Vẽ thêm hình phụ là tam giác đều

VẼ THÊM HÌNH PHỤ LÀ TAM GIÁC ĐỀU
Cao Qc Cêng ( GV. THCS VÜnh Têng- VÜnh Phóc)
VÏ thªm h×nh phơ lµ tam gi¸c ®Ịu gióp ta gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tÝnh sè ®o gãc mét c¸ch
ng¾n gän. Trong bµi viÕt nµy t«i mn trao ®ỉi víi c¸c b¹n ph¬ng ph¸p vÏ thªm h×nh phơ
lµ tam gi¸c ®Ịu ®Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tÝnh sè ®o gãc.
Bµi 1: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có góc A = 40 0. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
·
= 100.
không chứa điểm A, vẽ tia Bx sao cho CBx
·
Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA. Tính số đo góc BDC
.
* Hướng giải quyết:
Tam giác ABC cân t¹i A có góc ở đỉnh bằng 400 => số đo góc ở đáy bằng 700.
Mà 700 – 100 = 600 chính là số đo mỗi góc của tam giác đều. Giúp ta nghó tới vẽ hình
phụ tam giác đều.
A
* Lời giải:
4 00

Cách 1: ∆ABC cân tại A có µA = 400 => Bµ = Cµ = 700
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB,
chứa điểm C. Vẽ tam giác đều ABE.
·
·
Khi đó: CBE
= CBA
− ·ABE = 700 − 600 = 100 ;
B
·
·

·
CAE
= BAE
− BAC
= 600 − 400 = 200 và
AB = AC = BD = BE = AE
Tam giác ACE cân tại A (vì AC = AE). Do đó:
·AEC = (1800 − 200 ) : 2 = 800 => BEC
·
= ·AEC − ·AEB = 800 − 600 = 200
·
·
∆CBE và ∆CBD có: CD chung; CBE
= CBD
= 100 ; BE = BD
·
·
Vậy ∆CBE = ∆CBD (c.g.c) => BDC
= BEC
= 200
Cách 2:
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC,
chứa điểm B. Vẽ tam giác đều ACM.
(B¹n ®äc tù gi¶i)

E
C

100

D
x

A
400

M
B

100

C
D
x

1


Cách 3: ∆ABC cân tại A có µA = 400 => Bµ = Cµ = 700
A
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC,
40
chứa điểm A. Vẽ tam giác đều BCE.
·
·
Khi đó: EBA
= ·ABC − EBC
= 700 − 600 = 100
E
∆EAB và ∆CDB có:

AB = DB
·
·
=> ∆EAB = ∆CDB (c.g.c)
EBA
= CBD
= 100
C
B
10
EB = BC
D
·
·
x
=> EAB = BDC
∆EAB và ∆EAC có: EA chung; EB = EC; AB = AC
·
·
=> ∆EAB = ∆EAC (c.c.c) => EAB
= EAC
·
·
·
·
Mà BAC
= 400 => EAB
= EAC
= 200 . Vậy BDC
= 200

* Nhận xét:
- Ở cách 1 và cách 2, vẽ thêm tam giác đều có cạnh bằng một trong hai cạnh bên
·
·
·
·
của tam giác cân ABC, tạo ra CBE
= CBD
= 100 (cách 1) hoặc BCM
= CBD
= 100 (cách 2).
·
Từ đó dễ dàng liên hệ góc BDC
cần tính với các góc có thể tính được số đo:
·BEC ; CMB
·
thông qua việc chứng minh các tam giác bằng nhau.
·
·
- Ở cách thứ 3, ta vẽ tam giác đều dựa trên cạnh BC, tạo ra EBA
= CBD
= 100 và các
·
cạnh BE = BC = CE. Từ đó dễ dàng liên hệ góc BDC
cần tính với các góc có thể tính
·
·
được số đo: EAB; EAC thông qua việc chứng minh các tam giác bằng nhau.
Bµi 2: Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC = 3 : 4 : 5.
Tính ·AMB .

