XAY DUNG MOT SO BAT DANG THUC TU NHUNG BAT DANG THUC QUEN THUOC.doc

Sáng kiến kinh nghiệm
Xây dựng một số bất đẳng thức
từ những bất đẳng thức quen thuộc
Nguyễn Hữu Thi êm
Bất đẳng thức là một trong những bài toán gây khó khăn đối với học sinh. Bất
đẳng thức xuất hiện ở nhiều dạng khác nhau và việc chứng minh bất đẳng thức cũng
rất phong phú. Ta có thể biến đổi tơng đơng, sử dụng các bất đẳng thức đã biết nh
Côsi, Bunhiacopxki hay Trêbxep Becnuli Trong bài viết này tôi muốn giúp học sinh
xây dựng một số bất đẳng thức dựa vào một số bất đẳng thức quen thuộc. (Việc
chứng minh những bất đẳng thức này thật đơn giản mà không chứng minh lại). Đó là
các bất đẳng thức sau:
1.
2+
x
y
y
x
x, y >0
2.
yxyx
+
+
411
x, y >0
3. (x+y+z)
9
111

++
zyx
x, y, z >0
Bài toán 1:
Cho a, b, c là các số dơng.
Chứng minh rằng:
2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
(*)
H ớng dẫn:
Có rất nhiều cách chứng minh bất đẳng thức (*). Một trong các cách là ta có thể
chứng minh (*) dựa vào bất đẳng thức (3).
Thật vậy: (*)
3

2
3
111 ++
+
++
+
++
+
)
ba
c
()
ac
b
()
cb
a
(
(a+b+c)
2
9111







+
+

+
+
+ baaccb
[(b+c)+(c+a)+(a+b)]
9
111







+
+
+
+
+ baaccb
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do bất đẳng thức (3).
Dấu = xảy ra a+b = b+c = c+a a = b = c
Bài toán 2:
Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng:
bacacbcbaaccbba
++
+
++
+
++

+

+
+
+
+
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
Nghuyễn Hữu thiêm
92
Sáng kiến kinh nghiệm
H ớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức (2):
yxyx +
+
411

cba)acb()ba(acbba ++
=
++++

++

+
+ 2
2
23
4
2
1
3
1
Tơng tự ta có:
acbbaccb ++

++
+
+ 2
2
2
1
3
1

baccbaac ++

++
+
+ 2
2
2
1
3

1
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và ớc lợng ta đợc:
bacacbcbaaccbba ++
+
++
+
++

+
+
+
+
+ 2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
Dấu = xảy ra

++=+
++=+
++=+
bacac
acbcb
cbaba
23
23
23
a = b = c
Bài toán 3:
Cho a, b, c là các số dơng.
Chứng minh rằng:
)(2
1
4
1
4
1
4
1
cbabacacbcba ++

++
+
++
+
++
H ớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức 3 với:

x = a + 4b + c
y = b + 4c + a
z = c + 4a + b
Ta đợc:

)(2
1
4
1
4
1
4
1
cbabacacbcba ++

++
+
++
+
++
Dấu = xảy ra a + 4b + c = b + 4c + a = c + 4a + b a = b = c
Các bài toán có đợc nhờ phát triển bài 1, 2, 3.
1. Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng:
cbaaccbba
++

+
+
+
+

+
3
2
1
2
1
2
1
2. Cho a, b, c là các số dơng, , , là các số thực thỏa mãn: a + b + c > 0;
a; b; c > 0; a + b + c > 0.
Nghuyễn Hữu thiêm
93
Sáng kiến kinh nghiệm
Chứng minh rằng:
)cba)((cbacbacba ++++

++
+
++
+
++
9

1

1

1
Khi ta chọn , , là các số cụ thể ta sẽ có đợc các bất đẳng thức:
Ví dụ:

a)
)cba(bacacbcba ++

++
+
++
+
++ 2
3
32
1
32
1
32
1
b)
cbaaccbba ++

+
+
+
+
+
1
8
1
8
1
8
1

3. Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng:

++
++
+
cabcab
cba
222
2
1
222
2
1
2
cba
cabcab
ba
c
ac
b
cb
a
++
++

+
+
+
+
+

H ớng dẫn:
Vì
baba +
+
411
theo (1). Nên:






+
+
+
+
+
++
accbbacba
111
2
111
ab + bc + ca 2abc






+

+
+
+
+ accbba
111
ab + bc + ca + 2(a
2
+ b
2
+ c
2
)






