Tải bản đầy đủ (.docx) (31 trang)

Dao động tử biến dạng R(Q luận văn thạc sĩ vật lý lý thuyết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (223.49 KB, 31 trang )

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM
HÀ NỘI 2 • • • •
PHẠM THỊ HÒNG LÊ
DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG R(Q)
Chuyên ngành: Yật lí lí thuyết và Vật lí Toán Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC Sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Ngưòi hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Thị Hà Loan
HÀ NỘI, 2013
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã tận tình giúp
đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này. Cô
cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được
làm việc cùng Cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau Đại Học, Khoa Vật Lí
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi
những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời
gian qua.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã
luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận
văn này.
Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả
Phạm Thị Hồng Lê
Tên tôi là: Phạm Thị Hằng Lê, học viên cao học khóa 2011 - 2013 chuyên ngành Vật lí lí
thuyết và Vật lí toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Dao động tử biến dạng R(q)”, là kết quả nghiên cứu và thu thập
của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả
khác. Neu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng
khoa học.
Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả
Phạm Thị Hồng Lê
LỜI CẲM ƠN
MỤC LỤC


MỜ ĐÀU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lý học được xem là ngành khoa học cơ bản chi phối tất cả các ngành khoa
học tự nhiên khác, là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những quy
luật đơn giản nhất và tống quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu những
tính chất, cấu trúc của vật chất và những quy luật của sự vận động của vật chất. Nhìn
vào lịch sử vật lý, ta thấy rằng các nhà khoa học đã nhiều lần biến dạng các quy luật
vật lý cơ bản để tạo nên các lý thuyết mới đáp ứng nhu cầu nghiên cứu.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu đại số biến dạng q đã thu hút được
sự quan tâm của nhiều nhà vật lý. Bởi cấu trúc toán học mới của chúng liên quan đến
những vấn đề đa dạng trong vật lý lý thuyết như lý thuyết tán xạ ngược lượng tử, mẫu
hòa tan chính xác trong cơ học thống kê, lý thuyết trường Comfomal hữu tỉ, lý thuyết
trường hai chiều với thống kê phân số Đặc biệt người ta thấy nghiên cứu biến dạng
lượng tử tỏ ra rất hữu hiệu khi nghiên cứu quang lượng tử, sự rung động của hạt nhân
nguyên tử, vật lý của vật chất đông đặc.
Bên cạnh đó biến dạng R cũng được quan tâm. Đại so Heisenberg biến dạng R
đã mô tả được những hạt có Spin cao. Biến dạng R(q) là biến dạng tổ họp của biến
dạng R và biến dạng q.
Lý thuyết nhóm đối xứng là vấn đề cơ bản trong vật lý lý thuyết. Sự hiểu biết
về nhóm Lie và đại số của nhóm Lie đã trở nên cần thiết, là công cụ chủ yếu của vật
lý lý thuyết hiện đại. Gần đây trong đại số Lie người ta quan tâm đến biến dạng đại số
Lie. Đặc biệt là biến dạng pha trộn giữa biến dạng R và biến dạng q.
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Dao động tử biến dạng R(q)”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu dao động lượng tử biến dạng q, biến dạng R và biến dạng R(q).
3. Nhiệm vụ nghiên cửu
- Nghiên cứu các dao động tử biến dạng.
- Nghiên cứu dao động biến dạng R(q).
4. Đối tưọng và phạm vi nghiên cún
Nghiên cứu dao động lượng tử, biểu diễn của dao động lượng tử và tính

4
thống kê của các dao động lượng tử biến dạng R(q).
5. Phưoìig pháp nghiên cún
- Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán.
- Sử dụng các phương pháp của lí thuyết nhóm đối xứng.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Dao động tử biến dạng
Chương 2: Thống kê của các dao động tử biến dạng
Chương 3: Dao động tử biến dạng R(q)
5
NỘI DƯNG
CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG
Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tổng quan về các dao động tử lượng tử,
dao động boson biến dạng, dao động tử fecmion biến dạng, dao động tử Paraboson
biến dạng và dao động tử biến dạng R.
1.1 Dao động tử boson biến dạng
1.1.1 Dao động tử boson
Dao động tử boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán:
Toán tử số dao động tử N được biếu diễn theo các toán tử hủy dao động tử a
và toán tử sinh dao động tử a+ có dạng:
N = afa.
trong đó: a: là toán tử hủy dao động tử
a+ : là toán tử sinh dao động
tử Kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có:
|j,aj= I a,a_
+
= a aa-aa a =
(a+a - aa+)a
= -(aa+ - a+a)a

