Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải``` quyết một số bài toán hình học không gian

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong một đề thi đại học, cao đẳng bất kể khối A, B hay D thì câu hình
học không gian thể tích là một trong những câu không thể thiếu ở phần chung,
để đạt được ít nhất 2 điểm hình trong đề thi đại học, học sinh nhất thiết phải làm
được câu hình thể tích. Để giải một bài toán hình học không gian đòi hỏi học
sinh phải có nhiều kỹ năng, không những nắm kiến thức về hình học không gian
thật vững mà học sinh phải có kỹ năng linh hoạt, có phương pháp giải phong
phú để ứng biến với mọi tình huống khó khăn.
Với một bài toán hình học nói chung và bài toán hình học không gian nói
riêng thì có nhiều cách giải khác nhau, có thể là phương pháp tổng hợp, phương
pháp vectơ hay phương pháp tọa độ, trong đó có một phần lớn các bài toán
hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ hóa (PPTĐH). Với
những bài toán đó thì PPTĐH cho ta cách giải rất nhanh chóng và dễ dàng hơn
nhiều so với phương pháp tổng hợp. PPTĐH cho ta lời giải một cách chính xác,
tránh được các yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng
hợp và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán hình học không gian
Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung
cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy
nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài
toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán. Từ thực tế giảng
dạy cũng như bản thân muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu về giải quyết các
bài toán hình học không gian để phục vụ giảng dạy và giúp học sinh cảm thấy
thoải mái tiếp thu, có phương pháp tối ưu để giải quyết các bài tập hình học
không gian vốn phức tạp, tôi đã chọn chuyên đề : “ Giúp học sinh lớp 12 rèn
luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán
hình học không gian ”.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN :
Sự ra đời của cuốn “ La géometrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng
phương pháp tọa độ vào năm 1637 của nhà toán học thiên tài người Pháp Rene
Descartes đã đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Mặc dù đại số và

hình học là hai mảng kiến thức khác nhau trong toán học, nhưng với phương
pháp tọa độ thì hai mảng kiến thức này lại dung hòa với nhau, cùng nhau phát
triển. Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay
cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hóa và
trừu tượng hóa toán học trong nhiều lĩnh vực.
Để hướng dẫn cho học sinh khối 12 sử dụng phương pháp toạ độ hóa vào
giải toán hình học không gian, giáo viên ngoài củng cố kiến thức về vectơ, tọa
độ trong không gian còn phải hướng dẫn học sinh nắm bắt được các dấu hiệu
1
nhận biết cùng với các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương
pháp tọa độ hóa.
Tuy nhiên qua thực tế , việc nắm vững các bước tọa độ hóa để vận dụng
vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình
trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy,
thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc
giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ
TÀI :
1. Thuận lợi
Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình
lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường
thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách
giữa một số đối tượng trong hình học không gian.
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm
cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng
tiếp thu. Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc
xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12,
một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian.
2. Khó khăn
Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ

động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài
toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính
xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh.
Do đó kết quả không như mong đợi.
Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được
phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng
thú trong học tập .Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng
dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò.

III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN :
1) Cơ sở lý thuyết :
a) Cho hai vectơ
( )
1 1 1 1
; ;u x y z=
ur
,
( )
2 2 2 2
; ;u x y z=
uur
và số k tùy ý, ta có :
•
1 2 1 2 1 2 1 2
, ,u u x x y y z z= ⇔ = = =
ur uur
•
1
u
ur

và
2
u
uur
cùng phương
1 1 1
1 2
2 2 2
: .
x y z
m u mu
x y z
⇔ ∃ ∈ = ⇔ = =
ur uur
¡
( nếu
2 2 2
, , 0x y z ≠
)
•
( )
1 1 1 2 1 2 1 2
; ;u u x x y y z z± = ± ± ±
ur ur
•
( )
1 1 1 1
; ;ku kx ky kz=
ur
•

2
2 2 2
1 1 1 1
u u x y z= = + +
r ur
• Tích vô hướng của hai vectơ:
1 2 1 2 1 2 1 2
.u u x x y y z z= + +
ur uur
2
• Cosin của góc giữa 2 vectơ khác
0
r
:

( )
1 2 1 2 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
os ;
.
.
u u x x x y y z z
c u u
u u
x y z x y z
+ + +

= =
+ + + +
ur uur
ur uur
ur uur
•
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. 0u u u u x x y y z z⊥ ⇔ ⇔ + + =
ur uur ur uur
• Tích có hướng của 2 vectơ :

( )
( )
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
; ; ; ; ;
y z z x x y
y z z x x y
u u y z y z z x z x x y x y
 
= = − − −
 
ur uur
b) Cho ba điểm không thẳng hàng
( )
; ;
A A A
A x y z
,

( )
; ;
B B B
B x y z
,
( )
; ;
C C C
C x y z
•
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur

•
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
uuur
• Tọa độ trung điểm của đoạn AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 

 ÷
 
• Tọa độ trọng tâm của ∆ABC :
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
 
 ÷
 
c) Các công thức về góc :
• Góc giữa hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) lần lượt có véctơ chỉ phương
( )
1 1 1 1
; ;u a b c=
ur
,
( )
2 2 2 2
; ;u a b c=
uur
là :
( )
·