* Hướng giải quyết:
Vẽ hình chính xác, đúng số liệu bài toán ta dự đoán ·AMB = 1500. Giả thiết bài toán
cho MA : MB : MC = 3 : 4 : 5, giúp ta nghó tới vận dụng kiến thức về đònh lí Pitago đảo
để có tam giác vuông. Mà 150 0 = 900 + 600. Từ đó gợi ý cho ta vẽ thêm yếu tố phụ là
tam giác đều để tạo ra góc 600.
* Lời giải:
A
Cách 1: Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MB,
3a
K
không chứa điểm C. Vẽ tam giác đều MBK.
M
0
·
·
·
·
Khi đó: ABK = MBK − ABM = 60 − ABM
4a
5a
·
·
Và CBM
= ABC
− ·ABM = 600 − ·ABM
·
C
B
=> ·ABK = CBM

∆ABK và ∆CBM có:
AB = CB (∆ABC đều)
·ABK = CBM
·
=> ∆ABK = ∆CBM (c.g.c)
BK = BM (∆MBK đều)
0

0

2


=> KA = MC = 5a
∆AMK có: KA2 = (5a)2; KM2 + MA2 = (4a)2 + (3a)2 = (5a)2 => KA2 = KM2 + MA2
Theo đònh lí Pitago đảo, ta có ∆AMK vuông tại M.
·
Vậy ·AMB = ·AMK + BMK
= 900 + 600 = 1500
A
Cách 2: Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
E
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MA,
3a
không chứa điểm C. Vẽ tam giác đều MAE.
M
·
·
·
·

Khi đó: BAE
= MAE
− BAM
= 600 − BAM
5a
·
·
·
·
Và CAM
= BAC
− BAM
= 600 − BAM
4a
·
·
=> BAE
= CAM
C
B
∆ABE và ∆CAM có:
AB = CA (∆ABC đều)
·
·
=> ∆EAB = ∆MAC (c.g.c)
BAE
= CAM
AE = AM (∆MAE đều)
=> EB = MC = 5a
∆BME có: BE2 = (5a)2; ME2 + MB2 = (3a)2 + (4a)2 = (5a)2 => BE2 = ME2 + MB2

Theo đònh lí Pitago đảo, ta có ∆BME vuông tại M.
·
Vậy ·AMB = BME
+ ·AME = 900 + 600 = 1500
* Nhận xét: Việc tạo tam giác đều có các cạnh bằng nhau và các góc đều là 600, ta
chứng minh được ∆ABK = ∆CBM ( cách 1); ∆EAB = ∆MAC (c¸ch2), từ đó tạo ra
∆AMK có: BK = MC = 5a, MK = MB = 4a, MA = 3a ( cách 1) hoặc ∆BME có: BE =
MC = 5a, ME = MA = 3a, MB = 4a ( cách 2) dễ dàng vận dụng đònh lí Pitago đảo để
chứng minh tam giác vuông.
Bµi tËp ¸p dơng:
c¸c b¹n h·y vÏ thªm h×nh phơ lµ c¸c tam gi¸c ®Ịu ®Ĩ lµm c¸c bµi to¸n sau:
Bµi 1: Cho ∆ABC cân tại A có góc ở đáy bằng 80 0. Trên cạnh AB lấy điểm D sao
cho AD = BC. Tính số đo góc ACD ?
Bµi 2: Cho ∆ABC vuông cân ở A và điểm E nằm trong tam giác sao cho
·
·
EAC
= ECA
= 150 . Tính số đo ·AEB ?
Bµi 3: Cho ∆ABC cân tại A, có góc ở đáy bằng 50 0. Lấy K nằm trong tam giác sao cho
·
·
KBC
= 100 ; KCB
= 300 . Tính số đo các góc của ∆ABH.
.................................................................

3