|ỉ,a+ = [+a,a+
__ + + + +
= a aa -a a a
(1.1.2
+
= -a
6
= a+(aa+ - a+a)
= a+ |,a+]
= a
Như vậy:
N,a =-a,
TN,a*] = a+.
Không gian Fock là không gian mà vector cơ sở của nó là những trạng thái
với số hạt xác định. Trong không gian Fock, trạng thái chân không |0) được định
nghĩa là trạng thái thỏa mãn điều kiện:
a|0) = 0 (1.1.4)
Đưa vào cơ sở của không gian Fock |n) là trạng thái riêng
của toán tử số dao động tử ứng với trị riêng n:
|0

) n=0

, 1

, 2

,
Ta chứng minh:
N|n) = n|n).

Thật vậy:
N|n) = 3

*3111

}
7
1
n =
A/
»
n|
0)
=
4* _
yịr
ĩị
J_
+ Ị +
+- + ln\
Vn
= n ny.
Bây giờ, ta hãy chứng minh rằng:
n
a, a
= n a
Với n = 1:
]=1
a,
Với n = 2:

a, a = a
+
1 a,a
+
J + [a,a
+
Ja
+
= 2a
+
Nhận thấy (1.1.6) đúng với n = 1, 2.
Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biếu thức (1.1.6) đúng vói n = k, tóc là:
= k
a, a
Ta phải chứng minh biếu thức (1.1.6) đúng vói n = k +1
J _r ' 1

r +
k+1
l
•f*
4. k_l
a
= a k a + a
= k+1 a
H
Vậy phương trình (1.1.6) đúng vói n = k +1. Suy ra (1.1.6
) đúng với mọi n.
Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng
p liên hệ với các toán tử hủy, sinh dao động a, a

+
như sau:
! h
2

rn0

)
mho) +
P = iJ——— a -a .

chúng
thỏa
mãn hệ
thức
giao
hoán:
Q,p =ih.
Thật
vậy:
ih
Q,p = —^ a+ + a ,
a+ - a = _T
[a’a*]~[a+’a]
2 -
= ih^a,a+]
= ih
T
oán tử
Hamil

tonian
mô tả
dao
9
(1.1.
Q
a
1
+ a ,
động
tử
điều
hòa
được
biểu
diễn
theo
các
toán
tử
sinh,
hủy
dao
động
tử a“,
a như
sau:
H = —P
I


+
-m
©
2
Q
2
2
m
2
= —
2

a
a+aa
I
1
(1.1.
-a a
1
(1.1.
hc
o
2
hc
o
2a
f
a +1
a, a J
2N+1 .

Phố của toán tử Hamiltonian được xác định bằng phương trình hàm riêng, trị
riêng của toán tử Hamiltonian như sau:
H|n) = E„|n)
Hln) = — 2N + 1 |n)
I / 2

17

hco _ , I V
—- 2

n + 1

n).
2 1 '
Suy ra:
E„=— 2n + l n=0, 1,2, (1.1.9)
Từ hệ thức (1.1.7) dẫn đến được hệ thức bất định Heisenberg:
^ AQ AP 2) = — 2n + l 2>—. (1.1.10)
Thật vậy, ta dễ dàng thấy:
(Q) = (n|Q|n) = 0,
\ _ / I _
( L L 1 1 )
(p) = (n|p|n) = 0

.
Do đó độ lệch toàn phương ị AQ 2^, ị AP 2y của tọa độ và xung lượng là:
(ap 2) = (p-<p}
2
)=(p2)

Suy ra:
(«,’X ‘4
4 4
1.1.2 Dao động tử boson biến dạng q
1.1.2.1 Dao động tử boson biến dạng
đơn mode
Dao động tử boson đon mode
biến dạng q được mô tả bởi các toán tử
hủy và sinh dao động tử a, a+ theo hệ
thức giao hoán sau:
aa -qa a =
q N,
^ ị Ị2

