Phương pháp tọa độ hóa trong mặt phẳng (KL06155)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=======***=======

NGUYỄN THU PHƢƠNG

PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA
TRONG MẶT PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2014


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên cho em gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong
khoa toán trƣờng ĐH sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức
trong những năm học qua, đã tạo điều kiện thuận lợi cho em học tập,
nghiên cứu, tìm tòi tài liệu. Với vốn kiến thức đƣợc tiếp thu trong quá
trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu Khóa luận mà còn
là hành trang quý báu để em bƣớc vào đời một cách vững chắc và tự tin.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy giáo - Thạc sĩ
Nguyễn Văn Vạn trong suốt thời gian qua đã nhiệt tình giúp đỡ, chỉ dạy
để em thực hiện bài Khóa luận tốt nghiệp này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến toàn thể bạn bè và gia
đình đã luôn bên cạnh ủng hộ em trong suốt thời gian qua.
Em xin chân thành cảm ơn
Sinh viên

Nguyễn Thu Phƣơng

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan bài Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình nghiên
cứu, tìm tòi của em dƣới sự hƣớng dẫn từ giáo viên - Thạc sĩ Nguyễn
Văn Vạn. Với sự cố gắng của bản thân, em đã tổng hợp, trình bày nên
bản Khóa luận tốt nghiệp này.
Em hoàn toàn chịu trách nhiệm trƣớc lời cam đoan trên.

Sinh viên

Nguyễn Thu Phƣơng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................... 1
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ - CÁC TRONG PHẲNG ............................. 1
1, Định nghĩa ............................................................................................ 1
2, Hệ tọa độ thuận ..................................................................................... 1
II. TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM .................................................... 1
1. Tọa độ véctơ ......................................................................................... 1
1.1. Định nghĩa ......................................................................................... 1
1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ ......................................... 2
2. Tọa độ của điểm ................................................................................... 2
2.1. Định nghĩa ......................................................................................... 2
2.2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng - tọa độ trọng tâm tam giác ............ .2
3. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của véctơ................................ 3
III. PHƢƠNG TRÌNH CÁC ĐƢỜNG ..................................................... 3
1. Phƣơng trình đƣờng thẳng .................................................................... 3

1.1. Phƣơng trình tổng quát - phƣơng trình tham số của đƣờng
thẳng ................................................................................................... 3
1.2. Một vài chú ý ............................................................................... 4
1.3. Khoảng cách và góc..................................................................... 4
2. Phƣơng trình đƣờng tròn ...................................................................... 5
2.1. Dạng phƣơng trình chính tắc ....................................................... 5
2.2. Dạng phƣơng trình khai triển ...................................................... 5
3. Phƣơng trình Elip ................................................................................. 5
3.1. Định nghĩa ................................................................................... 5
3.2. Phƣơng trình chính tắc ................................................................ 5


4. Phƣơng trinh Hypebol .......................................................................... 6
4.1. Định nghĩa ................................................................................... 6
4.2. Phƣơng trình chính tắc ................................................................ 6
5. Phƣơng trình Parabol ............................................................................ 6
5.1. Định nghĩa ................................................................................... 6
5.2. Phƣơng trình chính tắc ................................................................ 6
IV.CÁC BƢỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRUYỀN
THỐNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ........................................... 7
1. Chọn hệ trục tọa độ............................................................................... 7
2. Khai thác các tính chất và các phép toán liên quan đến véctơ và
tọa độ ........................................................................................................ 7
3. Hình thành hệ tọa độ trong mặt phẳng nhƣ thế nào? ............................ 7
Chương 2: LỚP CÁC BÀI TOÁN....................................................... 11
I. BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM........................................................... 11
II. BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP CỐ ĐỊNH ............................................... 17
III. ĐẲNG THỨC VÀ ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ ... 24
IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH ............................................................ 32
V. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN

ĐẾN TỌA ĐỘ ........................................................................................ 44
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học phẳng là một bộ phận không thể thiếu của toán học. Ở
cấp THCS các em đã đƣợc làm quen với những bài toán hình học truyền
thống, lên lớp 10 các em đƣợc học về phƣơng pháp tọa độ không chỉ để
các em giải những bài toán cho trong mặt phẳng tọa độ mà còn có thể sử
dụng phƣơng pháp tọa độ để giải những bài toán hình học truyền thống.
Với những bài toán cho trong mặt phẳng Oxy định hƣớng giải
quyết bài toán khá rõ ràng: Học sinh sẽ sử dụng các kiến thức về tọa độ
để giải quyết. Tuy nhiên nếu bài toán đƣợc cho dƣới dạng truyền thống
mà học sinh đã quen thuộc ở THCS thì ngoài việc giải bằng cách thông
thƣờng ta có thể định hƣớng cho học sinh giải bằng phƣơng pháp tọa độ.
Cách tiếp cận và giải bài toán bằng phƣơng pháp tọa độ sẽ giúp giải
quyết một số bài toán hình học phẳng khá hóc búa trở nên dễ dàng hơn,
mặt khác làm cho hoc sinh có khả năng tìm tòi, sáng tạo và khả năng tƣ
duy toán tốt hơn.
Làm thế nào để chuyển một bài toán hình học đƣợc phát biểu dƣới
dạng truyền thống không có các đại lƣợng liên quan đến tọa độ về bài
toán phát biểu trong mặt phẳng tọa độ có những đại lƣợng tọa độ,
phƣơng trình đƣờng,... để giải? Sau đây tôi xin đƣa ra một vài phƣơng
pháp và ví dụ điển hình áp dụng phƣơng pháp tọa độ hóa vào giải quyết
những bài toán hình học phẳng.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phƣơng pháp tọa độ trong
mặt phẳng và ứng dụng phƣơng pháp tọa độ vào giải một số lớp bài toán

hình học .


Xây dựng các bài tập minh họa cho các lớp bài toán có sử dụng
phƣơng pháp tọa độ hóa để giải.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: phƣơng pháp tọa độ hóa trong mặt phẳng.
- Phạm vi nghiên cứu: một số lớp bài toán hình học áp dụng
phƣơng pháp tọa độ hóa để giải.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu liên quan trong sách tham khảo và trên
mạng internet.


Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ - CÁC VUÔNG GÓC TRONG PHẲNG
1. Định nghĩa
Hệ trục tọa độ hay còn gọi là hệ trục tọa độ Đề - các là hệ trục Oxy
gồm 2 trục Ox và Oy vuông góc với nhau
Ox là trục hoành có véctơ đơn vị là i ,
y

Oy là trục tung có véctơ đơn vị là j .
Điểm O là gốc tọa độ ( i = j = 1)
Mặt phẳng mà trên đó có hệ trục tọa độ
Oxy đƣợc gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt

O

x

phẳng Oxy.
2. Hệ tọa độ thuận
Hệ tọa độ Đề - các vuông góc trong phẳng đƣợc gọi là hệ tọa độ
đúng nếu ta chọn trục tọa độ Ox, Oy sao cho khi quay ngƣợc chiều kim
đồng hồ từ Ox đến Oy tạo thành góc 90 .
II. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
1. Tọa độ của véctơ
1.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng Oxy cho u = AB ta luôn có cặp số duy nhất
( x1 , x 2 ) sao cho u = x1 i + x 2 j . Ta gọi cặp số ( x1 , x 2 ) là tọa độ của
véctơ u với hệ tọa độ đã cho và viết u = ( x1 , x 2 ) hay u ( x1 , x 2 ) .
NX: Nếu u = ( x1 , x 2 ), u ' = ( x1 , x 2 ) thì:

u = u

x  x 
1
1
x 2  x 2



1


1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ
a, Định lý
Trên mp tọa độ Oxy cho 2 véctơ a(a1 ,a2 ) và b(b1 ,b2 ) . Ta có:

a  b  (a1  b1 ,a2  b2 )
a  b  (a1  b1 ,a2  b2 )
ka  (ka1,kb1 )
a.b  (a1b1 ,a2 b2 )
b, Độ dài véctơ
Cho a(a1 ,a2 ) . khi đó độ dài véctơ a đƣợc xác định: a =

a12  a2 2

2. Tọa độ của điểm
2.1. Định nghĩa
Trong mp tọa độ Oxy, với mỗi điểm M tùy ý, ta luôn có cặp số duy
nhất (x, y) thỏa mãn OM  xi  yj . Khi đó cặp số (x, y) đƣợc gọi là tọa
độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ đã cho và viết M = (x, y) hay M(x,
y). Trong đó x là hoành độ, y là tung đọ của điểm M.
2.2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng - tọa độ trọng tâm tam giác
a, Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Cho 2 điểm phân biệt A(x A ,y A ) , B(x B ,y B ) . Gọi M(xM ,y M ) là
trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta có công thức:


1
x M  2 (x A  x B )

y  1 (y  y )
B
 M 2 A

2

b, Tọa độ trọng tâm của tam giác
Cho tam giác ABC, A(x A ,y A ) , B(x B ,y B ) , C(xC ,yC ) . Gọi
G(xG ,yG ) là trọng tâm của tam giác. Ta có công thức:


1
x M  3 (x A  x B  x C )

y  1 (y  y  y )
B
C
 M 3 A
3. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của véctơ
Cho A(x A ,y A ) , B(x B ,y B ) . Ta có:

AB  (xB  xA ,yB  yA )
AB  (xB  xA )2  (yB  yA )2
III. PHƢƠNG TRÌNH CÁC ĐƢỜNG
1. Phương trình đường thẳng
1.1 Phường trình tổng quát - phương trình tham số của đường
thẳng:
- Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng có dạng ax + by + c = 0 (
a2 + b2 # 0), trong đó n(a,b) là một véctơ pháp tuyến.
- Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm M0( x0, y0 ) và có véctơ
pháp tuyến ( VTPT ) n(a,b) là: a( x - x0) + b( y - y0) = 0 ( a2 + b2 # 0)
- Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm M0( x0, y0 ) và có véctơ chỉ
phƣơng ( VTCP ) u(a,b) là:

x  x0 y  y0


.( a, b # 0)
a
b

- Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng đi qua điểm M0( x0, y0 ) và
x  x 0  at
có VTCP u(a,b) là: 
( a2 + b2 # 0)
y  y 0  bt

3


- Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 điểm A(x1, y1), B(x2, y2):

x  x1
y  y1

x2  x1 y2  y1

(điều kiện: x2 - x1  0, y2 - y1  0)

1.2 Một vài chú ý
- Đƣờng thẳng d đi qua điểm A(x A ,y A ) , B(x B ,y B ) thì có VTCP

u = AB  (xB  xA ,yB  yA )
- Giả sử đƣờng thẳng d có phƣơng trình ax + by + c = 0. khi đó:
* d' // d thì d' có VTPT n(a,b)
* d''  d thì d'' có VTCP u( b,a) hoặc u  (b, a)

- Có vô số VTCP (VTPT) và chúng cùng phƣơng với nhau nên ta
có thể chọn tọa độ tỉ lệ và thỏa mãn điều kiện véctơ khác véctơ 0 .
1.3. Khoảng cách và góc
- Khoảng cách từ điểm M0( x0, y0 ) đến đƣờng thẳng  :
ax + by + c = 0 ( a2 + b2 # 0)
cho bởi công thức:

d(M0 , ) 

ax 0  by0  c
a2  b2

- Vị trí của 2 điểm M(xM ,y M ) , N(x N ,y N ) đối với đƣờng thẳng 
(M, N   ) là:
* M, N cùng phía với   (a.xM + b.yM + c)(a.xN + b.yN + c) > 0
* M, N khác phía với   (a.xM + b.yM + c)(a.xN + b.yN + c) < 0
- Phƣơng trình 2 đƣờng phân giác của các góc tạo bởi 2 đƣơng
thẳng 1 : a1x  b1y  c1  0 và 2 : a2x  b2y  c2  0 là:

a1x  b1y  c1
a b
2
1

2
1



a2x  b2y  c2

a2  b2
2

2

0

4


- Góc tạo bởi 2 đƣờng thẳng 1 và  2 có VTPT lần lƣợt là

n1 (a1 ,b1 ) và n2 (a2 ,b2 ) cho bởi công thức:
cos ( 1, 2 ) = cos(n1 ,n2 ) =

a1a2  b1b2
a12  b12 . a2 2  b2 2

2. Phương trình đường tròn
2.1. Dạng phương trình chính tắc
Trong mp tọa độ Oxy phƣơng trình đƣờng tròn tâm I(a, b), bán kính
R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2
 Phƣơng trình đƣờng tròn tâm O(0,0), bán kính R là: x2 + y2 = R2
2.2. Dạng phương trình khai triển
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mọi phƣơng trình có dạng:
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
với a2 + b2 - c > 0 là phƣơng trình đƣờng tròn tâm I(-a, -b), bán kính

a2  b2  c .

