Đại số SU(2) biến dạng p, q (LV00993)

1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS- TS Nguyễn
Thị Hà Loan về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn của cô trong suốt
quá trình học tập, chính sự quan tâm và tận tình chỉ bảo của cô đã tạo động
lực và cho tôi có thêm niềm tin, sự cố gắng để thực hiện luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học và Ban Chủ nhiệm khoa,
các thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí- Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
quan tâm, tạo điều kiện và tận tình giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp
đã luôn sát cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn
thành luận văn.
Tác giả
PHẠM HẢI MÁC


2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng các thông tin trích dẫn và sự giúp đỡ trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Tác giả
PHẠM HẢI MÁC


3

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mục lục

3

MỞ ĐẦU

4

NỘI DUNG

7

Chương 1. ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(2)

7

1.1. Đại số SU(2)

7

1.2. Đại số SU(2)q biến dạng một tham số

13

1.3. Đại số SU(2)pq biến dạng hai tham số

15

Chương 2. HÌNH THỨC LUẬN BRST
2.1. Hình thức luận BRST
2.2. Hình thức luận BRST với nhóm SU (2) p biến dạng
một tham số
2.3. Hình thức luận BRST với nhóm SU (2) pq biến dạng
một tham số

20
20
26

27

KẾT LUẬN

29

TÀI LIỆU THAM KHẢO

30

PHỤ LỤC

32


4

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lí thuyết đối xứng đóng vai trò cơ bản trong vật lí lí thuyết. Ngôn ngữ
toán học của đối xứng là lí thuyết nhóm. Sau sự phát triển của mẫu quark và lí
thuyết Gauge không abelian của tương tác mạnh và tương tác điện yếu, sự
hiểu biết những nhóm Lie đã trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lí thuyết
hạt cơ bản. Nhóm Lie ngày càng trở thành công cụ chủ yếu của vật lí lí thuyết
hiện đại như giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lí thuyết nhóm vô hạn . . .
Đại số của nhóm Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng
của nó trong nghiên cứu vật lí mà V. I. Drinfeld đã lượng tử hóa đại số của
nhóm Lie làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng
tử. Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm
của nhiều nhà vật lí lí thuyết và vật lí toán bởi vì những quan điểm ứng dụng
của chúng trong các mẫu vật lí và trong mối liên quan với lời giải các phương
trình vi phân phi tuyến. Chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng như
nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter lượng tử, lí thuyết trường
Conformal hữu tỷ, lí thuyết trường hai chiều với những thống kê phân bố. Đại
số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng phụ thuộc vào một hoặc nhiều
tham số của đại số Lie thông thường. Đại số lượng tử đơn giản nhất SU (2)q
phụ thuộc một thông số lần đầu tiên được đưa ra bởi Sklyanin, Kulish,
Reshetikhin khi nghiên cứu phương trình Yang-Baxter lượng tử, phương trình
này đóng vai trò quan trọng trong những hệ khả tích lượng tử. Lí thuyết biểu
diễn của đại số lượng tử với một thông số biến dạng đưa đến sự phát triển của
đại số dao động biến dạng q . Đại số dao động biến dạng được xem xét với

