MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Phòng GD&ĐT Thị xã Phúc Yên
Trường THCS&THPT Hai Bà Trưng

Chuyên đề
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Môn: Toán
Tổ: Toán -Lý - Tin
Người thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Huyền.

Phúc Yên, tháng 11 năm 2015

-1-


Mục Lục
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I: Lý do chọn đề tài
II: Mục đích nghiên cứu
III: Đối tượng nghiên cứu
IV: Phương pháp nghiên cứu
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý thuyết về số chính phương

Trang
3
3
3
3
4
5

5

I: Định nghĩa

5

II: Tính chất

5

III: Các dạng toán cơ bản và phương pháp giải bài tập về số chính

5

phương .
1. Các dạng toán cơ bản.
2. Một số phương pháp giải bài tập về số chính phương.
Chương II: Bài tập vận dụng
Dạng 1: Tìm số chính phương .
Dạng 2: Chứng minh một số là số chính phương hoặc không là

6
7
7
9

số chính phương.
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để giá trị biểu thức là số chính
phương.
Bài tập luyện tập.

Chương III: Thực nghiệm sư phạm
PHẦN III: KẾT LUẬN

12
15
17
18

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Nguyễn Thị Thanh Huyền – GV trường THCS&THPT Hai Bà Trưng
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
-2-


1. Cơ sở lý luận
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính
logic đồng thời môn toán còn là công cụ hỗ trợ cho các môn học khác. Với phân
môn số học là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng suy luận logic, phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Đặc biệt là rèn luyện cho học sinh khá, giỏi.
nâng cao được năng lực tư duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời
giải bài tập của học sinh. Việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ
cung cấp cho các em kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng
nhiều bài tập khó mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo, đối với phân
môn số học càng phải biết rèn luyện năng lực tư duy và phán đoán logic.
2. Cơ sở thực tiễn
Qua công tác giảng dạy ở trường tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi
dưỡng học sinh khá giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng
tạo trong việc học tập và giải toán thì bản thân mỗi người thầy cần phải có nhiều
phương pháp và nhiều cách giải nhất. Trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm

nhiều cách giải, đồng thời cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách
giải. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất. Phát hiện ra được cách
giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung. Từ đó, với mỗi bài toán
cụ thể các em có thể khái quát hóa thành bài toán tổng quát và xây dựng các bài
toán tương tự. Bài tập về số chính phương thường gặp trong đề thi HSG các cấp,
thi vào THPT chuyên...
Vì vậy tôi chọn chủ đề sáng kiến kinh nghiệm là "Một số dạng toán về số
chính phương", với mục đính là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học cho học
sinh giỏi, là tư liệu dạy học Toán học cho giáo viên.
II. Mục đích nghiên cứu
- Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải bài tập về số chính phương.
- Giúp giáo viên nâng cao trình độ, áp dụng vào công tác giảng dạy, bồi dưỡng
HSG, học sinh thi vào THPT chuyên.
III. Đối tượng nghiên cứu.
- Các dạng toán về số chính phương.
-3-


IV. Phương pháp nghiên cứu.
- Tham khảo tài liệu, sách, báo, mạng Internet,...
- Thực tiễn quá trình giảng dạy.

PHẦN II. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. ĐỊNH NGHĨA
Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.
-4-


II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT THƯỜNG VẬN DỤNG

1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không
thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn.
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không
có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không
có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n

∈

N ).

5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ
số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
7. Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4.
8. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.
9. Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong
hai số đó là số 0.
10. Số các ước của một số chính phương là số lẻ. Ngược lại, một số có số
các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương.
11. Nếu n2 < k < (n+1)2 ( n ∈ Z) thì k không là số chính phương.
12. Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính
phương thì mỗi số a, b cũng là các số chính phương.

III. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1: Tìm số chính phương.

-5-


Dạng 2: Chứng minh một số là số chính phương hoặc không là số chính
phương.
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị là số chính phương.
2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
- Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa.
- Phương pháp 2: Sử dụng tính chẵn, lẻ.
- Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết và chia có dư.
- Phương pháp 4: Sử dụng tính chất

CHƯƠNG 2: BÀI TẬP VẬN DỤNG
Dạng 1: Tìm số chính phương.
Bài 1: Tìm số chính phương abcd biết ab − cd = 1 .
Lời giải
-6-


2
Giả sử n = abcd = 100ab + cd = 100 ( 1 + cd ) + cd = 101cd + 100 , n ∈ Z .

⇒ 101.cd = n 2 − 100 = ( n − 10 ) ( n + 10 ) .

Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 .
⇒ n = 91 .

Thử lại: abcd = 912 = 8281 có 82 − 81 = 1 .
Vậy abcd = 8281 .
Bài 2 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của
A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
(Đề thi TS vào lớp 10 chuyên trường THPT Lê Hồng Phong - TP Hồ Chí Minh.
Năm học 2005- 2006)
Lời giải
Gọi A = abcd = k 2 .
Theo đề bài ta có:
Ta có:

 A = abcd = k 2


2

 B = abcd + 1111 = m

.

(với k , m ∈ N * và 31 < k < m < 100 , a, b, c, d = 1,9 ).
⇒ m 2 − k 2 = 1111 ⇔

(m - k)(m + k) = 1111 (*)

Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.
Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101
Do đó:

⇔

m – k = 11

⇔

m = 56

m + k = 101

n = 45

A = 2025
B = 3136

Vậy A=2025, B = 3136.
Bài 3: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên
tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Lời giải
Gọi số phải tìm là abcd với a; b; c; d là các số tự nhiên
và 1
Ta có abcd chính phương
Vì d là số nguyên tố

⇒

⇒

≤

a

≤

9; 0

≤

b, c, d

d ∈ { 0,1, 4, 5, 6, 9} .

d = 5.
-7-

≤

9.


Đặt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100, k ∈ N .
Do k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 ⇒ k tận cùng bằng 5
Tổng các chữ số của k là một số chính phương

⇒

k = 45 (vì k tận cùng bằng 5 và

có 2 chữ số)
⇒ abcd

= 2025

Vậy số phải tìm là: 2025.
Bài 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và
số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính
phương.
Lời giải
Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab (a, b ∈ N, 1 ≤ a, b ≤ 9)
Số viết theo thứ tự ngược lại là ba .
Ta có ab 2 - ba 2 = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2)  11 ⇒ a2 – b2  11
Hay (a - b) (a + b)  11
Vì 0 < a – b

≤

8; 2

≤

a+b

≤

18 nên a + b  11

⇒

a + b = 11

Khi đó: ab 2 - ba 2= 32 . 112 . (a – b)
Để ab 2 - ba 2 là số chính phương thì a – b phải là số chính phương do đó a –
b = 1 hoặc a – b = 4.
Nếu a – b = 1 kết hợp với a + b = 11 ⇒ a = 6, b = 5 , ab = 65
Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332
Nếu a – b = 4 kết hợp với a + b = 11

⇒

a = 7,5 loại

Vậy số phải tìm là 65
Bài 5: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng
các chữ số của nó.
Gọi số phải tìm là ab với a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
2
Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3 ⇔ ab = ( a + b ) ( a + b ) . Suy ra a+b là số chính
2

2

phương.
Khi đó ab là một lập phương và a + b là một số chính phương.
Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 hoặc ab = 64
-8-


Nếu ab = 27 ⇒ a + b = 9 là số chính phương
Nếu ab = 64

⇒

a + b = 10 không là số chính phương

⇒

loại

Vậy số cần tìm là 27.
Dạng 2: Chứng minh một số là số chính phương hoặc không là số chính
phương.
{ − 88...8
{ + 1 . Chứng minh A là một số chính phương.
Bài 1: Cho A = 11...1
2n
n

Lời giải
A = 11...100...0
{ { + 11...1
{ − 88...8
{ + 1.
n

n

n

n

n
{ thì 9a = 99...9
{ . Do đó 99...9
{ + 1 = 10 = 9a + 1 .
Đặt a = 11...1
n
n
n
n
Ta có A = a.10 + a − 8a + 1 = a ( 9a + 1) + a − 8a + 1

⇒ A = 9a 2 − 6a + 1 = ( 3a − 1) .
2

2
⇒ A = 33...32
{
.
n −1

Vậy A là một số chính phương.
Nhận xét:
Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một số chính
n
{ = a và như vậy 99...9
{ + 1 = 10 = 9a + 1 .
phương ta nên đặt 11...1
n
n

{ , b = 10...05
{ . Chứng minh ab + 1 là số tự nhiên.
Bài 2: Cho a = 11...1
2016
2015

Lời giải:
Cách 1:
{ = 10...0
{ − 1 + 6 = 9...9
{ + 6 = 9a + 6 .
Ta có: b = 10...05
2015
2016
2016
⇒
⇒

ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
ab + 1 = (3a + 1) 2 = 3a + 1 ∈ N .

