biến dạng tổng quát
Chúng ta sẽ bắt đầu từ một biến dạng bất kỳ của dao động tử và xây
dựng đại số của dao động tử biến dạng tổng quát bằng cách nghiên cứu các
tính chất của chúng. Những kết quả này là tổng quát và có thể áp dụng cho

mọi trường hợp biến dạng
Biến dạng tổng quát của dao động tử điều hòa có thể được cho bởi hệ
thức giao hoán cơ bản
aa + = g(a + a),

(1.1.1)

Trong đó a, a+ là các toán tử hermitic liên hợp.
Trong đại số của dao động tử bình thường hàm g(x) được định nghĩa
g ( x ) = 1 + x.

(1.1.2)

Khi sử dụng (1.1.1) và (1.1.2), ta có
éëa,a + ùû = 1 .

(1.1.3)

Toán tử số N được định nghĩa thông qua các hệ thức giao hoán

[ N,a ] = éëa +a,a ùû
= a éëa + ,a ùû + [ a,a ] a +
= -a
éë N,a + ùû = éëa + a,a + ùû

(1.1.4)

= a éëa + ,a + ùû + éëa,a + ùû a +
= a+
Giả sử rằng toán tử số N này được biểu diễn thông qua các toán tử sinh

hủy theo hệ thức


7
N = f ( a + a ).

(1.1.5)

Chúng ta sẽ tìm sự liên hệ giữa các hàm f(x) và g(x).
Sử dụng (1.1.1), ta có
éa, ( a + a )n ù = a ( a + a )n - ( a + a )n a
êë
úû
= ( aa + ) a - ( a + a ) a
n

n

((

)

)

= g ( a +a ) - ( a +a ) a .
n

n

(1.1.6)

Tương tự ta cũng thu được

((

)

)

é a + , ( a + a ) n ù = -a + g ( a + a ) n - ( a + a ) n .
ëê
ûú

(1.1.7)

Các phương trình (1.1.6) và (1.1.7) dẫn đến

((

)

)

éa,f ( a + a ) ù = f g ( a + a ) - f ( a + a ) a,
ë
û

((

)

(1.1.8)

)

éa + ,f ( a + a ) ù = -a + f g ( a + a ) - f ( a + a ) .
ë
û

(1.1.9)

Lưu ý (1.1.4) và (1.1.8), ta thấy nếu chọn
f (g(x)) = 1 + f (x)

(1.1.10)

thì hệ thức giao hoán (1.1.4) sẽ được thỏa mãn.
Như vậy từ phương trình (1.1.10), nếu biết hàm g(x) thì hàm f(x) sẽ
hoàn toàn được xác định.
Nếu ta gọi F(x) là hàm ngược của hàm f(x), tức là
F = f -1

hay

F ( f (x) ) = x

(1.1.11)

thì hàm g(x) sẽ được xác định thông qua hàm f(x) như sau
g(x) = F (1 + f (x) ) .

(1.1.12)


8
Trong phương trình (1.1.10), nếu ta thay x = a+a thì với định nghĩa
(1.1.1), biến dạng tổng quát của dao động tử điều hòa sẽ được biểu diễn thông
qua hệ thức giao hoán
f (aa + ) - f (a + a) = 1.

(1.1.13)

Đây là hệ thức giao hoán biến dạng của hệ thức giao hoán (1.1.3).
Trong hệ thức giao hoán biến dạng (1.1.13) này hàm f(x) (hay hàm F(x)) được
gọi là hàm cơ sở (hoặc hàm cấu trúc) của lý thuyết biến dạng, còn hàm g(x) là
hàm bổ trợ
Dưới đây là một số dạng hàm cấu trúc F(x) thường gặp
1.1.2. Hàm cấu trúc F(x)
1.1.2.1. Hàm cấu trúc F(x) = x
Hệ thức giao hoán của dao động tử điều hòa thỏa mãn
éë a, a + ùû = 1

