Tập lồi trong rn và một số bài toán hình học (KL06104)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

LIÊU THỊ PHƢƠNG

TẬP LỒI TRONG Rn
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. GVC. PHAN HỒNG TRƢỜNG

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
n

Để hoàn thành được bài khóa luận với đề tài:

”, trước h t em in được bà t l ng bi t n
s u s c đ n c c th

c gi o trong t H nh h c, c c th

c gi o kho

To n Trư ng Đ i h c Sư ph m Hà N i 2 đ đ ng vi n gi p đ em trong
su t th i gi n qu
Đ c biệt em in ch n thành cảm n th

gi o: ThS.

, ngư i đ tr c ti p hướng d n, ch bảo và đ ng g p nhiều
ki n qu b u để em c thể hoàn thành bài khóa luận nà
M c d đ c nhiều c g ng nhưng do h n ch về th i gi n và
ki n th c c

bản th n n n ch c ch n đề tài nà kh ng tr nh kh i nh ng

thi u s t V vậ em r t mong nhận được s cảm thong và nh ng
đ ng g p c

th

c , c c b n sinh vi n để bài khóa luận c

ki n

em được

hoàn thiện h n
Em in ch n thành cảm n!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh vi n th c hiện

Liêu Thị Phƣơng


LỜI CAM ĐOAN

Em in c m đo n kh

luận nà là k t quả c

h c tập và nghi n c u c ng với s gi p đ c
To n, đ c biệt là s hướng d n tận t nh c

em trong qu tr nh

c c th
th

c trong kho

gi o - Th.S, GVC

.
Trong qu tr nh làm kh

luận em c th m khảo nh ng tài liệu c

li n qu n đ được hệ th ng trong mục tài liệu th m khảo Kh

luận

“Tập lồi trong Rn và một số bài toán hình học” kh ng c s tr ng l p
với c c kh

luận kh c

N u s i em in hoàn toàn chịu tr ch nhiệm!

Sinh viên

Liêu Thị Phƣơng


MỤC LỤC
I MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1 L do ch n đề tài ............................................................................... 1
2 Mục đích nghi n c u ......................................................................... 1
3 Đ i tượng, ph m vi nghi n c u ........................................................ 1
4 Nhiệm vụ nghi n c u ........................................................................ 1
5 C c phư ng ph p nghi n c u............................................................ 1
II N I DUNG........................................................................................... 2
Chư ng 1 Tập hợp lồi ............................................................................. 2
1 1 M t s ki n th c b trợ .................................................................. 2
1 2 Định nghĩ tập lồi ........................................................................... 4
1 3 T hợp lồi ....................................................................................... 4
1 4 B o lồi và b o lồi đ ng .................................................................. 5
1 5 N n lồi ............................................................................................ 6
1 6 Tập ffine và b o ffine ................................................................. 7
1 7 Ph n trong tư ng đ i ...................................................................... 9
Chư ng 2: Định l kell và m t s tính ch t c bảnc
2 1 M t s tính ch t c

tập hợp lồi ..... 11

tập lồi .......................................................... 11

2 2 Định l kell ................................................................................. 12
M t s bài tập ng dụng: .............................................................. 16
Chư ng 3:Ứng dụng m t s tính ch t tập lồi trong Rn trong giải m t
s bài to n h nh h c ................................................................................ 25
3 1 M t s bài to n được giải ch

u s dụng tính ch t c

tập

hợp lồi.................................................................................................. 26
3 2 M t s bài to n được giải b ng c ch l
dụng tính ch t c

b o lồi k t hợp s

tập hợp lồi ............................................................. 35

K T LU N ............................................................................................. 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 52


I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
L thu t về tập hợp lồi trong to n h c là m t ph n kh ng thể

thi u c

h nh h c N c r t nhiều ng dụng và c vị trí qu n tr ng

trong h nh h c, c li n qu n h u h t c c ngành to n h c như: Giải tích
lồi, to n kinh t , h nh h c… C thể n i nghi n c u về tập lồi là m t đề
tài th vị, nhận được nhiều s qu n t m c

c c nhà kho h c Với mong

mu n nghi n c u s u h n về h nh h c và t m hiểu phư ng ph p giải c c
bài to n h nh h c h

h n, th vi h n, nh m b

ung ki n th c cho bản

th n em đ ch n đề tài: “Tập lồi trong Rn và một số bài toán hình học”
để làm đề tài kh

luận

2. Mục đích nghiên cứu
- T m hiểu kĩ h n c c ki n th c về tập lồi
- Làm rõ ng dụng m t s tính ch t c

tập lồi trong kh ng gi n

trong giải m t s bài to n h nh h c
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu

- Đ i tư ng nghi n c u: Ki n th c về tập lồi
- Ph m vi nghi n c u: M t s bài to n c
s dụng m t s tính ch t c

h nh h c giải b ng cách

tập hợp lồi

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tr nh bà c sở l thu t về tập hợp lồi và m t s tính ch t
- N u m t s phư ng ph p giải bài to n c
dụng tính ch t c

h nh h c b ng s

tập hợp lồi

5. Các phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghi n c u s dụng c c c ng cụ to n h c
- Nghi n c u s ch th m khảo, tài liệu c li n qu n

1


II. NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. TẬP HỢP LỒI

1.1. Một số kiến thức bổ trợ
● Giả s A  Rn; x1, x2  A, khi đ đo n thẳng n i
cả nh ng điểm

 A th

1,

x2 là tập t t

m n:

 λ  [0. 1].

x = λx1 + ( 1- λ) x2 ,
Khi x1  x2 đo n thẳng

gồm ch c m t điểm

1x2

Khi x1  x2 đo n thẳng

1x2

gồm điểm

1(khi

1.

λ =1) và x2(khi λ=0)

và nh ng điểm ng với λ( λ  (0, 1)).
H i điểm

1,

kh c cả đo n thẳng

x2 g i là 2 m t c
1x2

g i là ở gi

do n thẳng
1

1,

x2 , nh ng điểm

và x2.

● Cho m + 1 điểm đ c lập Po, P1,....,Pm T bi t r ng m phẳng α đi
qu m + 1 điểm đ gồm nh ng điểm M s o cho( với điểm O nào đ )
m

OM

=



i 0

m

λi. OPi với


i 0

λi=1.

Ta xét tập hợp gồm nh ng điểm M s o cho:
m

OM

=


i 0

m

λi. OPi với


i 0

λi=1 và λi ≥ 0, i = 0.m .

Tập hợp đ g i là m_đ n h nh với c c đ nh Po, P1,....,Pm và kí hiệu:
S(Po, P1,....,Pm).
● Cho m+1 điểm đ c lập Po, P1,....,Pm Tập hợp nh ng điểm M s o
cho:
m

PoM =


i 0

λi PoPi,

được g i là m_h p

2

λi  [0.1]


3


1.2. Định nghĩa tập lồi
Cho A là tập cho trước(tr n đư ng thẳng, m t phẳng ho c trong
kh ng gi n) Tập A  Rn được g i là lồi n u  x1, x2  A,  λ  R:
x1 + (1- )x2  A,  λ  [0.1]

x2
x1

A

: tập  được g i là tập lồi

* Ch
*Ví dụ:

C

B

A

D

A, B là tập lồi C n C, D kh ng phải là tập lồi
• [ 1,x2 ], m_h p, m_đ n h nh là tập lồi
• H nh c u đ n vị trong kh ng gi n B n ch là tập lồi
• Mỗi m_phẳng α trong kh ng gi n fin th c A là tập lồi v n u 2
điểm P,Q là 2 điểm ph n biệt thu c α th t t cả đư ng thẳng PQ thu c α,
do đ đo n thẳng PQ n m trong α
1.3. Tổ hợp lồi
1.3.1. Định nghĩa: Véc t

 X được g

i là t hợp lồi c

c c véc t

x2,...,xm  X n u:
m

 λi ≥ 0 (i = 0.m .),


i 0

m

λi=1, sao cho x =

4


i 0

λix.

1,


1.3.2. Định lí: Giả s tập A lồi,
t hợp lồi c

1,

1,

x2,...,xm  A Khi đ A ch

t t cả c c

x2,...,xm .