Vậy ab + 1 là số tự nhiên.
Cách 2:
Ta có: a = 11...1
{ =
2016

102016 − 1
, b = 102016 + 5 .
9

-9-


( 10
102016 − 1
⇒ ab + 1 =
. ( 102016 + 5 ) + 1 =
9
⇒

( 10
ab + 1 =

2016

3

+ 2)

)

2016 2

+ 4.102016 − 5 + 9
9

2

 102016 + 2 

=
÷.
3



.

2016
Mà ( 10 + 2 ) 3 . Do đó, ab + 1 là số tự nhiên.

Vậy ab + 1 là số tự nhiên.
Bài 3: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n ∈ N và n >1
không phải là số chính phương.
Lời giải
Ta có : n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Mà n∈ N, n > 1 nên n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
=> (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 => n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương.
Vậy số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n

∈

N và n >1không phải là số chính

phương.
Bài 4: Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số 2. CHứng
minh a - b là một số chính phương.

Lời giải
Cách 1:
1060 − 1
1030 − 1
Ta có: a = 11...1
, b = 22...2
.
{ =
{ = 2.
9
9
60
30
2

2

 .
1060 − 1 2(1030 − 1) 1060 − 2.1030 + 1 1030 − 1  
=
=  33...3
⇒a −b =
−
=
{ ÷

9
9
9
 3   30 

Cách 2:
30
b = 22...2
+ 11...1
{ = 2.11...1
{ , a = 11...1
{ = 11...1.00...0
{ { + 11...1
{ = 11...1.10
{
{ .
30
30
60
30
30
30
30
30
30
{ . ⇒ 9c + 1 = 99...9
{ + 1 = 10 .
Đặt c = 11...1
30
30
2
Khi đó: a = c. ( 9c + 1) + c = 9c + 2c . b = 2c .

- 10 -

2



2
⇒ a − b = 9c 2 + 2c − 2c = ( 3c ) =  33...3
{ ÷.
 30 

Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số 1 và số
tự nhiên b gồm k chữ số 2. Chứng minh rằng a − b là một số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng A = 20124 n + 20134 n + 20144 n + 20154 n không phải là số chính
phương với mọi số nguyên dương n.
(Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016)
Lời giải
Ta có:
20124 n 4; 20144 n 4 , ∀n ∈ N * .
20134 n = 20134 n − 1 + 1 = ( 20134 n − 1) + 1 chia cho 4 dư 1.
20154 n = 20154 n − ( −1)

4n

+ 1 chia cho 4 dư 1.

Do đó, A = 20124 n + 20134n + 20144 n + 20154 n chia cho 4 dư 2.
Ta có: A2 , nhưng A không chia hết cho 22 , mà 2 là số nguyên tố. Suy ra A
không là số chính phương.
Vậy A không là số chính phương.

Bài 6: Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 233 . Hỏi A có là số chính phương không? Vì sao?
Lời giải
2
3
4
5
30
31
32
33
Ta có A = 1 + 2 + ( 2 + 2 + 2 + 2 ) + ... + ( 2 + 2 + 2 + 2 )

= 3 + 22. ( 1 + 2 + 22 + 23 ) + ... + 230. ( 1 + 2 + 2 2 + 23 )
= 3 + 2.30 + ... + 229.30 = 3 + ( 2 + ... + 2 29 ) .3.10 .

Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3.
Mà số chính phương không có chữ số tận cùng là 3. Do đó, A không là số chính
phương.
Vậy A không là số chính phương.
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị là số chính phương.
Bài 1: Tìm số tự nhiên x để biểu thức x 2 + 2 x + 20 có giá trị là một số chính
phương.
Lời giải
- 11 -