+
+
+
+
+
+++
ac
bca
cb
abc
ba
abc

cba
222
2
= 2
)cabcab(
ba
c
ac
b
cb
a
++






+
+
+
+
+


++
++
+
cabcab
cba

222
2
1
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
Dấu = xảy ra





=
=
=
ac
cb
ba
a = b = c
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
(a + b + c)
2

))ba(c)ac(b)ba(a(
ba
c
ac
b
cb
a
+++++






+
+
+
+
+

)cabcab(
)cba(
ba
c
ac
b
cb
a
++

++







+
+
+
+
+ 2
2

ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
1+
222222
222
2

1
2
1
cba
cabcab
cba
cabcab
cabcab
cba
++
++









++
++
+
++
++
Nghuyễn Hữu thiêm
94
Sáng kiến kinh nghiệm
mà
2

A
B
B
A
+
A, B 0 Và A, B >0

ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
2 -
222
2
1
cba
cabcab
++
++
Mặt khác:

222
2

1
cba
cabcab
++
++

2
1
a, b, c
Do đó: 2 -
222
2
1
cba
cabcab
++
++
2
3

Nh vậy bất đẳng thức:

ba
c
ac
b
cb
a
+
+

+
+
+
2 -
222
2
1
cba
cabcab
++
++
chặt hơn bất đẳng thức ở bài toán 1.
4. Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng:
a)
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
<
ba
c
ca
b

cb
a
+
+
+
+
+
b)
)cba(
)cabcab(
ba
c
ac
b
cb
a
++
++

+
+
+
+
+ 2
3
222
H ớng dẫn:
ở hai bất đẳng thức bài số 4 này có cùng 1 dạng đó là chứng minh bằng phơng
pháp bắc cầu tức là xen vào giữa 2 vế bất đẳng thức một biểu thức trung gian. đó
là:

a) biểu thức bằng 2.
b) biểu thức bằng
2
cba ++
.
Cụ thể có thể giải bài 4 nh sau:
Ta có:
cba
ca
ba
a
++
+
<
+
cba
ab
cb
b
++
+
<
+
cba
cb
ca
c
++
+
<

+

ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
< 2.
Nghuyễn Hữu thiêm
95
Sáng kiến kinh nghiệm
Mặt khác:
cba
a
cba
a
)cb(a
a
)cb(a
ac
cb
a
++
=

++

+
=
+
=
+
2
2

ba
c
ca
b
cb
a
+
+
+
+
+

2
2
=
++
++
cba
)cba(
Dấu = không thể xảy ra vì hệ:

+=
+=
+=
bac
acb
cba
vô nghiệm với a, b, c dơng.
b) Theo bất đẳng thức Côsi:
a
cb
cb
a
2
2
2
2

+
+
+

2
222
cba
ba

c
ac
b
cb
a ++

+
+
+
+
+
Mặt khác: (a+b+c)
2


3(ab+bc+ca)
2
cba ++
)cba(
)cabcab(
++
++

3
5. Cho a, b, c là các số dơng có: a+b+c = 1
Chứng minh rằng:
111 +
+
+
+

+ z
z
y
y
x
x

4
3

H ớng dẫn:
Với a, b, c dơng theo (3): (a+b+c)(
9
111
++ )
cba

4
9
111
9
1
1
1
1
1
1
=
+++++

+
+
+
+
+ )z()y()x(zyx
D = 3 (
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ zyx
) 3 -
4
3
4
9
=
Dấu =xảy ra x = y = z =
3
1
Bài toán 4:
Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý [; ] (<) thoả mãn điều kiện: a + b + c = + +
với tuỳ ý.
Chứng minh rằng: a

2
+ b
2
+ c
2

2
+
2
+
2
H ớng dẫn:
Vì a, b, c <
(a- )(b-)(c-) + (-a)( -b)( -c) 0
Nghuyễn Hữu thiêm
96
Sáng kiến kinh nghiệm
ab + bc + ca (a+b+c)( +) +
2
+ +
2
0
(a+b+c)
2
2(a+b+c)( +) + ( +)
2
+
2
+
2

a
2
+ b
2
+ c
2

2
+
2
+
2
a
2
+ b
2
+ c
2
Nếu [; ] thì dấu = xảy ra a, b, c là một hoán vị của , , .
Nếu [; ] thì đẳng thức không xảy ra xảy ra.
áp dụng bài toán 4 ta có 1 số bài toán tơng tự nh sau:
1) a, b, c [0; 2]; a+b+c = 3. Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
5.
2) a, b, c [1; 3]; a+b+c = 6. Chứng minh rằng: a
2