(1.1.14)

Toán tử số dao động N có dạng:
N =a+a

(1.1.15)

Trong đó:

a: là toán tử hủy dao động tử
a+: là toán tử sinh dao động tử
Kết hợp (1.1.14) với (1.1.15) ta có:

[ N,a ] = éëa a,a ùû
+

= a éëa + ,a ùû + [ a,a ] a +
= -a

(1.1.16a)

éë N,a + ùû = éëa + a,a + ùû
= a éëa + ,a + ùû + éëa,a + ùû a +

= a+

(1.1.16b)


9
Xét không gian Fock với trạng thái chân không 0 thỏa mãn điều kiện:
a 0 =0

Trạng thái n là trạng thái có n dao động tử có thể thực hiện trong
không gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:

(a )
=
+

n

n

n!

0

n = 0, 1, 2....

n là trạng thái riêng của toán tử số dao động N ứng với trị riêng n:
N n =n n

Từ (1.1.14) và (1.1.17) ta tính được:

(a )
=a
+

an

n

n!

0

aa + (a + ) n -1
=

0
n!
(a + )n -1
= ( a a + 1)
0
n!
+

(a + ) n-2
(a + ) n -1
= a ( aa )
0 +
0
n!
n!
+

+

(a + ) n-2
(a + ) n-1
= a ( a a + 1)
0 +
0
n!
n!
+

+

(a + ) n-2
(a + ) n -1
=a a
0 +2
0
n!
n!
+2

= a + 3a

( a + ) n -3
(a + ) n -1
0 +3
0
n!
n!

= ...
a+na
(a + ) n -1
=
0 +n
0
n!
n!

(1.1.17)

10
(a + ) n -1
= n
0
(n - 1)!
a n = n n -1

(a )
+

a+ n = a+

n

n!

(a )
=
+

(1.1.19)

0

n +1

0

n!

(a )
+

= (n + 1)

n +1

(n + 1)!

0

= (n + 1) n + 1

(1.1.20)

Hamiltonian ca dao ng t iu hũa cú dng:
h2 d 2 1 2
H=+ kx
2m dx 2 2

(1.1.21)

thun tin khi vit cỏc cụng thc, thay cho cỏc toỏn t ta x v
xung lng -ih

d
ta dựng cỏc toỏn t ta v xung lng chớnh tc mi.
dx
x đ q = mx

-ih

d
h d
đ p = -i
dx
m dx

H thc giao hoỏn gia q v p

[ p,q ] = pq - qp
pqy = -

Xột

ih d
m dx

(

dy ử
ổ
mx y = -ih ỗy + x
ữ
dx ứ
ố

)

dy

ổ ih d ử
qpy = mx ỗ y = -ihx
ữ
dx
m dx ứ
ố
ị pqy - qpy = ( pq - qp )y = -ihy


11
Do đó

[ p,q ] = pq - qp = -ih
Hamiltonian (1.1.21) có thể biểu diễn qua q và p
-ih d
m dx
h2 d 2
2
p =m dx 2
p=-

kx 2 =

k
.mx 2
m

= w 2q 2

Do đó

H=

1 2
p + w 2q 2 )
(
2

(1.1.22)

Ta lại đặt
p=

hw
a + a+ )
(
2

q=i

h
a - a+ )
(
2w

p2 =
=

hw
a + a + )( a + a + )
(

2
2
hw é 2
a + aa + + a + a + ( a + ) ù
û
2 ë

w 2q 2 = =-

hw
a - a + )( a - a + )
(
2
2
hw é 2
a + aa + + a + a + ( a + ) ù
û
2 ë

Hamiltonian (1.1.21) được viết thành
2
2 ü
1 ì hw é 2
hw é 2
H= í
a + aa + + a + a + ( a + ) ù a - aa + - a + a + ( a + ) ù ý
û 2 ë
ûþ
2î 2 ë

12

H=

hw
aa + + a + a )
(
2

(1.1.23)