( )
·
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
os ; os ;
.
a a b b c c
c d d c u u
a b c a b c
+ +
= =
+ + + +
r r
• Góc giữa mp(P) có vectơ pháp tuyến
( )
1 1 1 1
; ;n A B C=
ur
và mp(Q) có véctơ pháp
tuyến
( )
2
2 2 2
; ;n A B C=
r
là
( ) ( )

( )
·
( )
·
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
os ; os ;
.
A A B B C C
c P Q c n n
A B C A B C
+ +
= =
+ + + +
r r
• Góc giữa đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương
( )
; ;u a b c=
r
và mp(α) có véctơ
chỉ phương
( )
; ;n A B C=
r
là :
( )
( )
·

( )
·
2 2 2 2 2 2
sin ; os ;
.
aA bB cC
d c u n
a b c A B C
α
+ +
= =
+ + + +
r r
d) Các công thức về khoảng cách :
• Khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
đến mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 là :

( )
( )
0 0 0
2 2 2
Ax
,
By Cz D
d M P
A B C
+ + +

=
+ +
• Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) đi qua M và có vectơ chỉ
phương
u
r
là :
( )
;
,
u MN
d M d
u
 
 
=
r uuuur
r
• Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (d
1
) đi qua M
1
, có vectơ chỉ
phương
1
u
ur
và (d
2
) đi qua M

2
, có vectơ chỉ phương
2
u
uur
là:
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
; .
,
;
u u M M
d d d
u u
 
 
=
 
 
ur uur uuuuuur
ur uur
e) Các công thức tính diện tích, thể tích :
• Diện tích ∆ABC là :
1
;
2
ABC
S AB AC

 
=
 
uuur uuur
3
• Diện tích hình bình hành ABCD là :
;
ABCD
S AB AC
 
=
 
uuur uuur
• Thể tích tứ diện ABCD là :
1
; .
6
ABCD
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
• Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' là :
.
; .
ABCD A B C D
V AB AD AA
′ ′ ′ ′
 

′
=
 
uuur uuur uuur
f) Cách chứng minh quan hệ song song, vuông góc giữa các yếu đường
thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp vectơ, tọa độ :
• Hai đường thẳng phân biệt d
1
và d
2
lần lượt có vectơ chỉ phương là
1
u
ur
,
2
u
uur

+ Song song với nhau khi
1
u
ur
và
2
u
uur
cùng phương
1 2
; 0u u

 
⇔ =
 
ur uur r
+ Vuông góc với nhau khi
1 1 1 2
. 0u u u u⊥ ⇔ =
ur ur ur uur
• Đường thẳng d (vectơ chỉ phương
u
r
) và mp(P) (vectơ pháp tuyến
n
r
),
( )
d P⊄
+ Song song với nhau khi
. 0u n u n⊥ ⇔ =
r r r r
+ Vuông góc với nhau khi
u
r
và
n
r
cùng phương
; 0u n
 
⇔ =

 
r r r
• Hai mặt phẳng phân biệt (P
1
) và (P
2
) lần lượt có vectơ pháp tuyến là
1
n
ur
,
2
n
uur

+ Song song với nhau khi
1
n
ur
và
2
n
uur
cùng phương
1 2
; 0n n
 
⇔ =
 
ur uur r

+ Vuông góc với nhau khi
1 1 1 2
. 0n n n n⊥ ⇔ =
ur ur ur uur

2. Các dạng toán thường gặp :
• Độ dài đoạn thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Thể tích khối đa diện
• Diện tích thiết diện
• Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.
3. Dấu hiệu nhận biết một bài toán hình học không gian giải bằng phương
pháp tọa độ hóa :
Ở phần giả thiết của bài toán có những dạng sau :
- Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông
- Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là tam giác đặc biệt
( tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều ) hoặc tứ giác đặc biệt ( hình
vuông, hình chữ nhật, hình thang vuông, hình thoi, )
- Hình chóp đa giác đều
- Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác hoặc tứ giác đặc biệt, đặc biệt là hình lập
phương, hình hộp chữ nhật,
4
- Hình đã cho có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong mặt phẳng
đó có những đa giác đặc biệt như tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi,
- Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được tam diện

vuông chẳng hạn: hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hoặc hai mặt
phẳng vuông góc.
Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộc
như đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song, vuông góc của các
đoạn thẳng hay đường thẳng tham gia trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa độ.
4. Các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa
độ hóa :
- Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp
- Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán
- Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ
- Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông
thường.
* Ví dụ về một vài cách chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa
độ:
- 3 điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng tương đương với tọa độ 1 điểm thỏa mãn
phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm kia hoặc 2 vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng
phương (
, 0AB AC
 
=
 
uuur uuur r
)
- 4 điểm A, B, C, D phân biệt đồng phẳng tương đương với tọa độ 1 điểm thỏa

mãn phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm kia hoặc 3 vectơ
AB
uuur
,
AC
uuur
,
AD
uuur
đồng
phẳng (
, . 0AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
)
5. Kỹ năng chọn hệ trục tọa độ Oxyz với một số nhóm hình thường gặp :
NHÓM 1: HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Hình chóp tam giác S. ABC có SA
⊥
(ABC), SA = h
* Đáy ABC là tam giác vuông tại A
AB = a, AC = b ( Tam diện vuông )
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡

đường thẳng AB
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng AS
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A B a C b S h⇒
* Đáy ABC là tam giác vuông tại B
AB = a, BC = b
5
A
C
S
B
x
y
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng đi qua A và // BC
Oy
≡
đường thẳng AB
Oz

