Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển (KL06248)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------------

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ
BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ
điển” được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của
các thầy cô và bạn bè.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo
hướng dẫn – TS. Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình giúp đỡ em trong quá
trình hoàn thành khóa luận.
Đồng thời em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong
tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn
tận tình của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga.
Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng với bất kì đề tài
nào khác. Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung
thực.
Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình.
Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.......................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 3
1.1 Quan hệ thứ tự trên và bất đẳng thức ................................................... 3
1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức ........................................................ 3
1.3. Hàm số lồi, hàm số lõm .......................................................................... 4
1.3.1. Định nghĩa tập lồi ............................................................................. 4
1.3.2. Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm.................................................. 4
1.3.3. Tính chất cơ bản của hàm lồi ........................................................... 4
1.3.4. Hàm afin ........................................................................................... 5
CHƢƠNG 2. KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ
ĐIỂN ................................................................................................................ 6
2.1. Bất đẳng thức Cauchy(AM – GM) ......................................................... 6

2.1.1. Định nghĩa ........................................................................................ 6
2.1.2. Chứng minh ...................................................................................... 6
2.1.3. Khai thác từ bất đẳng thức Cauchy .................................................. 7
2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski ................................................................ 25
2.2.1. Định nghĩa ...................................................................................... 25
2.2.2. Chứng minh .................................................................................... 26
2.2.3. Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski ....................................... 27
2.3. Bất đẳng thức Jensen ............................................................................ 35
2.3.1.Định nghĩa ....................................................................................... 35
2.3.2. Chứng minh .................................................................................... 36
2.3.3. Khai thác từ bất đẳng thức Jensen .................................................. 37
2.4.1. Định nghĩa ...................................................................................... 54
2.4.2. Chứng minh. ................................................................................... 55
2.4.3. Khai thác từ bất đẳng thức Chebyshev ........................................... 56
KẾT LUẬN ................................................................................................... 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................ 69


MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN



1i  j n

ai a j  a1a2  a1a3  ...  a1an  a2a3  a2a4  ...  a2an  ...  an1an

 f (a , a ,..., a ) : tổng hoán vị theo n biến số a1, a2,..., an
1

2

n

cyc

 f (a, b, c)  f  a, b, c   f b, c, a   f  c, a, b 
cyc

Ví dụ:

a b  a b  b c  c a
2

2

2

cyc

GTLN: Giá trị lớn nhất
GTNN: Giá trị nhỏ nhất

2


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nói chung, cuộc sống của mỗi con người luôn có sự tìm kiếm và
khẳng định giá trị bản thân. Mỗi vật có chỗ đứng trong thế giới luôn thay
đổi này là nhờ giá trị của nó nhưng người ta thường không nhận ra rằng

mọi vật chỉ có thể nhận giá trị trong quan hệ so sánh. Chính quan hệ đó
đã tạo ra các bất đẳng thức của cuộc sống.
Thực tế dù câu nói “mọi so sánh đều khập khiễng” có đúng đắn đến
mức nào thì con người vẫn không ngừng đánh giá – so sánh.
Các bài toán so sánh đặtravề sau ngày càng khó hơn với sự mở rộng
của các phép toán. Tất cả các nhà toán học đều có chung một quan điểm
là “Các kết quả cơ bản của toán học thường được biểu thị bằng những
bất đẳng thức chứ không phải bằng những đẳng thức”. Điều đó cũng
giống như trong cuộc sống người ta luôn gặp sự khác nhau giữa các sự
vật hiện tượng và ngay trong bản thân mỗi sự vật hiện tượng cũng biến
đổi theo từng giây phút. Mặt khác, trong đời sống xã hội chúng ta luôn
sử dụng tư duy bất đẳng thức để đánh giá hoạt động của doanh nghiệp,
hoạt động xuất nhập khẩu, thị trường chứng khoán, tài chính, ngân
hàng....Vì thế để phát triển tư duy và đánh giá tốt các sự biến đổi trong
cuộc sống thì cần phải có tư duy tốt về bất đẳng thức toán học.
Nói riêng, trong chương trình toán phổ thông các bài toán về bất
đẳng thức thường là những bài toán đem lại cho học sinh nhiều thú vị
song chúng cũng là những bài toán khó. Chúng thường có mặt trong các
đề thi học sinh giỏi và các kỳ thi cao đẳng, đại học. Để giải quyết chúng
đòi hỏi phải có sự sáng tạo, kiên trì, linh hoạt của người yêu thích toán.