Cỏc toỏn t a, a + cú th biu din ngc li qua p v q
a + a+ =

2
p
hw

a - a+ = i

2w
q
h

1ổ 2
2w ử
1
a= ỗ
p -i

qữ =
( p - iw q )
2 ố hw
h ứ
2hw
1ổ 2
2w ử
1
a+ = ỗ
p+i
qữ =
( p + iw q )
2 ố hw
h ứ
2 hw

Vỡ [ p, q ] = pq - qp = -ih
hw
h
a + a+ )i
(a - a + )
(
2
2w

pq =

=

2

ih ộ 2
a - aa + + a + a - ( a + ) ự
ỷ
2ở

qp = i

=

Nờn

hw
h
(a - a + )
a + a+ )
(
2
2w

2
ih ộ 2
a + aa + - a + a - ( a + ) ự
ỷ
2ở

[ p, q ] = pq - qp = -ih ( aa

+

- a + a ) = -ih

ị aa + - a + a = 1

Hay

ộở a, a + ựỷ = 1

(1.1.24)

Hamiltonian (1.1.23) tr thnh
H=

hw
1ử
ổ
2a + a + 1) = hw ỗ a + a + ữ
(
2
2ứ
ố

(1.1.25)


13
Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài
toán tìm các véctơ riêng và trị riêng của Hamiltonian (1.1.25.), trong đó các
toán tử a và a + thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.1.24).
H n = En n

(1.1.26)

1ö
æ
= hw ç a + a + ÷ n
2ø
è
1 ö (a )
æ
= hw ç a + a + ÷
0
2 ø n!
è
+

(a )
= hw a a

n

hw ( a )
0 +
0
2
n!
n!

+

+

= hw a (aa
+

n

+

(a )
)

hw ( a )
0 +
0
2
n!
n!

+

+

n -1

+

= hw a +

(a )
(a a + 1)

= hw a

(a )
(a a + 2)

+

+

+

n

hw ( a )
0 +
0
2
n!
n!
+

+2

n

n -1

n

+

hw ( a )
0 +
0
2
n!
n!
n-2

+

n

= ...

(a )
= hw
+

(a )
+ hw n

hw ( a )
0 +
0
2
n!
n!

n +1

n!

+

a0

n

+

n

1 ö (a )
æ
= hw ç n + ÷
0
2
n
!
è
ø
+

n

1ö
æ
H n = hw ç n + ÷ n

2ø
è

(1.1.27)

Từ (1.1.26) và (1.1.27) ta có phổ năng lượng của dao động tử điều hòa
1ö
æ
En = hw ç n + ÷
2ø
è

(1.1.28)


14
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng hw .
x
-x
1.1.2.2. Hàm cấu trúc của hệ boson biến dạng q: F(x) = q - q-1

q-q

Dao động tử boson biến dạng q được định nghĩa thông qua các hệ thức
giao hoán
aa + - qa + a = q - N ,

(1.1.29)

Với q là thông số biến dạng.
Trong phương trình trên, nếu q=1 thì trở về hệ thức dạng dao động tử
điều hòa.
Toán tử hủy, toán tử sinh và toán tử số dao động N thỏa mãn hệ thức
giao hoán:

[ N,a ] = -a,

(1.1.30a)

éë N,a + ùû = a + .

(1.1.30b)

Đưa vào toán tử mới N0 có dạng như toán tử số trong trường hợp không
biến dạng, tức là
N0 = a +a .

(1.1.31)

Toán tử số dao động tử biến dạng N có các trạng thái riêng m thỏa
mãn phương trình hàm riêng, trị riêng
N m =m m

(1.1.32)

Và ứng với các trạng thái m toán tử N0 có các trị riêng a m
N0 m = a m m .

Bây giờ chúng ta sẽ tìm công thức xác định a m .
Cho toán tử N0 tác động lên trạng thái a + m

(1.1.33)


15
N 0a + m = a + aa + m
= a + (q - N + qN 0 ) m

(1.1.34)

= a + q - m m + a + qa m m

= ( q - m + qa m ) a + m .