≡
đường thẳng AS
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , 0;0;A B a C b a S h⇒
* Đáy ABC là tam giác cân tại A
AB = a, BC = b
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng đi qua A và // BC
Oy
≡
trung tuyến AM
Oz
≡
đường thẳng AS
( )
( )
2
2
2
2
0;0;0 , ; ;0 ,
2 4
; ;0 , 0;0;
2 4
b b

A B a
b b
C a S h
 
⇒ − −
 ÷
 ÷
 
 
−
 ÷
 ÷
 
* Đáy ABC là tam giác cân tại B
AB = a, AC = b
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng đi qua A và //
trung tuyến BN
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng AS
( )

( ) ( )
2
2
0;0;0 , ; ;0 ,
4 2
0; ;0 , 0;0;
b b
A B a
C b S h
 
⇒ − −
 ÷
 ÷
 
* Đáy ABC là tam giác đều
Làm tương tự tam giác cân.

Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: (Đề thi thử Đại học của Boxmath, 2012) Cho tứ diện OABC có
OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Gọi M là trung
điểm của OB, G là trọng tâm ∆ABC. Tính thể tích khối tứ diện GMBC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và OC theo a.
6
M
S
B
C
A
y
z

x
A
B
S
N
C
x
z
y
A
C
S
B
y
z
x
Hướng dẫn:
- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc O là một đỉnh của tứ diện
Ox
≡
đường thẳng OA
Oy
≡
đường thẳng OB
Oz
≡
đường thẳng OC
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 , ;0;0 , 0;2 ;0 , 0;0;3O A a B a C a⇒

( ) ( )
2
0; ;0 , ; ; , ; ;0
3 3
a a
M a G a AM a a
 
⇒ = −
 ÷
 
uuuur
*
3
1
; .
6 6
GMBC
a
V MB MC MG
 
= =
 
uuur uuuur uuuur
* Đường thẳng AM : đi qua A, có vectơ chỉ phương là
( )
1;1;0u = −
r
Đường thẳng OC : đi qua O, có vectơ chỉ phương là
( )
0;0;1k =

r
( )
; .
2
,
2
;
u k AO
a
d AM OC
u k
 
 
⇒ = =
 
 
r r uuur
r r
Ví dụ 2: (Đề thi Tuyển sinh vào Đại học khối A, 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC =
2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mp(ABC). Gọi M là
trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp
S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Hướng dẫn:
- Ta có:
( )SA ABC⊥
;

( ) ( )
( )
·
·
0
, 60SBC ABC SBA= =
Mặt phẳng qua SM và song song với BC sẽ cắt
mp(ABC) theo giao tuyến MN // BC

⇒
N là trung điểm của AC.
- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz :
+ Gốc O
≡
A
+ Ox
≡
đường thẳng qua A và // BC
+ Oy
≡
đường thẳng AB
+ Oz
≡
đường thẳng AS
* Xét ∆SAB có SA = AB.tan60
0
=
2 3a

( )

2
3
2 2
BCNM
BC MN BM
a
S
+
= =

3
.
1
. . 3
3
S BCNM BCNM
V SA S a⇒ = =
* Ta có :
( ) ( ) ( )
( )
0;0;0 , 0;2 ;0 , 2 ;2 ;0 , 0;0;2 3A B a C a a S a−

( ) ( )
( )
; ;0 ; 0;2 ;0 ; ; ; 2 3N a a AB a SN a a a⇒ − = = − −
uuur uuur
⇒
Đường thẳng AB: đi qua A, có vectơ chỉ phương là
( )
1

0;1;0u =
ur

7
A
z
x
y
C
S
N
M
B
O
B
C
A
x
y
z
M
•
Đường thẳng SN: đi qua N, có vectơ chỉ phương là
( )
2
1; 1;2 3u = −
uur
( )
1 2
1 2

; .
2 39
,
13
;
u u AN
a
d AB SN
u u
 
 
⇒ = =
 
 
ur uur uuur
ur uur
Bài luyện tập :
Bài 1: ( Toán học & Tuổi trẻ, 2 / 2011 ) Cho hình chóp S.ABC có AB =BC =a;
·
0
90ABC =
; SA
⊥
(ABC); góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60
0
. Kẻ
AM
⊥
SB, AN
⊥

SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN.
Bài 2: ( Toán học & Tuổi trẻ, 10 / 2012 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SB
⊥

(ABC), BC = a, SB = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính
độ dài đoạn thẳng MN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC.
Bài 3: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên KHTN, 2013)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC
= 2a, SA
⊥
(ABC). Góc giữa SC và mp(SAB) bằng 30
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
Bài 4: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên KHTN, 2013)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, BC =
3a
, AC =
7a
, SA
⊥
(ABC), M là trung điểm của AB; góc giữa hai mp(SMC) và (ABC) bằng 30
0
.
Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích ∆SMC.
Hình chóp tứ giác S. ABCD có SA
⊥
(ABCD), SA = h
* Đáy ABCD là hình vuông ( hoặc hình

chữ nhật )
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng AB
Oy
≡
đường thẳng AD
Oz
≡
đường thẳng AS
* Đáy ABCD là hình thoi
AC = 2a, BD = 2b
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc
O AC BD= I
Ox
≡
đường thẳng BD
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng đi qua O và // SA
8
A