1


Tất nhiên có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán này và việc lựa
chọn một phương pháp tối ưu cho lời giải hay và ngắn gọn, đẹp mắt là
việc rất quan trọng. Một trong các phương pháp đó là chúng ta sử dụng
các bất đẳng thức kinh điển, nhờ nó mà hầu hết các bài toán đều được
giải quyết một cách nhanh chóng.
Được sự động viên, chỉ bảo tận tình của cô Nguyễn Thị Kiều Nga

cùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện
khóa luận với đề tài “Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Khai thác các ứng dụng của một số bất đẳng thức cổ điển.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số bài tập về bất đẳng thức.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, so sánh, phân tích và tổng hợp.

2


CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Quan hệ thứ tự trên và bất đẳng thức
Trên tập số thực
Với mọi a, b thuộc

xác định quan hệ “<” được định nghĩa như sau:
, ta có

a  b nếu b  a là số dương. Ta kí hiệu a  b nếu a  b hoặc a  b
a  b còn được viết là b  a
a  b còn được viết là b  a
Ta có tổng và tích của các số thực dương là một số thực dương.
Cho hai biểu thức A và B . Nếu xảy ra các quan hệ

A  B, A  B, B  A, B  A thì ta gọi đó là một bất đẳng thức. A gọi là vế
trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức đó.
1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Với các biểu thức A và B theo định nghĩa ta có

A  B khi và chỉ khi B – A  0
A  B khi và chỉ khi B – A  0
Cho A, B, C, D là các biểu thức. Khi đó ta có các tính chất sau đây:

A  B và B  C thì A  C
A  B và C  D thì A  C  B  D
A  B khi và chỉ khi A  C  B  C
A  B khi và chỉ khi mA  mB  m  0 
A  B khi và chỉ khi mA  mB  m  0 
A  B khi và chỉ khi  A   B
A  B và C  D thì A – C  B – D
A  B và C  D, A, B, C, D  0 thì AC  BD
A  B, A, B  0, n * thì An  Bn

3


A  B, A, B cùng dấu thì
A  B, A, B  0, n * thì

1 1

A B
n

An B

1.3. Hàm số lồi, hàm số lõm
1.3.1. Định nghĩa tập lồi

Tập A  X được gọi là tập lồi nếu:

x1, x2  A;  0,1   x1  1    x2  A
Ví dụ: các nửa khoảng, tam giác, đường tròn đơn vị trong mặt phẳng là
các tập lồi.
1.3.2. Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm
Hàm số f  x  được gọi là lồi trên  a, b nếu với mọi x1, x2   a, b với
mọi  ,   0 thỏa mãn     1 ta có f  x1   x2    f  x1    f  x2 
Hàm f  x  được gọi là hàm lõm trên  a, b nếu  f  x  là hàm lồi
trên [a, b].
1.3.3. Tính chất cơ bản của hàm lồi
Tính chất 1. Cho D là tập lồi trong

. Giả sử f1  x  , f 2  x  ,..., f n  x  là

các hàm lồi xác định trên D. Cho i  0 , với mọi i  1,2,..., n . Khi đó
hàm số 1 f1  x   2 f 2  x   ...  n f n  x  cũng lồi trên D.
Tính chất 2. (Điều kiện để một hàm số là hàm lồi)
. Hàm f : D 