2
2
2
Giả sử x + 2 x + 20 = a ( a ∈ N , a > 4 ) . ⇔ a 2 − ( x + 1) = 19

⇔ ( a − x − 1) ( a + x + 1) = 19 .
a − x − 1 = 1
. Do đó x = 8 .
 a + x + 1 = 19

Vì ( a − x − 1) < ( a + x + 1) và 19 = 1.19 nên 

Thử lại với x = 8, ta có x 2 + 2 x + 20 = 82 + 2.8 + 20 = 102 thỏa mãn.
Vậy số tự nhiên cần tìm là x =8.
Bài 2: Tìm các số nguyên x sao cho A= x(x-1)(x-7)(x-8) là một số chính phương.
Lời giải:
A= (x2 – 8x)(x2 - 8x+7).
Đặt x2 -8x = y thì A= y(y+7) = y2 +7y
Giả sử y2 +7y =m2 (m thuộc N)
=> 4y2 +28y+49-4m2 =49
=> (2y+7+2m)(2y+7-2m)= 49= 49.1=(-1).(-49)=7.7=(-7).(-7).
Ta thấy 2y+7+2m

2y+7-2m nên ta có 4 trường hợp:

 2 y + 7 + 2m = 49
, do đó y = 9 .
 2 y + 7 − 2m = 1

Trường hợp 1: 

Suy ra x ∈ { −1;9} .
 2 y + 7 + 2m = −1
, do đó y = −16 .

 2 y + 7 − 2m = −49

Trường hợp 2: 
Suy ra x = 4 .

 2 y + 7 + 2m = 7
, do đó y = 0 .
 2 y + 7 − 2m = 7

Trường hợp 3: 
Suy ra x ∈ { 0;8} .

 2 y + 7 + 2m = −7
, do đó y = −7 .
 2 y + 7 − 2m = −7

Trường hợp 4: 
Suy ra x ∈ { 1;7} .

Vậy x ∈ { −1;0;1; 4;7;8;9} .
Bài 3: Tìm số tự nhiên n

≥

1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính

phương.
- 12 -

(Đề thi HSG lớp 6 - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc)
Lời giải
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều
tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không
phải là số chính phương.
Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3.
2
Bài 4: Tìm số nguyên dương n sao cho A = ( n + 3) ( 4n + 14n + 7 ) là số một chính

phương.
(Đề thi chọn HSG Toán 9 tỉnh Thái Bình)
Lời giải
2
Ta có: 4n + 14n + 7 = ( n + 3) ( 4n + 2 ) + 1 và n là số nguyên dương nên n + 3 và

4n 2 + 14n + 7 là nguyên tố cùng nhau. Vì vậy, để A là số chính phương thì
4n 2 + 14n + 7 và n+3 phải là số chính phương.

Do n ∈ Z + nên ta có ( 2n + 3) ≤ 4n 2 + 14n + 7 < ( 2n + 4 ) .
2

2

⇒ 4n 2 + 14n + 7 = ( 2n + 3) ⇒ n = 1 . Khi đó n+3 = 4 là số chính phương.
2

Thử lại, với n = 1 , ta có A = 102 .

Vậy số nguyên dương cần tìm là n = 1 .
Bài 5: Tìm n ∈ N để 28 + 211 + 2n là số chính phương .
Lời giải
-Với n ∈ { 0;1; 2;....;8} , bằng cách thử không có giá trị n thỏa mãn đề bài.
2
8
3
n −8
8
n −8
- Với n ≥ 9 , đặt 28 + 211 + 2n = t 2 , ta có t = 2 ( 1 + 2 + 2 ) = 2 (9 + 2 )
⇒ 9 + 2n−8 là số chính phương
*
- Đặt 9 + 2n −8 = k 2 ( k ∈ N , k > 3)
a
k + 3 = 2
Do đó: 2 = ( k − 3) ( k + 3 ) ⇔ 
b
k − 3 = 2
b
a −b
Khi đó: ( k + 3) − ( k − 3) = 2 . ( 2 − 1)
n −8

(với a>b).

- 13 -


⇔ 2.3 = 2b. ( 2a −b − 1)

 2b = 2
a = 3

⇔  a −b
⇔
.
2 − 1 = 3
b = 1

Do đó n − 8 = 3 + 1 ⇔ n = 12 .

Thử lại 28 + 211 + 212 = 802 .
Vậy số tự nhiên cần tìm là n = 12.
Bài 6: Tìm tất cả số tự nhiên x,y để 2x + 5y là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử 2x +5y =k2 (k thuộc N)
Nếu x = 0 thì 1 + 5y = k2 do đó k chẵn => k2 chia hết cho 4 nhưng 1+5y chia 4 dư 2.
Vậy x khác 0, từ 2x +5y = k2 => k lẻ và k không chia hết cho 5. Xét hai trường hợp.
+) Với

thì 2x +1=k2=(2n+1)2 (vì k lẻ nên k = 2n + 1, n ∈ N ).