)
trong đó q là thông số biến dạng, N là
toán tử số dao động tử.
Trong phương trình (1.1.12) nếu
q = 1
thì
trở
về hệ
thức dao động tử
điều hòa (1.1.1):
a
+
- a
n
2
hm(

2a
+
a+
1 2n
hmCD
/
——
(n
”a,a'] = l.
Toán tử số dao động tử N thỏa
mãn
phương
trình hàm
riêng, trị
riêng: N|
n)q = n|
n)q.
(1.1.13)
trong đó:
<
■Z >
W-
Ở đây |0

) là trạng thái nền
=1°)
(1.1.1
Với: I =S!_ịỊ (1.1.15)
q-q
l> 013 lị. 13

và thỏa mãn hệ thức giao hoán:
N,a =-a,
[N,a'] = a'.
Tác dụng aaf ,a'a lên trạng thái riêng |n) ta được:
Dễ dàng chứng minh được rằng:
a
"
a
l
n
)
q
=
11
aa»q= n + 1

|n)
Với n = 1
a"ain = a+a—ẵ=IO
V
aa* |o)
= -F= q'N + qa"a |0

)
= a( q'°
= a"|0

>
= >1').
(1.1.1

(1.1.17
+
1
Với n = 2
a' a|2

) =
a'a r— |l)
= r— q N
+ qa'a |l
/v ỉ\
= ^Ị|
1)+qạ
Vaai|
0) ỉ\ ỉ^'
q
2
q a
=ql^+7
T7
q
~
N+qa+a

1°)
q
2
>fv
= q- + q
|2


)= 2


12

),
Suy ra: a+a|
2)= 2
|2).
Như vậy
phương trình
(1.1.17)
đúng với n =
0, 1, 2.
Giả thiết
phương trình
(1.1.17) vẫn
đúng với n =
k , tức là:
a a l k ) q = k
J k ) q -
Bây giờ ta chứng minh nó
sẽ
đúng
với n
= k +1
nghĩa
là:
a+a|k

+ l) =
k+1


Ik+l) .
I /
a
a
I
/
a
q
a+
aa1k)c
1 T= 7
q"N
+
qa+a
|k)c
k + 1
q
, + „-k +
,
a q
|k) + q I
a
k |k)
/ITT
1


/ITT
= q k|k+l) +q к |k + l) |k+i)
q-q
=
k+1
Jk+1)a-
V
Ta có:
aa+|n) = aa+
= qa+a + q~
V"
=
q
"
q +q
,
q
In q-q
_ q

n f



1
- q

n




1

q-
q“

1
= n
+ 1
In)
q I /q
Vậy:
а+а1П)о= n >
q

I

/
q
aa»

4

= n + 1

|n)
VI |n) là vector riêng của N ứng
với trị riêng n: N|n)=n|n
N n) = n n)
qI /q q

I
/q
q - qI /q
f
„ к _ -к Л
-ỵ
Q
ö
q +q
/
|


Kết hợp với phương trình (1.1.15) ta có: a+a = N .
Xuất phát từ hệ thức (1.1.12) ta có:
aaf = qaa + q-N =
q N + q~N
1
q
qN-q“N -N =q
_ , +q
q-q
N
+
, _
q
- N
+1
q-q = N+l .
q

Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái |n) thì:
a"a= N ,
q (1.1.18)
aa"= N +1 .
q
Đế khử N từ phương trình (1.1.12) ta đưa vào các toán tử sinh, hủy A+, A có
liên hệ với a, theo công thức:
A = qN/
2

a,
’ (1.1.19)
A+ = a+qN/2.
Biểu diễn a, thông qua A, A+:
« _ „-N/2 A
ã — q A,
’ (1.1.20)
a+ = A+q-N/2.
Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N với A và A1:
N,A =[N,qW
2

a]
= q

N

'

