HSGT8.Luyện vẽ thêm hình phụ

Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8
luyện tập kĩ năng giải hình 8 : Vẽ thêm hình phụ
Ngời viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng Hà - Thái bình
Bài 1 : Cho tam giác vuông ABC , đờng cao AH . Lấy D tùy ý trong đoạn BC . Gọi M , N
thứ tự là hình chiếu của D trên AB , AC .
1. Chứng minh góc MHN = 90
0
.
2. Khi D di chuyển trên đoạn BC thì trung điểm của đoạn MN chạy trên đờng nào ?
Gợi ý :
Câu 1
- Dễ c/m tứ giác ANDM là h.c. n
- Vẽ thêm các đoạn AD , MN . HK , K là giao của AD với
MN.
- AHD vuông KH = KD = KA
- MHN có KH = KN = KM nên vuông tại H . từ đó có
đpcm
- Mở rộng câu 1 : Cho tam giác vuông ABC , đờng cao
AH . Lấy D tùy ý trong đoạn BC .Đờng thẳng qua D
song song với AB cắt AC tại N và cắt đờng thẳng HM
tại E . HN cắt DM tại I . Chứng minh EI

MN
-
Câu 2 : H chạy trên đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và
AC
Bài 2 : Một hình thang cân có đờng cao bằng nửa tổng hai đáy. Hãy tính góc tạo bởi hai đ-
ờng chéo .
Gợi ý :
H

E
D
B
H
E
D
B
A
C
C
A
O
O
Hình 1 Hình 2
- ở hình 1 : Đẩy đáy nhỏ về phía đáy lớn ( tạo đoạn thẳng tổng )
- ở hình 2 : Đẩy đáy lớn về phía đáy nhỏ .
Tạ Phạm Hải 1
H
N
M
H
A
B
C
D
Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8
Bài 3 : Tứ giác ABCD có = 180
0
, CB = CD .
Chứng minh AC là phân giác của

Gợi ý :
D
E
D
B
A E
A
B
C
C
Hình 1 Hình 2
- Hình 1 : Lấy DE = AB CBA = CDE ACE cân tại C ...
- Hình 2 : Lấy BE = AD CBE = CDA ACE cân tại C ...
Bài 4 : Cho ABC cân tại A . Trên cạnh AB , AC thứ tự
lấy các điểm D , E sao cho BD = AE . Gọi I là trung điểm
của DE . Tia AI cắt BC tại K . Chứng minh tứ giác ADKE
là hình bình hành .
Gợi ý :
Qua E kẻ EF // BC , F AB AEF cân tại A , nên AE
= AF = BD . Gọi M là trung điểm của DF thì IM là đờng
trung bình của DEF IM // BC
Lại có AF + FM = BD + DM = AB / 2 vậy M cũng là
trung điểm của AB và IM // BK nên IM là đờng trung
bình của ABK , vậy IA = IK
Từ đó tứ giác ADKE là h.b.h
Bài 5 : Cho điểm E thuộc cạnh AC của tam giác đều ABC. Đờng thẳng vuông góc với AB
kẻ từ E cắt đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ C tại D. Gọi K là trung điểm của AE, Tính
góc KBD .
Gợi ý :
Tạ Phạm Hải 2

M
F
I
D
K
B
C
A
E
Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8
Gọi I là điểm đối xứng với D qua điểm K thì tứ giác
AIED là h.b.h AI // DE và AI = DE AI AB . Mặt
khác dễ ch/m EDC cân tại D nên DE = DC = IA vì vậy
suy đợc AIB = CDB ( cgv cgv ) BI = BD .
DBI cân tại B có BK là trung tuyến nên cũng là đờng
cao . Vậy góc KBD = 90
0
Bài 6 : Cho tam giác ABC đều , vẽ một đờng thẳng song song với BC và cắt các cạnh AB ,
AC thứ tự ở D và E . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng DC , G là trọng tâm của ADE , H
là điểm đối xứng của B qua I .
1) Chứng minh DGB = EGH
2) Tính các góc của BGI
Gợi ý :
1.C/m DGB = EGH : Ta có DG = EG ; góc GDB =
góc GEH = 120
0
, BD = CH = EH
2.Từ câu 1 suy ra GB = GH hay BGH cân tại G
có GI là trung tuyến nên cũng là đờng cao nên
BGI vuông tại I . Lại từ câu 1 thì góc DGB = góc