+ b
2
+ c
2
14.
3) Cho n là số thực tuỳ ý. a, b, c [n-1; n+1] thoả mãn: a+b+c = 3n. Chứng minh
rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
3n+2.
4) Cho x
i
[-1; 1];

= 3nx
i
Chứng minh rằng:

1nx
2
i
5) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:
a)
8
1
111

+







+







+

ba
c
ca
b
cb
a
b)

3
+
+
+
+
+ cba
c
cba
b
acb
a
c)
3
+
+
+
+
+ bac
c
acb
b
cba
a
Bài toán 5:
Cho C có 3 cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng:
xa
2
+ yb
2
+ zc

2

S.zxyzxy ++ 4
(*)
Trong đó: S:diện tích C;x, y, z R: x+y 0; y+z 0; z+x 0; xy+yz+xz 0
H ớng dẫn:
(*) xa
2
+ yb
2
+ z(a
2
+ b
2
2abcosC)
Csinab.zxyzxy
2
1
4 ++
(x+z)a
2
+ (y+z)b
2

)CcoszCsin.zxyzxy(ab +++ 2
Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2
)CcoszCsin.zxyzxy( +++
(xy+yz+xz+z
2

)(sin
2
C+cos
2
C) = (x+z)(y+z)
Theo bất đẳng thức Côsi:
Nghuyễn Hữu thiêm
97
Sáng kiến kinh nghiệm
(x+z)a
2
+ (y+z)b
2
2ab
)zy)(xx( ++
(*) hoàn toàn đợc chứng minh.
áp dụng bài toán 5 ta có:
x = y = z = 1: a
2
+ b
2
+ c
2
4
S3
x = tg
222
C
tgz;
B

tgy;
A
==
ta có
1
222222
=++
C
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
C
tg

S
C
tgc
B
tgb
A
tga 4
222
222
++

Với tam giác ABC nhọn x= cotgA; y = cotgB; z = cotgC. Ta có:
cotgB.cotgA + cotgB.cotgC + cotgA.cotgC = 1
4S =
gCcotgBcotgAcot
cba
++
++
222
(áp dụng định lí cotg)
a
2
cotgA + b
2
cotgB + c
2
cotgC
gCcotgBcotgAcot
cba
++
++
222
ở bài 5 với x = y = 3; z = -1. Ta có bất đẳng thức:
3a
2
+ 3b
2
c
2
4
S3

(Đây là bất đẳng thức đã biết)
Ngoài ra ta có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng cách khác:
áp dụng: a
2
+ b
2
+ c
2
4
S3

vào tam giác có 3 cạnh là:
a/2; b/2; m
C
và công thức về
đờng trung tuyến ta cũng có:
3a
2
+ 3b
2
c
2
4
S3
C

Để kết thúc bài viết này tôi xin đa ra 1 số bất đẳng thức cùng với gợi ý ngắn
gọn về các số dơng hay độ dài của một tam giác:
Bài 1:
Cho x, y, z là các số dơng: x+y+z 3/2

Chứng minh rằng: x+y+z+
2
15111
++
zyx
Hớng dẫn:
Cách 1: x+
1
2
1
2
4
1
= .
x

( )
3
111
4
1

+++++
zyx
zyx
(1)
Nghuyễn Hữu thiêm
98
B
A
m
c
a/2
b/2
Sáng kiến kinh nghiệm
( )
9
111









++++
zyx
zyx

6

3
29111
=++
.
zyx

2
9
4
36111
4
3
=








++
.
zyx
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: x+y+z+
2
15111
++
zyx

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
z;y;x;zyx
zyx
zyx
222
111
++
+++++
(x+y+z+
( )
2
64
111
)zyx()zyx(zyx)
zyx
++++++++++
x+y+z+
)zyx(
zyx
zyx ++
+++
++
5
6111
Xét f(x) =
x
)x(
5
6
2

+
với 0 < x 3/2 f(x) 15/2
Dấu = xảy ra x = y = z = 1/2
Bài 2:
Cho x, y, z > 0; x+y+z 3/2
Chứng minh rằng:
17
2
3111
2
2
2
2
2
2
+++++
z
z
y
y
x
x
Hớng dẫn:
VT
( )
2
2
111