Mặt khác ta cũng có
N 0 m + 1 = a m +1 m + 1 .

(1.1.35)

Lưu ý rằng a + m : m + 1 nên nếu so sánh (1.1.34) và (1.1.35) ta suy
ra hệ thức truy hồi cho a m

a m+1 = q - m + qa m .
Rõ ràng N 0 0 = a + a 0 = 0 nên a 0 = 0 .

(1.1.36)
(1.1.37)

Từ công thức truy hồi (1.1.36) và điều kiện ban đầu (1.1.37) chúng ta
tìm được

a m+1 = q - m (1 + q 2 + q 4 + ... + q 2m )
=q

-m

q 2m + 2 - 1
q2 - 1

q (m +1) - q - (m +1)
=
,
q - q -1

hay viết cách khác
qm - q -m
am =
.
q - q -1

(1.1.38)

Đưa giá trị của a m trong công thức (1.1.38) vào phương trình (1.1.33)
ta có
qm - q -m
N0 m =
m .
q - q -1

(1.1.39a)


16
N m =m m

hay

(1.1.39b)

Trong đó:

(a )
=
+

m

m

[ m]!

0

qm - q-m
.
[m] =
q - q -1

với

Dễ dàng chứng minh được:
a + a m = [ m] m
aa + m = [ m + 1] m

Thật vậy, ta tác dụng a + a, aa + lên trạng thái riêng m ta được

(a )
=a a
+

+

aam

+

m

[ m]!

0

a ( a + ) 0 = ( qa + a + q - N )( a + )
m

{
= {q
= {q

m -1

0

}0

= q- N ( a+ )

m -1

+ qa + a ( a + )

-N

(a )

m -1

+ qa + ( qa + a + q - N )( a + )

-N

(a )

m -1

+ q - N +2 ( a + )

+

+

m -1

m -1

m- 2

}0

+ q2 ( a+ ) a ( a+ )
2

m- 2

}0

=…

{

= ( q - N + q - N + 2 + .... + q - N + 2 m- 2 )( a + )

{

m -1

a + a ( a + ) 0 = ( q - N +1 + q - N +3 + ... + q - N + 2 m -1 )( a + ) + q m ( a + )
m

m

Thật vậy
a + a m = ( q - m+1 + q - m +3 + ... + q m -1 m

)

}

+ qm ( a+ ) a 0
m

m +1

}

a 0


17
qm - q-m
=
m
q - q -1
= [ m] m

(a )
+

aa + m = aa +

m

[ m]!

= ( qa a + q
+

-N

(a )
= qa a
+

+

0

)

(a )
+

m

[ m]!

m

[ m]!

0

(a )
+

0 +q

-N

m

[ m]!

0

= qa + a m + q - N m
qm - q-m
=q
m + q-m m
-1
q-q
q m+1 - q - m +1 + q - m +1 - q - m-1
=
m
q - q -1
q m+1 - q - m-1
=
m

q - q -1
= [ m + 1] m

Vậy
a + a m = [ m] m
aa + m = [ m + 1] m

Trong không gian Fock với vectơ cơ sở là véctơ trạng thái m thì:
a+a = [ N ]
aa + = [ N + 1]

Khi đó ta có:


18

(a )
=
+

m

Với

m

[ m]!