⇒ 2 x = 4n(n + 1) ⇒ n = 1 . Khi đó x=3; y=0 (thỏa mãn)

Thử lại: 2 x + 5 y = 23 + 50 = 9 là số chính phương.
+) Với y ≠ 0 và k không chia hết cho 5 ⇒ k 2 ≡ ±1(mod 5)
Từ 2 x + 5 y = k 2 ⇒ 2 x ≡ ±1(mod 5) ⇒ x chẵn
Đặt x = 2 x1 ( x1 ∈ N ) , ta có
5 y = ( k + 2 x1 )( k − 2 x1 )

 k + 2 x1 = 5 y1
⇒
với y1 + y2 = y với y1 > y2 , y1, y2 là các số tự nhiên.
x
y
 k − 2 1 = 5 2
⇒ 2 x1 +1 = 5 y2 (5 y1 − y2 − 1) ⇒ 5 y2 = 1 ⇒ y2 = 0 .

⇒ y1 = y. Khi đó 2 x1 +1 = 5 y − 1 .

Nếu y=2t ( t ∈ N ) thì 2 x +1 = 52t − 1 = 25t − 13 , vô lý
1

Vậy y lẻ, khi đó 2 x +1 = 5 y − 1 = 4(5 y −1 + 5 y −2 + ... + 5 + 1) .
1

Nếu y > 1 thì 5 y −1 + 5 y −2 + .. + 1 ,lẻ (vô lý).
Nếu y = 1 ⇒ x1 = 1 khi đó x = 2; y = 1 .
Thử lại 2 x + 5 y = 22 + 51 = 9 là số chính phương
Vậy x = 2; y = 1 hoặc x = 3, y = 0.
* Bài tập luyện tập
- 14 -


Bài 1: Chứng minh nếu a; b là các số nguyên thỏa mãn hệ thức 2a 2 + a = 3b 2 + b thì
a − b và 2a+2b+1 là những số chính phương.

Bài 2: Cho a; b; c là 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 .
Chứng minh rằng (a 2 + 1)(b 2 + 1)(c 2 + 1) là 1 số chính phương.
Bài 3: Tìm a ∈ N để (23 − a)(a − 3) là 1 số chính phương.

Bài 4: Tìm các số nguyên tố p sao cho 2 số 2( p + 1) và 2( p 2 + 1) là 2 số chính
phương.
(Đề thi chọn HSG Toán 9 trường Quốc học Huế, Thừa Thiên - Huế).
Bài 5: Chứng minh nếu tồn tại số nguyên dương x thỏa mãn

( x + 1)(2 x + 1)
là 1 số
2012

chính phương thì x là hợp số.
Bài 6: Chứng minh số A = 19n 6 + 5n5 + 1890n3 − 19n 2 − 5n + 1993 ( n ∈ N ) không thể là số
chính phương
Bài 7: Tìm số nguyên dương n sao cho

n ( 2n − 1)
là số chính phương .
26

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa. Năm học 20122013 )
2x
2x
2x
x
Bài 8: Tồn tại hay không số nguyên thỏa mãn 20 + 12 + 2012 là một số chính
phương .
Bài 9: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A = n 4 + n3 + n 2 có giá trị là số chính
phương.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An. Năm học
2010-2011 )
2

Bài 10: Tìm các số tự nhiên n sao cho A = n + 18n + 2020 có giá trị là số chính
phương.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Quảng Ngãi).
Bài 11: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì biểu thức
A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 có giá trị là số chính phương.
Bài 12: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính
phương.
Bài 13: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) (
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.
Bài 14: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; . . .
- 15 -

*).


Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng
trước và đứng sau nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính
phương.
Bài 15:

Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không

thể là một số chính phương.
Bài 16: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương.
Bài 17: Biết x ∈ N và x > 2. Tìm x sao cho x( x − 1).x( x − 1) = ( x − 2) xx( x − 1)
Bài 18: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số
chính phương thì n là bội số của 24.
Bài 19: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ
số cuối giống nhau.
Bài 20 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống

nhau.
Bài 21 : Người ta viết liên tiếp các số 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;... ;1994 thành một hàng ngang
theo một thứ tự tùy ý. Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính
phương không ?
Bài 22 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số T = 2n + 1 là số chính
phương.
Bài 23 : Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n 4 + 2n3 + 2n 2 + n + 7 là số chính phương.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên KHTN Hà Nội )
Bài 24: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số T = 2n + 3n + 4n là số chính
phương.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, huyện Vĩnh Tường. Năm học 2014 - 2015)
Bài 25: Cho a, b, c là các chữ số khác 0. Gọi S là tổng của tất cả các số có ba chữ
số tạo thành bởi các chữ số a ; b ; c. Chứng minh rằng S không phải là số chính
phương.
Bài 26: Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n - 41 là hai số chính phương.
(Đề thi giao lưu HSG lớp 8- năm học 2013-2014- Phòng GD Vĩnh Tường)
Bài 27: Cho A = 200.(92013 + 92012 + ..... + 92 + 9 + 1)
Chứng minh rằng A + 25 là số chính phương.
(Đề thi giao lưu HSG lớp 7- năm học 2012-2013- Phòng GD Vĩnh Tường)

- 16 -


Bài 28: Chứng minh rằng số 2013 + 4!+ 5!+ 6!+ 7!+ ... + 2020! không là số chính
phương.
(Đề thi giao lưu HSG lớp 8- năm học 2012-2013- Phòng GD Yên Lạc)
Bài 29: Cho n là tổng của hai số chính phương. CMR n2 cũng là tổng của hai số
chính phương.
(Đề thi giao lưu HSG lớp 8- năm học 2012-2013- Phòng GD Yên Lạc)

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
*Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THCS & THPT Hai Bà
Trưng, Vĩnh Phúc. Trước khi thực nghiệm sư phạm , tác giả báo cáo trong tổ Toán
– Lý – Tin của nhà trường về chuyên đề
“ Một số dạng toán về số chính phương” . Kết quả 100% giáo viên nhất trí đưa nọi
dung chuyên đề vào vận dụng thực tiễn
* Hình thức thực nghiệm :
Giáo viên dạy thực nghiệm chuyên đề “ Một số dạng toán về số chính
phương” trên hai lớp 9A1 với 45 học sinh, lớp đối chứng 9A2 với 44 học sinh, sau
giảng dạy tiến hành hội thảo các tiêu chí về trình độ chuyên môn, nghiệp vụ sư
phạm của giáo vên và kết quả học tập của học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng
là tương đương. Lớp 9A1 giáo viên đưa ra các dạng toán về số chính phương và
phương pháp giải, lớp 9A2 giáo viên chỉ đưa ra bài tập, không chia theo dạng bài
tập và cũng không nêu phương pháp giải.
Sau khi dạy thực nghiệm kết hợp hội thảo đối với giáo viên đồng thời tiến
hành kiểm tra về các dạng toán về số chính phương. Kết quả thu được :
Điểm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

9A1

Số lượng
0
0
0
0
0
1
2
20
15
5
2

9A2
%

- 17 -

Số lượng
0
0
4
5
8
10
15
2
0
0
0

%


PHẦN III: KẾT LUẬN
Giảng dạy áp dụng chuyên đề trên đây đã mang lại hiệu quả của việc bồi
dưỡng học sinh giỏi môn toán. Nhiều học sinh đã chủ động tìm tòi, định hướng
cách giải tốt.
Xây dựng cho học sinh một niềm tin trong học tập, hứng thú tìm tòi cái mới,
cái hay trong quá trình học toán, góp phần quan trọng trong các kỳ thi hoc sinh giỏi
và thi vào lớp 10 các trường chuyên.
Mỗi giáo viên cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của đối tượng học sinh để
đưa ra các bài tập và phương pháp giải phù hợp giúp các em làm được và sáng tạo
các cách giải gây hứng thú cho các em, từ đó sẽ dần dần nâng cao kiến thức từ dễ
đến khó. Để làm được như vậy mỗi giáo viên cần tìm tòi tham khảo nhiều tài liệu
để tìm ra các bài toán hay, với nhiều cách giải khác nhau cho học sinh.
Thông qua phương pháp giáo dục các em năng lực tư duy độc lập, rèn tư duy
sáng tạo tính tự giác học tập , phương pháp giải toán nhanh, tạo cho các em niềm
yêu thích môn học.
Mặc dù rất cố gắng khi làm chuyên đề, song không thể tránh khỏi thiếu sót
về cấu trúc và ngôn ngữ, chưa đủ dạng bài. Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của đồng
nghiệp góp ý kiến để chuyên đề này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Người viết

Nguyễn Thị Thanh Huyền

- 18 -