+++++
zyx
zyx
(BĐT về độ dài)
Đặt: a = x+y+z)
2
b =
2
111








++
zyx
a + b =
( )
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
62
3
6
92
3
2
62
3
6
2
3
62
3 aababa

+





















+

+






a+b
2
2
2
2
3
6
2
3
2

+






.
=
2
2
2
3
6






+
Nghuyễn Hữu thiêm
99
Sáng kiến kinh nghiệm
VT
17
2
3
2

3
6
2
2
=






+
Bài 3:
Cho x
1
, x
2
, ,x
n
là n số thực không âm. Chứng minh rằng:
nếu: x
1
+ x
2
+ + x
n
<
2
1
thì: (1-x

1
)(1-x
2
) (1-x
n
) >
2
1
Hớng dẫn:
Từ nhận xét: 0 u, v < 1
(1-u)(1-v) > 1-(u+v)
VT 1 (x
1
+ x
2
+ +x
n
) >
2
1
(đpcm)
(vì x
i
không âm,

i
x
<
2
1

0 x
i
< 1 i =
n,1
).
Bài 4:
Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn: abc = 1.
Chứng minh rằng:
cbaaccbba +
+
+
+
+

++
+
++
+
++ 2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1

Hớng dẫn:
Đặt x = a+b+c; y =
cba
111
++
= ab+bc+ca (vì abc = 1)
Theo bất đẳng thức Côsi: x 3; y 3
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
yx
yx
xyxyxy
xyx
249
412
2
43
2
2
++
++

+++
+++
3x
2
y + xy
2
+ 6xy 5x
2
y

2
24x 3y 27 0

0273933
3
12
3
4
3
33
5
3
5
2
2
2
2
2
22
++








+

+








+








+

)xy()xxy(x
xy
xyxy
xy
y
xy
xyx
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do x 3; y 3
Dấu = xảy ra a = b = c = 1.
Bài 5:
Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x+y+z = 1.
Chứng minh rằng: 0 xy+yz+zx-2xyz
27
7
Hớng dẫn:
Nghuyễn Hữu thiêm
100
Sáng kiến kinh nghiệm
Đặt S = xy+yz+zx-2xyz = xy(1-2z) + x+y)z
Không mất tính tổng quát giả sử z
3
1

0++ z)xy(xy
3
1
S
Mặt khác:
S=xy(1-2z) +(x+y)z

4
12
121
2
23
2
+
=+






+

zz
z)z()z(
yx
Do 0 z
3
1

27
1
S
Dấu = xảy ra a = b = c =
3
1

Bài 6:
Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn: x+y+z = 1.
Chứng minh rằng: 7(xy+yz+zx) 2+9xyz
Hớng dẫn:
Do x+y+z = 1 nên bất đẳng thức tơng đơng:
7(xy+yz+zx)(x+y+z) 2(x+y+z)
3
+9xyz
xy
2
+ yx
2
+ xz
2
+ zx
2
+ y
2
z + z
2
y 2(x
3
+ y
3
+ z
3
)
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
yxyxzxx
2

3
36333
27
1
3
3
1
3
1
3
1
=++
Tơng tự với 2 bất đẳng thức còn lại Đpcm
Dấu = xảy ra x = y = z =
3
1

Bài 7:
Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a+b+c = 1.
Chứng minh rằng:
4
1
111

+
+
+
+
+ b
ca

a
bc
c
ab
Bài 8:
Cho x, y, z là các số dơng mà: x
2
+y
2
+z
2
= 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =
y
xz
x
yz
z
xy
++
H ớng dẫn:
Đặt a =
y
xz
c;
x
yz
b;
z
xy

==
a, b, c > 0
ta có: ab+bc+ca = 1; S = a+b+c
Nghuyễn Hữu thiêm
101
Sáng kiến kinh nghiệm
S
2
= (a+b+c)
2
3(ab+bc+ca) = 3
3 S

Dấu = xảy ra x = y = z =
3
1

Bài 9:
Chứng minh rằng: nếu a
2
+ b
2
+ ab + bc + ca < 0 thì a
2
+ b
2
< c
2
Bài 10:
Cho 0 < c < b <a. Chứng minh rằng:

a
c
b
c
a
b
a
c
c
b
b
a
++++
Bài 11:
Cho a, b, c, d > 0 và a+b+c+d = 1.
Chứng minh rằng: (1+a+b)(1+b+c)(1+c+d)(1+d+a) 16(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)
Bài 12:
Cho a, b, c [0; 1]. Chứng minh rằng:
2
111