1.4.Bao lồi và bao lồi đóng
1.4.1. Bao lồi:
1.4.1.1. Định nghĩa: Giả s A  X Gi o c
được g i là b o lồi c

t t cả c c tập lồi ch

A

tập A Kí hiệu: coA





* Ví dụ: Trong R2 cho B(O, R) = x : d  0, x   R

Khi đ :

coB(0, 1) = B(0, 1).
● Nhận xét:

- coA là tập lồi nh nh t ch

A

- A lồi  A = coA.
1.4.1.2. Định lí: coA tr ng với tập t t cả c c t hợp lồi c
● Hệ quả: Tập A lồi khi và ch khi A ch

A

t t cả c c t h p lồi c

A

1.4.2. Bao lồi đóng:
1.4.2.1. Định nghĩa: Giả s A  X Gi o c
ch

t t cả c c tập lồi đ ng

A được g i là b o lồi đ ng cả tập A Kí hiệu co A.
● Nhận ét: co A là tập lồi đ ng nh nh t ch

A

1.4.2.2. Mệnh đề: Giả s A  X lồi Khi đ :
i) Ph n trong intA và b o đ ng A c
ii) N u

1

A là c c tập lồi

 intA, x2 A thì :

[x1, x2) ={ λ
N u intA  Ø thì:

1

+ (1 - λ)

2

: 0< λ  1}  intA.

A = int A .
int A = intA.

1.4.2.3.Định lí: B o lồi đ ng c
c

tập A tr ng với b o đ ng c

A, t c là:

co A = coA .

5

b o lồi

● Giả s tập A  Rn đ ng và bị ch n Khi đ coA đ ng
Nghĩ là: coA = co A.
Đị

í

é d y:

Giả s A  Rn Khi đ mỗi điểm c
qu n+1 điểm kh c nh u c

tập coA là t hợp lồi kh ng

A

1.5. Nón lồi
1.5.1. Định nghĩa nón: Tập K  Rn được g i là n n c đ nh t i O n u:

x

K,  λ >0  λ K.

1.5.2. Định nghĩa nón lồi: N n K c đ nh t i O được g i là n n lồi n u
K là m t tập lồi, nghĩ là:

 x,y  K,  λ,  > 0  λ +  y
• Ví dụ:

n

R



K.

:= {x = (x1,x2,...,xn)  Rn | xi  0  i = 1.n }

(nón orthant không âm)
1.5.2.1. Mệnh đề:
Giả s Kα (α  I ) là c c n n lồi c đ nh t i
b t k Khi đ

 K α là n

n lồi c đ nh t i

I

o

với tập I là tập ch s

o.

1.5.2.2. Định lí: Tập K  Rn là n n lồi c đ nh t i 0khi và ch khi:

 x,y  K,  λ > 0  x + y  K, λ

 K.

● Hệ quả:
• Cho K là m t n n lồi N u

1

K, x2  K,..,xm  K và α1> 0, α2>

0, , αm> 0 Khi đ :
m


i 1

λixi  K.

• Giả s A là tập b t k trong Rn, K là tập t t cả c c t hợp t n tính
dư ng c

A Khi đ K là n n lồi nh nh t ch

6

A


1.5.3. Nón lồi sinh bởi một tập
Gi o t t cả c c n n lồi (c đ nh t i 0) ch

tập A và điểm 0 là m t

n n lồi và được g i là n n lồi sinh bởi tập A Kí hiệu: KA.
● Định lí: Giả s A  Rn, A  Ø, KA là n n lồi sinh bởi tập A Khi đ
mỗi điểm

KA, x  0 c

thể biểu diễn dưới d ng:
x = 1x1 +…+mxm

với λi> 0, xi  A (i = 1.m ), x1,x2,...,xm đ c lập tu n tính( m  n).
1.5.4. Định nghĩa bao tuyến tính:
Gi o t t cả c c kh ng gi n con tu n tính ch
b o tu n tính c

tập A được g i là

tập A Kí hiệu: linA

1.5.5. Mệnh đề:
i) KA = KcoA.
ii) N u A là tập lồi th KA =

A ={ a X:

= λb, λ  0, b  A}.