2



N,a

=
-qN/2a =
-A,
~N,A+] = [N,a+qN/2]
= _N,at]q
N /2
(1.1.21)
= a V'2
= A .
Từ hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.1.12) và công thức (1.1.19) ta làm
biến đổi sau:
+■ + _ -N
aa - qa a = q ,
q“N/
2

AA+q“

N /2

- qA+q“N/y N/2A = q-N,
q-NAA+ - qA+q-NA = q_N, q-NAA+ -
qq" NH A+A = q-N,
AA -q
2


A+A = l.
Ta dẫn tới hệ thức giao hoán kiểu Arik - Coon:
AA+ -q
2

A+A = 1. (1.1.22)
Tưưng ứng với các toán Lử sinh, hủy A+, A, biéu diễn không gian Fock trở
thành:
\ ^ I \
ựn!
A|o)=o,
N|n) = n|n). (1.1.23)
B q2n-l
trong đó: n = là hàm câu trúc (ở đây ký hiêu B dành cho boson).
q -1
Trong không gian Fock ta có:
A+A = N B,
AA+ = N+l B.
2
(1.1.2
Xét các toán tử b, b+ liên hệ với a, theo hệ thức:
N+l
(1.1.25)
N+l
Qua vài biến đối đơn giản chúng ta sẽ thu được:
> b' ] = 1

,
N, b = -b,
>, b+] = b,

N = b+b.
Đây chính là đại số dao động tử boson thông
thường. Như vậy, chúng ta có thế kết luận rằng các toán
tử hủy, sinh của hệ boson q - biến dạng và không biến
dạng có thể biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức (1.1.25).
Xét hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ Q và toán tử
xung lượng P:
ih
Q,p = —I a + a , a - a
= Ị0

.a-]-[.*.a]
= ihfa,a' J
= ih N+l - N
q q
Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử
tọa độ Q và toán tử xung lượng p có dạng:
H

=


b
a
(1.1.26
(1.1.27

P
2


+

-
m
o
2
Q
2

2
m

2

_

1

-

=


h
c
o

a

a


+

a
a
-ho N + N+l
2 q q
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q được xác định như sau:
H l " ) q = E » q
—hco N + N+1 |n) =Ejn)
2 q q I /q nl /q
=>E„=-hco n + n + 1 n = 0, 1, 2, (1.1.29)
n 2 q q 7 7 7 \ /
Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về phổ
năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:
En = —hco 2n +1 11 = 0,1,2 . (1.1.30)
/.7.2.2 Dao động tử boson biến dạng đa mode
Đối với các dao động tử boson biến dạng q với định nghĩa (1.1.12), (1

.1

.22

) việc
mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản.
Dao động tử boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh,
hủy a+, a theo hệ thức giao hoán sau:
a,a/-[ q-1 s,j+l]a]aị =8^'^, (1.1.31)
Khi q = 1 thì phương trình (1.1.31) trở thành:
aia a. a ổ, . (1.1.32)

Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Bose - Einstein.
Toán tử số dao động tử Nị có dạng:
(1.1.33)
Ta tính các hệ thức giao hoán giữa N. và aj? aỊ:
[ Ni ’a j]=[< ai ’a j]=< aiaj - aK aí ’
Ta có: ai,aj] = 0 -^•aiaj = ajai
2
->aiaĩ=ỗji +ai'ai
[Ni.a^a^a,- 6di +a>j
a,
= a*ajai-Sjiai-
a*aJai=-Sijaj,
Khi đó hệ thức
giao hoán giữa toán tử số
N với các toán tử sinh,
hủy a -, aj lại trở về dao
động tử boson đơn mode
thông thường.
Toán tử số dao
dộng tử diều hòa
thỏa mãn phương
trình hàm riêng,
[
a
i>
a
i]
= s
,


Do
(1.1.3
Khi i = j thì Ni,ai
=

a
i>
Hay N,a = = -a,
Tương tự: [N,
a;:
]
=
s
u
a
i
Khi i = j thì L
N
i
X
]
=“>>
Hay r
N,a'
]
= a
' ’
(1.1.3
trị
riêng:

Ni|n)
= ni|
n)
(1.1.
36)
và N thỏa mãn hệ thức
giao hoán:
[N
„^
=
-5^
,
[N
„a;
] =
8

tt
a;.

×