R=

3. Phương trình Elip
3.1. Định nghĩa
Cho 2 điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c và một độ dài không đổi 2a
(a>c).
Elip là tập hợp những điểm M sao cho:
F1M + F2M = 2a
F1, F2 là tiêu điểm, F1F2 là tiêu cự, F1M và F2M là bán kính qua tiêu.
3.2. Phương trình chính tắc
Với F1(-c, 0), F2(c, 0). Điểm M(x,y)  (E)



x2 y2
 2  1 với b2 = a2 - c2
2
a
b

(1)

(1) là phƣơng trình chính tắc của (E)

5


4. Phương trình Hyperbol
4.1. Định nghĩa
Cho 2 điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c và một độ dài không đổi 2a

(c > a). Hyperbol là tập hợp những điểm M sao cho:

F1M  F2M = 2a
F1, F2 là tiêu điểm, F1F2 là tiêu cự
4.2. Phương trình chính tắc
Với F1(-c, 0), F2(c, 0). Điểm M(x,y)  (H)

x2 y2
 2  2  1 với b2 = c2 - a2
a
b

(2)

(2) là phƣơng trình chính tắc của Hyperbol
5. Phương trình Parabol
5.1. Định nghĩa
Cho điểm F và đƣờng thẳng  không chứa F. Parabol là tập hợp
những điểm M sao cho: MF = d( M,  )
F là tiêu điểm,  là đƣờng chuẩn của Parabol, d( F,  ) là tham số
tiêu.
5.2. Phương trình chính tắc

p
p
Với F( , 0) và  : x = - (p > 0). M(x, y)  (P)  y2 = 2px (3)
2
2
(3) là phƣơng trình chính tắc của Parabol

6


IV.CÁC BƢỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC THUẦN TÚY
BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
1. Chọn hệ trục tọa độ
Gốc tọa độ, trục tọa độ thƣờng gắn liền với điểm và đƣờng đặc biệt
của bài toán nhƣ: tâm đƣờng tròn, đỉnh góc vuông, trung điểm đoạn
thẳng, chân đƣơng cao,...
- Chuẩn hóa độ dài các đoạn thẳng và đơn vị trục
- Xác định tọa độ các điểm và phƣơng trình các đƣờng theo hƣớng
hạn chế đến mức thấp nhất việc sử dụng các tham số, điều chỉnh giá trị
các tham số để nhận đƣợc những tọa độ "đẹp" giúp các phép toán trở nên
đơn giản.
2. Khai thác các tính chất và các phép toán liên quan đến véctơ và tọa
độ
- Điều kiện theo tọa độ để các véctơ vuông góc.
- Điều kiện theo tọa độ để các véctơ cùng phƣơng.
- Tính khoảng cách dựa theo tọa độ.
- Tính số đo của góc dựa theo tọa độ,...
* Việc sử dụng công cụ tọa độ thực chất là sử dụng đại số để nghiên
cứu hình học muốn vậy phải chọn hệ tọa độ thích hợp trên cơ sở hệ tọa
độ đúng.
3. Hình thành hệ tọa độ trong mặt phẳng như thế nào?
Bài toán có đơn giản hay không phần lớn phụ thuộc vào việc hình
thành hệ trục tọa độ. Sau đây là cách chọn hệ trục tọa độ tƣơng ứng với
những bài toán thƣờng gặp:
a, Tam giác cân:
Giả sử tam giác ABC cân tại A, hạ đƣờng cao từ đỉnh của tam giác
cân đến cạnh đối diện AO  BC

7


- Chọn hệ trục tọa độ Đề - các

y

vuông góc Oxy trong đó:
A

+ O(0, 0) là gốc tọa độ
+ Đình C  Ox, đỉnh A  Oy
- Chuẩn hóa độ dài: Đặt

OC=c

OA=a

(a,c>0)
B

O

C

khi đó ta nhận đƣợc C(c, 0), B(-c, 0), A(0, a), trọng tâm G(0,
b, Hình vuông ABCD:

x

a
)
3

y

Cách 1:
- Chọn hệ trục tọa độ Đề - các

C

D

vuông góc Axy:

I
B  Ax

D  Ay

- Chuẩn hóa độ dài cạnh hình

x
A

B

vuông bằng 2 ta có: A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), tâm hình vuông
I(1,1), trung điểm cạnh AB có tọa độ (1,0)