D
S
B
C
x
y
z
O
S
D
C
A
B
z
y
x
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0; ;0 , ;0;0 , ; ;0 ,
;0;0 , 0; ;
A a B b C o a
D b S a h
⇒ −
− −
* Đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và B: AB = a, BC = b, AD = c > b
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O

Ox
≡
đường thẳng AB
Oy
≡
đường thẳng AD
Oz
≡
đường thẳng AS
( ) ( ) ( ) ( )
;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0;B a C a c b D c S h⇒ −
* Đáy ABCD là nửa lục giác đều :
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng qua A và // CD
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng AS
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: (Đề thi thử Đại học của Chuyên Đại học Vinh, lần 1, 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có SC
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh

bằng
3a
và
·
0
120ABC =
. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng
45
0
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA, BD.
Hướng dẫn :
- Ta có:
3 , 3AC a BD a= =
. Đặt SO = h
- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc
O AC BD= I
Ox
≡
đường thẳng BD
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng đi qua O và // SA
2
3 3 3
0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,

2 2 2
3 3 3 3 3 3
;0;0 , 0; ; ; ; ;
2 2 2 2 2
a a a
A B C
a a ah ah a
D S h AB AS
 
   
⇒ −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
   
 
 
− − ⇒ = − − −
 ÷  ÷
 ÷
 
 ÷  ÷
 
   
uuur uuur
⇒
2 mp(SAB) và (ABCD) lần lượt có vectơ pháp tuyến:
( )

3; ;3n h h a=
r
,
( )
0;0;1k =
r
9
O
S
D
A
C
B
z
y
x
B
D
C
S
A
y
z
x
S
D
C
A
B
y

z
x
( ) ( )
( )
·
2 2
3 2 3 3 3 3
os , 0; ; 0;3 ;
2 2 2 2 2
4 9
a a a a a
c SAB ABCD h S SA a
h a
   
⇒ = = ⇒ = ⇒ − ⇒ = −
 ÷  ÷
   
+
uur
3
.
1 1 3 3
. . .
3 6 4
S ABCD ABCD
a
V SC S SC AC BD⇒ = = =
* Đường thẳng SA đi qua A, có vectơ chỉ phương là :
( )
0;2; 1u = −

r
Đường thẳng BD đi qua O, có vectơ chỉ phương là :
( )
1;0;0i =
r
( )
; .
3 5
,
10
;
u i AO
a
d SA BD
u i
 
 
⇒ = =
 
 
r r uuur
r r
Ví dụ 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Cù Huy Cận, Hà Tĩnh, 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AB
= 3a
2
, BC = 3a. Gọi M là trung điểm của CD và góc giữa (ABCD) và (SBC)
bằng 60

0
. Chứng minh (SBM)
⊥
(SAC) và tính thể tích khối tứ diện SABM.
Hướng dẫn: Ta có :
( ) ( )
( )
·
·
0 0
, 60 .tan 60 3 6ABCD SBC SBA SA AB a= = ⇒ = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng AB
Oy
≡
đường thẳng AD
Oz
≡
đường thẳng AS
( )
( ) ( )
( )
( )
0;0;0 , 3 2;0;0 , 3 2;3 ;0 ,
3 2

0;3 ;0 , 0;0;3 6 ;3 ;0
2
A B a C a a
a
D a S a M a
⇒
 
⇒
 ÷
 ÷
 
*
( )
2 2 2
; 9 6;9 3;9 2SB SM a a a
 
=
 
uur uuur
;
( )
2 2
; 9 6;18 3;0AS AC a a
 
= −
 
uuur uuur
⇒
2mp(SBM) và (SAC) lần lượt có vectơ pháp tuyến là
( ) ( )

1 2
6; 3; 2 , 6;2 3;0n n= = −
ur uur

( ) ( )
1 1
. 0n n SBM SAC⇒ = ⇒ ⊥
uurur
*
3
1
; . 9 3
6
SABM
V AB AM AS a
 
= =
 
uuur uuuur uuur
Bài luyện tập :
Bài 1: (Đề thi thử Đại học của THPT Mai Anh Tuấn, Thanh Hóa, 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB
= 3a, AD = CD = SA = 2a, SA
⊥
(ABCD). Gọi G là trọng tâm ∆SAB,
mp(GCD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.CDMN và
khoảng cách giữa hai đường thẳng DM, BC.
Bài 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa, 2013)
10
y

A
D
S
B
C
x
z
M
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
⊥

(ABCD). Góc tạo bởi SC và mp(SAB) bằng 30
0
. Gọi E là trung điểm của BC.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC.
Bài 3: (Đề thi thử Đại học của THPT Hùng Vương, Phú Thọ, 2012)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
⊥
(ABCD), SA =a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD; I là giao điểm của
SC và mp(AMN). Chứng minh SC
⊥
AI và tính thể tích khối tứ diện MBAI.
Bài 4: (Đề thi thử Đại học của THPT Ba Đình, Thanh Hóa, 2012)
Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = a, AD = 2a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc 60
0
. Trên cạnh SA lấy điểm M
sao cho AM =