quan điểm để nghiên cứu những quá trình lượng tử hóa mới. Những dao động


5

q này có thể đưa đến một loại mới của lí thuyết trường ở đó có sự vi phạm

nhỏ của nguyên lí loại trừ Pauli và sự sai lệch từ những thống kê Bose có thể
được thảo luận. Những hệ quả của cấu trúc đại số biến dạng q trong các mẫu
cụ thể như là mẫu Jeynes-Cumming trong quang học lượng tử cũng đã được
nghiên cứu. Từ quan điểm áp dụng trong các mẫu vật lí cụ thể, đại số biến
dạng nhiều thông số được quan tâm nghiên cứu.
Trong lí thuyết đối xứng Gauge thông thường các tác giả BRST đã phát
hiện một loại đối xứng mới là đối xứng giữa các trường ma và các trường
thực. Đặc biệt các tác giả xây dựng được toán tử Q từ các vi tử của nhóm đối
xứng Gauge và các toán tử của các trường ma thỏa mãn điều kiện nilpotent cụ
thể là Q 2 = 0 và toán tử ấy được mang tên là tải BRST hoặc toán tử BRST.
Có thể nghiên cứu lí thuyết trường dây lượng tử dựa trên hình thức luận
BRST. Hình thức luận này đặc biệt hiệu quả khi xây dựng lí thuyết tương tác
của các dây lượng tử. Tải BRST có dạng khác nhau trong các nhóm đối xứng
khác nhau.
Đề tài "Đại Số SU(2) Biến Dạng – p, q" nghiên cứu đại số biến dạng
hai tham số SU (2) pq bằng cách đưa ra khái niệm hình thức luận dao động
điều hòa biến dạng hai tham số p, q mà là sự mở rộng của hình thức luận dao
động điều hòa biến dạng một tham số q của đại số lượng tử SU (2)q . Nghiên
cứu tải BRST trong đại số biến dạng lượng tử của đại số SU (2) .
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đại số lượng tử SU (2) biến dạng một tham số và hai tham số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu biến dạng hai tham số của đại số SU (2) .

6

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu đại số SU (2) , đại số SU (2) biến dạng một tham số, đại số
SU (2) biến dạng hai tham số.

5. Phương pháp nghiên cứu
Dùng các phương pháp nghiên cứu của vật lí lí thuyết cụ thể phương
pháp của nhóm lượng tử và các dao động lượng tử.


7

NI DUNG
CHNG I
I S LNG T SU(2)
Trong chng ny tụi s nghiờn cu s bin dng hai tham s ca i s
SU (2) bng cỏch xõy dng dao ng iu hũa bin dng ph thuc hai tham

s. Trong trng hp gii hn p = q nú tr v i s bin dng mt tham s
SU (2)q . Trong trng hp c bit p, q đ 1 thỡ i s bin dng ph thuc

hai tham s SU (2) pq tr v i s SU (2) thụng thng.
1.1. i s SU(2)
Gi s cú cỏc toỏn t boson ai (i = 1, 2) tha món cỏc h thc giao hoỏn
ộ ai , a +j ự = d ij
ở
ỷ

ộở ai , a j ựỷ = 0

(1.1)

a vo nh ngha toỏn t s ht
N i = ai+ ai
ộở Ni , N j ựỷ = 0

(1.2)

Cỏc vộct riờng trc chun ca toỏn t s ht l
(a1+ )n1 (a2+ ) n2
| n1 , n2 ủ =
| 0ủ
n1 !n2 !

(1.3)

ổa ử
a2+ s i ỗ 1 ữ
ố a2 ứ

(1.4)

Xột toỏn t
Ji =

(

1 +

a1
2

Trong ú s i l nhng ma trn Pauli

)


8

ổ 0 1ử
ổ0 - iử
ổ1 0 ử
s1 = ỗ
, s2 = ỗ
, s3 = ỗ
ữ
ữ
ữ
0ứ
ố1 0 ứ
ối
ố 0 - 1ứ

Ta c:
J1 =

1 +
a1
2

(

ổ 0 1ử ổ a1 ử
a2+ ỗ
ữỗ ữ
ố1 0 ứố a2 ứ

(

)

)

1 +
a1 a2 + a2+ a1
2
ổ 0 - i ử ổ a1 ử
1
J 2 = a1+ a2+ ỗ
ỗ ữ
0 ữứố a2 ứ
2
ối
1 +
=
a1 a2 - a2+ a1
2i
0 ử ổ a1 ử
ổ1

1
J 3 = a1+ a2+ ỗ
ữỗ ữ
2
ố 0 - 1ứố a2 ứ
=

(

)