Cách 2:
- Chọn hệ trục tọa độ Đề - các vuông
góc Ixy

y
D

C

(I là tâm hình vuông ABCD) nhƣ hình vẽ
- Chuẩn hóa độ dài cạnh hình vuông

x

I

bằng 2 ta có: I(0, 0), A(-1, -1), B(1, -1),
C(1, 1), D(-1, 1)

A

B

Trung điểm cạnh AB có tọa độ (0, -1)
Trung điểm cạnh BC có tọa độ (1, 0)

8


Trung điểm cạnh CD có tọa độ (0, 1)

Trung điểm cạnh AD có tọa độ (-1, 0)
Cách 3:

y

- Chọn hệ trục tọa độ Đề - các

B

vuông góc Ixy (I là tâm hình vuông
ABCD) nhƣ hình vẽ.

C

I

x

- Chuẩn hóa độ dài cạnh hình

A

vuông bằng 2
Ta có: I(0,0), A( 2 ,0), B(0, 2 )

D

C(- 2 , 0), D(0, - 2 )
c, Hình chữ nhật ABCD:
Cách 1:

y

- Chọn hệ trục tọa độ Đề - các

C

D

vuông góc:
+ Chọn một đỉnh của hình chữ nhật

I

làm gốc
x

+ Hai cạnh liên tiếp nằm trên 2 trục
A

tọa độ

B

- Chuẩn hóa độ dài:
Không mất tính tổng quát, ta đặt chiều dài, chiều rộng của hình chữ
nhật lần lƣợt là: 2a, 2b (a > b > 0).
Khi đó: Tâm của hình chữ nhật I(a, b).
Phƣơng trình đƣơng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là:
(x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2

Cách 2:
- Chọn hệ trục tọa độ Đề - các vuông góc Ixy (I là tâm hình chữ
nhật ABCD) nhƣ hình vẽ.

9


- Chuẩn hóa độ dài: Đặt chiều dài,
chiều rộng của hình chữ nhật lần lƣợt là

y
D

2a, 2b (a > b > 0) ta có: I(0,0), A(-b, -a),

C
I

x

B(a, -b), C(a, b), D(-a, b)
B

A
d, Hình tròn:
- Chọn tâm đƣờng tròn làm gốc tọa độ

y

- Chọn 2 đƣơng kính vuông góc với

nhau làm 2 truc tọa độ Ox, Oy
- Chuẩn hóa độ dài bán kính R = 1

O
x

- Ta có phƣơng trình đƣờng tròn:
x2 + y2 = R2

10


Chƣơng 2
LỚP CÁC BÀI TOÁN
I. BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM
Bài 1: ( Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007)
Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi
H, G lần lƣợt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích
điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đƣờng thẳng BC.
Giải :
Chọn hệ trục Oxy với O trung điểm BC và trục Ox là đƣờng thẳng BC

m n
Giả sử B(1,0),C(1,0) và A(m,n) .Khi đó G  ,  .
 3 3
Phƣơng trình đƣờng thẳng AB :

n
mn
xy

n
m 1
m 1

- Đƣờng cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB có VTPT là AB (-1-m, n) và đi qua điểm B(-1, 0). Phƣơng trình đƣờng cao kẻ từ đỉnh C xuống
cạnh AB là: x 

n
y  1  0(1) .
m 1

11


- Đƣờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC có VTPT là BC (2, 0) và
đi qua điểm A(m, n). Phƣơng trình đƣờng cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh
BC là: x  m (2) .

 1  m2 
- Tọa độ trực tâm là nghiệm của (1) và (2) nên H  m,
.
n


 2m n 2  3m 2  3 
Do vậy tọa độ của điểm K là K 
,
.
6n
 3


Điểm K thuộc đƣờng thẳng BC:

y0

khi và chỉ khi

n 2  3m2  3
m2 n 2
0
  1 . Vậy tập hợp đỉnh A là Hypebol (H) có
6n
3
1

x 2 y2
phƣơng trình

 1.
3
1
Bài 2 : ( Đề thi Olympic Lê Hồng Phong 2008-2009) Cho tam giác
ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Qua B dựng đƣờng
thẳng d vuông góc với BC, d cắt đƣờng trung tuyến AI của tam giác
ABC tại K.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm A,
biết rằng IH song song với KC.
Giải:
^y
A