0

[ m]! = [ m][ m - 1][ m - 2].....[1]

Theo lý thuyết chung với công thức (1.1.5) và (1.1.31)
N = f (a + a) = f (N 0 ),

Ta suy ra
N0 = F(N).
Từ đó ta thu được
N 0 m = F(N) m = F(m) m .
q x - q-x
F(x) =
q - q -1

Suy ra

(1.1.40)

Công thức (1.1.40) cho ta xác định hàm cấu trúc của biến dạng q thông
thường hay còn được gọi là q – boson “vật lý” được đưa ra lần đầu tiên bởi
Macfarlane – Biedenharn.
Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ x và toán tử xung lượng
p có dạng:
p2 1
H=
+ mw 2 x 2
2m 2

(1.1.41)

Toán tử hủy và sinh dao động tử a, a + của dao động biến dạng q:

a=
a = -i

mw æ
i
çx+
2h è
mw

ö
p÷
ø

mw h æ
i
çx2h è
mw

ö
p÷
ø

(1.1.42a)

(1.1.42b)

Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các
toán tử hủy và sinh dao động tử a, a + :

19

x=

h
a + a+ )
(
2mw

p = -i

mw h
a - a+ )
(
2

(1.1.43a)

(1.1.43b)

Thay (1.1.42a), (1.1.42b) vào (1.1.43a), (1.1.43b) ta được:
p2 = =x2 =
=

mw h
a - a+ ) ( a - a+ )
(
2
2
mw h é 2

a - aa + - a + a + ( a + ) ù
û
2 ë

h
a + a+ ) ( a + a+ )
(
2mw
2
h é 2
a + aa + + a + a + ( a + ) ù
û
2mw ë

H=

2
2
-hw é 2
hw é 2
a - aa + - a + a + ( a + ) ù +
a + aa + + a + a + ( a + ) ù
û 4 ë
û
4 ë

H=

hw
aa + + a + a )

(
2

Phổ năng lượng của dao động biến dạng q:
H m = En m

hw
aa + + a + a ) m = En m
(
2
hw
([ m + 1] + [ m]) m = En m
2

Vậy

En =

hw
([ m + 1] + [ m])
2


20

1.1.2.3. Hàm cấu trúc của hệ boson biến dạng Q: F(x) =

qx -1
q -1

Để cho hệ thức giao hoán (1.1.29) và (1.1.30a), (1.1.30b) trở nên không
phụ thuộc vào toán tử N, khi q là số thực, Arik – Coon làm một số biến đổi
như sau:
Đưa vào các toán tử A, A+ có liên hệ với a, a+ theo công thức
N

N

A + = a +q 2 ,

A = q 2 a,

(1.1.44)

và biểu diễn a, a+ thông qua A, A+
a=q

-N

2

A,

a + = A+q-N 2

(1.1.45)

Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N với A và A+
[ N, A ] = éë N,q N 2a ùû
= q N 2 [ N,a ]

= -q N 2 a
= - A,

(1.1.46a)

éë N,A + ùû = éë N,a + q N 2 ùû

= éë N,a + ùû q N 2
= a +q N 2

(1.1.46b)

= A+ ,

ta thấy rằng (1.1.46a), (1.1.46b) vẫn có dạng như hai phương trình của
(1.1.30a), (1.1.30b).

Như vậy các toán tử A, A+ vẫn có ý nghĩa là các toán tử sinh, hủy. Từ
hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.1.30a), (1.1.30b) và công thức (1.1.45)
ta làm một số biến đổi sau
aa + - qa + a = q - N ,
q - N 2 AA + q - N 2 - qA + q - N/2q - N/2 A = q - N ,
q - N AA + - qA + q - N A = q - N ,
q - N AA + - qq - ( N-1) A + A = q - N ,
AA + - q 2A + A = 1

(1.1.47)


21

Nếu đặt tham số biến dạng mới là Q = q2 thì ta sẽ có hệ thức giao hoán
không phụ thuộc vào N như sau
AA + - QA + A = 1.