3
3
a
, mp(BCM) cắt cạnh SD tại N.Tính thể tích khối chóp
S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD, SC.
NHÓM 2: HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN (HOẶC MẶT CHÉO)
VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
*Hình chóp tam giác S.ABC có (SAB)
⊥
(ABC), đáy ABC là tam giác đặc biệt
Hạ SH
⊥
AB
⇒
SH
⊥
(ABC)
Tùy theo tính chất đặc biệt của ∆ABC mà chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho hợp lý
*Hình chóp tứ giác S.ABCD có (SAB)
⊥
(ABCD), đáy ABCD là tứ giác đặc
biệt
Hạ SH
⊥
AB
⇒
SH
⊥
(ABCD)
Tùy theo tính chất đặc biệt của ∆ABC mà chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho hợp lý

*Hình chóp tứ giác S.ABCD có mặt chéo vuông góc với (ABCD), đáy ABCD
là tứ giác đặc biệt: Làm tương tự
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: (Toán học & tuổi trẻ, 6/2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là
tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Mặt bên (SBC)
là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(ABC) bằng 30
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a.
Hướng dẫn:
- Gọi H là trung điểm của BC
( )
SH BC SH ABC⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn:
+ Gốc O là trung điểm của AB
+ Ox
≡
đường thẳng OH
11
B
H
C
S
A
y
z
x
O

+ Oy
≡
đường thẳng OA
+ Oz
≡
đường thẳng đi qua O và //SH. Đặt SH=h
( )
;0; , 0; ;0 , 0; ;0 , 2 ; ;0
2 2 2
a a a
S a h A B C a
     
⇒ −
 ÷  ÷  ÷
     
( )
2
, ;0;AB AS ah a
 
⇒ = −
 
uuur uuur
⇒
2 mp(SAB) và (ABC) lần lượt có vectơ pháp tuyến là :
( )
;0;n h a= −
r
,
( )
0;0;1k =

r
( ) ( )
( )
·
2 2
.
3 3 3
os , ;0;
2 3 3
n k
a a a
c SAB ABC h S a
n k
a h
 
⇒ = = = ⇒ = ⇐
 ÷
 ÷
+
 
r r
r r

*
3
1 3
, .
6 9
SABC
a

V SA SB SC
 
= =
 
uur uur uuur
;
( )
3
; ; ; 0; ;0
2 3
a a
SC a AB a
 
= − = −
 ÷
 ÷
 
uuur uuur
* Đường thẳng SC đi qua C, có vectơ chỉ phương là :
( )
6;3; 2 3u = −
r
Đường thẳng AB đi qua O, có vectơ chỉ phương là :
( )
0;1;0j =
r
( )
; .
,
;

u j CO
d SC AB a
u j
 
 
⇒ = =
 
 
r r uuur
r r
Ví dụ 2: (Đề thi Đại học khối D, 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
mp(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH =
. Gọi CM là đường cao của
∆SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tình thể tích khối tứ diện SMBC
theo a.
Hướng dẫn: Ta có :
1 2
4 4
a
AH AC= =
;
2 2
14
4
a
SH SA AH= − =

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn:
+ Gốc O
≡
H
+ Ox
≡
đường thẳng qua H và // BD
+ Oy
≡
đường thẳng AC
+ Oz
≡
đường thẳng HS
2 2 2
0; ;0 , ; ;0 ,
4 2 4
3 2 14
0; ;0 , 0;0;
4 4
a a a
A B
a a
C S
   
⇒ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
 ÷  ÷

 ÷  ÷
   
2SC AC a⇒ = = ⇒
∆SAC cân tại C
⇒
M là trung điểm của SA
2 14
0; ;
8 8
a a
M
 
⇒ −
 ÷
 ÷
 

3
1 14
, .
6 48
SMBC
a
V SM SB SC
 
⇒ = =
 
uuur uur uuur
Bài luyện tập :
12

B
D
C
S
A
y
z
x
M
H
Bài 1: (Toán học & tuổi trẻ, 12/2012) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh a, ∆SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD, SB. Tính thể tích khối
chóp S.ABMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP theo a.
Bài 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị, 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a
2
, ∆SAB cân tại S, (SAB)
⊥
(ABCD), góc giữa (SAC) và (ABCD) bằng 60
0
.
Gọi H là trung điểm của AB. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAHC theo a.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC =
2 3a
, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với
mp(ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) bằng
3
4

a
. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 4: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên Vĩnh Phúc, 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = 2a, AD = 4a. Biết góc giữa SC và mp(ABCD) bằng 30
0
.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, BC; N ở trên cạnh AD sao cho
DN = a. Tính thể tích khối chóp S.AHMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN, SB.
NHÓM 3: HÌNH CHÓP ĐA GIÁC ĐỀU
Hình chóp tam giác đều S.ABC
∆ABC đều cạnh a, tâm O, SO = h
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc O là tâm ∆ABC
Ox
≡
đường thẳng qua O và // BC
Oy
≡
đường thẳng AO
Oz
≡
đường thẳng OS
( )
3 3

0; ;0 , ; ;0 ,
3 2 6
3
; ;0 , 0;0;
2 6
a a a
A B
a a
C S h
   
⇒ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
 
−
 ÷
 ÷
 
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm
O, SO = h
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc O
AC BD= I

Ox
≡
đường thẳng AC
13

B
D
C
S
A
y
z
x
O
S
A
C
B
y
z
x
O
Oy
≡
đường thẳng BD
Oz
≡
đường thẳng OS
( )
2 2
;0;0 , 0; ;0 ,
2 2
2 2
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
2 2

a a
A B
a a
C D S h
   
⇒
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: (Đề thi Đại học khối B, 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với
SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng
minh SC
⊥
mp(ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a
Hướng dẫn :
- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
+ Gốc O là tâm tam giác đều ABC
+ Ox
≡
đường thẳng qua O và // BC
+ Oy
≡
đường thẳng AO
+ Oz