H
B

C
I

>x

K

12


Chọn hệ trục Oxy với O trùng I và trục Ox là đƣờng thẳng BC, tọa
độ điểm I(0, 0)
Đặt BC = 2a > 0. Khi đó tọa độ B(-a, 0), C(a, 0). Giả sử tọa độ điểm
A(x0, y0) với y0  0.
Đƣờng cao đi qua B vuông góc với AC có VTPT là AC (a - x0, -y0)
và đi qua điểm B(-a, 0) có phƣơng trình:
(x + a)(a - x0) - y0y = 0
Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phƣơng trình

x  x 0
a 2  x 02
 H(x 0 ,
)

y0
(x  a)(a  x 0 )  y 0 y  0
Đƣờng thẳng AI có VPCP là AI (-x0, -y0) và đi qua điểm I(0, 0) có

phƣơng trình : y0x - x0y = 0  y 

y0
x.
x0

Điểm K = d  (AI) là nghiệm hệ phƣơng trình:
 x  a
y

y0  K(a, a 0 ) với x0  0

x0
y  x x
0


Theo giả thiết, ta có IH cùng phƣơng KC ( 2a,a

a

y0
)
x0

x 2 y2
y0
a 2  x 02
x 0  2a
 0  20  02  1

a
2a
x0
y0

x 02 y02
Vậy quỹ tích A là elip 2  2  1 bỏ đi 4 điểm B, C,
a
2a

A1(0, -a 2 ), A2(0, a 2 ) là 4 đỉnh của elip

13


Bài 3 : (Đƣờng tròn Appolonius) Cho hai điểm A, B và một số thực
dƣơng k. Tìm quỹ tích những điểm M trong mặt phẳng sao cho MA =
kMB.
Giải:
Đặt AB = 2a và đặt A, B

y

vào hệ trục toạ độ với Ox trùng

M

AB và Oy trùng với trung trực
của AB.
Khi đó A(-a, 0), B(a, 0).

x

Với điểm M(x, y) bất kỳ:
ta có M thuộc quỹ tích khi

A

O

B

và chỉ khi MA2 = k2MB2
 (x + a)2 + y2 = k2((x - a)2 + y2)
 (k2 - 1)x2 – 2a(k2 + 1)x + (k2 - 1)y2 + (k2 - 1)a2 = 0
Nếu k = 1 thì quỹ tích là đƣờng thẳng x = 0. Nếu k  1 thì phƣơng
trình trên đƣợc viết lại thành
2


 2ka 
a(k 2  1) 
2a(k 2  1)
2
2
2
x 
x  y  a  0  x  2
 y  2


2
k 1 
k 1
 k 1


2

2

Suy ra quỹ tích là một đƣờng tròn có tâm nằm trên đƣờng thẳng AB
(đƣờng tròn Appolonius).
Bài 4: Cho đƣờng thẳng d và điểm P nằm ngoài d. Tìm quỹ tích
những điểm M cách đều P và d.
Giải:
Bài toán này là một phát triển rất tự nhiên của hai quỹ tích quen
thuộc: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm đã cho là đƣờng trung trực
của đoạn thẳng nối hai điểm này; quỹ tích những điểm cách đều hai
đƣờng thẳng đã cho là các đƣờng phân giác của góc tạo bởi hai đƣờng

14


thẳng này. Vậy quỹ tích những điểm cách đều một điểm đã cho và một
đƣờng thẳng đã cho là gì?
Phân tích một số vị trí đặc biệt, có thể thấy quỹ tích không phải là
đƣờng thẳng mà cũng không phải là đƣờng tròn .Vậy quỹ tích có thể là
gì? Ta hãy đƣa hệ trục toạ độ vào bài toán để tìm hiểu vấn đề này.Một
cách tự nhiên, ta chọn HP là trục tung và d là trục hoành. ( H là chân
đƣờng vuông góc hạ từ điểm P xuống đƣờng thẳng d)

y
P
M

x
d

H

Đặt HP = p thì P(0, p).
Giả sử M(x, y) là một điểm thuộc quỹ tích thì rõ ràng y > 0 và ta có
MP = d(M, d)  x 2  (y  p)2  y  x2 + (y - p)2 = y2

 x2 – 2py + p2 = 0  y 

1 2 p
x 
2p
2

Quỹ tích là một parabol!
Đây cũng chính là một thế mạnh của hình học giải tích so với hình
học thuần tuý. Hình học giải tích cho phép tìm ra các quỹ tích vƣợt ra
ngoài các hình "vẽ đƣợc" bằng thƣớc và compa, nghiên cứu các tính chất
hình học của các đƣờng cong đại số bất kỳ.