(

(

=

(1.5)

)

)

(

1 +
a1 a1 - a2+ a2
2

)

H thc giao hoỏn gia cỏc J i :

[ J1, J 2 ] = J1J 2 - J 2 J1

(

)(

) (

)(

)

)(

) (

)(

)

1ộ +
a1 a2 + a2+ a1 a1+ a2 - a2+ a1 - a1+ a2 - a2+ a1 a1+ a2 + a2+ a1 ự
ở
ỷ
4i
1
= ( N 2 - N1 )

2i
= iJ 3
=

[ J 2 , J3 ] = J 2 J3 - J3 J 2

(

1ộ +
a1 a2 - a2+ a1 a1+ a1 - a2+ a2 - a1+ a1 - a2+ a2 a1+ a2 - a2+ a1 ự
ở
ỷ
4i
i
= a1+ a2 + a2+ a1
2
= iJ1

=

(

)


9

[ J 3 , J1 ] = J 3 J1 - J1 J 3

(

)(

) (

)(

)

1
= é a1+ a1 - a2+ a2 a1+ a2 + a2+ a1 - a1+ a2 + a2+ a1 a1+ a1 - a2+ a2 ù
û
4ë
1
= a1+ a2 - a2+ a1
2
= iJ 2

(

)

Từ những biểu thức trên ta thu được hệ thức giao hoán của các J i :
éë J i , J j ùû = ie ijk J k

(1.6)

Đây chính là đại số Lie SU (2) . Vậy có thể biểu diễn đại số SU (2) qua
các toán tử boson. Biểu thức (1.3) chính là véctơ trong không gian Hilbert của
biểu diễn. Tuy nhiên vấn đề ở đây là từ không gian biểu diễn (1.3) tìm ra các

không gian con bất khả quy.
Xét toán tử Casimir
C = J12 + J 22 + J 32

(1.7)

1
( N1 + N 2 )
2

(1.8)

Đặt
J=

Ta có
C = J ( J + 1)

(1.9)

Đối với biểu diễn bất khả quy của toán tử Casimir có giá trị xác định nên
từ dạng (1.9) của C ta thấy có thể đặc trưng cho biểu diễn SU (2) bởi các giá
trị riêng của toán tử J mà ta kí hiệu là j
Theo định nghĩa của N i thì từ (1.8) ta có


10

j=

1
( n1 + n2 )
2

(1.10)

Ta thấy j là một số nguyên hoặc bán nguyên, không âm.
Để xác định các véc tơ riêng của không gian con của không gian Hilbert
(1.3), biểu diễn bất khả quy của đại số SU (2) ta nhận xét rằng biểu diễn này
phải được xác định bởi hai giá trị riêng ( do không gian chung được xác định
bởi hai số n1 , n2 ). Ta nhận xét rằng toán tử J 3 giao hoán với J tức là nó có
giá trị riêng xác định. Ta kí hiệu trị riêng này là m và từ định nghĩa của J 3 ở
(1.5) ta có:
m=

1
( n1 - n2 )
2

(1.11)

Vậy biểu diễn bất khả quy của SU (2) trong không gian các véc tơ cơ sở
(1.3) có thể đặc trưng bởi j và m liên hệ với n1 , n2 như sau:
n1 = j + m
n2 = j - m

(1.12)

Từ đó không gian con của các véc tơ cơ sở của biểu diễn bất khả quy là
(a1+ ) j + m (a2+ ) j -m

| j , mñ =
| 0ñ
( j + m)!( j - m)!

(1.13)

Từ (1.10) và (1.11) ta thấy rằng với một j xác định thì m lấy 2j+1 giá trị
m = j , j - 1,..., - j + 1, - j

Vậy không gian biểu diễn bất khả quy có 2j+1 chiều.
Ta có
a1+

| j , mñ =

a1+

(a1+ ) j + m (a2+ ) j -m
| 0ñ
( j + m)!( j - m)!