≡
đường thẳng OS
Xét ∆SOA vuông tại O có : AO =
3
3
a
;
SA = 2a
2 2
33
3
a
SO SA AO⇒ = − =
3 3 3
0; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,
3 2 6 2 6
a a a a a
A B C
     
⇒ − −
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
33 3 3 3
0;0; ; ;0 , ; ; . 0
3 2 2 2 6 3
a a a a a a
S AB SC AB SC
     
⇒ = = − − ⇒ =

 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
uuur uuur uuur uuur
SC AB
⇒ ⊥
, mà SC
⊥
AH
( )
SC ABH⊥
(đpcm) .
Gọi D là trung điểm của AB
2
. 11 1 11
.
4 2 8
ABH
SO CD a a
DH S AB DH
SC
⇒ = = ⇒ = =
3
2 2
.
7 1 7 11
.
4 3 96
S ABH ABH
a a

SH SC HC SC CD DH V SH S= − = − − = ⇒ = =
Ví dụ 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh, 2012)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a.
Gọi SH là đường cao của hình chóp và I là trung điểm
của SH. Biết khoảng cách từ I đến mp(SBC) bằng
39
26
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Hướng dẫn:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
14
S
A
C
B
y
z
x
O
H
D
B
D
C
S
A
y
z
x

H
I•
Gốc O
≡
H
AC BD= I

Ox
≡
đường thẳng AC
Oy
≡
đường thẳng BD
Oz
≡
đường thẳng HS
( )
( )
2
2 2
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,
2 2
2 2 2 2
;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 0;0; ; ; ; ;
2 2 2 2 2 2
a a
H A B
a a h ah ah a
C D S h I SB SC
   

⇒
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
     
 
 
− − ⇒ = −
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 
 ÷  ÷  ÷
 
     
uur uuur
Ta có: mp(SBC) đi qua S và có vectơ pháp tuyến
( )
2; 2;n h h a= −
r
⇒
Phương trình mp(SBC) :
2 2 0h x h y az ah− + + − =

( )
( )
3
.
2 2
39 39 1 3
, 3 .

26 26 3 3
2 4
S ABCD ABCD
a ah a a
d I SBC h a V h S
h a
= ⇔ = ⇔ = ⇒ = =
+
Bài luyện tập :
Bài 1: (Đề thi thử Đại học của Boxmath, 2012)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng a,
góc tạo bởi AB và (SBC) bằng 30
0
. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung
điểm của SM Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh
SC
⊥
mp(ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA, BN theo a.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi I, J lần lượt
là trung điểm của SA, CD. Biết đường thẳng IJ tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 3: (Đề thi thử Đại học của THPT Triệu Sơn 4, 2012)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy
góc 60
0
. Mp(P) chứa AB và tạo với đáy một góc 30
0

cắt SC, SD lần lượt tại M,
N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a.
NHÓM 4: LĂNG TRỤ ĐỨNG
Hình hộp chữ nhật ( hoặc hình lập phương ) ABCD.A'B'C'D'
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng AB
Oy
≡
đường thẳng AD
Oz
≡
đường thẳng AA'
15
A'
C
B
x
y
z
B'
C'
D'
A
D
Hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc O
AC BD= I
Ox
≡
đường thẳng BD
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng OO'
Với O'
A C B D
′ ′ ′ ′
= I
* Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đặc biệt
Làm tương tự hình chóp tam giác có 1 cạnh bên vuông góc với đáy ở nhóm 1
* Lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đặc biệt
Làm tương tự hình chóp tứ giác có 1 cạnh bên vuông góc với đáy ở nhóm 1
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: (Đề thi Đại học khối D, 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có
đáy là hình vuông, ∆A'AC vuông cân, A'C = a. Tính thể tích khối tứ diện
ABB'C' và khoảng cách từ điểm A đến mp(BCD') theo a.
Hướng dẫn:
- Phân tích đề bài:
∆A'AC vuông cân tại A
2
2
2

A C a
AA AC
′
′
⇒ = = =
∆ABC vuông cân tại B
2
2
AC a
AB BC⇒ = = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc O
≡
A
Ox
≡
đường thẳng AB
Oy
≡
đường thẳng AD
Oz
≡
đường thẳng AA'
( )
2 2 2
0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , ;0; , ; ; , 0; ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a a a a a a a a a a
A B C B C D
     

   
′ ′ ′
⇒
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
   
     
*
3
1 2
, .
6 48
ABB C
a
V AB AB AC
′ ′
 
′ ′
= =
 
uuur uuur uuuur
16
A'
C
B
x
y
z
B'

C'
D'
A
D
O
O'
A'
C
B
x
y
z
B'
C'
D'
A
D
*
2 2
2 2
0; ;0 , ; ; , ;0;
2 2 2 2 4 4
a a a a a a
BC BD BC BD
   
 
 
′ ′
= = − ⇒ =
 ÷  ÷

 ÷
 
 ÷  ÷
 
   
uuur uuuur uuuruuuuur
⇒
Mp(BCD') đi qua B và có vectơ pháp tuyến
( )
2;0;1n =
r
⇒
Phương trình mp(BCD'):
2 2 2 2 0x z a+ − =

( )
( )
6
;
6
a
d A BCD
′
⇒ =
Ví dụ 2: (Toán học & tuổi trẻ, 5/2012) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C',
đáy ABC là tam giác vuông có CA = CB = a, góc giữa đường thẳng BA' và
mp(ACC'A') bằng 30
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh A'B'. Tính khoảng cách từ
điểm M đến mp(A'BC).