2

Cho D là tập lồi trên

là hàm lồi trên D khi và

chỉ khi  x1, y1  ,  x2 , y2  thuộc D thì

  x   f ( x1  (1   ) x2 ;  y1  (1   ) y2 ) là hàm lồi trên  0; 1
Tính chất 3. Cho D 

2

là tập hợp lồi, hàm số f : D 

trên D. Khi đó với mọi số thực α thuộc

thì các tập

No   x, y   D : f  x, y    
N   x, y   D : f  x, y    

4

là hàm lồi


là các tập lồi trong

2

.

Chú ý: Các tập No , N gọi là các tập hợp mức của hàm lồi f  x, y  . Ta
quan niệm tập  là tập lồi.
Tính chất 4. Giả sử f : D 

. D là tập lồi trong

Đặt epif   x, y   : f  x   y, x  D epif được gọi là tập lồi trên

đồ thị. Hàm f là lồi trên D khi và chỉ khi epif là tập lồi trong

2

.

Tính chất 5. Cho f  x  là hàm xác định trên [a, b] và có đạo hàm cấp 2
tại x   a, b . Nếu f   x   0 , x   a, b thì f  x  là hàm lồi trên  a, b.
Nếu f   x   0 , x   a, b thì f  x  là hàm lõm trên  a, b .
1.3.4. Hàm afin
Cho hàm số f : D 

. Hàm f là hàm afin khi và chỉ khi f  x  vừa

là hàm lồi, vừa là hàm lõm.
Chú ý: Hàm f  x  có dạng f  x   ax  b trong đó a, b là những số thực
được gọi là afin.

5


CHƢƠNG 2
KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
2.1. Bất đẳng thức Cauchy(AM – GM)
2.1.1. Định nghĩa
Với mọi số thực không âm a1, a2 ,..., an ta có

a1  a2  ...  an n
 a1.a2 ...an
n

()

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
2.1.2. Chứng minh
Trước hết ta chứng minh rằng: với a  0, n  *ta có
a n1   n  1 a  n  0

Thật vậy,
a n1   n  1 a  n  0  a n1  na  a  n

  a n1  a   n  a  1
 a  a n  1  n  a  1
 a  a  1  a n1  a n2  ...  1  n  a  1
  a  1  a n  a n1  ...  a   n 

  a  1  a n  1   a n1  1  ...   a  1 

2
  a  1  a n1  2a n2  3a n3  ...   n  1 a  n    0

Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng quy nạp theo n.
Với n  1: bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n số thực không âm, tức là

a1  a2  ...  an n
 a1.a2 ...an
n
ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n  1 số thực không âm

6

(1)


b

Đặt

a1  a2  ...  an  an1
a  a  ...  an
,c  1 2
n 1
n

áp dụng (1) với a 

b
ta có
c

n 1

b
b
    n  1  n  0
c
c
 b n1   n  1 c nb  nc n1  0
 b n1   n  1 c nb  nc n1  c n   n  1 b  nc 

 a  a  ...  an  an1 
 1 2

n 1



n 1

 a  a  ...  an 
 an1  1 2
  an1a1a2 ...an
n


n

(theo giả thiết quy nạp)
suy ra

a1  a2  ...  an1 n1
 a1a2 ...an1
n 1

hay bất đẳng thức đúng với n  1 số thực dương.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Hiển nhiên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a1  a2  ...  an1 

a1  a2  ...  an1
 a1  a2  ...  an .
n 1

2.1.3. Khai thác từ bất đẳng thức Cauchy
2.1.3.1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 1.Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:

a5  b5  c5  a 2b3  b2c3  c2a3
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

a5  a5  b5  b5  b5  5a 2b3
b5  b5  c5  c5  c5  5b2c3
c5  c5  a5  a5  a5  5c2a3

7

(1)


Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

a5  b5  c5  a 2b3  b2c3  c2a3
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Ví dụ 2. Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:
a3b3  b3c3  c3a3  abc  ab2  bc 2  ca 2 

(2)

Giải:
Chia 2 vế của (2) cho a3b3c3  0 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng
minh tương đương với

1 1 1
1
1
1





a3 b3 c3 a 2b b 2c c 2a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1 1 1
3
 3 3 2
3
a b c ab
1 1 1
3



b3 b3 c 3 b 2 c
1 1 1
3




c3 c3 a3 c 2b
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

1 1 1
1
1
1
 3 3 2  2  2
3
a b c
ab bc ca
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 3.Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:

1  a 1  b 1  c    a  bc 
3

3

3

3

Giải:
Chia cả 2 vế cho b3c3  0 ta được
1 
1 1

1  a  1  b13 
1  3   1  a

bc
 c  
3

8

3


Đặt x  a , y 

1
1
, z  . Khi đó bất đẳng thức tương đương với
b
c

1  x 1  y 1  z   1  xyz 
 1  x 1  y 1  z   1  xyz 
3

3

3

3

3

3

3

3

1
x3 y 3 z 3
P 3
3
1
1  x3 1  y3 1  z 3  1  x3 1  y3 1  z 3 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1
1
1
x3
y3
z3




1  x3 1  y 3 1  z 3 1  x3 1  y 3 1  z 3
P

1

3
3
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4.Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:

(1  a3 )(1  b3 )(1  c3 )  (1  ab2 )(1  bc 2 )(1  ca 2 )
Giải:
Với x, y, z  0 ta có
3

1
xyz
3

1  x 1  y 1  z  1  x 1  y 1  z 
1
1
1
x
y
z




1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z


1
3

3

1  x 1  y 1  z   1  3 xyz

suy ra

3

hay

1  x 1  y 1  z   1  3 xyz





3

Với x  a3 , y  z  b3 ta có

1  a 1  b   1  ab 
3 2

3

Tương tự ta có

2 3

1  b 1  c   1  bc 

3 2

3

9

2 3


1  c 1  a   1  ca 
3 2

3

2 3

Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

1  a  1  b  1  c   1  ab  1  bc  1  ca 
1  a 1  b 1  c   1  ab 1  bc 1  ca 
3 3

3 3

3

hay

3 3

3

2 3

3

2 3

2

2 3

2

2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 5.Với ai  0 ,  i  1,2,..., n  thỏa mãn điều kiện
n

minh rằng:

ai

2a
i 1



i

n

a
i 1

i

 1 . Chứng

n
2n  1

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 lần cho n số thực dương ta có:
n

  2  a   n   2  a 
i

i 1

1
n

i

1



1
1 n

n



i 1 2  ai
 2  ai 
n

Suy ra
n

n

1

  2  a  2  a
i 1

n

Vì

a
i 1

i

i

i 1

 n2

i

 1 nên ta có
n

 2n  1 
i 1

n
n
1
2
n
2
2n 2
 n2  


n


2  ai
2


a
2
n

1
2

a
2
n

1
i 1
i 1
i
i

n
n
 2

2
n
n
hay 

 1   
 1 
2n  1 i 1
i 1 2  ai

i 1  2  ai
 2n  1
n

n

tức là

ai

2a
i 1

i



n
2n  1

10


Vậy ta có điều phải chứng minh.
n

Ví dụ 6. Với ai  0  i  1,2,..., n  thỏa mãn điều kiện  ai  1 . Chứng
i 1

minh rằng:

1

n

 a
i 1



i


n
 1   n  1


Giải:
n

Đặt S   ai ta có
i 1

1
S a S  ai
1   i 
ai
ai ai
ai

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n  1 số dương ta có

1
S  ai  n  1 n1 a1a2 ...ai 1ai 1...an
1 

 i  1,2,..., n 
ai
ai
ai

Nhân vế với vế của n bất đẳng thức trên ta được
1

n

 a
i 1



i


n
 1   n  1


Ví dụ 7. Với ai  i  1,2,..., n  là các số thực dương. Chứng minh rằng:
1
n2



n
i 1 ai
 ai
n

i 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số thực dương ta có


n



n

 a  n   a 
i 1

i

i 1

1
n

i

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an

11


n

Ta có

1

a
i 1

i


1
 n 
 i 1 ai 
n

1
n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an
n

suy ra

n

1

a  a
i 1

i

i 1

 n2

i

1
n2


n
i 1 ai
 ai
n

hay

i 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .

Bài tập tƣơng tự
Bài 1.Với a, b, c, d  0 thỏa mãn a  b  c  d  1. Chứng minh rằng:

 1  1  1  1  4
1  1  1  1    5
 a  b  c  d 
Hƣớng dẫn:
1
a  a  b  c  d 5 5 a 2bcd
1

a
a
a

Tương tự
1
5 5 b 2 acd
1
b
b
1
5 5 c 2abd
1
c
c
1
5 5 d 2 abc
1

d
d

Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.

12


Bài 2. Cho a, b, c, d  0 thỏa mãn điều kiện a  b  c  d  1
Chứng minh rằng:

a
b
c
d
4



 .
2a 2b 2c 2d 7

Hƣớng dẫn:
Sử dụng kết quả của ví dụ 5 với n  4
Sử dụng ví dụ 7 để chứng minh các bất đẳng thức sau:
Bài 3.Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:

1 1 1
1
1 

 1
   3


.
a b c
 a  2b b  2c c  2a 
Bài 4. Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:

1 4 9
36
  
.
a b c abc
Bài 5. Với a, b, c, d  0 . Chứng minh rằng:

1 1 4 16
64
   
.
a b c d abcd
Bài 6. Với ai , bi  i  1,2,..., n  là những số thực dương. Chứng minh rằng:
n


n
  n 
 n  
1  ai  bi   1    ai     bi   .


i 1
 i 1  
  i 1 

1
n

1
n

Hƣớng dẫn:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
1

1

1

 n
n
 n n  n n
  1  ai  bi    1    ai     bi 
 i 1

 i 1   i 1 
1

1

1

 n
n  n
n  n
n
1
ai
bi
 P  
  
  
 1
 i 1 1  ai  bi   i 1 1  ai  bi   i 1 1  ai  bi 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

1 n
1
1 n
ai
1 n
bi
P 
 
 
n i 1 1  ai  bi n i 1 1  ai  bi n i 1 1  ai  bi

13

1 n
n
P  1   1
n i 1
n

hay

Vậy ta có điều phải chứng minh.
2.1.3.2. Xây dựng bất đẳng thức và áp dụng
Cơ sở lý luận: Từ bất đẳng thức Cauchy ta xây dựng các bất đẳng
thức trung gian dạng phân thức. Sử dụng các bất đẳng thức trung gian đó
chúng ta chứng minh được một số bất đẳng thức khó.
Ví dụ 1.Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
abc
 2 2 2 2
.
2
2
a b b c
a c
2
Giải:
Ta có
2
2

a

b
a  a 2  b2  b2 
a3
ab
b

 a b 2
 a b 2 2 2  a 
2
2
2
2
2
a b
a b
a b
a b
2

a3
b

a

a 2  b2
2

hay

Tương tự ta có

b3
c
b
2
2
b c
2
c3
a

c

c2  a2
2
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

a3
b3
c3
abc
 2 2 2 2
2
2
a b b c
a c
2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đây là một bất đẳng thức khó với cách giải hay. Sử dụng bất đẳng

thức này chúng ta chứng minh các bất đẳng thức hệ quả sau.