+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
bc

a
Bài 13: (IMC 2000)
Cho a, b, c dơng, abc = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
1
1






+






+

+
a
c
c
b
b
a
Hớng dẫn:
Cách 1:
x
z
c;
z
y
b;
y
x
a ===
(x, y, z dơng)
(x-y+z)(-z+y+xz-x+y) xyz (luôn đúng)
Cách 2: Ta có:
2
1
1
1
1
1
2
1
1

1
1
1
2
1
1
1
1
1
=






++






+
=

++






+
=






++






+
b
ab
a
c
c
a

ca
c
b
b
c
bc
b
a
a
Đặt VT = u.v.w
Theo bất đẳng thức Côsi:
uv
a
c
cvu.
a
2
1
+
Tơng tự với 2 bất đẳng thức tơng tự (uvw)
2
1 (đpcm)
Bài 14: (Thi HSG Tỉnh Nam Định 10 chuyên 2001)
Nghuyễn Hữu thiêm
102
Sáng kiến kinh nghiệm
Cho a
i
(i =
n,1

) dơng. Đặt P =
k
k
n
i
i
a
P
P;a =

=1
Chứng minh rằng:

=


+
n
i
i
n
i
i
P)n(a
P
1
1
1
1
Hớng dẫn:

Ta có (*)

=


+
n
i
i
n
i
i
n
P)n(a
P
1
1
1
1
n-(n-1)









+

i
n
i
i
P)n(a
P)n(
1
1
1
1
1

+


i
n
i
n
i
P)n(a
a
1
1
1
Theo bất đẳng thức Côsi:
(n-1)P

i

( )


=


=

=


n
ji
i
n
i
n
ji
i
n
j
aa
n
n
1
1
1
1

1
1
1
a
i
n-1
+ (n-1)P
i


=

n
i
n
i
a
1
1


+


i
n
i
n
i
P)n(a

a
1
1
1

=


n
i
n
i
n
i
a
a
1
1
1


=


+
n
i
i
n
i

n
i
P)n(a
a
1
1
1
1

1
1
1
=




n
i
n
i
a
a
(đpcm)
áp dụng bài 14 ta đợc các bài toán cụ thể sau:
1) Cho a, b, c dơng.
Chứng minh rằng:
1
222
222

+
+
+
+
+ abc
ab
acb
ac
bca
bc
2) Cho a, b, c, d là 4 số dơng.
Chứng minh rằng:
1
3333
3333

+
+
+
+
+
+
+ abcd
abc
abdc
abd
acdb
acd
bcda

bcd
Việc chứng minh 1) và 2) hoàn toàn dựa vào bài 14 với trờng hợp n = 4, 3.
Bài 15:
Cho a, b, c > 0. chứng minh rằng:
1
3
1
1
1
1
1
1
+

+
+
+
+
+ abc)a(c)c(b)b(a
Nghuyễn Hữu thiêm
103
Sáng kiến kinh nghiệm
Hớng dẫn:
Ta có:

+
+
+
+
+
+
=+
+








+
+
+
+
+
+
=+
+

+
+
+
+
+
+
=+
+
a
)b(a
)a(c
c
abcabc)a(c
c
)a(c
)c(b
b
abcabc)c(b
b
)c(b
)b(a
a
abcabc)b(a
1
1
1

1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
áp dụng bất đẳng thức Côsi: VT +
1
6
3
1
1
1
3
+

=
+

+ abc

abcabc
VT
1
3
+abc
Trên đây là 1 số bài toán về các số dơng và mối liên hệ giữa các độ dài cạnh trong
một tam giác. Trong bài viết có su tầm 1 số bài toán từ các kỳ thi chọn học sinh giỏi,
IMO, báo Toán học và Tuổi trẻ, các kỳ thi Olympic các nớc Do thời gian và năng
lực còn nhiều hạn chế, nên bài viết không khỏi thiếu những thiếu sót. Mong nhận đợc
sự đóng góp, góp ý từ phía các thầy cô.
Em xin chân thành cảm ơn !

Nghuyễn Hữu thiêm
104