(1.14)


11

1
1
j + m +1 | j + ,m + ñ
2

2

=
a2+

| j , mñ =

a2+

(a1+ ) j + m (a2+ ) j -m
| 0ñ
( j + m)!( j - m)!

1
1
j - m +1 | j + ,m - ñ
2
2
(a + ) j + m (a2+ ) j -m
a1 | j , mñ = a1 1
| 0ñ
( j + m)!( j - m)!
=

(1.15)

1
1
j + m | j - ,m - ñ
2

2
+ j+m
+ j -m
(a1 ) (a2 )
a2 | j , mñ = a2
| 0ñ
( j + m)!( j - m)!
=

=

1
1
j - m | j - ,m + ñ
2
2

Từ đó ta tính được
1
1
a1+ a1 | j , mñ = a1+ j + m | j - , m - ñ
2
2
(a1+ ) j + m-1 (a2+ ) j -m
= j + m a1+
| 0ñ
( j + m - 1)!( j - m)!
= ( j + m ) | j , mñ

hay

N1 | j , mñ = n1 | j , mñ

Và
1
1
a2+ a2 | j , mñ = a2+ j - m | j - , m + ñ
2
2
+ j +m
(a1 ) (a2+ ) j -m-1
+
= j - m a2
| 0ñ
( j + m)!( j - m - 1)!
= ( j - m ) | j , mñ

(1.16)


12

hay
N 2 | j , mñ = n2 | j , mñ

(1.17)

Ta có
J3 =

1

( N1 - N 2 )
2

nên
J 3 | j , mñ = m | j , mñ

(1.18)

Nếu đặt
J + = J1 + iJ 2 = a1+ a2
J - = J1 - iJ 2 = a2+ a1

thì
J + | j , mñ =

( j + m + 1)( j - m ) | j , m + 1ñ

J - | j , mñ =

( j - m + 1)( j + m ) | j , m - 1ñ

(1.19)

1.2. Đại số SU ( 2 )q biến dạng một tham số
Nhóm lượng tử SU (2)q của những toán tử tự liên hợp J1 , J 2 , J 3 được
mô tả bởi những hệ thức:
i
2
[ J1, J 3 ] = -iJ 2

[ J1, J 2 ] = [ 2 J 3 ]q

[ J 2 , J 3 ] = iJ1
hay

(1.20)


13

1
2
[ J3, J ± ] = ± J ±

[ J + , J - ] = [ 2 J 3 ]q

(1.21)

đưa vào kí hiệu
q x - q- x
= 1
q - q -1

[ x ]q

(1.22)

Đại số này là sự biến dạng của đại số SU (2) được đặc trưng bởi thông
số biến dạng q. Trong trường hợp giới hạn q ® 1 thì [ x ]q ® x và đại số
(1.20) trở về đại số SU (2) thông thường.

Để đưa ra biểu diễn bất khả quy của đại số này ta xây dựng dao động
điều hòa biến dạng q
Đưa vào hai toán tử a1 , a2 và toán tử tự liên hợp của chúng a1+ , a2+ có các
tính chất sau:
éë ai , a j ùû = 0

(i, j = 1, 2)

éë ai , a ùû = 0

(i ¹ j )

+
j

ai ai+ - q -1ai+ ai = q N

(1.23)

i

Với N i được định nghĩa như sau:

[N ]

= ai+ ai

(1.24)

+ 1]q = ai ai+

(1.25)

i q

Do đó ta được:

[N

i

Từ những hệ thức đó ta thu được:


14

éë Ni , a j ùû = -d ij ai
é Ni , a +j ù = ai+d ij
ë
û

(1.26)

Gọi | nñ q là véc tơ trạng thái trong không gian Hilbert, | nñ q là véc tơ
riêng của toán tử N i
N i | nñ q = ni | nñ q

(1.27)

ở đây

| nñ q =| n1 , n2 ñ q

Có thể xây dựng | nñ q từ các toán tử a1+ , a2+ như sau:
(a1+ ) n1 (a2+ )n2
| nñ q =| n1, n2 ñ q =
| 0ñ
[n1 ]q ![n2 ]q !