(1.1.48)

Vì vậy dao động tử biến dạng với các toán tử sinh, hủy A+, A như trên
còn được gọi là biến dạng Q hay q – boson “toán học”.
Để tổng kết ta có thể viết lại hệ thức giao hoán của Q – boson
AA + - QA + A = 1,

[ N,A ] = -A ,

(1.1.49)

éë N,A + ùû = A +

Với hệ thức giao hoán này, làm tương tự như với biến dạng
Macfarlane–Biedenham ta thu được một số kết quả có dạng đẹp hơn
éë N 0 ,A + ùû = A + ,
Q

[ N 0 , A ]Q = -A,

(1.1.50)

1 - Qm
am =
1- Q

hay

1 - Qx
F(x) =
,
1- Q

(1.1.51)

Trong đó toán tử N0 = A+A và a m là trị riêng của N0 thỏa mãn
N0 m = a m m .

(1.1.52)

Công thức (1.1.51) cho ta hàm cấu trúc của hệ boson biến dạng Q được
định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán (1.1.49), lần đầu tiên được đưa ra bởi
Arik và Coon, sau đó được Kuryshkin phát triển thêm.
Như ở công thức (1.1.19) sự biến dạng tổng quát của một dao động tử
điều hòa được cho bởi hệ thức cơ bản
f (aa + ) - f (a + a) = 1,

(1.1.53)


22
trong đó a và a+ là các toán tử liên hiệp, f(x) là hàm giải tích thực xác định
trên trục dương thực. Hệ thức (1.1.53) đồng nhất với hệ thức sau:
aa+ = F(N+1),

a+a = F(N),

F=f-1

(1.1.54)

Từ đó ta thu được hệ thức giao hoán biến dạng
[a, a+] = F(N+1) – F(N)

(1.1.55)

Hàm cấu trúc F(x) có thể có nhiều dạng khác nhau.
Theo Macfarlane và Biedenharn thì
iarcsin(x sinh h)
, h = ln q,
h
sinh(hx) q x - q - x
F(x) =
=
,
sinh h
q - q -1

f (x) =

(1.1.56)

Và hệ thức giao hoán là
aa + - qa + a = q - N

(1.1.57)

Trong các công trình [16 – 17], hàm f(x) và F(x) lại được cho dưới
dạng (kiểu Arik – Coon)
f (x) =

ln(1 + (q - 1)x)
ln q

qx -1
F(x) =
,
q -1

(1.1.58)

(1.1.59)

với hệ thức giao hoán là
aa + - qa + a = 1

(1.1.60)

hay nếu sử dụng (1.1.55) và (1.1.59) thì ta thấy hệ thức trên tương đương với
éëa,a + ùû = F(N + 1) - F(N)

q N +1 - 1 q N - 1
=
q -1
q -1

= qN.

Toán tử số N theo định nghĩa thỏa mãn các hệ thức giao hoán


23

[a, N ] = a,

ộởa + , N ựỷ = -a +

(1.1.61)

V iu ú chng t N c xỏc nh bi h thc
N = f(a+a).
Nh ó bit, cỏc toỏn t hy, sinh a, a+ ca dao ng t iu hũa bin
dng cú th c biu din thụng qua cỏc toỏn t hy, sinh ca dao ng t
boson bỡnh thng b, b+ nh sau
a=b

[N ] ,
N

a+ =

[ N ]b+ .
N

(1.1.62)

Trong c hc lng t, dao ng t bỡnh thng dao ng vi tn s w
cú th c biu din thụng qua cỏc bin s mi

b=

1 ổ ip
ử
+ wx ữ ,
ỗ
2ố w
ứ

b* =

1 ổ ip
ử
+ wx ữ ,
ỗ2ố w
ứ

(1.1.63)

Nh vy
x=

1
( b * + b ),
2w

p=i

w *
(b - b )
2

(1.1.64)

Khi ú ta thu c ngoc Poisson khỏc khụng
ảb ảb * ảb ảb *
{b , b } = ảx ảp - ảp ảx = -i
*

(1.1.65)

S dng (1.1.64) chỳng ta xỏc nh hm Hamiltonian thụng qua cỏc
bin s mi b , b *
p2 1 2 2
H( b , b ) = + w x = wbb *
2 2
*