 0

1.6. Tập affine và bao affine
1.6.1. Tập affine:
● Định nghĩa: Tập A  Rn được g i là tập ffine n u:
(1- λ ) + λ

A

 A,  λ  R ).
 Rn,

(  x,y

* Nhận xét: N u A là tập ffine th với

A + a ={ x + a: x  A} là tập ffine
● Mệnh đề: Tập M  Rn là kh ng gi n con khi và ch khi M là tập
ffine ch

0

● Hai tập affine song song:
Tập ffine A được g i là song song với tập ffine M n u  a  Rn
sao cho:

A M a
Kí hiệu: A // M

7

● Các định lí:
* Mỗi tập ffine A  Ø song song với m t kh ng gi n con du
nh t L được

c định như s u:
L = A - A ={ x - y: x

* Giả s 

R, 0  b  Rn

A, y  A}.

Khi đ , tập H = {

Rn: x, b

=  }.

là m t si u phẳng trong Rn H n n , m i si u phẳng đều c thể biểu
diễn du nh t b ng c ch nà
* Giả s B là m



n_m trận, b  Rn Khi đ tập hợp:

M ={ x  Rn : Bx = b } là affine trong Rn và m i tập ffine đều c
thể biểu diễn dưới d ng tr n
Hệ quả: M i tập ffine A trong Rn là tư ng gi o c

m ts

h uh n

c c si u phẳng
● Chiều của tập affine:
Chiều c

m t tập ffine kh ng rỗng được định nghĩ là chiều c

kh ng gi n con song song với n
Quy ƣớc: dim Ø = -1.
● Định nghĩa: Tập ffine ( n - 1) chiều trong Rn được g i là m t si u
phẳng
1.6.2. Bao affine và tổ hợp affine:
● Các định nghĩa:
Định nghĩa 1: Gi o c
là b o ffine c



Rn được g i

được g i là t hợp ffine c

c c điểm

t t cả c c tập ffine ch

tập A

A, kí hiệu: af fA.

Định nghĩa 2: Điểm
x1,x2,...,xm  Rn, n

 Rn

u  λ1, ,λm  R.

m


i 1

λi =1 sao cho: x =

m


i 1

λixi.

* Nhận ét: af fA tr ng với tập t t cả c c t hợp ffine c c điểm c
A: af fA = {λ1x1+ + λmxm, xi  A,

m


i 1

8

λi =1 }.


Định nghĩa 3: Tập m+1 điểm bo, b1,...,bm được g i là tập ffine n u
aff{ bo, b1,...,bm } là m chiều
* bo, b1,...,bm đ c lập ffine  b1- bo....bm-bo đ c lập tu n tính
Khi đ :
▪ bo, b1,...,bm đ c lập ffine n u
m
m


0
.
 0


i bi
i
i 1
 i 1


 λo = λ1 = = λm = 0.
▪ N u bo, b1,...,bm đ c lập ffine, th m i

 af f{

c thể biểu diễn du nh t dưới d ng t hợp ffine c

 λo, λ1, , λm du nh t với

m


i 1

λi =1 sao cho : x =

C c s λo,λ1 , , λm như th được g i là t

bo, b1,...,bm }
b o, b1,...,bm t c là

m


i 1

λ ib i.

đ tr ng t m c

Định nghĩa 4: B o lồi k+1 điểm đ c lập ffine bo, b1,...,bm được g i là
đ n h nh k_chiều

C c điểm bo, b1,...,bm được g i là đ nh c

đ n h nh

▪ Định lí: Giả s S là đ n h nh n_chiều trong Rn với c c đ nh bo, b1,...,bm.
Khi đ intS  Ø.
Định nghĩa 5: Chiều c

tập lồi A là chiều c

af fA.

Định nghĩa 6: Giả s A  Rn là tập lồi Khi đ dimA là c c đ i c
chiều c c đ n h nh trong A
1.7. Phần trong tƣơng đối
● Định nghĩa: Phần trong tƣơng đối của tập A  Rn là phần
trong của A trong af fA, kí hiệu là riA.
C c điểm thu c riA được g i là điểm trong tư ng đ i c
• Nhận ét:

A1  A2 
 riA1  riA2.
intA = {x  Rn :   > 0, x +  B  A}.