Hướng dẫn:
- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc O
≡
C
Ox
≡
đường thẳng CA
Oy
≡
đường thẳng CB
Oz
≡
đường thẳng CC'
Đặt CC' = h
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0; ,
0; ; , 0;0;
C A a B a A a h
B a h C h
′
⇒
′ ′
Ta có: Mp(ACC'A') có vectơ pháp tuyến
là
( )
0;1;0j =
r
, còn đường thẳng BA' có

vectơ chỉ phương là
( )
; ;u BA a a h
′
= = −
r uuur
( )
( )
·
2 2
.
1
sin ; 2
2
.
2
j u
a
BA ACC A h a
j u
a h
′ ′ ′
⇒ = = = ⇒ =
+
r r
r r
( )
( )
( )
2 2

;0; 2 , 0; ;0 . 2;0;CA a a CB a CA CB a a
 
′ ′
= = ⇒ = −
 
uuur uuur uuur uuur
⇒
Mp(ACC'A') đi qua C, có vectơ pháp tuyến
( )
2;0;1n = −
r
⇒
Phương trình mp(ACC'A') là :
2 0x z− + =

Do M là trung điểm của A'B'
; ; 2
2 2
a a
M a
 
 ÷
 

( )
( )
6
;
6
a

d M A BC
′
⇒ =
Bài luyện tập :
Bài 1: ( Toán học & Tuổi trẻ, 1 / 2013 ) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C',
đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, AC = 2a, AC' tạo với mặt phẳng
(BCC'B') một góc 60
0
. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với B'C cắt BC tại H,
cắt CC' tại E. Tính thể tích khối chóp A'HAE.
Bài 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Hoàng Lệ Kha, Thanh Hóa, 2013)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Mặt phẳng (A'BC) tạo với
đáy một góc 30
0
và ∆A'BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A'B'C'.
17
A'
C
B
y
z
B'
C'
z
A
x
Bài 3: (Đề thi thử Đại học của THPT Đoàn Thượng, Hải Dương, 2013)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C,
AB = 2a,

·
0
30ABC =
. Mp(C'AB) tạo với đáy (ABC) một góc 60
0
. Tính thể tích
khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CB'.
Bài 4: (Đề thi thử Đại học của Chuyên Amsterdam,, 2012)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi I, K
lần lượt là trung điểm của A'D', BB'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IK,
AD và thể tích khối tứ diện IKAD.
IV. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM :
Đánh giá hiệu quả của việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết
một số bài toán hình học không gian qua quan sát giờ học của học sinh và kiểm
tra các lớp thực nghiệm.
Lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là:
Trường
Thực nghiệm (TN) Đối chứng (ĐC)
GV thực hiện
Lớp Sĩ số Lớp Sĩ số
Trường THPT
Lê Lợi
12A2 46 12A12 45 Đỗ Thi Thuỷ
Để đánh giá tính phù hợp và hiệu quả của phương pháp tọa độ hóa , tôi đã
tiến hành thực nghiệm sư phạm ở hai lớp học sinh của trường THPT Lê Lợi,
huyện Thọ Xuân, tỉnh Thanh Hoá vào năm học 2012-2013.
- Ở Lớp 12A12 tôi chọn là lớp thực nghiệm được tiến hành dạy tiết hình giải
quyết một số bài toán hình học không gian có sử dụng phương pháp tọa độ hóa.
- Ở lớp 12A2 tôi cũng thực hiện tiết hình học không gian về thể tích nhưng chưa
giới thiệu phương pháp tọa độ hóa, học sinh làm bằng phương pháp tổng hợp.

Sau giờ dạy tiến hành bài kiểm tra 15 phút và so sánh kết quả bài kiểm tra của
hai lớp đồng thời có sự quan sát về hứng thú học tập, mức độ tham gia vào giờ
học của học sinh ở hai lớp.
Kết quả bài kiểm tra thu được ở lớp thực nghiệm và đối chứng được thống kê
trong bảng sau
Bảng kết quả bài kiểm tra 15 phút: sau bài dạy “ Sử dụng phương pháp tọa độ
hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian”
Lớp Số
HS
Điểm X
i
Điểm
TB
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12A12 46 0 0 0 0 2 4 6 8 9 9 8 7,67
12A2 45 0 0 2 3 5 6 6 9 4 5 5 6,42
* Những đánh giá qua bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm:
18
+ Số lượng HS yếu, kém, trung bình của lớp TN thấp hơn lớp ĐC
+ Số lượng HS khá, giỏi của lớp TN cao hơn lớp ĐC
+ Điểm trung bình các bài kiểm tra của lớp TN cao hơn lớp ĐC
+ Học sinh của lớp thực nghiệm vẽ hình rõ ràng, có lập luận chặt chẽ. Điều đó
chứng tỏ học sinh đã hiểu được bản chất của hình học trong không gian.
+ Hầu hết học sinh lớp thực nghiệm chọn được hệ trục tọa độ; biểu diễn được
các điểm, đường thẳng, mặt phẳng qua hệ trục tọa độ đó
+ Không khí học tập ở lớp thực nghiệm sôi nổi hơn, học sinh có thể tự học -
tự làm việc độc lập. Hơn thế nữa, học sinh có hứng thú hơn trong các giờ học
môn Hình không gian.
Như vậy, khi hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp tọa độ hóa để
giải quyết một số bài toán hình học không gian tôi đã thu được nhũng kết quả