(1.28)

Biểu diễn bất khả quy của đại số lượng tử SU (2)q có thể thu được từ
trạng thái riêng (1.28) với n1 = j + m và n2 = j - m
| j , mñ q =

(a1+ ) j + m (a2+ ) j -m

[ j + m]q ![ j - m]q !

| 0ñ

(1.29)

Những vi tử của đại số SU (2)q có thể được biểu diễn trong những số
hạng của a1 , a2 và liên hợp của chúng a1+ , a2+ như sau:
1 +
a1 a2
2
1 +
J- =
a2 a1

2
1
J 3 = ( N1 - N 2 )
2
J+ =

(1.30)


15

Tác dụng của những vi tử J + , J - , J 3 lên cơ sở (1.29)
J + | j , mñ q =

1
[ j + m + 1]q [ j - m]q | j, m + 1ñ q
2

1
[ j - m + 1]q [ j + m]q | j, m - 1ñ q
2
J 3 | j , mñ q = m | j , mñ q
J - | j , mñ q =

(1.31)

Toán tử Casimir
Cq = J12 + J 22 +

[ 2]q

2

[ J 3 ]2q

= 2 J + J - + [ J 3 ]q [ J 3 - 1]q

(1.32)

= 2 J - J + + [ J 3 ]q [ J 3 + 1]q

giá trị riêng của toán tử này là
Cq = [ j ]q [ j + 1]q

(1.33)

1.3. Đại số SU ( 2 )pq biến dạng hai tham số.
Đại số lượng tử SU (2) pq được tạo nên bởi những vi tử J1 , J 2 , J 3 tuân
theo những hệ thức giao hoán:

[J

+

, J - ]( pq ) = [ 2 J 3 ] pq
-1

[J , J ] = J
[ J , J ] = -J
3

+

3

-

(1.34)

+

-

ở đây ta sử dụng kí hiệu

[ A, B ](

f

)

= AB - fBA

(1.35)


16

[ x ] pq =

q x - p- x

q1 - p -1

(1.36)

với p, q là những số thực
Đại số này được xem như sự biến dạng của đại số SU (2) được đặc trưng
bởi hai thông số biến dạng p, q . Trong trường hợp giới hạn p = q thì

[ x]

pq

® [ x ]q và đại số (1.34) trở về đại số biến dạng một tham số (1.20).

Bây giờ tôi sẽ tìm biểu diễn bất khả quy của đại số SU (2) pq bằng
phương pháp Schwinger tổng quát. Để thực hiện được điều này tôi sẽ xây
dựng dao động điều hòa biến dạng p, q hay còn gọi tắt là dao động p, q .
Xét những toán tử a1 , a2 và liên hợp của chúng a1+ , a2+ được định nghĩa
để thỏa mãn những hệ thức sau:
a1a1+ - p -1a1+ a1 = q N1
a2a2+ - q -1a2+ a2 = p N 2
é ai , a +j ù = 0
ë
û

(i ¹ j )

éë ai , a j ùû = 0

i, j = 1, 2

(1.37)

ở đây N i được gọi là toán tử số dao động, được định nghĩa từ những
toán tử ai , ai+ như sau:
a1+ a1 = [ N1 ] pq
a2+ a2 = [ N 2 ]qp

(1.38)

Từ những hệ thức này ta tìm được:
éë Ni , a j ùû = -aid ij
é Ni , a +j ù = ai+d ij
ë
û

(1.39)


17

và
a1a1+ = [ N1 + 1] pq
a2a2+

(1.40)

= [ N 2 + 2]qp

Cho | ni ñ pq là những trạng thái riêng của toán tử số dao động

N i | ni ñ pq = ni | ni ñ pq

(1.41)