9

tập A


riA = {x  af fA :   > 0, (x +  B) aff  A }.

(Trong đ B là h nh c u đ n vị đ ng trong Rn )
● Các định lí:
• Giả s A là tập lồi trong Rn, x  riA, y
(1- λ ) + λ

A

Khi đ :

 riA ,  λ  [0, 1]

Hệ quả: Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ riA lồi
• Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ :
af f( A ) = af fA.
• Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ , riA  Ø và:
af f (riA) = af fA .
Hệ quả: Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ :
af f( riA ) = af f ( A ).
dim A = dim( riA ) = dimA.
( n u A  Ø  riA  Ø).
• Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ : riA= A
ri A = riA.
Hệ quả: Giả s A1, A2 là tập lồi trong Rn Khi đ :
A1

=

A 2  riA1

10

= riA2.


CHƢƠNG 2
ĐỊNH L KELL VÀ MỘT SỐ T NH CHẤT CƠ BẢN
CỦA TẬP HỢP LỒI

2.1. Một số tính chất của tập lồi
● í

ấ 1: Giả sử Aα  Rn (α

bất kì. Khi đó: A =



I

í

ấ

I ) là các tập lồi, I là tập chỉ số

Aα là một tập lồi.

: Giả s Aα  Rn (α  I ) là c c tập lồi, I là tập ch s b t

k Khi đ : A =

iI

A chư

ch c đ là tập lồi

i

( H nh ảnh minh h

cho h i tập lồi A, B)

A

B

* Ví dụ: Cho A, B là c c tập lồi Với A = a , B là h nh tr n t m 0 b n
kính R
Khi đ : A

 B kh

E  a, E  B th EF  A  B.

ng phải tập lồi v n u l

F

0
R

a
E

11


ấ 3: Giả s Ai  Rn là nh ng tập lồi, λi  R (i = 1.m ) Khi đ :

● í

m


i 1

● í

λiAi là tập lồi

Giả s Ai  Rn là nh ng tập lồi Khi đ :

ấ

m


i 1

Ai là tập lồi

ấ 5: Giả s A là tập lồi và 1  0, 2  0. Khi đ :

● í

(1+2 )A = 1A + A2.
2.2. Định lý kelly
* Định lý Kelly trong kh ng gian 1 chiều R1:
Tr n đư ng thẳng cho n h nh lồi ( n  3) Bi t r ng gi o c
h nh lồi b t k trong ch ng kh c rỗng Khi đ gi o c

h i

cả n h nh lồi c ng

kh c rỗng
Ch ng minh:
T th

h nh lồi tr n đư ng thẳng ch c thể là đo n thẳng a, b ,

khoảng ( , b), h
T ch

[ ; b), ( ; b] (ở đ

c thể là -, b c thể là +).

ét với c c h nh lồi là c c đo n thẳng, c c trư ng hợp c n l i

ch ng minh tư ng t
Giả s c n đo n thẳng [ i; bi], i = 1.n c tính ch t s u: B t k gi o
c

h i đo n thẳng nào trong ch ng c ng kh c rỗng, t c là:

[ai; bi]  [aj; bj]   ,  i  j.
n

T s ch ng minh:
i 1

ai, bi    .

T ch ng minh b đề s u:
[ai; bi]  [aj; bj]    min{bi, bj}  min{ai,aj}.
Thật vậ : Giả s [ai; bi]  [aj; bj]   , Khi đ  c  [ai; bi]  [aj; bj]

12


ai  c  bi
hay
a

c

b

j

j


 

maxai ; a j   c  minbi ;bj 

maxai ; a j   minbi ;bj  . Khi đ t c thể ch n c

Đảo l i, Giả s









sao cho max ai ; a j  c  min bi ;bj .

(1)

ai  c  bi  c  [ai; bi]

T (1) su r

a j  c  bj  c  [aj; bj]
 [ai; bi]  [aj; bj]   B đề được ch ng minh
T b đề tr n su r min bi  max ai , su r tồn t i c s o cho:

1i n

1i n

min bi  c  max ai
1i n

1i n

 c  [ai; bi] ,  i = 1.n hay

n
i 1

ai , bi    .