15


Bài 5: Cho đƣờng d trên đó lấy một điểm A. Cho trƣớc hai số

dƣơng a, b sao cho a>b. Xét tất cả các điểm P, Q sao cho AP = a, AQ = b
và đƣờng thẳng d là phân giác của PAQ . Ứng với mỗi cặp điểm P,Q xét
điểm M sao cho: AM  AP  AQ .Tìm quỹ tích điểm M.
Giải :

Chọn hệ tục tọa độ Đề - các vuông góc Axy, A làm gốc tọa độ, trục
Ax chứa đƣờng thẳng d. Gọi M(x; y)
Ta có: AM  AP  AQ  (x,y)  (x p ,y p )  (xQ ,yQ )

x  x P  x Q

y  y P  y Q

(1)

x 2P  y 2P  a2
Do AP = a và AQ = b nên  2
2
2
x Q  y Q  b

(2)

Nếu phƣơng trình (AP): y = kx thì (AQ): y = -kx

x2P  k 2 x2P  a2
Từ (2) suy ra  2
2 2
2
xQ  k x Q  b

 2
(a  b)2
2
2
x  x P  x Q  2x P x Q 
x2
y2
1  k2
(1)  


1
2
2
2
2
(a

b)
(a

b)
y2  y2  y 2  2y y  k (a  b)
P
Q
P Q

1  k2
Vậy quỹ tích M là một elip.

16


II. BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP CỐ ĐỊNH
Bài 1: Trong mặt phẳng cho đƣờng tròn (O,R) và một điểm A cố
định. I là điểm di động trên (O). Đƣờng tròn tâm I luôn đi qua A. Chứng
minh rằng trục đẳng phƣơng của hai đƣờng tròn (O) và (I) luôn tiếp xúc
với một đƣờng tròn cố định .
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Đề - các vuông góc Oxy, điểm A nằm trên
trục Oy

Giả sử A(0,b)
Phƣơng trình đƣờng tròn tâm O : x2 + y2 = R2.
2
2
2
2
2
2
Gọi I(m ; n)  (O)  m  n  R và IA  m  (b  n) .

Vậy phƣơng trình (I) : (x  m) 2  ( y  n) 2  m 2  (n  b) 2 .
2
2
2
Hay x  y  2mx  2ny  2nb  b  0 (1)

(1) là phƣơng trình của đƣờng tròn vì m2 + n2 - (2nb - b2) > 0

Suy ra phƣơng trình trục đẳng phƣơng của (O) và(I) là (d) :
2mx + 2ny – 2nb + b2 + R2 = 0.

17


2nb  2nb  b 2  R 2
Ta có d(A,d) =



2 m2  n 2

b2  R 2
2R

Bài 2: Cho một điểm M nằm tùy ý trên đoạn thẳng AB, M khác A
và B. Dựng các hình vuông AMCD và MBEF về cùng một phía với AB.
Các đƣờng tròn tâm P và Q lần lƣợt ngoại tiếp 2 hình vuông AMCD và
MBEF cắt nhau tại M và N.
1, Chứng minh AF và BC cắt nhau tại N.
2, Chứng minh đƣờng thẳng MN đi qua một điểm cố định.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Đề y

các vuông góc Axy sao cho
B  Ax

D  Ay

C

D

Không mất tính tổng

P

N

F

quát, ta giả sử AB = 1

E

Q

Đặt AM = m (0 < m < 1)
Khi đó ta có: A(0, 0),

x
A

M

B

B(1, 0), M(m, 0), C(m, m), D(0, 1),
F(m, 1 - m), E(1, 1 - m), P(

1, Ta có:

m 1 1 m
m m
, ), Q(
,
)
2
2
2 2

AF (m, 1 - m)

BC (m- 1, m)
Suy ra: AF . BC = m.(m - 1) + m.(1 - m) = 0  AF  BC
Gọi N' là giao điểm của AF và BC
Ta có AN'C = AMC = 900  4 điểm N', C, A , M cùng nằm trên
một đƣờng tròn. Do đó, N' nằm trên đƣờng tròn tâm P

18