Tác dụng các toán tử a1 , a1+ , a2 , a2+ lên những trạng thái riêng | ni ñ pq có
thể được chọn sao cho:
a1+ | nñ pq =

[ n + 1] pq | n + 1ñ pq

a1 | nñ pq =

[ n] pq | n - 1ñ pq

a2+ | nñ pq =

[ n + 1] pq | n + 1ñ pq

(

a2 | nñ pq = pq -1

)

n -1

(1.42)

[ n] pq | n - 1ñ pq

Nếu định nghĩa trạng thái chân không tương ứng với giá trị riêng bằng 0
của toán tử N i thì trạng thái riêng lượng tử | ni ñ pq được định nghĩa là:
| ni ñ pq =

(a )

+ ni
i

[ ni ] pq !

| 0ñ

(1.43)

Những trạng thái riêng đó được trực chuẩn nhờ hệ thức

( )
a (a )
a2 a2+
1

n

+ n
1

( )
(a )

= q - n a2+
=p

-n

n

( )
(a )

a2 + [ n ] pq a2+

+ n
a1
1

+ [ n ] pq

n -1

p N2

+ n -1 N1
q
1

(1.44)

Những trạng thái riêng được xây dựng từ những toán tử a1+ , a2+ có thể
được mô tả bởi:

18

| nñ pq =| n1 , n2 ñ pq

( ) ( )
a1+

=

n1

a2+

n2

[ n1 ] pq ![ n2 ] pq !

(1.45)

| 0ñ

Những vi tử của SU (2) pq có thể được biểu diễn trong những số hạng của
hai dao động độc lập a1 , a2 và liên hợp của chúng a1+ , a2+ :
J + = a1+ a2
J - = a2+ a1
J3 =

(1.46)

1
( N1 - N 2 )
2

Sử dụng hệ thức (1.37) cho ai , ai+ sẽ chứng minh được các vi tử (1.46)
thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.34) của đại số lượng tử SU (2) pq .
Những trạng thái riêng bất khả quy | j , mñ pq của đại số lượng tử
SU (2) pq có thể thu được từ các giá trị riêng (1.45) với n1 = j + m, n2 = j - m

| j , mñ pq =

(a ) (a )
+ j +m
1

+ j -m
2

[ j + m] pq ![ j - m] pq !

| 0ñ

(1.47)

Tác dụng của những vi tử J + , J - , J 3 lên những véc tơ cơ sở | j , mñ pq là

(

J + | j , mñ pq = pq -1

J - | j , mñ pq =

)

j -m -1

[ j + m] pq [ j - m + 1] pq | j, m - 1ñ pq

J 3 | j , mñ pq = m | j , mñ pq

Toán tử Casimir:

[ j - m] pq [ j + m + 1] pq | j, m + 1ñ pq
(1.48)


19

( ) (J J
= ( pq ) ( ( pq

C pq = pq -1

J3

+ -

-1 J 3

-1

)
+ 1] pq )

+ ( p -1q ) [ J 3 ] pq [ J 3 - 1] pq
) J + J - + [ J 3 ] pq [ J 3

(1.49)

Trị riêng của toán tử Casimir là:

(

C pq = pq -1

) [ j]
j

pq

[ j + 1] pq

(1.50)

Toán tử Casimir này là sự biến dạng của toán tử Casimir cổ điển trong
trường hợp giớ hạn p, q ® 1 nó sẽ trở về hệ thức của toán tử Casimir trong lí
thuyết momen xung lượng.