Định lí kell trong kh ng gi n 1 chiều được ch ng minh
*Định lí Kelly trong kh ng gian 2 chiều R2:
Trong m t phẳng cho n h nh lồi (n  4) Bi t r ng gi o c
lồi b t k trong ch ng kh c rỗng Khi đ gi o c

b h nh

n h nh lồi c ng kh c

rỗng
Ch ng minh:
T ch ng minh b ng phư ng ph p qu n p theo s n c c h nh lồi
- Xét khi n = 4
G i F1, F2, F3, F4 là 4 h nh lồi s o cho gi o c

ch ng kh c rỗng
V F2  F3  F4   n n tồn t i A1  F2  F3  F4
Tư ng t tồn t i:

A2  F1  F3  F4
A3  F1  F2  F4
A4  F1  F2  F3

13

b h nh lồi b t k trong


C h i trư ng hợp ả r :
i) N u b n điểm A1, A2, A3, A4 kh ng hoàn toàn kh c nh u Khi
đ kh ng giảm tính t ng qu t, giả s A1  A2.
T đ su r : A1  F1  F2  F3  F4 nên F1  F2  F3  F4  
Vậ định lí kell đ ng khi n =4
ii) A1, A2, A3, A4 là 4 điểm ph n biệt Khi đ c 2 khả n ng sả
ra:
• B o lồi c

A1, A2, A3, A4 chính
A1

là t gi c lồi A1A2A3A4.
Giả s

O là gi o c

h i đư ng chéo

A1A2, A3A4.
Do

A1  F2  F3  F4 nên A1  F3
A2  F1  F3  F4 nên A2  F3

O

A4

A3

V F3 lồi, mà A2  F3 nên [A1, A2]  F3.
Do đ O  F3.

A2

Lập luận tư ng t su r O
Nghĩ là O 

4
i 1

• B o lồi c

Fi Do đ

 F2, O  F4

4
i 1

Fi   .

ch ng là t m gi c ch

A1

m t điểm c n l i b n trong
Kh ng giảm tính t ng qu t t c thể giả

A4

s A1A2A3 thu c F4 V A1, A2, A3 đều thu c
F4, mà F4 lồi

A2

M t kh c: A4  F1  F2  F3

 A4 

4
i 1

Fi   T đ su r

Vậ định lí kell đ ng khi n = 4

14

4
i 1

Fi  

A3


- Giả s k t luận c
-T

định lí Kell đ ng đ n n  4.

ét trư ng hợp c n+1 h nh lồi, t c c F1, F2,…,Fn h nh lồi

s o cho với b t k b h nh lồi nào trong ch ng đều c gi o kh c rỗng
Xét c c h nh s u:

F1'  F1
F2'  F2
…

Fn'1  Fn1
Fn'  Fn  Fn1
Rõ ràng Fi là h nh lồi i  1, n 1 (v Fi '  Fi )

Fn' c ng là lồi v n là gi o c

h i h nh lồi Fn và Fn1

Xét 3 h nh lồi b t k Fi ' , Fj' ,...,Fk' trong n h nh lồi F1' , F2' ,...,Fn'
N u trong ch ng kh ng c Fn th theo giả thi t:

Fi '  Fj'  Fk'  Fi  Fj  Fk  
N u trong ch ng c Fn'  Fn  Fn1 Khi đ , giả s Fk'  Fn
T đ

Fi '  Fj'  Fk'  Fi  Fj  Fn  Fn1
V gi o c

3 h nh lồi trong c c h nh lồi Fi , Fj ,Fn ,Fn1 là kh c rỗng

(giả thi t) n n theo trư ng hợp n = 4, t c
Vậ với h nh lồi F1' , F2' ,...,Fn' th

Fi  Fj  Fn  Fn1  

m n điều kiện gi o c

b t k trong ch ng kh c rỗng n n theo giả thi t qu

F1'  F2'  Fn'   Nghĩ là: F1  F2  ...  Fn  Fn1  
Vậ định lí Kell đ ng trong trư ng hợp n  1 h nh lồi
Do đ định lí Kell đ ng với m i n  4 .