sau:
- Đa số học sinh hứng thú trong việc tiếp thu bài học vì các em cảm thấy
mình là người chủ động tìm ra đáp số của bài toán.
- Các em được rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để tính
thể tích một khối đa diện; để tính góc, khoảng cách, một cách dễ dàng.
Bởi vì các em đã thành thạo trong việc chuyển từ ngôn ngữ hình học sang
ngôn ngữ đại số và ngược lại.
- Giờ học trở nên sôi nổi, giảm đáng kể áp lực học tập của học sinh.
- Khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh chuyển biến rõ rệt, kết quả học
tập được nâng cao.
- Các em thấy tự tin hơn khi gặp những bài toán hình học không gian ở các
đề thi, đặc biệt là trong đề thi Đại học, Cao đẳng sắp tới.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Những kết quả thu được từ đề tài nghiên cứu.
Sau một thời gian tìm hiểu nghiên cứu đề tài : “ Giúp học sinh lớp 12 rèn
luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán
hình học không gian ”, tôi đã đạt được một số kết quả và đóng góp sau đây:
- Sơ lược về lịch sử ra đời của phương pháp tọa độ, qua đó thấy được con
đường đại số hóa hình học ở trường THPT. Việc sử dụng phương pháp tọa độ
hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian đóng vai trò quan trọng
trong việc dạy học toán ở nhà trường phổ thông. Nó không chỉ trang bị cho học
sinh về mặt tri thức mà còn giúp các em phát triển về trí tuệ và các đức tính cần
thiết của người lao động.
19
- Tổng quan về các kỹ năng cơ bản để giải toán hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ hóa, với hệ thống bài toán kèm theo, góp phần khắc phục
những yếu kém của học sinh khi học nội dung này. Các kỹ năng đó là:
+ Kỹ năng thiết lập hệ tọa độ trong không gian.
+ Kỹ năng chuyển hóa ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ
tọa độ và ngược lại.

+ Kỹ năng lập phương trình mặt phẳng.
+ Kỹ năng lập phương trình đường thẳng.
+ Kỹ năng lập phương trình mặt cầu.
+ Kỹ năng chuyển hóa các phương trình đường thẳng.
+ Kỹ năng kết hợp giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích.
+ Kỹ năng chuyển hóa bài toán.
2. Kiến nghị và đề xuất
Qua quá trình nghiên và thực hiện đề tài, tôi mạnh dạn đưa ra một số ý kiến sau:
- Các trường học và ở các bộ môn học cần có những nghiên cứu về việc rèn
luyện các kỹ năng cho học sinh.
- Trong quá trình dạy học toán cần phát huy cao độ việc rèn luyện kỹ năng vận
dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian
lớp 12, từ đó giúp học sinh thấy được sự hấp dẫn, thú vị trong việc kết hợp giữa
hình học và đại số, khắc phục những khó khăn và sai lầm của học sinh, nâng cao
chất lượng dạy và học.
Lời kết: Tôi đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài và rất mong
nhận đươc những lời nhận xét, góp ý chỉ dẫn của các thầy cô giáo, các nhà
khoa học và bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn
thiện hơn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.
Người viết SKKN :
Đỗ Thị Thủy

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO
 Báo Toán học và Tuổi trẻ từ năm 2010 đến nay
 Hình học 11 ( sách giáo khoa ) – Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như
Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân - NXB Giáo dục, 2007.
 Phương pháp giải toán hình học không gian - Trần Bá Hà – NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội, 2008 .
 Tuyển tập 500 bài toán Hình học không gian - Nguyễn Đức Đồng (Chủ
biên) – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2009 .
 Tuyển tập đề thi thử Đại học, Cao đẳng năm 2011, 2012, 2013 của các
trường trên cả nước qua Internet.
 Giới thiệu đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng môn Toán – NXB
Đại học Sư phạm
21
MỤC LỤC
Nội dung Trang
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1
I. Cơ sở lý luận 1
II. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài 2
III.Giải pháp và tổ chức thực hiện 2
1. Cơ sở lý thuyết 2
2. Các dạng toán thường gặp 4
3. Dấu hiệu nhận biết một bài toán Hình học không gian giải bằng
phương pháp tọa độ hóa 4
4. Các bước giải một bài toán Hình học không gian bằng phương
pháp tọa độ hóa 5
5. Kỹ năng chọn hệ trục tọa độ Oxyz với một số nhóm hình thường
gặp 5
- Nhóm 1: Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy 5
- Nhóm 2: Hình chóp có một mặt bên ( hoặc mặt chéo ) vuông

góc với đáy 11
- Nhóm 3: Hình chóp đa giác đều 13
- Nhóm 4: Lăng trụ đứng 15
IV. Thực nghiệm sư phạm 18
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 19
1. Những kết quả đạt được từ đề tài nghiên cứu 19
2. Kiến nghị và đề xuất 20
Tài liệu tham khảo 21
22
23
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH LỚP 12 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA ĐỂ
GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: THPT Lê Lợi
SKKN : Môn Toán
THANH HÓA NĂM 2013