20

CHƯƠNG II
HÌNH THỨC LUẬN BRST
2.1. Hình thức luận BRST
Lí thuyết trường dây lượng tử không cố định trước điều kiện Gauge có
thể trình bày một cách gọn gàng và bao quát nếu ta sử dụng hình thức luận
BRST. Hình thức luận này đặc biệt hiệu quả khi xây dựng lí thuyết tương tác
của các dây lượng tử. Trong hinh thức luận BRST các trường ma Jadee-Popov
đóng vai trò chủ yếu. Tôi trình bày hình thức luận này trong lí thuyết đối xứng
Gauge thông thường.
Gỉa sử có nhóm đối xứng Gauge G với các vi tử Tn thỏa mãn hệ thức
giao hoán:

[Tn ,Tm ] = if nmkTk

(2.1)

trong đó f nmk là hằng số cấu trúc của nhóm G hoàn toàn phản đối xứng
theo các chỉ số n, m, k.
Ứng với mỗi vi tử Tn ta đưa vào một cặp biến số ma Cn ( x) và phản ma
bn ( x) , tuân theo quy tắc phản giao hoán:

{Cn , bm } = d nm
{Cn , Cm } = 0
{bn , bm } = 0

(2.2)

Từ các ma và phản ma này ta lập toán tử Q theo công thức:
Q = å TnCn n

được gọi là tải BRST.

i
å f nmk CnCmbk
2 nmk

(2.3)


21

Từ đồng nhất thức Jacobi cho các hằng số cấu trúc
f nmk f kpq + f mkp f knq + f pnk f kmq = 0

(2.4)

Ta chứng minh rằng
Q2 =

1
{Q, Q} = 0
2

(2.5)

tức tải BRST có tính chất nilpotent.
Ta có:
Q2 =

1
{Q, Q}
2

1 ïì
i
i
ïü
= íå TnCn - å f nmk CnCmbk , å Tl Cl - å flpqCl C pbq ý
2 îï n
2 n ,m , k
2 l , p ,q
l
þï

= å{TnCn , Tl Cl } n ,l

-

i
å f nmk {CnCmbk ,Tl Cl }
2 n ,m,k ,l

i
1
flpq {TnCn , Cl C pbq } å
å f nmk flpq {CnCmbk , Cl C pbq }
2 n ,l , p ,q
4 n ,m ,k ,l , p ,q

Ta tính các số hạng của Q 2 :
Số hạng thứ nhất

å{TnCn ,Tl Cl } = -å [Tn ,Tl ]Cl Cn
n ,l

n ,l

= -i å f nlk Tk Cl Cn
n ,l ,k

Số hạng thứ hai
-

i
i
f nmk {CnCmbk , Tl Cl } = - å f nmk Tl CnCm {bk , Cl }
å
2 n ,m ,k ,l
2 n,m,k ,l


22

=-

i
å fnmkTk CnCm
2 n ,m , k

=-

i
å f nlkTk CnCl
2 n ,l ,k

=

i
å fnlkTk Cl Cn
2 n ,l ,k

Số hạng thứ ba
-

i
i
flpq {TnCn , Cl C pbq } = - å flpqTnCl C p {bn , Cq }
å
2 n,l , p ,q
2 n,l , p ,q
=-

i
å flpnTl Cl C p
2 n,l , p

=-

i

å flpkTk Cl C p
2 k ,l , p

=-

i
å fl nkTk Cl Cn
2 n ,l ,k

=

i
å fnlkTk Cl Cn
2 n ,l ,k

Số hạng thứ tư
-

1
å fnmk flpq {CnCmbk , Cl C pbq } =
4 n ,m ,k ,l , p ,q

==

Ta được:

(

)

1
å f nmk flpqCl C p {Cn , bq } Cm - Cn {Cm , bq } bk
4 n,m ,k ,l , p ,q

1
å f mpk f knqCnCmC pbq
2 n,m ,k ,l , p ,q


23

Q 2 = -i å f nlkTk Cl Cn +
n ,l , k

+
=

i
i
f nlk Tk Cl Cn + å f nlkTk Cl Cn
å
2 n ,l ,k
2 n ,l ,k

1
å f mpk f knqCnCmC pbq
2 n ,m ,k ,l , p ,q

1
å f mpk f knqCnCmC pbq

2 n ,m,k ,l , p ,q

Từ đồng nhất thức Jacobi:
f nmk f kpq + f mpk f knq + f pnk f kmq = 0

Ta có:

å

f mpk f knqCnCmC p =

n ,m ,k ,l , p ,q

=

1
å ( f mpk f knqCnCmC p
3 n ,m,k ,l , p ,q
+ f pnk f kmqCmC pCn + f nmk f kpqC pCn Cm )

=

1
å ( f mpk f knq + f pnk fkmq + f nmk fkpq ) CnCmC p
3 n ,m,k ,l , p ,q

=0

Vậy
Q2 =

1
{Q, Q} = 0
2

Ta tính phản giao hoán tử giữa Q và bn :
ì
ü
i
T°n = {Q, bn } = íå Tl Cl - å flmk Cl Cmbk , bn ý
2 lmk
î l
þ
i
= å Tl {Cl , bn } + å flmk [Cl Cm , bn ] bk
2 lmk
l
= Tn - i å f nlk Cl bk
nlk

(2.6)


24

Sử dụng các hệ thức (2.1), (2.2) và đồng nhất thức Jacobi (2.4) ta tính
được hệ thức giao hoán giữa các T°n
éT°n , T±m ù = [Tn , Tm ] - f nlk f mpq éC pbk , C pbq ù
ë
û

ë
û
= if T - f f C b = if T°
nmk k

mnk klq

l q

(2.7)

nmk k

tức là T°n cũng thỏa mãn các hệ thức giao hoán như Tn .
Từ tính chất nilpotent của Q ta có thể thấy ngay được hệ thức sau:
éQ, T°n ù = 0
ë
û

(2.8)

có nghĩa là T°n bất biến BRST.
Bây giờ ta hãy tìm hệ thức của tải BRST trong nhóm đối xứng SU(2)
thông thường.
Các vi tử J a (a = 1,2,3) của nhóm đối xứng SU(2) thỏa mãn những hệ
thức giao hoán:

[ J a , J b ] = ie abc J c

(a, b, c = 1, 2,3)

(2.9)

e abc : ten xơ crônecke
Ứng với mỗi vi tử J a ta đưa vào một cặp biến số ma Ca ( x) và phản ma
ba ( x) , tuân theo quy tắc phản giao hoán

{Ca , bb } = d ab
{Ca , Cb } = 0
{ba , bb } = 0

(2.11)

Từ các ma và phản ma này ta tìm được tải BRST có tính chất nilpotent


25

3

Q = å J a Ca a =1

i
å e nmk CaCbbc
2 a ,b,c

(2.12)

Nếu đặt
E = J1 + iJ 2

F = J1 - iJ 2

(2.13)

H = 2 J3

thì các hệ thức giao hoán của nhóm đối xứng SU(2) có dạng:

[ E, F ] = H
[ H , E ] = 2E
[ H , F ] = -2 F
thật vậy, ta có:

[ E, F ] = EF - FE
= ( J1 + iJ 2 )( J1 - iJ 2 ) - ( J1 - iJ 2 )( J1 + iJ 2 )
= J12 - iJ1 J 2 + iJ 2 J1 + J 22 - ( J12 + iJ1 J 2 - iJ 2 J1 + J 22 )
= 2i [ J 2 , J1 ]
= 2J3
=H

[ H , E ] = HE - EH
= 2 J 3 ( J1 + iJ 2 ) - ( J1 + iJ 2 )2 J 3
= 2 J 3 J1 + 2iJ 3 J 2 - 2 J1J 3 - 2iJ 2 J 3
= 2i [ J 3 , J 2 ] + 2 [ J 3 , J1 ]
= 2 J1 + 2iJ 2
= 2E

[ H , F ] = HF - FH
= 2 J 3 ( J1 - iJ 2 ) - ( J1 - iJ 2 )2 J 3

(2.14)