15

b h nh lồi

n p suy ra


* Tổng quát:( Đị

í Ke y

n

k ô

ều)

Giả s Ai  Rn , i = 1.m , m  n  1 là c c tập lồi Bi t r ng gi o c
n  1 tập Ai trong ch ng đều kh c rỗng Khi đ :
m
i 1

Ai  

 Một số bài tập ứng dụng:
Trong h nh h c t hợp th định l Kell là m t trong c c định l r t
quan tr ng Định l nà cho t m t điều kiện đ để nhận bi t khi nào m t
h c c h nh lồi c gi o kh c rỗng
Dưới đ
kh c rỗng c

là m t s bài to n h nh h c t hợp li n qu n đ n tính gi o
c c h nh lồi

Bài 1: Xét không gian R2 Bi t r ng c b n n

m t phẳng l p đ

gi n Ch ng minh r ng: Tồn t i b trong b n m t phẳng
n

m t phẳng nà c ng l p đ

kh ng

s o cho b

kh ng gi n
Giải

G i P1, P2, P3, P4 là b n n

m t phẳng  Pi lồi, với m i i  1.4

Theo giả thi t t c :

P1  P2  P3  P4  R2

 P1  P2  P3  P4  
P1  P2  P3  P4   ( Theo qu t c Demorg n)
(

A

là ph n b c

(1)

tập hợp A )

V Pi lồi n n Pi c ng lồi với m i i  1.4
Giả s phản ch ng r ng kh ng tồn t i b n
c c Pi ( i  1.4 ) mà 3 n

m t phẳng nà l p đ

kh ng gian.

Nghĩ là với m i i, j, k ph n biệt mà i, j, k

16

m t phẳng nào trong

{1, 2, 3, 4} th :


Pi  Pj  Pk  R2 hay Pi  Pj  Pk  

(2)

Theo qu t c Demorg n  Pi  Pj  Pk   (3)
Theo định lí Kell th t (3)  P1  P2  P3  P4  

(4)

T (4) su r m u thu n với (1)
Điều giả s phản ch ng là s i Vậ t c điều phải ch ng minh
Bài 2: Tr n m t phẳng cho n h nh tr n (n  4) Giả s c mỗi b h nh
tr n đều c m t h nh tr n b n kính R c t cả b h nh tr n

Ch ng minh

r ng tồn t i m t h nh tr n b n kính R c t cả n h nh tr n tr n
Giải
G i Ai là h nh tr n t m Oi b n kính Ri, Ai = (Oi, Ri), i  1.n .
G i Bi là h nh tr n t m Oi b n kính Ri + R, Bi = (Oi, Ri+R), i  1.n .
L

i, j, k t

(1  i  j  k  n ), t ch ng minh:
Bi  Bj  Bk  

Thật vậ : Theo giả thi t th c mỗi b h nh tr n đều c m t h nh
tr n b n kính R c t cả 3 h nh tr n

Ai

Ri

R

Oi

Bi

Giả s h nh tr n b n kính R là ( Ai, j ,k , R ).
T c
ch

( Ai, j ,k , R ) c t c c h nh tr n Ai nên: Oi Ai, j ,k  R  Ri hay (Oi, Ri+R)
( Ai, j ,k , R ).

17


Do đ : ( Ai, j ,k , R )

Bi

Lập luận tư ng t t c ng c : ( Ai, j ,k , R )  Bj
( Ai, j ,k , R )  Bk
Do vậ Bi  Bj  Bk  
Su r theo định l Kell t c : B1  B2  ...  Bn  
Giả s A*  (B1  B2  ...  Bn )
n

Xét h nh tr n (A*, R). Do A* 

i 1

Bi  A*  Bi , i  1.n

V vậ h nh tr n (A*, R) c t h nh tr n (Oi, Ri)  đpcm
Bài 3: Cho n đo n thẳng song song tr n m t phẳng (n  3) Bi t r ng c với
b t k b đo n thẳng nào c ng c m t đư ng thẳng c t cả b đo n thẳng
Ch ng minh tồn t i m t đư ng thẳng c t cả n đo n thẳng đ cho
Giải
Giả s c n đo n thẳng Li ( i = 1.n ) song song tr n m t phẳng
V hệ trục t