EGH nên góc BGH = góc DGE = 120
0
. từ đó góc
BGI = 60
0
và góc GBI = 30
0
Bài 7 : Cho tam giác vuông ABC , AB < AC , đờng cao AH . Trên tia HC lấy điểm D sao
cho HD = HA . Đờng vuông góc với BC kẻ từ D cắt AC ở E .
1. Gọi M là trung điểm của BE , tính góc AHM
2. Chứng minh AB = AE
Gợi ý :
1.Từ đề bài suy ra MD = MA = ME = MB ,
từ đó đờng thẳng HM là đờng trung trực của
đoạn thẳng AD , từ đó HM là phân giác của
góc vuông AHD , vậy góc AHM = 45
0
2.Vì BMD cân tại M nên góc MBD =
MDB = MAH ( kết hợp với câu 1) . Xét hai
tam giác AMK và BHK có góc B
1
= góc
Tạ Phạm Hải 3
I
K
F
D
B
C
A

E
H
I
G
D
B
C
A
E
M
E
DH
B
C
A
Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8
A
1
( cmt) ; K
1
= K
2
( đ đ) nên góc AMB = góc AHB vậy góc AMB = 90
0
, ABE vuông
cân , vậy AB = AE đpcm
Cách 2 : Gọi F là hình chiếu của E trên AH ta có EF = HD = AH
V
AEF =
V

BAH ...
Bài 8 : Cho hình thang vuông ABCD có AB // CD ; góc A = góc D = 90
0
; CD = 2.AB =
2.AD . Qua điểm E thuộc cạnh AB kẻ đờng vuông góc với DE , cắt BC tại F . Chứng minh
tam giác DEF vuông cân .
Gợi ý :
Tứ giác ABCK là h.b.h OI // BF nên IO là
đờng trung bình của DBF I là trung
điểm của DF. Từ đó DEF vuông cân .
Bài 9 : Cho ABC , trên các cạnh AC , AB
thứ tự lấy các điểm E , F . Gọi H là giao điểm của BE và CF , Tia AH cắt BC ở D . Gọi
trung điểm của các cạnh AB , BC , AC thứ tự là M , S , Q ; Trung điểm của các đoạn thẳng
HA , HB , HC thứ tự là R , N , P.
1. Chứng minh MP , NQ , RS đồng quy
2. Các điểm E và F cần có thêm điều kiện gì để MP = NQ = RS ?
Gợi ý :
1.Vẽ đờng phụ tạo h.b.h MNPQ và gọi
O là giao hai đờng chéo của nó nên O là
trung điểm của MP
Vẽ đờng phụ tạo h.b.h MRPS nên đờng
chéo RS của h.b.h này đi qua trung
điểm của MP . Từ đó có đpcm
2.Để MP = NQ thì h.b.h MNPQ phải là
h.c.n AH BC . Để MP = RS thì
h.b.h MRPS phải là h.c.n BH AC
H phải là trực tâm của ABC ...
Bài tập luyện tập
Tạ Phạm Hải 4
O

I
F
CKD
A
BE
O
P
N
R
S
Q
M
H
A
B
C
E
F
D
Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8
Bài 1 : Cho ABC có góc B = 45
0
, góc C = 120
0
. trên tia BC lấy điểm D sao cho CD =
2.CB . Tính góc ADB .
Bài 2 : Cho ABC cân tại B và góc ABC = 80
0
. Lấy điểm I trong tam giác sao cho góc IAC
= 10

0
và góc ICA = 30
0
. Tính góc AIB ?
Bài 3 : Cho ABC cân tại A và có góc A = 20
0
. từ B và C kẻ các đờng thẳng BD và CE cắt
các cạnh đối diện tại D , E sao cho góc CBD = 60
0
và góc BCE = 50
0
. Tính góc BDE ?
Bài 4 : Cho ABC , trong tam giác lấy điểm P sao cho góc PBA = góc PCA . Gọi D , E thứ
tự là hình chiếu của P trên AB , AC. Gọi M , H , N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng
PB , BC , PC . Chứng minh HDE cân
Bài 5 : Độ dài đờng trung bình của một hình thang là 40 cm ; Hai góc kề đáy nhỏ ( góc
trong ) của hình thang bằng 130
0
và 140
0
. Hãy tìm độ dài của mỗi đáy hình thang biết rằng
độ dài của đoạn thẳng nối trung điểm của hai đáy hình thang bằng 1 cm .
Bài 6 : Trên cạnh Oy của góc nhọn xOy lấy hai điểm A , B sao cho A nằm giữa O và
B .Trên cạnh Oy của góc này cũng lấy hai điểm C , D sao cho C nằm giữa O và D ; Cho biết
AB = CD ; gọi M , N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC , BD ; vẽ tia phân giác Oz
của góc xOy . Chứng minh MN // Oz
Bài 1: Cho hình vuông ABCD , lấy điểm M tùy ý trên đờng chéo BD . Gọi P , Q thứ tự là
hình chiếu của M trên AB , AD ; BQ cắt PD tại O .
1. Chứng minh PC BQ và CQ PD
2. Chứng minh CM PQ

3. Tìm vị trí của M trên đờng chéo BD để CPQ có diện tích lớn nhất
Tạ Phạm Hải 5