14


Ví dụ 2.Với a, b, c  0 ,  ,  ,   0 . Chứng minh rằng:
 a 2  1    b 2 
 b 2  1    c 2 
 c 2  1    a 2 
a
  b
  c

2
2
2
2
2
2
a

b
b

c
c

a







 
   
 1   a  1   b  1   c.
2 
2
 2


Giải:
Ta có
 a 2  1    b 2 

 b2 
a
  a 1  2
2 
a 2  b2
 a b 


ab
 b a 2  b2
b
 a  b 2

a



a

a  b2
2 a 2  b2
2

Tương tự ta có
 b 2  1    c 2 
c
b

b


2
2
2
 b c

 c 2  1    c 2 
a
c
c
2
2
2
 c a


Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Ví dụ 3. Với a  0, b, c  1 . Chứng minh rằng:

a  a 2  2b3  b 2 
a b
2

2



b  b 2  2c3  c 2 
b c
2

2



c  c 2  2a 3  a 2 
c a
2

2

 a 2  b2  c 2 .

Giải:
Từ kết quả của ví dụ 2, chọn   2 1  b  ,   2 1  c  ,   2 1  a 

ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 4. Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:
 3b2  a 2   3c 2  b2   3a 2  c 2 
a 2
 b 2
 c 2
 a  b  c.
2 
2 
2 
 a b   c b   a c 

15


Giải:
Sử dụng kết quả của ví dụ 2 với       4 ta được
 a 2  3b2   b2  3c 2   c 2  3a 2 
a 2
 b 2
 c 2
 a  b  c
2 
2 
2 
 a b   b c   c a 
 3b2  a 2   3c 2  b2   3a 2  c 2 
a 2
 b 2
 c 2

abc
2 
2 
2 
a

b
b

c
c

a

 
 


hay

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chọn     1,   2 ta có bài toán sau:
Ví dụ 5. Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
bc
ca 2




 2
.
a 2  b2 b2  c 2 c 2  a 2
2
c  a2
Ví dụ 6. Với a, b, c  0,   0 . Chứng minh rằng:

P

a3
b3
c3
abc



.
a 2  b2   ab b2  c 2   bc c 2  a 2   ca
 2

Giải:
Thật vậy, với   0 ta có:

a3
a3
2  a3 



a 2  b 2   ab a 2  b2   a 2  b2
  2  a 2  b 2 


2
Tương tự ta có
b3
2  b3 



b2  c 2   bc   2  b2  c 2 
c3
2  c3 



c 2  a 2   ca   2  c 2  a 2 

Suy ra
2  a3
b3
c3 
2 abc abc
P




  2  a 2  b2 b2  c 2 c 2  a 2    2

2
 2

Vậy ta có điều cần chứng minh.

16


Sử dụng kết quả của ví dụ 6 với   1 ta có bài toán sau:
Ví dụ 7. Với a, b, c  0 .Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
abc
 2 2
 2

.
2
2
2
a  b  ab b  c  bc c  a  ca
3
Sử dụng kết quả của ví dụ 6 và chọn  

1
 0 ta có bài toán sau:
a

Ví dụ 8. Với a, b, c  0 .Chứng minh rằng:

a3
ab3
c3
a  b  c a .



a 2  b2  b a  b2  c 2   bc c 2  a 2  c
1  2a
Sử dụng kết quả của ví dụ 6 và chọn  

1
 0 ta có bài toán sau
abc

Ví dụ 9. Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:

ca3
ab3
bc3
abc



 abc.
2
2
2

2
2
2
c  a  b   1 a  b  c   1 b  c  a   1  1  2abc 
Ví dụ 10. Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:

a4
b4
c4
1b b c c a a 






  a  b  c.
a 3  b3 b3  c 3 c 3  a 3 a  a
b
c 
Giải:

a  a 3  b3  b3 
a4
ab3
b b a3b3

a 3 3 a
Ta có 3
3

3
a  b3
a 3  b3
a b
a a b

17


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có

a 3  b3
a b 2 a b 
 a3b3
2
3

3

3 3

a4
b b a 3  b3
a4
b b
a
 3 3
a
3
3

3
3
a b
a b 2 a
2 a a b

Suy ra

Tương tự ta có

b4
c c

b
b3  c 3 2 b
c4
a a

c
3
3
c a
2 c
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần
chứng minh.
Ví dụ 11. Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:
a5
b5
c5
1  b2 c 2 a 2 



    abc
a 4  b4 b4  c 4 c 4  a 4 2  a b
c 

Giải:
Ta có

aa  b  b
a5

a 4  b4
a 4  b4
4

4

4

 a

ab4
b2 a 2b2
a
a 4  b4
a a 4  b4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương a 4 , b4 ta có
a 4  b4

 a 2b 2
2

suy ra

b2 a 2b2
b2
b 2 a 2b 2
b2


a


a

a a 4  b 4 2a
a a 4  b4
2a

a5
b2
a
Vậy 4
a  b4
2a
Tương tự ta có

c5
a2

c
c4  a4
2c

18


b5
c2
b
b4  c 4
2b
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

a5
b5
c5
1  b2 c 2 a 2 


abc    
a 4  b4 b4  c 4 c 4  a 4
2 a b
c 
hay

a5
b5
c5
1  b2 c 2 a 2 




   abc
a 4  b4 b4  c 4 c 4  a 4 2  a b
c 

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 12. Với a, b, c  0 . Chứng minh rằng:

a  a 3  b3 
a3  2b3



b  b3  c 3 
b3  2c3



c  c3  a3 
c 3  2a 3



2
a  b  c
3

Giải:

Ta có
3
3
3
a

b

c
a  a3  b3  a  a 3  2b3  b3 
ab3

a 3
 a b 3 3 3
3
3
3
3
3
a  2b
a  2b
a  2b
a  2b

suy ra

a  a 3  b3 
a  2b
3

3

a

b
3

Tương tự
b  b3  c 3 
b  2c
c  c3  a3 
3

3

c 3  2a 3

b

c
3

c

a
3

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần
chứng minh.
Nhận xét: Với   0 ta có



a
3

3

 2b3    ab2

19


suy ra

a  a 3  b3 

a  a 3  b3 

3
3
3  a a  b  

.


a3  2b3   ab 2 a3  2b3   a 3  2b3
3    a3  2b3 





3

Do dó ta có bài toán sau:
Ví dụ 13. Với a, b, c  0 Chứng minh rằng:

a  a 3  b3 
a3  2b3   ab2

b  b3  c 3 



b3  2c3   bc 2

c  c3  a3 





c3  2a3   ca 2

2
a  b  c
3

Giải:
Ta có:

P

a  a 3  b3 
a3  2b3   ab2
3

3





b  b3  c 3 
b3  2c3   bc 2



c  c3  a3 
c3  2a3   ca 2



 a  a 3  b3  b  b3  c 3  c  c 3  a 3  
 3
 3
 3

3
b  2c3

c  2a 3 
 a  2b


3 2
2
a  b  c 
a  b  c
3 3
3

Vậy ta có điều cần chứng minh.
Sử dụng kết quả của ví dụ 13 và chọn   1 ta có bất đẳng thức sau:
Ví dụ 14. Với a, b, c  0 thì

a  a 3  b3 
a  2b  ab
3

3

2



b  b3  c 3 
b  2c  bc
3

3

2



c  c3  a3 
c  2a  ca
3

3

Sử dụng kết quả của ví dụ 13 và chọn  

2



a  b  c .
2

1
ta có bất đẳng thức
abc

sau:
Ví dụ 15. Với a, b, c  0 . Chứng ming rằng:

ac  a3  b3 

c  a  2b   b

3

3



ab  b3  c3 

a  b  2c   c
3

3



20

bc  a3  b3 

b  c  2a   c
3

3



2abc  a  b  c 
1  3abc