đ O

b t k s o cho trục tung song song với

Li(i= 1.n ) ( H nh 1)
L2

y
L1
//
//
//
//
=

Ln

O

x

(H nh 1)

Với mỗi Li ét t t cả c c đư ng thẳng c t Li.
C c đư ng thẳng đ c d ng y = aix + bi. ( ai 0 ), ( ai, bi R,  i  1.n )

18


Mỗi đư ng thẳng như vậ được đ c trưng bởi h i s (ai, bi) (H nh2)
y
Bi
2
i

y

yi1

Ai

O

x

( H nh 2)
N u g i Ai ( xi , yi1 ), Bi ( xi , yi2 ) th
thẳng song song =

ng với mỗi gi trị b t k c c đư ng

+ b với b   yi1  axi , yi2  axi  s c t Li, i  1.n .

Biểu diễn s ( i, bi) tr n m t hệ trục t

đ kh c Theo nhận ét tr n

ng với mỗi gi trị th t c m t tập hợp gi trị c

b và đ dài c

tập

nà là yi1  yi2
Cho

th

đ i s o cho

(-, +) th

v h n G i dải nà là Hi , t th

t được m t dải song song

Hi là h nh lồi ( H nh 3 )

v
Hi

bi

ai

O

19

u


( H nh 3 )
Như vậ

ng với c c đo n thẳng Li, trong m t phẳng Ouv t c m t

h nh lồi Hi ,  i  1.n .
Mỗi điểm ( i, bi)  Hi đ i diện cho đư ng thẳng

=

ix

+ bi c t

đo n Li.
Theo giả thi t b t k b đo n Li, Lj, Lk, nào c ng c m t đư ng
thẳng c t b đo n
 C c h nh Hi, Hj, Hk, c điểm chung với mỗi b ba i. j, k.
Theo định l Kell th cả n h nh H1, H2,…, Hn, c điểm chung ( *, b*)
T c, t c đư ng thẳng y  a*x  b* là đư ng thẳng c t cả n đo n
L1, L2,…, Lnđpcm

Bài 4: Cho Ci , i 
n

là m t h t

c c tập comp c lồi trong

Giả s với mỗi n+1 tập Ci đều c gi o kh c rỗng CMR:
i

Ci  

Giải
Giả s phản ch ng.
i

Đ t Ci  Rn \ Ci
(1) t được:
i

V
i

Ci  

( Ci là ph n b c

(1)
Ci ) Theo qu t c Demorg n th t

Ci  Rn

Ci  Rn n n với tập comp c b t k Ci* i* 

T c :
i

Ci  Ci*

(2)

V kh ng gi n là h u h n chiều n n do Ci comp c t c Ci đ ng Do đ

C* mở
T (2), su r c m t ph h u h n ph Ci* , t c là  j  1.n sao cho

20


r
j 1

Ci j  Ci*

(3).

Theo qu t c Demorg n th t (3) t c :
r
j 1



Ci j  Ci*
r
j 1

r

Ci j  Ci*  ( Ci j )  Ci* = 
j 1

T c là:
r
j 1

Ci j  Ci* = 

(4)

Theo định l Kell th m i gi o h u h n c

h C i, i 

, đều kh c rỗng

Vậ t (4) su r v l  đpcm
Bài 5: Trong m t phẳng cho n điểm và khoảng c ch gi

h i điểm b t

k trong ch ng kh ng vượt qu 1 Ch ng minh r ng c thể ph ch ng
b ng m t h nh tr n b n kính R =

1
.
3
Giải

V theo bài r khoảng c ch gi

h i điểm

1
3

b t k trong ch ng kh ng vượt qu 1 n n kh ng
c b điểm nào thẳng hàng
Giả s c c điểm đ cho là Mi , i  1.n .
Khi đ : d (Mi , M j )  1 , i  j .
Xét c c h nh tr n Fi  (M i ,
L

t

1
) , i  1.n .
3

b điểm, giả s là M1, M2, M3.

Ch c thể c c c trư ng hợp s u sả r :
i) M1M2M3 lập thành t m gi c kh ng t

21

Mi