(1.1.66)

ng thi hm bb * l tớch phõn chuyn ng v trong lý thuyt lng
t thỡ tng ng vi s mc kớch thớch hoc s ht.
Tng t nh (1.1.60), chỳng ta nh ngha dao ng t iu hũa bin
dng c in thụng qua cỏc bin ( b , b * )


24

F( bb * )
a=
b,
bb *

F( bb * ) *
a =
b
bb *
*

(1.1.67)

Nhõn hai phng trỡnh ca (1.1.67), ta thu c

a 2 = aa * = F( bb * )

(1.1.68)

Chỳng ta s tớnh ngoc Poisson

{a , a *} =

ảa ảa * ảa ảa *
ảx ảp ảp ảx

=

ả ổ F( bb * ) ử ả ổ F( bb * ) * ử ả ổ F( bb * ) ử ả ổ F( bb * ) * ử
bữ ỗ

b ữ- ỗ
bữ ỗ
b ữ
ỗ
ữ ảp ỗ
ữ ảp ỗ
ữ ảx ỗ
ữ
ảx ỗố
bb *
bb *
bb *
bb *
ứ ố
ứ
ố
ứ ố
ứ

=

F( bb * )
F( bb * )
*
b
,
b
+
{
}

bb *
bb *

= -i

ộ ả ổ F( bb * ) ử ổ ảb
ảb * ử ả ổ F( bb * ) ử ổ ảb * ảb * ử ự
*
ờ ỗ
b
b
b ữỳ
ữ
ữỗ b
ỗ
ữ+ ỗ
bb * ữứ ố ảx
ảx ứ ảx ỗố
bb * ữứ ố ảx ảx ứ ỳ
ờở ảp ỗố
ỷ

F( bb * ) ộ '
F( bb * ) ự
*
+
F
(
bb
)

b , b *}
ờ
* ỳ{
bb *
bb
ở
ỷ

= -iF' ( bb * )

Nu ta miờu t h thng mi thụng qua cỏc tham s bin dng a ,a *
cũn hm Hamiltonian gi nguyờn dng
H (a ,a * ) = waa *

Thỡ s dng (1.1.67) v (1.1.68) ta tỡm c cỏc phng trỡnh chuyn
ng

{ }

à
a = a, H

ộ ảa ổ ảH *
ảa * ử ảa ổ ảa *
ảa ử ự
=wờ ỗ
a +a
a +a*
ỳ
ữ

ỗ
ảp ứ ảp ố ảx
ảx ữứ ỷ
ở ảx ố ảp

ổ ảa ảa * ảa ảa * ử
= wa ỗ
ữ
ố ảx ảp ảp ảx ứ

= wa {a ,a + }


25
= -iwa F ' ( bb * )

(1.1.69a)

a * = {a * , H } = iwa * F ' éë bb * ùû

(1.1.69b)

o

Xét trường hợp biến dạng – q với các hàm f(x) và F*(x) (xác định theo
Macfarlane và Biedenham) thì từ (1.1.55) (1.1.68) và (1.1.69) ta thu được

{a ,a } = iF '( bb )
*

*

q

(

1 + sinh 2 hbb

= -ih

*

)

sinh h

1 + a q sinh 2 ( h )
4

= ih

sinh h

1 + a q sinh 2 ( h )
4

o

a q = iw h

sinh h

aq

Như vậy khi giữ nguyên dạng hàm Hamiltonian thì ngoặc Poisson của
các biến số sẽ biến đổi.
Theo cách tương tự ta có thể viết lại hệ thống thông qua các biến

( bb ) thì khi đó ngoặc Poisson của các biến số sẽ giữ nguyên còn dạng hàm
*

Hamiltonian lại thay đổi
H ( bb * ) = H (a ,a * )

= wa a *
= w F ' ( bb * )

(1.1.70)

Từ (1.1.70) ta có

b = {b , m } = iW b

(1.1.71a)

b * = {b * , m} = iW b *

(1.1.71b)

o

o

Trong đó W = F ' ( bb * ) w